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
LÍMITE POR DERECHA
0x
x
L
 y f x
0
lím ( )
x x
f x L

  
 
x
y
 f x

LÍMITE POR IZQUIERDA
0x
x
L
 y f x
0
lím ( )
x x
f x L

  
 
x
y
 f x
TEOREMA DE EXISTENCIA DE LÍMITE
Ejemplo 1
2
lím ( )
x
f x

 
1 ; 2
0 ; 2
1 ; 2
x
f x x
x


 
 

 2
lím 1
x 

 
2
lím ( ) no existe
x
f x


Sea Hallar
Solución:
f
2
11

12
lím ( )
x
f x

 2
lím 1
x 


2
lím ( )
x
f x

1 
Ejemplo 2
2
lím ( )
x
f x


 2
lím 5 4
x
x

 
2
lím ( ) 3 (existe)
x
f x


Sea Hallar
Solución
f
2
2 7x 5 4x

3 2
lím ( )
x
f x

 2
lím 2 7
x
x

 
2
lím ( )
x
f x

3 
 
2 7 , 2
5 4 , 2
x x
f x
x x
 
 
 
Ejemplo 3
1
lím ( )
x
f x


 1
lím 2
x
x

 
2
lím ( ) no existe
x
f x


Sea Hallar
Solución
f
1
2
1x 2 x

21
lím ( )
x
f x

 2
1
lím 1
x
x

 
1
lím ( )
x
f x

1
2
2 ; 1
( )
1 ; 1
x x
f x
x x
 
 
 
Ejercicios Propuestos
1. Invente una función, que por la derecha converja a 1
y por la izquierda converja a 2
2. Invente una función f, que no tenga límite en un
punto pero que –f si lo tenga.
Grafique la función y encuentre los límites indicados
 0
1 ; 0
( ) sgn 0 ; 0 lim
1 ; 0
x
x
f x x x f x
x

 

  
 
 0
; 0
( ) ; lim
2 ; 0 x
x x
f x f x
x 
 
 

 
2
2 1
4 ; 1
( ) ; lim
2 ; 1 x
x x
f x f x
x x 
  
 
 
   1
3 1 , 1
; lim
2 , 1 x
x x
f x f x
x x 
 
 
 
   1
2 , 1
1 , 1 ; lim
3 , 1
x
x
f x x f x
x



  
 
 0
2
2 ; 0
( ) 0 ; 0
2 2 ;
lim
0
x
x x
f x x
x x
f x

  

 
  
     1 1 0
lim
2 1 ; 1
( ) , lim
0 ;
m
1
,li
x x x
x
f x f x fx
x
x
x
f
  
  
 


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10 limites laterales

  • 1.  LÍMITE POR DERECHA 0x x L  y f x 0 lím ( ) x x f x L       x y  f x
  • 2.  LÍMITE POR IZQUIERDA 0x x L  y f x 0 lím ( ) x x f x L       x y  f x
  • 4. Ejemplo 1 2 lím ( ) x f x    1 ; 2 0 ; 2 1 ; 2 x f x x x         2 lím 1 x     2 lím ( ) no existe x f x   Sea Hallar Solución: f 2 11  12 lím ( ) x f x   2 lím 1 x    2 lím ( ) x f x  1 
  • 5. Ejemplo 2 2 lím ( ) x f x    2 lím 5 4 x x    2 lím ( ) 3 (existe) x f x   Sea Hallar Solución f 2 2 7x 5 4x  3 2 lím ( ) x f x   2 lím 2 7 x x    2 lím ( ) x f x  3    2 7 , 2 5 4 , 2 x x f x x x      
  • 6. Ejemplo 3 1 lím ( ) x f x    1 lím 2 x x    2 lím ( ) no existe x f x   Sea Hallar Solución f 1 2 1x 2 x  21 lím ( ) x f x   2 1 lím 1 x x    1 lím ( ) x f x  1 2 2 ; 1 ( ) 1 ; 1 x x f x x x      
  • 7. Ejercicios Propuestos 1. Invente una función, que por la derecha converja a 1 y por la izquierda converja a 2 2. Invente una función f, que no tenga límite en un punto pero que –f si lo tenga.
  • 8. Grafique la función y encuentre los límites indicados  0 1 ; 0 ( ) sgn 0 ; 0 lim 1 ; 0 x x f x x x f x x           0 ; 0 ( ) ; lim 2 ; 0 x x x f x f x x         2 2 1 4 ; 1 ( ) ; lim 2 ; 1 x x x f x f x x x            1 3 1 , 1 ; lim 2 , 1 x x x f x f x x x           1 2 , 1 1 , 1 ; lim 3 , 1 x x f x x f x x          0 2 2 ; 0 ( ) 0 ; 0 2 2 ; lim 0 x x x f x x x x f x                1 1 0 lim 2 1 ; 1 ( ) , lim 0 ; m 1 ,li x x x x f x f x fx x x x f         