Cuaderno de Actividades: Física I




        1) Cinemática                 de una
                              Partícula...
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1)       Cinemática de una Partícula

      Fenómeno → Movimiento

      … Teoría de ...
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     b) El móvil, representado por el punto P usando el Modelo de Partícula, el
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          Definición de rapidez,        v
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    j) Movimiento Rectilíneo Uniforme, MRU


        k) Condición
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l)    a = cte
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II)    v ≡v ( t)

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    r ( t) ≡ x( t) ...
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jjj) Movimientos Generales


a ≡ a(t) → v ≡ v(t) → x ≡ x(t)


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           ∆x x ( 6 ) − x ( 2 )
    vm ≡      =                 =?
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       Las trayectorias están contenidas en un plano.

       τ → ℜ2 (Π)

j)     Movimi...
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 Proporcionalidad de la trayectoria a ambos lados del eje

 Para todo nivel
     v...
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    i)      Tiempo de vuelo, tv

                  2v(0) sen(θ )
           tv ≡
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θ / Rmáx =?

τ → x, y → P: y ≡ a + bx + cx2
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mmm) Relación: s= Rθ



ll) Velocidad

m) Velocidad Lineal, v=vt

    La llamada velo...
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A la componente radial de la aceleración se le denomina aceleración
centrípeta, acp.


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S1P17) Una partícula se mueve en un plano sobre una trayectoria dada por
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r r r
a ≡ a( v)
r r r técnicas de ∫
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 Regla de la cadena
 Diferencial exact...
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S1P21) Un muchacho en A arroja una pelota                                  B
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Sea t: Pelota en C y ardilla en C

Usando xy en A:

Para la pelota,    x p ( t ) ≡ 0 + ...
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     b)   h ≡ H 2 − yA ( t ) ≡
                                    {
                ...
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inconsistente desde su planeamiento: t ≡ 0, a ≡ 0, v ≡ 0 ∧ x ≡0?! Si se le da
cierta v...
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Cap 1 2- cinematica de una particula 1-31-2010 i

  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física I 1) Cinemática de una Partícula Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 1
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física I 1) Cinemática de una Partícula Fenómeno → Movimiento … Teoría de la relatividad (TR)…A Einstein En la descripción del Fenómeno Movimiento debemos de considerar lo siguiente, a) El observador, referencia, O → Descriptor del movimiento τ “La trayectoria es función O del estado del observador”, τ ≡ τ (O) Por ejemplo, si se deja caer una pelota, la caída es descrita por O y O’, tal como se muestra a continuación, 1° 2° O (reposo) O’ (v=cte) τ τ’ º Por lo tanto, la trayectoria es una función de estado del observador. Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 2
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física I b) El móvil, representado por el punto P usando el Modelo de Partícula, el cual se usa cuando del movimiento del cuerpo solo nos interesa la componente trasnacional. Modelo de Partícula: Móvil P ≡ Definición de Cinemática: La cinemática describe el fenómeno movimiento usando las cantidades cinemáticas (cc): r r : vector posición r v : vector velocidad r a : vector aceleración 1,1) Cantidades Cinemáticas, cc r i) Vector Posición, r Describe la posición del móvil en el tiempo. Es el problema fundamental de la cinemática, r r r ≡r ( t ) → ( O) τ r r Vector desplazamiento, ∆r : Describe como cambia la r , ∆r ≡ rf − ri ≡ r ( t f ) − r ( ti ) r r r r r r r ≡ r ( t ) − r ( 0) ti → tf : ∆t = tf - ti Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 3
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física I r v ( ti ) tan r vm r r r ( ti ) ∆r v ( tf ) r r ( tf ) r τ sec r ii) Vector velocidad, v Describe los cambios de la posición respecto del t, r r dr v≡ dt r r  ∆r  v ≡ lim   ∆t →0 ∆t   } r vmedia r Definición de Vector velocidad media, vm r r ∆r  1  r vm ≡ ≡   ∆r ∆t  ∆t  Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 4
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física I r Definición de rapidez, v r v : rapidez ¿? Describa que es el tiempo según la lectura de “Breve historia del tiempo” de Stephen Hawking. ¿? Describa, de igual forma, que es el tiempo según la lectura de “Brevísima historia del tiempo” también de Stephen Hawking. ¿? Cual es el último trabajo de divulgación de este brillante científico y propalador de las ciencias. r iii) Vector Aceleración, a Describe los cambios de la velocidad respecto del t.  r r r r  ∆v  r dv d 2 r ← a ≡ lim   r r a≡ ≡  {  → a // ∆v ∆t →0 ∆t dt dt 2  am  r r da ¿? Será importante definir . Existirá alguna rama de la tecnología dt donde interese conocer esta cantidad. 1,2) Tipos de Movimientos i) Movimiento Rectilíneo, MR Definición: τ → Λ (ℜ) Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 5
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física I j) Movimiento Rectilíneo Uniforme, MRU k) Condición r ˆ ˆ v ≡ vx i ≡ v i ≡ cte v = cte kk) Ecuaciones l) v = cte r r II) r ≡r ( t) r t f =t r dr r r r r dt ∫ v≡ : → r ≡r ( t ) ≡ r ( ti ) +v (t −ti ) ti r r r v ( t ) → r ≡ ∫ v dt r r ( t) ≡ x( t) i r r r ˆ r ( t ) ≡ r ( 0 ) + vt ←ti = 0 ∧t f = t x ( t ) ≡ x ( 0 ) + vt Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 6
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física I v 0 x x(t) kkk) Graficas l) v-t v A(t)=x(t) AA 0 t ll) x-t x A 0 t No da información cinemática jj) Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) k) Condiciones r τ → ℜ ∧ a ≡ ax i ≡ a iˆ ≡ cte ˆ a = cte kk) Ecuaciones Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 7
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física I l) a = cte r r II) v ≡v ( t) r tf r dv r r r r dt ∫ a≡ : → v ≡v ( t ) ≡ v ( ti ) + a (t −ti ) ti r r r v ( t ) → v ≡ ∫ a dt r v ( t) ≡ v( t) i r r r ˆ v ( t ) ≡ v ( 0 ) + a t ←ti = 0 ∧t f = t v ( t ) ≡ v ( 0 ) + at r r IlI) r ≡r ( t) r tf r dr v≡ :∫ → dt ti r r r r 1r r ≡ r ( t ) ≡ r ( ti ) + v ( ti ) (t − ti ) + a (t f − ti ) 2 2 r r r v ( t ) → r ≡ ∫ v dt r r r r 1r r ≡ r ( t ) ≡ r ( 0 ) + v ( 0 ) t + a t 2 ←ti = 0 ∧ t f = t 2 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 8
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física I r 1 2 r ( t) ≡ x( t) i → ˆ x ( t ) ≡ x ( 0) + v ( 0) t + at 2 a(t) v(t) 0 x x(t) kkk) Gráficas l) a-t a A(t)=v(t) AA 0 t ll) v-t v A(t)=x(t) A 0 t lll) x-t x t A: no proporciona información cinemática. Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 9
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física I jjj) Movimientos Generales a ≡ a(t) → v ≡ v(t) → x ≡ x(t) dv de a ≡ dt →v≡ ∫ adt → a ≡ a(t) : “fácil” → a ≡ a(v) : Regla de la cadena, definición de diferencial exacta o cambio de variable → a ≡ a(x) : Idem dx de v ≡ → x = ∫ vdt dt →x = x(t) ¿? Encuentre casos reales donde la aceleración dependa de la velocidad o posición. S1P14) La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje X esta dada por x = t3 - 12t2 + 36t + 30 con x en metros y t en segundos. Determine: a) La velocidad media entre 2 s ≤ t ≤ 6 s. b) La aceleración media entre 0 s ≤ t ≤ 4 s. c) Los intervalos de tiempo de movimiento desacelerado. d) Los intervalos de tiempo de movimiento acelerado. Solución: P 0 X(t) x x(t) = t3 -12t2 +36t + 30 a) vm :2→ 6 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 10
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física I ∆x x ( 6 ) − x ( 2 ) vm ≡ = =? ∆t 6−2 b) am : 0→ 4 ∆v v ( 4 ) − v ( 0 ) am ≡ = =? ∆t 4−0 3t 2 − 24t + 36 dx v≡ ≡ 3 ( t 2 − 8t + 12 ) dt 3 ( t − 4 ) − 12 2 c) ∧ d) Movimientos acelerados: r r r DEF: v ↑← v ↑↑ a v+ a+ 0 x −v −a Movimientos desacelerados: r r r DEF: v ↓ ← v ↑↓ a v- a+ x v+ a- Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 11
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física I a→ v→ a v + - - + t 0 2 4 6 dv a ≡ 6t − 24 ≡ a ( t ) ≡ dt v ≡ v(t) → P v 4 t 2 6 12 0 → 2 c) ∆t  4 → 6 2 → 4 d) ∆t  6 → ii) Movimientos Planares o Bidimensionales Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 12
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física I Las trayectorias están contenidas en un plano. τ → ℜ2 (Π) j) Movimiento Parabólico, MP r Caso a ≡ cte . Los movimientos parabólicos con raceleración constante son determinados cuando la v(0) no es paralela a la a . El plano del movimiento es determinado r r por los vectores velocidad inicial v (0) y aceleración a . El eje de la parábola es r paralelo a la a ≡ cte . Estos movimientos también presentan simetría de rapideces y tiempos a un mismo nivel. r r y a≡g Z r A A’ v ( 0) r v ( 0) ta td P 0 x 0 Y X r y→ a : simplifica la descripción: x : MRU → ax ≡ 0 y : MRUV → ay = a ≡ g (por lo general) Esto es debido al “carácter” vectorial de la Física → Cinemática. Mov Parab ≡ MRUVx “+” MRUVy MRUVx “+” MRUVy (caso general, x e y en cualquier dirección) Simetrías ξ r a ≡ cte P Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 13
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física I  Proporcionalidad de la trayectoria a ambos lados del eje  Para todo nivel va ≡ vd ta ≡ td Aplicación importante del MP: Movimiento de proyectiles Como ha de suponerse, este movimiento no toma en cuenta alturas superiores a 20 km, existencia de aire ni rotación de la tierra. El movimiento de proyectiles constituye un caso interesante de la ciencia donde determinados campos de investigación, el desarrollo de proyectiles, por ejemplo, resultan favorecidos por motivos impropios. El desarrollo de la cohetería efectuado desde finales del siglo XIX hasta mediados del siglo XX, jugo un papel preponderante en las 2 guerras mundiales así como en la conquista del espacio… El movimiento de proyectiles suele describirse usando ciertos parámetros como tiempo de vuelo, tv, alcance o rango, R y altura máxima, H. Si consideramos la siguiente geometría, r r y a≡g Z r r a≡g r v ( 0) r v ( 0) θ θ 0 x 0 Y X Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 14
  15. 15. Cuaderno de Actividades: Física I i) Tiempo de vuelo, tv 2v(0) sen(θ ) tv ≡ g ii) Alcance o Rango, R v 2 (0) sen(2θ ) R≡ g iii) Altura máxima, H v 2 (0) sen 2 (θ ) H≡ 2g ¿? Conceptos de simetría. Como debo entender su manifestación en la naturaleza. Simetría en la física. Simetría en las matemáticas. r ¿? Qué otros tipos de MP que no guarden la condición de a cte se desarrollan en el universo. ¿? Busque 5 ejemplos reales de MP. ¿? Como se vinculan el desarrollo de las computadoras y de la cohetería con la carrera espacial. ¿? Que opina de la discrepancia acerca de la paternidad de la cohetería: Werner von Braun- Pedro Paulet. ¿? 2009: Año internacional de la astronomía. ¿? Asteroide 2009 DD45: eventos de colisión-extinción. S1P16) Un cañón está colocado para que dispare sus proyectiles con una rapidez inicial v0 directamente hacía una colina, cuyo ángulo de elevación es α ¿cuál será el R ángulo respecto de la horizontal al que deberá v0 apuntarse el cañón, para obtener el mayor θ α alcance R posible a lo largo de la colina? Solución: Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 15
  16. 16. Cuaderno de Actividades: Física I θ / Rmáx =? τ → x, y → P: y ≡ a + bx + cx2 y P R θ r v (0) α 0 x x: MRU x(t) ≡ x(0) + vx (0) t → x ≡ 0 + v(0) cosθ t …. (1) y: MRUV r g 2 y(t) ≡ y(0) + vy (0) t – (1/2)g t2 , g = 10, → y ≡ 0 + v(0) senθ t − t …. (2) 2 De (1): x t= …(1’) v ( 0 ) cos θ x 1 x2 1’ → 2: y ≡ v ( 0 ) senθ − v ( 0 ) cos θ 2 v 2 ( 0 ) cos 2 θ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 16
  17. 17. Cuaderno de Actividades: Física I   g  2  P: y ≡ { tgθ} x −  2 x   2v ( 0 ) cos θ  2  P – P: xp ≡ Rcosα yp ≡ Rsenα → Rsenα ≡ {tgθ} Rcosα - g R2cos2α 2v2(0)cos2θ 1   gR 2 cos 2 α   Rsenα ≡ (tgθ ) R cos α − 2  R cos α   2v ( 0 ) cos θ  2  gR (θ ) cos α tgα ≡ tgθ − ...( I ) 2v 2 ( 0 ) cos 2 θ d g cos α d  R(θ )  : 0 = sec 2 θ − 2   dθ 2v ( 0 ) dθ  cos 2 θ  }0 dR cos 2 θ + R { 2 senθ cos θ } d  R ( θ )  dθ  = dθ  cos 2 θ  cos 4 θ g cos α  2 Rsenθ  0 = sec 2 θ −  cos3 θ  2v 2 ( 0 )   g cos α tgθ 0 = 1− R v2 ( 0) v2 ( 0) R≡ ...( II ) g cos α tgθ II → I g cos α v2 ( 0) tgα ≡ tgθ − x 2 v 2 (0) cos 2 θ g cos α tgθ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 17
  18. 18. Cuaderno de Actividades: Física I sec 2 θ 2tg 2θ − sec 2 θ tgα ≡ tgθ − ≡ 2tgθ 2tgθ tg 2θ − 1 1 tgα = ≡− = −ctg 2θ 2tgθ  2tgθ   tg 2θ − 1    −tgα = ctg 2θ π  π α ctg  + α  = ctg 2θ ⇒ θ = + 2  4 2 jj) Movimiento Circular, MC La trayectoria será de una circunferencia. Y t n R t s θ x t=0 0 La descripción del MC se realiza frecuentemente usando las variables s o θ, esto es, usando variables lineales o angulares. k) Cantidades Cinemáticas del MC l) Posición m) Lineal: s= s(t) mm) Angular: θ =θ(t) Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 18
  19. 19. Cuaderno de Actividades: Física I mmm) Relación: s= Rθ ll) Velocidad m) Velocidad Lineal, v=vt La llamada velocidad tangencial es la velocidad definida en las cantidades cinemáticas iniciales, se relaciona con s mediante la rapidez, r r r ds v = vt → v = dt mm) Velocidad Angular, ω Describe los cambios de θ respecto del tiempo. Se define de la siguiente forma, dθ r r r ω= → ω = r × vt u[ω]= rad/s dt mmm) Relación entre | v| y ω r vt = ω R lll) Aceleración m) Aceleración, a El vector aceleración suele descomponerse en dos direcciones adecuadas, tales como la radial y la tangencial, resultando, r r r  vt2  d 2s  a = ar + at =   en +  2  et ˆ ˆ R  dt  Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 19
  20. 20. Cuaderno de Actividades: Física I A la componente radial de la aceleración se le denomina aceleración centrípeta, acp. mm) Aceleración Angular, α Describe los cambios de la ω respecto del tiempo, r r dω α= u[α]= rad/s2 dt mmm) Relación entre at y α at = α R kk) Tipos de movimientos Circulares Al igual que en el caso de los MR podrían ser MCU, MCUV o generales. ¿? De 5 ejemplos concretos de movimientos circulares. ¿? Los planetas hacen MC. jjj) Movimientos Planares Generales: Coordenadas Polares (r,θ) Este sistema se usa para describir movimientos planares (→ MC). En particular es usado para los movimientos planetarios. y t y ˆ eθ ˆ er r j θ i x x Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 20
  21. 21. Cuaderno de Actividades: Física I ˆ r, er ˆ θ, eθ { r ,θ , er , eθ } ˆ ˆ { } ↔ x, y, i , ˆ ¿? ˆ j x = r cos θ  r ≡ r ( t )  y = r s enθ θ ≡ θ ( t ) ( ) er = er i , ˆ  e ≡ cos θ i + senθ ˆ ˆ ˆ ˆ j  ˆ r ˆ j  ˆ ˆ ˆ j( ) eθ = eθ i , ˆ  eθ ≡ − s enθ i + cosθ ˆ  ˆ ˆ j k) Cantidades cinemáticas en (r,θ) r l) r r r = r( t) r ( r , θ) = r er ˆ er = er ( t ) ˆ ˆ r ll) v r ˆ r dr d (rer ) v≡ ≡ ˆ& ≡ rer + r (er ) &ˆ dt dt d d dt ˆ& er ≡ (er ) ≡ ˆ { dt cos θ i + senθ ˆ ˆ j } & { ≡ θ − senθ i + cos θ ˆ ˆ j } &ˆ er = θ eθ ˆ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 21
  22. 22. Cuaderno de Actividades: Física I r v ( r , θ) ≡r er +rθ eθ &ˆ &ˆ r iii) a r r dv d a≡ ≡ dt dt &ˆ { &ˆ rer + rθ eθ } ≡ &&ˆr + r (er & + (rθ & eθ + rθ (eθ & re & ˆ ) {&) ˆ & ˆ ) { { re & & ˆ & & ˆ &&ˆ & ˆ ≡ &&ˆr + rθ eθ + rθ eθ + rθ eθ − rθ 2 er r { } a ( r , θ) ≡ && −rθ2 er + rθ +2rθ eθ r & ˆ && && ˆ { } ¿? Aplicación de las coordenadas polares al movimiento planetario. ¿? En particular el movimiento de la Tierra es problema CAOS. Leer “El reloj de Newton”. kk) Movimiento Circular en (r,θ) r ≡ R ≡ cte! r r i) r ≡ rer → r ≡ R ≡ cte r ii) v ( r , θ ) ≡ rθ eθ → vt ≡ ω R,θ& = w &ˆ r iii) a ( r , θ ) ≡ −rθ er + rθ eθ &2 ˆ &&ˆ { { } && ˆ { { { & ˆ { ≡ Rθ eθ + Rθ 2 { −er } } ˆ ˆ ≡ atT + an N { { r r r at an ≡ acp Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 22
  23. 23. Cuaderno de Actividades: Física I S1P17) Una partícula se mueve en un plano sobre una trayectoria dada por r = 10 µ r y θ = 2π t , en donde r está en metros, θ en radianes y t ˆ en segundos, a) Describa el movimiento, b) Halle el vector velocidad V = dr / dt por derivación directa de r , c) Como la distancia sobre la trayectoria es s = rθ, halle la celeridad hallando ds/dt. ¿Tiene el mismo valor que el módulo de V hallado en la parte (b)?, d) Halle el vector aceleración a en función de los vectores unitarios µ r y µθ . ˆ ˆ Solución: r r ≡ 10 µr , µ r = er ˆ ˆ ˆ θ = 2πt a) r ≡ 10 → R ≡ 10 → MC r r dr r d b) v= → v = { 10er } = 10(er ) = 10θ eθ ˆ ˆ& &ˆ dt dt r r v ≡ vt ≡ 20π eθ ˆ c) MC: s, variable lineal! s → vt → at θ, variable angular θ, → ω → α MC ≡ MC (variables lineales, v angulares) s≡θR vt ≡ ωR at ≡ αR ds & ≡ s ≡ Rθ ≡ 10 x 2π ≡ 20π & dt r r d) a ≡ a ( r ,θ ) … Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 23
  24. 24. Cuaderno de Actividades: Física I r { && & ˆ } && { a ( r , θ) ≡ r −rθ2 er + rθ +2rθ eθ && ˆ } , µ r = er y µθ = eθ ˆ ˆ ˆ ˆ S1P11) Un punto M tiene durante su movimiento dos y ˆ eθ M ˆ er velocidades constantes en modulo. La primera permanece siempre perpendicular al eje X y la segunda perpendicular al radio vector. Halle la V2 r V1 ecuación de la trayectoria si parte del punto (r0, θ0) y calcule la aceleración de M. θ 0 x Solución: y ˆ eθ ˆ er M V1r θ v1θ V2 V1 θ x a) Ec τ / t ≡ 0 : (r0, θ0)? b) aM ≡ ? -------------------------------- a) Descomponiendo las velocidades en el sistema polar, tenemos Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 24
  25. 25. Cuaderno de Actividades: Física I r r vM ≡ v ( r , θ ) ≡ −v1senθ er − { v1 cos θ + v2 } eθ ˆ ˆ Ahora, comparando componentes, r v ( r , θ ) ≡ rer + rθ eθ &ˆ &ˆ r : r ≡ −v1senθ & … (I) & θ : rθ ≡ −v1 cos θ − v2 …(II) dr dr dθ dr & En I aplicando regla de la cadena: r ≡ & ≡ ≡ dt dθ dt dθ ( ) θ & Despejando θ de II y reemplazando, dr  −v1 cos θ − v2  r≡ &   ≡ −v1senθ dθ  r  Separando variables para poder integrar, 1 dr d v senθ ≡ { ln r} ≡ 1 r dθ dθ v1 cos θ + v2 d   v1senθ  ∫ : ∫  dθ { ln r} dθ ≡ ∫  v cos θ + v    1 dθ 2 ln(r ) = − ln { v1 cos θ + v2 } + c Aplicando ci para determinar c: ln(r0 ) + ln { v1 cos θ 0 + v2 } = c c = ln  r0 { v1 cos θ 0 + v2 }     v cos θ 0 + v2  r ≡ r0  1  → ( r ,θ ) → τ  v1 cos θ + v2  b) Para la a de M, r { } a ( r , θ) ≡ r −rθ2 er + rθ +2rθ eθ && & ˆ && && ˆ { } Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 25
  26. 26. Cuaderno de Actividades: Física I c % r ≡ ? → r (θ ) ≡ & , c ≡ ec % v1 cos θ + v2 & & r ≡ f (θ )θ → θ ≡ ? & De II,  v cos θ 0 + v2  & & rθ ≡ r0  1 θ ≡ − { v1 cos θ + v2 }  v1 cos θ + v2  θ& ≡ g (θ ) → r ≡ f (θ ) g (θ ) ≡ r (θ ) & & && && r ≡ &&(θ ), θ ≡ θ (θ ) && r r r a ≡ a (θ ) iii) Movimientos Espaciales: Caso General Los casos generales de movimiento podrían considerarse en el espacio. Por muy complicado que parezca siempre es posible, usando el Principio de Superposición, expresarlo en función de movimientos mas sencillos, de ello ya hemos revisado algunos casos, por ejemplo, MP → {MRU}x + {MRUV}y M Helicoidal → {MRU}z + {MC}xy M Cicloidal → {MRU}xy + {MC}xy ¿? Podría indicar 3 casos similares. Cree que es un tema de simetría. La descripción del movimiento debe efectuarse usando un sistema de coordenadas que comparta la simetría del movimiento. → x, y, z Rectangulares → r, θ Polares → ρ, φ, z Cilíndricas → r, θ, φ Esféricas → s Coordenada de sobre la curva, vectores tangencial, normal y binormal. De no ser así, el desarrollo también ya se ha descrito, r r r r r r a ≡ a ( t ) → v ≡ ∫ adt → r = ∫ vdt Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 26
  27. 27. Cuaderno de Actividades: Física I r r r a ≡ a( v) r r r técnicas de ∫ a ≡ a( r)  Regla de la cadena  Diferencial exacta  Cambio de variable Sistema de coordenadas sobre la curva Es el sistema general. Este sistema que “viaja” con el móvil, está definido por la ˆ llamada coordenada sobre la curva s, y los vectores, T , tangente unitario, N ,ˆ ˆ normal principal, y B , binormal, los cuales son mutuamente perpendiculares. r r i) r ≡ r ( t ) r ˆ ˆ ˆ r ii) v ≡ vT , T : u en la dirección de v r iii) a ≡ ? r r dv d a≡ ≡ dt dt ˆ &ˆ { } vT ≡ vT + vT & ˆ & r ˆ T ≡? ˆ ˆ & dT dT ds ˆ T≡ ≡ dt ds { dt v ˆ T: tangente unitario ˆ T =1 2 ˆ T =1 ˆ ˆ T .T = 1← derivando respecto a s Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 27
  28. 28. Cuaderno de Actividades: Física I ˆ Tˆ ⋅ dT = 0 ds P O R=ρ Tˆ Tˆ 1 k≡ : curvatura ρ   r   dT   ˆ  &ˆ a ≡ vT + v v     ds  {  kN   ˆ  r v2 ˆ &ˆ a ≡ vT + N ; ρ ≡ R: radio de curvatura R ¿? Que información da la binormal. ¿? Podría construir ecuaciones para el radio de curvatura. Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 28
  29. 29. Cuaderno de Actividades: Física I S1P21) Un muchacho en A arroja una pelota B directamente a una ardilla parada sobre una rama en B. Si la rapidez h inicial de la pelota es de 16 m/s y la ardilla, en vez de asustarse, se deja A 5.5 m caer del reposo en el instante en que se lanzo la pelota, demuestre que la 1.5 m ardilla puede atrapar la pelota y determine la longitud h que la ardilla 10 m cae antes de hacer la captura. Solución: B h g H2 - H1 v(0) C y A θ H2 x H1 A’ D t ≡ 0: Pelota en A y Ardilla en B r v ( 0) “directamente” hacia B: D H 2 − H1 cosθ ≡ tgθ ≡ → { } 1/ 2 D 2 + [ H 2 − H1 ] 2 D Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 29
  30. 30. Cuaderno de Actividades: Física I Sea t: Pelota en C y ardilla en C Usando xy en A: Para la pelota, x p ( t ) ≡ 0 + v px ( 0 ) t ≡ { v ( 0 ) cosθ } t ≡ D D →t ≡ v ( 0 ) cos θ 2 g  g { y p ( t ) ≡ H1 + v py ( 0 ) t − t 2 ≡ H1 + v ( 0 ) senθ × 2 }D −   D   v ( 0 ) cosθ 2  v ( 0 ) cosθ    gD 2 gD 2 ≡ H1 + Dtgθ − ≡ H 1 + ( H 2 − H1 ) − 2v 2 ( 0 ) cos 2 θ  D  2   2v 2 ( 0 ) ×  1/ 2  { }    yp ( t ) ≡ H2 − { g D 2 + [ H 2 − H1 ] 2 } 2v 2 ( 0 ) 1 Para la Ardilla, y A ( t ) ≡ H 2 + { 0} t − gt 2 2 2     2   1   D   1  D   ≡ H2 − g ×   ≡ H2 − g   2  v ( 0 ) cosθ    2     v ( 0) ×  D   2 { } 1/ 2     D + [ H1 − H 2 ] 2      yA ( t ) ≡ H 2 − { g D 2 + [ H 2 − H1 ] 2 } 2v 2 ( 0 ) a) Como en t y p ( t ) ≡ y A ( t ) → la ardilla puede coger la pelota! Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 30
  31. 31. Cuaderno de Actividades: Física I b) h ≡ H 2 − yA ( t ) ≡ { g D 2 + [ H 2 − H1 ] 2 } ≡ 10 × { 10 2 + 42 } ≡ 2,3 2v ( 0 ) 2 2 × 16 2 h ≡ 2,3 S1P) La aceleración de un móvil, en función de su posición, está dada por: a(x) = 3x – 2x3; para t = 0 se cumple que x = 0 y v = 0. Halle: (a) su velocidad cuando x = 0,5, (b) su posición cuando su velocidad es máxima, (c) la aceleración para esta velocidad máxima. Solución: a ( x ) ≡ 3x − 2 x3 , t ≡ 0: x ≡ 0∧v ≡ 0 a) v ≡ v ( x ≡ 0,5 ) b) x / vmax ∧ c) a / vmax ? dv dv dx dv d 1  a ( x) ≡ ≡ ≡ v ≡ 3 x − 2 x3 ≡  v 2  dt dx dt dx dx  2  1 3 1 → ∫ : v 2 ≡ x 2 − x 4 + c  v 2 ≡ 3 x 2 − x 4 → v ≡ ± 3 − x 2 x c.i . → 2 2 2 2  a) v x ≡ 1 1 1 11   ≡ ± 3−  ≡±  2 2 2 4 b) d dv dv 3x − 2 x3 3 − 2x2 3 : 2v ≡ 6 x − 4 x → 3 ≡ ≡ ≡ 0 → x ≡* ± dx dx dx ± 3 − x 2 x ± 3 − x 2 2 Aparentemente, el movimiento se realiza desde x=0 hasta x≡+ 3 regresando a x≡0 y permaneciendo allí ∀ t posterior. Este problema es Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 31
  32. 32. Cuaderno de Actividades: Física I inconsistente desde su planeamiento: t ≡ 0, a ≡ 0, v ≡ 0 ∧ x ≡0?! Si se le da cierta v (0) ≠ 0 , → xMAX ≡ + 3 2 ∨− 3 2 * La partícula “mágicamente” se empieza a mover hacia la derecha (+)s ∨ hacia la izquierda (-)s. ** ¿? Analizar mediante gráficos.  3 3 3 3 c) a x ≡  ≡ 3× −2× × ≡0→a≡0  2 2 2 2 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 32
  33. 33. Cuaderno de Actividades: Física I y 2.- La figura adjunta representa a un -gsenα campesino irrigando un sistema de andenes, α r indicados por rayas horizontales, separados 3 v0 g x m; la pendiente del cerro esta dado por α = 30º : P a) El campesino desea averiguar cuantos A andenes podrá irrigar con v0 = 15 m/s y β R variando de 30º a 45º.Considere que el primer andén dista 3 m de “0”. β b) Encuentre el valor de β que nos permita α irrigar el máximo número de andenes. ¿Cuál 0 x  es ese número máximo?. Tome g = -10  m/s2. j SOLUCION: g P : y ≡ { tgθ } x − x2 ← θ ≡ β 2v( 0 ) cos θ 2 2 y : y ≡ { tgα } x → x →≡ k cos α , y ≡ ksenα g ( ) R P : P ≡ L : R senα ≡ { tg β } ( R cos α ) − R cos 2 α R 2v(20 ) cos 2 β senβ cos α cos β g cos 2 α senα ≡ − 2 R cos 2 β 2v ( 0 ) cos 2 β g cos 2 α senβ cos α − cos β senα R≡ ≡ sen { β − α } 2v 2 ( 0 ) cos 2 β cos β  2v 2 ( 0 )    R≡  cos β sen { β − α } ..…(ρ)   g cos α  2  dR  − senβ sen { β − α } + cos β cos { β − α }    → ≡C  dβ   cos { 2 β − α }   Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 33
  34. 34. Cuaderno de Actividades: Física I dR π π ≡ cos { 2β − α } ≡ 0 → 2β − α ≡ ≡ 60º ≡ dβ 4 3 b) de lo anterior β ≡ 60º 2 × 152 1 1 15 × 15 R≡ × × ≡ → R ≡ 15 En (ρ) : 3 2 2 15 510 × 4 ∴ Podrá irrigar 5 ANDERES a) En (ρ) usando β ≡ 45º 2 × 152 1 R≡ × × 0,26 ≡ 11,1 → R ≡ 11,1 3 2 10 × 4 ∴ Solo podrá irrigar 3 ANDERES * Hacer la variante de calcular R con x’ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 34

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