Cuaderno de Actividades: Física II10)                  OSCILACIONES                     ELECTROMAGNÉTICAS10.1) Circuitos L...
Cuaderno de Actividades: Física II                                           1     π        1                         q ...
Cuaderno de Actividades: Física II2ª Ley de Kirchoff :  q    di−   − L − Ri ≡ 0               ← q ≡ q( t)  C    dt&&  R ...
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Cuaderno de Actividades: Física II                             qDe ( 1) en ( 2 ) : − R2 q −                        &      ...
Cuaderno de Actividades: Física II                                              t           ε     − 1                   ...
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Cap 10 osc em 187-198

  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física II10) OSCILACIONES ELECTROMAGNÉTICAS10.1) Circuitos LC De la 2ª Ley de Kirchhoff : q0 − q −L di ≡0 i( t) C dtC 1 → q + Lq& ≡ 0 & C 1 →q+&& q ≡0 LCEsta ecuación ya se ha encontrado en la mecánica clásica.Simetría conMovimiento Oscilatorio,MAS : kmx + kx ≡ 0, ω 2 ≡ && mx ( t ) ≡ Asenωt + } { δ k m PE 0 x x • Simetrías MECANICA ⇔ ELECTROMAGNETISMO x ⇔ q k ⇔ C −1 , 1 C m ⇔ LLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 187
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física II  1 π 1 q ( t ) ≡ q0 sen  t + , ω2 ≡  LC 2 LC  1   1 π i ( t ) ≡ q0   cos  t+   LC   LC 2 2π T≡ ≡ 2π LC ω10.2) Circuitos RLC en serie t ≡0 t >0 C L R i ≡ i( t) "⊕" f ≡ bv k m PE Fr m 0 x xLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 188
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física II2ª Ley de Kirchoff : q di− − L − Ri ≡ 0 ← q ≡ q( t) C dt&&  R  & 1 Cq +  q +   q ≡ 0 L   L  −R t q ( t ) ≡ q (0)e 2L sen { ωt +ϕ} 1 Rω ≡ { ω02 − ωb2 } 1 2 ; ω0 ≡ , ωb ≡ LC 2L "⊕" f ≡ bv k2ª Ley de Newton : mFR ≡ − kx − bv ≡ ma − bt b k → && + x + x ≡ 0 → x ( t ) ≡ Ae 2 m sen { ωt + ϕ} x & m m k b ω 2 ≡ { ω02 − ωb2 } , ω0 ≡ , ωb ≡ m 2m MECANICA ⇔ ELECTROMAGNETISMO b ⇔ R m ⇔ L k ⇔ C −1 , 1 CLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 189
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física II*La masa inercial, m, se relaciona con L pues las dos tiene carácter opositor.*Si k es muy grande la deformación, x, es pequeña, a mayor k menor x;análogamente, si el C es grande se tendría gran carga, q, por eso k se -1relaciona con C .S6P8) El circuito mostrado tiene el condensador con carga Q.a) Halle la ED en función de q(t)b) Resuelva la EDc) Grafique q(t) e I(t)d) ¿Para que valores de resistencia la forma de q(t) será diferente? 10 Ω 45µF 8mHb=Rk = 1/ Cm=L&&  R  & 1 Cq +  q +   q ≡ 0 L   L  RwR = 2L 1w0 = wk = LCm=LPara wR < w0→ MAAPara wR = w0→ M Amortiguado CriticoLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 190
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física II R 10Para wR > w0 wR = = 2 L 2 × 8 ×10−3 1 1 w0 = wk = =→ M SobreAmortiguado LC 8 × 10−3 × 45 ×10−6 L?S6P28)En el circuito que se muestre en la figura, el interruptor S está cerrado en elinstante t = 0, produciendo una corriente i1 a través de la rama inductiva y unacorriente i2 a través de la rama capacitiva. La carga inicial en el capacitor escero y la carga en el instante t es q2.a) Deduzca lasexpresiones para i1 , i2 y q como funciones del tiempo.Exprese su respuesta en términos de ε, L, C, R1, R2 y t. Para el resto delproblema, tome los siguientes valores para los elementos del circuito: ε = 48 V,L = 8,0 H, C =20 µF, R1 = 25 Ω y R2 = 5000 Ω,b) ¿Cuál es la corriente inicial a través de la rama inductiva? ¿Cuál es lacorriente inicial a través de la rama capacitiva? c) ¿Qué valores tienen lascorrientes a través de la rama inductiva y de la rama capacitiva un tiempogrande después de que el interruptor ha sido cerrado? ¿Qué se puedeconsiderar como un “tiempo grande”? Explique su respuesta,d) ¿En qué instante t1 (exacto hasta dos cifras significativas) serán iguales lascorrientes i1 e i2 ? (sugerencia: Podría considerar el uso de los desarrollos enserie para los exponenciales) e) Para las condiciones dadas en d) determine i1,f) La corriente total a través de la batería es i = i 1 + i2 ,¿En qué instante t2(exacto hasta dos cifras significativas) será igual a la mitad de su valor final? + ε s R1 LSolución: R2 Ct = 0 : s ↓, q ( 0 ) = 0, ε = 48, L = 8, C = 20 µ , R1 = 25 ∧ R2 = 5k di1a ) De la 2da LK :1) + ε − R1i1 − L =0 dt q di 2) − R2i2 − + L 1 + R1i1 = 0 ← q = i2 & C dtLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 191
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física II qDe ( 1) en ( 2 ) : − R2 q − & + ε = 0 ( ojo : malla externa ! = ) C q ε − R2 q − = 0 { E c DiF " conocida "} & C q = ε C ( 1 − e − t / R2C ) ε − t / R2C i2 = q = & e R2De ( 1) : + ε − Li1 − R1i1 = 0 { E C DiF " conocida "}  q  ε − R2 q − C = 0   &  i + ε − Li1 − 1 = 0 1    R1   − t  1   1  L   ε  − 1  Rt i1 = ε 1 − e  1   =  1 − e L  R R1   R1       ε 48b) i1 ( 0 ) = × ( 0 ) = 0 , i2 ( 0 ) = ≈ 10−2 R1 5 × 10 3 ε 48c) i1 ( t → ∞ ) = = ≈ 2 , i2 ( t → ∞ ) = 0 R1 35t → ∞ : ?Kτ C = R2C = 5 x103 x 20 x10−6 = 0,1 L 8 τL = = = 0,32 R1 25d ) t1 = ?/ i1 = i2 t ε  − 11  Rt ε − R21C i1 ( t1 ) =  1 − e L  = i 2 ( t1 ) = e R1   R2 i i1 2 10-2 i2 0 t1 t x 2 x3Usando: e x =1+x + { + L 2! 3!Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 192
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física II t ε  − 1  Rt ε − R21Ci1 ( t1 ) = 1 − e L  = i 2 ( t1 ) = e R1   R2 1   R1   1  t1  1 − 1 − L t1   = R 1 − R C R1    2  2  R2 R1  t  x t1 = 1 − 1  R1 L  R2C R2 t 1 1 t1 = 1 − 1 → t1 = = ≈ 0, 0016 L R2C  R2 1   5 x10 3 1   +   +   L R2C   8 0,1  48  25 x 0,0016 e) i1 ( t1 ≈ 1, 6 x10−3 ) = 1 − e − −3  ≈ 9, 6 x10 8 25  f) i = i1 + i2 1 1t 2 = ?/ i ( t2 ) = i ( t → ∞ ) = x 2 = 1 2 2i ( t2 ) = i1 ( t2 ) + i2 ( t2 ) = 1i1 ( t2 ) = 1 ε  − 1 t2  R i1 ( t2 ) = 1 − e L  = 1 R1   48  − 2  t= 1 − e 0,32  =1 25      25 −0,32 ln 1 −  = t2 = 0, 24  48 S6P27) Considere un circuito RLC subamortiguado (débilmente amortiguado) se pide determinar: a) Una formula para la energía U = UE + UB almacenadas en los campos eléctricos y magnético como función del tiempo. Establecer el resultado en términos de la carga inicial Q0 del capacitor la resistencia R y la inductancia L. b) Muestre cómo dU/dt se relaciona con el cambio de energía que se disipa en el resistor. L R S CLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 193
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física IISolución:w0 > wR 1 1 1 1 q 2 1 2 q 2 Lq 2 &a ) EEM = U ≡ U E + U B ≡ C { ∆V } + LI 2 ≡ 2 + LI ≡ + 2 2 2 2C 2 2C 2 −R tq ( t ) ≡ q (0)e 2L cos { ωt − ϕ} dq  −R −Rt −R t i≡I ≡ ≡ q(0)  e 2 L cos { ωt − ϕ } − ω e 2 L sen { ωt − ϕ}  dt  2L  q 2 Lq 2 1  2 L 2   −R −R 2  t −R  L  & tU≡ + ≡ q (0)e cos { ωt − ϕ} +  q (0)e  & L 2 cos − wsen    2c 2 2c   2  L       2 −R   R2  q (0) L t 1 Rw ≡ e  cos 2 + L  2 cos 2 + cos sen + w2 sen 2   { 2 c  4L L  1 R2     − 2       LC 4 L      q 2 ( 0 ) −LR t  1 R2 U≡ e  + Rw cos sen + cos { 2 ( ωt − ϕ ) }  2 C 4L b) α) Por conservación de la E Q2 EE + EB + ER ≡ Ei ≡ 0 r r 1 24 4 3 2C Q02 Q2 Q2EEM ≡ − ER ≡ 0 − ∫ { Ri 2 } dt ≡ 0 − ∫ Rq 2 dt & 2C 2C 2C d→ EM ≡ 0 − dt d dt ∫ { } Rq 2 dt ≡ − Rq 2 & & d→ EM ≡ − Rq 2 & dt β) Usando la Ec DIF q2 1 2 EM ≡ U E + U B ≡ r r + Lq & 2c 2    1  −R  &d 2 qq 2 Lqq & &&& EM ≡ + ≡ Lq  q + & && q  ≡ Lq  q  ≡ − Rq 2 & &dt 2C 2  1 24 4 3LC   L    2La EM disminuye y lo hace disipando energía a través de la R. (RI !)Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 194

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