Cuaderno de Actividades: Física II           11) CORRIENTE ALTERNA11.1) Generadores                       6θ 8          ...
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Cap 11-ca 205-231

  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física II 11) CORRIENTE ALTERNA11.1) Generadores  6θ 8   7 ε ≡ ε ( t ) ≡ ε m sen ωt + ϕ      ⇒ CORRIENTES ALTERNASSe pueden producir con un sistema debobinas en la región de B debido a inducción Faraday.**La f.e.m. alterna la circulación de las corrientes.11.2) Circuitos resistivos, capacitivos e inductivosi) Circuito Resistivo i = i( t) = ? ε ( t ) ≡ ε M sen { ωt} ε( t) 2ªLey de Kirchhoff : ε - Ri ≡ 0 ε εM i( t) ≡ ≡ sen { ωt} ≡ I M sen { ωt} R R ε i ( t ) ≡ I M sen { ωt} → I M = M Rε ( t ) ≡ ε M sen { ωt} ⇒ i ( t ) ≡ I M sen { ωt} 205Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física II→ FASE : ε (≡ v) − iUSANDO FASORES ( =“VECTORES”), para describir lasrelaciones v-i ω v( t) VM t i( t) IM θLos FASORES son especies de vectores de intensidad igual a los valoresmáximos (o valores pico) de las CF asociadas. Se les representa girando confrecuencia angular ω en un plano, de tal manera que los valores instantáneosde las CF se obtienen mediante su proyección en el eje vertical.Para el circuito resistivo:ε ( t ) ≡ v (t ) = ε M sen { θ } = ε M sen { ω t} i ( t ) ≡ I M sen { θ } ≡ I M sen { ω t}Graficando las ecuaciones para v(t) y i(t) 206Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física IIii) Circuito Capacitivo De 2ªLey de Kirchhoff :ε( t) q ε - ≡0 Cε ( t ) ≡ VM sen { ωt} ⇒ q ≡ CVM sen { ωt} dq ⇒i ≡ ≡ ωCVM cos { ωt} dt→ i ( t ) ≡ ωCVM cos { ωt}  π  π i ( t ) ≡ I M sen ω t +  i ( t ) ≡ ωCVM sen ωt +   2  2  1  I M ≡ { ω C} VM → VM ≡   IM ⇒ VM ≡ X C I M  ωC  1 XC ≡ , X C : Re acatrancia ωC CapacitivaCon lo que las ecuaciones para V e i, resultan,  πε ( t ) ≡ v (t ) = VM sen { ω t } i ( t ) ≡ I M sen ω t +   2Como puede apreciarse de las ecuaciones v(t) e i(t), la corriente en el capacitoradelanta en (π/2) al voltaje, en el “lenguaje” de fasores tendríamos la siguienterepresentación, VM IMDe igual forma en el “lenguaje” grafico, las curvas v-i muestran el mismoadelanto de la corriente frente al voltaje, 207Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física IIiii) Circuito Inductivo i ≡ i( t) = ? De la 2ªLey de Kirchhoff : di ε( t) ε - L ≡0 dt  πε (t ) = v ( t ) ≡ VM sen { ωt} i ( t ) ≡ I M sen ωt −   2En la ecuación de corrientes, VM IM ≡ → VM ≡ { ω L} I M ωL VM ≡ X L I M ⇒ X L ≡ ω L X L : Re ac tan cia inductivaLas ecuaciones v(t) e i(t) asociadas muestran, ahora, un retraso de (π/2) de lacorriente frente al voltaje,  πε (t ) = v ( t ) ≡ VM sen { ω t } i ( t ) ≡ I M sen ω t −   2Este retraso es claramente descrito por los fasores, VM IM 208Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física IILa información contenida en la gráfica V-t muestra claramente este retraso dela corriente, iv)Observacionesj) Grafico de reactanciasLa influencia opositora de la resistencia, R, y de las reactancias χc y χL, enfunción de la ω, R ≠ R (ω ) 1 XC ≡ ωC X L ≡ ωLjj)Corriente y voltaje eficaz,Ief, VefLas cantidades eficaces son cantidades que representan al circuito de CA, sedeterminan usando criterios energéticos, como por ejemplo, a un circuitoresistivo puro de CA, se le asocia otro de CC de tal forma que la potenciadisipada por R sea la misma, PI Pi i(t) R 209Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo I
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física II  π  πi ( t ) ≡ I M sen ω t +  ≡ I P sen ω t +   2  2I P ≡ I " pico " o max imaCuando la potencia generada por el circuito alterno es igual a la potencia delcircuito continuo, I=Ief. Se encuentra experimentalmente que la corriente i(t)genera la mitad de potencia que Im ( o Ip), 1 IPi( t ) ≡ PI P ≡ PIe f → I e f ≡ P 2 2 VPRazonamiento análogo conduce a, Vef ≡ 211.3) Circuitos RLC en serie i ≡ i( t) = ? De la 2da de Kirchhoff, i( t) R ε(t) q diε( t) i ε ( t ) − Ri − −L ≡0 C dt C R 1 →q+ q+ && & q ≡ ε ( t) L LC L → resolviendola E C Diferencial...Resolviendo usando Fasores…El diagrama de fasores se muestra en la siguiente figura, 210Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física II ( VL − VC ) 2 + VR2 ≡ VM , ← VM = V0 2 y con las E CS , VL = χ L I M , VC = χ C I M y VR = RI M→ {( χ L 2 2 } − χ C ) + R 2 I M = VM F 2 1Definiendo : Z = {( χ L − χC ) + R 2 2 } 2 Z :Im pedancia del circuito deCA → VM = ZI M → Vef = ZI ef VM → IM = ZCon lo que si,v ( t ) ≡ VM sen { ω t} → i (t ) ≡ I M sen { ω t − φ }Donde φ , χ L − χC tan(φ ) = RDepende de la intensidad de los χs, X L Xc X L = Xc X L Xc R R R R X L X* L X *C X C X* La tensión total La tensión total Tensión total y estará adelantado estará retrasado corriente menos de 90 grados menos de 90 grados en fase respecto a la respecto a la corriente corriente X L X C R X L Φ Z X* L R X *c Φ Z R X C X C X LObservaciones: i) Usando el plano complejo Supongamos que la impedancia, Z, se defina sumando complejamente R y las χ s, 211Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física IIZ = R + χC + χ Ltransformando a impedancias complejas,→ Z R ≡ R, Z C ≡ − χ C i y Z L ≡ χ L i→ Z = Z R + ZC + Z C ≡ R + ( χ L − χ C )iEsto es, si consideramos a las Zs, fasores en un plano complejo, 1 { } n ( χ L − χC ) + R 2 → Z = ∑ Zi ? 2→Z = Z = 2 i =1ii) Circuitos RLC en paraleloLa Z del circuito se obtendrá usando fasores de corriente, puesto que ahora seaplica el mismo voltaje a todos los Zs, IC IM VM IR IL 212Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física II 1 VM  VM   VM VM   2 2 2   =   + −   Z  R   χ C χ L     1 1  1   1 1   2 2 2   → =   +  −   Z  R   χ C χ L    También podríamos asumir impedancias en paralelo, usando1 1 1 1 1 1 ( χ L − χC ) i = + + → = +Z R − χC i χ Li Z R χC χ L 1 χC χ L + R ( χ L − χC ) i RχC χ L→ = →Z = Z RχC χ L ( χC χ L + R ( χ L − χC ) i ) R χC χ L ( χC χ L − R ( χ L − χC ) i )→Z = ( χC χ L ) +  R ( χ L − χC )  2 2   1 1  1   1 1   2 2 2   1 n 1→ =   +  −   → =∑ ? Z  R   χ C χ L   Z i =1 Zi  11.4) Potencia de un circuito de CAi) P instantanea,P(t) P ≡ v ( t ) i (t )P ≡ VM sen { ω t}   I M sen { ω t − φ }  ...   → P ≡ VM I M sen { ω t} sen { ω t − φ}ii) P Media, PMPm ≡ P(t ) T 1P ≡ VM I M sen 2 { ω t} cos { φ } − sen { 2ω t} sen { φ} 2→ P ≡ VM I M sen { ω t} sen { ω t − φ} 1→ sen 2 { ω t} ≡ ∧ sen { 2ω t} ≡0 T 2 T 213Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física II T T 1→ sen { ω t} 2 ≡ ∫ sen { ω t} dt ≡ 2 ∧ sen { 2 ω t} ≡ ∫ sen { 2 ω t} dt ≡ 0 T 0 2 T 0 1→ P ≡ VM I M cos { φ } ≡ Vef I ef cos { φ } 2→ Pm ≡ I ef R ? 2Al factor cos(φ) se le llama FACTOR DE POTENCIA, describe la influencia delas impedancias (reactancias) sobre la Pm.11.5) ResonanciaEs un fenómeno en donde la I de un circuito de CA alcanza su valor máximo(CCA serie, por ejemplo). Este valor extremo se alcanza bajo la condición, 1 ωres ≡ LCEn general: VefI ef ≡ ≡ I ef (ω ) 2  1  R2 +  ω L −  ωC  Pm ≡ I ef R 2 2        Vef   Vef2 Rω 2  Pm ( ω ) ≡   R → Pm ( ω ) ≡  2  R ω + L ( ω − ωres )  2 2 2 2 2 2  2  1      R +  ω L − ωC      La grafica Pm-ω muestra la dependencia con ωres. A dicha frecuencia elcircuito se comportará como resistivo puro, ya que los efectos capacitivos einductivos se anulan mutuamente. 214Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física II ∆ωEn las curvas de Pm se define el factor de calidad, Q0, el cual se vincula a R, ωres Q0 ≡ ∆ωDonde ∆w se mide amedia altura,Pm = (Pm,max /2)¿Es curioso o no que enlos circuitos en paralelose obtenga? 215Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física IISon dispositivos (maquinas eléctricas) que permiten controlar voltajes alternos,así como impedancias, usando inducción Faraday. Están constituidosbásicamente por dos enrollados y un entrehierro como indica la figura, Primario Secundario εp − Np ε s − Ns Rp RsAplicando inducción Faraday a ambas bobinas, primaria y secundaria, d φB , p ε p ≡ Np ...1 dt d φB , s ε s ≡ Ns ...2 dtDe las ecuaciones 1 y 2 y asumiendo un entrehierro altamente colector de B(ferromagnético), dφB , p dφB , s ≡ dt dtEntonces, en la aproximación de transmisión de flujo ideal, εp Np ≡ ε s NsEsta expresión puede, por supuesto, extenderse a los V p (voltaje pico) o Vef ,debido a que la señal en el secundario tiene la misma frecuencia que la delprimario, ε p N p V pp Vefp ≡ ≡ ≡ ε s N s V ps VefsAhora, asumiendo caso ideal para la potencia, esto es, la Pp ≡ Ps , 216Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física II Pp ≡ V p I p ≡ Ps ≡ Vs I s → V p I p ≡ Vs I sEn los casos reales se introduce un factor de potencia,ε, Ps ≡ ε Pp ← ε : %¿? Que importancia tecnológica tienen los transformadores.¿? Que tipos de transformadotes existen y con que usos.¿? Podría construir un transformador no convencional y darle aplicación.11.7) Circuitos FiltroCircuitos constituidos por R, C o L, capaces de atenuar señales eléctricas enfunción de la frecuencia, es decir, pueden filtrar señales de baja frecuencia, altafrecuencia o una banda determinada de frecuencias.i) CF pasa bajasLa ganancia, g, es notable para señales de baja frecuencia.La g se define de la siguiente manera, V g ≡ s , Vs : V en la salida yVe : V de entrada VeTenemos el siguiente circuito, R1 1 2 V1 1.0kohm 1.0uF 1V 1000Hz C1 0El voltaje de salida se tomaen el condensador,de tal forma que la ganancia es, 1 Vs χ c I M wC 1g≡ ≡ ≡ ≡ Ve ZI M ( RwC ) 2 2  1  +1 R + 2   wC donde la g es casi 1 para bajas ws, como se muestra en la grafica, g 1 0 wii) CF pasa altasLa ganancia, g, es notable para señales de alta frecuencia. Title: Circu 217Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física IIUsando el mismo circuito, R1 1 2 V1 1.0kohm 1.0uF 1V 1000Hz C1 0El voltaje de salida setoma en la resistencia, de tal forma que la ganancia es, Vs RI M R 1 g≡ ≡ ≡ ≡ Ve ZI M  1  2  1  2 R + 2  1+    wC   RwC observamos que la g es casi 1 para altas ws, como se muestra en la grafica, g 1 0 w¿? Es posible construir otros circuitos filtro usando L.¿? Como se construiría un circuito pasa banda, (w1, w2).¿? Si estos CF son pasivos, cuales son los activos.¿? Aplicaciones tecnológicas del los CF. Title: CAplicaciones:S6P5) Un generador de ca y frecuencia variable se conecta a un circuito LCR serie con R = 1 kΩ, L = 50 mH y C = 2,5 µF. a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito? b) ¿Cuál es el valor de Q? c) ¿A qué frecuencia el valor de la potencia media suministrada por el generador es la mitad de su valor máximo?SOLUCION: a) CA, RCL ene serie: R ≡ 103 , C ≡ 2,5 × 10−6 y L ≡ 50 ×10−3 1 1 w0 ≡ wres ≡ ≡ ≡? LC ( 50 ×10−3 ) ( 2,5 ×10−6 ) 1 b) y c) Q ≡ ? y ws ≡ ? / Pm ( w) ≡ Pm ,max 2 El factor de calidad Q, se obtiene por, 218Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  15. 15. Cuaderno de Actividades: Física II wres χ L ( wres ) Lwres Q≡ ≡ ≡ ≡? ∆w R R donde, ∆w es el ancho de frecuencias a media altura, como muestra la figura, ∆w ≡ w2 − w1 , Pm Pm,max (1/2)Pm,max 0 w w1 wres w2 1 ∆w ≡ ?, w1 ∧ w2 ≡ ? / Pm ( w1 ) ≡ Pm ( w2 ) ≡ Pm ,max 2 yendo a la ecuacion de Pm − w , e imponiendo la condición de ws,  Vef2 Rω 2    Pm ( ω ) ≡  2  R ω + L ( ω − ωres )  2 2 2 2 2    Vef2 Rω 2  2   1 VefPm ( ω ) ≡  2 ≡  R ω + L ( ω − ωres )  2 R 2 2 2 2 2   RL2 ( ω 2 − ωres ) ≡ R 2ω 2 → w2 − wres ≡ ± w 2 2 2 L R Rw2 − wres ≡ ± w → w2 + w − wres ≡ 0...I 2 2 L L R → w2 − w − wres ≡ 0...II 2 L 2 2 R R R R − +   + 4wres 2 − −   + 4 wres 2 L L L LDe I : w1 ≡ ∧ w3 ≡ 2 2 2 2 R R R R + +   + 4 wres 2 + −   + 4 wres2 L L L LDe II : w2 ≡ ∧ w4 ≡ 2 2Las soluciones 3 y 4 se desestiman por ser negativas y de 1 y 2, resulta, 219Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  16. 16. Cuaderno de Actividades: Física II R w L∆w ≡ → Q ≡ res ≡ ? L Rw1 ≡ ?w2 ≡ ?S6P37) En el circuito RLC en serie de la figura, tome R = 8 Ω, L = 40 mH, C = 20 µF, la diferencia de potencial i pico de la fuente, v0 = 100 V y ν =( 200/π) Hz. R a) Deduzca la impedancia del circuito + b) ¿Cuál es el valor de la corriente? ∼ C Halle la diferencia de potencial rms a través de - c) R, C y L individualmente - L d) R y C combinados e) C y L combinadasSOLUCION: −6De los datos R ≡ 8, L ≡ 0, 04, C ≡ 20 ×10 , V p ≡ Vmax ≡ 100 y w ≡ 400 , 1a)… Z ≡ { ( χ L − χC ) + R 2 2 } 2 ≡ ...? VM 1b) De las ecuaciones, I M ≡ , χC ≡ y χ L ≡ w L, Z wC 1 1 χC ≡ ≡ ≡ 125 wC ( 400 ) ( 20 × 10−6 ) y χ L ≡ wL ≡ ( 400 ) ( 0, 04 ) ≡ 16 Calculando Z ≡ 109,3 y con Vmax ≡ 100 y R ≡ 8, I M ≡ 0,92c) Hallando los Vrms ≡ Vef , Vp c1) VM , R ≡ I M R ≡ 0,92 × 8 ≡ 7, 4 → Vef ≡ ≡ 5,3 2 Vp c2) VM ,C ≡ I M χ C ≡ 0,92 ×125 ≡ 115 → Vef ≡ ≡ 81, 6 2 Vp c3) VM , L ≡ I M χ L ≡ 0,92 × 16 ≡ 14, 7 → Vef ≡ ≡ 10, 4 2d) Ahora para la combinación RC, χ RC ≡ R 2 + χ C ≡ 82 + 1252 ≡ 125,3 2 Vp VM , RC ≡ I M χ RC ≡ 0,92 × 125,3 ≡ 115, 3 → Vef ≡ ≡ 81, 8 2e) Combinación CL, 220Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  17. 17. Cuaderno de Actividades: Física II χ LC ≡ 109 Vp VM , LC ≡ I M χ LC ≡ 0,92 ×109 ≡ 100, 3 → Vef ≡ ≡ 71,1 2 S6P25) 10 Ω En relación al circuito mostrado, a) Halle la resistencia equivalente. 150 V b) Halle corriente por la resistencia. 20 µF 5mH c) Halle la corriente por la inductancia. 60Hz d) Si se toma una señal por la resistencia ¿Es un filtro? Why. SOLUCION: Datos: ν ≡ 60, V p ≡ 150, R ≡ 10, L ≡ 5 × 10 , C ≡ 20 ×10 , −3 −6 a) La impedancia del sistema estaría dada por, 1     χ L χC   2   2 Z ≡ R2 +       ( χC − χ L )      1 Calculando para, χ C ≡ y χ L ≡ wL, wC 1 1 χC ≡ ≡ ≡132, 7 y wC ( 2π × 60 ) ( 20 × 10−6 ) χ L ≡ wL ≡ ( 2π × 60 ) ( 5 ×10−3 ) ≡ 1,9 Reemplazando en Z, Z ≡ 10, 2 V b) Usando I M ≡ M , resulta, Z 150 IM ≡ ≡ 14, 7 10, 2 c) Determinando el voltaje en el inductor, V p2 ≡ VR2 + VLC → ( 150 ) ≡ ( 10 ×14, 7 ) + VLC 2 2 2 2 → VLC ≡ 29,8 → VL ≡ χ L I L → 29,8 ≡ ( 1, 9 ) I L → I L ≡ 15, 7 d) De la ecuación para la g, V RI R w0 − w2 2 g≡ s ≡ M ≡ ≡ ... ? Ve ZI M (w ) + ( w / RC ) 2 2 2 2  χ L χC    2 −w R2 +   0  ( χC − χ L )   S6P6) Uno de los empleos de un transformador es el de ajuste de impedancias. Por ejemplo, la impedancia de salida de un amplificador estéreo se ajusta a la impedancia de un altavoz mediante un transformador. En la ecuación V1ef I1,ef = V2,ef I2,ef pueden relacionarse 221Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  18. 18. Cuaderno de Actividades: Física II las corrientes I1 e I2 con la impedancia del secundarios ya que I2 = V2/ N2 ε Z. Utilizando las ecuaciones V2 = V1 demostrar que I1 = ( N1 / N 2 ) Z 2 N1 y, por consiguiente, Zef = (N1/N2)2Z.SOLUCION:… 222Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

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