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Cuaderno de Actividades: Física II


13) Ecuaciones de Maxwell
13,1) Forma integral y diferencial
  i)    Las ecuaciones de Maxwell en el electromagnetismo

        j) Ley de Gauss para el campo eléctrico
                                                r r q
                                        φE ≡ Ñ .ds ≡ NE
                                         r
                                              ∫ E
                                             SG
                                                     εo

        jj) Ley de Ampere – Maxwell
                         r r                                       dφ E
                                                                      r

                       Ñ
                       ∫
                       C
                         B.dl ≡ µo I , I ≡ I C + I D   , ID ≡ εo
                                                                       dt
        jjj) Ley de inducción de Faraday
                                         d
                                       ε IND ≡ −
                                            φB , N ≡ 1
                                         dt
        jv) Ley de Gauss para el magnetismo
                                           r r
                                  φB ≡ Ñ .ds ≡ 0
                                        ∫B     SG
 ii)    Las ecuaciones de Maxwell “conjugadas”
                                                                                           r
                                                                                  r        E
                6444 la divergencia 8
                   Teorema de
                   r r 7444         r                                             E
                                          q
                                   {      }
                                                                     r
            E   Ñ∫
        j) φ r ≡ E.ds ≡
                SG
                             Ñ
                             V
                              ∫ ∇ ⋅ E dV ≡ NE
                                           εo
                                                                   ∇⋅E
                                                                                      SG

                                                                            qNE

                                                                                      dV
              r r       1       
            ∫   {       }
          → Ñ ∇ ⋅ E dV ≡  Ñ dV 
                             ∫ 
                        εo  V
                               ρ
            V



               r ρ
          → Ñ ∇ ⋅ E −  dV ≡ 0
            ∫            {
            V 
                     ε o  ≠0

              r ρ
          → ∇⋅E ≡
                  εo
                                                                   r
                                                            ( ∇ × B)    r
                                                                        B
                                                                                                r
                                                                                               dl
                                                                                                C


                                                                                          242
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo                                                      S
Cuaderno de Actividades: Física II

              r r       r r r
            Ñ
            ∫
        jj) C
                                        (
              B ⋅dl ≡ ∫ ∇ × B ⋅ ds ≡ µ0 I        )
                      S
            144424443
                             Teorema de Stokes



                    r r           r r
                     (             )
             → ∫ ∇× B ⋅ ds ≡ µ0 ∫ J ⋅ ds
                 S                                   S


                       r      r r
                         (
             → ∫  ∇ × B − µ0 J .ds ≡ 0
                                      )
                 S

                   r        r
             → ∇ × B ≡ − µ0 J

                       r r       d                                       r
        jjj) ε IND ≡ ∫ E ⋅ dl ≡ − φB                                     E
                     C
                                 dt

                 r r     d
             → Ñ ⋅ dl ≡ − φB
               ∫ E
               C
                         dt
              r r            r
        jv) Ñ
            ∫                       {
              B ⋅ ds ≡ ∫ ∇ ⋅ B dV ≡ 0       }                                   C
             C

            r
        → ∇⋅B ≡ 0
 iii) Forma diferencial e integral
              r ρ                                          r r q
       1) ∇ ⋅ E ≡
                  ε0                                     Ñ
                                                         ∫ E ⋅ ds ≡
                                                                    ε0
             r r                                           r r
        2)   ∇⋅B ≡ 0                                     ÑB ⋅ ds ≡ 0
                                                         ∫
                 r        r                                r r                          dφ r 
        3)   ∇ × B ≡ − µ0 J                              Ñ
                                                         ∫ B ⋅ dl ≡ µ0 I ≡ µ0  I c + ε 0 E 
                                                                                         dt 
                 dφ                                        r r      dφB r
        4)   ε ≡− B
                  dt                                     ÑE ⋅ dl ≡ − dt
                                                         ∫




13,2) Fenomenología de ondas y Ecuación de ondas
                                                                                             243
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
Cuaderno de Actividades: Física II


        i) OEM plana viajera {fenomenología}
                   y
                                                             1)
                         r                                   2)
                         E

                                     c
                    r
          z         B
                                             x
                 3) B ≡ ε 0 µ0 cE      1
                                  c ≡
                 4) E ≡ cB            ε 0 µ0




        ii) Ecuación de Ondas

           ∂2E 1 ∂2E
           3×4                               ∂2 B 1 ∂2 B
        → 2 ≡ 2 2                      ∧       ≡
           ∂x  c ∂t                          ∂x 2 c 2 ∂t 2

        iii) Ondas viajeras armónicas

                   y
                         r
                         E


                                             c

          z
                                                   x


        r
        E ( x, t ) ≡ Em sen { kx − wt + φ } ˆ
                                            j

        r
        B ( x, t ) ≡ Bm sen { kx − wt + φ } k
                                            ˆ




13,3) Transporte de energía en las OEM
        i) Densidad de energía

                                                                   244
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
Cuaderno de Actividades: Física II


             1        1 2                1 2
        u ≡ ε0E2 +        B → u ≡ ε0E2 ≡    B
             2       2 µ0                µ0
        ii) Flujo de energía, vector de Poynting
         r 1 r r          r r
         S ≡ E × B → P ≡ Ñ ⋅ ds
                         ∫S
            µ0
                            
           r        E × E   E2   ε 0E2                           W
        u S  ≡ u          ≡ u        ≡ u          ≡ u [ cu E ] ≡ 2
                    µ 0c      µ 0 c   µ 0ε 0 ⋅ c                L
                    { 
                      




                                                                            245
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

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Cap 13 242

  • 1. Cuaderno de Actividades: Física II 13) Ecuaciones de Maxwell 13,1) Forma integral y diferencial i) Las ecuaciones de Maxwell en el electromagnetismo j) Ley de Gauss para el campo eléctrico r r q φE ≡ Ñ .ds ≡ NE r ∫ E SG εo jj) Ley de Ampere – Maxwell r r dφ E r Ñ ∫ C B.dl ≡ µo I , I ≡ I C + I D , ID ≡ εo dt jjj) Ley de inducción de Faraday d ε IND ≡ − φB , N ≡ 1 dt jv) Ley de Gauss para el magnetismo r r φB ≡ Ñ .ds ≡ 0 ∫B SG ii) Las ecuaciones de Maxwell “conjugadas” r r E 6444 la divergencia 8 Teorema de r r 7444 r E q { } r E Ñ∫ j) φ r ≡ E.ds ≡ SG Ñ V ∫ ∇ ⋅ E dV ≡ NE εo ∇⋅E SG qNE dV r r 1   ∫ { } → Ñ ∇ ⋅ E dV ≡  Ñ dV  ∫  εo  V ρ V  r ρ → Ñ ∇ ⋅ E −  dV ≡ 0 ∫ { V  ε o  ≠0 r ρ → ∇⋅E ≡ εo r ( ∇ × B) r B r dl C 242 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo S
  • 2. Cuaderno de Actividades: Física II r r r r r Ñ ∫ jj) C ( B ⋅dl ≡ ∫ ∇ × B ⋅ ds ≡ µ0 I ) S 144424443 Teorema de Stokes r r r r ( ) → ∫ ∇× B ⋅ ds ≡ µ0 ∫ J ⋅ ds S S r r r ( → ∫  ∇ × B − µ0 J .ds ≡ 0   ) S r r → ∇ × B ≡ − µ0 J r r d r jjj) ε IND ≡ ∫ E ⋅ dl ≡ − φB E C dt r r d → Ñ ⋅ dl ≡ − φB ∫ E C dt r r r jv) Ñ ∫ { B ⋅ ds ≡ ∫ ∇ ⋅ B dV ≡ 0 } C C r → ∇⋅B ≡ 0 iii) Forma diferencial e integral r ρ r r q 1) ∇ ⋅ E ≡ ε0 Ñ ∫ E ⋅ ds ≡ ε0 r r r r 2) ∇⋅B ≡ 0 ÑB ⋅ ds ≡ 0 ∫ r r r r  dφ r  3) ∇ × B ≡ − µ0 J Ñ ∫ B ⋅ dl ≡ µ0 I ≡ µ0  I c + ε 0 E   dt  dφ r r dφB r 4) ε ≡− B dt ÑE ⋅ dl ≡ − dt ∫ 13,2) Fenomenología de ondas y Ecuación de ondas 243 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  • 3. Cuaderno de Actividades: Física II i) OEM plana viajera {fenomenología} y 1) r 2) E c r z B x 3) B ≡ ε 0 µ0 cE  1 c ≡ 4) E ≡ cB  ε 0 µ0 ii) Ecuación de Ondas ∂2E 1 ∂2E 3×4 ∂2 B 1 ∂2 B → 2 ≡ 2 2 ∧ ≡ ∂x c ∂t ∂x 2 c 2 ∂t 2 iii) Ondas viajeras armónicas y r E c z x r E ( x, t ) ≡ Em sen { kx − wt + φ } ˆ j r B ( x, t ) ≡ Bm sen { kx − wt + φ } k ˆ 13,3) Transporte de energía en las OEM i) Densidad de energía 244 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  • 4. Cuaderno de Actividades: Física II 1 1 2 1 2 u ≡ ε0E2 + B → u ≡ ε0E2 ≡ B 2 2 µ0 µ0 ii) Flujo de energía, vector de Poynting r 1 r r r r S ≡ E × B → P ≡ Ñ ⋅ ds ∫S µ0   r  E × E   E2   ε 0E2  W u S  ≡ u  ≡ u  ≡ u  ≡ u [ cu E ] ≡ 2   µ 0c   µ 0 c   µ 0ε 0 ⋅ c  L {    245 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo