Cuaderno de Actividades: Física II   2) CAMPO ELÉCTRICO      Y LEY DE GAUSSLic. Percy Víctor Cañote Fajardo     19
Cuaderno de Actividades: Física II                                    r2.1) Definición de campo eléctrico, E          rEl ...
Cuaderno de Actividades: Física IIEcuaciones de Ei) q                    r r             kqq0 ( r − r ′ )                r...
Cuaderno de Actividades: Física II                               r r        rρ           k ρ dv′ ( r − r ′ )        E ( rr...
Cuaderno de Actividades: Física II2.2) Lineas de fuerza, LF               ρ( rr )                                  r      ...
Cuaderno de Actividades: Física IILF para diversas distribuciones de carga                                     i) ρ ≡ q   ...
Cuaderno de Actividades: Física II                                                  Dipolo eléctrico:                     ...
Cuaderno de Actividades: Física II                  Q = ∫ ρ dv                                                            ...
Cuaderno de Actividades: Física IIEstablece la proporcionalidad entre el flujo eléctrico a través de cierta superficiecerr...
Cuaderno de Actividades: Física IILey de Gauss                                                               r r          ...
Cuaderno de Actividades: Física IIEjemplo            Z        λ                                                  dl = dz  ...
Cuaderno de Actividades: Física II2º λ → alta simetría → Gauss                        λ                        λ          ...
Cuaderno de Actividades: Física II  r r                                            qNEÑE ⋅ da ≡∫SG                  ∫     ...
Cuaderno de Actividades: Física II                                                     1                                ...
Cuaderno de Actividades: Física II                 E-                       y              ET                             ...
Cuaderno de Actividades: Física II                       Q                 Q’                0                            ...
Cuaderno de Actividades: Física II             4 π R0  ( 1 + R0 / d )                   3→ Eq0 = k ρ0      2           ...
Cuaderno de Actividades: Física IIr          −k λ0  2π  2                                   ˆ 1                        ...
Cuaderno de Actividades: Física II     da=(rdθ)dr                                    dr                  dθ        r      ...
Cuaderno de Actividades: Física II                                             ≡      { ∫ dθ } ∫ (         0          ...
Cuaderno de Actividades: Física II     r    ˆ rb)   r ≡ zk , r  ≡ r cos φ i + rsenφ ˆ                            ˆ        ...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Cap 2 campo eléctrico y ley de gauss 19 38-2010 ii

492 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
492
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
6
Acciones
Compartido
0
Descargas
11
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Cap 2 campo eléctrico y ley de gauss 19 38-2010 ii

  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física II 2) CAMPO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSSLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 19
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física II r2.1) Definición de campo eléctrico, E rEl vector E describe las propiedades eléctricas del espacio {medio}. r q0 r Fe r E r Fe P P E= → q0 q qDonde: q0 : Carga de prueba , q0 → + q0 → 0Campo eléctrico: Discusión… “Las interacciones del campo no son instantáneas” “La carga q modifica el medio que la rodea (campo)” r ELic. Percy Víctor Cañote Fajardo 20
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física IIEcuaciones de Ei) q r r kqq0 ( r − r ′ ) r r3 rrq r − r′ kqr r r q PE ( rr ) = = r 3 , si r ′ ≡ 0 r q0 r r E (qrr ) r′ r rEn general : r rr r kq ( r − r ′ )Eq ( r ) = r r 3 r − r′ii) Distribuciones Discretas, DD qi qi P r E (qrr ) i r r ri = r r r r rr DD r i =n r rE ( r ) = ∑ E qi ( r ) ≡ ∑ r r 3 i ( i) i = n kq r − r i =1 i =1 r − riiii) Distribuciones continuas: continuas: j) VolumétricaLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 21
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física II r r rρ k ρ dv′ ( r − r ′ ) E ( rr ) = ∫ r r 3 , v : representa el volumen ρ r − r′ jj) Superficial r r rσ kσ da′ ( r − r ′ ) E ( rr ) = ∫ r r 3 , a o s : representa el área σ r − r′ jjj) Lineal r r rλ k λ dl ′ ( r − r ′ ) E ( rr ) = ∫ r r 3 , l : representa la longitud λ r − r′“Las distribuciones de carga crean el campo”Observaciones rj) u E ≡ N   C r r Fejj) E = : definición operacional q0 r r r Fe = q0 E , Fe : Fuerza " sentida " por q0 . r E : creado por cierta distribución dejjj) cargas en la posición de q0 . rjv) El E es usado intensivamente en las ecuaciones.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 22
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física II2.2) Lineas de fuerza, LF ρ( rr ) r r r P rρ k ρ ( r ) dv′ ( r − r ′ ) E ( rr ) = ∫ r r3 ρ r − r′ r r′ r ∀ρ , E se obtiene por definicion r r → LEY DE GAUSS: ρ de alta simetría . r → Útil sólo para ρ de alta simetría: E “fácil” de calcular. → LF / LF=simetría ρ .Definición de lineas de fuerza r rSon las trayectorias descritas por las q0 debido a la Fe ≡ qE ( ) generada porcierta ρ . r Fe r ρ ( r ) q0 LF“La forma de las LF esta ligada a cómo se distribuye la q”Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 23
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física IILF para diversas distribuciones de carga i) ρ ≡ q r Fe q0 ii) q q g|q| ρ : q1 − q2 g+- g dCaso especial: q1 ≡ q2 ≡ qq1 → +q2 → −d → " pequeña "Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 24
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física II Dipolo eléctrico: Modelo más simple para describir sistemas cargados (cuando d se aprox. a 0) d q -q iii) ρ ≡ λ O λ λiv) ρ ≡ σ σ σ Ov) ρ ≡ ρ 0 ∨ ρ ( r )Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 25
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física II Q = ∫ ρ dv QCaracterísticas r q0 rj) E tg LF Ejj) ρ+ ρ−jjj) No se cruzanjv) Distribución de LF: k) Densidad LF: Relacionada a la intensidad. kk) Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.¿? Prepare maquetas de LFs2.3) Ley de GaussLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 26
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física IIEstablece la proporcionalidad entre el flujo eléctrico a través de cierta superficiecerrada, llamada gausiana y la carga eléctrica encerrada por dicha superficie. Johann Carl Friedrich Gauss, El príncipe de las matemáticas.Definición del flujo eléctrico, φE r rEs la cantidad física escalar que informa acerca de cuanto E atraviesa lasuperficie. r r r r r E φES ≡ φE ≡ ∫ E.ds ≡ ∫ E.da , r S S r r r ds = da : vector de area elemental da da r r → da ≡ da S=A da  r  → da ⊥ daLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 27
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física IILey de Gauss r r φ r E ,SG = Ñ .da α ∫E qNE SG r r q SG Ñ∫ SG E.da ≡ NE ε0 qNE ≡ ∫ ρ dV SG Para simplificar los cálculos ver que: r r r E ⋅ da ≡ E da cosθ r r r r1º θ ≡ 0 ∨ π → E ⋅ da ≡ ± E da { } r r r r r2º E ≡ cte → E ⋅ da ≡ E da E sale dela ∫*SG, Superficie gaussiana {superficie. cerrada}¿? Investigue por lo menos una biografía del Príncipe de las Matemáticas.¿? Que otros flujos se usan en la Física.¿? Será posible matematizar las LFLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 28
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física IIEjemplo Z λ dl = dz dq = λ dz r r′ r Y E r rX r1º Por la definición de E r rrλ k λ dl ′ ( r − r ′ ) r ˆ r = rj ( r − r ′ ) ≡ ( rj − zkˆ ) → r − r ′ ≡ r r ˆ r r r 2 + z2E ( rr ) = ∫ r r3 λ r − r′ r ˆ r ′ = zkr rEλ ( r ) = ∞ ˆ ( ˆ k λ dz rj − zk ) =E ˆ ∫ ˆ + Ez k j {r } y 2 32 −∞ 2 +z ∞ dzEy = kλr ∫ = ¿? −∞ {r 2 +z } 2 32 ∞ zdzEz = − k λ ∫ → 0, por simetria {r } 32 −∞ 2 +z 2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 29
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física II2º λ → alta simetría → Gauss λ λ r r r r da r E H H r E O SG=SCL+STS+STILic. Percy Víctor Cañote Fajardo 30
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física II r r qNEÑE ⋅ da ≡∫SG ∫ SCL + ∫ STS + ∫ STI = ε0 6 8 7 678 r r r r da || E da ⊥ E r q r = ∫ SCL E da + 0 + 0 = NE , SG : E = cte ε0 r  r λH = E  ∫ da  = E { 2π rH } =  SCL  ε0 r λ → E = 2π rε 0S1P22)a) Localice en la figura los puntos donde el campo eléctrico es cero.b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las líneas de fuerza del campo resultante.c) Haga un gráfico cualitativo de E vs. x, dónde E se evalúe en puntos del eje X.Solución: Q q- q+ E- P E+ S x d1 0 d0 d x k q+ k q− 2q 5q E+ ≡ E− → ≡ → ≡ d2 { d0 + d } 2a) Para el punto S: d2 1  2  + d 2  1 2  + d + d 2  ≡ 5d 2 4 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 31
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física II  1 2 ± 4 − 4 × 3×  −  1  2 2 + 103d 2 − 2d − ≡ 0 → d1,2 ≡ → d1 ≡ ≡ 0,9 2 2×3 6Igual en Q:E+ ≡ ( ) k 2q ≡ E− ≡ ( ) → 2d k 5q 2 ≡ 5d12 + 5d1 + 5 2 1  1 d12 4 d1 +   2 5 −5 ± 25 − 4 × 3 × 5 4 −5 ± 103d12 + 5d1 + ≡ 0 → d11,2 ≡ ≡ ≡ −0,3; −1,4 4 2×3 6 b) - + xc) Para el punto S:  r k { +2q} ˆ k { −5q} ˆ    2 5 ˆ ˆET ≡ 2 i+ 2 i ≡ kq  2 − 2  i ≡ ET i  1 x  x − 1  x  x −      2  2       2 5 1ET ≡ kq  2 − 2  ← x > ,L hay que especificar para cada región  x − 1  x  2   2   Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 32
  15. 15. Cuaderno de Actividades: Física II E- y ET E+ 0,9 0 0,5 x E+ E+S1P7) En la distribución mostrada ρ0 es constante y q0 es una carga puntual. R0 ρ0 centro de la circunferencia Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0. q0 R0/2 dSolución: 0 0’ q r R0/2 d R0 ρ0Por superposición:Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 33
  16. 16. Cuaderno de Actividades: Física II Q Q’ 0 0’ + ≡ r -ρ0 ρ0r r r  kQ  kQ  ˆEq0 ≡ EQq0 + EQ q0 ≡  2 + i ;   d ( d − R0 / 2 )   3 4 3 4 R  QQ ≡ ρ 0 π R0 , Q ≡ − ρ0 π  0  ≡ − 3 3 2 8    r 4π 3  1 1 ˆ ˆEq0 ≡ k ρ 0 R0  2 − 2 i ≡ Eq0 i 3  d  R  8 d − 0      2   R0Si d >> R0 → << 1{despreciando los cuadrados} d −2 −2 1 1  R   R   R → 2 ≡ 2 1 − 0  → 1 − 0  = 1 + 0   R  d  2d   2d   d  d 2 1 − 0   2d Usando la aproximación del Binomio de Newton:(1 − x) n ≈ 1 − nx cuando x << 1Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 34
  17. 17. Cuaderno de Actividades: Física II 4 π R0  ( 1 + R0 / d )  3→ Eq0 = k ρ0 2  1−  3 d  8 144 244  3 4 R0  1  R0   3Eq0 = π k ρ0 2 1 − 1 +   3 d  8 d  3 1 R0  R Eq0 = π k ρ0 2 7 − 0  6 d  d ¿? Encuentre este resultado usando la definición. Analice la expresiónintegral.Ahora, usando r r r 1 3 R0  R ˆ F ≡ q0 E Fq0 = π q0 k ρ0 2 7 − 0  i 6 d  d S1P19) Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga con densidad lineal λ(φ)= λ0 cosφ, donde λ0 es una constante positiva y φ el ángulo azimutal, ¿Cuál es el modulo del vector campo eléctrico? Z a) En el centro del anillo P b) En su eje a una distancia z≡d d de su centro. Analice la expresión obtenida para d >> R. λ r r 0 y r k λ (φ )dl ( r − r ) φ R a) E ( 0) ≡ ∫ r r 3 λ r −r x dq r r r r ≡ 0, r ≡ R cos φ i + Rsenφ ˆ ˆ j r→ ( r − r ) ≡ − R cos φ i − Rsenφ ˆ ˆ jr r 3r − r 1 ≡ R 3 ; dl ≡ RdφLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 35
  18. 18. Cuaderno de Actividades: Física IIr −k λ0  2π  2  ˆ 1 E λ ( 0) ≡  ∫0  { cos φ dφ i + sen 2φ dφ ˆ   j R    2{   1 ( 1 + cos 2φ ) 2r −k λ0π ˆ r kλ πE λ ( 0) ≡ i → E λ ( 0) ≡ 0 R R r ˆ rb) r ≡ zk , r ≡ R cos φ i + Rsenφ ˆ ˆ j r r→ ( r − r ) ≡ − R cos φ i − Rsenφ ˆ + zk ˆ j ˆr r 3 { } 3/ 2r − r ≡ R2 + z 2 ; dq ≡ λ R dφ r −k λ0 R 2  2π  2  → Eλ ( z ) ≡ ˆ 1 sen 2 z ˆ  3/ 2  ∫0  { cos φ dφ i + { φ dφ ˆ − cos φ dφ k   j   { R +z 2 2 }    2 R{ rλ − k λ0π R 2 ˆ rλ k λ0π R 2E ( z) ≡ i → E ( z) ≡ , { } { } 3/ 2 3/ 2 R +z 2 2 R +z 2 2 rλ k λ0 R 2π lim E ( z ) ≡ z >> R z3S1P47) Determine el campo eléctrico de un disco de radio R con densidad superficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco.Solución: z A) Usando coordenadas r r polares (≡ coordenadas σ cilíndricas en el plano) rr y r y xLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 36
  19. 19. Cuaderno de Actividades: Física II da=(rdθ)dr dr dθ r x θ r rr r kdq ( r − r ) rE ( r ) ≡ ∫ r r 3 ≡ kσ I σ r −rdq = σ da = σ ( rdθ dr )rr ≡ ( 0,0, z )rr ≡ ( r cosθ , rsenθ ,0 )r k ( σ rdθ dr ) ( −r cosθ , − rsenθ , z )I ≡∫ ( ) s 3/ 2 r2 + z2  R 2π≡ ∫ ∫ ( −r cosθ , −rsenθ , z ) rdθ dr    0 0 (  ) 3/ 2 r2 + z2   2π 2π∫0 cosθ dθ =0 ∫ 0 senθ dθ =0 (por evaluarse en sus periodos)r 2π R rzdrdθ ˆI ≡∫ ∫ k (r ) 0 0 3/ 2 2 + z2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 37
  20. 20. Cuaderno de Actividades: Física II   ≡  { ∫ dθ } ∫ ( 0 2π 0 R zrdr r2 + z2 ) 3/ 2 k  ˆ     rdr ≡ ( 2π ) z ∫ R kˆ  ( )  0 3/ 2 r2 + z2  r z  z ˆ E ( z ) ≡ kσ ( 2π )  − k z  R2 + z 2  ¿? Encuentre este resultado usando la definición con un elemento de área cartesiano. Analice la expresión integral.¿? Qué ocurre si R → ∞R→∞r z ˆ  kσ ( 2π ) k  ˆE ( z ) ≡ kσ ( 2π ) k ≡  z − kσ ( 2π ) k  ˆ r 1 σ E ( z ) ≡ k ( 2π ) σ ≡ ( 2π ) σ ≡  : El E de un plano! 4πε 0  2ε 0 (verifíquelo usando LG)B) Usando anillos de λ=σdr z r r σ rr y r xLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 38
  21. 21. Cuaderno de Actividades: Física II r ˆ rb) r ≡ zk , r ≡ r cos φ i + rsenφ ˆ ˆ j r r→ ( r − r ) ≡ −r cos φ i − rsenφ ˆ + zk ˆ j ˆr r 3 { } 3/ 2r − r ≡ r2 + z2 ; dq ≡ λ rdφ r kσ rdr  2π   → dE λ ( z ) ≡ ˆ − rsenφ dφ ˆ + zdφ k   ˆ  3/ 2  ∫0  124  −r cos φ dφ i { j { r +z 2 2 }    4 3   R rλ kσ (2π ) zrdr ˆ rσ kσ (2π ) zrdr ˆdE ( z ) ≡ k → E ( z) ≡ ∫ k { } { } 3/ 2 2 3/ 2 r +z 2 2 0 r + z 2r z  z ˆ E ( z ) ≡ kσ ( 2π )  − k   z R +z  2 2 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 39

×