Cuaderno de Actividades: Física II    5) Capacidad eléctrica y        CondensadoresLic. Percy Víctor Cañote Fajardo     81
Cuaderno de Actividades: Física II5.1) Capacidad eléctrica. CEs la capacidad que poseen los conductores eléctricos para al...
Cuaderno de Actividades: Física II   ii)      C para dos conductores: Caso condensador.         Son sistemas eléctricos co...
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Cuaderno de Actividades: Física II                    1       W ≡ E pe =     ∫3 ε E dv                            2       ...
Cuaderno de Actividades: Física II     e) ¿Y el desplazamiento (D) en el mismo?     f) ¿Y su densidad de energía?     g) E...
Cuaderno de Actividades: Física IISOLUCION:                                          - + Qp                               ...
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Cap 5 condensadores y dielectricos 81-97

  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física II 5) Capacidad eléctrica y CondensadoresLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 81
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física II5.1) Capacidad eléctrica. CEs la capacidad que poseen los conductores eléctricos para almacenar cargaeléctrica. Esta característica de los sistemas de conductores dependerá de sugeometría así como del medio que los contiene. Esta capacidad dealmacenamiento de carga también puede entenderse como capacidad dealmacenar energía en la distribución de cargas, como vimos en el capituloanterior. i) C de un conductor: Caso esfera de radio R. Si se realiza el experimento de cargar una esfera metálica de radio R, se observaría que la carga se distribuye homogéneamente en la superficie alcanzando la esfera un potencial de equilibrio igual a, Q q kQ V≡ R En este caso la carga q se trae desde el ∞ de tal forma que el cociente entre Q y ∆V=V-0 se mantiene constante. Recuerde que el potencial de q en el ∞ es cero. Definiendo la capacidad eléctrica de la esfera como, Q C≡ ∆V La C de la esfera es, Q Q Q C≡ ≡ ≡ ≡ 4πε 0 R ∆V V k Q R C ≡ 4πε 0 R Como se indico depende del medio y de la geometría. Además proporciona información importante acerca de la capacidad de un sistema para almacenar energía por medio de la carga.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 82
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física II ii) C para dos conductores: Caso condensador. Son sistemas eléctricos constituidos por 2 conductores de tal forma que al imponerse una ∆V entre ellos, las líneas de fuerza salgan de uno e ingresen completamente al otro. Se encuentran en influencia eléctrica total. -Q Q V+ C= ∆V +Q V-  ∆V: ∆V aplicada a los conductores ∆V = V+-V- =V2 – V1  Informa sobre la cantidad C de carga {o energía} capaz de ser almacenada en el sistema. u[C] = C / V = farad =F ( esta cantidad puede estar en mF, µF, pF ) j) Capacidad de ciertos condensadores k) Condensador de placas paralelas Q -Q r E + - + - + - + - + - d + - ∆VLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 83
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física II r ε o ÑE. da ∫ QC= = GC ∆V 1 r − ∫ E. dr 2C = C(E) Q 1C= = ∆V = Q∆V ∆V σ 1 0 σ σdE cond = → ∆V = − ∫ Edr = − ∫ { i}.{dxi} = ε0 2 d ε0 ε0 Q Q ε A → C= ε0AC= = = 0 σd d Q d d ε0 ε0 A kk) Condensador Cilíndrico Q C= ∆V H ∆V = Q ∆V 1 r r ∆V = − ∫ E.dr 2Aplicando LG,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 84
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física II h r r r Q v q ne HÑE.da = ε o = SLat E.da = E {2π r h} ≡ ε 0 ∫SG ∫ r Q→ E = 2π rε o H 1 R1 r r Q→ ∆V = − ∫ E.dr = − ∫ { ˆ ˆ er }.{drer } 2 R2 2π rε o H R Q 1 dr Q R∆V = {− ∫ } = Ln{ 2 } 2πε o H R2 r 2πε o H R1 QC= 1 R ∆V = Q{ Ln{ 2 } 2πε o H R1 2πε o HC= R2 ln{ } R1 C 2πε o = H ln{ R2 } R1kkk) Condensador Esférico El condensador esférico está formado por dos casquetes esféricos conductores concéntricos, de espesores despreciables, de radios R1 y R2 (R2>R1). Suponga que la esfera interior se carga a Q+, mientras que la exterior se carga a Q-. Si en la región entre esferas existe vacío como aislante, entonces se calcula el campo eléctrico en ésa región, aplicando la ley de Gauss, eligiendo como superficie gausiana una superficie esférica concéntrica de radio genérico r, v q r Q r Q Ñ∫ SG E.da = ne = E {4π r 2 } ≡ → E ≡ εo ε0 4π r 2ε 0Con lo cual, la diferencia de potencial queda como:Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 85
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física II 1 R1 r r Q∆V ≡ − ∫ E.dr = − ∫ { ˆ ˆ er }.{drer } 2 R2 4π r 2ε o R Q 1 dr Q 1 1 ∆V ≡ −{ } ∫ { 2 } → ΔV≡{ } -  4π ε o R2 r 4π εo  R1 R2 Para obtener una capacidad de: Q QC≡ → C≡ 4π εo R1R2 ΔV Q  1 1 → C≡ { } -  R 2 − R1 4π εo  R1 R2  jj) Energía del condensador. E=Epel=U Q+ Q- σ+ σ-  ρ=σ : E del condensador V1 V2 1Econd = E pel ,σ = E pel ,σ + + E pel ,σ − = 2σ∫ σ daV 1 1Econd = 2 ∫ σ + daV1 + 2 ∫ σ −daV2 :las superficies son equipotenciales 1 { 1 } = V1 ∫ σ + da + V2 ∫ σ − da 2 2 { } 1 1 = V1Q+ + V2Q− 2 2 Q+ = +Q Q− = −Q 1 1Econd = Q V1 − V2 = Q∆V 2 2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 86
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física II 1  C=Q/∆VEcond = Q∆V 2De tal forma que si los procesos de carga son a ∆V= cte o Q= cte, se obtendrían, 1 1 Q2E cond = C∆V 2 E cond = 2 2 Cjjj) Ensamblaje de condensadores k) Ensamblaje en serie Características: j) Conservación de la q q1 = q2 =q3=q jj) Conservación de la Energía ∆V= ∆V1+∆V2+∆V3 De i ), ii) y C= Q/V Ceq -1 = C1-1 +C2-1+C3-1 Para n Cs i =n 1 Ceq1 = ∑{ } − i =1 CiLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 87
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física II kk) Ensamblaje en paralelo Características: j) Q = cte q1+ q2+ q3 =q jj) E=cte ∆V= ∆V1=V2=∆V3 Si j), jj) y C=Q/V Ceq = C1+ C2+ C3 Para n Cs Ceq = ∑ Ci i5,2) Ley de Gauss con dieléctricosConcepto Previo: Dieléctrico (aislante) AISLANTE  PolarizaciónLa polarización del dieléctrico se puede caracterizar usando cantidades micro- macroadecuadas.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 88
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física IIMICRO: p  p: dipolo eléctrico E ≡ pMACRO: P: vector de polarización {E, P, D} E P r dpr P= dVMEDIOS DIELECTRICOS: σp E n = P = ρp σ p = P.n ˆ ρ p = −∇.P ρp σpE DIE =E +ELey de Gauss con dieléctricosLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 89
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física II r r qÑ∫SG E.da = NE ε0 q NE = ql + q p DIE SG qN ∆V  ql = carga libre qp = carga de polarización r r q + qp r r  ρ + ρp Ñ∫SG E.da = l ε0 → Ñ .da =  i ∫ SG E  ε0   ∆V 1  r r {ρ i + ρ p }  Ñ .da = ∫E ∆V  SG ε0  1  {ρ + ρ p }∆ V → 0 ∆V Ñ∫  lim  Eda  = i  SG ε0 r {ρ + ρ p } r∇.E = i → ε 0 (∇.E ) + ∇.P = ρl ε0 ∇.(ε 0 E ) + ∇.P = ρ L v ∇.{ε 0 E + P} = ρ L rDefiniendo, D: Vector desplazamiento eléctrico, D =ε0 E + P r Ley de Gauss en forma diferencial ∇.D = ρ LCaso particular: Materiales l.i.h.l: lineales (P ≠ P (E local))i: isotrópicos ( no depende del sistema X ,Y,Z)Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 90
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física IIh: homogéneos P ≠ P (moléculas) r rEntonces, estas condiciones conducen a que, P Z Z E , de tal forma que, P = ε0 χ Eχ: Chi, susceptibilidad eléctricaD = ε0 E +ε0 xE ={ε0 ( x +1)}Eε = ε0 ( x +1) : Permitividad eléctrica del medio D =εECon lo que la forma integral de la LG: r r q Ñ∫ SG E.da = l , ql = qle εOBSERVACIONES:i) Definición de constante dieléctrica, K ε K= = (1 + χ ) ε0Carga q en el seno del dieléctrico: r r q q q K Ñ ∫ sg E.da = i = ε K ε0 = ε0 + + + + - - - +P ELic.+ - -. Percy Víctor Cañote Fajardo q/ 91 + - - - +q k + + + + K K=1
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física II q q/Kii) Energía con dieléctrico, EK CK C : con dieléctrico K= → CK = KC0  K C0 C0 : sin dieléctrico(vacio) 1 1 → EK = C ∆V 2 = { KC0 } ∆V 2 = KE0 2 2 EK = KE0Esto es, siempre que pueda seguirse cargando el condensador la energíaaumentara con dieléctrico.5,3) Energía almacenada en el E Usemos el condensador de placas paralelas,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 92
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física II Q C:A,d ∆V 1 E cond = C∆ 2V 2 ε 1  A =  0  Ed } { 2 2 d  1 = ε ( Ad ) E 2 0 2 Econd 1 = u → u ≡ ε0E 2 Vcond 2 u : densidad volumetrica de energía en el condensadorEn general, dada una distribución de cargas que crea un campo eléctrico en elespacio, ρ E 1 r r Eel = ∫3 D.E dV 2RSi asumimos l.i.h. : D= εELic. Percy Víctor Cañote Fajardo 93
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física II 1  Eel = ∫ 2 ε E 2  dV R3  C S3P34) Se tiene una línea de carga de densidad λ   ”sumergida” en un m r r r medio dieléctrico de constante ε. Determine los vectores E , D y P .SOLUCION: λ z A lih r E ε r E SG r y λ y ˆ er SG ˆ er x x Aplicando la LG para dieléctricos, r obtenemos el E , r r qÑ∫SG E.ds = LE , qLE : c arg a libre encerrada εr λE (r ) ≡ ˆ er 2πε r rEl vector desplazamiento eléctrico, D , lo obtenemos recordando que estamos ren un medio lih, donde se relaciona con E ,r rD = ε E ← ε ≡ ε 0 (1 + χ ) , donde χ es la susceptibilidad eléctrica del medio,r λD(r ) ≡ ˆ er 2π r r rY el vector de polarización lo obtenemos de P ≡ ε 0 χ ELic. Percy Víctor Cañote Fajardo 94
  15. 15. Cuaderno de Actividades: Física IIr ε χλ (ε − ε 0 )λP(r ) ≡ 0 er ≡ ˆ ˆ er 2πε r 2πε rS3P35) Una varilla cilíndrica de longitud L y base B tiene una polarización dada r 2 ˆ C por P ≡ ( a + bx ) i 2 .Determine las densidades de carga. mSOLUCION: ˆ er r P−n1 ˆ ˆ n1 x B LSegún la definición de densidades de carga de polarización, rσ p = P.n ˆ rρ p = −∇.PLas densidades superficiales estarían descritas por: σ p = −(a + b(0)) ≡ −aEn la base ubicada en x=0, , σ p = (a + b( L) ) ≡ a + bL2 2En la base ubicada en x=L, σEn la superficie lateral no existe p .Y la densidad volumétrica es dada por, r ∂Pρ p = −∇.P ≡ − x ≡ −2bx ∂xS3P36) Determine la energía electrostática almacenada por una densidad volumétrica de carga uniforme, ρ, almacenada en una esfera de radio R.SOLUCION: ρLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 95 R
  16. 16. Cuaderno de Actividades: Física II 1 W ≡ E pe = ∫3 ε E dv 2 2R Determinamos E con Gauss en todo el espacio,Dentro de la esfera r r q(r ) Ñ ∫ E.ds ≡ ε0 …¿?S3P31) Un condensador se compone de dos láminas parciales de 25 cm2 de superficie separadas por una distancia de 0,2 cm. La sustancia interpuesta entre ellas tiene una constante dieléctrica de 5. Las láminas del condensador están conectadas a una batería de 300 v. a) ¿Cuál es la capacidad del condensador? b) ¿Y la carga sobre cada lámina? c) ¿Y la energía del condensador cargado? d) ¿Cuál es la polarización en el dieléctrico?Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 96
  17. 17. Cuaderno de Actividades: Física II e) ¿Y el desplazamiento (D) en el mismo? f) ¿Y su densidad de energía? g) Encuentre todas las preguntas anteriores si el condensador es esférico de radio interno 12 cm y radio exterior 15 cmSOLUCION:Datos: A = 25 cm2 ,K=5 d=0,2m , ∆V=300 A ε C0 = ε 0 K= ≡ 1+ χa) d → Ck = KCo; ε0b) Q = C∆V = Ck. ∆V → QK = CK ∆V 1c) Ek ≡ KE0 ; E0 = Co ∆V 2 r r ˆd) P = ? ; P = Pi (2 placas paralelas) σ Q P = ε 0 χ E ; χ = K −1 , E ≡ ,σ ≡ K ε A re) D = ?r r σ D = ε E; D = ε   → D ≡σ ε  1 Econdf) u = ε 0 E = 2 2 Vcondg) Datos del condensador esférico R1 = 12cm ; R2 = 15cm , idem…¿?S3P2) Una carga puntual q0 se encuentra en el centro de Y un cascarón dieléctrico esférico de radios a y b (b > a) a) Halle el campo eléctrico para todos los puntos del espacio. b) La densidad de carga inducida en la superficie interior y exterior. r r SUG: Use la ley de gauss en la forma Ñ g = q0 ∫ D ds D z xLic. Percy Víctor Cañote Fajardo K 97
  18. 18. Cuaderno de Actividades: Física IISOLUCION: - + Qp a q0 - + E r -+ b - +a) E=? ; ∀r en R:rE = E er ← LG ˆ ↑ kq0 1I) E = ; k= , 0<r<a r 2 4πε 0 kq 1II) E = 20 ; k = ; ε = K ε 0 , a<r<b r 4πε kq0 1III) E = ; k= , r>b r2 4πε 0 rb) σ p = P.n ˆr rP = ε 0 χ E ← lih + rQ p : σ p + = ε 0 ( K − 1) EII .n ≡ ε 0 ( K − 1) ( EII ( r = b ) er ).er ≡ + ˆ ˆ ˆ ( K − 1) q0 4π Kb 2 − rQ p : σ p − = ε 0 ( K − 1) EII .n ≡ ε 0 ( K − 1) ( EII ( r = a ) er ).(−er ) ≡ − ˆ ˆ ˆ ( K − 1) q0 4π Ka 2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 98

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