Este documento presenta información sobre la resolución de desigualdades racionales y polinómicas. Explica el procedimiento para expresar la solución de una desigualdad en forma de intervalos y gráficamente. Incluye ejemplos resueltos que ilustran cada paso del procedimiento. El objetivo es que los estudiantes aprendan a resolver este tipo de desigualdades algebraicas.

1. 1

2. 2
ESTANDARES Y EXPECTATIVAS
EXPECTATIVA
ESTANDAR
INDICADORES

3. INTRODUCCION
En esta unidad los estudiantes aplicarán terminología apropiada
al discutir situaciones algebraicas. Los estudiantes
representarán situaciones algebraicas como ecuaciones, tablas,
representaciones verbales y gráficas. Los estudiantes
aprenderán a resolver una variedad de ecuaciones lineales en
diferentes formas. Ellos resolverán inecuaciones y ecuaciones
con valores absolutos y explicarán el razonamiento detrás de
cada etapa de solución.
3

4. 4
Objetivos:
1. Resolver desigualdades racionales
2. Expresar la solución en forma de intervalos y
en forma gráfica.

5. 5
Procedimiento
1. Escribe la desigualdad con todos los términos
distintos de cero a un solo lado.
2. Simplifica y escribe como una expresión
fraccionaria.
3. Encuentra los ceros del numerador y los ceros
del denominador.
4. Ubica los ceros encontrados en una recta
numérica.
a. Los ceros del denominador no pueden ser
soluciones.

6. 6
5. Verifica cuales de los intervalos contienen
soluciones.
6. Escribe el conjunto de soluciones.

7. 7
Ejercicios:
Resuelve cada desigualdad
2
1
6
1) 


x
x
0
1
3
)2 2



x
x
2
2
1
1
32
1
)3 


 xx
Solución
Solución
Solución

8. 8
Ejemplo 1
Resuelva y expresa la solución en forma de intervalo.
2
1
6



x
x
0
1
2
1
6



x
x
  0
1
126



x
xx

9. 9
0
1
226



x
xx
0
1
4



x
x
Busca los valores críticos.
04  x y 01x
4x y 1x

10. 10
:críticosvalores 4x y 1x
1 2 3 4 5123
 4,1  4,
60
:probarseavalores 5y0,2
 1, 

11. 11
Valores a probarse: 5y0,2
0
1
4



x
x
queTenemos
 
 
0
12
42


 ?
Probar 2x  
0
12
42


 ?

12. 12
0
1
6


?
06  Cierto
El intervalo es solución. 1, 

13. 13
Probar 0x 
queTenemos 0
1
4



x
x
 
 
0
10
40



0
1
40



14. 14
04  falso
Probar 5x 
queTenemos 0
1
4



x
x
 
 
0
15
45



El intervalo no es solución. 1, 4

15. 15
0
15
45



0
6
1


Cierto
 ,4
Solución=  1-,   ,4
El intervalo es solución.
 4,1  4,
41 0
 1, 
) (
Ejercicios

16. 16
Ejemplo 2 0
1
3
2



x
x
Busca de los valores críticos.
03x 012
x
3x    011  xx
01x 01x
1x 1x
:críticosvalores  31,,1

17. 17
:críticosvalores  31,,1
1 2 3 4 5123
 1,   1,1  3,
60
 3,1
:probarseavalores 42,0,,2

18. 18
:probarseavalores 42,0,,2
queTenemos 0
1
3
2



x
x
Probar 2x  
 
0
12
32
2



0
14
5



0
14
5



0
3
5


Cierto
 1-,El intervalo es solución.

19. 19
Probar 0x 
queTenemos 0
1
3
2



x
x
 
0
10
30
2



0
10
3



0
10
3



03 falso
El intervalo no es solución. 1,1

20. 20
Probar 2x 
queTenemos 0
1
3
2



x
x
 
0
12
32
2



0
14
1



0
3
1

 Cierto
 3,1El intervalo es solución.

21. 21
Probar 4x 
queTenemos 0
1
3
2



x
x
 
0
14
34
2



0
116
1


0
15
1
 falso
El intervalo no es solución. 3,

22. 22
:Solución  . . , 1C S     3,1
1 2 3 4 5123
 1,   1,1  3,
60
 3,1
) ( ]
Ejercicios

23. 23
2
2
1
1
32
1



 xx
Ejemplo 3

24. 24

25. 25
Objetivos:
1. Resolver desigualdades polinómicas.
2. Expresar el conjunto solución de la
desigualdad en forma intervalos y en forma
gráfica.

26. 26
El procedimiento a seguir es el siguiente:
1. Considere la ecuación (igualdad) asociada a
la desigualdad.
2. Encuentre los ceros o soluciones de la
ecuación.
3. Los ceros dividen la recta numérica en
regiones o intervalos.
4. Divida la recta numérica en intervalos usando
las soluciones de la ecuación .
Los ceros serán parte de la solución si la
desigualdad tiene el igual , o sea es ≤ ó ≥.

27. 27
5. Verifique un valor en cada intervalo para
determinar si dicho intervalo es solución.
6. Escriba el conjunto de soluciones.

28. 28Ejercicios:
Resuelve cada desigualdad.
2
2
2
2
2
2
2
2
3 2
1. 17 16 0
2. 16 0
3. 2 8 5
4. 5 6 0
5. 4 3 1 0
6. 8 16 0
7. 4 12 16 0
8. 6 9 16
9. 4 12 0
  
 
 
  
   
 
  
  
 
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución

29. 29
2
1. 17 16 0x x  
Ejercicios resueltos:
2
17 16 0x x  
  16 1 0x x  
   16 0 1 0x ó x   
16 1x ó x 
1 16
 1,  ,16 16,1
Ejercicios

30. 30
Valores a verificar: 182,0  xyxx
2
17 16 0x x  
   
2
17 16 0  0 0
16 0 Falso
   
2
17 16 0  2 2
14 0  Cierto
   
2
17 16 0  18 18
2 0  Falso
Ejercicios

31. 31
1 16
Cierto Falso Cierto
 ,16 16,1 1,
Ejercicios
()
    16,1,:intervaloelessolucionLa U

32. 32
2
2. 16 0x  
  4 4 0x x  
4 0 4 0x x   
4 4x x  
-4 4
Valores a verificar: 5, 0 6x x y x   
 , 4   4, 4  4, 
Ejercicios

33. 33
Valores a verificar: 5, 0 6x x y x   
2
16 0x  
 
2
16 0 5
9 0 Cierto
 
2
16 0 0
16 0  Falso
 
2
16 0 6
20 0 Cierto
-4 4
FalsoCierto Cierto
   . . , 4 4,C S    U
 , 4   4, 4  4, 
Ejercicios

34. 34
2
3. 2 8 5x x 
      
 
2
4
2
x
  

2
2 8 5 0x x  
8 8 2
2
5
8 64 40
4x  

8 24
4x 

Ejercicios

35. 35
8 24
4x 

8 4 6
4x 

8 2 6
4x 

4 6
2x 

4 6
2 3.2x 
 
4 6
2 0.8x 
 
Ejercicios

36. 36
4 6
2 3.2
4 6
2 0.78

Valores a verificar: 1, 1 3x x y x   
Intervalo 1:
2
2 8 5x x 
   
2
2 8 5 1 1
2 13  Falso
 , 0.78  0.78, 3.2  3.2, 
Ejercicios

37. 37Intervalo 2:
   
2
2 8 5 
0 3 Cierto
1 1
Intervalo 3:
   
2
2 8 5 
18 29 
3 3
Falso
4 6
2 3.2
4 6
2 0.78

Falso Cierto Falso
 , 0.78  0.78, 3.2  3.2, 
Ejercicios
4 6 4 6
. . ,
2 2
C S
  
  
 

38. 38
2
4. 5 6 0x x  
  6 1 0x x  
   6 0 1 0x ó x   
6 1x ó x  
-1 6
 , 1   1, 6  6, 
Ejercicios
Valores a verificar: 2, 0 7x x y x   

39. 39
Intervalo 1:
   
2
5 6 0  2 2
8 0 Falso
2
5 6 0x x  
   
2
5 6 0  0 0
6 0  Cierto
   
2
5 6 0  7 7
8 0 Falso
Ejercicios
Intervalo 2:
Intervalo 3:

40. 40
-1 6
Falso Cierto Falso
 . . 1,6C S  
 , 1   1, 6  6, 
Ejercicios

41. 412
5. 4 3 1 0x x   
  4 1 1 0x x   
   4 1 0 1 0x ó x    
1
1
4
x x  
2
4 3 1 0x x   
1 1
4
 , 1 
1
,
4
 
 
 
1
1,
4
 
 
 
Ejercicios

42. 42
1 1
4
Valores a verificar: 2, 0 1x x y x   
Intervalo 1:
   
2
4 3 1 0   2 2
1 0 
Falso
2
4 3 1 0x x   
Cierto
   
2
4 3 1 0   0 0
1 0
 , 1 
1
1,
4
 
 
 
1
,
4
 
 
 
Ejercicios
Intervalo 2:

43. 43
   
2
4 3 1 0   1 1
6 0  Cierto
1 1
4
Cierto Falso Cierto
 
1
. . , 1 ,
4
C S
 
    
 
U
 , 1 
1
1,
4
 
 
 
1
,
4
 
 
 
Ejercicios
Intervalo 3:

44. 442
6. 8 16 0x  
2
8 1
8
0
8
6
8
x
 
2
2 0x  
2
2x 
2x  
22
Valores a verificar: 2, 0 2x x y x   
 , 2   2, 2   2, 
Ejercicios

45. 45
 
2
8 16 0 2
16 0 Cierto
 
2
8 16 0 0
16 0 
Cierto
Falso
 
2
8 16 0 2
16 0
Ejercicios
Intervalo 1:
Intervalo 2:
Intervalo 3:

46. 46
22
Cierto Falso Cierto
   . . , 2 2,C S    U
 , 2   2, 2   2, 
Ejercicios

47. 47
2
7. 4 12 16 0x x  
2
4 12 16 0x x  
2
4 4
4
4
12 6 0
4
1x
x   
2
3 4 0x x  
      
 
2
4
2
x
  

3 3 1 4
1
Ejercicios

48. 48
3 9 16
2x  

3 7 3 7
2 2
i
x   
 
Valor a verificar: 0x 
   
2
4 0 12 0 16 0   Cierto
. .C S R
 , 
Ejercicios

49. 49
2
8. 6 9 16x x  
962
 xx  16
962
 xx  16 0
xx 62
  7  0
   017  xx
Ejercicios

50. 50
   017  xx
07 x ó 01x
7x 1x
críticos.valores
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9123
 , 1   1,7  7,
Ejercicios

51. 51
    169262
2

:probarseavalores 2 8y
16962
 xx
169124 
?
?
1625 falso
0,
Ejercicios

52. 52
16962
 xx
    169060
2

?
16900 
?
169 
16962
 xx
    169868
2

1694864 
?
?
Cierto
16916 
?
1625 falso
C.S.=  7,1 Ejercicios
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9123
( )
Cierto FalsoFalso

53. 53
3 2
9. 4 12 0x x 
0124 23
 xx
  034 2
xx
04 2
x ó 03 x
0x 3x
Ejercicios

54. 54
0x 3x
críticosvalores
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9123
 ,0  0,3  0,
Ejercicios

55. 55
:probarseavalores 1 ,1,4
0124 23
 xx
    011214
23

?
    011214 
?
0124 
016 Cierto
:Intervalo  0,
Ejercicios

56. 56
0124 23
 xx
    011214
23

:probarseavalores 1 y el 4
    011214 
0124 
08  Cierto :Intervalo  3,0
Ejercicios

57. 57
:probarseavalor 4
0124 23
 xx
    041244
23

    01612644 
0192256 
064 falso
Ejercicios

58. 58
:Solución   3,0
 , 3 
 ,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9123
 ,0  0,3  0,
Ejercicios

59. 59

60. 60
Objetivos:
1. Resolver desigualdades lineales.
2. Resolver desigualdades compuestas.

61. 61
Ejemplos de desigualdades:
372)1 x
2) 5 2 1x 
3) 1 2 3 9x  
 4) 8 1 3 2 13x    
5) 6 3 5 6x   
 Desigualdades
Compuestas o
simultáneas

62. 62
Recordar:
Para resolver una desigualdad lineal se
utiliza el mismo procedimiento que se utilizó
para resolver ecuaciones lineales con la
excepción de que si multiplicamos o dividimos
ambos lados de la desigualdad por un número
negativo el signo de la desigualdad cambia de
dirección o sentido.

63. 63
Resuelva las desigualdades:
372)1 x
732 x
42 x
2
4
2
2 

x
2x

64. 64
Aclaración:
El conjunto solución de una desigualdad
se puede expresar en tres formas.
Estas son:
1. Forma de conjunto
2. Forma gráfica
3. Forma de intervalo

65. 65
En el problema anterior obtuvimos como
solución 2x
Forma conjunto:  2x R x  
:gráficaForma
0 1 2 313
:intervalodeForma

2
 2,

66. 66
2) 5 2 1x 
2 1 5x  
2 4x  
2
4
2
2




 x
2x
 2,
Forma conjunto:
 2x R x 
:gráficaForma

:intervalodeForma
0 1 2 313 2

67. 67
3) 3 7 8x  
3 8 7x  
3 15x 
3 15
3 3
x


 
5x  
 . . 5,C S   
:gráficaForma
1 0 1 235

4

68. 68
Definición:
Las desigualdades compuestas son dos desigualdades
en la misma expresión. Se pueden resolver por
separado o de manera simultánea. La recomendación
es que se resuelvan simultáneamente siempre que sea
posible.

69. 69
9321)1  x
1 3 2 9 3x   
2 2 6x  
2
6
2
2
2
2

 x
31  x
Conjunto Solución
 1. . , 3C S  
Forma de conjunto:
 . . 1 3    C S x R x
:gráficaForma
0 1 2 313
 
:intervalodeForma
2
Resuelve las siguientes desigualdades compuestas.

70. 70
 2) 8 1 3 2 13x    
8 1 3 6 13x    
8 3 7 13x    
8 7 3 13 7x     
15 3 6x   

71. 71
15 3 6x   
15 3 6
3 3 3
x 

 
 
25  x
52  x
Conjunto Solución
 2C.S.= , 5
Forma de conjunto:
 . . 2 5    C S x R x
:gráficaForma
32
 
:intervalodeForma
0 1 2 4 5-1

72. 72
3) 6 3 5 6x   
1131  x
3
11
3
3
3
1

 x
3
11
3
1


x
Conjunto Solución
1 11
3 3
. . ,C S
 
  
 
6 5 3 6 5x    
Forma de conjunto:
1 11
. .
3 3
 
     
 
C S x R x
:gráficaForma
:intervalodeForma
1
3

11
3
 

73. 73
4) 5 2 1 2x  
5 2 1 2x  
 . .C S  
  falso

74. 74
5) 6 3 5 6 4     x x x
6 3 5 3 5 6 4      x x y x x
3 5 6 3 4 6 5      x x y x x
2 1 11   x y x
12 11 x x
y
2 2 1 1
1
11
2
   x y x
11
1
2

( (
 
1
,
2
 
  
 

75. 75
1
. . ,
2
 
   
 
C S

76. 76
6) 6 3 2 6 2     x x x
6 3 2 3 2 6 2      x x y x x
3 2 6 3 2 6 2      x x y x x
2 4 8  x y x
42
8


x
y x
2 2
2 8  x y x
2 8
[ )


77. 77
 . . 2,8 C S