Cinema

1. Cap´ıtulo 4 CINEMA´ TICA 4.1. Introducción La cinemática es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos, sin atender a las causas que lo producen. De otra forma diremos que estudia la evolución de la posición de los cuerpos en el espacio en relación con el tiempo. Para definir la posición de los cuerpos en el espacio será necesaria la introducción de una referencia, la cual estará constituida por un punto 0 y una base vectorial de dicho espacio. As´ı una referencia cartesiana estará formada por (0;~i;~j;~k), en donde 0 es un punto tomado arbitrariamente como origen, e~i, ~j y ~k son los versores de Hamilton. El espacio que es objeto de nuestra atención es el espacio puntual o eucl´ıdeo. Cada punto del mismo vendrá biunivocamente ligado a un vector de posición ~r que po-dr á ser expresado en la referencia elegida. En cuanto al tiempo nos referimos al tiempo newtoniano o absoluto. Una dificultad que se plantea es la congruencia del tiempo en sistemas referenciales dis-tintos. Ello es objeto de estudio en la cinemática relativista y no de la clásica, que es la que será aqu´ı tratada. 91

2. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 92 4.2. Cinemática del punto 4.2.1. Cinemática del punto en coordenadas cartesianas Sea un punto P que está efectuando un movimiento en el espacio eucl´ıdeo, y sea ~r = ! 0P el vector de posición del mismo, el cual tiene su origen en el punto 0, origen del sistema referencial y su extremo en el punto P. Dado que el punto P se está moviendo, el vector de posición será variable en función del tiempo, lo cual podrá expresarse como: ~r = ~r(t) Expresión que podrá denominarse ley vectorial del movimiento. Esta expresión vectorial podrá ser descompuesta en tres expresiones escalares: ~r = x~i + y ~j + z ~k = ~r(t) = x(t)~i + y(t) ~j + z(t) ~k Y por tanto: x = x(t) y = y(t) z = z(t) 9= ; Ecuaciones que nos permiten determinar la posición del punto en un instante cualquiera por medio de sus tres coordenadas cartesianas. Por ello diremos que estas tres ecuaciones son la expresión paramétrica de la trayectoria en función del parámetro escalar tiempo. Para determinar la ecuación anal´ıtica de la trayectoria bastar´ıa eliminar el escalar tiempo entre ellas lo que dar´ıa lugar a dos ecuaciones en coordenadas cartesianas: f1(x; y; z) = 0 f2(x; y; z) = 0 ) Las cuales representan evidentemente una l´ınea, la trayectoria, definida como intersección de dos superficies. Definimos la velocidad de la part´ıcula P como la derivada del vector de posición con re-specto del tiempo: ~v = d~r dt En general el vector velocidad será también una función del tiempo: ~v = ~v(t)

3. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 93 Esta expresión vectorial podrá ser descompuesta en tres expresiones escalares: ~v = vx ~i + vy ~j + vz ~k = ~v(t) = vx(t)~i + vy(t) ~j + vz(t) ~k vx = vx(t) = dx dt = x_ vy = vy(t) = dy dt = y_ vz = vz(t) = dz dt = z_ 9= ; Definimos la hodógrafa del movimiento como el lugar geométrico de los puntos que sucesi-vamente ocupa el extremo del vector velocidad trasladado éste en forma equipolente al origen de referencia. Sus ecuaciones anal´ıticas las obtendremos eliminando el parámetro tiempo en: x = vx(t) y = vy(t) z = vz(t) 9= ; Definimos la aceleración como la derivada del vector velocidad con respecto del tiempo, lo que equivale a la derivada segunda del vector de posición: ~a = d~v dt = d2~r dt2 En general también será una función vectorial del tiempo: ~a = ~a(t) Y que como en los casos anteriores admitirá una descomposición en tres ecuaciones es-calares: ~a = ax ~i + ay ~j + az ~k = ~a(t) = ax(t)~i + ay(t) ~j + az(t) ~k ax = ax(t) = v_x = x ay = ay(t) = v_y = y az = az(t) = v_z = z 9= ; Es fácil ver que por este camino se podr´ıan definir mediante derivaciones sucesivas nuevas funciones vectoriales. As´ı a la derivada primera de la aceleración, es decir, a la segunda de la velocidad y tercera del vector de posición, se la denomina superaceleración. Otra posible definición del movimiento, previo conocimiento de la trayectoria, habr´ıa sido expresar la posición del punto móvil P en la misma mediante una ley: s = s(t)

4. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 94 Donde s es la coordenada curvil´ınea que expresa la distancia medida sobre la propia trayec-toria del punto móvil P a un punto fijo y arbitrario de la misma, tomado como origen. Esta ley es la denominada ley escalar del movimiento. El problema cinemático puede estar planteado en una de estas tres formas: Forma directa: Conocida la ley del movimiento ~r = ~r(t) determinar la velocidad y la aceleración. Esto se logra de forma inmediata mediante derivaciones sucesivas tal y como ya se ha visto. Forma inversa: Conocida la aceleración ~a = ~a(t) determinar la velocidad y la ley del movimiento. Esto se logrará mediante el proceso inverso, es decir, mediante inte-graci ón. En efecto: d~v(t) = ~a dt Z d~v(t) = Z ~a(t) dt Establecida como condicion ´de contorno que para el instante t0 la velocidad toma como valor ~v: Z 0t ~v(t) = ~v0 + t0 ~a(t) dt En cuanto al vector de posición: d~r(t) = ~v dt Z d~r(t) = Z ~v(t) dt Tomando como como condicion ´de contorno que para el instante t0 la posicion ´viene definida por ~r0: Z t ~r(t) = ~r0 + t0 ~v(t) dt Como es sabido, la resolución de cada una de estas integrales con función subintegral vectorial, implica la resolución de tres integrales escalares. Forma general: Conocida una función que relaciona las magnitudes cinemáticas del tipo: F(~r; ~v;~a; t) = 0 El problema implicará la resolución de una ecuación diferencial vectorial de segun-do orden, que se traducirá en la resolución de tres ecuaciones diferenciales escalares también en general de segundo orden.

5. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 95 4.2.2. Cinemática del punto en coordenadas cil´ındricas En el sistema referencial cil´ındrico, la posición de un punto viene dada por las coorde-nadas (; ; z). Dado que nuestro punto es móvil, estas coordenadas serán en general función del parámetro escalar tiempo: = (t) = (t) z = z(t) El conocimiento de estas tres ecuaciones determina la trayectoria del punto en la referencia cil´ındrica y en función paramétrica del tiempo. La relación existente entre las coordenadas cil´ındricas y las coordenadas cartesianas es: x = cos y = sin z = z Fijándonos en la Figura 4.1 podremos obtener la relación existente entre los vectores unitar-r r z X Y Z q uq ur z u Figura 4.1: Coordenadas cil´ındricas ios cartesianos (~i ;~j;~k) y los vectores unitarios cil´ındricos (~u; ~u; ~uz): ~u = cos ~i + sen ~j + 0 ~k ~u = sen ~i + cos ~j + 0 ~k ~uz = 0~i + 0 ~j + 1 ~k

6. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 96 Ecuaciones que admitirán la siguiente expresión matricial: 0 B@ ~u ~u ~uz 1 CA = 0 B@ cos sen 0 sen cos 0 0 0 1 1 CA 0 BB@ ~i ~j ~k 1 CCA Siendo: fGcilg = 0 B@ cos sen 0 sen cos 0 0 0 1 1 CA La matriz que permite el paso de un vector de componentes cartesianas a cil´ındricas. Velocidades La velocidad expresada en referencia cartesiana ya sabemos que es: ~v = _ x~i + y_ ~j + z_ ~k , en donde: x_ = _ cos _ sen y_ = _ sen + _ cos z_ = z_ El vector velocidad expresado en la referencia cil´ındrica lo obtendremos mediante: ~vcil = fGcilg ~v Esto es: 0 B@ v v vz 1 CA = 0 B@ cos sen 0 sen cos 0 0 0 1 1 CA 0 B@ _ cos _ sen _ sen + _ cos z_ 1 CA Efectuando esta operación resulta: v = _ v = _ vz = z_ Que son las componentes del vector velocidad en expresión cil´ındrica. El vector velocidad expresado en forma cil´ındrica será: ~vcil = v ~u + v ~u + vz ~uz = _ ~u + _ ~u + z_ ~uz

7. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 97 Aceleraciones La aceleración expresada en la referencia cartesiana sabemos que es: ~a = x~i + y ~j + z ~k , en donde: x = cos 2 _ _ sen sen _2 cos y = sen + 2 _ _ cos + cos _2 sen z = z Lo que habremos obtenido como derivación segunda en la expresión de las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas cil´ındricas. El vector aceleración expresado en la referencia cil´ındrica lo obtendremos mediante: ~acil = fGcilg ~a Esto es: 0 B@ a a az 1 CA = 0 B@ cos sen 0 sen cos 0 0 0 1 1 CA 0 B@ cos 2 _ _ sen sen _2 cos sen 2 _ _ cos + cos _2 sen z 1 CA Efectuando esta operación resulta: a = _2 a = 2 _ _ + az = z Que son las componentes del vector aceleración en expresión cil´ındrica. El vector acel-eraci ón expresado en forma cil´ındrica será: ~acil = a ~u + a ~u + az ~uz = ( _2) ~u + (2 _ _ + ) ~u + z ~uz

8. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 98 4.2.3. Cinemática del punto en coordenadas esféricas En el sistema referencial esférico la posición de un punto viene dada por las coordenadas (r; '; ). Dado que nuestro punto es móvil, estas coordenadas serán en general función del parámetro escalar tiempo: r = r(t) ' = '(t) = (t) El conocimiento de estas tres ecuaciones determina la trayectoria del punto en la referen-cia esférica y en función paramétrica del tiempo. La relación existente entre las coordenadas esféricas y las coordenadas cartesianas es: x = r sen ' cos y = r sen ' sen z = r cos ' Observando la Figura 4.2 podremos obtener la relación existente entre los vectores uni-r X Y Z q uj r u uq j Figura 4.2: Coordenadas esféricas tarios cartesianos (~i;~j;~k) y los vectores unitarios esféricos (~ur; ~u'; ~u): ~ur = sen ' cos ~i + sen ' sen ~j + cos ' ~k ~u' = cos ' cos ~i + cos ' sen ~j sen ' ~k ~u = sen ~i + cos ~j + 0 ~k

9. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 99 Ecuaciones que admitirán la siguiente expresión matricial: 0 B@ ~ur ~u' ~u 1 CA = 0 B@ sen ' cos sen ' sen cos ' cos ' cos cos ' sen sen ' sen cos 0 1 CA 0 BB@ ~i ~j ~k 1 CCA Siendo: fGesfg = 0 B@ sen ' cos sen ' sen cos ' cos ' cos cos ' sen sen ' sen cos 0 1 CA La matriz que permite el paso de un vector de componentes cartesianas a esféricas. Velocidades La velocidad de un punto expresada en la referencia cartesiana ya sabemos que es: ~v = _ x~i + y_ ~j + z_ ~k , en donde: x_ = r_ sen ' cos + r '_ cos ' cos r _ sen ' sen y_ = r_ sen ' sen + r '_ cos ' sen + r _ sen ' cos z_ = r_ cos ' r '_ sen ' El vector velocidad expresado en la referencia esférica lo obtendremos mediante: ~vesf = fGesfg ~v Efectuada la correspondiente operación matricial, obtendremos: vr = r_ v' = r '_ v = r _ sen ' Que son las componentes del vector velocidad en expresión esférica. El vector velocidad expresado en forma esférica será: ~vesf = vr ~ur + v' ~u' + v ~u = r_ ~ur + r '_ ~u' + r _ sen ' ~u

10. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 100 Aceleraciones La aceleración del punto expresada en la referencia cartesiana sabemos que es: ~a = x~i + y ~j + z ~k Determinadas por derivacion x, y y z, y aplicando: ~aesf = fGesfg ~a Obtendremos: ar = r r '_ 2 r _2 sen2' a' = 2 r_ '_ + r ' r _2 sen' cos ' a = 2 r_ _ sen ' + 2 r '_ _ + r sen ' Que son las componentes del vector aceleración en coordenadas esféricas. El vector acel-eraci ón expresado en forma esférica será: ~aesf = ar ~ur + a' ~u' + a ~u ~aesf = (r r '_ 2 r _2 sen2') ~ur + (2 r_ '_ + r ' r _2 sen' cos ') ~u' + + (2 r_ _ sen ' + 2 r '_ _ + r sen ') ~u

11. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 101 4.2.4. Cinemática del punto en componentes intr´ınsecas Curvatura y torsión. Fórmulas de Frenet. Triedro intr´ınseco Sea un punto P que en su movimiento en un espacio tridimensional describe una cierta trayectoria. La posición de este punto en todo instante viene dada por un vector de posición ~r cuyo origen es el origen del sistema referencial empleado, y cuyo extremo es el propio punto móvil P. Podemos considerar una coordenada curvil´ınea s que determina la posición del punto P en la trayectoria midiendo la distancia a lo largo de esta trayectoria del punto a un punto arbitrario y fijo P0 situado en la misma. Este planteamiento aparece reflejado en la Figura 4.3. r X Y Z Ds r D r r+ D s o P P Figura 4.3: Trayectoria de un punto en el espacio En estas condiciones podremos decir que el vector de posición ~r es función de la coordenada curvil´ınea escalar s. Es decir: ~r = ~r(s) Si el vector ~r es fución de la coordenada curvil´ınea s , también lo serán sus componentes, y podremos decir: ~r(s) = x(s)~i + y(s)~j + z(s) ~k

12. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 102 Derivando este vector con respecto del escalar s: lm s!0 ~r(s) s = d~r ds = dx ds ~i + dy ds ~j + dz ds ~k Como la curva s, y la cuerda j~r j tienden a coincidir para valores de s suficientemente pequeños, podremos decir: lm s!0 j~r j s = jd~r j ds = 1 ds es la unidad y se trata por tanto de un vector uni-tario. Con lo cual, el módulo del vector d~r La dirección de este vector será además la de la tangente a la curva en ese punto, ya que ésta es la dirección l´ımite de la cuerda. Este vector es el denominado vector unitario en la dirección tangencial ~ . ~ = d~r ds Por ser su modulo ´la unidad, las componentes de este vector cumpliran: ´ dx 2 2 + dy + dz 2 = 1 ds ds ds Derivemos ahora el vector unitario tangencial ~ con respecto de s: d~ ds = d2~r ds2 = d2x ds2 ~i + d2y ds2 ~j + d2z ds2 ~k ds será ortogonal a él. 1 Por ser el vector ~ de módulo constante, el vector d~ Denominamos vector unitario en la dirección normal principal al vector unitario en la direc-ci ón de d~ ds , y lo representamos como ~. ~ = d~ ds

17. d~ ds

22. ; o bien: d~ ds =

27. d~ ds

32. ~ 1La derivada de un vector de módulo constante es un vector ortogonal al vector derivado. En efecto, si ~r es un vector de módulo constante: ~r ~r = norma ~r = j~r j2 = Kte. Derivando esta expresion: ´d~r ~r +~r d~r = 0 ! 2 ~r d~r = 0 ! ~r d~r dt dt dt dt = 0 Luego dado que en general ~r y d~r dt no son nulos, al ser nulo su producto escalar, ambos vectores serán ortogonales.

33. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 103 Sean A y B dos puntos de la trayectoria separados por un valor de coordenada curvil´ınea s; y consideremos en cada uno de esos puntos los vectores tangentes unitarios ~ . Ambas tangentes, al igual que las normales forman entre s´ı un ángulo . ( Ver la Figura 4.4 ) t (A) A B Ds Da t (B)t (A) t Da D t (B) Figura 4.4: Puntos A y B en la trayectoria, y sus respectivos vectores tangentes unitarios La variación de ~ al pasar del punto A al punto B se obtiene restando ambos vectores uni-tarios, verificándose que j~ j = , ya que j~ j = 1. Dividiendo por s y tomando el l´ımite cuando s tiende a cero: lm s!0 j~ j s = lm s!0 s Definimos curvatura de la trayectoria como: lm s!0 s Y denominamos radio de curvatura a su valor inverso. Nos queda entonces: jd~ j d 1 = = ds ds Y teniendo en cuenta que: d~ ds =

38. d~ ds

43. ~ Nos quedará: d~ ds = 1 ~ (Primera fórmula de Frenet) Definimos el vector unitario en la dirección binormal en un punto de la trayectoria como: ~b = ~ ^ ~

44. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 104 Siendo por tanto ortogonal a los vectores ~ y ~. Los vectores ~ , ~ y ~b forman un triedro trirrectángulo caracter´ıstico para cada punto de la trayectoria, denominado triedro intr´ınseco. Derivando la expresión del vector unitario en la dirección binormal, con respecto a la co-ordenada curvil´ınea s, y teniendo en cuenta la primera fórmula de Frenet: d~b ds = d~ ds ^ ~ + ~ ^ d~ ds = 1 ~ ^ ~ + ~ ^ d~ ds = ~ ^ d~ ds Lo que demuestra que d~b ds es un vector ortogonal a ~ , y como ~b es un vector de módulo constante, su derivada también será ortogonal a ~b; lo que forzosamente hace que d~b ds tenga la dirección normal principal, y podamos escribir: d~b ds = 1 t ~ (Tercera fórmula de Frenet) Al escalar 1 t se le denomina torsión de la trayectoria, y es positivo cuando el triedro in-tr ´ınseco gira en sentido positivo alrededor de la tangente al desplazarse el punto a lo largo de la trayectoria en sentido positivo. Derivando la expresión ~ =~b^~ con respecto al escalar s, y teniendo en cuenta las fórmulas de Frenet 1a y 3a, obtendremos: d~ ds = d~b ds ^ ~ +~b ^ d~ ds = 1 t ~ ^ ~ +~b ^ 1 ~ d~ ds = 1 t ~b 1 ~ (Segunda fórmula de Frenet) Las tres fórmulas de Frenet pueden condensarse en una única expresión matricial, que puede servir como regla nemotécnica: 0 BBBBBBBBBBB@ d~ ds d~ ds d~b ds 1 CCCCCCCCCCCA = 0 BBBBBBBBBBB@ 0 1 0 1 0 1 t 0 1 t 0 1 CCCCCCCCCCCA 0 BBBBBB@ ~ ~ ~b 1 CCCCCCA La terna de vectores unitarios ~ , ~ y ~b conforman un triedro trirrectángulo caracter´ıstico de cada punto P de la trayectoria; es el denominado triedro intr´ınseco. El plano conformado por las direcciones ~ y ~ es el denominado plano osculador. Dicho plano osculador contiene la trayectoria en el punto P y en los inmediatamente anteriores y

45. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 105 posteriores a él. El elemento diferencial de trayectoria que está contenido en el plano oscu-lador ser´ıa asimilable a un arco diferencial de circunferencia. El radio de esa circunferencia denominada circunferencia osculatriz es el radio de curvatura de la trayectoria, que se en-contrar á dirigido según la dirección de ~ y hacia la parte cóncava de la misma. El plano conformado por las direcciones ~ y ~b es el denominado plano normal principal. Es el plano que contiene a todas las ortogonales a la trayectoria en el punto P. El plano conformado por ~b y ~ es el plano rectificante. La trayectoria en la zona diferen-cial próxima a P podr´ıa ser desarrollada y rectificada sobre dicho plano. Una representación del triedro intr´ınseco se puede observar en la Figura 4.5: t h b Plano rectificante Plano normal Plano osculador Figura 4.5: Triedro intr´ınseco Componentes intr´ınsecas del vector velocidad y del vector aceleración El vector velocidad podrá expresarse como: ~v = d~r dt = d~r ds ds dt = ~ v En donde v es el módulo del vector velocidad, llamado también celeridad, siendo: v = ds dt Por lo tanto, el vector velocidad expresado en la referencia intr´ınseca nos queda: ~v = v ~ Lo que nos indica que la velocidad está alineada siempre con la dirección tangencial, no dando componentes ni en la dirección normal principal ni en la dirección binormal.

46. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 106 En cuanto a la aceleración, recordemos que fué definida como: ~a = d~v dt La obtendremos derivando la expresión de la velocidad en referencia intr´ınseca: ~a = dv dt ~ + v d~ dt Para obtener la derivada del vector unitario en la dirección tangencial con respecto del tiempo haremos: d~ dt = d~ ds ds dt Teniendo en cuenta la primera fórmula de Frenet, y que la derivada con respecto del tiempo de la coordenada curvil´ınea s es el módulo del vector velocidad: d~ dt = v ~ Con lo que la expresión del vector aceleración en componentes intr´ınsecas será: ~a = dv dt ~ + v2 ~ Con lo que llegamos a la siguiente conclusión: El vector aceleración referido al triedro intr´ınseco sólo tiene componentes según las direc-ciones tangencial y normal principal, siendo éstas: a = dv dt = d2s dt2 a = v2 Es un vector que se encuentra siempre contenido en el plano osculador, por no tener compo-nente en la dirección binormal. La componente de la aceleración tangencial a indica la variación del módulo de la ve-locidad, en tanto que la componente normal a que se encuentra ligada a la geometr´ıa de la trayectoria mediante el radio de curvatura , indica la variación en la dirección del vector velocidad.

47. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 107 Ley del movimiento en coordenada curvil´ınea Si el movimiento del punto móvil en su trayectoria estuviese definido por una ley que nos diese el valor de la coordenada curvil´ınea s medida desde un punto arbitrario de la trayecto-ria P0 en función del tiempo, del tipo: s = s(t) Dir´ıamos que hemos establecido la ley escalar del movimiento o ley del movimiento en coordenada curvil´ınea. Una primera derivación con respecto al tiempo nos permite determi-nar el módulo de la velocidad: v = ds dt Una segunda derivación nos determina la componente tangencial de la aceleración: a = d2s dt2 El conocimiento completo del vector aceleración ~a deberá efectuarse a partir del conocimien-to de la geometr´ıa de la trayectoria, y por tanto de ; con lo que se podr´ıa determinar a y por tanto ~a. Es decir, que teniendo como dato la ley s = s(t) no se podr´ıa entender todo el movimiento si no se conoce asimismo la trayectoria. 4.2.5. Cinemática plana Consideremos ahora el movimiento de un punto dentro de un plano; es decir el movimien-to de un punto en el que su trayectoria es una curva plana. Veamos entonces cuales serán las expresiones del vector velocidad y del vector aceleración según el tipo de referencia empleado: Cinemática plana en coordenadas cartesianas Supuesto que el movimiento tiene lugar dentro de un plano XY , el análisis se re-ducir á simplemente a considerar el caso tridimensional sin más que tener en cuenta que z = kte = 0. Por tanto: ~r = x~i + y ~j Velocidad: ~v = d~r dt = dx dt ~i + dy dt ~j = vx ~i + vy ~j

48. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 108 vx = dx dt = x_ vy = dy dt = y_ 9= ; Aceleración: ~a = d2~r dt2 = d2x dt2 ~i + d2y dt2 ~j = ax ~i + ay ~j ax = d2x dt2 = x = v_x ay = d2y dt2 = y = v_y 9= ; Cinemática plana en coordenadas polares En un sistema referencial polar en el plano la posición de un punto P viene definida por el par (; ); donde es la distancia del punto P al punto fijo de referencia 0, y el ángulo es el que forma 0P con una dirección de referencia dada. Sin más consideraciones que las meramente geométricas, que podremos deducir en la Figura 4.6, las ecuaciones que nos permiten el paso de las coordenadas polares a cartesianas son : X Y x y i j r q ur uq P 0 Figura 4.6: Sistema referencial plano polar y cartesiano x = cos y = sin

49. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 109 Y las ecuaciones que permiten efectuar el paso inverso son: = q x2 + y2 = arc tg y x El análisis de la cinemática plana en polares, puede deducirse como una particularización de la cinemática espacial en coordenadas cil´ındricas, sin más que considerar que en todo momento z = kte = 0 . De esta forma deduciremos: Expresión de la velocidad en polares: ~v = v ~u + v ~u 8 : v = _ ( Componente radial ) v = _ ( Componente transversal ) Expresión de la aceleración en polares: ~a = a ~u + a ~u 8 : a = _2 ( Componente radial ) a = 2 _ _ + ( Componente transversal ) A idéntico resultado hubiéramos llegado particularizando las expresiones de la cinemática espacial en coordenadas esféricas para r = y ' = 2 = kte. Cinemática plana en coordenadas intr´ınsecas En el movimiento del punto P en una trayectoria plana, el triedro intr´ınseco asociado al punto evoluciona en tal forma que el plano osculador permanece constantemente coincidente con el plano que contiene a la trayectoria plana, dado que una l´ınea plana tiene torsión cero. Por tanto el vector aceleración: ~a = a ~ + a ~ Estará contenido permanentemente en el propio plano de la trayectoria. Igualmente, el vector velocidad: ~v = v ~ Tangente a la trayectoria, siempre estará contenido en el plano de la misma.

50. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 110 4.2.6. Estudio particular de algunos movimientos Movimiento rectil´ıneo Un movimiento rectil´ıneo es aquél cuya trayectoria es una l´ınea recta. En la l´ınea recta el vector unitario ~ tiene la misma dirección en todos los puntos de la misma. El módulo de ~ es también constante, por tanto: d~ ds = 1 ~ = 0 =) Curvatura = 0 =) = infinito Por tanto en un movimiento rectil´ıneo, la aceleración, caso de existir, carece de componente normal, ya que al ser el radio de curvatura igual a infinito: a = v2 = v2 1 = 0 Con lo que la única componente posible del vector aceleración es la componente tangen-cial a . Por tanto, en los movimientos rectil´ıneos, caso de haber aceleración, ésta siempre será colineal con la velocidad. Movimiento rectil´ıneo uniforme Es aquél cuya trayectoria es una l´ınea recta, y cuya velocidad ~v es constante. ~v = v ~ = ! kte =) v =kte: v = ds dt = kte: =) ds = v dt Integrando: s = s0 + v t La componente tangencial de la aceleración ( La única posible en un movimien-to rectil´ıneo ) es nula, ya que : a = dv dt = 0 Las leyes de este movimiento rectil´ıneo uniforme quedan gráficamente expre-sadas en los siguientes diagramas ( Figura 4.7 ) : v s a = at so t t t Figura 4.7: Diagramas del movimiento rectil´ıneo uniforme

51. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 111 Movimiento rectil´ıneo uniformemente variado Es aquél cuya trayectoria es una l´ınea recta, y cuya aceleración es constante. ~a = a ~ = ! kte =) a =kte a = d2s dt2 = dv dt = kte =) dv = a dt Integrando: v = v0 + a t Y teniendo en cuenta que: v = ds dt =) ds dt = v0 + a t =) ds = v0 dt + a t dt E integrando de nuevo: s = s0 + v0 t + 1 2 a t2 Las leyes de este movimiento rectil´ıneo uniformemente variado quedan gráfi-camente expresadas en los siguientes diagramas ( Figura 4.8 ) : t a = at o v v s so t t Figura 4.8: Diagramas del movimiento rectil´ıneo uniformemente variado Movimiento lineal armónico simple Es un movimiento de trayectoria rectil´ınea en el que la coordenada curvil´ınea s medida a partir de un punto fijo de la propia trayectoria viene dada por la sigu-iente ley: s = A sen(wt + ') En donde los siguientes valores constantes presentan este significado: A : Amplitud o máximo valor de la coordenada curvil´ınea s. w : Pulsación. w = 2 = 2 T ; donde es la frecuencia, y T es el periodo. ' : Angulo de desfase inicial.

52. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 112 En cuanto a la velocidad y la aceleración: v = ds dt = A w cos(wt + ') a = d2s dt2 = A w2 sen(wt + ') = w2 s Las leyes de este movimiento lineal armónico simple se expresan gráficamente en los siguientes diagramas ( Figura 4.9 ) : t v s a = a Figura 4.9: Diagramas del movimiento lineal armónico simple

53. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 113 Movimiento circular Un punto está animado de movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferen-cia plana. Una circunferencia posee en todos sus puntos un radio de curvatura = R = Kte. La dirección normal principal ~ es en todos los puntos la dirección del radio de la circunfer-encia y está dirigida hacia el centro de la misma. Considerando una referencia polar cuyo origen sea el centro de la trayectoria circunferencial, y trabajando en valores escalares, denominamos velocidad angular de rotación w a: w = d dt En donde representa el ángulo que un radio vector trazado desde el centro 0 hasta el punto móvil forma con una dirección dada fija. Con este planteamiento, denominaremos aceleración angular a: = dw dt = d2 dt2 Por una relación propia de la geometr´ıa circunferencial ( Figura 4.10 ) sabemos que: s = R Y derivando: v = ds dt = w R y a = d2s dt2 = R q o s t h Figura 4.10: Movimiento circular

54. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 114 Movimiento circular uniforme Se trata de un movimiento de trayectoria circular, en el cual w = kte. w = d dt = kte =) d = w dt Integrando: = 0 + w t Relacionando el ángulo barrido con la coordenada curvil´ınea recorrida: s = R =) s = 0 R + w R t =) s = s0 + w R t Dado que la velocidad angular w es constante, la aceleración angular será nula: = dw dt = 0 En cuanto a la velocidad lineal del punto, su módulo será constante: v = w R = kte. Siendo esta velocidad un vector con dirección tangente a la trayectoria en ca-da punto: ~v = w R ~ El cambio de dirección del vector velocidad da lugar a la existencia de acel-eraci ón, aunque como hemos visto, el módulo de la velocidad es constante. Las componentes intr´ınsecas de la aceleración serán: a = dv dt = 0 a = v2 = v2 R = w2 R = kte Y el vector aceleración será: ~a = v2 R ~ = w2 R ~ En el movimiento circular uniforme el módulo de la velocidad es constante, no siéndolo su dirección, la cual es en todo momento tangente a la trayectoria circular descrita. Este cambio en la dirección del vector velocidad da lugar a la aparición de una aceleración cuya dirección está dirigida hacia el centro de la trayectoria circular, y cuyo módulo es a su vez constante. Las leyes de este movimiento circular uniforme se expresan gráficamente en los siguientes diagramas ( Figura 4.11 ):

55. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 115 v s t t t at so t ah Figura 4.11: Diagramas del movimiento circular uniforme Movimiento circular uniformemente variado Se trata de un movimiento de trayectoria circular, en el cual = kte. = dw dt = kte =) dw = dt Integrando: w = w0 + t w = d dt = w0+ t =) d = w0 dt+ t dt Integrando: = 0+w0 t+ 1 2 t2 De donde: s = R =) s = 0 R + w0 R t + 1 2 R t2 =) s = s0 + v0 t + 1 2 a t2 En cuanto a la velocidad lineal del punto: v = w R = w0 R + R t = v0 + a t Las componentes intr´ınsecas de la aceleración son: a = R = kte a = v2 = v2 R = w2 R2 R = w2 R ( Variable ) En resumen, en el movimiento circular uniformemente variado, el módulo del vector velocidad es creciente linealmente con el tiempo. Ya sabemos que la di-recci ón de este vector es variable y en todo momento tangente a la trayectoria circular. En cuanto al vector aceleración, su componente tangencial, es constante; y su componente normal dirigida hacia el centro de la trayectoria, es creciente en forma cuadrática en relación al tiempo. Las leyes de este movimiento se expresan en forma gráfica en los siguientes diagramas ( Figura 4.12 ):

56. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 116 v s at vo R.x so ah t t t t Figura 4.12: Diagramas del movimiento circular uniformemente variado

57. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 117 4.3. Cinemática de los sistemas indeformables 4.3.1. Concepto de sistema indeformable Un sistema material continuo o discreto, diremos que es indeformable cuando la distancia relativa entre los puntos del mismo no var´ıa, es decir, permanece constante con el transcurso del tiempo. SiendoA yB dos puntos cualesquiera de este sistema material indeformable, se deberá cumplir que: d dt norma A!B = 0 El sistema material continuo e indeformable recibe el nombre de s ólido r´ıgido. La posición en el espacio tridimensional de un sistema indeformable queda perfectamente determinada al conocer la localización de tres puntos del mismo no alineados. Si A, B y C son tres puntos del sistema que cumplen dicha condición: A (xA; yA; zA) B (xB; yB; zB) C (xC; yC; zC) El conocimiento de la localización de estos tres puntos implicar´ıa el conocimiento de nueve parámetros, es decir, las nueve coordenadas cartesianas de los mismos. Sin embargo, estos parámetros no son independientes entre s´ı, ya que al ser sus distancias mutuas invariables podr´ıamos expresar: norma A!B = (xB xA)2 + (yB yA)2 + (zB zA)2 = kte norma B!C = (xC xB)2 + (yC yB)2 + (zC zB)2 = kte norma C!A = (xA xC)2 + (yA yC)2 + (zA zC)2 = kte Lo cual supone la presencia de tres ecuaciones de condición. Luego de los nueve parámetros sólo seis son realmente independientes. Por tanto, la posición de un sistema indeformable en el espacio tridimensional viene definida por el conocimiento de seis parámetros lagrangeanos o coordenadas generalizadas. Pensando en un espacio bidimensional, un sistema indeformable de tipo laminar, tiene su posición determinada si se conoce la posición de dos puntos A y B del mismo; es decir si se conocen cuatro coordenadas cartesianas: A (xA; yA) B (xB; yB)

58. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 118 Pero de estos cuatro paramétros sólo tres son realmente independientes ya que al suponer indeformable el sistema, la distancia entre A y B es constante. norma A!B = (xB xA)2 + (yB yA)2 = kte Por tanto, la posición de un sistema indeformable en un espacio bidimensional viene definida por el conocimiento de tres parámetros lagrangeanos o coordenadas generalizadas. 4.3.2. Teorema de la proyección de las velocidades Dados dos puntos A y B de un sistema indeformable, el cual se mueve en el espacio con un movimiento cualquiera, las proyecciones de las velocidades de dichos puntos sobre la l´ınea AB que los une, en un instante dado, son las mismas. A v B v B A 0 AB A Proy v AB B Proy v Figura 4.13: Teorema de la proyección de la velocidades En efecto, dada la definición de sistema indeformable, podremos expresar: d dt norma A!B = 0 =) d(A!B A!B) dt = 0 =) d A!B 2 dt = 0 2 A!B d A!B dt = 0 =) A!B d A!B dt = 0 Considerando ahora un punto fijo 0, y trazando desde él los vectores de posición !0A y ! 0B que determinan la localización de los puntos A y B del sistema indeformable, podremos de-cir: 0!B = 0!A + A!B

59. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 119 Y derivando esta expresión con respecto al tiempo: d ! 0B dt = d !0A dt + d A!B dt =) ~vB = ~vA + d A!B dt Proyectamos ahora esta expresión sobre la l´ınea AB, para lo cual bastará multiplicarla es-calarmente por el vector unitario en la direccioń de A!B. ~uAB = A!B jA!Bj =) ~vB ~uAB = ~vA ~uAB + A!B jA!Bj d A!B dt El último término como hemos visto es nulo, luego por tanto: Proy! AB ~vB = Proy! AB ~vA Recordemos que esta propiedad también la cumplen los momentos resultantes de un sistema de vectores deslizantes, que ya estudiamos en el Cap´ıtulo 1. 2 Como consecuencia del teorema de la proyección de las velocidades podemos plantear la siguiente aplicación práctica: Sea un sólido r´ıgido indeformable que se mueve en un espacio bidimensional, y del cual en un instante dado conocemos la velocidad de dos puntos, siendo ~ vA la velocidad del punto A, y ~ vB la velocidad del punto B. En estas condiciones podremos determinar la velocidad de cualquier otro punto P del sólido procediendo de la siguiente forma: ( Ver Figura 4.14 ) Unimos mediante una l´ınea los puntos A y P, y proyectamos sobre la misma la velocidad de A. Dicha proyección la trasladamos sobre la l´ınea AP al punto P. Trazamos una perpen-dicular a AP indefinida por el extremo de la proyección trasladada. Procedemos en forma semejante con los puntos B y P, es decir, trazamos la l´ınea BP y proyectamos sobre la mis-ma la velocidad del punto B, trasladamos sobre esta l´ınea la velocidad proyectada al punto P, y por el extremo de la proyección trasladada trazamos otra perpendicular indefinida a BP. 2En efecto, la relación que liga los momentos resultantes en dos puntos distintos del espacio A y B, generados por un sistema de vectores deslizantes es : ( Ver x 1.23.5 ) M!A = A!B ^!R + M!B Proyectando esta expresión sobre la linea AB, es decir multiplicándola escalarmente por el vector uni-tario en al dirección de AB: ~uAB = A!B jA!Bj =) M!A ~uAB = (A!B ^!R) A!B jA!Bj + !MB ~uAB Y teniendo en cuenta que el producto mixto que aparece es nulo por presentar dos vectores colineales, nos queda: AB !MA = Proy! Proy! AB !MB

60. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 120 A v B proy v AP A P P v proy v proy v B v A proy v AP A BP B BP B Figura 4.14: Aplicación del teorema de la proyección de las velocidades El punto de intersección de ambas perpendiculares define el extremo del vector velocidad de P que tiene su origen en el propio punto P. Teóricamente, pero sin operatividad práctica, se podr´ıa plantear que para un sólido r´ıgido indeformable que se mueve en un espacio tridimensional, con el conocimiento de las ve-locidades de tres puntos del mismo A, B y C es posible determinar en un instante dado, la velocidad de cualquier otro punto P de dicho sólido. En este caso las desproyecciones sobre las l´ıneas AP, BP y CP deben efectuarse mediante planos ortogonales a las mismas. La intersección de estos tres planos definir´ıan el extremo del vector velocidad de P buscado.

61. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 121 4.3.3. Movimientos que puede presentar un sistema indeformable en un instante dado 1. Traslación: Diremos que en un instante dado, un sistema indeformable está en traslación si su campo de velocidades es uniforme. Es decir, todos los puntos del sistema ese instante considerado tienen la misma velocidad. Recordemos que el concepto de ve-locidad es un vector que comporta módulo, dirección y sentido. 2. Rotación: Diremos que en un instante dado un sistema indeformable está en rotación cuando las l´ıneas vectoriales del campo de velocidades del mismo, es decir, las cur-vas tangentes en el punto de aplicación a los vectores velocidad que presentan igual módulo, son circunferencias, cuyos centros están todos en una recta denominada eje instantáneo de rotación. Los módulos de las velocidades de los puntos son propor-cionales a la distancia R al eje de rotación, según la relación: v = w R. 3. Helicoidal: Un sistema indeformable presenta en un instante dado un movimiento helicoidal si las l´ıneas del campo de velocidades son hélices. El eje de estas hélices se denomina eje instantáneo de rotación-deslizamiento. 4.3.4. Vector velocidad angular. Velocidad de un punto de un sistema indeformable sometido a rotación Para un sistema indeformable sometido a un movimiento de rotación, definimos el vector velocidad angular de rotación ~w cómo un vector deslizante cuya l´ınea de acción es el eje instantáneo de rotación y caracterizado por: Módulo: w = d dt ( A´ ngulo girado por unidad de tiempo, en rad/s ) Dirección: La del eje de rotación. Sentido: Tal que la terna de vectores (~r; ~r + d~r; ~w) conforme un triedro directo. Lo cual se ajusta a la conocida regla nemotécnica de la “ley del sacacorchos”. Es decir, el sentido del vector ~w coincide con el del avance de un sacacorchos que gira cómo el sólido en movimiento. ( Ver Figura 4.15 ) r d r+ w dq r Figura 4.15: Dirección y sentido del vector ~w

62. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 122 La relación que liga la velocidad de un punto P perteneciente a un sistema sólido inde-formable en rotación en torno a un eje fijo, con la velocidad angular de dicho sistema es: ~vP = ~w ^ ~r = ~w ^ ! 0P Donde ~r es el vector de posición que localiza al punto P a partir de un punto cualquiera 0 situado en el eje de rotación. ( Ver Figura 4.16 ) w r o v Figura 4.16: Velocidad l´ıneal del punto P Observemos el paralelismo que existe entre esta expresión, y aquella con la que definimos el momento de un vector deslizante !F con respecto de un punto . ( Ver Figura 4.17 ) !MP = ! P0 ^ !F = !F ^ !0P F O P Figura 4.17: Momento de un vector deslizante con respecto a un punto P Es decir, podr´ıamos considerar la velocidad ~vP de un punto P perteneciente a un sólido r´ıgi-do en rotación como el momento con respecto a P del vector deslizante velocidad angular de rotación ~w . Evidentemente, como ya se demostró para los momentos, el resultado de ~v es independi-ente de cual sea el punto 0 en el que consideramos aplicado ~w siempre que sea de su l´ınea de acción.

63. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 123 4.3.5. Vector aceleración angular. Aceleración de un punto de un sis-tema indeformable sometido a rotación Definimos el vector aceleración angular ~, como: ~ = d~w dt = _~ w Como hemos visto en el apartado anterior, la velocidad de un punto P perteneciente a un sólido indeformable que rota alrededor de un eje fijo es: ~vP = ~w ^ ~r, por tanto: ~aP = d~vP dt = _~ w ^ ~r + ~w ^ _~ r = ~ ^ ~r + ~w ^ ~vP = ~ ^ ~r + ~w ^ (~w ^ ~r) En esta expresión, el primer sumando [~ ^ ~r] representa la aceleración tangencial, y es un vector que tiene la dirección de la tangente a la trayectoria descrita por el punto P. El segundo sumando [~w ^ (~w ^ ~r)] representa la componente normal de la aceleración. Descomponiendo este doble producto vectorial mediante la ya conocida relación de La-grange: ~w ^ (~w ^ ~r) = (~w ~r) ~w (~w ~w) ~r = (~w ~r) ~w w2 ~r Tomando como origen del vector de posición ~r el punto del eje que es la intersección con el mismo de un plano que pase por P y sea ortogonal a dicho eje, se verificará entonces que ~w ~r = 0 al ser los vectores ~w y ~r perpendiculares entre s´ı. Nos quedará entonces como expresión para el vector aceleración de un punto P perteneciente a un sólido indeformable que gira alrededor de un eje fijo: ~aP = ~ ^ ~r w2 ~r Lo que nos define las dos componentes de la aceleración de este punto en su trayectoria circunferencial, la tangencial y la normal. 4.3.6. Campo instantáneo de velocidades en el movimiento general de un sistema indeformable La velocidad de cada punto del sistema indeformable es un vector que en general depen-der á de la posición y del instante del tiempo considerados: ~v = ~v (~r; t)

64. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 124 Para un instante dado, la velocidad de los puntos del sistema, será función sólo de su posi-ci ón: ~v = ~v (~r) Consideremos un sistema referencial fijo (01;~i1;~j1;~k1). As´ı mismo, y solidaria en su movimien-to con el sistema indeformable móvil consideremos una segunda referencia (0;~i;~j;~k). Ver Figura 4.18. Un punto P del sistema material, quedará situado con respecto a la referencia móvil me-diante el vector de posición ~r : ~r = x~i + y ~j + z ~k Donde; ~r = !0P Llamando ~r0 = 0!10 y ~r1 = 01!P ; En todo instante se verificara´ que: ~r1 = ~r0 + ~r P Z1 1 O Y1 X1 Z Y X 1 k 1 j 1 i O i j k 1 r o r r Figura 4.18: Referencia fija y referencia móvil ligada al sólido indeformable Para determinar la velocidad del punto P en la referencia fija, bastará calcular: ~vP = d~r1 dt = d~r0 dt + d~r dt (4.1) El vector de posición ~r0 tiene su origen en la referencia fija, por tanto su derivada será:

65. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 125 d~r0 dt = ~v0 El vector ~r tiene su origen en la referencia móvil (0;~i;~j;~k). Como esta referencia se mueve solidariamente con el sistema material, las coordenadas del punto P (x; y; z) permanecen constantes, y podremos expresar: d~r dt = x d~i dt + y d~j dt + z d~k dt (4.2) Recordemos que la derivada de un vector de módulo constante, como es el caso de los vec-tores ~i , ~j y ~k, es un vector ortogonal al vector derivado. Luego el vector d~i dt podrá ser ex-presado como el producto vectorial de un vector desconocido ~p de componentes p1, p2 y p3 . Podemos efectuar el mismo planteamiento para los vectores d~j por el propio vector~i dt y d~k dt considerando ahora los vectores desconocidos ~q y ~s : d~i dt = (p1 ~i + p2 ~j + p3 ~k) ^~i = p3 ~j p2 ~k d~j dt = (q1 ~i + q2 ~j + q3 ~k) ^~j = q1 ~k q3 ~i d~k dt = (s1 ~i + s2 ~j + s3 ~k) ^ ~k = s2 ~i s1 ~j Con lo que los valores de los escalares p1, q2 y s3 pueden ser arbitrarios. Sabemos que los vectores~i, ~j y ~k por ser ortogonales entre s´ı cumplen: i ~~i ~j = 0 ~j ~k = 0 ~k = 0 Y derivando con respecto del tiempo: d~i dt ~j +~i d~j dt = 0 d~j dt ~k +~j d~k dt = 0 d~k dt ~i +~k d~i dt = 0 ,~j y ~k y sus derivadas Eliminando entre las nueve últimas ecuaciones planteadas los versores~i obtendremos:

66. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 126 p3 = q3 q1 = s1 s2 = p2 Y teniendo en cuenta que p1, q2 y s3 son arbitrarios, podr´ıamos decir: p1 = q1 = s1 p2 = q2 = s2 p3 = q3 = s3 Con lo que los tres vectores ~p, ~q y ~s planteados a priori, coinciden en un vector único, que denominaremos ~w. Las tres ecuaciones que expresan la derivación de los vectores unitarios adoptarán entonces la forma: d~i dt = ~w ^~i d~j dt = ~w ^~j d~k dt = ~w ^ ~k Sustituyendo estas expresiones en (4.2) : d~r dt = x (~w ^~i) + y (~w ^~j) + z (~w ^ ~k) = ~w ^ (x~i + y ~j + z ~k) = ~w ^ ~r (4.3) Y sustituyendo finalmente en (4.1) : ~vP = ~v0 + ~w ^ ~r (4.4) Expresión que nos determina la velocidad de un punto genérico P perteneciente a un sistema indeformable que se encuentra en movimiento. Anotemos las siguientes consideraciones: 1. La velocidad de un punto P del sistema indeformable consta de dos sumandos. El primero es la velocidad de un punto 0 perteneciente al propio sistema, y nos determina la traslación del mismo. 2. El segundo sumando ~w ^ ~r, es el momento del vetor ~w aplicado en 0 con respecto del punto P. Indica la existencia de una rotación. Es de hacer notar que en la generación del vector ~w no ha intervenido el punto P considerado.

67. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 127 En resumen concluiremos diciendo: El movimiento más general de un sistema indeformable se puede considerar como la suma de una traslación de velocidad igual a la de uno de los puntos 0 del sistema elegido arbitrariamente como origen de la referencia móvil ligada al sistema, más una rotación en torno a un eje que pasa por dicho punto 0. El conjunto formado por los dos vectores (~v0; ~w) se denomina grupo cinemático del movimien-to del sistema indeformable en el punto 0. 4.3.7. Invariantes cinemáticos El vector velocidad angular ~w no depende del punto 0 del sólido indeformable consider-ado. Pensemos en un sistema indeformable en movimiento, y en él dos puntos, 00 y 000. Supon-dremos que para el punto 00 el grupo cinemático es (~v00 ; ~w00), y para el punto 000 el grupo cinemático es (~v000 ; ~w000). Ver Figura 4.19. P v o ¢ wo¢ r ¢ r ¢ O¢ o r wo¢¢ o v ¢¢ O¢¢ Figura 4.19: Sistema indeformable con dos puntos de referencia 00 y 000 Tomando como base el punto 00, la velocidad de un punto cualquiera P del sistema será: ~vP = ~v00 + ~w00 ^ ~r 0 Tomando como base ahora el punto 000, la velocidad del mismo punto P se expresará: ~vP = ~v000 + ~w000 ^ ~r 00 Como la velocidad del punto P en un instante dado será única:

68. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 128 ~v00 + ~w00 ^ ~r 0 = ~v000 + ~w000 ^ ~r 00 Expresando la velocidad de 000 en función de 00 : ~v00 + ~w00 ^ ~r 0 = ~v00 + ~w00 ^ ~r0 + ~w000 ^ ~r 00 Y teniendo en cuenta que ~r0 = ~r 0 ~r 00 : ~v00 + ~w00 ^ ~r 0 = ~v00 + ~w00 ^ (~r 0 ~r 00) + ~w000 ^ ~r 00 Operando: ~w00 ^ ~r 0 = ~w00 ^ ~r 0 ~w00 ^ ~r 00 + ~w000 ^ ~r 00 Y de aqu´ı: ~0 = (~w000 ~w00) ^ ~r 00 Para que este producto vectorial sea cero, alguno de los vectores que intervienen en él debe ser nulo, o bien, deben ser paralelos. El vector ~r 00 puede tomar cualquier valor o dirección por tratarse del vector de posición de un punto genérico, por tanto, la única posibilidad es que: ~w000 ~w00 = ~0 ) ~w000 = ~w00 Por lo tanto, el vector velocidad angular de rotación ~w adopta un valor único en cualquier punto del sólido indeformable en un instante dado. Diremos que es un invariante. Tomamos ahora la ecuación que relaciona la velocidad del punto 000 con la del punto 00: ~v000 = ~v00 + ~w ^ ~r0 Y la multiplicamos escalarmente por ~w en sus dos términos: ~v000 ~w = ~v00 ~w + (~w ^ ~r0) ~w El producto mixto que aparece en el segundo término es nulo por tener dos vectores iguales. Por tanto: ~v000 ~w = ~v00 ~w Lo que se podr´ıa enunciar de la siguiente forma: El producto escalar de los vectores veloci-dad y velocidad angular de rotación que constituyen el grupo cinemático, es un invariante en cualquier punto de un sistema indeformable en un instante dado.

69. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 129 La última ecuación, atendiendo a la definición del producto escalar, podr´ıa expresarse co-mo: j~wj Proy~w ~v000 = j~wj Proy~w ~v00 Proy~w ~v000 = Proy~w ~v00 = vd Lo que enunciaremos como: La proyección del vector velocidad ~v de cualquier punto del sistema indeformable, sobre el vector velocidad angular ~w es un invariante, que denominare-mos vd o velocidad de deslizamiento. En resumen, en el campo instantáneo de velocidades de un sistema indeformable, se pre-sentan con referencia a los grupos cinemáticos los siguientes invariantes: 1. El vector velocidad angular ~w 2. El producto escalar (~v ~w) 3. La proyección del vector velocidad ~v sobre la dirección de ~w : Proy ~w ~v = vd 4.3.8. Semejanza entre el campo de velocidades y el campo de los mo-mentos de un sistema de vectores deslizantes Recordando los sistemas de vectores deslizantes, la relación que liga los momentos re-sultantes en dos puntos distintos del espacio es: M!A = M!B + A!B ^!R = M!B +!R ^ B!A En nuestro estudio del campo instantáneo de velocidades de un sistema indeformable en movimiento, hemos obtenido: ~vA = ~vB + w~ ^ ~r = ~vB + w~ ^ B!A Fijémonos por otra parte en los invariantes:

70. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 130 Sistema de vectores deslizantes Campo instantáneo de velocidades ~R ( Resultante ) ~w ( Velocidad angular ) !M !R ~v ~w Proy!R !M = m Proy~w ~v = vd En resumen, se podrá suponer que el campo instantáneo de las velocidades de un sólido inde-formable en movimiento, es el campo de los momentos de un sistema de vectores deslizantes ( rotaciones ) que actúan sobre él. La resultante de todas estas rotaciones es ~w , que es un vector invariante. También aqu´ı existirá un eje central, que en este caso denominaremos eje instantáneo de rotación-deslizamiento. También aqu´ı será posible efectuar una clasificación en función de los invariantes. El conjunto de las velocidades, al igual que el de los momentos, presentará también en su disposición geométrica la ya conocida simetr´ıa cil´ındrica en torno en este caso, al eje in-stant áneo de rotación-deslizamiento. Ver Figura 4.20. p Eje instantaneo de rotacion - deslizamiento Figura 4.20: Distribución de las velocidades en torno al eje instantáneo de rotación-deslizamiento 4.3.9. Clasificación de los movimientos del sistema indeformable en fun-ci ón de los invariantes cinemáticos 1. ~w6= ~0 ; vd6= 0

71. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 131 Movimiento helicoidal instantáneo. Es el caso más general. En los puntos del eje in-stant áneo de rotación-deslizamiento, el vector velocidad angular ~w y el vector veloci-dad ~v, que coincide en este caso con la velocidad de deslizamiento, son colineales. 2. ~w6= ~0 ; vd = 0 Movimiento de rotación instantánea. En este caso las velocidades de los puntos del sis-tema indeformable resultan ser ortogonales a ~w. El movimiento podrá ser considerado como generado por un conjunto de rotaciones concurrentes, coplanarias o paralelas que actúan sobre el sistema. Los puntos del eje instantáneo de rotación en este caso, presentan velocidad nula. La distribución de las velocidades de los puntos del sistema está expresada en la Figura 4.21. p Eje instantaneo de rotacion w Figura 4.21: Distribución de las velocidades en la rotación instantánea. (~w6= ~0 y vd = 0) 3. ~w = ~0 ; vd6= 0 Movimiento de traslación instantánea. Al faltar el elemento rotación, sólo queda la traslación. El campo de velocidades es uniforme. Este movimiento puede considerarse generado por un par de rotaciones, es decir, dos rotaciones iguales y de sentidos opuestos. En efecto: Consideremos las rotaciones opuestas ~w y ~w. Ver Figura 4.22. La velocidad de un punto P de este sistema material será: ~vP = ~w ^ ~r1 + (~w ^ ~r2) = ~w ^ ~r1 ~w ^ ~r2 = ~w ^ (~r1 ~r2) = ~w ^ ~r0 Con lo que la velocidad del punto P, ~vP , es independiente de su posición, por tan-to todos los puntos del sistema indeformable tienen la misma velocidad, es decir, el

72. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 132 2 r o r w B A w - 1 r P Figura 4.22: Par de rotaciones aplicado a un sistema material indeformable campo de velocidades es uniforme. Esto es lo que ha sido definido como movimiento de traslación. 4. ~w = ~0 ; vd = 0 Se trata del movimiento nulo, o situación de inmovilidad. 4.3.10. Reducción a un punto del movimiento de un sistema indeformable Sea un sistema indeformable sometido a un conjunto de n rotaciones ~w1; ~w2; : : : ; ~wn. Recordemos que si existe alguna traslación, ésta se puede considerar compuesta por un par de rotaciones. La velocidad de un punto cualquiera P del sistema material será: ~vP = w~1 ^ 01!P + w~2 ^ 02!P + + w~i ^ 0i!P + + w~n ^ 0n!P = iX=n i=1 w~i ^ 0i!P En donde 0i representa a un punto de aplicación del vector deslizante ~wi en su recta de acción. La resultante de todas las rotaciones será: ~w = ~w1 + ~w2 + + ~wi + + ~wn = iX=n i=1 ~wi Por tanto, en un punto P el movimiento del sólido indeformable queda reducido por los dos términos del grupo cinemático, que son: Una traslación ~vP . Esta velocidad es propia de cada punto del sistema considerado. Una rotación resultante ~w. Esta rotación es invariante para todos los puntos del sistema. 4.3.11. Eje instantáneo de rotación-deslizamiento Definimos el eje instantáneo de rotación-deslizamiento como el lugar geométrico de los puntos del sistema en que para los cuales, y en un instante dado, el vector velocidad y el vector rotación son colineales. Dada la invarianza de la proyección del vector velocidad ~v

73. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 133 sobre la rotación ~w, también podr´ıamos decir que los puntos del eje instantáneo de rotación deslizamiento poseen la velocidad de m´ınimo deslizamiento ~vd. Determinaremos la ecuación anal´ıtica de este eje central referida a estos dos sistemas ref-erenciales: ( Ver Figura 4.23 ) 1. Sistema referencial fijo (01;~i1;~j1;~k1). 2. Sistema referencial móvil y ligado al movimiento del sistema material (0;~i;~j;~k). Z1 1 O Y1 X1 Z Y X 1 k 1 j 1 i O i j k Figura 4.23: Sistema referencial fijo y sistema referencial móvil En el sistema referencial fijo En la referencia fija las coordenadas de P y 0 serán: P(x1; y1; z1) 0(x01 ; y01 ; z01) Y las velocidades de dichos puntos se obtendrán mediante la derivación: ~vP = ~v1 = (vx1 ; vy1 ; vz1) = (x_ 1; y_1; z_1) ~v01 = (v0x1 ; v0y1 ; v0z1) = (x_ 01 ; y_01 ; z_01) La rotación ~w la expresamos en el sistema fijo como: ~w1 = (wx1 ;wy1 ;wz1)

74. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 134 La velocidad de un punto P del sistema material ~vP = ~v0 + ~w ^ !0P, se expresar´a anal´ıtica-mente en el sistema referencial fijo como: 0 B@ vx1 vy1 vz1 1 CA = 0 B@ v0x1 v0y1 v0z1 1 CA +

81. 1 ~j1 ~k1 wx1 wy1 wz1 x1 x01 y1 y01 z1 z01 ~i

88. Es decir: vx1 = v0x1 +

93. wy1 wz1 y1 y01 z1 z01

98. vy1 = v0y1 +

103. wz1 wx1 z1 z01 x1 x01

108. vz1 = v0z1 +

113. wx1 wy1 x1 x01 y1 y01

118. Expresando ahora la caracter´ıstica propia de los puntos del eje instantáneo de rotación-deslizamiento, es decir, la colinealidad en los mismos entre la velocidad ~v1 y la rotación ~w1: vx1 wx1 = vy1 wy1 = vz1 wz1 Esto es: v0x1 +

128. wx1 wy1 wz1 y1 y01 z1 z01 = v0y1 +

133. wz1 wx1 z1 z01 x1 x01

138. wy1 = v0z1 +

143. wx1 wy1 x1 x01 y1 y01

148. wz1 Que es la ecuación del eje instantáneo de rotación-deslizamiento expresada en la referencia fija (01;~i1;~j1;~k1). En el sistema referencial móvil En el triedro referencial móvil y ligado al sistema material en movimiento tanto las coor-denadas de P, como las de 0 son constantes, y por tanto en esta referencia ~vP = ~0 y ~v0 = ~0. Sin embargo, lo que nosotros vamos a expresar son las velocidades de estos puntos P y 0 con respecto a la referencia fija, pero con sus componentes en la referencia móvil. Esto lo

149. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 135 haremos mediante una matriz de transformación fGg que realiza el paso de vectores de un sistema referencial a otro: ~v = fGg ~v1 ~v0 = fGg ~v01 En donde: ~v = (vx; vy; vz) ~v0 = (v0x; v0y; v0z) Siendo las componentes del vector rotación ~w en el sistema referencial móvil (wx;wy;wz), y expresando ~vP = ~v0 + ~w ^ !0P en este sistema referencial móvil: 0 B@ vx vy vz 1 CA = 0 B@ v0x v0y v0z 1 CA +

156. ~i ~j ~k wx wy wz x y z

163. Es decir:

168. vy = v0y + vx = v0x +

173. wy wz y z

178. wz wx z x

183. vz = v0z +

188. wx wy x y

193. Y expresando el paralelismo entre los vectores ~v y ~w propio de los puntos del eje central: vx wx = vy wy = vz wz Esto es: v0x +

198. wy wz y z

203. wx = v0y +

208. wz wx z x

213. wy = v0z +

218. wx wy x y

223. wz Que es la ecuación del eje instantáneo de rotación-deslizamiento expresada en la referencia móvil (0;~i;~j;~k).

224. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 136 4.3.12. Axoides Lo visto hasta ahora hace referencia a un análisis del movimiento del sólido indeformable en un instante dado. Veamos lo que ocurre a lo largo del transcurso del tiempo. El eje instantáneo de rotación-deslizamiento irá cambiando su posición con el paso del tiem-po, y podremos suponer que en esa evolución va generando una superficie reglada, que de-nominaremos axoide. Si la evolución del eje instantáneo de rotación-deslizamiento se observa desde la referencia fija, el axoide generado será el denominado axoide fijo. Si la evolución del eje se considera vista desde la referencia móvil ligada al movimiento del sólido indeformable, el axoide gen-erado será el axoide móvil. En un momento dado, el eje instantáneo de rotación-deslizamiento es único, por tanto en ese instante ambos axoides coinciden en una recta común que es el eje instantáneo de rotación-deslizamiento en ese instante. A lo largo del transcurso del tiempo podremos considerar que el axoide móvil rueda so-bre el fijo alrededor de su recta común ( El eje instantáneo de rotación-deslizamiento ) con una velocidad angular ~w, y además desliza en la dirección del eje con la velocidad de m´ıni-mo deslizamiento ~vd. En esta teórica composición, el axoide móvil arrastra al sólido inde-formable reproduciendo su movimiento real. La obtención anal´ıtica de las ecuaciones de los axoides se har´ıa expresando las ecuaciones anal´ıticas del eje instantáneo de rotación-deslizamiento en función del tiempo. Eliminando el parámetro tiempo en la expresión de la referencia fija, obtendr´ıamos el axoide fijo, y elim-inando el parámetro tiempo en la ecuación del eje en la referencia móvil, obtendr´ıamos el axoide móvil. La forma geométrica de los axoides puede ser muy variada, pero en todo caso siempre se tratará de superficies regladas. Ver Figura 4.24. 4.3.13. Aceleración de un punto de un sistema indeformable con movimien-to general Retomamos ahora la expresión de la velocidad de un punto P perteneciente a un sólido indeformable (4.4) que aparece en la página 126: ~vP = ~v0 + ~w ^ ~r Para obtener la aceleración del punto P bastará con efectuar la derivación de dicha expresión:

225. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 137 Axoide Movil Axoide Fijo Eje instantaneo de rotacion - deslizamiento Figura 4.24: Axoide fijo y axoide móvil ~aP = d~vP dt = d~v0 dt + d~w dt ^ ~r + ~w ^ d~r dt Teniendo en cuenta que: d~v0 dt = ~a0 d~w dt = ~ Y que como vimos en (4.3), también en la página 126: d~r dt = ~w ^ ~r Con lo que nos queda: ~aP = ~a0 + ~ ^ ~r + ~w ^ (~w ^ ~r) Observamos que en esta expresión aparece ~ ^ ~r + ~w ^ (~w ^ ~r), que se corresponde exacta-mente con el vector aceleración de un punto de un sistema indeformable que rota alrededor de un eje fijo, tal y como vimos en el apartado 4.3.5. Por tanto podr´ıamos decir: La aceleración de un punto P perteneciente a un sólido indeformable que se mueve con movimiento general en un instante dado, es igual a la aceleración de otro punto 0 perteneciente a ese sistema material, más la aceleración de ese punto P en su rotación alrededor de un eje que pasa por 0. Y desarrollando el doble producto vectorial nos queda: ~aP = ~a0 + ~ ^ ~r + (~w ~r) ~w w2 ~r Que es la expresión general de la aceleración del punto P en función de los vectores del grupo cinemático en 0 y de sus derivadas con respecto del tiempo.

226. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 138 4.3.14. Movimiento relativo entre dos sistemas indeformables en con-tacto. Deslizamiento, rodadura y pivotamiento. Sean dos sistemas indeformables S1 y S2 que se mueven estando permanentemente en contacto. En un instante dado el punto de contacto es 0. Dada la tangencia entre los dos sistemas, el punto 0 geométricamente es único, pero den-tro de él, podr´ıamos distinguir mecánicamente dos puntos diferenciados, el 01 perteneciente al sistema S1, y el 02, perteneciente al sistema S2. El movimiento del sistema S1 podr´ıa ser definido mediante el grupo cinemático en 01, (~v01; ~w1), y el movimiento del sistema S2, me-diante el grupo cinemático en 02, (~v02; ~w2). Definimos el plano tangente común a ambos sistemas en el punto 0, y la dirección ~ per-pendicular al plano en el punto 0 como plano del contacto y dirección normal al contacto en 0 respectivamente. Como nuestro interés está en el movimiento relativo entre ambos sistemas, podremos fi-jar uno de ellos, por ejemplo el S1, aplicando en 01 su grupo cinemático con signo contrario. El movimiento relativo del sistema S2 con respecto al sistema S1 vendrá entonces expresado al agregar igualmente al sistema S2 el par cinemático del sistema S1 en 01 con el signo cam-biado. Nos quedará entonces: ~vrel = ~v02 ~v01 ~wrel = ~w2 ~w1 Observando la Figura 4.25, haremos las siguientes consideraciones: Si el contacto entre ambos sistemas es permanente, es decir, se mantiene a lo largo del tiempo, el vector velocidad relativa ~vrel, en el punto 0 será un vector que está contenido en el plano de contacto tangente común a ambos sistemas . La existencia de una velocidad relativa ~vrel nos expresa el deslizamiento entre los pun-tos 02 y 01 de ambos sistemas materiales en contacto. Si el contacto entre ambos sis-temas materiales es sin deslizamiento, en ese caso ~vrel = ~0, y por tanto : ~v01 = ~v02 En cuanto a la velocidad angular de rotación relativa ~wrel entre ambos sistemas, la podremos descomponer en dos sumandos vectoriales, uno en la dirección normal al contacto ~ , que denominaremos componente de pivotamiento ~wp , y otro contenido en el plano de contacto, que denominaremos componente de rodadura ~wr. Evidente-mente se verificará que ~wrel = ~wp + ~wr

227. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 139 p S2 S1 r w p w rel v rel w h 02 01 Figura 4.25: Velocidades relativas entre los sistemas S2 y S1 Si el vector velocidad angular relativa ~wrel se encuentra alineado con la direcci´on ~, la componente de rodadura ser´ıa nula, y en este caso hablar´ıamos de un pivotamiento puro. Por contra, si la velocidad angular relativa se encuentra contenida en el plano de contacto , la componente de pivotamiento ser´ıa nula, y entonces estar´ıamos frente a una rodadura pura. En principio, las aceleraciones de los puntos en contacto 01 y 02 pertenecientes a los dos sistemas materiales en contacto son distintas. Pero si el contacto es sin deslizamiento podremos afirmar que las proyecciones de las acel-eraciones de ambos puntos sobre el plano de contacto coinciden. Este hecho se encuentra reflejado en la Figura 4.26. Esto es: ~a01 (En la componente tangencial al contacto) = ~a02 (En la componente tangencial al con-tacto)

228. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 140 p S2 S1 h o2 a t t o1 o2 a a= o1 a 02 01 Figura 4.26: Aceleraciones en el contacto sin deslizamiento

229. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 141 4.4. Cinemática del movimiento relativo 4.4.1. Sistemas de referencia móviles En el estudio de la cinemática visto hasta ahora se supone la existencia de un sistema referencial fijo. En la realidad práctica, la obtención de un sistema referencial de estas caracter´ısticas es sumamente compleja. No valdr´ıa, por ejemplo, un sistema referencial ligado a la Tierra, pues sabemos que ésta presenta movimiento con respecto del Sol. Tampoco ser´ıa fija una referencia ligada al Sol, pues éste se mueve en la Galaxia. En resumen, no se dispone de un sistema referencial realmente fijo, al cual referir los movimien-tos. La mejor precisión se puede obtener empleando ejes ligados a estrellas fijas. ( Son estrel-las de nuestra Galaxia que se mueven con una lentitud aparente tal que se requieren grandes periodos de tiempo para apreciar cambios aparentes en su posición vistas desde la tierra ). El problema que se va a considerar aqu´ı está en la relación existente entre la posición de un punto y las componentes de los vectores velocidad y aceleración, referidas a un sistema referencial considerado aqu´ı arbitrariamente como fijo, y las referidas a otro sistema refer-encial móvil con respecto del considerado fijo. 4.4.2. Derivación de los vectores unitarios de los ejes móviles Consideremos el sistema referencial fijo (01;~i1;~j1;~k1), y el sistema referencial móvil (0;~i;~j;~k) que se mueve con una velocidad angular ~w respecto del primero. Ver la Figura 4.27. Z1 1 O Y1 X1 Z Y X 1 k 1 j 1 i O i j k w Figura 4.27: Sistema referencial fijo y sistema referencial móvil , ~j y ~k con el tiempo. Por Se trata de determinar la variación de los vectores unitarios ~i

230. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 142 supuesto, ya sabemos que su módulo no variará, pues al ser unitarios, será constantemente la unidad. Sin embargo, si habrá una variación al existir cambio en la orientación de los mismos. Como ya determinamos en el estudio del campo de velocidades de un sistema indeformable en la página 126: d~i dt = ~w ^~i ; d~j dt = ~w ^~j ; d~k dt = ~w ^ ~k Para obtener las derivadas segundas, bastará derivar las expresiones anteriores: ~i = d(~w ^~i) dt = _~ w ^~i + ~w ^ d~i dt = _~ w ^~i + ~w ^ (~w ^~i) Y analogamente: ~j = _~ w ^~j + ~w ^ (~w ^~j) ~k = _~ w ^ ~k + ~w ^ (~w ^ ~k) 4.4.3. Derivada de un vector en ejes móviles Sea el vector ~r, función del tiempo, que expresado en sus componentes referidas a los ejes móviles será: ~r = rx ~i + ry ~j + rz ~k Derivamos este vector con respecto del tiempo, teniendo en cuenta que sus componentes rx, ry y rz son variables con el tiempo, y que los versores~i , ~j y ~k también var´ıan con el tiempo: d~r dt = r_x ~i + r_y ~j + r_z ~k + rx d~i dt + ry d~j dt + rz d~k dt Los tres primeros términos del segundo miembro no representan otra cosa que la deriva-da , ~j y ~k son fijos, y los denominamos derivada del vector ~r suponiendo que los vectores~i relativa a los ejes moviles: ´ ! d~r dt rel = r_x ~i+ r_y ~j + r_z ~k Para los otros tres términos hacemos: rx d~i dt +ry d~j dt +rz d~k dt = rx (~w^~i )+ry (~w^~j)+rz (~w^~k) = ~w^(rx~i +ry ~j+rz ~k) = ~w^~r

231. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 143 Por tanto nos quedará: d~r dt = d~r dt ! rel + ~w ^ ~r (4.5) Que nos da la expresión general de la derivada de un vector cuyas componentes están referi-das a unos ejes móviles. Si se tratase de derivar precisamente el vector w ~, el ultimo ´termino ´resulta ser nulo, por ser w ~^ w ~= ~0. ! d~w d~w = dt dt rel Z1 1 O Y1 X1 Z Y X 1 k 1 j 1 i O i j k w r Figura 4.28: Vector en ejes móviles 4.4.4. Velocidad en ejes móviles Sea un punto móvil P cuyo vector de posición ! 0P = ~r se refiere a la referencia móvil (0;~i;~j;~k). ~r = rx ~i + ry ~j + rz ~k Pero la posición del punto P también podrá referirse a la referencia fija (01;~i1;~j1;~k1) medi-ante el vector de posicioń 01!P = ~r1 . Observando la Figura 4.29. podemos establecer la siguiente relación vectorial: 01!P = 0!10 + 0!P Esto es: ~r1 = ~r0 + ~r

232. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 144 Z1 1 O Y1 X1 Z Y X 1 k 1 j 1 i O i j k w r 1 r o r P Figura 4.29: Punto móvil P en la referencia fija y en la referencia móvil Derivando esta expresión con respecto del tiempo: d~r1 dt = d~r0 dt + d~r dt En donde podremos hacer las siguientes consideraciones: El vector d~r1 dt es la velocidad absoluta ~v1 del punto P, es decir, referida a la referencia fija. Análogamente, el vector d~r0 dt expresa la velocidad absoluta ~v0 del punto 0, origen del sistema referencial móvil. En cuanto a d~r dt , dado que se trata de la derivada de un vector expresado en una ref-erencia móvil, podremos utilizar la expresión (4.5) obtenida en el apartado anterior: d~r dt = ( d~r dt )rel + ~w ^ ~r = ~vrel + ~w ^ ~r Por tanto, nos quedará: ~v1 = ~v0 +~vrel + ~w ^ ~r (4.6) Si ahora consideramos que el punto P y los ejes móviles son solidarios, entonces ~vrel = ~0, y la velocidad absoluta del punto P ser´ıa la que tendr´ıa únicamente en función del movimiento de la referencia móvil. A esta velocidad la denominaremos velocidad de arrastre ~vs: ~vs = ~v0 + ~w ^ ~r Sustituyendo este valor en la expresión (4.6) nos quedará: ~v1 = ~vs +~vrel

233. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 145 Lo que podemos enunciar como: La velocidad absoluta de un punto en movimiento con respecto a una referencia que a su vez se mueve con respecto a otra referencia que consider-amos fija, es igual a la suma vectorial de la velocidad de arrastre ( la debida al movimiento de los ejes móviles ), más la velocidad relativa del punto con respecto a dichos ejes móviles. 4.4.5. Aceleración en ejes móviles Con el mismo planteamiento del apartado anterior, vamos a tratar de determinar ahora la aceleración del punto P. Para ello derivaremos la expresión (4.6) anteriormente obtenida: ~v1 = ~v0 +~vrel + ~w ^ ~r Esta derivación será: d~v1 dt = d~v0 dt + d~vrel dt + d(~w ^ ~r) dt Veamos lo que representan los términos que aparecen en esta ecuación: El vector d~v1 dt = ~a1 será la aceleración absoluta del punto P, es decir, la que presenta con respecto a la referencia absoluta o fija. Análogamente, el vector d~v0 dt = ~a0 representa la aceleración absoluta del punto 0, ori-gen del sistema referencial móvil. Por su parte, d~vrel dt la obtendremos teniendo en cuenta que ~vrel es un vector expresado en la referencia móvil: d~vrel dt = d~vrel dt ! rel + ~w ^ ~vrel = ~arel + ~w ^ ~vrel En donde hemos llamado aceleración relativa ~arel a la derivada de la velocidad rel-ativa respecto de los ejes móviles, considerando a éstos como fijos. En cuanto al último sumando d( ~w^~r) dt haremos: d(~w ^ ~r) dt = _~ w^~r+ ~w^ d~r dt = _~ w^~r+ ~w^(~vrel+ ~w^~r) = _~ w^~r+ ~w^~vrel+ ~w^(~w^~r) Sustituyendo todo tendremos: ~a1 = ~a0 +~arel + ~w ^ ~vrel + _~ w ^ ~r + ~w ^ ~vrel + ~w ^ (~w ^ ~r) Y agrupando: ~a1 = ~a0 +~arel + _~ w ^ ~r + ~w ^ (~w ^ ~r) + 2 ~w ^ ~vrel

234. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 146 Si consideramos ahora que el punto P se mueve solidario con los ejes móviles, lo cual equiv-ale a anular la velocidad y la aceleración relativas: ~vrel = ~0 y ~arel = ~0, obtendremos la acel-eraci ón del punto P debida al arrastre ~as: ~as = ~a0 + _~ w ^ ~r + ~w ^ (~w ^ ~r) La cual se corresponde exactamente con la expresión de la aceleración de un punto de un sólido indeformable que ya hab´ıamos determinado en el apartado 4.3.13. Sustituyendo ahora en la expresión de la aceleración absoluta del punto P nos quedará: ~a1 = ~as +~arel + 2 ~w ^ ~vrel Expresión que es análoga a la obtenida para las velocidades, con la particularidad que ahora aparece el término 2 ~w ^ ~vrel denominado aceleración complementaria o de Coriolis. Atendiendo a las condiciones de nulidad del producto vectorial, este término complemen-tario se anulará cuando concurra alguna de estas circunstancias: 1. Que los ejes de referencia móviles no posean velocidad angular de rotación, es decir, ~w = ~0. Si los ejes móviles sólo tienen movimiento de traslación, no existe aceleración de Coriolis. 2. Que el punto P presente velocidad nula con respecto a la referencia móvil, es decir, que ~vrel = ~0 3. Que la velocidad relativa ~vrel y la rotación de la referencia móvil ~w sean vectores paralelos w P rel v o cor a Figura 4.30: Ejemplo que pone de manifiesto la existencia de la aceleración de Coriolis Para comprender cuál es el significado de la aceleración de Coriolis pensemos en el siguiente ejemplo indicado en la Figura 4.30:

235. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 147 Un disco gira en el plano en sentido antihorario con velocidad angular ~w alrededor de su centro geométrico 0. Un punto P se mueve a lo largo de uno de los radios del mismo hacia el centro 0 con velocidad ~vrel. Este punto móvil irá pasando por puntos del disco que cada vez poseen menos velocidad generada por la rotación. Esto equivale a una disminución en el módulo de la velocidad ab-soluta, es decir, una aceleración dirigida hacia la izquierda, lo cual como podemos comprobar coincide plenamente con el sentido obtenido en la expresión 2 ~w ^~vrel. En resumen, la acel-eraci ón de Coriolis se produce por el hecho de que el punto móvil atraviesa en su recorrido por la referencia móvil un campo de velocidades de arrastre no uniforme. As´ı, la aceleración de Coriolis no es ya un término inesperado, sino perfectamente previsible y necesario. 4.4.6. Efecto de la rotación de la Tierra Para el movimiento de un punto P que tiene lugar en la superficie terrestre normalmente se utilizará una referencia ligada a la misma. Pero sabemos que la Tierra no es fija, por lo que todo movimiento referido a ella será un movimiento relativo, y as´ı las velocidades y aceleraciones que observemos serán relativas. Entonces, la ecuación: ~a1 = ~as +~arel + 2 ~w ^ ~vrel Será conveniente ponerla en la forma: ~arel = ~a1 ~as + 2 ~vrel ^ ~w En donde la aceleración relativa, que es la observada por nosotros, aparece en función de la absoluta, de la de arrastre y de la de Coriolis, cambiadas estas dos últimas de signo. En primer lugar, ~a1 es la aceleración absoluta del punto P generada por una acción exterior. Si este punto material está aislado de toda acción exterior que no sea la atracción gravitatoria de la Tierra, ~a1 = ~g0, siendo un vector en dirección radial y dirigido hacia el centro de la Tierra. ( Ver la Figura 4.31 ) La aceleración de arrastre será generada por el movimiento terrestre de rotación alrededor de su eje. La trayectoria de arrastre será un paralelo terrestre, por lo que esta aceleración será un vector contenido en el plano del paralelo, y dirigido hacia el eje de rotación ( aceleración centr´ıpeta ). Su módulo será: j~asj = (w2 R cos ) En donde R es el radio de la Tierra, y la latitud del lugar. La aceleración de arrastre cambiada de signo, será este mismo vector pero dirigido en sentido contrario ( aceleración centr´ıfuga ). ( Ver la Figura 4.32 )

236. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 148 w o g P l Figura 4.31: Aceleración absoluta generada por la acción gravitatoria w P l s a - Figura 4.32: Aceleración de arrastre cambiada de signo Podemos efectuar una descomposición de este vector según una dirección radial, vertical para el lugar, y una dirección tangente al meridiano del lugar, contenida en el plano del horizonte del lugar y en la dirección del meridiano. Los módulos de estas componentes serán: Vertical: (w2 R cos2 ) Su valor es nulo en los Polos y máximo en el Ecuador. Tiende a restar a la aceleración absoluta ~g0. Horizontal en la dirección del meridiano: (w2 R cos sen) Su valor es nulo en los Polos y en el Ecuador. Tiende a llevar al punto al Sur en el hemisferio norte, y al Norte en el hemisferio sur. 1. Si el punto estuviese inmóvil sobre la Tierra, en ese caso ~vrel = ~0 y entonces po-dr ´ıamos simplemente plantear: ~arel = ~a1 ~as + 2 ~vrel ^ ~w = ~g0 ~as = ~g ( Ver la Figura 4.33 ) Dado el valor variable de ~as con la latitud , observamos como la aceleración ~g

237. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 149 con que la Tierra atrae a los cuerpos no es constante para todos los puntos de la super-ficie terrestre. En geodesia se suele emplear la siguiente Fórmula: w P l s a - o g g - a Figura 4.33: Aceleración ~g con que la Tierra atrae a los cuerpos j~gj = 9; 80629 (1 0; 002637 cos 2 0; 000000315 h) [m=s2] En donde es la latitud y h es la altitud expresada en metros. En las aplicaciones prácticas más usuales esta influencia del arrastre sobre la acción gravitatoria es considerada despreciable 2. Si por el contrario el punto estuviese en movimiento sobre la superficie terrestre, es decir su ~vrel6= ~0, aparecer´ıa entonces el sumando correspondiente a la aceleración de Coriolis. Consideremos estos dos posibles movimientos: El punto P se mueve en la dirección vertical del lugar. ( Radial para la esfera ter-restre ) Como observamos en la Figura 4.34 atendiendo a a la reglas del producto vectorial, el término (2 ~vrel ^ ~w) , es decir, la aceleración de Coriolis con el signo cambiado, desviará la trayectoria vertical del punto hacia el Este o hacia el Oeste según que el sentido sea descendente o ascendente. El punto P se mueve en un plano horizontal. Descomponemos la velocidad angular de rotación ~w de la Tierra en dos componentes, una radial, correspondiente a la vertical del lugar, ~wv, y otra sobre el plano horizontal del lugar, en la dirección del meridiano ~wh. ( Ver la Figura 4.35 )

238. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 150 l rel v w rel v wÙ rel l 2 v w wÙ rel 2 v Figura 4.34: Movimiento en la vertical del lugar, descendente y ascendente w l v w h w l Figura 4.35: Descomposición de la velocidad angular de rotación de la Tierra ~w = ~wv + ~wh En donde: j~wvj = w sen j~whj = w cos Podremos expresar entonces la aceleración de Coriolis cambiada de signo como: 2 ~vrel ^ ~w = 2 ~vrel ^ (~wv + ~wh) = 2 ~vrel ^ ~wv + 2 ~vrel ^ ~wh Considerando el movimiento del punto P en un plano horizontal y tal que el vector ~vrel forma un ángulo con la dirección Este, pasamos a efectuar un análisis de la actuación de los dos sumandos en que ha quedado descompuesta la aceleración de Coriolis cambiada de signo. ( Ver la Figura 4.36 ) En esta Figura 4.36 observamos que (2 ~vrel ^ ~wv) es un vector que estará contenido en el plano horizontal del lugar, cuyo módulo vale (2 vrel wv sen 90o) = (2 vrel w sen ) y que estará dirigido hacia la derecha del movimiento si nos encontramos en el hem-isferio Norte, y hacia la izquierda si nos encontramos en el hemisferio Sur, ya que en este caso, ~wv ser´ıa un vector entrante en el plano del horizonte del lugar.

239. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 151 N a w O E S v w h w rel v l Figura 4.36: Movimiento de un punto en el plano horizontal del lugar Vemos también que su valor en módulo es independiente de la dirección del movimien-to para un lugar geográfico dado, y que es función de la latitud del lugar y del valor de la velocidad relativa. Su efecto será provocar una desviación lateral a la derecha en el hemisferio Norte, y hacia la izquierda en el hemisferio Sur. Por otra parte, (2 ~vrel ^ wh) ~es un vector ortogonal al plano horizontal del lugar, es decir, con direccion ´segun ´la vertical, cuyo modulo ´sera ´[2 vrel wh sen (90o )] = (2 vrel w cos cos ) y estara ´dirigido en direccion ´saliente al plano horizontal si ( ), y por el contrario, estara ´dirigido en direccion éntrante al plano hori-zontal 2 2 si ( 2 3 2 ). Su efecto será sustraer o incrementar el valor de la gravedad según la orientación del movimiento. La acción de la aceleración de Coriolis cambiada de signo sobre el movimiento de los cuerpos sobre la esfera terrestre se denomina Efecto geostr ófico.

240. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 152 4.5. Movimiento plano-paralelo 4.5.1. Definición y generalidades Diremos que un sistema indeformable está animado de un movimiento plano-paralelo si existe un plano de puntos del sistema que se mantiene constantemente coincidente consigo mismo a lo largo de la evolución del movimiento en el tiempo. Como consecuencia, las velocidades de todos los puntos del sistema indeformable pertenecientes a ese plano, son vectores contenidos en el mismo. En efecto: Si la velocidad de un punto P, contenido en ese plano , ~vP , no estuviera contenida en él, admitir´ıa una descomposición sobre el plano y en la dirección perpendicular a él. Es-ta última componente indicar´ıa que el punto P abandona el plano , lo cual está contra la hipótesis definitoria del movimiento. Por lo tanto, las trayectorias de todos los puntos del plano , son curvas planas contenidas en el mismo. El eje instantáneo de rotación es perpendicular en todo momento al plano . En efecto: Observando la Figura 4.37 consideraremos: Sean P y A dos puntos pertenecientes al sis-tema material y contenidos en el plano . Podremos expresar: ~vP = ~vA + ~w ^ ! AP = ~vA + ~w ^ ~r w P vr A v P A p Figura 4.37: El eje instantáneo de rotación es ortogonal al plano Como ~vP y ~vA son vectores contenidos en el plano , el vector (~w ^ ~r) también estará con-tenido en . Como por otra parte (~w ^ ~r) es ortogonal a ~w y ~r, y ~r está contenido en , se deduce que ~w es ortogonal al plano . Por tanto, el eje instantáneo de rotación es ortogonal en todo instante al plano .

241. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 153 Pensemos ahora en otro punto B del sistema indeformable contenido en la perpendicular al plano por el punto A; y sea 0 el plano paralelo al que contiene a este punto B. ( Ver la Figura 4.38. ) w A v A p ¢ p B B v Figura 4.38: Velocidades iguales en puntos situados en normales al plano Podremos expresar: ~vB = ~vA + w~ ^ A!B Pero w~ ^ A!B = ~0 por ser ambos vectores colineales. Por tanto: ~vB = ~vA Lo que indica que las velocidades de los puntos pertenecientes a rectas perpendiculares al plano son idénticas, y que si existe un plano que coincide consigo mismo durante todo el movimiento, esta propiedad también la tendrán una infinidad de planos paralelos a él. Bastará por tanto, con estudiar el movimiento en uno de esos planos del haz de planos par-alelos, al que denominaremos plano director, ya que el movimiento se reproduce en forma idéntica a s´ı mismo en todos los planos del haz. 4.5.2. Centro instantáneo de rotación. Base y ruleta Al ser la velocidad de cualquier punto del sistema material ortogonal a la velocidad in-stant ánea de rotación ~w, el invariante cinemático (~v ~w) se anula, por tratarse de vectores or-togonales. As´ı mismo, la velocidad de deslizamiento m´ınimo vd = Proy~w ~v se anulará tam-bi én. Por tanto, el movimiento plano-paralelo es de los clasificados como de 2a clase en la clasificación que efectuamos en el apartado 4.3.9. siempre que ~w6= ~0.

242. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 154 El movimiento plano-paralelo será entonces una rotación pura alrededor del eje instantáneo de rotación siempre que ~w6= ~0. Los axoides son dos cilindroides de generatrices perpendiculares al plano director. ( Ver Figura 4.39 ) Axoide Fijo Polar Fija (Base) p P Axoide Movil Polar Movil (Ruleta) Eje Instantaneo de Rotacion Figura 4.39: Axoides en el movimiento plano-paralelo El movimiento se podrá materializar entonces en una rodadura sin deslizamiento, por ser vd = 0, del axoide móvil sobre el fijo, siendo en cada instante la generatriz común de tan-gencia entre ambos axoides el eje instantáneo de rotación. La intersección de ambos axoides con el plano director, determina las denominadas cur-vas polares; la polar fija o base, y la polar móvil o ruleta. Ambas son tangentes en el punto P, que es la intersección del eje instantáneo de rotación con el plano director , denominado centro instantáneo de rotación, o centro de velocidades. Este punto en ese instante tiene velocidad nula. El movimiento puede materializarse ahora en el plano director como la rotación sin desliza-miento de la polar móvil o ruleta, solidaria con el sistema material, sobre la polar fija o base.

243. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 155 4.5.3. Distribución de las velocidades en el movimiento plano-paralelo Estudiando el movimiento plano-paralelo en un plano director, consideramos en un in-stante dado la base y la ruleta, tangentes en el centro instantáneo de rotación P. ( Ver Figura 4.40 ) La velocidad de un punto cualquiera M del sistema material y contenido en el plano di-rector será: ~vM = ~vP + ~w ^ ~r Pero como sabemos: ~vP = ~0; luego: ~vM = ~w ^ ~r Tal y como se deduce del producto vectorial, el vector ~vM es perpendicular a ~r y está con-tenido en el plano director, su sentido dependerá del de la rotación ~w, y dado que ~w y ~r son vectores perpendiculares, su módulo será: j~vMj = j~wj j~r j sen 90o = j~wj j~r j Lo que nos indica que: Dentro del plano director del movimiento plano-paralelo, la velocidad de un punto del sis-tema material, es un vector perpendicular al vector de posición del punto trazado desde el centro instantáneo de rotación, y su módulo es proporcional a su distancia a dicho centro P. Con esto, la distribución de las velocidades nos quedará tal y como se encuentra expresada en la Figura 4.40. P M M v R B Figura 4.40: Distribución de las velocidades en el movimiento plano-paralelo Se deduce entonces que si conociéramos la dirección de las velocidades de dos puntos del sistema indeformable se podr´ıa determinar la posición del centro instantáneo de rotación P, sin más que trazar por los puntos sendas rectas ortogonales a las mismas, siendo el centro instantáneo de rotación el punto de intersección de ambas rectas. Si además se conociera

244. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 156 el valor del módulo de una de ellas se podr´ıa determinar w, y por tanto, la velocidad de cualquier otro punto del sistema material. ( Ver Figura 4.41 ) A B P A v B v Figura 4.41: Determinación del centro instantáneo de rotación P w = j~vAj PA = j~vBj PB La dirección del vector ~w es evidentemente ortogonal al plano director, y su sentido viene dado por el de el giro que efectúan los vectores velocidad frente al punto P. Casos particulares: Las direcciones de las velocidades de dos puntos A y B del sólido indeformable son paralelas, y los puntos A y B no están alineados según una dirección ortogonal a las mismas. En este caso, las ortogonales por A y B a las direcciones de las velocidades resul-tan ser dos rectas paralelas ( Ver Figura 4.42 ), y su punto de corte P se encuentra en el infinito. El sistema se encuentra en ese instante en traslación, y las velocidades de todos sus puntos son iguales. En efecto: w = j~vAj PA = j~vBj PB = j~vAj 1 = j~vBj 1 = 0 Recordemos que en la traslación, el campo de las velocidades es uniforme.

245. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 157 A B P Þ¥ A v B v Figura 4.42: Velocidades paralelas en puntos no alineados en la ortogonal a las mismas Las direcciones de las velocidades de dos puntos A y B del sólido indeformable son paralelas, y los puntos A y B están alineados según una dirección ortogonal a las mis-mas. En este caso, las ortogonales por A y B a las direcciones de las velocidades resul-tan ser dos rectas coincidentes ( Ver Figura 4.43 ). Para romper la indeterminación en la determinacion ´de P se unen los extremos de los vectores ~vA y ~vB, dibujados a escala, y la interseccion ´de esta recta con la que une A y B determina P, ya que as´ı se cumple que : j~vAj = j~vBj = w PA PB A B A v B v P Figura 4.43: Velocidades paralelas en puntos alineados en la ortogonal a las mismas

246. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 158 4.5.4. Velocidad de cambio de polo A lo largo del transcurso del movimiento en el tiempo, la posición del centro instantáneo de rotación se irá trasladando sobre la polar fija. A su velocidad en un instante dado en este movimiento la denominaremos velocidad de cambio de polo ~vs. Nótese que esta velocidad no tiene nada que ver con la velocidad del punto P como perteneciente al sistema indeformable, que como sabemos en todo instante es nula. En un instante dado, las polares base y ruleta son tangentes en el punto P. Al cabo de un tiempo dt el nuevo centro instantáneo será el punto del sólido P 0 1 que habrá pasado a ocupar la posición P1 sobre la polar fija o base, con lo que al movimiento de rodadura de la ruleta sobre la base, habrá supuesto el giro de un ángulo d. Los puntos CB y CR son los centros de curvatura de la base y la ruleta, siendo RB y RR sus radios de curvatura. ( Ver Figura 4.44 ) R C P B dj s v R B 1 P¢ dq 1 P R dj R R B R B C Figura 4.44: Velocidad de cambio de polo El módulo de la velocidad de cambio de polo será: vs = lm t!0 PP1 t El vector ~vs será en todo momento tangente a la base, ya que ésa es la trayectoria que recorre el polo a lo largo del desarrollo del movimiento. Por otra parte, según vemos en la Figura 4.44: d = d'B + d'R (4.7) Puesto que en un triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no ayadcentes.

247. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 159 Como la ruleta rueda sobre la base sin deslizamiento, los elementos de arco sobre ambas curvas serán iguales, es decir: dPP1 = d PP0 1 = RB d'B = RR d'R (4.8) Dividiendo por dt la expresion ´4.7: d d'B d'R = + dt dt dt Teniendo en cuenta 4.8: w = RB d'B RB dt + RR d'R RR dt = vs RB + vs RR Y de aqu´ı: vs = w RB RR RB + RR Expresión que nos permite determinar la velocidad de cambio de polo vs en función de la rotación w y de los radios de curvatura de base y ruleta. Existe el denominado procedimiento gráfico de Hartmann que permite determinar la veloci-dad de cambio de polo si se conocen las velocidades y las trayectorias, es decir, los radios de curvatura de las mismas, de dos puntos del sistema.

248. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 160 4.5.5. Distribución de las aceleraciones en el movimiento plano-paralelo. Centro instantáneo de aceleraciones Determinaremos la aceleración de un punto M perteneciente a un sistema material inde-formable con movimiento plano-paralelo derivando la expresión de su velocidad a partir del punto P, centro instantáneo de velocidades. Utilizaremos unas coordenadas polares cuyo polo es el centro instantáneo de velocidades P, y como eje origen de ángulos, la tangente común a base y ruleta orientada por el sentido de la velocidad de cambio de polo ~vs. El puntoM tendrá entonces definida su posición en el plano director por las coordenadas polares (r; '). ( Ver Figura 4.45 ) P r-w 2 s v R B w O s v-w Ù j r r x Ù M j Figura 4.45: Aceleración del puntoM Velocidad del punto M: ~vM = ~w ^ ~r Obtendremos su aceleración derivando: ~aM = d~vM dt = d~w dt ^ ~r + ~w ^ d~r dt Pero ~r = 0M! !0P ; siendo 0 un punto arbitrario fijo. d~r = dt d0M! dt d!0P dt = ~vM ~vs Sustituyendo este valor en la expresión de la aceleración de M: ~aM = ~ ^~r + ~w ^~vM ~w ^~vs = ~ ^~r + ~w ^ (~w ^~r) ~w ^~vs = ~ ^~r j~wj2 ~r ~w ^~vs Sobre cada uno de estos sumandos podremos indicar: El primer término (~^~r) es un vector perpendicular a ~r y por tanto tangente a la trayec-toria del punto M. Representa la aceleración tangencial del punto M en su rotación alrededor del punto P.

249. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 161 El segundo término (j~wj2 ~r) es normal a la trayectoria de M, y está dirigido hacia P. Representa la aceleración normal de M en su movimiento alrededor de P. Estos dos términos son funciones lineales de la distancia de P a M, anulándose por tanto cuando ~r = ~0. ( Ver Figura 4.46 ) El último término (~w ^ ~vs) es constante en todos los puntos, pues no depende de ~r. Representa la aceleración del centro instantáneo de rotación P, ya que en este punto se anulan los dos primeros términos. P R B w r s v-w Ù x Ù r-w 2 Figura 4.46: Distribución de las aceleraciones en torno a P en el movimiento plano-paralelo En resumen, podr´ıamos expresar que: ~aM = ~aP +~aMP +~aMP Proyectando ahora la aceleración del punto M sobre las direcciones tangente y normal a la trayectoria, obtendr´ıamos las componentes intr´ınsecas: a = r w vs cos ' a = w2 r + w vs sen ' Veamos si existe algún punto en el cual la aceleración es nula, lo que implicar´ıa que sus componentes deberán ser as´ı mismo nulas. Plantearemos por tanto: ( r w vs cos ' = 0 w2 r + w vs sen ' = 0 ) ( r = w vs cos ' w2 r = w vs sen '

250. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 162 Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, ' y r cuya solución es: ' = arc tg w2 r = w vs pw4 + 2 = aP pw4 + 2 Las cuales son las coordenadas polares en la referencia definida de un cierto punto Q, que denominaremos centro instantáneo de aceleraciones, el cual es un punto del sistema inde-formable cuya aceleración es nula en un instante dado. La aceleración de un punto cualquiera del sistema M, vendrá expresada en función de la de otro punto del mismo 0, según la expresión general ya vista: ~aM = ~a0 + ~ ^ ~r + ~w ^ (~w ^ ~r) = ~a0 +~aM0 +~aM0 = ~a0 +~aM0 Si consideramos como polo 0 el punto Q, centro instantáneo de aceleraciones, el cual pre-senta aceleración nula, podremos expresar la aceleración del punto M como: ~aM = ~aQ +~aMQ = ~aMQ = ~aMQ +~aMQ = ~ ^ QM! jw~j2 QM! Observando la Figura 4.47 deducimos que: 1. El ańgulo que forma el vector QM!con la aceleracioń del puntoM es constante para todos los puntos del sistema indeformable: tg = j~j jQM!j j~wj2 jQM!j = j~j j~wj2 2. El módulo de la aceleración de un punto M del sistema indeformable es proporcional a la distancia jQM!j que lo separa del centro instantańeo de aceleraciones. En efecto: j~aMj2 = j~j2 jQM!j2 + j~wj4 jQM!j2 =) j~aMj = q j~j2 jQM!j2 + j~wj4 jQM!j2 Esto es: j~aMj = jQM!j q j~j2 + j~wj4

251. CAPI´TULO 4. CINEMA´ TICA 163 M x ÙQM -w 2QM m M a Q x Figura 4.47: Disposición de la aceleración del punto M frente al centro de aceleraciones Q 4.5.6. Circunferencias de las inversiones y de las inflexiones Recordamos que las componentes tangencial y normal de la aceleración de un punto M perteneciente a un sistema indeformable en movimiento plano-paralelo son: a = r w vs cos ' a = w2 r + w vs sen ' En donde r es la distancia del puntoM al centro instantáneo de rotación P, y ' es el ángulo que forma el vector ~r con la dirección del vector velocidad de cambio de polo ~vs. Definimos Circunferencia de las inversiones como el lugar geométrico de los puntos pertenecientes al sistema indeformable y al plano director tales que poseen aceleración tangencial nula. Aplicando esta condición obtendremos: 0 = r w vs cos ' =) r = w vs cos ' Ecuación que en el sistema referencial de coordenadas polares elegido, representa efecti-vamente una circunferencia de diámetro (wvs ), que tiene su centro en la dirección de la tangente común base-ruleta y que pasa por el punto P. ( Ver la Figura 4.48 ) En los puntos de esta circunferencia el vector aceleración es ortogonal al vector velocidad. Definimos ahora Circunferencia de las inflexiones como el lugar geométrico de los pun-tos pertenecientes al sistema indeformable y al plano director tales que poseen aceleración normal nula.

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