INDUCCIÓN MATEMÁTICA
24 de julio de 2015
Autor: Laura Pontón
Análisis Combinatorio
Unidad 1 Actividad 1
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
Análisis Combinatorio
Unidad 1 Actividad 1
Resuelve los siguientes ejercicios usando ind...
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
Demostración:
Para :
∎
Para
Como es un número natural, el factorial existe y por recurre...
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
Comprobación
Para :
Podemos decir que todo conjunto contiene al conjunto vacío, es decir...
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
∴
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Tesis de inducción:
Se demuestra que es verdadera, o bien, se tiene que:
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3.
Pa...
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
Para
....
Sea que sea
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Comentario [LAPB11]: Sustituyendo el
valor directamente al val...
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
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Entonces, por demostrar
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sumator...
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
∎
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Tesis de inducción:
Se demuestra que es verdadera, o bien, se tiene que:
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
Para
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Sustituyendo en la propiedad de la sumatoria:
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
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Comentario [LAPB19]: por propiedad de las
sumatorias:
Comentario [LAPB20]: S...
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
Conclusión:
Tesis de inducción:
Se demuestra que es verdadera, o bien, se tiene que:
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
Para
∎
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Para
Ahora, si realizamos la suma de un lado más al número de diagonal...
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
6. Uso de identidades
a) Una ruleta tiene los enteros de 1 a 25 colocados en forma alea...
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
Ahora, vamos a suponer, para que el resultado sea falso, según el texto del problema, q...
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
Observamos la suma de las tripletas es 975, y se forma 25 de ellas.
Aplicando esta desi...
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
Queda como:
Para el estudio discreto, tenemos:
Ahora:
El otro valor válido sería cero, ...
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
(4) 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 27 + 64
Conjetura la fórmula general sugerida po...
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
La posibilidad:
No cumple
La posibilidad:
Cumple
Para las otras dos:
Suponiendo que:
Se...
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AnálisisCombinatorio|24/07/2015
Entonces, para esta sumatoria, el valor del para el valor de,
el elemento es:
Lo que po...
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∴
∎
Bibliografía
Definicion.de. (24 de Julio de 2015). definicion.de. Obtenido de http:...
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  1. 1. INDUCCIÓN MATEMÁTICA 24 de julio de 2015 Autor: Laura Pontón Análisis Combinatorio Unidad 1 Actividad 1
  2. 2. 1 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 Análisis Combinatorio Unidad 1 Actividad 1 Resuelve los siguientes ejercicios usando inducción matemática. 1. Demuestra que . Parte de la definición recursiva de factorial. Recursividad: Es la propiedad de aquellas secuencias en las que cualquier término se puede calcular conociendo los precedentes. También se le conoce como recurrencia. (upct.es, 2015) En matemáticas, una relación de recurrencia es una ecuación que define una secuencia recursiva; cada término de la secuencia es definido en función de términos anteriores. Una ecuación recurrente es un tipo específico de relación de recurrencia. Una relación de recurrencia para la sucesión es una ecuación que relaciona con alguno de sus predecesores: (Salazar, 2015) Definición por la relación de recurrencia: En este caso hay una sucesión recurrente, el cálculo sucesivo de sus elementos se llama proceso recurrente y la igualdad se le nombra ecuación recurrente. Ejemplos: Tal como se ve se aplica la recursividad de la función factorial. Ahora, para el 3er paso de la inducción Ejemplo: Para
  3. 3. 2 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 Demostración: Para : ∎ Para Como es un número natural, el factorial existe y por recurrencia, también existe. ∎ ∎ ... Tesis de inducción: Se demuestra que es verdadera, o bien, se tiene que: ∎ 2. Para cualquier conjunto , su conjunto potencia, se define como el conjunto formado por todos sus subconjuntos. Demuestra que si tiene elementos, entonces Ejemplo: ∴ Ahora: Comentario [LAPB1]: ecuación recurrente Comentario [LAPB2]: ecuación recurrente Comentario [LAPB3]: Conclusión Comentario [LAPB4]: Conjunto potencia
  4. 4. 3 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 Comprobación Para : Podemos decir que todo conjunto contiene al conjunto vacío, es decir, que el conjunto vacío es el subconjunto de todos los conjuntos. (Infante, 2015) Entonces, su potencia: ∎ Para Sea , se cumple que si cualquier conjunto tiene elementos, su conjunto potencia tendrá elementos. Ejemplo, sea ∎ Para Sea , se cumple que si cualquier conjunto tiene elementos, su conjunto potencia tendrá elementos. Ejemplo, sea Comentario [LAPB5]: Tenemos un conjunto con un elemento: Comentario [LAPB6]: conjunto potencia: Comentario [LAPB7]: Siendo 3 elementos Comentario [LAPB8]: Siendo 8 elementos
  5. 5. 4 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 ∴ ∎ ... Tesis de inducción: Se demuestra que es verdadera, o bien, se tiene que: ∎ 3. Para ... ∴ ∴ ∎ Comentario [LAPB9]: Conclusión Comentario [LAPB10]: Sustituyendo el valor directamente al valor de la sumatoria:
  6. 6. 5 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 Para .... Sea que sea ∴ ∎ Comentario [LAPB11]: Sustituyendo el valor directamente al valor de la sumatoria:
  7. 7. 6 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 Para : Entonces, por demostrar ... ∴ Comentario [LAPB12]: Por la propiedad de la sumatoria: Comentario [LAPB13]: Por las propiedades de las sumatorias: Comentario [LAPB14]: Sustituyendo el resultado del paso anterior:
  8. 8. 7 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 ∎ ... Tesis de inducción: Se demuestra que es verdadera, o bien, se tiene que: ∎ 4. Para Comentario [LAPB15]: Factorización Comentario [LAPB16]: Demostramos que: Comentario [LAPB17]: Conclusión Comentario [LAPB18]: Sustituyendo el valor directamente al valor de la sumatoria:
  9. 9. 8 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 Para ∎ Para Para ∴ Para Sustituyendo en la propiedad de la sumatoria:
  10. 10. 9 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 ... ... ∴ ∎ Comentario [LAPB19]: por propiedad de las sumatorias: Comentario [LAPB20]: Se desprende que del paso anterior: Comentario [LAPB21]: Sustitución Comentario [LAPB22]: Factorización
  11. 11. 10 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 Conclusión: Tesis de inducción: Se demuestra que es verdadera, o bien, se tiene que: ∎ 5. Un polígono es una figura geométrica plana formada por una sucesión finita de segmentos rectilíneos, unidos consecutivamente hasta encerrar una región. Los segmentos rectilíneos que lo forman son sus lados, y los puntos en que se unen son los vértices. Lo llamamos convexo si sus ángulos interiores —los que forman los lados dentro del polígono— son menores a 180°. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) En la figura se muestra diversos polígonos, (b), (d), (e) y (g) son convexos. La diagonal de un polígono es un segmento de recta que une dos vértices que no son consecutivos. En esta figura se muestran en rojo algunas diagonales de los polígonos convexos de la figura anterior. ¿Qué ocurre con el triángulo? ¿Tiene diagonales? Usando el principio de inducción matemática, demuestra que un polígono de lados tiene exactamente diagonales. Comentario [LAPB23]: Definición
  12. 12. 11 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 Para ∎ Para Para Para Ahora, si realizamos la suma de un lado más al número de diagonales de lados, tendríamos: lados del polígono, entonces se tendrían ahora diagonales, más una diagonal que se forma al aumentar este lado, entonces, la suma de diagonales es: ∎ Conclusión: Tesis de inducción: Se demuestra que es verdadera, o bien, se tiene que: ∎ Con esto se demuestra que: Comentario [LAPB24]: Factorizando y reduciendo:
  13. 13. 12 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 6. Uso de identidades a) Una ruleta tiene los enteros de 1 a 25 colocados en forma aleatoria. Demuestra que, independientemente de su posición en la ruleta, existen tres de ellos adyacentes cuya suma es al menos 39. Observaciones: Fuente de consulta: (Grimaldi, 2004, pág. 196) Los números son: Independientemente de la forma en la que se coloquen, una combinación de las tripletas sería: Se observa que cada elemento aparece exactamente 3 veces Si sumamos todos los elementos, en el caso ordenado: Tal que Siendo la suma efectiva independientemente del ordenamiento. Comentario [LAPB25]: Factorización Comentario [LAPB26]: Aplicando la propiedad:
  14. 14. 13 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 Ahora, vamos a suponer, para que el resultado sea falso, según el texto del problema, que la suma de cada tripleta sería: Se contabilizan 25 tripletas: Por Excel: Num Tripleta Tripleta sumas menor de 39 conteo 1 1,2,3 6 si 1 2 2,3,4 9 si 2 3 3,4,5 12 si 3 4 4,5,6 15 si 4 5 5,6,7 18 si 5 6 6,7,8 21 si 6 7 7,8,9, 24 si 7 8 8,9,10 27 si 8 9 9,10,11 30 si 9 10 10,11,12 33 si 10 11 11,12,13 36 si 11 12 12,13,14 39 no 13 13,14,15 42 no 14 14,15,16 45 no 15 15,16,17 48 no 16 16,17,18 51 no 17 17,18,19 54 no 18 18,19,20 57 no 19 19,20,21 60 no 20 20,21,22 63 no 21 21,22,23 66 no 22 22,23,24 69 no 23 23,24,25 72 no 24 24,25,1 50 no 25 25,1,2 28 si 12 suma 975
  15. 15. 14 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 Observamos la suma de las tripletas es 975, y se forma 25 de ellas. Aplicando esta desigualdad a la sumatoria: Pero como tenemos que: ∴ Que es una contradicción ∴ ∎ b) Determina el entero positivo para el cual Siendo las sumatorias que conocemos: Para: Entonces, la igualdad:
  16. 16. 15 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 Queda como: Para el estudio discreto, tenemos: Ahora: El otro valor válido sería cero, pero es evidente ∎ c) Considera las cuatro ecuaciones siguientes: (1) 1 = 1 (2) 2 + 3 + 4 = 1 + 8 (3) 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 8 + 27 Comentario [LAPB27]: Reduciendo y resolviendo: Comentario [LAPB28]: Igualando a cero: Comentario [LAPB29]: Factorizando y resolviendo Comentario [LAPB30]: Comprobación Comentario [LAPB31]: Sustitución
  17. 17. 16 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 (4) 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 27 + 64 Conjetura la fórmula general sugerida por estas ecuaciones y demuéstrala. Conjetura matemática: La conjetura consiste en una afirmación que, al no haber sido probada pero tampoco refutada, se concibe como cierta. Sólo cuando se haya podido demostrar su veracidad, la conjetura pasará a ser un teorema y, por lo tanto, podrá usarse para desarrollar otras demostraciones formales. Partimos de la suposición que: Puede ser una de: Puede ser una de: Puede ser: Análisis para los primeros términos de cada sumatoria: Pues satisface para Ahora, tenemos que deducir los primeros términos de cada ecuación: Comentario [LAPB32]: Para los segundos términos de la ecuación tenemos:
  18. 18. 17 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 La posibilidad: No cumple La posibilidad: Cumple Para las otras dos: Suponiendo que: Se deduce que el consecutivo puede ser sumando. Por análisis Tal que por secuencia, tenemos que ∴ Comentario [LAPB33]: Cumple para: Comentario [LAPB34]: Cumple para:
  19. 19. 18 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 Entonces, para esta sumatoria, el valor del para el valor de, el elemento es: Lo que podemos deducir como: El elemento es , lo que podemos decir que es: Ahora, la verdadera conjetura podría ser: Para demostrar, desarrollamos: Para la sumatoria, es una constante: Como sabemos que: ∴ ∴ Comentario [LAPB35]: Por deducción tenemos que: Comentario [LAPB36]: El elemento es:
  20. 20. 19 AnálisisCombinatorio|24/07/2015 ∴ ∎ Bibliografía Definicion.de. (24 de Julio de 2015). definicion.de. Obtenido de http://definicion.de/conjetura/ Grimaldi, R. (2004). Discrete and Combinatorial Mathematics. Boston: Pearson. Infante, J. (24 de Julio de 2015). ipn.mx. Obtenido de http://azul2.bnct.ipn.mx/algebra/numeros.PDF: http://azul2.bnct.ipn.mx/algebra/numeros.PDF Sáez, E., & Szantó, I. (24 de Julio de 2015). mat.utfsm. Obtenido de http://esaez.mat.utfsm.cl/iii.pdf: http://esaez.mat.utfsm.cl/iii.pdf Salazar, A. (24 de Julio de 2015). Atlantic International University. Obtenido de cursos.aiu.edu: http://cursos.aiu.edu/Matem%C3%A1ticas%20Avanzadas%20para%20la%20Ingenier%C3%ADa%2 0en%20Sistemas/PDF/Tema%203.pdf upct.es. (24 de Julio de 2015). Universidad Politécnica de Cartagena. Obtenido de ocw.bib.upct.es: http://ocw.bib.upct.es/pluginfile.php/7820/mod_resource/content/1/085_112_capitulo_6_REC URRENCIA.pdf Comentario [LAPB37]: Desarrollando, ordenando y factorizando:

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