Maco u1 a1_lapb

INDUCCIÓN MATEMÁTICA
24 de julio de 2015
Autor: Laura Pontón
Análisis Combinatorio
Unidad 1 Actividad 1

1
AnálisisCombinatorio|24/07/2015
Análisis Combinatorio
Unidad 1 Actividad 1
Resuelve los siguientes ejercicios usando inducción matemática.
1. Demuestra que . Parte de la definición recursiva de
factorial.
Recursividad: Es la propiedad de aquellas secuencias en las que cualquier término se puede calcular
conociendo los precedentes. También se le conoce como recurrencia. (upct.es, 2015)
En matemáticas, una relación de recurrencia es una ecuación que define una secuencia recursiva; cada
término de la secuencia es definido en función de términos anteriores. Una ecuación recurrente es un
tipo específico de relación de recurrencia. Una relación de recurrencia para la sucesión es
una ecuación que relaciona con alguno de sus predecesores: (Salazar, 2015)
Definición por la relación de recurrencia:
En este caso hay una sucesión recurrente, el cálculo sucesivo de sus elementos se llama proceso
recurrente y la igualdad se le nombra ecuación recurrente.
Ejemplos:
Tal como se ve se aplica la recursividad de la función factorial.
Ahora, para el 3er paso de la inducción
Ejemplo:
Para

2
Demostración:
Para :
∎
Para
Como es un número natural, el factorial existe y por recurrencia, también existe.
∎
∎
...
Tesis de inducción:
Se demuestra que es verdadera, o bien, se tiene que:
∎
2. Para cualquier conjunto , su conjunto potencia, se define como el conjunto
formado por todos sus subconjuntos. Demuestra que si tiene elementos, entonces
Ejemplo:
∴
Ahora:
Comentario [LAPB1]: ecuación recurrente
Comentario [LAPB2]: ecuación recurrente
Comentario [LAPB3]: Conclusión
Comentario [LAPB4]: Conjunto potencia

3
Comprobación
Para :
Podemos decir que todo conjunto contiene al conjunto vacío, es decir, que el conjunto vacío es el
subconjunto de todos los conjuntos. (Infante, 2015)
Entonces, su potencia:
∎
Para
Sea , se cumple que si cualquier conjunto tiene elementos, su conjunto potencia tendrá
elementos.
Ejemplo,
sea
∎
Para
Sea , se cumple que si cualquier conjunto tiene elementos, su conjunto potencia tendrá
elementos.
Ejemplo,
sea
Comentario [LAPB5]: Tenemos un
conjunto con un elemento:
Comentario [LAPB6]: conjunto potencia:
Comentario [LAPB7]: Siendo 3 elementos
Comentario [LAPB8]: Siendo 8 elementos

4
∴
∎
...
∎
3.
Para
...
∴
∴
∎
Comentario [LAPB10]: Sustituyendo el
valor directamente al valor de la sumatoria:

5
Para
....
Sea que sea
∴
∎

6
Para
:
Entonces, por demostrar
...
∴
Comentario [LAPB12]: Por la propiedad de la
sumatoria:
Comentario [LAPB13]: Por las
propiedades de las sumatorias:
resultado del paso anterior:

7
∎
...
∎
4.
Para
Comentario [LAPB15]: Factorización
Comentario [LAPB16]: Demostramos
que:

8
Para
∎
Para
Para
∴
Para
Sustituyendo en la propiedad de la sumatoria:

9
...
...
∴
∎
Comentario [LAPB19]: por propiedad de las
sumatorias:
Comentario [LAPB20]: Se desprende que
del paso anterior:
Comentario [LAPB21]: Sustitución

10
Conclusión:
∎
5. Un polígono es una figura geométrica plana formada por una sucesión finita de
segmentos rectilíneos, unidos consecutivamente hasta encerrar una región. Los
segmentos rectilíneos que lo forman son sus lados, y los puntos en que se unen son los
vértices. Lo llamamos convexo si sus ángulos interiores —los que forman los lados
dentro del polígono— son menores a 180°.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)
En la figura se muestra diversos polígonos, (b), (d), (e) y (g) son convexos. La diagonal de un polígono
es un segmento de recta que une dos vértices que no son consecutivos.
En esta figura se muestran en rojo algunas diagonales de los polígonos convexos de la figura anterior.
¿Qué ocurre con el triángulo? ¿Tiene diagonales?
Usando el principio de inducción matemática, demuestra que un polígono de lados tiene
exactamente diagonales.
Comentario [LAPB23]: Definición

11
Para
∎
Para
Para
Para
Ahora, si realizamos la suma de un lado más al número de diagonales de lados, tendríamos:
lados del polígono, entonces se tendrían ahora diagonales, más una diagonal que se forma
al aumentar este lado, entonces, la suma de diagonales es:
∎
Conclusión: Tesis de inducción: Se demuestra que es verdadera, o bien, se tiene que:
∎
Con esto se demuestra que:
Comentario [LAPB24]: Factorizando y
reduciendo:

12
6. Uso de identidades
a) Una ruleta tiene los enteros de 1 a 25 colocados en forma aleatoria. Demuestra que,
independientemente de su posición en la ruleta, existen tres de ellos adyacentes cuya suma es al menos
39.
Observaciones:
Fuente de consulta: (Grimaldi, 2004, pág. 196)
Los números son:
Independientemente de la forma en la que se coloquen, una combinación de las tripletas sería:
Se observa que cada elemento aparece exactamente 3 veces
Si sumamos todos los elementos, en el caso ordenado:
Tal que
Siendo la suma efectiva independientemente del ordenamiento.
Comentario [LAPB26]: Aplicando la
propiedad:

13
Ahora, vamos a suponer, para que el resultado sea falso, según el texto del problema, que la suma de
cada tripleta sería:
Se contabilizan 25 tripletas:
Por Excel:
Num Tripleta Tripleta sumas menor de 39 conteo
1 1,2,3 6 si 1
2 2,3,4 9 si 2
3 3,4,5 12 si 3
4 4,5,6 15 si 4
5 5,6,7 18 si 5
6 6,7,8 21 si 6
7 7,8,9, 24 si 7
8 8,9,10 27 si 8
9 9,10,11 30 si 9
10 10,11,12 33 si 10
11 11,12,13 36 si 11
12 12,13,14 39 no
13 13,14,15 42 no
14 14,15,16 45 no
15 15,16,17 48 no
16 16,17,18 51 no
17 17,18,19 54 no
18 18,19,20 57 no
19 19,20,21 60 no
20 20,21,22 63 no
21 21,22,23 66 no
22 22,23,24 69 no
23 23,24,25 72 no
24 24,25,1 50 no
25 25,1,2 28 si 12
suma 975

14
Observamos la suma de las tripletas es 975, y se forma 25 de ellas.
Aplicando esta desigualdad a la sumatoria:
Pero como tenemos que:
∴
Que es una contradicción
∴
∎
b) Determina el entero positivo para el cual
Siendo las sumatorias que conocemos:
Para:
Entonces, la igualdad:

15
Queda como:
Para el estudio discreto, tenemos:
Ahora:
El otro valor válido sería cero, pero es evidente
∎
c) Considera las cuatro ecuaciones siguientes:
(1) 1 = 1
(2) 2 + 3 + 4 = 1 + 8
(3) 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 8 + 27
Comentario [LAPB27]: Reduciendo y
resolviendo:
Comentario [LAPB28]: Igualando a cero:
Comentario [LAPB29]: Factorizando y
resolviendo
Comentario [LAPB30]: Comprobación
Comentario [LAPB31]: Sustitución

16
(4) 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 27 + 64
Conjetura la fórmula general sugerida por estas ecuaciones y demuéstrala.
Conjetura matemática:
La conjetura consiste en una afirmación que, al no haber sido probada pero tampoco refutada, se
concibe como cierta. Sólo cuando se haya podido demostrar su veracidad, la conjetura pasará a ser un
teorema y, por lo tanto, podrá usarse para desarrollar otras demostraciones formales.
Partimos de la suposición que:
Puede ser una de:
Puede ser una de:
Puede ser:
Análisis para los primeros términos de cada sumatoria:
Pues satisface para
Ahora, tenemos que deducir los primeros términos de cada ecuación:
Comentario [LAPB32]: Para los segundos
términos de la ecuación tenemos:

17
La posibilidad:
No cumple
La posibilidad:
Cumple
Para las otras dos:
Suponiendo que:
Se deduce que el consecutivo puede ser sumando.
Por análisis
Tal que por secuencia, tenemos que
∴
Comentario [LAPB33]: Cumple para:
Comentario [LAPB34]: Cumple para:

18
Entonces, para esta sumatoria, el valor del para el valor de,
el elemento es:
Lo que podemos deducir como:
El elemento es , lo que podemos decir que es:
Ahora, la verdadera conjetura podría ser:
Para demostrar, desarrollamos:
Para la sumatoria, es una constante:
Como sabemos que:
∴
∴
Comentario [LAPB35]: Por deducción
tenemos que:
Comentario [LAPB36]: El
elemento es:

19
∴
∎
Bibliografía
Definicion.de. (24 de Julio de 2015). definicion.de. Obtenido de http://definicion.de/conjetura/
Grimaldi, R. (2004). Discrete and Combinatorial Mathematics. Boston: Pearson.
Infante, J. (24 de Julio de 2015). ipn.mx. Obtenido de http://azul2.bnct.ipn.mx/algebra/numeros.PDF:
http://azul2.bnct.ipn.mx/algebra/numeros.PDF
Sáez, E., & Szantó, I. (24 de Julio de 2015). mat.utfsm. Obtenido de http://esaez.mat.utfsm.cl/iii.pdf:
http://esaez.mat.utfsm.cl/iii.pdf
Salazar, A. (24 de Julio de 2015). Atlantic International University. Obtenido de cursos.aiu.edu:
http://cursos.aiu.edu/Matem%C3%A1ticas%20Avanzadas%20para%20la%20Ingenier%C3%ADa%2
0en%20Sistemas/PDF/Tema%203.pdf
upct.es. (24 de Julio de 2015). Universidad Politécnica de Cartagena. Obtenido de ocw.bib.upct.es:
http://ocw.bib.upct.es/pluginfile.php/7820/mod_resource/content/1/085_112_capitulo_6_REC
URRENCIA.pdf
Comentario [LAPB37]: Desarrollando,
ordenando y factorizando:

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