Geometria 5° 1 b

25 26COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria
Todo comenzó en Egipto
El ser humano necesitó contar, y creó los números;
quiso hacer cálculos, y definió las operaciones; hizo
relaciones, y determinó las propiedades numéricas.
Por medio de lo anterior, más el uso de la lógica,
obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las
situaciones problemáticas surgidas a diario.
Además de esos requerimientos prácticos, el hombre
precisó admirar la belleza de la creación para
satisfacer su espíritu. Con ese fin, observó la naturaleza
y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de
formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron
origen a la parte de la matemática que designamos con
el nombre de geometría.
El Río Nilo
La palabra geometría está formada por las raíces
griegas: "geo", tierra, y "metrón", medida, por lo tanto,
su significado es "medida de la tierra".
Según lo registra la historia, los conceptos
geométricos que el hombre ideó para explicarse
la naturaleza nacieron -en forma práctica- a
orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto.
Las principales causas fueron tener que remarcar los
límites de los terrenos ribereños y construir diques
paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los
desbordes que causaban las inundaciones periódicas.
El aporte griego
Quienes dieron carácter científico a la
geometría fueron los griegos, al incorporar
demostraciones en base a razonamientos.
Tales de Mileto (600 a.d.C.) inició esta tendencia, al
concebir la posibilidad de explicar diferentes principios
geométricos a partir de verdades simples y evidentes.
Euclides (200 a.d.C.) le dio su máximo esplendor a
esta corriente científica. Recogió los fundamentos de la
geometría y de la matemática griega en su tratado
Elementos
Representamos los conceptos
Hay conceptos geométricos que no pueden
definirse. Son ideas formadas en nuestra mente a través
de la observación del entorno y solamente podemos
hacer representaciones concretas de ellas.
Las llamaremos términos primitivos o conceptos
primarios y son: espacio, punto, recta y plano.
Espacio
Es el conjunto universo de la geometría. En él se
encuentran todos los demás elementos. Dentro de él
determinamos cuerpos geométricos como cajas,
planetas, esferas, etcétera.
Su símbolo es; E:
Punto
El punto tiene posición en el espacio. Su
representación más cercana es el orificio que deja un
alfiler en una hoja de papel o en un granito de arena,
pero debemos tener en cuenta que no tiene grosor.
En el espacio hay infinitos puntos. Los
identificaremos con una letra mayúscula y para
reconocerlos usaremos o x.
Por ejemplo:
• A se lee punto A, x M se lee punto M.
Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas
que pueden ser curvas, rectas, mixtas o poligonales.
Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas
direcciones; rectas, si llevan la misma dirección;
mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si están
formadas solamente por trozos de rectas.
Recta
Curva
Poligonal
Mixta
Plano y Recta: Infinitos puntos
La unión de infinitos puntos da origen a los otros
dos principios básicos de la geometría: plano y recta.
La representación más cercana de la recta es un hilo
tenso o la marca que deja un lápiz en un papel. Es
infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella
hay infinitos puntos.
La identificaremos con el dibujo
Una recta puede tener dirección:
Horizontal:
Como la línea del horizonte.
Vertical:
Como el hilo a plomo.
Oblicua:
Cuando es distinta a las dos anteriores.
Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas y
sobre ellas se anota su símbolo. Por ejemplo: AB, se
lee recta AB.
También se usa una L ó una R, especialmente
en los casos en que deban distinguirse varias
rectas.
Veamos:
DE es una recta oblicua
D
E
L es una recta vertical
L
Plano
Lo más parecido a este elemento del espacio es una
hoja de papel, pero lo diferencia con ésta, el hecho que
es ilimitado y no tiene grosor.
El plano es una superficie infinita, formada por
infinitos puntos que siguen una misma dirección, es
decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas
en ella.
El símbolo de plano es P y para nombrarlo debe
estar acompañado de, por lo menos, tres puntos.
Veamos este ejemplo:
R
R
TF
Este dibujo será una representación del plano ART
y lo simbolizaremos P ART.
Las paredes de nuestra casa, el pavimento de las
calles, la superficie de una laguna, son representaciones
de planos.
Es importante saber que en un plano podemos
encontrar puntos y rectas, y obtener figuras
geométricas.
Hay planos horizontales, verticales y oblicuos.
Cuando en una superficie no quedan rectas
totalmente incluidas en ella, decimos que es
curva. Una representación de esto sería una bandera
flameando.
Relacionemos lo estudiado
Tras conocer las ideas geométricas, las
relacionaremos, para determinar aspectos que son muy
importantes de analizar.
Puntos y rectas:
a) Vamos a determinar un punto del espacio.
¿Cuántas rectas pueden pasar por él? o ¿a cuántas
rectas pertenece ese punto?
S5GE31B“El nuevo símbolo de una buena educación….” S5GE31B
“ el nuevo símbolo de una buen educación…”
I BIMESTRE:I BIMESTRE:
ORIGEN YORIGEN Y
DESARROLLODESARROLLO

Como las rectas no tienen grosor, obtenemos un
dato fundamental de la geometría: "por un punto del
espacio pasan infinitas rectas".
Determinemos un punto del plano y dibujemos
rectas que pasen por él. Recordemos que la línea que
hacemos es una representación, porque la recta no
tiene grosor. Hemos obtenido este dibujo.
La conclusión es la misma: "Por un punto del plano
pasan infinitas rectas".
b) Ahora elegiremos dos puntos del espacio.
¿Cuántas rectas unen a esos dos puntos?
Recordemos que ni puntos ni rectas tienen
grosor.
A B
Conclusión
"Dos puntos del espacio determinan una sola
recta".
Lo mismo sucede en el plano: "Dos puntos del
plano determinan una sola recta"
p
j
t
c) Veamos qué pasa con puntos que pertenecen a
una recta del espacio o del plano.
Observa este ejemplo:
A
C
B
F r o nt e r a
• Un punto que pertenece a una recta forma
subconjuntos en ella. Si el punto elegido,
llamado origen, queda como frontera de los
subconjuntos, es decir que C no pertenece a
ninguno de ellos, estamos diciendo que se
obtienen dos semirrectas que simbolizamos así:
En nuestro ejemplo quedan CA y CB. C para el
punto frontera y para el otro punto, que
utilizamos para nombrarlas.
Ahora, otro ejemplo:
Q
O
P
Si el punto elegido, origen, es tomado en cuenta
para ambos subconjuntos, es decir que pertenece a
ambos, es común, hablaremos de dos rayos. Su
símbolo es en el dibujo serían DP y DQ (por eso
denominamos rayos a los del Sol. Sabemos que el
origen es el astro, pero no donde termina su luz).
Las semirrectas y los rayos son infinitos hacia un
extremo (el que lleva flecha); el otro extremo está
limitado por un punto. Si en una recta determinamos
dos puntos, se forma un subconjunto muy importante: el
trazo, llamado también segmento. Por ejemplo:
M J
El trazo se identifica con el símbolo . En
nuestro caso se formó MJ.
El trazo es el único elemento lineal que se
puede medir, porque no es infinito; está limitado
en sus dos extremos.
En resumen, de una recta ubicada en el espacio o en
el plano, hemos obtenido tres clases de subconjuntos:
semirrectas, rayos y trazos.
PRACTICA DE CLASEPRACTICA DE CLASE
01.
A B C D
24AD = , 15AC = ,
17BD =
Hallar BC
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
02.
A B C D
FE
E y F puntos medios de AB y CD
Hallar EF, si: 80BDAC =+
a) 18 b) 15 c) 20
d) 30 e) N.a.
03.
M A O B
“O” Punto medio de AB
Calcular OM si:
2
2
m81MB.MA
4
AB
=+
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 27
04.
P Q R S
Si: 20QSPR =+ y 6QR =
Hallar: PS
a) 7 b) 9 c) 13
d) 14 e) 10
05.
A B C D
“B” Punto medio de AC calcular AB .
Si:
3
AC
4
BD
= y 22AD =
a) 5 b) 10 c) 6
d) 3 e) 9
06.
P A B C D
Si: PB5PD2PC7 += , calcular
AC
21AB5AD2 =+
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07.
A B C D
M y N. Puntos medios de AC y BD
Hallar: MN si 10AB = y
5CD =
a) 10 b) 8 c) 7,5
d) 5 e) 6
08.
A B C D
Si: ADAC7 = y
42AB6BD =−
Hallar BC
a) 7 b) 4 c) 5
d) 14 e) 6
09.
A B C D
Si: AB2BC = y CD es 8 cm mayor
que AC . Hallar CD , 45AD =
a) 21 b) 22 c) 23
d) 24 e) 25
10.

A B C D E F
Si:
3
BF
EFAD == . Hallar: BE
Además: 24DFCEBDAC =+++
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
11.
A B C D E F
Si: 70DFCEBDAC =+++ y
AF
9
5
BE =
Hallar BE
a) 15 b) 20 c) 25
d) 50 e) N.a.
12.
A B C D E F G H
Hallar AH si:
83FHDHBHEFBDCEAEABAC =++++++++
a) 66 b) 33 c) 11
d) 12 e) 11,5
13.
A B C D E F G H
Si:
2
AH
CB = y
56EGCE
FHDHEHEFBDCEAEABAC
=+
+++++++++
Hallar AH .
a) 30 b) 28 c) 32
d) 16 e) N.a.
14.
A B C D E F
Tal que: 26DFCEBDAC =+++ .
Hallar: AF
Si: AF
8
5
BE =
a) 13 b) 16 c) 24
d) 39 e) 20
15.
A M B N
Hallar AB , si
BN
AN
MB
AH
= y
5
1
AN
1
AM
1
=+
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
16.
A B C D
la media geométrica de AB y CD es
2
BC2
y
18
1
BD
1
AC
1
=+ . Hallar BC
a) 6 b) 8 c) 4
d) 5 e) N.a.
17.
A B C D
Si: AD.BC2CD.AB = y
3
1
AB
2
AB
1
=+ . Hallar AC
a) 9 b) 8 c) 67
d) 6 e) N.a.
18.
A B C D
Si: (2x - 3) ( AB ) ( CD ) =
BC.AD y
AB
13Z5
AB
14xx3
AC
2y3 −
+
−
=
+
Hallar: x, y , z
a) 1, 2, 3 b) 4, 3, 2 c) 5, 2, 4
d) 4, 3, 5 e) N.a.
19.
A B C D
Si: CD.BC8AD.AB = y
ABACCD
π
=
β
+
α
. Hallar: α, β y π
a) 1, 4, 2 c) 1, 2, 4 c) 1, 4, 3
d) 3, 1, 4 e) 3, 1, 2
20.
A B C D
Si: )AD()QC(KCD.AB = y
AC
7
AB
K
AD
1
=+
Hallar: (K + 1)2
a) 29 b) 49 c) 7
d) 64 e) 36
21.
A A1 A2 A3 An-1 An
Si:
K2AA......AAAAAA n2n42312 =+++ −
Además: 1KAA 1n1 −=− Hallar
nAN
a) 1
3
K
− b) 1
2
K
+ c) K + 1
d) 2K – 1 e) K - 1

25 26
ÁNGULOÁNGULO
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria
I. OPERACIONES DE ÁNGULOS
1. Suma
A
C
B
D
0
α
β
θ
∧∧∧
θ+β+α=∠AOD
2. Resta
A
α
B
C0
α−β=∠
∧
BOC
II. PROPIEDADES
1. Las bisectrices de los ángulos adyacentes forman
un ángulo de 90°
A
B
C
α
α β
β
0
°=β+α
∧∧
90
2. Las bisectrices de dos ángulos complementarios
forman un ángulo de 45°
A
α
B
C
0
α
β
β
°=β+α
∧∧
45
III. ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS Y
PERPENDICULARES
M
β
σ
N
L
P
M // N y L // P
a)
∧∧
β=σ
M
β P
M // L y N // P
b)
α
N
L
∧∧
β=α
M
β P
M // N y L // P
c)
α
N
L
°=β+α
∧∧
180
β
d) α
∧∧
β=α
e)
α
β
∧∧
β=α
f)
β
α
°=β+α
∧∧
180
COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO ( C )COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO ( C )
α−°=α 90C )(
SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO S(SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO S(αα))
α−°=α 180S )(
Ejm:
• C50 = ....................
• S60 = ....................
• S(α + β) = ...............
• C2x = ....................
• SSα = ...................
• CCα = ..................
01. Si, S : Suplemento y C : Complemento
Calcular: T = SSCSSCS100°
a) 100° b) 80° c) 10°
d) Absurdo e) 90°
02. Si: C : Complemento
S : Suplemento
Además:
SCα + SSCC2α + SSSCCC3α + SSSSCCCC4α = 200°
Calcular: “ α° ”
a) 2° b) 8° c) 10°
d) 15° e) 20°
03. Un ángulo es tal que la suma del complemento y
del suplemento es igual al triple del ángulo.
Hallar el valor del ángulo..
a) 45° b) 46° c) 54°
d) 36° e) N.a.
04. El suplemento del complemento de un ángulo “x”
es igual al doble del complemento “x”. Hallar
“x”.
a) 45° b) 30° c) 60°
d) 90° e) 0°
05. De qué ángulo debe restarse los 2/3 de su
complemento para obtener 52°
a) 25° b) 38° c) 72°
d) 54° e) 67,2°

06. Si un ángulo se le resta su complemento resulta
igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar la
medida del ángulo.
a) 135° b) 70° c) 80°
d) 60° e) 90°
07. Si la medida de uno de dos ángulos
complementarios se le disminuye 18° para
agregándosele a la medida del otro, la medida de
éste ultimo ángulo resulta ser ocho veces lo que
queda de la medida del primero. ¿Cuánto mide el
mayor de los ángulos?
a) 88° b) 62° c) 72°
d) 28° e) 75°
08. Hallar el menor de dos triángulos suplementarios
sabiendo que al disminuir 20° a uno de ellos para
agregárselo a la medida del otro, este nuevo
ángulo resulta ser cinco veces lo que queda del
primero.
a) 40 b) 50° c) 60°
d) 30° e) 55°
09. La diferencia de las medidas de dos ángulos
consecutivos
BOA
∩ y
COB
∩ es 60°.
Calcular m ∠ DOB. Si: →
OD
bisectriz del
ángulo AOC.
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
10. Se tiene los ángulos consecutivos
BOA
∩
y
COB
∩ , si:
COA
∩ y
COB
∩ son
suplementarios y
BOA
∩
= 80°. Hallar el
COA
∩
a) 50° b) 120° c) 130°
d) 180° e) 90°
11. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD. Calcular la medida del ángulo formado por
las bisectrices de los ángulos AOB y COD
sabiendo que m ∠ BOC = 40° y m ∠ AOD =
100°.
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 50° e) 70°
12. Alrededor de un punto “O”, se trazan los rayos
coplanares →
OA
, →
OB
, →
OC
, →
OD
y
→
OE
determinandose 5 ángulos consecutivos,
tal que el 2do. Ángulo es el doble del 1ro y la
tercera parte del 5to, el 3ro es 10° menos que la
suma de los 2 primeros ángulos y el 4to excede
en 20° a la suma de los 3 primeros.
Halle el mayor ángulo.
a) 130° b) 120° c) 50°
d) 160° e) 40°
13. Dados los rayos consecutivos →
OA
, →
OB
,
→
OC
, →
OD
, →
OE
y →
OF
. Calcular m
∠ COB sabiendo que los ángulos
DOA
∩
,
EOB
∩ y
FOC
∩ tienen igual medida y
que el ángulo
FOA
∩
mide 114° y la mitad d
la medida del ángulo formado por el rayo
DOA
∩ y la bisectriz del ángulo formado por
el rayo →
OE
y la bisectriz del ángulo
DOC
∩
es 16°.
a) 10° b) 15° c) 20°
d) 25° e) 30°
14. Se tiene dos ángulos consecutivos,
BOA
∩
,
COB
∩
y
DOC
∩
. Halle la medida del
ángulo BOD, si m ∠ AOC = 110°, además las
bisectrices de los ángulos
BOA
∩
y
DOC
∩ son perpendiculares.
a) 70° b) 60° c) 40°
d) 30° e) 75°
15. Del gráfico, hallar la suma de los valores de “y”
cuando “x” toma su mínimo y máximo valor
entero.
2x - y
x + y
y - x
a) 88° b) 120° c) 96°
d) 85 e) N.a.
16. La diferencia de dos ángulos consecutivos AoC y
BoC es 20° que ángulos forman la bisectriz del
ángulo AoC con el lado ]OB.
a) 15° b) 16° c) 17°
d) 18° e) N.a.
17. Se tienen las semirectas OA , OB y
OC . Calcular el ángulo formado por las
bisectrices de los ángulos AoC y AoB sabiendo
que estos se diferencian en 20°.
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) N.a.
18. Se tiene 3 ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD. Se trazan las bisectrices OM de AoB
y ON de COD. Si
COA
∧
= 80° y
NOM
∧
=100°. Hallar
DOB
∧ .
a) 100° b) 80° c) 180°
d) 120° e) 60°
19. Se tienen los ángulos consecutivos
BOA
∧
y
COB
∧ siendo:
COB
∧
=
BOA
∧
= 36
OX es la bisectriz de
BOA
∧
OY es la bisectriz de
COB
∧
OZ es la bisectriz de
YOX
∧
Calcular
ZOB
∧
a) 9° b) 15° c) 18°
d) 20° e) 27°
20. Si el triple de un ángulo se le disminuye 2/7 de su
complemento; nos da el doble de dicho ángulo.
Calcularlo.
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 50° e) N.a.
21. Calcular dos ángulos cuya suma es igual a 164° y
que el suplemento de uno de ellos es igual al
complemento del otro.
a) 100° y 64° b) 127° y 34°
c) 120° y 44° d) 150° y 14°
e) N.a.
22. Si el suplemento del complemento del
complemento del suplemento de un ángulo es
igual a 18°. Calcular el complemento del
suplemento del suplemento del complemento de
dicho ángulo.
a) 9° b) 18° c) 36°
d) 72° e) N.a.
23. En la figura mostrada a // b. Hallar “x”.
a
b18°
x°
44°
32°
a) 25° b) 30° c) 64°
d) 31° e) N.a.
24. Siendo m // n determinar el valor de “α”
m
n
2α
α
3α
36°
25. Sea p // q y °=θ+α
∧∧
164
Hallar “β”

pα
β
θ
q
26. Siendo 321 L//L//L y el triángulo ABC
es equilátero. Hallar “x”
30°A
B
C
t
L 1
L 2
L 3
27. Hallar “x”
40°
140°
x
a) 60° b) 70° c) 80°
d) 50° e) N.a.
Definición: .......................................................
............................................................................
............................................................................
B
A
Cb
c a
θ2
θ2 θ3
α2
α3
α1
Elementos:
Lados : ...............................................
Vértices : ...............................................
Perímetro (2p) : ...............................................
Angulos interiores : ...............................................
Angulos exteriores : ...............................................
Suma de ángulos interiores : ...................................
Suma de ángulos exteriores : ..................................
Clasificación de los Triángulos:
I. De acuerdo a sus lados
T. Escaleno T. Isósceles T. Equilátero
α α
60º
60º 60º
II. De acuerdo a sus ángulos
T. Acutángulo T. Rectángulo T. Obtusángulo
LINEAS NOTABLES
1. Ceviana:
CevianasCD;AM;BD
CevacentroC
→
→
B
A C
P M
D
C
2. Mediana:
MedianasCQ;BM;AN
BaricentroG
→
→
B
A C
Q N
M
G
∼
∼
3. Bisectriz:
erioresinttricessecBiBMyPC,AD
IncentroI
→
→
B
A C
P D
M
I
α α
β
β
θ
θ
TRIÁNGULOSTRIÁNGULOS

4. Altura:
AlturasBHyPC,AQ
OrtocentroH
→
→
B
A C
P Q
H
H
A
Q
5. Mediatriz:
sMediatriceOQyON,OM
roCircuncentO
→
→
B
A C
Q
M
P
O
∼
∼
EXISTENCIA DE UN TRIANGULO
Si: a > b > c
B
A Cb
c a
b - c < a < b + c
a - c < b < a + c
a - b < c < a + b
Propiedades
aº bº
xº
aº cº
bº
xº
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1. Lado - Angulo - Lado (L - A - L)
θ θ
≅
2. Angulo - Lado - Angulo (A - L - A)
α
≅
º θº αº θº
3. Lado - Lado - Lado (L - L - L)
≅
01. Hallar x
x
60°
a) 30° b) 60° c) 70°
d) 75° e) 80°
02. En la figura, hallar “x”
x
120°
a) 60° b) 80° c) 100°
d) 90° e) 120°
03. En la figura, calcular “x”
α
α
x
50°
α
θ
θ
a) 100° b) 180° c) 150°
d) 120° e) 90°
x
80°
3α6θ
α 2θ
a) 25° b) 40° c) 45°
d) 50° e) 60°
05. En la figura, calcular “x”, si el triángulo ABC es
equilátero.
x°
A
α
α
B
C
a) 50° b) 40° c) 75°
d) 55° e) 60°
06. Cuánto mide el menor ángulo de un
triángulo escaleno, si con los otros dos
forman una progresión aritmética de razón
2.
a) 60° b) 56° c) 58°
d) 59° e) 61°
07. En la figura: AB = BD = CD. Calcular: y - x
x°y°
110°
A
B
C
D
a) 1° b) 2° c) 3°
d) 4° e) 5°
x αθ
θ3 α3
40°
a) 80° b) 110° c) 75°
d) 85° e) 95°
09. En la figura, calcular: x +y + z
xº = aº + bº
xº = aº + bº+ cº

x z
y
a
a
a
c
c
c
b bb
a) 100° b) 135° c) 270°
d) 300° e) 540°
10. Si AB = CD. Calcular “x”
D
3α
2α
7αα
x
a) 9° b) 10° c) 12°
d) 15° e) 18°
11. 3PQ,L//L 21 = . Calcular “x”
x P
Q
L1
L2
a) 6 b) 9 c) 7
d) 8 e) 5
12. En un triángulo rectángulo ABC m B = 90°) se∡
traza BH altura y AR bisectriz interior. Si AB = 9
y AH = 7. Calcular la distancia de “R” a BH.
a) 4 b) 3 c) 2
d) 5 e) 1
13. En un triángulo ABC se traza la altura BH, en
ella se ubica el punto “E” tal que: m∠ EAH =
m∠ CBH y BH = HC. Calcular la m∠ ECH.
a) 45 b) 30 c) 60
d) 37 e) 53
14. En el gráfico mostrado mostrar EF, si: AB = BC,
AE = 4m y CF = 7m
A
B
C
E F
a) 7 m b) 10 m c) 11 m
d) 12 m e) 15 m
15. Según el gráfico. Calcular x, si AB=BC y
EM=AE+CF
A
B
C
E F
x°
M
a) 45 b) 60 c) 53
d) 30 e) 37
16. Si: EH + DM = 24. Calcular AC.
A
B
C
DE
H M
a) 12 b) 18 c) 24
d) 28 e) 20
17. En la región interior de un triángulo equilátero se
ubica un punto “P” tal que m APB = 90, y la∢
región exterior relativa a AC se ubica el
punto “M” tal que el triángulo APM es
equilátero. Calcular la m∠ PMC.
a) 15 b) 30 c) 22,5
d) 60 e) 45
18. En el gráfico mostrado calcular x siendo los
triángulos ABC y EFC equiláteros.
x°A
B
C
E
F
12°
a) 12 b) 24 c) 36
d) 48 e) 30
19. Calcular x si los triángulos AFB y BEC son
equiláteros.
x°
A
B
C
E
F
a) 60 b) 90 c) 110
d) 120 e) 150
20. En el gráfico mostrado AB =BC. Calcular AN si
BM = 4m.
A
B
C
N
M
a) 4 2 m b) 4 m c) 3 m
d) 3 2 m e) 5 m
21. Si: BP = 4, PQ = 7 y QC = 4. Calcular AP.
A
B
P
Q
C
a) 15 b) 14 c) 12
d) 10 e) 11
22. Los lados de un triángulo escaleno miden 4; 6 y
2x, si: x es un número entero. Calcular “x”.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
23. Calcular “α”, si: a + b = 120
120°
a° b°2α°
α°
a) 10 b) 15 c) 20
d) 30 e) 40
24. Calcular θ :
α°
4α°
2θ°
β°3θ°
3β°
a) 10 b) 12 c) 15
d) 9 e) 20
25. En un triángulo ABC se prolonga CA hasta
“P” y AB hasta “Q” de modo que AP = AB,
BQ = BC, m∠ APB = 24 y m∠ BQC = 32.
Calcular la m∠PCQ.
a) 86 b) 88 c) 94
d) 96 e) 100
26. En la figura AB > BC y CD > ED. Calcular x, si
se sabe que es un número entero.

A
B
C
D
E
64°
66°x°
a) 120 b) 130 c) 110
d) 115 e) 125
27. De la figura. Calcular
c
ba +
b°
α°
α°
α°
θ°
θ°
θ°
a°
c°
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
28. Si x""calcular,
2
AD
CABC ==
A
B
C
D
x°
2 θ
θ°
θ°
a) 100 b) 110 c) 120
d) 130 e) 150
29. Calcular el mínimo valor entero de (OA +OC +
OE) si CEyAC toman el mínimo y el
máximo valor entero, α es mayor que 90 y θ
menor que 90, CD=AB=12; ED= 9, AE=15.
α°
θ°
0
A
B
C
DE
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 41
30. En un triángulo ABC; AB =1, m∠A= 3m∠C.
Calcular m∠ C. Si se sabe que: BC es entero.
a) 20 b) 45 c) 22,5
d) 30 e) 15
31. En un triángulo ABC, acutángulo AB = 6; BC=8.
Calcular la diferencia entre el mayor y menor
valor entero de AC.
a) 3 b) 10 c) 6
d) 4 e) 5
32. Calcular “x”
A B
C
E
F
x°45°
45°
a) 80 b) 90 c) 45
d) 120 e) 72
33. Dado un triángulo ABC, sea “P” un punto de
AC y “Q” un punto exterior relativo al lado
AC de modo que los triángulos ABP y BQC
son equiláteros. Calcular la m CAQ.∢
a) 40 b) 45 c) 30
d) 60 e) 75
34. Del gráfico mostrado, calcular x:
A
B
C
DE
F G
x°
60°
40°
60°
a) 30 b) 20 c) 10
d) 45 e) 40
35. Calcular x; si: AB = EC.
60°
20° x°
A
B
CE
a) 10 b) 15 c) 20
d) 22,5 e) 30
36. En la figura calcular “α” si: AB =EC, AC = DE y
ED//AB .
A
B
C
D
E
4α°
α°
a) 36 b) 30 c) 25
d) 20 e) 18
37. En el gráfico mostrado, AB = BC = AC y
BP=QC. Calcular x.
A
B
C
Q
P
x°
a) 45
b) 30
c) 60
d) 53
e) 75
38. Del gráfico adjunto, la m PBQ. Si:∢
AP=PQ=QC.
α β
β α
x°
A
B
CP Q
a) 45° b) 30° c) 60°
d) 37° e) 53°
39. Calcular θ, si: BE = AD.
A
B
CD
E
2θ
θ
a) 23 b) 14 c) 16
d) 53 e) 26,5
40. En un cuadrado ABCD, M∈
;CDN,AD ∈ AM=4, CN =3, ,m∠
MBN = 45.
Calcular “MN”
a) 4 b) 6 c) 7
d) 3 e) 2

TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA
01. Calcular “θ” en un ∆ABC, si al trazar la bisectriz
interior AD, AC = AB +DC, m∠B=100,
m∠C=θ.
a) 20 b) 30 c) 45
d) 60 e) 70
02. Si: AB = AC y ND =2AD. Calcular la m ABD.∢
A
B
C
D
N
M
x
45°
a) 8 b) 9 c) 12
d) 14 e) 15
03. Calcular “α”, si: 2AB = DC.
A
α
α
B
C
D
2
a) 20 b) 15 c) 22,5
d) 18 e) 17,5
04. En el gráfico AB = PC; PH = 3(BP).
Calcular “x”
A
B
C
P
H
θ
θ x°
a) 15 b) 53/2 c) 37/2
d) 8 e) 16
05. Calcular PQ, si: BH = 12 y BF = 4
A
B
C
F
H P
Q
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
06. En el triángulo ABC; AP = PQ, MC =RM y
AB=QC. Calcular “x”.
A
B
CP Q
R
M
75°
x°
a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
07. En un triángulo ABC; AB = 2 y BC = 9.
Calcular el mayor valor entero de la mediana
BM
a) 4 b) 5 c) 6
d) 3 e) 7
08. Calcular m∠ BCD; si: AC = 2BD
A
B
C
D
a) 30 b) 45 c) 60
d) 37 e) 53
09. Los lados de un ∆ABC miden: AB = 4, BC= 7 y
AC = 9. Calcular la distancia entre los pies de los
perpendiculares trazadas desde “C” a las
bisectrices interiores de “A” y el exterior de “B”.
a) 0,5 b) 1 c) 1,5
d) 2 e) 2,5
10. En el gráfico. Calcular BD, si: CD = 12
A
B
C
D
θ
θ
a) 4 b) 6 c) 6 2
d) 8 e) 12
11. Si: m ∠ LBC = m∠ AHD =90, AD = DC; BC =
2BL y BH = 6. Calcular “HD”.
A
B
CD
L
H
a) 4 b) 6 c) 6 2
d) 4,5 e) 9
12. Dado un ∆ABC, recto en B; la bisectriz interior
del ángulo A y la mediatriz de BC se
intersecan en “E”, tal que m∠ ECB = 2(m∠
BCA). Calcular: m ∠ BCA.
a) 12 b) 15 c) 18
d) 20 e) 30
13. Si: BM =MC; AB =2DM. Calcular θ.
A
B
C
D
3θ
θ
M
a) 10 b) 12 c) 15
d) 18 e) 20
14. En la figura: AE=7 y DC=3. Calcular “AB”.
α
α
θθ
A B
C
DE
a) 10 b) 13 c) 14
d) 15 e) 17
15. En un triángulo ABC, recto en B se traza la
ceviana BD , m∠ ABD = 2m∠ C; BC=6, “C”
dista 2 cm de BD . ¿Cuánto dista “A” de
BD ?
a) 4 b) 2 c) 6
d) 3 e) 1
16. En la región interior de un triangulo ABC, se ubica el
punto P, tal que: m∠PAB=m∠PCA. Calcular
m∠APC, si m∠ABC=80° y AB=BC
Rpta: ................

17.Según la figura Calcular el valor de x si BQ=BP y
m∠QPR=40°
A C
Q
R
B
P
x
Rpta: ................
18.En la región exterior y relativo al lado AC de un
triángulo rectángulo ABC recto en B se ubica el
punto P, tal que AB=BC=CP. Calcular m∠PAC, si
m∠PCA=15°
Rpta: ................
19. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza
la ceviana interior BM y en el triángulo BMC se
traza la bisectriz interior CN. Calcular la m∠CNM,
si AB=AM
Rpta: ................
20. De la figura mostrada calcular el valor de x, si
β-α=46°
x
α
θ θ
β
Rpta: ................
21. En un triángulo ABC, se traza la mediatriz de AC
que intersecta a BC en P, tal que AB=PC. Calcular
m∠BCA, si m∠BAC=5m∠BCA.
Rpta: ................
22. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) en AB,AC
y BC se ubican los puntos M, T y N respectivamente,
de modo que AM=TC, AT=NC y m∠ABC=100°.
Calcular la m∠MNT
Rpta: ................
23. Según el gráfico calcular el valor de x
30°
x°
A
B
C
P
θ
2α
2θ
α
Rpta: ................
24. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AP,
y en el triángulo APB, se traza la ceviana interior
PQ, de modo que: AQ=AP=AC y BQ=QP. Calcular
m∠BAP, si m∠ACB=84°
Rpta: ................
25. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB=6 y BC=8,
luego se traza exteriormente el triángulo equilátero
APC. Calcular el máximo perímetro entero de la
región triangular APC.
Rpta: ................
26. En la figura calcular el valor de x, si AB=AC y
AP=PB
A P C
B
Q
x
70°
Rpta: ................
27. Del gráfico mostrado, calcular el valor de x
40°
60°x°
Rpta: ................
28. Se tiene un triángulo equilátero ABC; en la región
exterior y relativo al lado AB se ubica el punto P tal
que m∠PCA=10°. Calcular m∠PAB, si la mediatriz
de PC contiene al punto B.
Rpta: ................
29. En un triángulo ABC, se traza la altura AL, luego en
la región exterior y relativo al lado BC se ubica el
punto E de modo que: m∠BEC=90°, m∠LAC=20°,
m∠BCE=50° y m∠ABC=40°. Calcular la m∠BLE.
Rpta: ................
30. Se tiene un triángulo ABC en la cual se traza la
bisectriz interior BD, m∠BAC=2m∠BCA, BC=m y
AB=n calcular AD.
Rpta: ................
TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA
01. En la figura mostrada: BP=BA=BC=BQ. Calcular el
valor de θ.
A
B
C
P
Q
θ 2θ
3θ
Rpta: ................
02. En un triángulo ABC recto en B se traza la ceviana
interior BM tal que: m∠BAC=2(m∠ABM) y
AB=MC. Calcular la m∠ABM.
Rpta: ................
03. Del gráfico: AB=BC. Calcular el valor de x.
A
B
C
x
2θ
θ
β
β
Rpta: ................
04. En un triángulo rectángulo ABC (m∠B=90°), se
traza la ceviana interior AE tal que: BE=a, EC=b;
m∠BAE=10°+2α y m∠EAC=30°-3α. Hallar AE.
Rpta: ................
05. En un triángulo rectángulo ABC(m∠B=90°) cuya
altura mide 6. calcular la longitud del segmento que
une los pies de las perpendiculares trazados por H a
las bisectrices de los ángulos ABH y HBC.
Rpta: ................
CUADRILÁTECUADRILÁTE

01. En un cuadrado ABCD, M y N son puntos medios
de CD y BC respectivamente. Cuanto dista Q de
AM, si AQ=30, siendo Q la intersección de AN y
BM.
Rpta: ................
02. Según el grafico ABCD es un romboide, AB=5,
AD=10 y ED=DC. Calcular la m∠BAE.
A
B C
D
E
53°
X°
Rpta: ................
03. Se tiene el cuadrilátero ABCD, donde
m∠BAD=60°, m∠ABC=150°, m∠ADC=30°,
AD= 38 y AB= 3 . Calcular BC.
Rpta: ................
04. Si AD=6, BC=10 y CD=8, AB=4AM.
Calcular MN.
A
M
B C
D
N
E
α
α
ω
ω
Rpta: ................
05. Se tiene un trapecio ABCD recto en A y B, BC=4 y
AD=7, se traza CH⊥BD, H ∈ BD y
m∠BCH=2m∠CDB. Calcule CH
Rpta: ................
06. En la figura mostrada DF= 32 . Calcule DE.
A
B
C
D
EF
3φ
5φ
2α
α
β
2φ
2β
Rpta: ................
07. ABCD es un romboide, y PB=1 y BM=MC.
Calcular MT
A T
B M C
D
P
φ
φ
Rpta: ................
08. En un paralelogramo ABCD se cumple que
AC=AB+CD. Calcular m∠ACB, si la
m∠BDA=45°.
Rpta: ................
09. En un paralelogramo ABCD, en la prolongación de
AB se ubica el punto F tal que BFCD es un
trapecio isósceles, si AF=BC, AB=4. Calcular la
distancia de B a AD.
Rpta: ................
10. Calcular AH, si BC//AD, BC=6 y HC=8
A
H
B C
D
α
α
α
Rpta: ................
11. En la figura AM=MB, calcular MP, si BP=4 y
PC=6
A
M
B P C
D
θ
θ
Rpta: ................
11. En un paralelogramo se traza la bisectriz exterior
CE, E en a prolongación de AD. Calcular el
segmento que une los puntos medios de BE y AC,
sabiendo que AB=6
Rpta: ................
12. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se
traza la altura BH, en los lados AB y BC se ubican
los puntos Q y P respectivamente tal que AQPH
es un rombo y HC=PQ+4. Calcular BQ.
Rpta: ................
13. En el gráfico BO=OD=OP, Calcular el valor de x
A
B
P
C
D
O
x
20°
Rpta: ................
14. En un trapezoide ABCD: AB=2;BC=10 y CD=4,
m∠B=143° y m∠C=127°. Hallar AD.
Rpta: ................
15. En la figura. AB=BC; AH=7. Hallar HD.
A H D
C
B
135°
Rpta: ................
16. En un trapecio ABCD. BC//AD. Se traza la altura
CH que intersecta a la diagonal BD en P. Calcular
CM, si M es punto medio de AP, AB=BD; BP=10,
PD=4
Rpta: ................
17. Sobre los lados AB, BC y CD de un romboide
ABCD, se construyen exteriormente los cuadrados
de centros P, Q y R respectivamente. Hallar
m∠PQR.
Rpta: ................
18. En un trapecio ABCD, BC//AD, AB=AC y CD=4.
Hallar AM, siendo M punto medio de BD
Rpta: ................

19. En la figura mostrada ABCD y MNPQ son
cuadrados M es centro del cuadrado ABCD. Hallar
el valor de θ°
A
B C
D
N
P
M
Q
34°
θ°
Rpta: ................
20. En la figura ABCD es un rectángulo, EF=EC;
BE=13 y DE=5. Hallar AF.
A
B C
D
E
F
Rpta: ................
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003

Geometria 5° 1 b

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