Rm1 5° 2 b

21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5to. Año
Secundaria
Al principio, el género humano no conocía la
actividad de contar. Quizá no la necesitaba o, al
menos, no tenía que hacerlo para cazar los
animales y, así sobrevivir. Como no conocía las
horas, las semanas y los meses, no tenía porque
hacer conteos. Sin embargo podía distinguir que
existía una diferencia entre uno, pocos y muchos,
ya sea al momento de la recolección de
alimentos, al llevar a cabo la cacería o al
memento de enfrentarse a una situación de
peligro que entrañaba la lucha por la
supervivencia.
El ser humano aprendió a contar por necesidad y
con el transcurrir del tiempo lo fue haciendo cada
vez mejor. Primero con los dedos, que fueron los
primeros símbolos usados como números, y luego
usando piedras, haciendo marcas en el tronco de
un árbol, en la tierra o arena del suelo.
¿Cuál es el origen del número?
Siendo el número un concepto de redacción se
sabe que el número surgió de la comparación
entre un grupo de objetos y uno de esos objetos
aislados. Caminando por el desierto, el beduino
ve una caravana de camellos. ¿Cuántos son? Para
definir ese “cuántos”, debe emplear los números.
El número será la pluralidad definida bajo la
forma de una palabra o de un símbolo.
Para llegar a ese resultado, el hombre precisa
poner, en ejercicio, cierta actividad. Necesito
contar. Al contar relaciona cada conjunto con un
determinado símbolo: uno, dos, tres,..; es decir,
establece una correspondencia entre los números
y los objetos del conjunto que desea contar. Nacía
así, la noción de sucesión. Ahora, para la
representación de un número cualesquiera con
pocos signos era necesario inventar un sistema de
numeración. El más antiguo sistema de
numeración es el Quinario, en el cual las
unidades se agrupan de cinco en cinco.
En el primitivo sistema
quinario el número de
discos indicados sería
32
Una vez contadas cinco unidades obtendremos
una colección llamada quina. Si 8 unidades sería
una quina mas 3 y escribiríamos 13, entonces en
el esquema mostrado tendríamos 3 quinas y 2
unidades y escribiríamos 32 (en notación
utilizada actualmente e 32(5)). Es importante decir
que en este sistema el segundo guarismo de la
izquierda valía 5 veces mas que si estuviese en el
primer lugar. Po consiguiente, los matemáticos
dicen, que la base de este sistema es 5.
Surgió después el sistema de base 10 que se
prestaba para expresar grandes cantidades. El
origen de este sistema se explica por el número
de dedos de la mano. Algunos pueblos, sin
embargo, demostraban preferencia por un sistema
que tenía por base 12 (una docena). La docena
presenta sobre la decena una ventaja: el número
12 tiene más divisores que 10.
El sistema decimal fue universalmente adoptado.
Desde el Tuareg, que cuenta con los dedos, hasta
el matemático, que maneja instrumentos de
cálculo, todos contamos de 10 en 10. Dadas las
divergencias profundas entre los pueblos,
semejante universalidad es sorprendente; no
puede; no puede jactarse de los mismo ninguna
religión, código moral, forma de gobierno,
sistema económico, principio filosófico o
artístico, lenguaje, ni alfabeto alguno. Contar es
uno de los pocos en torno del cual los hombres no
divergen, pues lo consideran lógico y natural.
NOCIÓN DE SUCESIÓN
En matemática la palabra sucesión se emplea casi
con igual sentido que en e lenguaje común. Por
ejemplo, supongamos que pedimos a un grupo de
niños formarse en fila india(alineados uno detrás
de otro). Empezamos a repartir caramelos; al
primero le damos dos; al segundo, 5; al tercero, 8;
al cuarto, 11; y así sucesivamente hasta haber
entregado lo que corresponde al último niño de la
fila.
Es claro que tenemos que disponer de una
cantidad suficiente de caramelos para poder llevar
a cabo el reparto. Si se asume que dicha cantidad
es finita, es posible determinarla, porque el
número de alumnos que integran el grupo (Sea
grande o pequeño) es finito. Cabe señalar que los
números los cuales indican la cantidad de
caramelos entregado a cada niño, están
ordenados de manera creciente; es decir forman
una sucesión cuyo número de términos va a
ser limitado y dependiente del número de niños.
Estamos frente a una sucesión finita.
Si en una noche clara, mirando el oscuro cielo
tachonado de estrellas, empezamos a contarlas de
dos, cuatro, ocho, diez, doce..... y no llegáramos
a contarlas todas, aun teniendo un poderoso
telescopio, su número seria infinito y como
estamos enumerando, los términos de dicho
infinito será denominado infinito numerable.
Por ello, cuando la sucesión tiene un número
finito de términos, se denomina sucesión finita
y cuando tiene un número infinito numerable de
términos se denomina sucesión infinita.
SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES Y
ESPECIALES
A continuación mostraremos, en el siguiente
cuadro, algunas sucesiones importantes:
Nombre Sucesión
Regla de información o
término enésimo
S
U
De los
números
naturales
1, 2, 3, 4, 5
..... ntn =
C
E
S
I
O
N
E
S
E
S
P
E
C
I
A
L
E
S
De los
números pares
2, 4, 6, 8,
10, ........
n2tn =
De los
números
impares
1, 3, 5, 7,
9, .........
1n2tn −=
De los
números
triangulares
1, 3, 6, 10,
15,
21, ............
...
( )
2
1nn
tn
+
=
De los
números
tetraédricos
1, 4, 10,
20, 35, ......
( )( )
6
2n1nn
tn
++
=
Números
pentagonales
1, 5, 12,
22, ........
( )
2
1n3n
tn
−
=
Números
hexagonales
1, 6, 15,
28, ....
( )1n2ntn −=
De los
números
cuadrados
1, 4, 9, 16,
25, .....
2
n nt =
De los cubos
perfectos
1, 8, 27,
64, 125,....
3
n nt =
S E
U S
C P
E E
S C
I I
O A
N L
E E
S S
De los
números
primos
2, 3, 5, 7,
11, 13, .....
No tiene término enésimo
pero sí criterio de orden
De Fobonacci
1, 1.2, 3.5,
8, 13, .....
3nttt
1t1t
2n1nn
21
≥∀+=
==
−−
De Feinberg1
(Tribonacci)
1.1, 2, 4, 7,
13, 24,..
4n
tttt
2t1t1t
3n2n1nn
321
≥∀
++=
===
−−−
De Lucas
1, 3, 4, 7,
11, .........
3nttt
3t1t
2n1nn
21
≥∀+=
==
−−
PRÁCTICA DE CLASE
A continuación detallamos los tipos de sucesión
de mas frecuencia en el examen de admisión a la
UNT.
S5RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación....”
SUCESIONES

Secundaria
SUCESIONES LITERALES
Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a
un determinado criterio. Estos criterios son
diversos y los más considerados son:
- Lugar que ocupa la letra del alfabeto
- Iniciales de palabras desconocidas
- Formación de palabras
Ejemplo 1. Indique que letra continúa en cada
caso:
a) A, Z, B, Y, C, ................
b) R; O; M; J; ....................
c) T; S; N; D; ……………..
d) E; F; M; A; ……………..
e) B; A; F, C; J; E; .............
f) A; E; H; ........................
SUCESIÓN NUMÉRICA
Es un conjunto ordenado de elementos numéricos
en el cual cada uno de ellos tienen un orden
designado, es decir, a cada uno le corresponde un
número ordinal, de tal manera que puede
distinguirse a uno como el primero, otro con el
segundo, otro con el tercero y así sucesivamente
de acuerdo a cierta ley de formación.
Ejemplo 1. La sucesión cuyo término enésimo es:
2n3
1n
t
3
n
+
+
= ; sus cuatro primeros términos
son: ...............................................................
Ejemplo 2. La sucesión, la cual
n2
1
tn = , está
integrado por los siguientes
términos: ................................................................
.......
Ejemplo 3: Escribe los primeros 4 términos de la
sucesión en la cual:
n1n1 t.
2
1
Ty16T == +
Ejemplo 4: Escribe los 5 primeros de la sucesión,
si: 1t1 = ; 1t2 = ; 2n1nn ttt −− += ;
3n ≥ ..............................................................
SUCESIONES NUMÉRICAS IMPORTANTES.
1) SUCESIONES ARITMÉTICAS:
La razón entre sus términos se halla
restando:
1nn TTr −−=
Ejemplo 5: Calcula el término general en
cada caso:
a) 9; 16; 23; 30; 37;.......................
b) 33; 21; 9; -3; -15; ......................
c) -3; 2; 7; 12; ...............................
Ejemplo 6: En la siguiente sucesión: 127;
123; 119; 115; .............; -269.
Calcular:
a) nT ....................................................
b) La cantidad de términos ...................
c) El segundo término negativo de la
sucesión................................................
Ejemplo 7: Dada la sucesión: -147; -139;
-131; .....; 1045.
Calcular:
a) nT ....................................................
b) Cantidad de términos de la
sucesión:................................................
c) El primer término positivo: ...................
Ejemplo 8: Escribe el término enésimo de la
sucesión: 2; 7; 13; 20; 28; ...................
Ejemplo 9: Dada la sucesión: -5; -9; -9; -5;
3; ............
Hallar su enésimo término .......................
Ejemplo 10: Calcule el término 12 de la
sucesión: 2; 5; 12; 23; 28; .......................
Ejemplo 11: Halle el término de lugar 15 de
la sucesión: 2; 5; 10; 17; 26; ................
Ejemplo 12: Hallar el término 20 de la
sucesión: 14; 17; 22; 29; 38; ....................
Ejemplo 13: En la siguiente sucesión: 7; 19;
37; 61; 91;.......................
Halle la diferencia entre el penúltimo término
de 3 cifras y el cuarto término de cuatro
cifras.
2) SUCESIÓN ARMÓNICA:
Se denomina así a la sucesión numérica en la
cual se cumple que cada término a partir del
segundo es media armónica del término que
le precede y el término que le continúa.
Ejemplo 14: Hallar el término que continúa
en: ............;
5
1
;
4
1
;
3
1
;
2
1
;1
........
Ejemplo 15: Hallar el término que continúa
en:
......................;
21
2
;
15
2
;
9
2
;
3
2
Ejemplo 16: si sabemos que los términos
tercero y cuarto de una progresión armónica
son:
17
1
y
13
1
respectivamente,
construya la sucesión: ...............................
.................................................................
Ejemplo 17: Hallar la ley de formación de la
siguiente sucesión:
......................................;
25
2
;
19
2
;
13
2
;
7
2
3) SUCESIÓN GEOMÉTRICA:
La razón entre sus términos se halla
dividiendo:
1n
n
T
T
q
−
=
Ejemplo 18: Hallar el término enésimo en
cada sucesión:
a) 80; 20; 5;
4
5
; ....................................
b) 36; 12; 4;
3
4
; ....................................
Ejemplo 19: Hallar el término central de la
sucesión: 3; 6; 12; ..............; 192
PRACTICA DE CLASE
01.En el siguiente arreglo numérico, halle la
suma del primero y el último término de la
fila 25:
F 1
F 3 5
F 7 9 11
F 13 15 17 19
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6 ; 10 ; 15 ; 21 ; .............02.
Calcule la diferencia entre el número de
lados de una figura 2k +4 y el valor numérico
comprendido en el interior de esta, si la
diferencia en la figura anterior es 300.
03.Ángela se encuentra en una huerta de cerezas
donde comienza a comer de ellas de la
siguiente manera. El primer día come 4, el
segundo 7, el tercer día 11, el cuarto día 16; y
así sucesivamente, hasta que cierto día se da
cuenta de que el # de cerezas que comió ese
día era 10 cerezas menos que el triple de
cerezas que comió el décimo día. ¿Cuántos
días han transcurrido hasta ese cierto día?
05.La siguiente sucesión es una armónica:

Secundaria
................;
y
1
;
1x3
1
;
8x
1
;
3x2
1
+++
Calcule el valor de (x + y).
06.En la siguiente sucesión: 8; 15; 22; 29;.......
¿cuántos de sus términos de 3 cifras terminan
en 5?
PROBLEMAS PROPUESTOS 02
01.Indique el término o letra que continúa en
cada sucesión:
a) A; C; F; J; ...............
b) B; D; H; N; .............
c) A; B; E; F; I; J; …….
d) D; C; S; O; D; ……..
e) E; F; M; A; N; ……...
f) AB; BD; DG; GK; ...........
g)
...................;FO;I;B;A
h) 2; 3; 8; 17; 30; …………
i) 1; 2; 4; 7; 28; …………..
j) A; C; F; J; Ñ; …………..
02.Calcule el término enésimo de cada una de las
sucesiones siguientes
a) 6; 10; 14; 18; 22; ................
b) 9; 14; 19; 24; 29; ................
c) -4; -7; -10; -13; ...................
d) .....;.........
11
8
;
9
6
;
7
4
;
5
2
........
e) 5; 7; 11; 17; 25; .................
03.Calcule el valor de K + A.
Si:
- (2K + 1), 3K, (8K + 11) es una sucesión
de primer orden, y
- (2A + 1), (4A + 2), (7A + 5) es una
progresión geométrica, donde A ∈ N
a) -2 b) 1 c) 3
d) -3 e) -1
04.Calcule x si:
( ) ( )x4966697275
a49x.....,,a15,a11,a7,a3 −
+
a) 26 b) 30 c) 34
d) 33 e) 31
05.Calcule el tercer término de 3 cifras en la
siguiente sucesión: 3; 6; 11; 18; ........
a) 146 b) 140 c) 136
d) 165 e) 153
06. Dadas las siguientes sucesiones:
5; 8; 11; 14; .........
166; 162; 158; 154; ..........
¿Cuál será el término común a ambas
sabiendo que ocupan el mismo lugar?
a) 70 b) 73 c) 74
d) 80 e) 76
07.Se tiene una sucesión de primer orden cuya
razón es 7. Dicha sucesión consta de 41
términos de lugar 21 es 145. Si la diferencia
entre el último y el primero es 280, calcule la
diferencia entre los términos de lugares 32 y
10.
a) 100 b) 140 c) 154
d) 137 e) 156
08.Las sucesiones:
124, 120, 112, ......... y
-2; 1; 4; 7; ...........
Tienen igual cantidad de términos y además
sus últimos términos son iguales. El
penúltimo término de la primera sucesión es:
a)56 b) 59 c) 40
d) 60 e) 45
09.¿Cuántos términos de tres cifras hay en la
siguiente sucesión:
3; 4; 11; 30; 67; 128; .................
a) 8b) 5 c) 4
d) 10 e) 6
10.Para imprimir un libro se emplean 255 cifras;
luego se elimina el último capítulo que tenía
28 páginas y se suplanta por otro de 40
páginas. ¿Cuántas páginas tiene el nuevo
libro?
a) 140 b) 120 c) 121
d) 123 e) 133
11.Dadas las siguientes sucesiones:
S1: 11; 18; 25; 32; .......; 844
S2: 4; 13; 22; 31; .......; 1165
Halle cuántos términos son comunes a
ambos?
a) 10 b) 12 c) 13
d) 16 e) 14
12.Dada la siguiente de 21 términos calcule
cuántos términos terminan en la cifra 5?
5; 11; 21; 35; 53; .....
a) 7b) 10 c) 11
d) 8 e) 9
13.En las 100 últimas páginas de un libro, se ha
utilizado 350 cifras. ¿Cuántas páginas tiene el
libro?
a) 1049 b) 1050 c) 1051
d) 1048 e) 1047
14.En la siguiente sucesión:
9; 14; 19; 24; ............
¿cuántos de sus términos tiene 3 cifras?
a) 170 b) 190 c) 1800
d) 160 e) 180
15.en el triángulo de Pascal, calcule la suma de
cifras del vigésimo término de la sucesión de
términos tetraédricos.
a) 1420 b) 1450 c) 1520
d) 1540 e) 1550
16.En el siguiente triángulo numérico, halle la
suma del primer y el último término de la fila
veinte.
1 F
3 5 F
7 9 11 F
13 15 17 19 F
21 23 25 27 29 F
.
.
.
.
.
.
.
.
1
2
3
4
5
a) 900 b) 450 c) 801
d) 702 e) 800
17.Calcule el término enésimo en la siguiente
sucesión.
.................;216;25;4;1,
2
1
+−+−
a) 1
n− b) n
n c) 3n
d) 4n - n e)
( ) ( ) 2nn
1n.1 −
+−
18.Cuántos términos de tres cifras que terminan
en 5 presenta la siguiente sucesión.
13, 22, 31, 40, ........, 904
19.El primer día ahorró 3 soles, el segundo día, 6
soles, el tercer día, 3 soles mas que el
segundo día, el cuarto día, 15 soles, el quinto
día, 9 soles más que el día anterior y así
sucesivamente. ¿cuántos soles ahorró el
octavo día?
a) 80 b) 99 c) 100
d) 98 e) 102

Secundaria
20.Si: ,9b,7a,ab es una sucesión lineal,
calcule el término número (a+b)
a) 11 b) 10 c) 13
d) 12 e) 15
Habiendo estudiado las principales sucesiones
numéricas nos interesa, ahora, conocer la suma de
los términos de las mismas y, para ello,
desarrollaremos el presente capítulo que será de
gran utilidad para seguir estudios de matemática
superior.
El matemático alemán Karl Fiedrich Gauss (1777
- 1855) fue llamado “el príncipe de las
matemáticas” por su dominio en el siglo XIX, de
esta rama del saber. Desde niño demostró una
poderosa habilidad con los números y la potencia
de su genio lindó con lo increíble. Según la
leyenda, a los 3 años de edad corrigió un error
que su padre había hecho en el cálculo de los
salarios de unos albañiles que trabajaban para él.
A los 6 años su maestro de escuela, que
reclamaba paz en clase, ordenó a todos los
alumnos que sumaran los números del 1 al 100.
Gauss inmediatamente escribió el resultado en su
pizarra 5050 y se los mostró al profesor.
Impresionado por la proeza del niño y
desconfiado, quizá, de su habilidad le preguntó
por el proceso que había seguido para llegar al
resultado. Karl Fiedrich le indicó entonces, muy
cortésmente, a su maestro lo que mentalmente
había realizado.
S = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 99 + 100
S = 100 + 99 + 98 + 97 + .... + 2 + 1
+ +
2S = 101 + 101 + 101 + 101 + .... + 101 + 101
2S = 100 (101)
S = 50 (101)
S = 5050
Iniciamos con esta nota curiosa el estudio de un
capítulo sumamente importante por ser la base
para proseguir estudios de cálculo integral,
ecuaciones diferenciales y otros temas de nivel
superior. Se recomienda revisar los fundamentos
teóricos planteados en el capítulo de sucesiones,
para abordar mejor el presente tema.
Una de las aplicaciones prácticas de este capítulo
en el curso de razonamiento matemático se verá
cuando estudiemos el capítulo sobre conteos de
figuras.
Ejemplo 1: Hallar el valor de la serie:
S= 4+7+10+....64
Ejemplo 2: Calcular:
A = 17+21+25+.......+”40 sumandos”
Ejemplo 3: Calcular el valor de la serie aritmética
de 10 términos cuyo término central es 25.
B = 3+6+12+24+...+1536
Ejemplo 5: Hallar:
I = 1+2+4+8+16+...+220
Ejemplo 6: Dada la P.G. de 10 términos:
2; .........; -1024.
Calcular la suma de dichos términos.
N= 9+99+999+.......+999.........999
40 cifras
Ejemplo 8: Hallar la suma:
N= 3+33+333+.......+333.........333
30 cifras
Ejemplo 9: Se contrata a un vendedor para la
venta de autos, prometiéndosele pagar una
comisión por el primer auto que venda y luego se
le ira duplicando dicha suma por cada nuevo auto
vendido. Si se vende 12 autos y recibe por ellos
S/. 12 285. ¿Cuánto le pagaron por el quinto auto
vendido?
Ejemplo 10: Dada la P.G infinita:
;.....
320
81
;
80
27
;
20
9
;
5
3 −−
. Calcular el
valor de la suma límite de sus términos.
Ejemplo 11: Dejamos caer una pelota, desde una
altura de 96 m y en cada rebote se eleva hasta los
3
2
desde la cual cae. Calcular el recorrido total
de la pelota hasta que se detiene.
Ejemplo 12: Un frutero está apilando naranjas con
la intención de formar dos pirámides tetraédricas
iguales. Si desea que cada pirámide tenga 20
SERIES Y

Secundaria
niveles. ¿Cuántas naranjas debe tener como
mínimo?
Ejemplo 13: angélica camina cinco pasos hacia
delante y dos hacia atrás, luego da 10 hacia
delante y cuatro hacia atrás; y así sucesivamente
en P.A. ¿Cuántos pasos habrá dado en total hasta
el momento en que por primera se encuentra a
1105 pasos del punto de partida?
01.De un libro se arrancan 61 hojas de la parte
final. Si se sabe que en la numeración de
éstas (hojas arrancadas) se han usado 365
tipos. Hallar la cantidad total de dicho libro.
a) 120 b) 110 c) 210
d) 240 e) 180
02.Hallar el valor de “S”
.............
243
1
81
1
27
1
9
1
S ++++=
a) 1 b) 1/2 c) 1/3
d) 1/5 e) 1/6
03.Hallar la suma de los 15 términos de la serie:
............311771S ++++=
a) 1250 b) 940 c) 3500
d) 2360 e) 435
04.Calcular “S” en:
)sumandos20....(95502053S +++++=
a) 15400 b) 24350 c) 17200
d) 3540 e) 44320
05.La suma de los terceros términos de dos P.A.
cuyas razones se diferencian en 2 es 33. hallar
la suma de los 10 primeros términos de una
nueva P.A. que se forma al sumar términos
correspondientes de las dos P.A. antes
mencionadas sabiendo además que la suma de
los términos anteriores al primero de las
primeras P.A. es -3.
a) 550 b) 620 c) 580
d) 630 e) 610
06.Cuando la suma de los 10 primeros términos
de una P.A. es igual a cuatro veces la suma de
las cinco primeros. ¿Cuál es la razón
geométrica entre el primer término y la
diferencia común?
a) 2/3 b) 1/5 c) 1/2
d) 2/7 e) 5/9
07.Calcular el valor de “S”:
177.....2417129S +++++=
a) 814 b) 910 c) 873
d) 913 e) 923
08.Se deben almacenar 810 postes cilíndricos en
un espacio abierto, formando así el primer
lecho horizontal de 50 postes y cada lecho
sucesivo debe contener un poste menos que el
precedente para no derrumbarse ¿Cuántos
lechos pueden formarse?
a) 81 b) 27 c) 35
d) 44 e) 20
09.En el siguiente arreglo numérico hallar la
suma de los términos de la fila veinte.
2927252321:F
19171513:F
1197:F
53:F
1:F
5
4
3
2
1
a) 7000 b) 8000 c) 1250
d) 4320 e) 3560
10.Calcular la suma de:
731....25132711299317S ×++×+×+×+×=
a) 3955 b) 3965 c) 3945
d) 3975 e) 3985
11.Hallar la suma de:
S = 1 x 3 - 3 x 5 + 5 x 7 - 7 x 9 + ............
40 sumandos
a) 3280 b) 1570 c) 1250
d) 3500 e) -3280
12.Se tiene la siguiente sucesión.
1, 5, 15, 34, 65, 111, ..............
Hallar:
a. El término de número ordinal 20.
b. La suma de los 20 primeros términos.
a) 4010; 22155 b) 2050; 21215
c) 315; 1510 d) 7050; 180
e) 3290; 35710
13.Si:
ba;7cd4ab9......ab3ab2ab1 ≠=++++
4xyzn9n......n3nn2nn1n =++++
Calcular: c+d+a+b+x+y+z
a) 29 b) 73 c) 45
d) 38 e) 41
14.Calcular la suma de todos los términos
unidos por línea demarcada hasta la fila 20.
1 f1
1 1 f2
1 2 1 f3
1 3 3 1 f4
1 4 6 4 1 f5
1 5 10 10 5 1 f6
1 6 15 20 15 6 1 f7
1 7 21 35 35 21 7 1
.
.
.
.
a) 1320 b) 3150 c) 2985
d) 4270 e) 7250
15.Calcular el valor de “S”:
S = 3+10+29+66+..........+1730
a) 3215 b) 6108 c) 4320
d) 8250 e) 1308
16.Ana va al cine durante tres días
alternadamente en una semana, y lo hace al
mes en tres semanas consecutivas. Si el
segundo día de un cierto mes es jueves y la
suma de las fechas de los días que fue al cine
en ese mes es 198. ¿Qué fecha y día será la
séptima vez que fue al cine en dicho mes, si
asiste siempre los mismos días?
a) lunes 27 b) martes 12
c) jueves 7 d) sábado 15
e) lunes 8
17.En un torneo de fútbol de dos ruedas
participaron 14 equipos. Al final del mismo se
observó que cada equipo tenía un punto de
menos que el que le antecedía en la tabla de
puntuaciones, excepto con el último que hizo
cero puntos. ¿Cuántos puntos hizo el
campeón, si la puntuación por partido ganado
es 2 puntos?
a) 72 b) 28 c) 34
d) 57 e) 43
18.En una canasta hay 60 duraznos. Evelyn los
va colocando por fila de la siguiente manera
en la primera fila pone un durazno; luego
toma 2 duraznos de la canasta y los pone en la
segunda fila y así sucesivamente. ¿Cuántos
duraznos sobrarán en la canasta?.
a) 5 b) 7 c) 9
d) 1 e) 3

Secundaria
19.Anita llega al colegio con cierto retrazo
diariamente. El primer día llegó 1 minuto
tarde, el segundo día 2 minutos tarde, el
tercer día 3 minutos tarde y así
sucesivamente; al cabo de 20 días de
asistencia. ¿Cuánto tiempo ha perdido por las
tardanzas?
a) 2,5 h. b) 8 h. c) 5 h.
d) 1 h. e) 3,5 h.
20.La suma de los “n” primeros términos de una
serie geométrica en donde los términos son
números entero es 31. Luego de calcular el
primer término y “n” dar el número de
soluciones:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Los matemáticos del siglo XX llevan una
actividad intelectual muy sofisticada que no
resulta fácil de definir, pero una gran parte de los
que hoy se conoce como matemática es el
resultado de un pensamiento que originalmente se
centró en los conceptos de número, magnitud y
forma. Las nociones primitivas relacionadas con
estos conceptos se remontan a los primeros días
de la raza humana e incluso pueden encontrarse
ya indicios de conceptos matemáticos en formas
de vida que, probablemente han precedido en
muchos millones de años al género humano.
Charles Darwin en el libro titulado “El origen del
hombre” (1871), hace notar que algunos de los
animales superiores tienen facultades como
memoria e imaginación y actualmente resulta mas
claro que la capacidad de distinguir número,
tamaño, orden y forma, no son propiedad
exclusiva del género humano. Está totalmente
claro, no obstante que la matemática apareció
originalmente como parte de la vida diaria del
hombre y cómo es válido el principio biológico
de la “supervivencia de los más aptos” entonces
la supervivencia de la raza humana no deja de
estar relacionada con el desarrollo de conceptos
matemáticos realizado por el hombre. En un
principio las nociones primitivas debieron estar
relacionadas más bien con diferencias y
contrastes que con semejanzas, tales como son la
diferencia entre un lobo y muchos, la desigualdad
en tamaño entre un pececillo y una ballena, el
contraste entre la redondez de la Luna y la forma
lineal de una palmera. Después, y de una manera
gradual, debe haber surgido, a partir de la función
de un gran número de experiencias desordenadas,
la constatación de que hay ciertas igualdades o
semejanzas; y de esto conciencia de las
semejanzas, tanto en número como en la forma,
nacieron la matemática y la ciencia en general.
Las diferencias mismas parecen estar apuntando
ya a las semejanzas, puesta que el contraste que
se observa entre un lobo y una manada de lobos,
entre una oveja y un rebaño, entre un árbol y un
bosque, viene a sugerir que un lobo, una oveja y
un árbol tiene en común: su unidad. De la misma
manera puede llegar a darse cuenta de que
algunos otros grupos como son los pares, pueden
ponerse en correspondencia biunívoca: las manos
pueden emparejarse con los pies, con los ojos,
con las orejas o con los agujeros de la nariz. Este
reconocimiento de una propiedad abstracta que
tiene en común ciertos grupos, y a la que nosotros
llamamos número, representa ya una importante
etapa en el camino de entender la belleza y
majestuosidad de la matemática.
Así pues la idea de número surgió como
consecuencia de la necesidad práctica de contar.
Inicialmente se contaba con la ayuda de los
medios disponibles: dedos, piedras, conos de
abetos, etc. Prueba de esto lo constituye, por
ejemplo, el origen de la palabra cálculo pues
“calculus”, en su traducción al latín, significa
“cuenta con piedras”. Posteriormente se
desarrolla el intercambio de los productos del
trabajo y surge el hecho de agregar o disminuir
objetos en cada transacción, lo que da un origen
incipiente a las operaciones matemáticas.
La reserva de números era, al principio, muy
limitada; la reunión de los números naturales
conocidos y utilizados era finita y se fue
extendiendo sólo gradualmente, en forma lenta.
Por este motivo la conciencia de la prolongación
ilimitada de la sucesión natural constituye un
síntoma de haber alcanzado un alto nivel de
conocimiento y cultura, así la conciencia de
número se hizo al fin lo suficientemente
extendida y clara como para que se llegase a
sentir la necesidad de expresar esta propiedad e
alguna manera, al principio con lenguajes
simbólicos ( los dedos de la mano) y más adelante
con símbolos que pudieran expresar ideas
numéricas. Y el relacionar estas ideas numéricas a
través de la comparación, agrupación y
cuantificación daría origen, en su forma más
primitiva, a las operaciones matemáticas, pero es
la acumulación de conocimiento en base a la
experiencia, tanto de carácter cuantitativo
(numérico-aritmético) como de forma
(geométrico), la que genera las premisas para la
formación de esquemas matemático-
estructurados.
Ahora cuando el hombre comienza a utilizar los
números tuvo que buscar una forma de
representarlos. El modo más rudimentario
consistió en hacer rayitas o signos en un tronco de
árbol, en la arena del piso o en una tablilla de
arcilla. Inicialmente cada marca representaba la
unidad, mientras que el conjunto de signos daba
la cantidad total de elementos que estaban siendo
contados. De seguro fue así como el pastor de la
antigüedad controlaba, al anochecer, cuando
regresaba del pastoreo, que no se le hubiera
extraviado ninguna oveja. Para asegurarse de que
todas las ovejas estaban en el redil, hacia
corresponder una marca o signo a cada cabeza de
OPERADORES Y
OPERACIÓ

Secundaria
ganado: al final había pues tantos animales como
signos marcados. Este fue el primer paso dado
hacia el nacimiento de representación simbólica
de los números para llegar a la representación
actual. Nacía también, así la matemática, siendo,
probablemente, la ciencia mas antigua. En
realidad nuestra vida diaria está marcada por los
números y mediante su aplicación damos
funcionamiento a todos los aparatos y las
máquinas que utilizamos a lo largo del día, tales
como computadoras, calculadoras, televisores,
videos, etc.
Éste es un capítulo que basa su importancia en la
grana aplicación que tiene sobre los procesos
condicionales y reglamentados, que permite
medir l capacidad para captar relaciones u
operaciones matemáticas (definidas a partir de las
ya conocidas), su definición y el modo de
aplicarlas bajo las condiciones o restricciones en
las cuales ha sido definida. Para tal efecto,
debemos entender lo que es una operación
matemática y lo que es un operador matemático.
Veamos:
Imaginemos que tenemos una máquina
procesadora de algodón, tal como se muestra en
la figura:
Hilo delgado
Hilo grueso
Tela
:
:
:
Esta máquina recibe la materia prima que es el
algodón y la transforma en un producto
terminado, después de un determinado proceso,
dependiendo del botón que se haya escogido.
Igual ocurre con una operación matemática
(representada por la máquina), ya que ella se
encarga de obtener resultados, después de un
conjunto de procesos que se efectúan sobre
determinadas cantidades; estos procesos son
diferenciados por el operador que se emplee
(representado por los botones).
¿QUÉ ES UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA?
Es un proceso que consiste en la transformación
de una o más cantidades en una cantidad llamada
resultado, bajo ciertas reglas o condiciones en la
cual se define la operación. Toda operación
matemática presenta una regla de definición y un
símbolo que la identifica llamado operador
matemático. Como ejemplos de operaciones
matemáticas tenemos: adición, sustracción, la
multiplicación, etc.
¿QUÉ ES UN OPERADOR MATEMÁTICO?
Es aquel símbolo que representa una operación
matemática. Nos permite reconocer la operación
matemática a emplear con su respectiva regla de
definición. Como por ejemplos de operadores
tenemos:
2
b3a2b*a +=
Operador
matemático
Regla de definición
∑
=
+++++=
n
1i
n.....4321
Operador
matemático
Regla de definición
En el siguiente cuadro mencionamos algunas
operaciones matemáticas y los símbolos que las
representan.
Operación Operador Matemático
Adición +
Sustracción -
Multiplicación X
División ÷
Radicación
Valor absoluto
Máximo entero [ ]
Integración
∫
Productoria π
Sumatoria
∑
.
.
.
.
.
.
PRACTICA DE CLASE
A continuación veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Definimos en R una operación
Matemática representada por * de la siguiente
manera:
5b2ab*a 2
++=
Calcular:
a) 2 * 3
b) 6 * -1
c) 23
b*a
d) 22
nm*nm
Ejemplo 2: Se define en N:
x ( x + 1 )
x =
2
Calcular:
a) 2
b) 7
c) -5
d) 1/3
e) 27
3
Ejemplo 3: Se define en R:
27b3nn 23
−=
Calcular: 1627
Ejemplo 4: Definimos en N:
x11y18yx xy
−=θ
Calcular: M = ( 1 θ 2 ) θ ( 8 θ 9 ) + 20
OPERACIONES MATEMÁTICAS CON REGLA
DE DEFINICIÓN IMPLÍCITA
Ejemplo 5: Se define en R.
( ) ( )33;mnmnm 2
∗∗=∗
Calcule: ( 8 ∗ 1 ) + ( 3 ∗ 3 )
Ejemplo 6: Se define, en R, la operación:
a b =
( b a )
4
2
Calcule:
3 [ 5 ( 6 7) ( 8 9) ]
Ejemplo 7: Dado: 23 % 42 = 16
35 % 16 = 23
64 % 71 = 34
Calcular:
A = 59 ∗ 86
Ejemplo 8: Se tiene:

Secundaria
72 10 = 56
48 15 = 54
100 1 = 52
Calcule:
M = 12 40
Ejemplo 9: Se define una operación mediante la
tabla:
* 1 2 3
3 5 7
4
9
7 9 11 13
11 13 15 17
15 17 19 21
1
2
3
4
Calcular: 21 ∗ 20
Ejemplo 10: Se define en A ={ 1; 3; 5; 7 } la
operación mediante la siguiente tabla:
θ 1 3 5
5 7 1
7
3
7 1 3 5
1 3 5 7
3 5 7 1
1
3
5
7
De las afirmaciones:
1. “θ” es conmutativo
2. “θ” es asociativo
3. “θ” es un operador externo
4. El elemento identidad externo
5. El elemento inverso de 5 es 1.
Son ciertas:
Ejemplo 11: Se define en N una operación
representada por ∗, mediante la siguiente tabla:
* 2 3 4
10 12 14
5
16
13 15 17 19
16 18 20 22
19 21 23 25
2
3
4
5
De las afirmaciones:
1. El elemento Neutro es 4
2. ∗, es conmutativo.
3. 9 ∗ 8 es igual a 43
4. El inverso de 2 es 3.
No son falsas:
Ejemplo 12: Sabemos que:
( ) abab2ba 22
−θ=θ
Calcule:
6
23
4
θ
Ejemplo 13: Si:
x y = y - x
2
x y = x - y
2
Calcule “m” en:
m 3 = ( 5 m ) + 10
Si: m ∈ Z+
Ejemplo 14: Se define:
x-1 = 2 x+5 - x + 3
2x x= + x - 1
Calcule:
12
Ejemplo 15: Si:
x + 1
3
= 14x
Calcule “a” en:
2a + 1 = 42
Ejemplo 16: Se define:
n = ( n - 1 )
2
, hallar “x” en.
x = 64
, si: x ∈ Z+
Ejemplo 17: Se define: a θ b = a + b - 4
Hallar:
( ) ( ) 1111
8642M
−−−−
θθθ=
Donde “a-1
” es elemento neutro de “a”
Ejemplo 18: Se define en R:
3
4
baba −+=
Donde “a-1
” es elemento neutro de “a”
Ejemplo 19: El 2-1
para dicha operación es de la
forma
m
n
, donde
m
n
es una fracción
irreductible. Entonces “nm” es igual a:
Ejemplo 20: En el conjunto:
= { 0; 2; 4; 6; 8 }
Definimos la operación, representado por ,
mediante la siguiente tabla:
0 2 4
4 6 8
6
0
2 4 6 8
0 2 4 6
8 0 2 4
0
8
6
4
2 6 8 0 2
8
2
0
8
6
4
Calcule:
( ) ( ) 11111
48662M −−−−−
∆



∆∆∆=
01.Si:
0xy;yx;1
yx
xyx
yx
2
≠≠−
−
−
=∆
Calcule: ( )( ).....666 ∆∆∆
a) 8 b) 1 c) 3
d) 4 e) 5
02.Si:
0q;0n;
q
1
p
n
1
m
q
p
n
m
≠≠
+
+
=∗
Calcule:

Secundaria














−
∗




 −
∗




 −
=
1n
n
n
1n
n
1n
A
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
03.Si:
( ) ( ) 0ba;baaab 2
>∗∗=∗
Halle:
L = 24 ∗ 3
a) 2 b) 4 c) 6
d) 7 e) 9
04.Sabemos que:
( ) abab2ba 22
−∆=∆
Calcule:
6
23
F
4
∆
=
a)
2
1
b) 0 c) 1
d) 2 e) 3
05.Si:
x y = x - y
2
x y = y - x2
Además:
m 3 = - ( 5 m ) + 10
Calcule “m”, si m ∈ Z+
a) 3 b) 1 c) -2
d) -1 e) 5
06.Si:
( )
0nm;
5
mn
nm
2
>∅
∅
=∅
Halle: 2 ∅ 3
a) 1 b) 5 c) 7
d) 9 e) N.a.
07.Sabiendo que:
8B35A
22318
242649
31524
=
=
=
=
Calcule : a + b
a) 12 b) 15 c) 18
d) 13 e) 16
08.Se define:
a b =
. ( a )
. ( a )
-b
-a
x
x
( - b )-a
( - b )-b
; Si: a < b
≥; Si: a b
Halle:
2 -2( )R = - 2( )-2
a) 0 b) -1 c) -2
d) 1 e) 4
09.Se define:
"x"halle,ab%a 1b −
=
Si:
3%2x%x =
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e)
2
1
10.Para todo número real, definimos x
; como
x
= x2
- 1
¿Cuál es el resultado de 3
x 4
?
a) 119 b) 120 c) 60
d) 12 e) 111
11.Si:
nm
n4m
n
4
m −
=θ
Calcule:
5
6
5
6
3
1
E θ





θ=
a)
2
1
b) 3, 4 c) 1,5
d)
4
3
e) N.a.
12.Dado que:
22
33
baba
ba
b%a
++
−
=
Además:
m
nnm =∆
Calcule:
( )38%102
3
1
D ∆





=
a) 4 b) 2 c) 1
d) -2 e) N.a.
13. Si: ( ) ( )yPxP
y
x
P −=





Calcule:
( )
( )2P
4P
a) 1 b) 2 c) 3
d)
2
1
e)
3
1
14.Dado: ( ) 2x3x1xP 2
++=+
Hallar: “y”
Además:
( )( ) 42yPP =
a) 2 b) 4 c) 0
d) 1 e) -1
15.Si: [ ]x : máximo entero de “x”, hallar
( )2P en:
( )
[ ] [ ] [ ]
[ ]08,1a
a1,05,25,2
P
2
a
−+
+−−−+−
=
a) 0 b) 2 c) 4
d) -1 e) 1
16.Si:
[ ] Zn;Rx;1nxnnx ∈∈∀+<≤⇔=
Hallar F ( - 3) en:
( )
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] 14,395,0a
01,88,22,3a
F
2
a
−−−+
−+−++
=
a) -1 b) -2 c) -4
d) -5 e) -6
17.Consideremos la operación ∗ definida en el
conjunto A = {1, 2, 3, 4}, mediante la
siguiente tabla:

Secundaria
1 2 3
4 1 2
4
3
2 3 4 1
3 4 1 2
1 2 3 4
2
4
1
3
*
De las afirmaciones, señale su valor de
verdad:
1. La operación es cerrada.
2. La operación es conmutativa
3. Tiene elemento neutro
a) VVV b) VVF c) VFF
d) FVF e) FFF
18.Se define en el conjunto:
A = { 0; 2; 4; 6 } la operación ( ∆ ) mediante
la tabla. Hallar el elemento neutro.
0 2 4
2 4 6
6
0
4 6 0 2
6 0 2 4
0 2 4
0
2
4
6 6
a) 0 b) 2 c) 4
d) 6 e) No tiene
19.Se define, en Q, la operación representada por
A, mediante:
3
b.a
ba =∆
Halle: 111
963S −−−
−+= ; donde a-1
es el
elemento neutro inverso de a.
a) 1,5 b) 2 c) 5,5
d) 1 e) 4,2
20.Se define: 4baba −+=θ , hallar:
( ) ( ) 1111
8642R
−−−−
θθθ= ,
donde a-1
es el elemento inverso de “a”
a) 1 b) 0 c) -2
d) 4 e) N.a.
SOLUCIONARIO
Nº EJERCICIOS PROPUESTOS
01 02 03 04
01. E B E
02. D E B
03. D A D C
04. E C C C
05. A A D A
06. D C C B
07. C C E E
08. C A E C
09. D B B C
10. D E B B
11. A C E C
12. C E A A
13. D A D B
14. D E C A
15. C D B C
16. A E A E
17. A E C A
18. A D A D
19. C B E C
20. D B A B GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003

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