1

1. INTEGRAL 1
KONSEP, SIFAT
DAN ATURAN
Bagian 1

2. PUSAT INFORMASI
KOMPETENSI DASAR
INTEGRAL TAK TENTU
VOLUME BENDA PUTAR
UJIAN NASIONAL
INTEGRAL TENTU
AUTHOR
SMA ISLAM
AL – IZHAR PD. LABU
JAKARTA
Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi
yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas
daerah dengan menggunakan integral.
LUAS DAERAH

3. AUTHOR (PENYUSUN)
AUTHOR
SMA ISLAM
AL – IZHAR PD. LABU
JAKARTA
Drs. Nanang Hermansyah M.Pd.
(Tasikmalaya, 12 Nopember 1968)
Jln. Asem Baris VII/41.A, Rt.007/05
Kebon Baru. Tebet – Jakarta Selatan
Telp. 0218354882 – 08567082324
Guru Matematika
SMA ISLAM AL-IZHAR PONDOK LABU
Jl. Rs. Fatmawati Kav. 49. Pondok Labu-Jakarta Selatan
Telp. 021-7695542. Fax. 021-7503662
E-mail: dhiasyah@yahoo.com
KOMPETENSI DASAR
INTEGRAL TAK TENTU
VOLUME BENDA PUTAR
UJIAN NASIONAL
INTEGRAL TENTU
LUAS DAERAH

4. KOMPETENSI DASAR
SMA ISLAM
AL – IZHAR PD. LABU
JAKARTA
 Memahami konsep integral tak
tentu dan integral tentu
 Menghitung integral tak tentu dan
integral tentu dari fungsi Aljabar
dan fungsi trigonometri sederhana
1. Merancang aturan integral dari aturan turunan,
2. Menhitung integral tak tentu dari fungsi Aljabar dan
fungsi Trigonometri,
3. Menghitung integral tentu dengan integral tak tentu
4. Menghitung integral dengan rumus integral subtitusi
5. Menghitung integral dengan rumus integral parsial.
Indikator :
KOMPETENSI DASAR
INTEGRAL TAK TENTU
VOLUME BENDA PUTAR
UJIAN NASIONAL
INTEGRAL TENTU
AUTHOR
LUAS DAERAH

5. INTEGRAL TAK TENTU
INTGRAL f. ALJABAR
SMA ISLAM
AL – IZHAR PD. LABU
JAKARTA
KONSEP DASAR
CONTOH SOAL
SOAL LATIHAN
UJI KOMPETENSI
INTEGRAL f. TRIGONO
UJIAN NASIONAL
Integral merupakan operasi invers dari turunan.
Jika turunan dari F(x) adalah F’(x) = f(x), maka
F(x) = ∫ f(x) dx.
∫ adalah lambang untuk notasi integral, dx adalah
menyatakan fungsi bekerja dalam x.
RUMUS DASAR :
.
1
1
1
c
x
dx
x n
n
n


 

.
1
1
1
c
x
dx
x n
n
n


 

1
.
1
1
1


 

 n
c
a
da
a n
n
n

6. INTEGRAL FUNGSI ALJABAR
RUMUS DASAR
SMA ISLAM
AL – IZHAR PD. LABU
JAKARTA
INTGRAL f. ALJABAR
CONTOH SOAL
SOAL LATIHAN
UJI KOMPETENSI
RUMUS PENGEMBANGAN
UJIAN NASIONAL
RUMUS DASAR :
.
1
1
1
c
x
dx
x n
n
n


 

.
1
1
1
c
x
dx
x n
n
n


 

1
.
1
1 


 

 n
c
x
dx
ax n
n
a
n
Contoh :
.
.
3
2
.
2
.
1
4
5
1
4
4
.
5
4
3
5
4
3
3
2
2
2
2
1
c
x
c
x
dx
x
c
x
dx
x
c
x
dx
x












7. INTEGRAL FUNGSI ALJABAR
RUMUS DASAR
SMA ISLAM
AL – IZHAR PD. LABU
JAKARTA
INTGRAL f. ALJABAR
CONTOH SOAL
SOAL LATIHAN
UJI KOMPETENSI
RUMUS PENGEMBANGAN
UJIAN NASIONAL
RUMUS PENGEMBANGAN :
.
1
1
1
c
x
dx
x n
n
n


 

.
1
1
1
c
x
dx
x n
n
n


 




 














dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
c
x
f
k
dx
x
f
k
c
x
k
dx
c
kx
dx
k
c
x
f
x
f
d
x
k
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
.
5
)
(
)
(
.
.
4
ln
.
3
.
2
)
(
))
(
(
.
1

8. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
RUMUS DASAR
SMA ISLAM
AL – IZHAR PD. LABU
JAKARTA
INTEGRAL f. TRIGONO
CONTOH SOAL
SOAL LATIHAN
UJI KOMPETENSI
RUMUS PENGEMBANGAN
UJIAN NASIONAL
RUMUS DASAR :
.
1
1
1
c
x
dx
x n
n
n


 

.
1
1
1
c
x
dx
x n
n
n


 

.
sin
cos
.
cos
sin
c
a
da
a
c
a
da
a







Contoh :
c
x
x
d
x
dx
x
c
x
x
d
x
dx
x
c
x
dx
x
c
x
dx
x


















5
sin
).
5
(
5
cos
5
cos
.
4
.
2
cos
).
2
(
2
sin
2
sin
.
3
sin
cos
.
2
cos
sin
.
1
5
1
5
1
2
1
2
1

9. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
RUMUS DASAR
SMA ISLAM
AL – IZHAR PD. LABU
JAKARTA
INTEGRAL f. TRIGONO
CONTOH SOAL
SOAL LATIHAN
UJI KOMPETENSI
RUMUS PENGEMBANGAN
UJIAN NASIONAL
.
1
1
1
c
x
dx
x n
n
n


 

.
1
1
1
c
x
dx
x n
n
n


 

RUMUS -RUMUS PENGEMBANGAN :
.
sin
cos
.
6
.
cos
sin
.
5
sin
ln
cot
.
4
cos
ln
tan
.
3
sin
cos
.
2
cos
sin
.
1
1
1
1
1
c
x
dx
ax
c
ax
dx
ax
c
x
dx
x
c
x
dx
x
c
ax
dx
ax
c
ax
dx
ax
a
a
a
a






















10. Langkah-langkah Menghitung Luas Daerah
:
SMA ISLAM
AL – IZHAR PD. LABU
JAKARTA
Langkah-langkah
Menghitung Luas Daerah :
1. Tentukan daerah yang diminta dengan
menggambar daerahnya
2. Perhatikan daerah yang dimaksud untuk
menentukan batas-batas integrasinya
3. Tentukan rumus luas yang lebih mudah
digunakan (L = ∫ y dx atau L = ∫ x dy )
4. Hitung nilai integral sebagai hasil luas
daerah
MENGAMBAR DAERAH
KONSEP DASAR
CONTOH SOAL
SOAL LATIHAN
UJI KOMPETENSI
MENENTUKAN BATAS
UJIAN NASIONAL

11. UJI KOMPETENSI
SMA ISLAM
AL – IZHAR PD. LABU
JAKARTA
 Siapkan alat tulis anda untuk menghitung !
 Kesempatan uji kompetensi ini hanya sekali,
karena berikutnya anda sudah diberi tahu
jawaban
 Pastikan anda awali dengan mengucap
Basmallah dan mengakhirinya dengah
Hamdallah !
 Hanya ada 5 soal dalam uji kompetensi ini.
 Selamat mencoba ….
MENGAMBAR DAERAH
KONSEP DASAR
CONTOH SOAL
SOAL LATIHAN
UJI KOMPETENSI
MENENTUKAN BATAS
UJIAN NASIONAL

12. Menggambar Daerah
I. Garis dan sumbu-sumbu
koordinat
a. Daerah yang dibatasi oleh garis Y= 2x + 4, sb.Y dan sb.X
Y= 2x + 4
Sb.Y
Sb.X
Titik pot. dgn. Sb.X  (2, 0)
Titik pot. dgn. Sb.Y  (0, 4)
Daerah yang diminta
2
4
Langkah 1. : Garis Y = 2X + 4,
Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat
Langkah 2. : Gambar garis tersebut yang melalui titik pot.
dan sumbu-sumbu koordinat
Langkah 3. : Arsir daerah yang ada diantara garis
Sb.Y dan Sb.X

13. II.Kurva dan sumbu-sumbu
koordinat
b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2  5X + 4 dan sb.X
Y= X2  5X + 4
Sb.Y
Sb.X
Titik pot. dgn. Sb.X  (1, 0) & (4,0)
Titik pot. dgn. Sb.Y  (0, 4)
Daerah
yang
diminta
4
0
4
1
Langkah 1. : Garis Y = X2  5X + 4 ,
Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat
Langkah 2. : Gambar kurva tsb. yang melalui titik pot.
dan sumbu x
Langkah 3. : Arsir daerah yang ada diantara kurva
dan Sb.X
Catatan:
Untuk mencari titik potong dengan sumbu X, gunakan faktorisasi
Letak daerah ada di bawah sumbu, maka luasnya =  nilai integral
Menggambar Daerah

14. II.Kurva dan sumbu-sumbu
koordinat
c. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2  5X + 4, sb.Y dan
sb.X
Y= X2  5X + 4
Sb.Y
Sb.X
Titik pot. dgn. Sb.X  (1, 0) & (4,0)
Titik pot. dgn. Sb.Y  (0, 4)
Daerah
yang
diminta
4
0
4
1
Langkah 1. : Kurva Y = X2 – 5x + 4,
Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat
Langkah 2. : Gambar kurva tsb. yang melalui titik pot.
dan sumbu-sumbu koordinat
Langkah 3. : Arsir daerah yang ada diantara kurva
Sb.Y dan Sb.X
Catatan: Untuk mencari titik potong dengan
sumbu X, gunakan faktorisasi
Menggambar Daerah

15. III.Kurva dan garis
d. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 + 3X  4, dan 2Y+X  4 = 0
Y= X2  5X + 4
Sb.Y
Sb.X
Titik pot. dgn. Sb.X  (1, 0) & (-4,0)
Titik pot. dgn. Sb.Y  (0, -4)
Daerah
yang
diminta
Langkah 1. : Garis Y = X2 + 3X– 4,
Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat
Langkah 3. : Gambar kurva tsb. yang melalui titik pot.
dan Garisnya
Langkah 4. : Arsir daerah yang ada diantara kurva
Sb.Y dan Sb.X
Catatan: Batas-batas daerah tersebut adalah
kedua titik potong kurva dan garis
Menggambar Daerah
4
1
4
Langkah 2. : Garis 2Y+ X – 4 = 0,
Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat
Titik pot. dgn. Sb.X  (-4, 0)
Titik Pot. Dgn. Sb.Y  (0, -2)
2
2Y+ X + 4 = 0

16. MENENTUKAN BATAS-BATAS INTEGRASI :
1. Batas-batas integrasi merupakan nilai awal dan akhir
pada sumbu koordinat dari suatu daerah yang akan
dihitung.
2. Batas-batas integrasi tergantung pada arah integrasi
yang dilakukan:


b
a
dx
x
f )
(
L


d
c
dy
y
f )
(
L
a merupakan batas bawah (awal)
b merupakan batas atas (akhir)
a dan b terlat pada sumbu x
c merupakan batas bawah (awal)
d merupakan batas atas (akhir)
c dan d terlat pada sumbu y

17. Menentukan Batas-batas
I. Garis dan sumbu-sumbu
koordinat
a. Daerah yang dibatasi oleh garis Y= 2x + 4, sb.Y dan sb.X
Y=  2x + 4
Sb.Y
Sb.X
Daerah yang diminta
2
4
(1) 0 sampai 2, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. X
 


2
0
4
2
L dx
x



4
0 2
4
L dy
y
Batas-batas integrasi ada dua, yaitu:
(2) 0 sampai 4, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. Y

18. Menentukan Batas-batas
 


1
0
2
4
5
L dx
x
x
2
5
4
9
4
9
2
2
5
4
25
2
2
5
2
4
4
5













y
x
x
x
y
x
x
y
)
(
)
(
(1) 0 sampai 1, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. X
Batas-batas integrasi ada dua, yaitu:
(2) 0 sampai 4, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. Y
II.Kurva dan sumbu-sumbu
koordinat
b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2  5X + 4, sb.Y dan sb.X
Y= X2  5X + 4
Sb.Y
Sb.X
Daerah
yang
diminta
4
4
1
Karena basis yang kita gunakan adalah Sb.y, maka
Persamaan kurva f(x) diubah menjadi f(y).
 


4
0
2
5
4
9
L dy
y

19. Menentukan Batas-batas
2
1
2
1
2
2
2
dan
4
0
1
2
8
2
0
4
7
2
0
4
8
6
2
0
4
)
4
3
2



















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
)(
(
(
Dengan memperhatikan gambar, maka batas-batas diperoleh
dengan cara mencari titik-titik potong kurva dan garis, yaitu
Y= X2 + 3X  4, disubtitusikan ke 2Y+X  4 = 0
Batas- batas integrasi (berbasis Sb.x)
III.Kurva dan garis
b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 + 3X  4, dan 2Y+X + 4 = 0
Y= X2  3X  4
Sb.Y
Sb.X
Daerah
yang
diminta
4
1
4
2
2Y+ X – 4 = 0







2
1
4
2
2
4
4
3
L dx
x
x
x )
(
)
(

20. Contoh Soal 1
I. Garis dan sumbu-sumbu
koordinat
a. Daerah yang dibatasi oleh garis Y= -2x + 4, sb.Y dan sb.X
Y= 2x + 4
Sb.Y
Sb.X
Daerah
yang diminta
2
4
Langkah 1. : Gambar daerah yang dimaksud
Langkah 2. : Tentukan basis yang akan di gunakan
Langkah 4. : Hitung luas daerah dengan Menentukan nilai integralnya.


b
a
dx
x
f )
(
L
Langkah 3. : Tentukan batas-batasnya (0 dan 2)
luas
satuan
4
2
4
2
L
0
1
4
4
2
L
2
2
2
0









 
)
.
(
x
x
dx
x

21. II.Kurva dan sumbu-sumbu
koordinat
b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2  5X + 4 dan sb.X
Y= X2  5X + 4
Sb.Y
Sb.X
Daerah
yang
diminta
4
4
1
Langkah 1. : Gambar daerah yang dimaksud
Langkah 2. : Tentukan basis yang akan di gunakan
Langkah 4. : Hitung luas daerah dengan menentukan nilai integralnya.



b
a
dx
x
f
L )
(
Langkah 3. : Tentukan batas-batasnya (1 dan 4)
luas
satuan
5
4
L
4
16
L
1
4
1
1
4
4
4
4
L
1
4
4
4
5
L
6
11
6
16
2
5
3
1
2
80
3
64
2
2
5
3
3
1
2
2
5
3
3
1
2
2
5
3
3
1
4
1
2
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
(
)
.
(
)
(


























  x
x
x
dx
x
x
Contoh Soal 2

22. II.Kurva dan sumbu-sumbu
koordinat
c. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2  5X + 4, sb.Y dan sb.X
Langkah 1. : Gambarkan daerah yang dimaksud
Langkah 2. : Tentukan basis yang akan di gunakan



b
a
dx
x
f
L )
(
Langkah 4. : Hitung luas daerah dengan menentukan
nilai integralnya.
Langkah 3. : Tentukan batas-batasnya (0 dan 4)
luas
satuan
667
1
0
L
0
0
0
4
L
0
4
0
0
1
4
1
1
L
0
1
4
4
5
L
6
10
2
5
3
1
2
2
5
3
3
1
2
2
5
3
3
1
2
2
5
3
3
1
1
0
2
.
)
(
)
(
)
(
)
.
(
)
.
(
)
(




















  x
x
x
dx
x
x
Y= X2  5X + 4
Sb.Y
Sb.X
Daerah
yang
diminta
4
4
1
0
Contoh Soal 3

23. III.Kurva dan garis
d. Daerah yang dibatasi oleh Kurva 2Y+X  4 = 0 dan Y= X2 + 3X  4
Y= X2  5X + 4
Sb.Y
Sb.X
Daerah
yang
diminta 4
1
4
2
2Y+ X – 4 = 0
Langkah 1. : Gambarkan daerah yang dimaksud
Langkah 2. : Tentukan basis yang akan di gunakan
 


b
a
dx
x
f
x
f )]
(
)
(
[ 2
1
L
Langkah 4. : Hitung luas daerah dengan menentukan
nilai integralnya.
Langkah 3. : Tentukan batas-batasnya (-4 dan 1)
luas
satuan
L
L
6
L
6
4
3
)
L
1
4
2
4
5
3
3
1
1
4
2
5
2
1
4
2
2
4
....
.
...
)
(
)
(
(



















x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
-x
Contoh Soal 3

24. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
0
X
Y 2
x
y 
2
4
dx
x

2
0
2
dy
y

4
0
dx
x

4
0
2
dx
x
 
2
0
2
)
4
(
dx
x
 
4
0
2
)
4
(
A
B
C
D
E
Soal 1.

25. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
0
X
Y 2
x
y 
2
4
dx
x

2
0
2
dy
y

4
0
dx
x

4
0
2
dx
x
 
2
0
2
)
4
(
dx
x
 
4
0
2
)
4
(
A
B
C
D
E
Soal 1.
 L  (4 – x2) x
L   (4 – x2) x
L = lim  (4 – x2) x
dx
x )
4
(
L
2
0
2
 
 ( Jawaban D )
Alhamdulillah
Jawaban anda benar

26. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
0
X
Y 2
x
y 
2
4
dx
x

2
0
2
dy
y

4
0
dx
x

4
0
2
dx
x
 
2
0
2
)
4
(
dx
x
 
4
0
2
)
4
(
A
B
C
D
E
Soal 1.
 L  (4 – x2) x
L   (4 – x2) x
L = lim  (4 – x2) x
dx
x )
4
(
L
2
0
2
 
 ( Jawaban D )
Masya-Allah
Jawaban anda Salah
Ini yang benar …

27. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama
dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0
X
Y
2
4 x
y 


28. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama
dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0
X
Y
2
4 x
y 

Alhamdulillah
Jawaban anda benar
 L  (4 – x2) x
L   (4 – x2) x
L = lim  (4 – x2) x
dx
x )
4
(
L
2
2
2




( Jawaban E )
 
2
2
3
3
1
4
L 

 x
x
)
8
(
)
8
(
L 3
8
3
8





3
2
10
L
3
32



29. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama
dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0
X
Y
2
4 x
y 

Masya-Allah
Jawaban anda Salah
Ini yang benar …
 L  (4 – x2) x
L   (4 – x2) x
L = lim  (4 – x2) x
dx
x )
4
(
L
2
2
2




( Jawaban E )
 
2
2
3
3
1
4
L 

 x
x
)
8
(
)
8
(
L 3
8
3
8





3
2
10
L
3
32



30. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0
X
Y
2
8 x
y 

x
y 2

Soal 3.
A
B
C
D
E

31. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0
X
Y
2
8 x
y 

x
y 2

Soal 3.
 L  (8 – x2 -2x) x
dx
x
x )
2
8
(
L
2
0
2
 

 ( Jawaban D )
3
1
9
L
3
28


 
2
0
2
3
3
1
8
L x
x
x 


4
16
L 3
8



Alhamdulillah
Jawaban anda benar

32. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0
X
Y
2
8 x
y 

x
y 2

Soal 3.
 L  (8 – x2 -2x) x
dx
x
x )
2
8
(
L
2
0
2
 

 ( Jawaban D )
3
1
9
L
3
28


 
2
0
2
3
3
1
8
L x
x
x 


4
16
L 3
8



Masya-Allah
Jawaban anda Salah
Ini yang benar …

33. ALHAMDULILLAH….
ANDA SUDAH PAHAM KONSEP,
SIFAT DAN ATURAN INTEGRAL
Untuk mempelajari Luas Daerah
Anda harus membuka file baru
INTEGRAL PART 2
Terima Kasih
SMA ISLAM AL- IZHAR
PONDOK LABU JAKARTA
By. Nanang
Hermansyah
2009

34. ALHAMDULILLAH….
ANDA SUDAH PAHAM KONSEP,
SIFAT DAN ATURAN INTEGRAL
Untuk mempelajari Volume Benda Putar
Anda harus membuka file baru
INTEGRAL PART 2 Bagian 2
Terima Kasih
SMA ISLAM AL- IZHAR
PONDOK LABU JAKARTA
By. Nanang
Hermansyah
2009

35. Maaf Saat ini anda belum bisa
melakukan Uji Kompetensi.
Coba kerjakan latihan terlebih
dahulu….
Terima Kasih
SMA ISLAM AL- IZHAR
PONDOK LABU JAKARTA
By. Nanang
Hermansyah
2008
Latihan 1:
Menggabar Daerah
Latihan 2:
Menentukan batas
Y= X2  5X + 4
Sb.Y
Sb.X
Daerah
yang
diminta
4
0
4
1

36. Media Presentasi Pembelajaran
Penggunaan Integral
Matematika SMA/MA kelas XII IPA Semester 1
Berdasarkan Kurikulum Berbasis Kompetensi
Powered by :
Kastolan, S.Pd.
Terima Kasih