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25019265 problemas-calculo-integral-examen

  1. 1. PROFESOR JANO MATEMÄTICAS profesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA Bachillerato - Universidad EJERCICIOS DE EXAMEN DE C€LCULO INTEGRAL 2 bachillerato A continuaci‚n se presentan un conjunto de ejercicios de examen de cƒlculo integral correspondiente a la asignatura de matemƒticas I de 2 de bachillerato. La correcci‚n estƒ en las pƒginas siguientes. 1) Encuentra la funci‚n primitiva de x 2    que vale 2 en x = 0. f(x) 2 x 3x 2  2   2) Calcula:  0 sen3x dx 2 dx 3) Calcula:    0 x2 4 1    4) Calcula:  0 x e2x dx 5) Calcula el ƒrea limitada por f(x) = x2, g(x) = 2x2 y h(x) = 2x 6) El rectƒngulo de v„rtices A(0,0), B (A, 0), C (A, -A2) y D (0, -A2) queda dividido en dos partes por f(x) = x2 – Ax. Haz un dibujo y calcula el ƒrea de los dos recintos. 7) Calcula el valor de A si el ƒrea comprendida entre f(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax, vale 1/6, siendo A > 0. 8) Define suma superior y suma inferior de una funci‚n en un intervalo y correspondiente a una partici‚n. Apl†calo a f(x) = x2 – 4 en [-3, 2] para P = {-3, -1, 1, 2}. RESOLUCIÄN Al principio de cada soluci‚n hay unas pistas. Si no sabes c‚mo empezar cons‡ltalas pero ten en cuenta que eso significa que tienes a‡n mucho por estudiar y aprender. Si ya has hecho el ejercicio, es el momento de comprobarlos consultando las respuestas. 1) Encuentra la funci‚n primitiva de x 2    que vale 2 en x = 0. f(x) 2 x 3x 2 Se trata de una funci€n que es un cociente de polinomios. Como el grado del numerador es igual al del denominador, primero se efecta la divisi€n y se aplica la relaci€n que dice que el esa divisi€n es igual al cociente m‚s el resto entre el divisor. A continuaci€n quedar‚ un fracci€n que habr‚ que descomponer en otras m‚s simples para que su funci€n primitiva sea de tipo logaritmo neperiano. Para terminar habrƒa que aplicar el teorema fundamental del c‚lculo (Regla de Barrow) CLCULO INTEGRAL Ej. ex‚menes – 2ƒ bach. - 1 -
  2. 2. PROFESOR JANO MATEMÄTICAS profesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA Bachillerato - Universidad Se efect‡a la divisi‚n x2 : (x2 + 3x + 2). El cociente es 1 y el resto (-3x- 2). Por lo tanto:    3x 2 2   2 2   x 3x 2 1 x x 3x 2 x2 + 3x + 2 = 0 ]      x 2           1 x 1 3 1 2 3 9 8 2 x 2        3x 2 B 2 2         3x 2     x 3x 2 A x 1 B x 2    x 2 x 1  x 1 A  (x 2)   x 3x 2     Para X = -1 -1 = B Para x = - 2 -4 = -A ; A = 4  As† 2  Hay varios m„todos para calcular A y B. Uno de ellos es dar tantos valores a “x” como coeficientes haya. Se obtienen asƒ las ecuaciones suficientes para el c‚lculo de A, B, ... Se procura elegir valores que faciliten el c‚lculo.    4      1      3x 2   dx x 1 dx x 2 dx x 3x 2 La integral pedida serƒ: (observa que se ha cambiado el signo del resto, por eso se ha indicado con un signo menos dx x 4 Lnx 2 Lnx 1 C 1       I dx  dx         x  1 4  x 2    Ahora aplicamos las condiciones del problema: para x = 0, I(x) = 2 2 = 0 – 4 . Ln 2 + Ln 1 + C  C = 2 + 4 . Ln 4 – Ln 3 I(x) = x – 4. Ln (x+2) + Ln (x+1) + 2 + 4 . Ln 4 – Ln 3  2   2) Calcula:  0 sen3x dx Una integral se puede resolver de varias maneras. Un camino es el de convertir esta integral en inmediata, sabiendo que sen3x = sen2x . sen x. sen2x = 1 – cos2x La integral resultante se dividir‚ en dos inmediatas, siendo una de ellas del tipo un.u’. Ya ves que conviene que tengas en la memoria las relaciones trigonom„tricas b‚sicas. CLCULO INTEGRAL Ej. ex‚menes – 2ƒ bach. - 2 -
  3. 3. PROFESOR JANO MATEMÄTICAS profesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA Bachillerato - Universidad              I sen3x dx sen x 1 cos2 x dx sen x dx sen x cos2 x dx         C 2 cos x     3 cos x 2 3 2 3 1 3          0 0 1 2 cos x 3 cos x 2 0            2 dx 3) Calcula:    0 x2 4 Siempre que veas un x2 en el denominador fuera de una raƒz sumado a un nmero y otro nmero en el numerador, tienes que pensar que puede tratarse de un arcotangente. Para ello habr‚ que operar con constantes hasta llegar a la expresi€n de la integral inmediata. Se comienza operando para obtener un “1” en vez del 4, para lo que dividimos entre “4” numerador y denominador. 1 1       1   arctg 1 0   2 2 2 4 8 2 2   dx x 2 2    1  arctg 2 dx 2 x 2 1 1 1   2 dx 4 x 2 4 4 1  2    x 4 0     0 2     0 2 0              1    4) Calcula:  0 x e2x dx x = u  dx = du  e2x.dx = dv  Se trata de una tƒpica integral por partes. En este caso es importante asignar correctamente qu„ es lo que hay que derivar y qu„ es lo que habr‚ que integrar de cada parte. Derivaremos “x”, porque si derivamos e2x la expresi€n no se va a simplificar.          e v e2x dx dv 2x 2x  1 2 2 e dx 1 2  1    1 1 1              1 x 1   x   1   1 2x e  2x 2x 2x 2x     0 2x 2x 0 0 0 4 e 2 2 e dx 4 e 2 e dx 2 e 2 x e dx x = 1      2x              1 2 2 e 1 4 1     4 e 4 1 2 1 1 2 1 2 1 e 2 1 2  e x 2 2x 0       CLCULO INTEGRAL Ej. ex‚menes – 2ƒ bach. - 3 -
  4. 4. PROFESOR JANO MATEMÄTICAS profesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA Bachillerato - Universidad 5) Calcula el ƒrea limitada por f(x) = x2, g(x) = 2x2 y h(x) = 2x       x 0  En estos ejercicios es fundamental hacer la representaci€n gr‚fica. Para ello hay que calcular los puntos de corte que tendr‚n mucho que ver con los lƒmites de integraci€n.               f(x) x  2 2 1 x 2 x 2x x 2x 0 x x 2 0 2 h(x) 2x 2          x 0         g(x) 2x  2 1 x 1 2x 2x 2x x 1 h(x) 2x 2 2 1 1 3              x 1 2 dx x dx x x 2 A   1 u 0 0 2 1 0 2 2 3 3   2 2 2 3                2x x 8 1 2 2 dx x x 2 A       2 u 1 1 2 3 3 1 3 4 3 2  2 1 A  A    A = 2 1 2 1 u 3 3 En este caso, el ‚rea resultante habr‚ que obtenerla calculando ‚reas parciales y luego operando con ellas para conseguir la superficie pedida. 6) El rectƒngulo de v„rtices A(0,0), B (A, 0), C (A, -A2) y D (0, -A2) queda dividido en dos partes por f(x) = x2 – Ax. Haz un dibujo y calcula el ƒrea de los dos recintos. De nuevo la representaci€n gr‚fica es imprescindible y habr‚ que hacerla en funci€n del par‚metro A. No ser‚ exacta pero si posible. Te recuerdo que cuando una funci€n polin€mica de segundo grado tiene el coeficiente de “x2” > 0, sus ramas est‚n hacia arriba. Si es <0, sus ramas estar‚n hacia abajo. Hagamos unos cƒlculos previos para poder representar la grƒfica de la parƒbola. M†nimo de f(x) 2 2 2 f’(x) = 2x – A = 0 ; x = A/2 ;   A 2 A     2 A 4 2 f A CLCULO INTEGRAL Ej. ex‚menes – 2ƒ bach. - 4 -
  5. 5. PROFESOR JANO MATEMÄTICAS profesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA Bachillerato - Universidad Cortes con los ejes (y = 0)       x 0        2 1 x A 0 x Ax x x A 2   3 2          2      3 3 3 3 3 A 6 S 0 x Ax 2A 3A 6 A     2 A 3 Ax 2 x 3 A 0 1   Como S es un rectƒngulo, para calcular S2 sustraemos S1 al ƒrea total del rectƒngulo. Este ƒrea serƒ: S = A . A2 = A3 3 3 5A A A   S = S1 + S2 ; S2 = S – S1 = 3 u 2 6 6 Seg‡n el profesor, igual te pide que S2 lo obtengas tambi„n mediante cƒlculo integral. En ese caso:          2 2     S x Ax A dx cqd   3 3 3 3 5A 6 2A 3A 6A 6      A 3  0  A 3 3 A 2 A 3 2 A x 3 2 x A 2 x 3 0 2     7) Calcula el valor de A si el ƒrea comprendida entre f(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax, vale 1/6, siendo A > 0. De nuevo hay que hacer la gr‚fica, s€lo que en este caso es abierta ya que depende del par‚metro A. Esto significa que haremos una representaci€n gr‚fica posible pero puede que no sea la exacta. Esto no debe preocuparte ya que cuando conozcas el par‚metro A podr‚s hacer la representaci€n correcta. Vamos a hacer los cƒlculos previos para conseguir la aproximaci‚n grƒfica. Mƒximo de f(x): f’(x) = 2 – 2x = 0 ;       x 0 1 ; f(1) = 1 ; M (1, 1)      x 1 2 1 x 0 2 Cortes con OX: f(x) = 0 2x – x2 = 0        x 0      1 x 2 x 2 x 0 2 CLCULO INTEGRAL Ej. ex‚menes – 2ƒ bach. - 5 -
  6. 6. PROFESOR JANO MATEMÄTICAS profesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA Bachillerato - Universidad Cortes con g(x):      y Ax y 2x x2  Ax =2x – x2 0 = x . (2 – A) – x2       x 0        1 x 2 A 0 x 2 A x 2 Por lo tanto, el ƒrea amarilla pedida serƒ:         x 2   3  x 1 3 2 x 2      A  x 3 x 0 2 3 2 x 2         A  x 3 2x 2 2 2x x Ax dx 0     2 A 2 0 2 A                                         2   6 4 2A 3A 2  4 A 2 4A      3  2    A 6A 12A 9 0 6 1 6 4 A 4A                   2 3 2 3 2 A 6A 12A 8 6 A 2 2 A 3 2 A 0 2 A 1 8 2A 8A 4A A 4A 6 0 2 A 2 A 6 A 2        Habr‚s observado que he puesto como valor del ‚rea -1/6 y no 1/6. Eso es debido a que tal y como he planteado el dibujo el ‚rea queda por debajo del eje OX. El dibujo provisional tambi„n ha condicionado el orden de los lƒmites de integraci€n. 1 -6 12 -9 3 3 -9 9 1 -3 3 0 . Por lo tanto A = 3 Se resuelve: x2 -  3  9  12 3x + 3 = 0 ;  x ... soluciones imaginarias. 2 Pero supongamos que la grƒfica previa fuese: ‰C€mo resolver la ecuaci€n de tercer grado?. En primer lugar no asustarse, y en segundo aplicar Ruffini. CLCULO INTEGRAL Ej. ex‚menes – 2ƒ bach. - 6 -
  7. 7. PROFESOR JANO MATEMÄTICAS profesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA Bachillerato - Universidad Resolvamos de nuevo el problema pero cambiando de estrategia algebraica de modo que el cƒlculo resulte mƒs sencillo (se podr†a haber utilizado este mismo m„todo en el caso anterior)      2  A      2 3 2x  x 2  Ax  dx  2  x  x  x 2  dx   2  A         1  2  A  1  A    1 6 3 3  2 A 3 2 A 0  2 A 2 x 3 x 2 2 A    0 0   8) Define suma superior y suma inferior de una funci‚n en un intervalo y correspondiente a una partici‚n. Apl†calo a f(x) = x2 – 4 en [-3, 2] para P = {-3, -1, 1, 2}. La definici€n de suma superior e inferior la puedes encontrar en cualquier libro de texto o en internet. [ -3,2] para P = { -3, -1, 1, 2 } Hallamos el Mƒximo y el m†nimo para cada partici‚n o subintervalo, fijƒndonos en la grƒfica: [-3,1] Mƒx = 5 ; m†n = -3 Suma superior = la suma de los rectƒngulos de base [-1,1] Mƒx = -3 ; m†n = -4 la longitud del intervalo y de [1, 2] Mƒx = 0 ; m†n = -3 altura el Mƒximo Suma inferior = las alturas el m†nimo Suma superior = 2.5 + 2.(-3) + 1.0 = 4 Suma inferiror = 2.(-3) + 2.(-4) + 1.(-3) = -17 CLCULO INTEGRAL Ej. ex‚menes – 2ƒ bach. - 7 -

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