lnfcáraoíán por Wan/ fix

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6 1 integracion_por_partes

  1. 1. lnfcáraoíán por Wan/ fix lg‘ {u = s = g(b) v = g(x) r = g(a) 0 r ll 0 p = f (a) q = f (b) área + área = qs — pr J‘ q _ I udvá-I vdu = uv| (" S) r p (par) [f/ oog ‘mdx = rooms: — Jfgocmaodx Eíercicios Resueltos Calcule: 6.1.1 f ln x dx Solución. Sea u= lnx = > du= idx y x dv = dx = > v = x l Ilnxdx= xlnx—Ix: dx= xlnx—Idx= xlnx—x+C
  2. 2. 6.1.2 rxarctan xd! ) Solución. l = dx Elegimos u = arctanx = > du l+x2 x: y dv = xdJr :7 V = 2 v = — vdu sustituyendo en udv uv I o l 2 l 2 l l X2 x‘ L zL "’ dx Exarcmnxdx: 2 arctanx-J [ 2 ](l+x2 Jdx 2 arctanx 2 o 1+)‘; 0 6.1.3 [x2 cosxdx Solución. 2 _ sea u = x : > dll — 2x dx v dv = cos xdx á V = sen JC sustituyendo tenemos 2 {x2 cosxdx= x2 senx- _Í(senx)2xdx= x senx-Zjxsenxdx _ _ _ _ u = x = > du = dx en esta ultima integral J-xsen xdx , consideramos dv= senxdx = > v= -cosx sustituyendo en la integral original: 2 2 Ix cosxdx= x senx—2(—xcosx+jcosxdxi= xz senx+2(xcosx—senx)+C 6.1.4 j(7+x—3x’)e’* dx Solución. Elegimos u = 7 + x — 3x2 : > du = (1 -6x)dx Y dv = e-xdx : > v = _e“ sustituyendo i” +*“3x2>e" dx = —(7 +x—3x2 )e‘* +[(1_6x)e-*dx aplicamos nuevamente integración hacemos l 6 Por partes, para la última integral u = * x = > du = -6 dx y dv = e"‘ dx : > —x v = —e sustituyendo en la integral principal: (7+x—3 5-1 d = _ _, _ I x e " (7+x-3x’>e —(I—6x)e "‘—6Je“’dx = 2_ _ - _ Gx x ne x+(6x—1)€ x+6e_"+C= (3x2 +5x—2)e"+C
  3. 3. 6.1.5 585°" N” Solución. I N‘ [uzex :9 du. —¿ dx m l<lv= senxzíx = ’> V= ’°°5-" Ee’senxdr= -e‘ cosx- E e’(-cosx)dx= —e’ cosx+ I: e‘ cosxdx aplicando nuevamente integración por partes, para la última integral {u= e‘ 3 du= e’dx sea dv= cosxdx = > v= senx I X X l x luego e senxdx= —e cosx+e senx-L e senxdx Transponiendo y agrupando términos, se tiene: ' x x ‘ x 1 I 2L e senxdx= —e cosx+e senx: > e"senxdx= —l-e’ cosx+e‘senxl 2 o l l l ‘Lexsenxdx = ïl—el cosl+e1sen1+e° coso-eosen 0]= ï[e5en1_ecos¡+¡] 3 6.1.6 J’—x—dx Vl-xz Solución. u= x2 = > du=2xdx 3 x x edx= íxz ídx Sea x J l1_x2 l1_x2 dV= dX : > V= - l-Xz —x = —x2x/1—x2 -—I(—2x/ l—x2jdx= -x2x/ l-x2 +j2x(l—x2)l/2 dx = —x2]l—x2 ——: -(l—x2)3/2 +C= —x2/ I—x2 —%(Vl-x2)3+C X3 d wÍl-xz x ¿L7 J"/2x+senxdx ,46 l+cosx Solución. dx JW” x+senxd Jwz (x+senx)(l—cosx)d In” x—xcosx+senx-—senxcosx x: x: 11/6 l+cosx 2 7 n/ e l-cos x 1t/6 Sen X 2 n/ x xcosx senx senxcosx = í_—__+—————-—í—dx "/6 sen 2X sen 2 X sen 2x sen 2 X _ /2 2 /2 /2 _ /2 d f/ óxcsc xdx-E6xcotxcscxdx+fi6cscxdx Eócoïx X pa“ desarrollar las dos primeras integrales haremos: {"= x = > du= dx ' {u= x : > du= dr dv= csc2xdx z, v. _._c0¡x dv= cotxcscxdx = > v= -cscx
  4. 4. /2 ¿x luego: a ¿l 3+ I: csc x (lx - E co‘ x ‘¡l x+senx d‘, = —xcotx+ Eïzcotx dx—(—. ï cscx+ L)‘, CSC‘ x u. ¡ó ¿e Km ]+c0S. ‘ “¡,2 t )]n/ - á[_xCOÍX+xCScx]fl/6 z[x(cscx—co x “¡ó n 1: _ :1 ‘J- _—. %(csc%—cot%)—%(cscl‘——cot%)= ï(l—0)‘í(2 e(l+ 3) 6 .2 r2 6J8 J —4—“” _¡(l+. r:)2 Solución x 2 du = dx ui a -1 -3 2 " vc x _ x = _'___dx d = dx 3 V’ 2 J l(l+. ïl)zdx J—1x(¡+x2)2 v (¡+3562 2 (“a ) 2 2 _ 1 zLdxz —x7 _J %dx= í +ïarctanx] , ¡(l+x2)2 2(1+x") 420+“ “ 9 -11 I 1 _ = l 2 Ï——- : ï + 5 arctan 2 — Z - 5 arCÍaïK l) 2 “ma” + 8 20 6_1_9 _ 1: jxarctan x2 —l dx Solución. dx u= arctanxlx2—1 = > du= —— ,2} Sea x x (1 dv= xdx : :> :2- Jxarctan x2 -1 dx= %arctan/ x2 — —á'í———: é_l= %arctanvxz —1—%Ix(x2 -l)_l/2dx = ï22—arctanÍx2 —1—%(x2 —1)V2 +C= ï2íarctanqx2 _ _%‘Íx2 -1 +C Podemos xesolver también de la siguiente manera haciendo . _ 2 t- x -1 , x= i1hz+l 3 dx= i Ï t+1 dt sustituyendo en la integral original 1 2 d! I= JÏ “Z +1 (aïcïanÜíi r jdt: Irarctanrdt u %arctan, D du : 2 l? ! r +1 dV= ÍdÏ = > vz-L- r2 2 2 l= ïarctant—j'si___d¡= ï_z_ 1 ¡ ¡2 l l 2(1+¡2) 2 arctan"? “ 2]df= —arctant——t+—arctant+C 2 1+: 2 2 2 x —l = ‘—-—arctan/ :c-2Ï_l 2_ l _2 2 zfi+ïarctanm+c= iïarman / x2_ _l / _.2_¡+(* 2

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