Este documento describe el cálculo del valor presente de anualidades variables con gradientes y decrecimiento aritmético. Explica que las anualidades decrecen en una cantidad constante llamada "grada" y que el valor presente se calcula como la resta del valor presente del bloque de anualidades ciertas menos el valor presente del bloque de las gradas. Proporciona ejemplos numéricos ilustrando cómo calcular el valor presente, la tabla de amortización y verificar los datos proyectados.

1. VALOR PRESENTE DE ANUALIDADES VARIBLES CON GRADIENTES Y DECRECIMIENTO ARITMETICO

2. Las anualidades periódicas, variables con decrecimiento aritmético se caracterizan por que el valor de estas, a partir de la primera que es la anualidad BASE van disminuyendo en una cantidad constante llamada GRADA, cuyo valor se determina restando de una de ellas la que le antecede. EL VALOR PRESENTE de esta clase de anualidades, COMO EN EL CASO ANTERIOR, tiene dos BLOQUES de valor presente de las anualidades componentes que son:

3. EL VALOR PRESENTE del BLOQUE de las anualidades ciertas que conformarían la serie, considerando la anualidad BASE como único valor en las “n” anualidades variables de tal modo que: AB = Rb * an¬i donde Rb = VALOR DE LA PRIMERA ANUALIDAD DE LA SERIE GRADIENTE.

4. EL VALOR PRESENTE DEL BLOQUE formado por la serie de GARDAS: AG IGUAL QUE LO ANTERIOR: AG = G/i [ an¬i - n (1+i )⁻ⁿ ] Encontrados estos valores, tenemos que: EL VALOR PRESENTE DE LAS ANUALIDADES GRADIENTES O DECRECIMIENTO ARITMETICO, es la RESTA del primer bloque menos el segundo: AG.T = AB -AG Reemplazando los datos tenemos la ecuación equivalente AG.T = [Rb * an¬i ] – [G/i ] [ an¬i - n (1+i )⁻ⁿ ]

5. GRAFICA EN LINEA DE TIEMPO 0 1 2 3 12 13 14 GRADA G AB VALOR PRESENTE DE LAS ANUALIDADES CIERTAS DONDE Rb = BASE ANUALIDAD BASE ……………………………………………………………………………. AG.T = AB -AG

6. Ejemplo 1 El almacén de muebles “Madera” promociona la venta de un juego de muebles de sala y comedor mediante 14 pagos mensuales vencidos uniformemente decrecientes al interés del 38% j12 El pago del primer mes es 200.000 pesos y el pago del ultimo 44.000 pesos. Encuentre el valor de contado de los muebles de sala y comedor. Calcule por proyección el interés correspondiente al cuarto pago.

7. Proyecte el capital amortizado con la decima mensualidad cancelada. Elabore una tabla de amortización con los pagos en gradiente y compare los datos de esta con los datos proyectados . El cliente piensa en una opción de pagos iguales; si el propietario acepta. Determine el valor de las mensualidades a pagar en las mismas condiciones de interés y plazo. (Complete datos, operaciones e ideas sugeridas para el desarrollo )

8. Valor de contado de los muebles de sala y comedor. El valor de contado de los muebles mencionados es igual al VALOR PRESENTE de las anualidades con gradientes decreciente que forman los pagos mensuales dados en el ejemplo y que se observan en el grafico que sigue. Se conoce el primero y ultimo de los pagos: Rb = B = 200.000 pesos y Ru = 44.000 el numero de pagos: n = 14 meses.

9. Además se conoce la tasa de interés: 38% j12 j = 0.38 y m = 12 => i = 0,03166… mensual, tasa periódica que corresponde al pago mensual. Meses de plazo 0 1 2 3 12 13 14 AB VALOR PRESENTE DE LAS ANUALIDADES CIERTAS CUANDO R1 = B 44.000 pesos AG = VALOR PRESENTE DE LAS GRADAS 200.000 pesos i = 0,031666……. mensual

10. Para calcular el valor de la grada G se utiliza la formula Ru = B – (n - 1 ) * G en la misma que se despeja su valor; así tenemos para el presente caso que analizamos: G = 12.000 pesos 200.000 – 44.000 ------------------------ 13 Se sigue el proceso conocido para definir el valor presente de los bloques y se tiene: Valor presente de las anualidades ciertas del BLOQUE cuando se asume que la primera anualidad de la serie o anualidad base: Rbes cierta ordinaria y vencida. Entonces de acuerdo al conocimiento anterior y remplazando datos tenemos: AB = Rb * an¬i AB = 200.000 * 11,1688….. AB = 2`033.761

11. Valor presente del BLOQUE de las anualidades con GRADAS cuya formula es: AG = G/i [ an¬i- n (1+i )⁻ⁿ ] , reemplazamos con los datos y tenemos: AG = [ 11,1688….- 14 (1 + 0.031..) ⁻¹⁴ ] AG = 378.947 (2,12030…) AG = 803.485 12.000 ------------- 0.031…

12. El valor presente total de las anualidades con gradientes aritmético decrecientes es la resta de los valores presentes de los bloques anteriores ; entonces se tiene: AG.T = AB -AG => 1`430.276 pesos Este valor representa el precio de contado de los muebles comprados.

13. Verificación de proyección del interés pagado con el cuarto abono. El cuarto paga es de 164.000 pesos y con el resto de pagos mensuales forma una NUEVA serie gradiente de once anualidades. El interés que se paga corresponde al valor de la nueva serie de anualidades con gradiente por ser el SALDO INSOLUTO. Este saldo insoluto o valor presente de la nueva serie se calcula para: n = 11 ; Rb = 164.000 (cuarto pago primera anualidad de la nueva serie)

14. AGT= [Rb * an¬i] – [G/i ] [ an¬i- n (1+i )⁻ⁿ ] A GT = 164.000 * 9,16779 - [9.16779-11 ( 1 + 0,0316…) ⁻¹¹ ] A GT = 1´503.517,736 - 515.837,6693 A GT = 987.680,6689 I = AGT * i I = 987680,6689 * 0,03166.. I = 31.276,53 12.000 ------------- 0.031…

15. Proyecte el capital amortizado con el decimo pago. Rb = B – (n - 1 ) * G 10º Periodo R10 = 200.000 – (10 – 1) 12.000 R10 = 92.000 AGT = Rb * an¬i - [G/i ] [ an¬i- n (1+i )⁻ⁿ ] AGT = 419.335,5152 – 105.982.9498 AG T= 313.352.5653 INTERES = AGT * i I = 313.352.5653 * 0.0316… I = 9.922,831295 Capital amortizado PAGO – INTERES 92.000 – 9.922,83245 CA= 82.077,17

16. Elabore la tabla de amortización gradual que sigue y verifique con los datos anteriores los DATOS PROYECTADOS…

17. Si la opción de pagos es considerada con valores mensuales iguales en las mismas condiciones de plazo e interés. DETERMINE el valor de cada una de las mensualidades o pagos iguales: R= R = R = 128.060 A ------------ an¬i 1`430.276 ------------ 11.1688…

18. Para verificar el valor de la mensualidad igual, calculada en el literal anterior, complete la NUEVA TABLA de amortización gradual que corresponde de conformidad con esta forma de pago y escriba en pocas palabras su conclusión. Tabla de amortización gradual Valor de la deuda: 1`430.276 Número de pagos: 14 meses Valor de cada uno de los pagos iguales vencidos: 128.060 Tasa de interés: 0.03166….

20. Ejemplo 2 El valor de contado de una refrigeradora de oficina es de 436,10 dólares, si la venta se realiza a plazos, el almacén cobra el 1,67% mensual sobre saldos por concepto de interés. El vendedor acepta la siguiente propuesta del cliente : Plazo doce meses con pagos mensuales desiguales, decrecientes cada uno de ellos en un valor de 3 dólares. Analice el procedimiento seguido por la oficina encargada de liquidar las obligaciones del cliente en concordancia con la propuesta y política crediticia del almacén “Compre Pronto” en el cual se realizó la compra

21. Resolución La oficina de contabilidad realiza el cálculo de las obligaciones de pago del comprador considerando los siguientes aspectos: GRAFICO TEMPORAL DE LA COMPRA Meses de plazo 0 1 2 3 10 11 12 Primera mensualidad Ultimo pago i = 0,0167 mensual

22. Calculo del valor de los pagos. Se utiliza los siguientes referentes o datos conocidos: AGT = 436,10 dólares precio de contado de la refrigeradora : valor presente de los pagos con gradiente. n = 12 pagos mensuales desiguales, anualidades con gradiente decreciente. G = 3 dólares, valor con el que decrece cada uno de los pagos. Rb = Primer pago o anualidad base de los pagos en gradiente. Se desconoce.

23. Calculo del primer pago Con los datos dados se calcula el VALOR DEL PRIMER PAGO, utilizando la formula del valor presente de las anualidades con gradientes decreciente, estos es: A= [Rb * an¬i ] – [G/i ] [ an¬i - n (1+i )⁻ⁿ ] 436.10 = Rb * 10,7928 - [10,7928 + 12 ( 1 + 0,0167…) ⁻¹² ] 436,10 = Rb * 10,7928 - 179.64 [10,7928 + (0.955776576) ] Rb = 56.31 3 ------------- 0.0167…

24. Calculo del ultimo pago Aplicamos la formula Ru = B – (n - 1 ) * G y resolvemos entonces Ru = 23.31 Elaboración de la tabla de Amortización Gradual Ru = 56,31 – (12 - 1 ) * 3 Ru = 23,31

25. Por proyección matemática, verifique los datos del cuadro anterior, incluyendo para un mejor análisis la representación grafica; en lo referente a: Los datos correspondientes al TERCER PERIODO Ab = Rb * an¬i Ab = 50.31 * 9,139675167 Ab =459,8170577 AG = (G/i) [an¬i – n (1 + i)⁻¹⁰] AG = (3/0.0167) [9,139675167 – 10 (1 + 0.0167 )⁻¹⁰] AG = (179.640771) (0,660009203) AG = 119,6408839 AGT = Ab – AG AGT = 459,82 – 119,64 AGT = 340,18 Rb = 56.31- (3-1) * 3 Rb = 50.31

26. Meses de plazo 0 1 2 3 10 11 12 Tercera mensualidad 340.18 Ultimo pago

27. Los datos correspondientes al QUINTO PERIODO Ab = Rb * an¬i Ab = 44,31 * 7,430789282 Ab =329,2582731 AG = (G/i) [an¬i – n (1 + i)⁻⁸] AG = (3/0.0167) [7,430789282 – 8 (1 + 0.0167 )⁻⁸] AG = (179.640771) (0,32354273) AG = 76,08552036 AGT = Ab – AG AGT = 329,26 – 76,09 AGT = 253,17 Rb = 56.31- (5-1) * 3 Rb = 44,31

28. Meses de plazo 0 1 2 3 5 10 11 12 Quinta mensualidad 253,17 Ultimo pago

29. Los datos correspondientes al OCTAVO PERIODO Ab = Rb * an¬i Ab = 35,31 * 4,758944662 Ab =168,038336 AG = (G/i) [an¬i – n (1 + i)⁻⁵] AG = (3/0.0167) [4,758944662 – 5 (1 + 0.0167 )⁻⁵] AG = (179.640771) (0,1563165413) AG = 28,0808158 AGT = Ab – AG AGT = 168,04 – 28,08 AGT = 139,96 Rb = 56.31- (8-1) * 3 Rb = 35,31

30. Meses de plazo 0 1 2 3 8 10 11 12 Octava mensualidad 139,96 Ultimo pago