Trabajo colaborativo 2_unidad2 (1)

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Trabajo de calculo diferencial

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Trabajo colaborativo 2_unidad2 (1)

  1. 1. CALCULO DIFERENCIAL TRABAJO COLABORATIVO 2 POR AHMED BERRIO Cod. ADIER ARNORIS VÉLEZ VELASQUEZ Cód. 98.601.683 CARLOS ALBERTO AGUIRRE ALZATE Cod. TUTOR JORGE RENDON UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA -UNAD- MEDELLÍN 2014
  2. 2. INTRODUCCIÓN El siguiente trabajo colaborativo dos tiene por objetivo desarrollar algunos ejercicios sobre análisis de límites y continuidad, vistos en el cálculo diferencial de la unidad 2, a través de un aprendizaje basado en problemas, en donde el estudiante desarrollará por fases un taller con el propósito de alcanzar un mayor o nuevo conocimiento en la solución de problemas de sucesiones y progresiones los cuales les servirá para darnos aplicación en nuestra área específica. Debemos comprender que los conceptos de límites y continuidades de una función son dos de los conceptos básicos del análisis matemático ya que entre otras cosas, nos permiten conocer mejor la forma y propiedades de las funciones reales. Además, el concepto de límite es básico en la definición del concepto de derivada de una función, acá en las primeras páginas resolveremos en grupo colaborativo, varios límites cuando la variable x tiende a cero, también hallaremos algunos límites de funciones trigonométricas, y por ultimo resolveremos algunos límites cuando x tiende al infinito, para luego presentar las experiencias del grupo, a manera de conclusión.
  3. 3. ACTIVIDADES Lim √9+x−3 x = √9+0−3 0 = 3 3 = 0 0 INDETERMINADA X 0 Multiplico por la conjugada √9+𝑥−3 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥−0 √9+𝑥−3 𝑥 . √9+𝑥 +3 √9+𝑥 +3 lim x−0 x x(√9+x +3) √(9 + 𝑥)(√9 + 𝑥) + 3√9 + 𝑥 − 3√9 + 𝑥 − 9 √(9 + 𝑥)1.(9 + 𝑥)1 − 9 √9 + 𝑥)2 − 9 = (9 + 𝑥) − 9 = 𝑥 lim 𝑥−0 1 √9+𝑥+3 = 1 √9+0+3 = 1 6
  4. 4. √4 − 2 (4)3 − 64 = 0 0 √ 𝑥 − 2 𝑥3 − 64 . √ 𝑥 + 2 √ 𝑥 + 2 lim 𝑥−4 𝑥 − 4 (𝑥3 − 64)(√ 𝑥 + 2 = 0 0 𝑥3 − 64 = 𝑥3 − 43 = ( 𝑥 − 4)( 𝑥2 + 4𝑥 + 16) lim 𝑥−4 (𝑥 − 4) (𝑥 − 4)(𝑥2 + 4𝑥 + 16)(√ 𝑥 + 2) lim 𝑥−4 1 (𝑥2 + 4𝑥 + 16)(√ 𝑥 + 2 = 1 (42 + 16 + 16)(√4 + 2 = 1 48,5(4) = 𝟏 𝟏𝟗𝟐
  5. 5. lim 𝑥−0 1 𝑥 + 3 − 1 3 𝑥 = 1 0 + 3 − 1 3 0 = 0 0 lim 𝑥−0 3 − (𝑥 − 3) 3(𝑥 − 3) 𝑥 lim 𝑥−0 3 − (𝑥 − 3) 3(3 − 3) 𝑥 1 = 6−0 0 = 6 0 = − 𝟏 𝟗
  6. 6. lim 𝑥−4 √1+2(4)−3 √(4)−2−√2 = √2.(4)+1−3 (4)−2−√2 = 3−3 √2−2 = 0 0 Indeterminada Conjugamos (a+b)(a-b)=𝑎2 − 𝑏2 lim 𝑥−4 √1 + 2𝑥 − 3 √ 𝑥 − 2 − √2 . √1 + 2𝑥 + 3 √1 + 2𝑥 + 3 . √ 𝑥 − 2 + √2 √ 𝑥 − 2 + √2 lim 𝑥−4 [( √(1+2𝑥)2 [(√(𝑥−2)2 − (3)2] (√2)2)2] . (√ 𝑥−2+√2) (√1+2𝑥+3) lim 𝑥−4 (1 + 2𝑥 − 9) (𝑥 − 2 − 2) . √ 𝑥 − 2 + √2 (√1 + 2𝑥 + 3) lim 𝑥−4 (2𝑥 − 8) (𝑥 − 4) . (√ 𝑥 − 2 + √2 (√1 + 2𝑥 + 3) Factorizamos (2x-8=2(x-4) lim 𝑥−4 2(𝑥 − 4)(√ 𝑥 − 2 + √2 ( 𝑥 − 4)(√1 + 2𝑥 + 3 lim 𝑥−4 2(√ 𝑥 − 2 + √2 √1 + 2𝑥 + 3 = 2(√(4) − 2 + √2 √1 + 2(4) + 3 = 2(√2 + √2 3 + 3 = 2.2√2 6 = 4√2 6 = 2√2 3
  7. 7. lim 𝑥−𝜋 𝜋 − 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝜋 − 𝜋 𝑠𝑖𝑛𝜋 = 0 0 Cambio de variable U=𝜋 − 𝑥 𝑥 − 𝜋 − 𝑈 − 0 𝑥 = 𝜋 − 𝑈 lim 𝑥−𝜋 𝜋 − 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 = lim 𝑈−0 𝜋 − (𝜋 − 𝑢) sin(𝜋 − 𝑢) lim 𝑢−0 𝑢 sin(𝜋 − 𝑢) Sin (𝜋 − 𝑢) = 𝑠𝑖𝑛𝜋. 𝑐𝑜𝑠𝑢 − 𝑐𝑜𝑠𝜋. 𝑠𝑖𝑛𝑢 = 0 − (−1)𝑠𝑖𝑛𝑢 = 𝑠𝑖𝑛𝑢 lim ∅−∅ 𝑠𝑖𝑛 ∅ = 1 lim ∅−∅ 1 − 𝑐𝑜𝑠∅ ∅ = 0 lim 𝑢−0 𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑢 = lim 𝑢−0 𝑢 𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑢 = 1 1 = 1
  8. 8. lim 𝑋−0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛4𝑥 = lim 𝑋−0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 4𝑠𝑖𝑛4𝑥 4𝑥 lim 𝑥−0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 4.lim 𝑥−0 . 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛4𝑥 4𝑥 = 1. (1) 4. (1) = 𝟏 𝟒
  9. 9. 𝐥𝐢𝐦 𝒙−∞ √ 𝒙 𝟐 − 𝟑 𝒙 √ 𝒙 𝟑 + 𝟏 𝟑 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙−∞ √ 𝒙 𝟐 − 𝟑 𝒙 𝟐 √ 𝒙 𝟑 + 𝟏 𝒙 𝟑 𝟑 𝐥𝐢𝐦 𝒙−∞ √ 𝟏 − 𝟑 𝒙 𝟐 √ 𝟏 + 𝟏 𝒙 𝟑 𝟑 = √ 𝟏 − 𝟎 √ 𝟏 + 𝟎𝟑 = 𝟏 𝟏 = 𝟏
  10. 10. 8º 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ √ 𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝒙 aplicamos conjugada ∴ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ [√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙−𝒙][√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙+𝒙] (√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙+𝒙) Vemos como el numerador es un producto notable de la forma 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 = ( 𝒂 − 𝒃)( 𝒂 + 𝒃) ∴ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ (√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙) 𝟐 −𝒙 𝟐 (√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙+𝒙) = 𝒙 𝟐+𝟒𝒙−𝒙 𝟐 (√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙+𝒙) = 𝟒𝒙 (√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙+𝒙) Dividimos por 𝒙 → 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟒𝒙 𝒙 (√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙+𝒙) 𝒙 = 𝟒 (√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙 𝒙 𝟐 )+ 𝒙 𝒙 = 𝟒 (√ 𝟏+ 𝟒 𝒙 )+𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟒 (√ 𝟏+ 𝟒 𝒙 )+𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ ( 𝟒) [√ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ ( 𝟏)+ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ ( 𝟒 𝒙 )]+ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ ( 𝟏) = 𝟒 (√𝟏+𝟎)+𝟏 = = 𝟒 (√ 𝟏) + 𝟏 = 𝟒 𝟐 = 𝟐 ∴ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ √ 𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝒙 = 𝟐
  11. 11. 10º- Demuestre que 𝐥𝐢𝐦 𝑥→𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 = 1 Partimos de 2 límites trigonométricos básicos: lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 Por que sin(0) = 0 lim 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 Por que COS(0) = 1 Luego basados en la circunferencia trigonométrica analizamos que:
  12. 12. Segmento 𝑶𝑨 = 𝑿 Deducimos de la gráfica que: sen 𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝑡𝑎𝑛𝑥 decimos que menor o igual puesto que para 𝑥 = 0 ∴ 𝑠𝑒𝑛(0) ≤ 0 ≤ tan(0) 0 0 Tomamos la expresión y la dividimos por 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 Y como 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 Entonces: 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∴ : 1 ≤ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 : 1 ≤ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 1(𝑠𝑒𝑛𝑥) (𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑐𝑜𝑠𝑥) = 1 ≤ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 senx Tanx 0 A 𝑅 = 1
  13. 13. Invertimos la expresión buscando la función requerida 1 ≥ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 ≥ 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 Aplicamos ley de límites [ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝟏] ≥ [ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 ] ≥ [ 𝐥𝐢𝐦 𝐱→𝟎 𝒄𝒐𝒔𝒙] 𝟏 𝟏 Así pues por el teorema del sanduché o también llamado de intercalación el 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 = 𝟏 Por tanto queda comprobado el ejercicio.
  14. 14. CONCLUSIONES En este segundo momento de cálculo diferencial, hemos aprendido que es indispensable tener claros los conceptos fundamentales de la matemática básica vistas en los cursos anteriores, para incursionar en matemáticas más complejas, tales como el manejo de sistema numérico, de las expresiones algebraicas, de las funciones y sus correspondientes gráficas y de la Trigonometría. Este segundo trabajo colaborativo, nos permitió reconocer la importancia del cálculo, como un resultado natural de la aplicación del algebra y de la geometría analítica a ciertos problemas de la física y de la geometría, en nuestro quehacer profesional y cotidiano. Es entonces el cálculo diferencial una rama de la matemática que tiene mucho que aportarle a nuestras carreras profesionales, a través del uso de herramientas virtuales y herramientas de ecuaciones matemáticas, para ayudarnos en el desarrollo y comprobación de los ejercicios.
  15. 15. REFERENCIAS  Stewart, J., Redlin,L., Watson,S., (2012).Precálculo,matemática para el cálculo. México D.F. Pág. 783. Disponible http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2222/libro.php?libroId=331#  Modulo_Calculo_Diferencial_I_2010_Unidad_1  http://www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/mat3/ssmat3.pdf  Wolfram, Recuperado el 20 de octubre de 2014 de http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+sqrt%28x%5E2- 3%29%2Fsqrt+%28x%5E3%2B1%29++as+-%3Einfinity  Limites trigonométricos, recuperado el 20 de octubre de 2014 de http://matematica1.com/category/limites-trigonometricos/

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