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Denomina-se sistema linear mxn o conjunto S de m equaçõestoda a equação quen
                                                     linear,
                                                             lineares em
incógnitas, que pode ser representado assim:         pode ser escrita na forma
                                                          em destaque.




Alguns exemplos de sistemas lineares:




 Para resolver sistemas lineares devemos encontrar valores que solucionam
todas as equações envolvidas nele. Esses resultados são chamados de
conjunto solução, que é representado pela letra S.

Vejamos como exemplo a equação abaixo:




Então, o conjunto solução deste sistema é S=(3,-1). Pois substituindo x e y
pelos valores dele, encontramos as soluções que satisfazem as duas equações
ao mesmo tempo.

                              Como solucionar?


Para encontrar o conjunto solução de um sistema, podemos usar o método de
substituição (como foi feito no exemplo C), ou utilizando os métodos da adição
e comparação. Mas vamos nos ater ao método da adição e da substituição.

Solucionando Sistemas Lineares pelo método da adição:

Vamos usar os seguintes exemplos:
Encontramos o valor de y pelo método da adição:


                         A partir desta multiplicação teremos o seguinte
resultado:




Podemos substituir o resultado encontrado para y na 1ª equação do sistema
(2x-5y=11), a fim de encontrar o valor de x :




Assim, o conjunto solução do sistema é S=(3,-1)




O sistema acima é impossível, pois não existe um valor real para y que
satisfaça a equação. Assim dizemos que o conjunto solução S=Ø (vazio); ou
seja é um sistema sem solução.




Neste caso o y pode assumir qualquer valor real, logo é um sistema
indeterminado.

Interpretação gráfica de um sistema linear
Os pares ordenados que são encontrados como solução de equações lineares
determinam no gráfico uma reta. A intersecção das duas retas das equações
do sistema determinam a sua solução, caso exista. Abaixo a representação
gráfica de três sistemas resolvidos por adição:

1º)



                                                  As retas concorrentes
                                                  indicam que existe um
                                                  único par ordenado que
                                                  é solução do sistema;
                                                  portanto trata-se de um
                                                  sistema possível e
                                                  determinado (SPD).




2º)




                                                     As retas paralelas
                                                     indicam que não existe
                                                     um par ordenado que
                                                     seja solução do
                                                     sistema.(SI).




3º)
As retas coincidentes
                                                                indicam que existem
                                                                infinitos pares
                                                                ordenados que são
                                                                soluções do sistema;
                                                                portanto trata-se de um
                                                                sistema possível e
                                                                indeterminado (SPI).

Então podemos classificar assim os sistemas:
                                            Determinado -
                                             uma solução
                                                (SPD)
                         Possível - com
                            solução
                                            Indeterminado -
           Sistema                         infinitas soluções
                                                  (SPI)
                        Impossível - sem
                           solução



Resumo:




Vamos exercitar!


   1. Resolva cada sistema linear usando o método da adição, classifique-os
      quanto ao seu número de soluções e faça a representação gráfica:
          a.

          b.

          c.

Desafio: (UERJ-2004) um comerciante deseja totalizar a quantia de R$ 500,00
utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo
que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais. Nesse caso,
qual a quantidade de cédulas de cinco reais que o comerciante precisará?

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Apostila sistemas lineares 2x2 para 05.11

  • 1. SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE MATEMÁTICA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA – MODALIDADE A DISTÂNCIA SISTEMAS LINEARES 2X2 Denomina-se equação Denomina-se sistema linear mxn o conjunto S de m equaçõestoda a equação quen linear, lineares em incógnitas, que pode ser representado assim: pode ser escrita na forma em destaque. Alguns exemplos de sistemas lineares: Para resolver sistemas lineares devemos encontrar valores que solucionam todas as equações envolvidas nele. Esses resultados são chamados de conjunto solução, que é representado pela letra S. Vejamos como exemplo a equação abaixo: Então, o conjunto solução deste sistema é S=(3,-1). Pois substituindo x e y pelos valores dele, encontramos as soluções que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Como solucionar? Para encontrar o conjunto solução de um sistema, podemos usar o método de substituição (como foi feito no exemplo C), ou utilizando os métodos da adição e comparação. Mas vamos nos ater ao método da adição e da substituição. Solucionando Sistemas Lineares pelo método da adição: Vamos usar os seguintes exemplos:
  • 2. Encontramos o valor de y pelo método da adição: A partir desta multiplicação teremos o seguinte resultado: Podemos substituir o resultado encontrado para y na 1ª equação do sistema (2x-5y=11), a fim de encontrar o valor de x : Assim, o conjunto solução do sistema é S=(3,-1) O sistema acima é impossível, pois não existe um valor real para y que satisfaça a equação. Assim dizemos que o conjunto solução S=Ø (vazio); ou seja é um sistema sem solução. Neste caso o y pode assumir qualquer valor real, logo é um sistema indeterminado. Interpretação gráfica de um sistema linear
  • 3. Os pares ordenados que são encontrados como solução de equações lineares determinam no gráfico uma reta. A intersecção das duas retas das equações do sistema determinam a sua solução, caso exista. Abaixo a representação gráfica de três sistemas resolvidos por adição: 1º) As retas concorrentes indicam que existe um único par ordenado que é solução do sistema; portanto trata-se de um sistema possível e determinado (SPD). 2º) As retas paralelas indicam que não existe um par ordenado que seja solução do sistema.(SI). 3º)
  • 4. As retas coincidentes indicam que existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema; portanto trata-se de um sistema possível e indeterminado (SPI). Então podemos classificar assim os sistemas: Determinado - uma solução (SPD) Possível - com solução Indeterminado - Sistema infinitas soluções (SPI) Impossível - sem solução Resumo: Vamos exercitar! 1. Resolva cada sistema linear usando o método da adição, classifique-os quanto ao seu número de soluções e faça a representação gráfica: a. b. c. Desafio: (UERJ-2004) um comerciante deseja totalizar a quantia de R$ 500,00 utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais. Nesse caso, qual a quantidade de cédulas de cinco reais que o comerciante precisará?