Dokumen tersebut merupakan materi pengantar tentang vektor yang mencakup pengertian vektor dan skalar, notasi vektor, penyajian vektor, operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, serta aplikasi vektor pada konsep dot product dan triple product.

1. VEKTOR
Mata Kuliah : Matematika Elektro
Oleh : Warsun Najib
Jurusan Teknik Elektro FT UGM

2. Warsun Najib, 2005 2

3. Warsun Najib, 2005 3
1. Vektor di Ruang 2
 Besaran Skalar dan Besaran Vektor
 Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar
(panjang/nilai)
 Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa
 Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah
 Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan
magnet, medan listrik
 Notasi Vektor
 Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.
 Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).
 Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka
ditulis dengan lambang u = AB
 Notasi u dibaca “vektor u”

4. Warsun Najib, 2005 4
Penyajian Vektor
 Vektor sbg pasangan bilangan
 u = (a,b)
 a : komponen mendatar, b : komponen vertikal
 Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j
 u = ai + bj
 Panjang vektor u ditentukan oleh rumus






=
b
a
u
22
|u| ba +=

5. Warsun Najib, 2005 5
Kesamaan Vektor
 Dua buah vektor dikatakan sama besar bila
besar dan arahnya sama.
 Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)
 Jika u = v, maka
 |u| = |v|
 arah u = arah v
 a=c dan b=d

6. Warsun Najib, 2005 6
a b
Dua vektor sama,
a = b
a b
Dua Vektor
mempunyai besar
sama, arah
berbeda
a b
Dua vektor arah
sama, besaran
beda
a
b
Dua Vektor besar
dan arah berbeda

7. Warsun Najib, 2005 7
Penjumlahan Vektor
 Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan
aturan jajaran genjang
 Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
v
u w = u + v
w = u + v
u
v
=u






+
+
=





+





=+






=





=
db
ca
d
c
b
a
vu
d
c
vdan
b
a
u

8. Warsun Najib, 2005 8
Conoth Penggunaan Penjumlahan Vektor
 Gambar 154 hal 404 Buku Advance
Engineering Mathematic

9. Warsun Najib, 2005 9
Elemen Identitas
 Vektor nol ditulis 0
 Vektor nol disebut elemen identitas
 u + 0 = 0 + u = u
 Jika u adalah sebarang vektor bukan nol,
maka –u adalah invers aditif u yang
didefinisikan sebagai vektor yang memiliki
besar sama tetapi arah berlawanan.
 u – u = u + (-u) = 0

10. Warsun Najib, 2005 10
Pengurangan Vektor
 Selisih dua vektor u
dan v ditulis u – v
didefinisikan u + (-v)
 Dalam bentuk
pasangan bilangan
v
u
w = u - v -v
u






−
−
=





−





=−






=





=
db
ca
d
c
b
a
vu
d
c
vdan
b
a
u

11. Warsun Najib, 2005 11
Perkalian Vektor dengan Skalar
 mu adalah suatu vektor
dg panjang m kali
panjang vektor u dan
searah dengan u jika
m > 0, dan berlawanan
arah jika m < 0.
u
2u
{ }






=





=
∈





=
mb
ma
b
a
mmumaka
realbilanganmdan
b
a
uJika
:
,

12. Warsun Najib, 2005 12
Sifat-Sifat Operasi Vektor
 Komutatif  a + b = b + a
 Asosiatif  (a+b)+c = a+(b+c)
 Elemen identitas terhadap penjumlahan
 Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga
berupa vektor
 Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|
 1u = u
 0u = 0, m0 = 0.
 Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0

13. Warsun Najib, 2005 13
Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)
 (mn)u = m(nu)
 |mu| = |m||u|
 (-mu) = - (mu) = m (-u)
 Distributif : (m+n)u = mu + nu
 Distributif : m(u+v) = mu + mv
 u+(-1)u = u + (-u) = 0

14. Warsun Najib, 2005 14
Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan
Pengurangan
22
)()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
a
vu
d
c
vdan
b
a
uJika
nPenguranga
−+−=−






−
−
=





−





=−






=





=
22
)()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
a
vu
d
c
vdan
b
a
uJika
nPenjumlaha
+++=+






+
+
=





+





=+






=





=

15. Warsun Najib, 2005 15
Menghitung Besar Vektor Hasil
Penjumlahan dan Pengurangan
θcos||||2|||||| 22
vuvuvu ++=+u + v
u
v
θ
θcos||||2|||||| 22
vuvuvu −+=−
u
v
u-v
θ

16. Warsun Najib, 2005 16
Menentukan Arah Vektor Hasil
Penjumlahan dan Pengurangan
npenjumlahahasilrarah vekto:
sin
||
)sin(
||
sin
||
β
ββαα
vuvu
=
−
=
+
u + v
u
v
α
u
v
u-v
α
β
npengurangahasilrarah vekto:
sin
||
)sin(
||
sin
||
β
βαβα
vuvu
=
−
=
−
β

17. Warsun Najib, 2005 17
Vektor Posisi
 OA = a dan OB = b
adalah vektor posisi.
 AB = AO + OB
 = OB – OA
 = b – a
X
Y
0
A
B
b
a

18. Warsun Najib, 2005 18
Dot Product (Inner Product)
 Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua
vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan
cosinus sudut antara keduanya.
γcos|||| baba =•
 Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2],
maka :
332211 ccbababa ++=•
 a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o
}
 a•b = 0 jika {γ| γ = 90o
}
 a•b < 0 jika {γ| 90o
< γ< 180o
}

19. Warsun Najib, 2005 19
Vektor Ortogonal
 Teorema
 Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol
adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling
tegak lurus
 Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0,
dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.
 Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.
 Untuk vektor bukan-nol
 a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0  γ = 90o
= π/2

20. Warsun Najib, 2005 20
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot
Product
 Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
bbaa
ba
ba
ba
••
•
=
•
=
||||
cosγ

21. Warsun Najib, 2005 21
Contoh Perkalian Dot Product
 a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]
 Hitung sudut antara dua vektor tsb

22. Warsun Najib, 2005 22
Applications of Vector Product
Moment of a force
 Find moment of force P
about the center of the
wheel.
|P|=1000 lb
30o
1,5 ft
]1299,0,0[
500866
5.10
00
0500866
05.10
)5,1titikpadarodapusat(]0,5.1,0[
]0,500,866[
]0,30sin1000,30cos1000[
−=++==×=
=−=
=
°°=
kji
kji
prm
yr
P
Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).

23. Warsun Najib, 2005 23
Scalar Triple Product
shgpertama,brsmnrt3ordedeterminanekspansimrpkIni
,,vac)(ba
]v,v,[vvcbandaikanc)(bac)b(a
sebagaiandidefinisk)(ditulis
],,[],,,[,],,[
vektortigadariproducttripleScalar
21
21
3
13
13
2
32
32
1
332211
321
321321321
cc
bb
a
cc
bb
a
cc
bb
a
vavava
cba
ccccbbbbaaaa
+







−−=
=•=ו
==×ו=
===
321
321
321
c)(bac)b(a
ccc
bbb
bbb
=ו=

24. Warsun Najib, 2005 24
Scalar Triple Product
Geometric representation
 a,b,c vektor
 β sudut antara (bxc)
dan a
 h tinggi parallelogram
b
||luasmempunyaicdanbsisidgalasgenjangjajaran
cos||
cos|||||)(|
)(
cbarea
hheighta
cbacba
cbaBesar
×
=
×=ו
ו
β
β
c
b x c
a
β h

25. Warsun Najib, 2005 25
Referensi
 Advanced Engineering Mathematic, chapter 8