El documento presenta varios ejemplos de cálculo de probabilidades utilizando distribuciones como binomial, normal y gamma. Se calculan probabilidades de diferentes escenarios como sacar una carta o alumno en particular, solicitar un préstamo por cierta cantidad, tiempo de viaje al trabajo y costo de universidad. En todos los casos se utilizan fórmulas como la de probabilidad acumulada y tablas z para determinar las probabilidades requeridas.

2. Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la probabilidad de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111
° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darles un premio, pero la
maestra los seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la probabilidad de que salga el alumno
numero 16?
° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.
P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16.
P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.9375
Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento de sacar alguno de ellos
¿que probabilidad hay para que pueda salir premiado el boleto número 342?
° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342.
P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.99707

3. "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar
cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo
existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz.
P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener cruz.
P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se responde declarando
“verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el 75% de los casos la respuesta
correcta es “verdadero” y decide responder al examen tirando dos monedas, pone “falso” si
ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si al menos hay una cruz. Se desea saber
qué probabilidad hay de que tenga al menos 14 aciertos. Hay que proporcionarle a Epidat 3.1
los parámetros de la distribución y el punto k a partir del cual se calculará la probabilidad. En
este caso n=20, p=0,75 y el punto k=14.
Resultados con Epidat 3.1
Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretas Binomial (n,p)
n: Número de pruebas 20 p: Probabilidad de éxito 0,7500 Punto K 14
Probabilidad Pr[X=k] 0,1686
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828
Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172
Media 15,0000
Varianza 3,7500
La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertos se sitúa en 0,61.

7. Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la probabilidad de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111
° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darles un premio, pero la
maestra los seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la probabilidad de que salga el alumno
numero 16?
° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.
P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16.
P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.9375
Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento de sacar alguno de ellos
¿que probabilidad hay para que pueda salir premiado el boleto número 342?
° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342.
P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.99707

8. "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar
cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que
salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados
posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una
cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya
que cumple todos los requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz.
P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener cruz.
P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
Una población normal tiene una media de 80
una desviación estándar de 14.0 µ = 80 σ
= 14 z
a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0
p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90
Probabilidad μ
acumulada.
z = 0.7611
z = 0.3594
p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017
b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.

9. p(x ≤ 75)
Probabilidad
acumulada.
z 0.3594
p(x ≤ 75) = 0.3594
75 80
μ
c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0
p (55 ≤ x ≤ 70)
Probabilidad
acumulada.
z = 0.2389
z = 0.0367
p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022 55 70 80
μ
Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en
Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de
$70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió
una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:
µ= $70,00
σ =$20,0 z
a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?
p(x ≥ 80,000)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.6915
p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085
70000 80000
μ
b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?

10. p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.6915
–
z = 0.4013 65000 70000 80000
μ
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902
c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.
p(x ≥ 65,000)
Probabilidad
acumulada.
– 0.4013
z =
p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987
65000 70000
μ
Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de
250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de
24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de
Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que
la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York
tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación
estándar es de 7.5 minutos.
µ = 38.3 min. σ = 7.5 min. z
a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen
menos de 30 minutos?
p( x ≤ 30)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.1335
p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3
μ
b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?

11. p(30 ≤ x ≤ 35)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.3300
–
z = 0.1335
30 35 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 =
19.65% z
c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40
minutos?
p(30 ≤ x ≤ 40)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.5910
0.1335
–
z =
30 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75%
Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond,
Virginia, tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y
una desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer
niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de
que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles
de inventario?
1 - 0.0500 = 0.9500
Valor z = 1.65
– 5% ó 0.0500
z 1.65
X=
x = 1,571.25 1,571.25

12. En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad
privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la
distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de
probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El
95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de
¿Qué cantidad?
– 95% ó 0.9500
z 1.64
X=
x = 27,462. 27,462
75
µ = 20,082 z
σ = 4,500
Probabilidad Valor
acumulada. de z
95% = .9500 =
La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está
interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de
Poisson de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido
hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con
parámetros a= n lambda(escala) y p=n (forma). Se denota
Gamma(a,p).
Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de
la duración de elementos físicos (tiempo de vida).
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de
memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad,
mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta
médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).

13. El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de
una hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del
segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a p)
a : Escala 60000
p : Forma 20000
Punto X 10000
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente
es 0,98.
Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una
cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros
a=0,81 y p=7,81, calcúlese: 1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p) a : Escala 0,8100 p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente,10 años.

16. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo.
Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado
cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión
deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:
520 521 511 513 510 µ=500 h
513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%
510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 S=12.07
SOLUCIÓN.
t= x -μ
SI n α = 1- Nc = 10%
v = n-1 = 24
t = 2.22
Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.

17. El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10 días. Además, ha comprobado que
uno de cada 10 días en los que pone el despertador acaba no levantándose a tiempo de dar su
primera clase, mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida poner el despertador, llega a
tiempo adar su primera clase.
(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.
(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primera clase?
Solución: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos
realizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo en
base a los siguientes sucesos.
(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:
O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador
T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.
Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A continuación
traducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan
en el enunciado.
P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .
(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden que
calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar la
formulas de la probabilidad total, de donde tenemos que:
P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).
En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado,
sin embargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que
P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se puede escribir
como: P(T¯) = + =0.69

18. La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=10 mm y desviación s=1
mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la longitud media del
tornillo sea inferior a 20.5 mm:
P (μ<20.5)
Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertad
T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5
P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)
P (T<2.5) = 0.9902
P (μ<20.5)=0.9902
La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es
del 99.02%
Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:
1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.
2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.
Solución.
1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:
S [W · w0=95] = 0=95
Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:
- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.
- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso: 0=95=
- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta cruzarnos en el
punto w0=95.
Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será el valor:
w0=95 = 2=3534

19. Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera columna,
llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la primera fila la
llegaremos al valor 0.95 (probabilidad acumulada).
Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que van
desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos que realizar la siguiente
consideración:
S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]
Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:
w0=25 = ¡w0=75
Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]
Por tanto, buscando en la tabla con los datos:
Grados de libertad: 3
Cola de probabilidad: 0.75
Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649
2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso anterior, pero
buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:
w0=95 = 1=6973
Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828
Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01
Solución.
Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que:
df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)
df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)
0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)
El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado.
Por tanto: I9>7; 099 = 6=840