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Diseño canónico control automatico Document Transcript

  • 1. Notas de ClaseControl Automático 2 Julio H. Braslavsky jbrasla@unq.edu.ar 10 de julio de 2000
  • 2. ResumenEstas notas son una transcripción de las transparencias usadas para las clases de Control Automático 2dadas en el cuatrimestre de otoño de 2000. No pretende ser un apunte completo para el curso, sino unaguía detallada para el estudio del material citado como biliografía recomendada, en el cual se basa.
  • 3. Índice General1 Introducción 4 1.1 Introducción a Control Automático 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Representación Externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Representación Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Sistemas Estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Panorama de la Materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Bibliografía y Material de Estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Cursado y Regularización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Calendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Descripción Matemática de Sistemas 8 2.1 Una taxonomía de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Sistemas lineales estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.1 Representación entrada-salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.2 Representación en Espacio de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Representación en diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.6 Sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6.1 Descripción entrada-salida de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6.2 Representación en Espacio de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Herramientas de Álgebra Lineal 19 3.1 Vectores y Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Bases y Ortonormalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.1 Norma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.2 Ortonormalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Ecuaciones Lineales Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4 Transformaciones de Similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5 Forma Diagonal y Forma de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.5.1 Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.5.2 Forma Companion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.6 Funciones de Matrices Cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.6.1 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.6.2 Polinomio mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.6.3 Funciones matriciales no necesariamente polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.6.4 Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.6.5 Diferenciación e Integración Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.6.6 La Exponencial Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.7 Ecuación de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.8 Formas Cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.8.1 Matrices definidas y semi-definidas positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.9 La Descomposición en Valores Singulares (SVD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.10 Normas de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1
  • 4. Índice General 2 3.11 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 39 4.1 Solución de Ecuaciones de Estado Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.1 Comportamiento asintótico de la respuesta a entrada nula . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.2 Discretización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 Ecuaciones de Estado Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2.1 Equivalencia a estado cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2.2 Parámetros de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3 Formas Canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3.1 Forma canónica modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3.2 Forma canónica controlable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3.3 Forma canónica del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4 Realizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4.1 Realización Mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.4.2 Sistemas Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5 Solución de Ecuaciones de Estado Inestacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5.1 Matriz Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.5.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.6 Ecuaciones Inestacionarias Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.7 Realizaciones de Sistemas Inestacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.8 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 Estabilidad 58 5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.2 Estabilidad Entrada-Salida de Sistemas Estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.2.1 Representación externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.2.2 Caso MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2.3 Representación interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2.4 Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3 Estabilidad Interna de Sistemas Estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3.1 Sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.4 El Teorema de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.5 Estabilidad Interna de Sistemas Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.6 Estabilidad de Sistemas Inestacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.6.1 Estabilidad entrada/salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.6.2 Estabilidad interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.6.3 Invariancia frente a transformaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 Controlabilidad y Observabilidad 727 Especificaciones y Limitaciones de Diseño 73 7.1 Sensibilidad y Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.1.1 Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.1.2 Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.2 Funciones de Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.3 Especificaciones de la Respuesta en Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.4 Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.4.1 Estabilidad Robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.4.2 Desempeño robusto . . . . . . . . . . . . . . §¥£  ¡ ¦ ¤¢ §¥¢   ¨ ¦¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.5 Restricciones algebraicas en y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.6 Especificaciones de diseño en la respuesta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7.7 Restricciones en la Respuesta al Escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.7.1 Efecto de ceros y polos en el eje imaginario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
  • 5. Índice General 3 7.8 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878 Realimentación de Estados y Observadores 89 8.1 Panorama del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.2 Nota Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.3 Realimentación de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.3.1 Otra receta para calcular . . . . . . . . . . . . . . . © . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.4 Estabilización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.5 Regulación y Seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.5.1 Seguimiento Robusto: Acción Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.6 Observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.6.1 Una primer solución: Observador a lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.6.2 Una solución mejor: Observador a lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.6.3 Observador de orden reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.7 Realimentación de estados estimados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.8 Realimentación de estados — caso MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.8.1 Diseño Cíclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.8.2 Diseño via Ecuación de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8.8.3 Diseño Canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.9 Observadores — MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.9.1 Observador MIMO de orden reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.9.2 Nota Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.10 Consideraciones de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.10.1 Dificultades de la realimentación de ganancia elevada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.10.2 Resumen del proceso de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.11 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129 Introducción al Control Óptimo 114 9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 9.1.1 El Principio de Optimalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 9.1.2 Nota Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 9.2 Control LQ discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 9.2.1 Transición "! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 9.2.2 Transición "! %$ # . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9.2.3 Transición . . . . . . ")(& . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9.3 Control LQ en tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 9.4 Control LQ de Horizonte Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 9.5 Estimadores Óptimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9.5.1 Modelos de sistemas con ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9.5.2 Filtro de Kalman discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 9.6 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
  • 6. Capítulo 1Introducción1.1 Introducción a Control Automático 2Esta materia es un curso avanzado en sistemas lineales y técnicas de control, que introduce la representa-ción y el diseño de sistemas en dominio temporal. Los sistemas a los que nos referiremos a lo largo de la materia son representaciones matemáticas desistemas físicos, y el tipo de representación considerada son las ecuaciones en variable de estado. En general, vamos a asumir que el modelo del sistema físico está disponible. Es decir, no vamos aprofundizar en la obtención de este modelo, que puede hacerse utilizando técnicas de modelado a partir deleyes físicas (como en Procesos y Máquinas), o a través de estimación paramétrica (como en Identificación).1.1.1 Representación ExternaA partir de la propiedad de linearidad, un sistema puede describirse mediante la ecuación integral SR(PIH(FCC¢ 97532¢ 0 1 Q ¦ E¢ G¦ ED1 8 6 4 ¦1 (1.1) A B 8@ G 0La ecuación (1.1) describe la relación entre la señal de entrada y la señal de salida , ambas funciones, en 1general vectoriales, de la variable real , el tiempo. Este tipo de representación es entrada-salida o externa, y el sistema en sí está descripto como un ope- Grador, denotémoslo , que mapea la función en , T 0 0 XG VT W U G 4 0 T bc1SQR¦(P¢IGH¦(FDCC¢ 8 6`YF2¢ 0 E E 1 4 ¦1 Aa 8@ GPara cada posible señal de entrada , el operador “computa” la salida T 0 a través de la integral (1.1), queestá definida por la función , intrínseca al sistema. A1.1.2 Representación InternaLa descripción externa (1.1) vale para sistemas a parámetros distribuidos (como las líneas de transmisión deenergía eléctrica). Cuando el sistema es a parámetros concentrados, entonces también puede describirsepor ecuaciones del tipo 3CrHF2qgiF2¢ e F2"g£F2¢ d e ¦1¢ G¦1¢ p h ¦1 ¦1¢ f 4 ¦1 (1.2) b(¦F2IHF2xwSF2¢ e 3Cut532¢ 0 1¢ G¦1¢ v h ¦1 ¦1¢ s 4 ¦1 (1.3)Notar que la ecuación (1.2) es un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, mientras que laecuación (1.3) es un sistema de ecuaciones algebraicas. Conforman lo que se conoce como representacióninterna de sistemas lineales. e Como el vector se denomina el estado del sistema, el conjunto de ecuaciones (1.2), (1.3) se denominanecuación en espacio de estados, o simplemente, ecuación de estado. 4
  • 7. 1. Introducción 51.1.3 Sistemas EstacionariosSi el sistema es lineal, además de ser a parámetros concentrados, estacionario, entonces las ecuaciones(1.1), (1.2) y (1.3) se reducen a 1 C¢ 8 6 532¢ 0 4 ¦1 iQ (PIH(E 1 ¦ E¢ G¦ y (1.4) h ¦ 1A f 4 ¦ 1 32¢IGBpwSF2¢ e g£F2¢ d e ¦1 (1.5) b(F12IG€g(F2¢ e t532¢ 0 ¦ ¢ v h ¦1 s 4 ¦1 (1.6)Para los sistemas lineales estacionarios es posible aplicar la transformada de Laplace, que es una herra-mienta importante en análisis y diseño (Control Automático 1). Aplicando la transformada de Laplace a (1.4)obtenemos la familiar representación §¥I  G §¥¢   5§¥¢   0 ¦ ¤¢ ¦ ¤ 4 ¦¤ (1.7) „C31C¢ ƒq‚4B§¥¢   ¦ ¦¤ Adonde la función es la función o matriz transferencia del sistema. Ambas (1.4) y (1.7) sonrepresentaciones externas; (1.4) en el dominio temporal, y (1.7) en el dominio frecuencial. A A1.2 Panorama de la Materia 1. Introducción 3.9. Formas cuadráticas y matrices definidas positi- vas 2. Descripción Matemática de Sistemas 3.10. Descomposición en valores singulares 3. Herramientas de Álgebra Lineal 3.11. Normas de matrices 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realiza- 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones ciones 4.1. Solución de ecuaciones de estado estaciona- 5. Estabilidad rias 4.2. Cambio de coordenadas 6. Controlabilidad y Observabilidad 4.3. Realizaciones 7. Especificaciones y Limitaciones de Diseño 4.4. Sistemas lineales inestacionarios 8. Realimentación de Estados y Observadores 5. Estabilidad 9. Introducción al Control Óptimo 5.1. Estabilidad entrada-salida 2. Descripción Matemática de Sistemas 5.2. Estabilidad interna 5.3. Teorema de Lyapunov 2.1. Una taxonomía de sistemas 5.4. Estabilidad de sistemas inestacionarios 2.2. Sistemas lineales 2.3. Sistemal lineales estacionarios 6. Controlabilidad y Observabilidad 2.4. Linealización 6.1. Controlabilidad 2.5. Sistemas discretos 6.2. Observabilidad 3. Herramientas de Álgebra Lineal 6.3. Descomposiciones canónicas 6.4. Condiciones en ecuaciones en forma de Jordan 3.1. Vectores y matrices 6.5. Ecuaciones de estado discretas 3.2. Bases y ortonormalización 6.6. Controlabilidad y muestreo 3.3. Ecuaciones lineales algebraicas 6.7. Sistemas inestacionarios 3.4. Transformaciones de similaridad 3.5. Forma diagonal y forma de Jordan 7. Especificaciones y Limitaciones de Diseño 3.6. Funciones matriciales 7.1. Funciones de sensitividad 3.7. Ecuación de Lyapunov 7.2. Especificaciones de diseño 3.8. Algunas fórmulas útiles 7.3. Limitaciones en la respuesta temporal
  • 8. 1. Introducción 6 7.4. Limitaciones en la respuesta frecuencial 8.7. Realimentación de estados estimados — Caso MIMO 8. Realimentación de Estados y Observadores 8.1. Realimentación de estados 9. Introducción al Control Óptimo 8.2. Regulación y seguimiento 9.1. El principio de optimalidad 8.3. Observadores 9.2. Regulador óptimo cuadrático 8.4. Realimentación de estados estimados 8.5. Realimentación de estados — Caso MIMO 9.3. Estimador óptimo cuadrático 8.6. Observadores — Caso MIMO 9.4. Control óptimo cuadrático Gaussiano1.3 Bibliografía y Material de EstudioEl programa sigue principalmente los libros (en inglés, sorry!) 1. Chi-Tsong Chen. Linear System Theory and Design. Oxford University Press, 3rd edition, 1999. 2. John S. Bay. Fundamentals of Linear State Space Systems. WCB/McGraw-Hill, 1999. Otros libros recomendados: 3. Wilson J. Rugh. Linear System Theory. Prentice Hall, 2nd edition, 1995. 4. T. Kailath. Linear Systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1980. 5. E.D. Sontag. Mathematical control theory. Deterministic finite dimensional systems. Springer-Verlag, 2nd edition, 1998.1.4 Cursado y RegularizaciónRegularización: La materia se regulariza aprobando los dos parciales y los trabajos prácticos con un pro- medio de por lo menos 60%. De ser necesario, habrá un parcial recuperatorio.Aprobación: La materia se aprueba en el examen final, consistente de dos partes: práctica y coloquio. Para regulares, la práctica cubre los capítulos no incluídos en los trabajos prácticos y parciales. No regulares (libres) rinden práctica sobre toda la materia. El coloquio es no promocionable y cubre toda la materia. El promedio de regularización contribuye a la nota del examen final en la siguiente proporción: Parciales: 40% Trabajos Prácticos: 20% Práctica Final: 20% Coloquio Final: 20%1.5 Calendario L UNES M ARTES M IÉRCOLES J UEVES V IERNES Mar 6 Clase 1 7 8 Clase 2 9 10 §1 §2 13 Clase 3 14 15 Clase 4 16 17 §2 §2 20 Clase 5 21 22 Clase 6 23 24 §3 §3
  • 9. 1. Introducción 7 L UNES M ARTES M IÉRCOLES J UEVES V IERNES 27 Clase 7 28 29 Clase 8 30 31 §3 §3 Abr 3 Clase 9 4 5 Clase 10 6 7 §4 §4 10 Clase 11 11 12 Clase 12 13 14 §4 §4 17 Clase 13 18 19 Clase 14 20 21 §5 §5 Jueves santo Viernes santo 24 Clase 15 25 26 Clase 16 27 28 Mesas de abril Mesas de abril Mesas de abril Mesas de abril Mesas de abril §5 §6 May 1 2 3 4 5 D. del Trabajador Primer parcial 8 Clase 17 9 10 Clase 18 11 12 §6 §6 15 Clase 19 16 17 Clase 20 18 19 §6 §7 22 Clase 21 23 24 Clase 22 25 26 §7 §7 29 Clase 23 30 31 Clase 24 Jun 1 2 §7 §8 5 Clase 25 6 7 Clase 26 8 9 §8 §8 12 13 14 Clase 27 15 16 Segundo parcial §8 19 Clase 28 20 21 Clase 29 22 23 §8 §9 26 Clase 30 27 28 Clase 31 29 30 §9 §9 Jul 3 Clase 32 4 5 Clase 33 6 7 §9 §9 Entrega de Actas
  • 10. Capítulo 2Descripción Matemática de Sistemas2.1 Una taxonomía de sistemas Uno de los problemas más simples en robótica es el control de laposición de un brazo simple de robot usando un motor colocado en la Gjunta. Matemáticamente, este sistema no es más que un péndulo controladopor torque. Asumiendo que la fricción es despreciable, que el brazo es rígido, y …que toda la masa del brazo está concentrada en el extremo libre, aplican- …do las leyes de Newton, el ángulo respecto de la vertical está dado porla ecuación diferencial R3Cr‚£F2‘… – H”X† ’3C‘† b ¦ 1 ¢ G 4 ¦ 1 ¢ • “ ‡ h ¦ 1 ¢ ‰… (2.1) ‡ ˆ†El brazo simple de robot es un ejemplo de lo que se llama un sistemadinámico, causal, de tiempo continuo, finito-dimensional, no lineal y esta-cionario. Figura 2.1: Péndulo Dinámico se refiere a que las variables que definen el estado del brazo 1 … d… Gen un instante dado, y , no dependen en forma instantánea del torque de control . Si por ejemplo se …aplica un valor de torque constante, tomará un tiempo no nulo en alcanzar su valor de equilibrio. Un sistema no dinámico es estático, y en él la salida de- G pende en forma instantánea de la entrada. Un ejemplo es un 0 amplificador electrónico donde efectos capacitivos e inductivos son despreciables. Los sistemas estáticos suelen llamarse también sin memo- ria. Un sistema es causal o no anticipativo si la salida en un Figura 2.2: Amplificador instante dado depende de los valores presentes y pasados de la entrada, y no de valores futuros. Sistemas anticipativos o predictivos pueden “adivinar” entradas futuras. Ningún sistema físico real esanticipativo. La salida actual de un sistema causal depende del pasado de la entrada. ¿Pero cuánto tiempo atrástienen efecto valores pasados de la entrada? Estrictamente, habría que volver atrás en el tiempo hasta , — ˜lo que no es muy práctico. El concepto de estado salva este problema. ¦ y 2¢ e 1 y1 y1 El estado F2rG ¦1¢ de un sistema en el instante es la información en que junto con la entrada para y t£1 1 ™ determina unívocamente la salida 3C¢ 0 ¦1 para todo y ‚£1 1 ™ . ¦ 2¢ e 1 y1 … El estado d… y resume toda la historia del sistema desde y1 hasta : conociendo el valor de ángulo y — ˜ Gvelocidad angular en , podemos predecir la respuesta del brazo de robot a valores de torque para todoy ‚£1 1 ™ . 8
  • 11. 2. Descripción Matemática de Sistemas 9 Podemos pensar que la entrada para y du1 1 ™ y las condiciones iniciales ¦ y 2¢ e 1 determinan la evolución delsistema para y tY1 1 ™ ¦ y 2¢ e 1 f e t”SHF2¢ e ¦ 1 ¢ gBy 1 ™ 1 D¦1 y 1‚™£1iD232IG 3C¢ e ¦1 El ejemplo del brazo de robot es finito-dimensional, puesto que el estado 1 en un instante cualquierade tiempo puede ser caracterizado completamente por un número finito de parámetros (en este caso, dos:ángulo y velocidad angular). Un ejemplo de sistema infinito-dimensional aparece en el problema de regulación de la temperatura delaula por medio de acondicionadores de aire. La temperatura aparece como una distribución en todo elvolumen del aula, y su caracterización completa requiere un número infinito de datos (la temperatura entodos los puntos del aula). 1 El término en tiempo continuo se refiere al hecho de que la variable es continua, en contraste al casode un sistema definido por una ecuación diferencia b e ˜gh e 4 7h e G p f j §ih ih2.2 Sistemas LinealesUn sistema se llama lineal si cumple con el principio de superposición, es decir, dados dos pares de condi-ciones iniciales y entradas, ¦ y 2¢ §e 1 k t”SHF2¢ e 1 ™ 1 D¦1 k up%n4 D oDj ¦1 f e y y 1‚™£1lDHF2¢ k G para m (2.2)tenemos que e ¦ y 2¢ r e S¦ y 2¢ q 1 h 1 e t”SHF2¢ e ’3C¢ %e G f By 1 ™ 1 D¦1 r h ¦1 q t£iHF2¢ r wSF2¢ q 1 ™ 1 D¦1 G h ¦1 (2.3) y s ¦ y C¢ k e 1 t”SHF2¢ e s 1 ™ 1 D¦1 k b v$tus s f e y y ‚£SH3C¢ k G 1 ™ 1 D¦1 (2.4) La propiedad (2.3) es de aditividad, y la propiedad (2.4) de homogeneidad. La combinación de ambas esla propiedad de superposición La propiedad de aditividad permite considerar la respuesta del sistema como la superposición de larespuesta a condiciones iniciales y excitación aplicadas por separado. ¦ y C¢ e 1 y ‚£SHF2¢ w e 1 ™ 1 D¦1 ¦1¢ f e { y 1t™£1S~}w4£F2rG D By tYlHF2¢ ‘e ’3C¢ §e YF2¢ e e 1 ™ 1 D¦1 x h ¦1 w 4 ¦1 yzzz }`5¦ y C¢ e 4 1 y 1t™£1lD232¢ x e z ¦1 1 ™ 1 D¦1¢ f e zzz y ”iHF2rG z| La respuesta de un sistema lineal es la superposición de su respuesta libre (a condi- ciones iniciales, sin excitación) y su respuesta forzada (a excitación, con condiciones iniciales nulas — relajado). Los sistemas no lineales, como el brazo de robot, no cumplen con el principio de superposición.2.3 Sistemas lineales estacionariosUn sistema es estacionario si para cada par condiciones iniciales y entrada ¦ y C¢ e 1 ‚£i232¢ e 1 ™ 1 D¦1 ¦1¢ f e y y 1‚™£1SDHF2rG (2.5)
  • 12. 2. Descripción Matemática de Sistemas 10y cada v t ¨ , tenemos que ¦ ¨ h y C¢ e 1 ¨ h y t£SH¦ ¨ 2¢ e 1 ™ 1 D 1 b ¨ h y ‚£SHF2¢ r `(¦ ¨ 2rG €e 1 ™ 1 D¦1 G h 1¢ f (2.6) Es decir, el sistema responde da la misma respuesta, corrida en tiempo, si se le aplica la misma entradacorrida con iguales condiciones iniciales. Un sistema que no cumple esta propiedad se dice inestacionario.2.3.1 Representación entrada-salidaPor superposición se deduce la representación de sistemas lineales mediante la integral de convolución €IR(PIH(FCC¢ ‡ V7532¢ 0 D E Q ¦ E¢ G¦ ED1  6 4 ¦1 (2.7) ‚ R3ƒ2¢ ‡ ¦ ED1 F2¢ ¦1 Edonde es respuesta al impulso: la salida del sistema a un impulso unitario „ en el instante(Chen 1999). La causalidad implica que `5(FC2¢ ‡ } 4 ¦ ED1 u£1 E † causalidad … para ,y como las condiciones iniciales se asumen nulas, (2.7) se reduce a €IR(PIH(FCC¢ ‡ 8 7532¢ 0 b E Q ¦ E¢ G¦ ED1 6 4 ¦1 8@Si el sistema tiene entradas y salidas, entonces hablamos de la matriz de respuesta al impulso ˆ ‡ t R3ƒ2¢ ¦ ED1ŒH”v‹Š‰ . A Si el sistema es estacionario entonces para cualquier se cumple ¨ 2¢ ‡ Y¦ ¨ 3D ¨ R2¢ ‡ 5(3ƒ2¢ ‡ 1 4 h E h 1 4 ¦ ED1 RŽpD E b ¦} ŽpcE 2¢ ‡ ¦ }D 1 1 2¢ ‡ ¦ (EAsí podemos redefinir simplemente como . La representación entrada-salida del sistemase reduce a 2IH(¢ ‡ 8 7IR(PIH(E C¢ ‡ 8 7532¢ 0 1¢G¦ E 6 4 E Q ¦ E¢ G¦ 1 6 4 ¦1 €rQ (E b E ¦ y y w£F2¢ ‡ } 4 ¦1 9”1 } †La condición de causalidad para un sistema lineal estacionario se reduce a para .2.3.2 Representación en Espacio de EstadosTodo sistema lineal finito-dimensional puede describirse mediante ecuaciones de estado (EE) 3CrHF2qgiF2¢ e F2"g£F2¢ d e ¦1¢ G¦1¢ p h ¦1 ¦1¢ f 4 ¦1 b(¦F2IHF2xwSF2¢ e 3Cut532¢ 0 1¢ G¦1¢ v h ¦1 ¦1¢ s 4 ¦1 jPara un sistema de orden , el vector de estados es un vector ‘ , es decir que tiene ’ B‘ ‘ variables de estado, Y‚t 32¢ e “ v ¦1 1 para cada . Si el sistema tiene entradas y salidas, entonces ‡ ˆ ‹ ‚t F2rG v ¦1¢ e ‰ ‚t 3C¢ 0 v ¦1. LasH52˜”ufvD sD pDmatrices se suelen llamar v f U “ Š “ $t de evolución Š‰ v s U “ H”$t de salida ‹ v pU ŒŠ “ t de entrada ‹Š‰ v v U ŒH”t de ganancia directa Cuando el sistema es además estacionario, entonces la representación en EE se reduce a 32IBwSF2¢ e g£F2¢ d e ¦1¢ G p h ¦1 f 4 ¦1 (F2I€g(F2¢ e t532¢ 0 b ¦1¢ G v h ¦1 s 4 ¦1 (2.8)
  • 13. 2. Descripción Matemática de Sistemas 11Aplicando la transformada de Laplace a (2.8) obtenemos   e g–Ž•¢ e §¥¢   e ¤ f 4 ¦} ¦¤ §¥I  G g’§¥¢ ¦ ¤¢ p h ¦ ¤   e t5§¥¢   0 s 4 ¦¤ D(¦§Pr  G gS§P¢ ¤¢ v h ¦ ¤de donde siguen  e e p q ‚ Yf Ž¥‚5§¥¢ ¦ — ¤¢ 4 ¦ ¤ §¥˜  G p q ‚ Yf Ž¥SŽ•¢ ¦ ¤¢ ¦ — ¤¢ h ¦ }  0 q ‚ Yf Ž¥‚5§¥¢ e p ¦ — ¤¢ 4 ¦ ¤ b(¦§P¢r  G vg™p ¦ ¤ h q ‚ Yf Ž ¥us SŽ•¢ — ¤¢ h ¦ } (2.9) ¦ §¤P¢   e §¥¢   0 ¦¤ Ž•¢ e ¦} §Pr  G ¦ ¤¢Las ecuaciones algebraicas (2.9) permiten computar F2¢ 0 F2¢ e ¦1 ¦1 y de y . Las transformadas inversas wYŽ¥¢ e } 4 ¦}dan e . Asignando vemos que la matriz transferencia del sistema es vwh™p q ‚ ¦Yf —Ž¥¢uY§¥¢   ¤ s 4 ¦¤ AEn M ATLAB las funciones tf2ss y ss2tf permiten pasar de una representación a otra.Ejemplo 2.1. Supongamos que el brazo de robot trabaja tomando objetos de distinta masa. Entonces †varía con cada objeto y tenemos que escribir (F2rt£F2‘… – H"‡ F2¢ † SF2Ž‰ … 3C¢ † b ¦1¢ G 4 ¦1¢ •“ ¦1 h ¦1¢ ¦1El sistema se convierte en inestacionario.Ejemplo 2.2. Consideremos un cohete a reacción que asciende en forma vertical de la superficie de la tierra.La fuerza de propulsión es el producto , donde yG } œ† es la velocidad relativa de escape de gases, y} 9† y G 3C¢ d † ƒš ¦1 › › pš la velocidad de variación de masa , supuestas constantes. Asumiendo la aceleración de la gravedad constante, ‡ b y G › h ‡ F2¢ † 5F2¢ ‰ ¢ 3C¢ † ¦1 4 ¦1 ¦1 š F2¢ ¢ 4 F12¢ q e¦1Como U ¦ 1 y G£h y † 4™F12¢ † , entonces ¦ . Definiendo y €™3Cd¢ d † G 4 ¦1 y •FŸ ¡ ž 3C¢ d ¢ ¦1 F2¢ ¢ 4 F2¢ e ¦1 ¦1 y tomando como salida la altura, llegamos a la representación en U rEE ¤ ¤ ¤ ¤ }`45¦Ž•¢ e D ¥ •©§ h } } h F32¢¢ q e ¦j } }} 4 F32¢¢ q dd e ¦1 ¦1 @ ª¨ « ‡ ¥ 32 r e ¤ ¥ ¦1 ¥ 32 r e ¦1 F2¢ ¢ ¦1 8 @ ª ­@¬ F2¢ q e ± } ® 4 ¦ 1 ¦1 •F2¢ r e °j ¯£F2¢ 0 ¥¦1 Figura 2.3: Cohete El sistema es lineal, de dimensión 2, e inestacionario.2.4 Representación en diagrama de bloquesEl diagrama de bloques se obtiene en forma directa de las EE.Ejemplo 2.3. El sistema ¤ ¤ ¤ ¤ F2¢ ‘e ³²˜} ¦1 q h •¦F2¢ b o 4 32¢ ‘dq e ¦1 o ¥ 1 e ¥ ¤ j r F32¢ dr e ¥¦1 ¥µ} ´ q (2.10) F12¢IGc·h F3C¢¢ q e ± ² o ® £F2¢ 0 ¦ ¶ ¥ ¦31C ¦1 re 4 ¦1tiene el diagrama de bloques de la Figura 2.4.
  • 14. 2. Descripción Matemática de Sistemas 12 ¶ o 3CrG ¦1¢ 32¢ q d e ¦1 F2¢ q e ¦1 3C¢ 0 ¦1 o ¸ o ² ~} b F2¢ dr e ¦1 F2¢ e ¦1 r ¸ ² ´ Figura 2.4: DB del sistema (2.10)2.5 LinealizaciónLa gran mayoría de los sistemas físicos son no lineales. Una clase importante de ellos se puede describirpor las ecuaciones de estado e %d£F2¢ d e ¢ ¹ 4 ¦1 e H3CrHH3C¢ D¦1¢ GD¦1 y 2¢1 y e Y¦ y 2¢ e R3ºH¦ 4 1 D ¦1D e ¢ ¢ 532¢ 0 4 ¦1 e H3CrHH3C¢ D¦1¢ GD¦1 y 2¢ 1 R3ºH¦ D ¦1D (2.11) ¹ ¢donde y son campos vectoriales no lineales, es decir, escrita en términos escalares, la componente de32¢ d e¦1 m en (2.11) es F¦H¦ y 2¢ e ”H”HH¦ y 2¢ q e HF2¢ « Hº”H”HF2¢ q ”232¢ e º”H”HF2¢ q e ¢ k n£F2¢ dk e ¦1» 1 DbbbD 1 »¦1 GDbbbD¦1 G»¦1 DbbbD¦1 ¹ 4 ¦1 b y §e 5¦ y C¢ §e k 4 1 k “ “Este tipo de sistemas se trata en detalle en Sistemas No Lineales. Una ecuación de estado lineal es una herramienta útil para describir sistemas como (2.11) en formaaproximada. El proceso de obtención de un modelo lineal a partir de uno no lineal se llama linealización. La linealización se realiza alrededor de un punto o trayectoria de operación, definida por valores nomina-les y ¼ e F2¢ ¼ e , y ¦1 32IG ¦1¢ que satisfacen (2.11), ¼ ¦ y 2¢ e 1 ¼ f e t”SHF2¢ ¼ e 1 ™ 1 D¦1 ¦ 1 ¢ gBy y 1‚™£1iD232I¼ G Nos interesa el comportamiento de la ecuación no lineal (2.11) para una entrada y estado inicial “cerca- 32”H–32IG ˆ32IG ¦1¢½G h ¦1¢ 4 ¦1¢ ½y e h y e 4 y e 3CºHG ¦1¢½ ½y enos” a los valores nominales, es decir y para y ¼suficientemente ¼pequeños para . y t”1 1 ™ 3C¢ e £F2¢ e h¦1 4 ¦1 Suponemos que la correspondiente solución permanece cercana a la nominal, y escribimos3Cº½ e¦1¢ ¼ para cada . y t£1 1 ™ En términos de la ecuación de estado no lineal (2.11) tenemos ½ y e h y e Y¦ y 2º½ e S¦ y 2¢ e 23ºH3CºHwSF2˜G H3Cº½ e SF2¢ e ŒdY32”½ d e SF2¢ d e 4 1¢ h 1 D¦1D¦1¢½G h ¦1¢ D¦1¢ h ¦1 ¢ ¹ 4 ¦1¢ h ¦1 ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼
  • 15. … •“ r – 2™† h Õ Ù 4 b … – •2“£‡ ¦ Ù h † ¢w"… “ ºl… – HCֆ … … “ ºlG Ÿ‰ … h Ø × • “ Õ rd Ø× … •“ r – H † h Ù ‰0 Ø× •“ ‡ •“Õ h … “ ºi… – 2"ˆ† … – H2ֆ r d … qG 4movimiento sonEjemplo 2.4. Consideremos el péndulo invertido sobre un carro móvil de la Figura 2.6. Las ecuaciones detrayectorias y no puntos estacionarios.ciones originales y sean estacionarias, debido a que las matrices Jacobianas se evalúan a lo largo de Notar que las EE obtenidas por linealización van a ser en general inestacionarias, aún cuando las fun- ¢ ¹ ¼ ¼ ¿ ¼ ¼ e¿ b ¦1D¦1¢ D¦1 4 ¦1¢ v D ¦1D¦1¢ D¦1 4 ¦1¢ R3ºHF2˜G H3C¢ e ¢ ¢G ¿ Y32XÔR3ºHF2˜G H3C¢ e ¢ ¢ ¿ 5F2us y ¼ ¼ ¼ , con ¼ Ó donde¦1D¦1¢ D¦1F¦HF2rG HF2¢ e ¢ ¢ £F2¢ 0 4 ¦1 ¦1 32¢ 0 F2¢ 0 YF2¦½ 0 ¦1 4 ¦1¢ D¦1 G¦1¢ v h ¦1 ¦1¢ s 4 ¦1 HF2¢ ½ H3CxgS32¢ ½ e F2u7£F2¢ ½ 0 ción lineal, de donde obtenemos la aproxima- De igual manera se expande la ecuación de salida ¦ ¦ 31ºDH31C¢rGHDH¦3C¢ e ¢ ¢ Y32¢ 0 1 4 ¦1 ¼ ¼ ¿ ¼ ¼ e¿ b ¦1D¦1¢ D¦1 4 ¦1¢ p D ¦1D¦1¢ D¦1 4 ¦1¢ (F¦HF2IG HF2¢ e ¢ ¹G ¿ ”F2˜°(F¦HF2rG HF2¢ e ¢ ¹ ¿ YF2"f donde ¼e y ` y e 5¦ y 2º½ e 232¦2HF2˜wSF2¦½ e F2"g5F2¦½ d e 4 1¢ D¦1¢½G¦1¢ p h ¦1¢ ¦1¢ f 4 ¦1¢ aproximadamente descripto por una EE lineal inestacionaria de la forma(el modelo incremental) queda Dado que ¼ ¼ la relación entre y ¼ ¼ ¼ ¦1¢½ F2º2G ¦1¢ 32”½ e D y e ”¦ y 12¢ e R3ºHF2˜G H3C¢ e %œ”3C¢ 4 D ¦1D¦1¢ D¦1 ¢ ¹ 4 ¦1 de Ì ƒÄÅ Ë CÄ ƒÄ Å Å Ì Ä Ì Ä ÊÌ Ä Ò x H”b x bb x b ¥b ƒbÄ b b b b b CbÄ b b ƒ H”ÎH”€”H͔HbÄ ÌÅ ËÅ Å Æe ¿ Ð Ë Ä b b Ë Ä Ê Ë Ä ÈÉ Å H”b xË CÄ x ƒÄ ÈÈÅ Å ¹ ¿ ÐÐ ¥xÌ ƒÄ Ä Ä Ê ÄÈ ÑÐÐÏ xÊ H”b bb ÅxÊ ƒÄ xÊ ÇÈ con respecto a , e representa el Jacobiano, o Matriz Jacobiana, del campo vectorial Ä donde la notación ¹ x ¼ ¼ e¿ ¼ ¼ ¼ ¼ ½G¦1D HHF¦rG D e ¢ G ¿ h e ¦ 1 D ¼ ¼e h ¦¦1 ¢ D ¦1 e¢ ¹ ¾ ¦1 ¢ e h ¦1 SF2¢ d e ¹ ¿ 5½ 3º˜G D ¢ ¹ ¿ ’pF2rG HF2¢ ŒdY32”½ d y volviendo a la notación vectorial, obtenemos, ‘ m Repitiendo la operación para cada DbbbDj HH””ŒÃ4 Figura 2.5: Trayectoria de operación y aproximación(2.12) « ½ G2¦3º˜¼ G D ¼ e ¢ «G ¿ ¼ ¼ qG ¿ 1D hÁÁÁ G¦1D k ¹ ¿ ”H2wh q ½ 23º˜G D e ¢ k ¹ ¿ h “ q “ e ¼ ¼ e ¿ ¼ ¼ ‘e ¿ ¼ ½ 3º˜G ¦1D D e¢ ¿ h Á Á Á ¦1D k ¹ ”2Hh q ½ e F¦rG D e ¢ k ¹ Àh ¿ ¦1 F2¢ e ¼ ¼ ¼ ¼ ¦1 F2¢ ½ e y ¼e ¦1D F¦rG D e ¢ k n£F¦D ½ gqG D ½ e h e ¢ k ¹ ¹ ¾ ¦1 G h , que queda 1 m ¦1 3C¢ e ye Especificamos la operación para la componentede y ; no se hace con respecto a la tercer variable . ealrededor de y 1 , reteniendo sólo los términos de primer orden. Notar que la expansión es en términos ¼ ¼ G Asumiendo diferenciabilidad, podemos expandir el lado derecho de esta ecuación usando series de Taylor ¦1¢ ¦1 3CrG 32¢ e13 2. Descripción Matemática de Sistemas
  • 16. 2. Descripción Matemática de Sistemas 14 … † ‡ X† Õ G Ù 0 Figura 2.6: Péndulo invertido. w4 e d 0 4 r e 0 4 q e … Ú d … 4 ¦e Û ‘HD e %d4 d e ¦G ¢¹ Û ™t e v Definiendo , , y vemos que el sistema tiene la forma , dondey v ™t G ¹ , y está dada como e ¢ q ¹ ÇÈÈÉ ÇÈÈ re ÐÐ ÏÐ Ð ÏÐ %”D ¦G ÈÉ à ­Ý c« ‚ à ­Þw « Ë Ü ª ß â ßÝÝ e ¢ r ¹ 5‘HD e %¹ 4 ¦G ¢ 4 %”DD ¦G áÅ ÞãºPÅ Ë à ­Ý « PÅ å Å ¬ ä á ß á e ¢ Ú¹ Ò %” ¦G Ò à ­Ý â lå « á Å Ý Û e ¬à ­­w « ‚ Ý ª e ¢ Û¹ %”D ¦G ‚ ß ç ßÝ áÅ ¬ æ(¬ á Å Ë à ­Ýäß ã á « Å w å Ë Ü Å á Å ã ä áÅ ¬ 1–£}g£F2¢IG `532Ž¼ … é è ¦1 } è ¦1¢ YpF2rG HF2¢ e %¹ è ¦¦1¢ D¦1 ¢} Como trayectoria de operación tomamos , , que es fácil ver que satisface ¼ p f ¹ ¼ ¼ (es un equilibrio). Las matrices y de los respectivos Jacobianos de evaluados sobre esta trayectoriason } ÇÈÈÉ j } Ð ÏÐ }} Ð ÏÐ q } ÇÈÈÉ } } â cå « –Žp˜•¢ ¹ ¿ Vf 4 ¦ }D } 4 } } } ¹ ¿ 9p G ¿ 4 b å –Žê~•¢ 4 ¦ }D } e¿ Òj Ò q} } } â ç w« å å } w å ¬ æEjemplo 2.5 ((Rugh 1995)). Volvemos al ejemplo del cohete de la clase pasada. Las ecuaciones de movi-miento eran h ‡ F2¢ † 5F2¢ ‰ ¢ 3C¢ † ¦1 4 ¦1 ¦1 (F2IG D ¦1¢ › pš F2¢ d † F2rG ¦1 4 ¦1¢donde ahora tomamos la velocidad de cambio de masa libre 32¢ † ¦1 (ejercicio en la clase anterior). 3C¢ † ˜F2¢ e F2¢ d ¢ u3C¢ r e 3C¢ ¢ uF2¢ q e ¦1 4 ¦1 Ú ¦1 4 ¦1 ¦1 4 ¦1Definiendo como una variable de estado más, y denotando F2rG ¦1¢ , , ,ytomando como una entrada independiente llegamos al modelo no lineal 3C¢ r e ¦1 ÇÈÈÉ Ï 3C¢ q d e ÉÇ ¦1 Ð ÏÐ b F12IG › š h ‡ ¦ ¢ 3C¢ 4 Ò 3C¢ r d e ¦1 Ò ¦1 Úe 3C¢ ¦dÚ e ¦1 F2rG ¦1¢ Consideramos ahora su linealización alrededor una trayectoria nominal correspondiente a un valor cons- } 7† y œÖGG 4tante de la entrada . No es difícil calcular la trayectoria nominal explícitamente mediante integra- F2¢ %e ¦1 q F2¢ e ¦1 r 32¢ Ú e ¦1ción directa, primero de , luego y finalmente . Haciendo las cuentas obtenemos r › š yG † h 1o Y3C¢ %e 4 ¦1 q ‡ 1yG 1 y G £j ‘Ø 1 y G £j h ï h ¼ í’y † (y † í ë ™’y † î í uìy ë ë 1 y G Yj ‡ Y3C¢ r ¼ e 4 ¦1 h › h 1 í (y † ë š y † 4Y3C¢ ¦¼ e ¦1 Ú b 1 y gh G 1 Por simplicidad no escribimos la dependencia temporal de y . ñ ð
  • 17. 2. Descripción Matemática de Sistemas 15Los Jacobianos necesarios son É Ï } ÉÇ }Ç j Ï } Y%”D e ¢ ¹ ¿ 4 ¦G } } b Ò e ò › š 5%”D e ¢ ¹G ¿ D Ò r Ú e %G › x Ú 4 ¦G ò e¿ } } j ¿ } š ¦32IG F2¢ Ú e 1¢ ¦1Substituyendo los valores nominales (sólo los de ¦ F12¢rG F2I‚Y32¢ ½ G 32¢ e 3C¢ e £F2¢ ½ e ¦1¢ G 4 ¦1 ¦1 y ¦1 4 ¦1 aparecen) obtenemos la EE linealizada en lasvariables incrementales y ¼n ¼ ` } ÇÈÉ j ÏÐ } ÇÈÉ ÏÐ } £F2º½ d e 4 ¦1¢ } } (F2ºHG 1 wš h b ¦1¢½ › SF2¦½ e r F1 gš h h ¦1¢ y G › x †¢ Ò yG y † Ò ¦ yG y } } j }Las condiciones iniciales para las variables incrementales están dadas por Ï } ÉÇ b Ò } ‘•¢ e –Ž•º½ e ¦ } 4 ¦ }¢ y †2.6 Sistemas discretosLa mayoría de los conceptos de EE para sistemas lineales continuos puede transladarse directamente a 1sistemas discretos, descriptos por ecuaciones diferencia. En este caso la variable temporal sólo asumevalores en un conjunto denumerable (cuyos elementos pueden “contarse” 2 ). Cuando el sistema discreto se obtiene a partir de un muestreo de un sistema continuo, vamos a considerar H”qaƒ%Öp~4 bbb o óDj óD } 4 £1 h ¨h ¨sólo el caso de muestreo regular, donde , , donde es el período de muestreo. En ¦ ¨ IG ¢ Geste caso denotamos las variables discretas (secuencias) como , etc. h Æ Œih Los conceptos de dimensión finita, causalidad, linealidad y el principio de superposición de las respuestasdebido a condiciones iniciales y entradas, son exactamente como en el caso continuo. Una salvedad: a diferencia del caso continuo, retardos puros no dan lugar a un sistema de dimensión ¨infinita si el retardo es un múltiplo del período de muestreo .2.6.1 Descripción entrada-salida de sistemas discretosDefinimos la secuencia de impulsos §ihI„ como j † 4 h 4 si } f † xihI„ † õh 4 si ôdonde y † son números enteros. Notar que en el caso discreto los impulsos son fácilmente realizables hfísicamente. G En un sistema lineal discreto toda secuencia de entrada puede representarse mediante la serie ŒÑh ö 4 G b † G §ih €ihIø † „  ‚ ÷ « D Si † ih ‡ denota la salida de una sistema discreto a una secuencia de impulsos aplicada en el instante† , entonces tenemos que † xihI„ D † Ñh ‡ ( † G † D ihI„ G †D ‡ Ñh i † (por homogeneidad) ö G †D † ihI„ D ‡ ö G b ih i † † (por aditividad) « « 2 Es decir, ponerse en correspondencia con los números naturales.
  • 18. 2. Descripción Matemática de Sistemas 16 GAsí la salida §ih 0 excitada por la entrada §ih puede representarse mediante la serie b † G † D ‡ ö 4 0 ih Œih (2.13)  ‚ ÷ «Si el sistema es causal no habrá salida antes de que la entrada se aplique, por lo que D } w4 † † h causalidad † ih ‡ … para .Para sistemas discretos causales la representación (2.13) se reduce a D † G †D ‡ ùö 4 0 ih Œih ÷ « @ùy si además tenemos estacionariedad, entonces vale la propiedad de invariancia respecto de corrimientosen el tiempo y llegamos a la representación del sistema mediante la convolución discreta b † G ùö 4 † G † ùö 4 0 xih † ‡ y xih ‡ y Œih ÷ « ÷ «2.6.2 Representación en Espacio de EstadosTodo sistema discreto lineal finito-dimensional puede describirse mediante EE (diferencia) e ŒÑh 4 7h ih e f j G gh §ih Œih p §ih e Œih 74 §ih 0 s D G gh ŒÑh §ih v ŒÑhy en el caso estacionario ˜gh e 4 7h e G p f j ŒÑh §ih ih b €wh e 74 0 G v s §ih ŒÑh §ih £€˜P¢   û 4 ¦ úEn este caso, tiene sentido hablar de funciones transferencia discretas, . La relación entre©ŒÑh ‡ función transferencia discreta y representación de estados es idéntica al caso continuo, A ·gp q ‚ Yf RPutY˜P¢   D v h ¦ — ú¢ s 4 ¦ ú Ay sirven las mismas funciones de M ATLAB ss2tf y tf2ss.2.7 Resumen ü La matriz transferencia es racional sii el sistema es lineal, estacionario y de dimensión finita. ü Las representaciones externas asumen condiciones iniciales nulas. ü Los sistemas de dimensión infinita no pueden describirse en EE. ü Mediante linealización, puede describirse el comportamiento de un sistema no lineal en forma aproxi- mada mediante un modelo en EE incremental lineal. ü La linealización se realiza alrededor de una trayectoria de operación nominal conocida, y los modelos incrementales obtenidos serán, en general, inestacionarios. ü Los sistemas discretos tienen representaciones equivalentes a las de sistemas continuos mediante û series de convolución, funciones transferencia en transformada , y EE diferencia. ü A diferencia del caso continuo, los retardos puros no necesariamente dan lugar a un sistema discreto distribuido.
  • 19. 2. Descripción Matemática de Sistemas 17 Tipo de sistema Representación interna Representación externa dim. infinita lineal ¥˜%©r§¥Fž £ ¡VS•Fž ý ¦ ¡ ¦ž ¨ ¡ ¦¤   ¢ ÿ þ ¡   @ dim. finita, lineal ©•Fž •35þ ¨¡  ¡ ž ©r%©r§¥Fž £ ¢ ¢ VS•Fž ý ¦ ¡ ¦ž ¨ ¡ ¦¤  ÿ þ ¡  ¨©•Fž %# •F5"þ ý ¡  $ ¡ ž ! @ dim. inf., lineal, est. ¥˜%©r§¥Fž £ ¡ÿ S•Fž ý ¦ ¡ ¦ž ¨ ¡ ¦¤   ¢ þ ¡   @ H%& ¨ ”ž & £ ’”ž & ý ¡ ž ¡ þ ¡ dim. fin., lineal, est. ¨ "( þ ¥˜%©r§¥Fž £ ¡ÿ S•Fž ¦ ¡ ¦ž ¨ ¡ ¦¤  ý  ¢ þ ¡   @ ¨ % "þ ý $ ! H%& ¨ ”ž & £ ’”ž & ý ¡ ž ¡ þ ¡ 2.8 Ejercicios 3C¢ 0 ¦1Ejercicio 2.1. A partir de la definición de transformada de Laplace de SQ 8 2‚ 0F2¢ 0  75§¥¢   0 1 1 )¦1 6 4 ¦¤ y §¥I  G §¥¢   ‡ 5§¥¢   0 ¦ ¤¢ ¦ ¤ 4 ¦ ¤probar que para un sistema lineal estacionario .Ejercicio 2.2. ¿Cómo se modifica el sistema del cohete si la velocidad de cambio de masa yG es 4 3CrG ¦1¢F2¢ d †¦1 ? Escribir las EE y clasificarlo.Ejercicio 2.3. Considerar un sistema consistente en un retardo puro, b (¦ ¨ 2In532¢ 0 1¢ G 4 ¦1 ¿Es dinámico, lineal, de dimensión finita, estacionario?Ejercicio 2.4. Introducir el sistema (2.10) en M ATLAB utilizando la función ss y obtener la función transfe-rencia con ss2tf. Explorar las herramientas ssdata, tfdata, zpkdata y ltiview.Ejercicio 2.5. Para la ecuación diferencial 32IG j ² £F2¢ Ú 0 ²4SF2¢ ‰ 0 ¦1¢ 4 ¦1 3 h ¦1 usar una simple identidad trigonométrica como ayuda para encontrar una solución nominal correspondente a ‚YŽ¥¢ d 0 g–Ž•¢ 0 c² – 2“ Y3CrGj 4 ¦ } } 4 ¦ } 1 • 4 ¦1¢ , , ¼. Determinar una EE linealizada que describa el comportamiento del sistemaalrededor de esta trayectoria nominal.Ejercicio 2.6. Linealizar la EE no lineal j 32¢ r r e Y3C¢ %dq e ¦1 4 ¦1 ¦ 312¢ q e 32InY3C¢ r d e ¦1¢ G 4 ¦1 d–Ž•¢ e Y‘•¢ ‘e j 4 ¦} r 4 ¦} q g£F2rG } 4 ¦1¢alrededor de la trayectoria nominal originada en ¼ ¼ ,y ¼ .Ejercicio 2.7. Para la EE no lineal ¤ ¤ q‘d e 4 F32¢¢ ¦1 ¥ ¦32 1 32¢ e 32¢ %e o 32¢ e ¦1 r ¦1 q ¦1 r ¥•F12¢rGwSF2¢ r r e SF2¢ r q e SF2¢ ‘e ¦ h ¦1 h ¦1 h ¦1 q dr e calcular las posibles soluciones constantes, a menudo denominadas estados de equilibrio, y las correspon-dientes EE linealizadas.
  • 20. 2. Descripción Matemática de Sistemas 18Ejercicio 2.8. Considerar la EE no lineal ÉÇ Ï F2IG ¦1¢Ò ¦32¢ Úe F2¢ q e F2IG £F2¢ d e 1 ¦1 ¦1¢ 4 ¦1 ¦32¢ Ú¦e o 32¢ r e 1 ¦1 32¢ Ú e o 32¢ ¦e 532¢ 0 ¦1 ¦1 4 ¦1 r Ú y 6ӎ•¢ e 8r ‚‚ 5 4 ¦ } j 32IG 4 ¦1¢con estado inicial 7 ¼ y entrada nominal constante . Mostrar que la salida nominal es ¼ d5F2¢ 0 j 4 ¦1 . Linealizar la EE alrededor de la solución nominal. ¿Hay algo raro en este sistema? ¼ û 1Ejercicio 2.9. De la definición de transformada de la secuencia 0 ‚ ú ŒÑh 0  ö 4 ©§ih 0 £˜P¢   0 û 4 ¦ ú y ÷ ù ù ˜PI  G ˜P¢   ‡ 5˜P¢   0 ¦ ú¢ ¦ ú 4 ¦ úprobar que para un sistema lineal estacionario discreto .
  • 21. Capítulo 3Herramientas de Álgebra Lineal3.1 Vectores y Matrices j jLos elementos básicos en teoría de sistemas lineales son vectores (columna) o (fila) y matrices ’ ‘ ‘ ™’† ֑ ’ con elementos reales, es decir, , « Š “ t f “ ™t š v v . Denotamos el elemento del vector como , y el m š kš Ak f Ak @ felemento de una matriz como 9m o . ÐÐ ÏÐ q š ÇÈÈÈÉ ÑÐÐÏ « q bH”b q 3q ÇÈÈÉ @ bb b r @ q @ r r @ H”b Fr @ Cr @ Vf D C± r q qš® 4 š 4 š . ”«b HbÔH”b€”H͔Hb 4 b bb bbb bb B “š ”Hb r bb š Ò . . Ò «“@ b Hb”b r q“@ “š “@ ””b bb ””b bb H”b bbEn M ATLAB: vectores v = [v1;v2;H”bbb ”Hb bb ;vn] = [v1,v2, ,vn]’ y matrices A=[a11,a12, ,a1m;a21,a22, ,a2m; ].1 El producto de dos matrices y “ Š « $t f v sólo está definido si 1 êEt p ŠD v . En particular para vectores ‘ F G4« ™t H “ ™t š v ,v , tenemos . « Š “ ™t B Iš v H † ’ ‘ } } Escribimos la matriz con todos sus elementos cero como , simplemente si las dimensiones «Š“ 4 † }(M ATLAB [n,m]=size(A)) son claras del contexto. Para matrices cuadradas, — — , la matriz nula es y ‘ “la matriz identidad o simplemente (M ATLAB I=eye(n)). “ Asumimos las operaciones de suma y producto de matrices familiares. Lo interesante del producto de p uf f Ypmatrices es que en general es no conmutativo, es decir, f y no son siempre lo mismo.} w™ f — d4 y f Si es cuadrada, para cualquier entero } f } `4 la potencia está bien definida, con f h . Si existe un ùP Qh tal que decimos que es nilpotente. ùTraza. Para una matriz cuadrada ‘ V’ ‘ , la traza es la suma de los elementos de su diagonal (en M ATLABtrace(A)) b kk “ ö Vf ©R 4 S @ q k ÷ p f p uf £p ©R 4 uf ©R f S pSi y son tales que es cuadrada, entonces S . fRDeterminante El determinante es otra familiar función escalar de una matriz cuadrada, (M ATLAB U VTdet(A)). El determinante puede evaluarse recursivamente mediante la expansión de Laplace: Sea el Ak Ak ¢ A k ¦j ¦ ¦¦j ¦ ¦j W ¢ ¢cofactor del elemento , o sea el producto de por el determinante de la submatriz f @ ¬ X Yj X Ÿ‘ ’ Ÿ‘obtenida de eliminar en la fila y la columna . Entonces para cualquier fijo, m , 9 m m ‘ b A k A k “ ö Vf R 4 W @ q A U T (3.1) ÷ 1 Ojo con la transpuesta en M ATLAB cuando se trabaja con vectores o matrices complejos; ’ representa la transpuesta conjugada, latranspuesta sin conjugar es .’. 19
  • 22. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 20Esta es la expansión sobre la fila . Una expresión análoga existe para la expansión sobre una columna . m 9 Vemos de (3.1) que el determinante no es más que la suma de productos de los elementos de la matriz,por lo que es una función matricial diferenciable todas las veces que uno quiera. f p Y£p¢ R Y"ƒ¢ R –Y¥¢ R Y”u¥¢ R ¦ f p 4 ¦ p Á ¦ f 4 ¦ p f Si y son matrices , entonces ‘ €‘ ’ . U T U T U VT U VT f }n4 f R — wf q ‚ n4 q ‚ 5f q ‚ f 4 f fInversa La matriz cuadrada tiene una inversa, , q ‚ f , sii ô (M ATLAB inv(A), UVT fAˆ(-1)). Una fórmula común para f f se basa en los cofactores de . f El adjunto de , , es la matriz cuyo elemento es el cofactor de — o sea, la transpuesta de la ca` bT m Ž9 9mmatriz de cofactores. Entonces f q f Rca` 4 ‚ f bT U VT q ‚ f q ‚ n4 q ‚ "u¥¢ p ¦ p fLa inversa del producto de dos matrices cuadradas no singulares cumple . Una fórmula muy útil en teoría de sistemas lineales es el lema de inversión de matrices. ©D 0lpD f eD ¡ ¡Lema 3.1 (Inversión de Matrices). Dadas matrices d de dimensiones compatibles, donde d y soncuadradas y no singulares, entonces b q ‚ f q ‚ 5e q ‚ f F”e q ‚ h q ‚ 4 q ‚ uf q ‚ 5e ¦ ¡¢ ¦ ¡ ¢ d d d d ™d3.2 Bases y OrtonormalizaciónEl conjunto de todos los vectores de “ v puede verse como un espacio vectorial lineal con las operacionesestándar de suma de vectores y producto por números reales. Las matrices (o si consideramos ‘ ’ † † €‘ ’vectores fila) son operadores lineales definidos sobre estos espacios. Dos vectores e en “ v re qe son linealmente independientes (LI) si la única combinación lineal de ellos que } w4 r e –s h q e ”s r q w4 5s ~`4 ”s } r D } qda el vector nulo, , es la trivial, . Sino son linealmente dependientes. El concepto se extiende a un conjunto de cualquier número de vectores. Si el conjunto de vectores„ « e H”H”D r e D q e ƒ Dbbb „ « s ”H”HD –s D ”s ƒ Dbbb r q es linealmente dependiente, entonces existe un conjunto de escalares `4 ”s } q don-de al menos uno es distinto de cero, digamos ,y ô ˜g4 « e « s º2Hh êr s h ‘•q s b } hÁÁÁ re qe qe %H2‚h r e –s ¢ Ê q hÁÁÁ r g 4 qeEntonces podemos escribir¦ «e « s como combinación lineal de los restantes vectores, . La dimensión de un espacio lineal es el máximo número de vectores LI en ese espacio; en . “ v ‘ Un conjunto de vectores LI en es una base de “ v si todo vector de “ v se puede escribir como una “ v H”H”D r D q ƒ Dbbb „ “ vcombinación lineal única de los vectores del conjunto. Sea una base de . Entonces dado“ˆ ˆ ˆun vector cualquiera “ t e v puede expresarse en forma única como hºÁ22wh r r s h q q s 4 e ÁÁ “ˆ“ s ˆ ˆ ÐÐ ÏÐ ”s ÇÈÈÈÉ q r –s ± D e i4 h H”b r q ® 4 bb ¼ “ˆ . . ˆ ˆ Ò . “ sdonde B “ s H”b –ƒ”s 4 ¼ e bb r sq e es la representación de con respecto a la base (o en las coordenadas) ”H”HD r D q ƒ Dbbb ˆ ˆ “ˆ „ . h “ vLa matriz es no singular por definición, y sirve para obtener la representación de cualquier vector en q ‚ i4 e „ H”H”D r D q ƒ h Dbbb enla base e , . ¼ “ˆ ˆ ˆ En particular, siempre existe la base formada por los versores , , etc. En B 5””5µ} 4 r ) B Y”H˜qj 4 q ) } bbb j } bbb } tth — 4ese caso . B j ² 4 q ˆ B o o 4 r r vEjemplo 3.1. Consideremos los vectores y „ r D q ƒ ˆ . Como son LI, forman una base en .La representación del vector B qj 4 e ² en las coordenadas ˆ ˆ es B qj o , que se obtiene de
  • 23. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 21 ¤ o sea que e puede escribirse como r ˆ uh q Ÿ 4 e o ˆ . j q ¥ ¦² ¤ ‚ ± r ˆ q ˆ ¤ ¯4 ¼ e ® j q ‚ o ² 4 ¤ ¥² ¥ °j ¤ o j ¦j oò §¦j oò ¥ §² ¥ 3 ‘² 3 ¦j ¤ 4 ò ò D ¥ o 4j3.2.1 Norma de vectoresEl concepto de norma de un vector es una generalización de la idea de magnitud. La norma de un vector , edenotada p ep , es una función del espacio vectorial en y¬ v (los reales positivos más el 0) que cumple con lassiguientes tres propiedades: } 9™ e e } g4 e } g4 e 1. para todo p p y p p sii . q s qr4 e s s 2. p ep , para todo escalar . p p h q‘e X e h ‘e q p 3. p p p r p ¦e p r para todo re ‘e ,q (desigualdad triangular). e q e 4 eDado un vector B “ e ”Hb r bb , tres típicas normas en “ v son q k e q q “k ÷ tÆ q p e p s norma-1 v 44 e B e r e r q k e q q “k u tÆ p p ÷ s norma-2 o euclídea q k eq C`k xÆ  p e p y w norma- —En M ATLAB norm(x,1), norm(x,2) = norm(x) y norm(x,inf). La bola unitaria es el conjunto de vectores de norma no mayor que la unidad. La forma de la bola unitariadepende de la norma. ƒ 74 q p Y§tX b „j p e IU “ ™t e p vLa norma 2 o euclídea es la longitud del vector desde el origen. A menos que aclaremos lo contrario, vamos € ƒ „‚ € €  … € €  r v Figura 3.2: Bola unitaria en en normas 1, 2 e — .a trabajar siempre con la norma 2.
  • 24. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 223.2.2 Ortonormalización e “ v j 4 e B e 4 e q ‘e r ¦e 4 e B q e rUn vector de} `4 q e B r e está normalizado si D b bu b D o D p j p k . Dos vectores y son ortogonales si . Un conjunto de vectores † HH”H~p%n4 m D e , es ortonormal si } 4 D 4 A si 9 lm ô j f §e B k e 4 b si m 9 „ « H”H”D r D q ƒ DbbbDado un conjunto de vectores LI „ « ºH”H”D r ºD q ƒ jDbbb j , podemos obtener un conjunto ortonormal de vectores ‡ ‡ ‡ usando el procedimiento de ortonormalización de Schmidt, ˆ q‡ Æ qG qˆ G D qG òq Æp p G ¢ q ˆ ¦ r ‡ Bq G D rG òr r ‡ H”Æ b r bb ˆ rˆ b”bHÆ bp p G ¦ ¢q « G b «G ò « «‡ Æ « s «ˆ ˆ « ‡ B ˆ q ‚÷ p Æ p ù ù ùbH”b r q ‚h b 4 † ֑ X † d‚h B h — 4Si ˆ ˆ es una matriz «ˆ ’ , ‘ , con todas sus columnas ortonormales, entonces .¿Qué puede decirse entonces de B hYh ?3.3 Ecuaciones Lineales AlgebraicasConsideremos el conjunto de ecuaciones lineales algebraicas 0 4 e f (3.2) 0 fdonde e son matrices reales dadas, respectivamente y , y es la incógnita a resolver, . ‘ ’ † ’ † j e ’ X‘ jEl problema consiste de ecuaciones y incógnitas escalares, y puede que † sea menor, igual o mayor ‘ † fque . La existencia de solución depende de la imagen de . ‘ f El espacio imagen, o simplemente imagen, de es el espacio generado haciendo todas las posibles f f fcombinaciones lineales de las columnas de . La dimensión de la imagen de es el rango de . f } 4 e f f Un vector se llama vector nulo de si e . El espacio de todos los vectores nulos de se llama el f fkernel o espacio nulo de . La dimensión del kernel de cumple la relación YY¥¢ S 4 ¦ f Y¥r%ï – S f ¦ f¢ Ø dimensión de U ©† número de columnas de ` (3.3) f En M ATLAB orth(A) da una base ortonormal de la imagen de , rank(A) da el rango, y null(A) dauna base ortonormal del kernel.Ejemplo 3.2. Sea la matriz É }Ç j Ï °j o 4 Vf j o ² b Û Ú r q o } o @ @ @ ‡@ Æ Ò }3 f o q@ r@ Û@ Ú@ q@ r@El rango de es , ya que „r Dq ƒ y son LI pero y son combinación lineal de y . Podemos tomar el fconjunto como una base de la imagen de . @ @ f o La ecuación (3.3) implica que la dimensión del kernel de es , y puede verificarse que los vectores j ­® 4 q j Ñ}® 4 r C± Ôj B } o } B C± j ‘ ‘ y r‘ wxg4 q f f f 4 } q‘ r‘ „r Dq ƒ fson vectores nulos de (‘ ). Como y son LI, ‘ ‘ es una base del kernel de . f f Hemos definido el rango de como el número de columnas LI de , pero también es igual al número de ffilas LI de , por lo que se cumple que b (¦ D † ¢ •– ˆ£P˜%ï – S X ¦ f¢ Ø ‘ w `Teorema 3.1 (Existencia de solución). Dada una matriz “ Š « $t f v y un vector « t 0 v ,
  • 25. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 23 1. Existe una solución “ $t e v de la ecuación 0 4 e f sii 0 pertenece a la imagen de , o sea, f – `S ¦ 0 f ˜Œï – S 5Y¥˜Œï ¢ Ø 4 ¦ f¢ Ø ` f ç q “ Š « $t 0 donde ¬ æ v . 2. Existe una solución 0 4 e f e de para todo « t 0 v sii † YY¥r%ï – ` S 4 ¦ f¢ Ø f ( es de rango fila pleno).Teorema 3.2 (Parametrización de todas la soluciones). Dada una matriz y un vector “ Š « 7t f v « gt 0 v , ‹esea una solución de y sea 0 4 e f la dimensión del kernel de . Entonces Y¥r%ï – S ¦ f¢ Ø ` Ÿ‘ Æ h f f `4} 1. Si h ( tiene rango columna pleno), entonces la solución ‹e es única. } º”H”D r D q ƒ Dbbb „ f 2. Si D k s ƒ Qh sea una base del kernel de . Entonces para cualquier conjunto de números ù hDbbbD oDj‘ m „ ‘ ””H”~‘ ê%‚4 P h reales el vector e 4 e s hºÁ2Á2Áwh r ‘ r s h q ‘ q s h ‹ ù‘ù es también solución de 0 4 e f .Ejemplo 3.3. Consideremos la ecuación 0 4 e f É Ï ÉÇ ÑÐÐÏ q e ÇÈÈÉ Ï Ôj }Ç j o o °j b Ò q 4 r e Ò 3 ² 3 o } ´} ÒÚe } o (3.4) Ûe f B ly Û ‚ y 4 ePuede verse fácilmente que está en la imagen de y que „r Dq ƒ f 0 es una solución. Con la base y ‹ del kernel de obtenida en el Ejemplo 3.2 podemos expresar la solución general de (3.4) como ‘ ‘ h e 4 e s h q‘q s r‘r ‹ } ÇÈÈÉ ÇÈÈÉ Ð ÏÐ ÏÐÐ } ÇÈÈÉ Ð ÏÐ j3} 4 q ”s h D o} –s h j j r Ò Ò Ò } j } donde q ”s y r –s pueden tomar cualquier valor en v t . A veces vamos a encontrar el problema formulado en términos de vectores fila, , donde son 0 gf e 4 0D ej † ’ j B 0 4 B e B f y ‘ ’ . Puede tratarse como antes considerando el problema transpuesto . En M ATLAB la solución de 0 4 e f puede obtenerse como x = A y. El símbolo denota división matricial ‰ ‰por izquierda. Para el caso 0 Vf e 4 usamos la división matricial por derecha x = y/A.Teorema 3.3 (Sistemas cuadrados). Sea 0 4 e f donde f es cuadrada. Entonces f 1. Si es no singular existe una solución única para cada , dada por 0 0 q ‚ n4 e f . En particular la única } g4 e f } `4 e solución de es . }‚4 e f f 2. La ecuación homogénea tiene soluciones no nulas sii f es singular. El número de soluciones LI es igual a la dimensión del kernel de .3.4 Transformaciones de Similitud f “ v “ vUna matriz cuadrada mapea vectores de en , b 0 4 e f (3.5) v H””HD r D q ƒ Dbbb „ ’4 e ‘e hSi representamos los vectores de”“4 0‘0 h con respecto a una nueva base ˆ ˆ “ˆ , tenemos que e , y la ecuación (3.5) da 0 4 e f •i4 QEf ‘0 h ‘e h –4 aˆEf q ‚ §¢ ‘ 0 ‘e ¦ h h … …
  • 26. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 24 ‘f ˆEf q ‚ §¢ ¦ h h f H””HD r D q ƒ Dbbb „La matriz Æ es la representación de con respecto a la base ˆ ˆ “ˆ . La transformación ‚ iV‘ f h 4 q ‚ hE‘ f ht4Vf h Ef q f ‘fse llama transformación de similitud, y y se dicen similares. „ CºH””D r 0D q Vƒ )Dbbb ) ) f Si es la base canónica (formada por los versores), entonces la columna de “ m no es másque la representación del vector con respecto a la base . k —f ) „ C”H”HD r CD q ƒ )Dbbb ) ) „ ””bH”D r D q ƒ En la base Db b la columna de es la representación de en la base ‘f k ˆ “f H”H”D r D q ƒ Dbbb „ . Esto “ˆ ˜f q ˆ ‚ tVf hˆ h 4 ‘ m ˆ ˆ “ˆse ve de , que se suele escribir ‘ f “Ef h 4 h … q ‘ @ ® “4 ± “ ˆ ””b r ˆ q ˆ ® f h bb ± ™H”b r ‘ ‘ bb “@ @ … q ‘•h ® 4 ± “ ˆ ÀH”b r ˆ f q ˆ ®f @ f bb ± ‘”d””b r •h “@ h bb ‘ @Ejemplo 3.4. Consideremos la matriz É É ² Ç o Ïj Ï j }Ç o j 3 } } 7h Vf 4 Ò } y la base Ò o 4 ² j ² j j 3 Calculamos É }Ç } Ï fj e Ef q ‚ iV‘ f 4 h h 4 } Ôj Ò ¶ ”j } j ¶3.5 Forma Diagonal y Forma de Jordan3.5.1 Autovalores y autovectoresUn número h it g es un autovalor de la matriz si existe un vector no nulo “ Š Y·t f “ v £·t š “ v tal que f š 4 š 5g . fEste vector es un autovector (por derecha) de asociado al autovalor . š f g Los autovalores de se encuentran resolviendo la ecuación algebraica ˜w4 Yf — ¢ b } ¦ š g (3.6) — ¢ ¦ £fComo vimos en la clase pasada, este sistema admite soluciones no nulas si la matriz g es singular(determinante cero). f Definimos el polinomio característico de — ¢ 4 5¦ ¢ j (Yf b ¦ g R VT U g ¦ ¢ j ¦ ¢ jEl polinomio — ¢ ges mónico,2 de grado , y tiene coeficientes reales. Para cada raíz de ¦ Yf la matriz ‘ g g es singular, y por lo tanto, la ecuación algebraica (3.6) tiene al menos una solución no nula. ¦ ¢ j f ¦ ¢ j f Concluimos que toda raíz de es un autovalor de ; como tiene grado , la matriz tiene g g ‘ ‘autovalores (aunque no necesariamente todos distintos).3.5.2 Forma Companion — ¢ ¦ YfEn general, el cálculo del polinomio característico de una matriz requiere la expansión de . Sin g R T Uembargo, para ciertas matrices el polinomio característico es evidente. Estas son las matrices en la formacompanion, (M ATLAB A = compan(p), donde p es un polinomio) } ÇÈÈÉ } } Ð ÏÐ Û s q ”s ÇÈÈÉ r –s s Ð ÏÐ Û s Ú } °j } Ú s j } } } } j } Ò –s r } j } Ò } } } j q ”s } } j } } ÇÈÈÉ j } } ÇÈÈÉ Ð ÏÐ q s ÏÐÐ } °j } } } j } } j } r s } } } j Ú s Òj } } Ò } } } Û s s s Ú s r q Û s 2 El coeficiente del término de mayor orden es . k
  • 27. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 25con el mismo polinomio característico . Û s h g Ú s h r g r s h Ú g q s h Û g 5¦ g ¢ j 4 f 4 ·F B “ g ºH”HD q lg Dbbb En M ATLAB los autovalores de se calculan con la función r = eig(A), donde ;poly(r) da el polinomio característico.f Otro caso donde los autovalores (y el polinomio característico) son particularmente evidentes es cuando es diagonal, q g ÇÈÈ } } ÐÐ ÏÐ ì2HÁÁ} ÁÁ } ÈÈ r g } ÐÐ ì2HÁ } ÁÁ } ÈÉ Vf 4 } Ú g b ì2H } ÁÁ . . . . . . .. . . . . . . Ò . } } } 2HÁ ÁÁ “ g f f Pero, ¿podemos siempre representar en forma diagonal? No siempre, depende de si tiene: 1. autovalores todos reales y distintos 2. autovalores complejos y distintos 3. autovalores repetidosAnalizamos cada caso. fCaso 1: autovalores de todos reales y distintos „ H””HD r D q ƒ DbbbEn este caso los autovectores correspondientes son LI. Usamos el conjunto de autovectores, ‘f f, ‘f “š š šcomo base. Sea la representación de en esta base. La columna 1 de es la representación deqšq g 4 qš f en la base nueva, Ï Ê pÉÇ o Ê 4 4 f y Ì § mm nË § § q š q g q š m . . Ò y . B ˜”Hõ} q l } bbb ‘f rš r g 4 rš fy concluimos que la columna 1 de es ~Hg ”b } r } } bb . La columna 2 es la representación de conrespecto a la base nueva, o sea B . Siguiendo este procedimiento, llegamos a que g q g ÇÈÈ } 2HÁ ÁÁ ÐÐ ÏÐ }} } ÈÉ r g Á2HÁÁ 4 V‘ f b . . . . .. . . . . . . Ò } } 2HÁ ÁÁ “ gConcluimos que toda matriz con autovalores distintos tiene una representación en forma diagonal (es diago-nalizable). fCaso 2: autovalores de complejos y distintos fCuando todos los autovalores son distintos, pero algunos son complejos, no podemos llevar a una formadiagonal real (aunque si compleja). f r4 ó q Siendo real, los autovalores complejos aparecen siempre en pares conjugados , y dan lugar qn4 ó G g s a9a pares de autovectores también complejos conjugados . f š H I9 En este caso se puede llevar a una forma real diagonal en bloques, para lo cual la nueva base se armacon los autovectores reales, y las partes reales e imaginarias de los autovectores complejos. h q tD r D q ƒ q„r Por ejemplo, si tenemos dos autovalores reales y dos pares de autovalores complejos, wD h tD tD g g „ s 9 q s q s 9 q av r r u9 r q uv q q u9 s con autovectores , formamos la r Iv r ”D r I9 h r HD q Iv q ”D q I9 h q ”D r š D q š ƒ H 9 G H G H 9 G H Gbase b Y„ r D r ”D q D q ”D r D q ƒ G G H H š š
  • 28. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 26 fEn esta base la matriz tiene la representación q g ÇÈÈ } } } } ÐÐ ÏÐ } } ÈÈ r g } } } ÐÐ } } ÈÉÈ V‘ f } q s q q } b Ð }} } 4 } q q q — } } } } s} r q Òr s } } } } r — r q s o oHay un bloque de ’ por cada par de autovalores complejos conjugados. fCaso 3: autovalores de repetidos fEste es un caso especial. Cuando tiene autovalores repetidos puede que no podamos llevarla a una formadiagonal, pero siempre se puede llevar a una forma triangular o diagonal en bloques. Supongamos que “ Š “ 9t f v tiene un autovalor con multiplicidad , es decir, un sólo autovalor repetido g ‘ 4‘ veces. Para simplificar consideremos . ¦ Yf — ¢ 3 ‘ Sabemos que la matriz — ¢es singular. Ahora, caben las posibilidades de que el kernel (espacio ¦ Yf êD~pDŒj g ² onulo) de tenga dimensión g o . 3 Si tiene dimensión , entonces sabemos que hay cuatro soluciones independientes (no nulas, pues la 3 „Û DÚ Dr Dq ƒnula es la solución particular), correspondientes a una base del kernel . ‘ ‘ ‘ ‘ Ð ÏÐ ”s ÇÈÈÉ q } `4 e Yf — ¢ ¦ x q ‘® 4 e r‘ ڑ b –s ± Û ‘r g ÒÚ s Û s f „Û DÚ Dr Dq ƒEn este caso hay autovectores independientes, y es diagonalizable usando la base 3 . f j ‘ ‘ ‘ ‘ Veamos ahora el otro caso extremo, el kernel de tiene dimensión . En este caso sólo podemosencontrar una solución independiente. Necesitamos tres vectores independientes más para armar una base.Una forma de lograrlo es usando el concepto de autovalores generalizados. Un vector es un autovector generalizado de grado asociado al autovalor si š ‘ g } `4 “ Yf — ¢ ¦ }w4 q ‚ “ Yf — ¢ ¦ š g y ô š g j d4 4Si ‘ el problema se reduce al caso recién visto. Para ‘ 3 definimos Æ Ûš š ¦ •— f ¥¢ ¦ •— Pt4 f¢ Æ Úš g ۚ šr g ¦•— f ¥¢ ¦•— Pt4 f¢ Æ rš g ښ šÚ g ¦•— f ¥¢ b •— ¦ Pt4 f¢ Æ qš g rš š g Estos vectores forman una cadena de autovectores generalizados de longitud 4, y cumplen las propiedades f ¥¢ ¦ ¥— } w4 Ú Ú •— ¦ ¥¢ w4 r r ¥— f } ¦ ¥¢ g4 q f } } `4 Û Û Yf — ¢ ¦ ,g , š š g y . š D D D g š g Los vectores ۚ ښ rš qš LI por definición, y cumplen con qš f q 5g 4 š rš f r 5g š š h q 4 ښ f Ú 5g h r š 4 š ۚ f Û 5g h Ú š 4 š f „Û DÚ Dr Dq ƒAsí la representación de con respecto a la base š š š š es Ð ÏÐ } } j g ÇÈÈÉ 4 y b j } j } g }} Ò }g } } g
  • 29. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 27 y ~ê~pŒd4 D k f D ²D oDj „Û DÚ Dr Dq ƒEs fácil chequear que las columnas de son la representación de , en la base . m š 3 š š š šEsta matriz triangular se llama bloque de Jordan de orden 4. f P¢ ¦ •— Si el kernel de tiene dimensión 2, entonces hay dos cadenas de autovectores generalizados cuya g z „r Dq ƒ „ q ƒ „ r ”D q %ƒ G G „ Ú D r D q ƒ „ Ú ”D r ”D q %ƒ G G G „ q ‘ƒ Glongitudes sumadas dan 4. Pueden ser y , y , y . En este caso š š š š š šla base se forma con los vectores de las dos cadenas. f ¥¢ ¦ ¥— Igualmente, si el kernel de tiene dimensión 3, entonces hay tres cadenas de autovectores gene- g {ralizados, etc. Û Š Û $t f h En resumen, si v tiene un autovalor con multiplicidad 4, existe una matriz no singular tal que g h Ef q ‚ iVf h 4 ‘tiene una de las siguientes formas de Jordan ÇÈÈÉ j } ÇÈÈÉ Ð ÏÐ } } } ÇÈÈÉ Ð ÏÐ } j } ÇÈÈÉ Ð ÏÐ } } } ÇÈÈÉ Ð ÏÐ } } } Ð ÏÐ } }g j } }g j } }g } } }g } }g } } } } }g } Òj }g } Òj }g } Òj }g } Òj }g Ò} } } }g } } }g } } }g } } }g } } }g g g g g g La forma general a la que podemos llevar una matriz va a ser diagonal en j jbloques, donde los bloques pueden ser deo o para autovalores reales distintos, ’ para pares de autovalores complejos conjugados, y bloques de Jordan para ’autovalores múltiples. La forma de Jordan puede usarse para establecer propiedades generales de µˆE‘ f q ‚ §¢ R 4 ¦ h h 4 fR ‘f R q ‚ h R h ‘fmatrices. Por ejemplo, ‘f R . Como es U T U VT U VT U VT R VT Utriangular, es el producto de los autovalores, U VT “ | Vf 4 R (Y¥¢ k D ¦ f g q k U T ÷ fpor lo que es no singular sii no tiene autovalores nulos. Camille Jordan En M ATLAB podemos usar [q,d] = eig(A) para calcular los autovalores f (1838-1922)y la base de autovectores si es diagonalizable (sino, Chen (1999) menciona[q,d] = jordan(A), usable con restricciones, pero aparentemente disponiblesolamente en las versiones de M ATLAB con el symbolic toolbox).3.6 Funciones de Matrices Cuadradas3.6.1 Polinomios } 4 f h « B¦ %¹ 4 ¢Vimos que para cualquier entero hÁÁÁ q la potencia h Y¥%¹ ô ¦ f¢ ù está bien definida. Dado un polinomio g g « @ º2Hh ‚ « g q @ definimos como h « g–Y¥%¹ f 4 ¦ f¢ b˜— « ”2Hh q ‚ « f q hÁÁÁ @ @ f ± yy Ê }c® 4VfSi es diagonal en bloques, digamos ¤ } es fácil verificar que Ë ¤ b •¦ }¥%¹ } q f 4 f ¦ q f¥%¹ YY¥%¹ ¢ 4 ¦ f¢ ¥ r f¢ f ù} } ù y también ¥ ùr Ef q ‚ “Vf h‘ h 4 h Ef q ‚ “Vf h 4 ‘Dada la transformación de similitud o , como D q ‚ h ‘ f “ŒH2Á q ‚ Eah q ‚ E‘ f “4 ¦ q ‚ E‘ f §‚4 f h 4 ÁÁ h f h h h h¢ ù ù ùtenemos que q ‚ t£‘ f %t–Y¥%¹ h¦ ¢ ¹ h 4 ¦ f¢ ut£P%¹ q ‚ “5Y‘ f %¹ b h¦ f¢ h 4 ¦ ¢ o — ¢ R a¦ ¢ j 4 h §H27h q ‚ “ ”s h “ aYf hÁÁÁ 4 ¦Teorema 3.4 (Cayley-Hamilton). Sea f g “ s gq ‚“ s gq g g T U el polinomiocaracterístico de . Entonces ˜wS— s õf q ‚ s ºH2wh q ‚ “ f q s h “ YY¥¢ j b } 4 h hÁÁÁ f 4 ¦ f “ “ (3.7)
  • 30. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 28 Es decir, una matriz satisface su propio polinomio característico. El teorema de Cayley-Hamilton implica „qque “ f se puede escribir como una combinación lineal de q “ f . Si multiplicamos (3.7) por ‚ 3HH”Hq3p%ƒ fDbbbD fD— r “ êuºƒ f fD f „ “ êDHb”bHb”D fobtenemos que se puede escribir como combinación lineal de ¬ „ q ‚ “ 3HH””u3p‘ƒ fDbbbD fD— , que a su vez se puedeescribir en términos de Y¥%¹ ¦ f¢ . En conclusión, todo polinomio puede expresarse, para apropiados , como una combinación lineal k ~ j } fde las potencias de de a a‘ . b q ‚ “ f q ‚ ”H2wõf q ˜— y –Y¥%¹ hÁÁÁ h h 4 ¦ f¢ “ ~ ~ ~3.6.2 Polinomio mínimoHabíamos visto el teorema de Cayley-Hamilton, que decía que toda matriz satisface su polinomio caracterís- — ¢ 4 a¦ ¢ j ¦ Yf œaY¥¢ j } 4 ¦ f f g R Ttico, es decir, si U g ¦ ¢ j , entonces . Pero, ¿podrá satisfacer un polinomio de gradomenor al de ? g f La respuesta depende de la multiplicidad de los autovalores de . Cuando los autovalores son todos de fmultiplicidad 1 (todos distintos), entonces el polinomio característico es el polinomio de menor grado quesatisface (polinomio mínimo), o sea en este caso. ‘ Cuando hay autovalores con multiplicidad mayor que 1 (repetidos), el polinomio mínimo podrá ser degrado menor que . El polinomio mínimo se puede expresar como ‘  € “ g µg ¢ | 5¦ g ¢  D §C¦ k k 4 k ¼‘donde es la dimensión del bloque de Jordan más grande asociado a k g . Como k g puede tener más de un x X kbloque de Jordan asociado . ¼‘ ‘Ejemplo 3.5. En la matriz q g ÇÈÈÈ j } ÐÐ ÏÐ } } ÈÉ q g } Ð } 4 Vf } } q g } } } } Ò r gEl autovalor q g tiene multiplicidad 3, y dos bloques de Jordan asociados: órdenes 2 y 1. El autovalor r g tienemultiplicidad 1. | Y¦ ¢ j 4 ¢ 4  “ ¦ k ¢ Ú¦q D R¦ r ¢ g g µg g g µg g polinomio característico k | 5¦ ¢  4 r¦q ¢4  C¦ k €“ ¢ DR¦ r ¢ b g g g g µg µg g polinomio mínimo kEl polinomio mínimo es siempre factor del polinomio característico. ¦ %¹ ¢ Como consecuencia del teorema de Cayley-Hamilton vimos que para todo polinomio Y¥%¹ ¦ f¢ , el polinomio „ q ‚ “ 3HH”Hq3p%ƒ fDbbbD fD— gmatricial se puede expresar como una combinación lineal de . £P%¹ ¦ f¢ Si el polinomio mínimo se conoce (y por lo tanto los ), en realidad k ¼‘ q se puede expresar como una „ ‚  € “ 3HH””u3p‘ƒ fDbbbD fD—combinación lineal de un conjunto menor, £P%¹ ¦ f¢ , que es aún mejor. ¦ ¢  ¦ ¢ j Una forma de calcular (con si se conoce, y sino con ) es mediante la fórmula de división g gde polinomios: D (¦ ¢ ¢ ’¦ ¢ j ¦ ¢ –¦ %¹ h 4 ¢ g g g ˆ g ¦ ¢¢ ¦ ¢donde es el polinomio cociente y g g ˆ el polinomio resto. Tenemos D(¦Y¥¢ ¢ 45¦£P¢ ¢ h˜ê¦Y¥¢ 4YY¥¢ ¢ ’Y¥¢ j Y¥¢ –Y¥%¹ f f } f ¦ f h ¦ f ¦ f 4 ¦ f¢ ˆ ˆo sea que todo se reduce a determinar los coeficientes del polinomio . y "h g q "”2Hh q ‚ “ g q ‚ “ i5¦ g ¢ ¢ ‚ ‚ hÁÁÁ ‚ 4 ¦ %¹ ¢ ¦ ¢ j La división de polinomios es útil si el grado de no es mucho mayor que el de ¦ ¢¢ . De lo contrario es ¦ Œ¹ g ¢ g fmejor determinar los coeficientes de evaluando en los autovalores de y planteando un sistema g gde ecuaciones algebraicas.
  • 31. Ž  que la diferenciación en la segunda línea es con respecto a , no . 3 Ojo 8 8 8 8 ) ) r po 8 } ) r) b Ò 8 } 8 ) 8 } 8 4 ) Ï r po po } r ) ) ) po Ç É — ) ¢ f ) o ) ²¢ 2¦ 8 r )ih 8 ¥1 o hõ3¦ 8 r po 8 )2h 8 ¥1 •wh r 3¦ 8 ¥1 8 ) 8 r ¥tYY¥¢ f ) )¢ 4 ¦ f ¢ 4 8}). Finalmente 8 8 8 8 8,y 8 8 8 , Haciendo las cuentas obtenemos )¥1 ) ) ² r )x4 r ‚ r )2o po™h )©1 g4 q ‚ r )Œh )¥1 o 4 y ‚ b y ‚"h q Vh r ‚ 3 4 8 ) ‚ o r ‹x Ž•¢ ¢ ¦o 4Y‘•Œ¹ ¦ o¢ ‚ q "h r `4 8 ¥7x ¦C¢ u¢ ‚ o )1 ¦j ƒ 4YºC¢ ƒ ¹ ¦j ‚ y ‚"h q "h r “4 8 ) x ¦C¢ ¢ ‚ ¦j 4Y¦ºCŒ¹j¢ 3 . Aplicando el Teorema 3.5 tenemos que . Sea µg ‚ ‚ y "h g q %h r g r rY¦ g ¢ ¢ ‚ 4 ¦ Žo ¦ ¢ r ¦j g g es . El polinomio característico de 7 yÚ y q 8} para Ejemplo 3.7. Queremos calcular ¢ €¦ ¢ j 4 f y y5 4 r ‚ q–y ‹‚f )de orden igualando en el espectro de , y así definimos . g g ’‘ g mos el polinomio ¦ f 4 ¦ f¢ £P¢ ¢ 5£P%¹ más general, una forma de definir f es usando el Teorema 3.5. Es decir: calcula- ¦ ¢ ¢ 5¦ %¹ 4 ¢ j ¦g ¢ ¢Dada una función ¦ f¢ £P%¹ ¦ %¹ ¢ 3.6.3 Funciones matriciales no necesariamente polinomiales  ÷ Š ù g  ÷ ù g Æ g ù y o o ŠŠ g Q ù Æ k g ùæ b o o ŠŠ ¦ g ¢ ¢ Q ù Q ¦ k ¢ ç æ ¢ ¦ ¢ç ¹ Š ¢ ŠŠ ¦ %¹ Q donde , † HH””˜p%n4 m ,y k‘ h para g ù g ù DbbbD oDj j DbbbDjD } 2”H”%”~`4 D 4 R¦ k ¢ ç æ ¢ Y¦ k ¢ ç æ ¹ ecuaciones algebraicas ‘ pueden calcularse resolviendo el sistema de k‚ Entonces los coeficientes que .a determinar, tal , con coeficientes X‘ el polinomio de orden ¦ f Y¥¢ ¢ Sea 4 ¦ f¢ g –£P%¹ k‚ j ‚ ‚ h ÁÁÁ y rh g q ˆ2H`h q ‚ “ g q ‚ “ ‰q¦ donde ‘ ‚ 4‘ q . ÷ ¢k ¢ s, g con polinomio característico ‘ ’ ·‘ y una matriz g Teorema 3.5. Sean dados 4 k « † 4  “ ¦ k ˆ g ¢ q ÷ «k ‡x¦ g ¢ j f ¦ %¹ ¢ Resumimos el resultado que usamos en el ejemplo en un teorema. j } b ¥xcºj 8‘”j 4 … }… } }} %ºj j … … ¥ 2j } 8% ¥o°j ‘ºj ¤ 4 } °j j } }} ¤ ‚¤ ‚ y — y "h f q r4 3y q f . Finalmente, … V… Óg g , o sea, … … 8( ,y q ‚ y así concluimos que }} ‘ºj 4 Y¦ ¢ ¢ 4 y ‚ ‘ºj 4 }} D q ruwt¦j §a‘ºj ‚ 4 „„¦ ¢ Á } } x ¦¦j ¢ ƒ ¢ 5ºj 4 ¦ ¢øf¹ƒ ‚ y ¦ y "h q ‚ 4 3y q ¦j ¢ x ¦ ¦j ¢ ¢ 5ºj 4 ¦ ¢ Œ¹) tenemos g (dos elementos iguales en este caso, En el espectro (el conjunto de autovalores) de j 4 f . Sea . g ges evaluado en . El polinomio característico de g g ‚ y "h g q rY¦ g ¢ ¢ ‚ 4 Planteamos el problema como el cálculo de ¦j ¢ 4 r ¦`h ‚5¦ ¢ j f f y Fy q 4 ¢ "¦ %¹ ¥ b §j o j 4 Vf } con Ejemplo 3.6. Queremos calcular ¤ y Fy q f faltantes.hasta obtener las ecuaciones g g g ˆ g Si tiene autovalores repetidos, hay que derivar ¦ ¢ ¢ ”¦ ¢ j ¦ ¢ 4 ¦ %¹ h ¢ f ‘ m para g g g g ˆ g b ”H”H~p%‚4 DbbbD oDj D R¦ k ¢ ¢ Y¦ k ¢ ¢ S¦ k ¢ j ¦ k ¢ Y¦ k %¹ 4 h 4 ¢ ‘ ciones con incógnitasecua- ‘ se pueden resolver del sistema de g de k‚ son todos distintos, los Si los autovalores k g de ¦ ¢¢ f29 3. Herramientas de Álgebra Lineal
  • 32. ¡ Ê 7`y y y y – 4 b qy o Ê o `yy —Vf y 7qy Ê q o Ê o Ejemplo 3.9. Consideremos otra vez el bloque de Jordan del Ejemplo 3.8,mostramos un caso particular.Esta definición es en realidad equivalente a la anteriormente vista en el Teorema 3.5. No lo probamos, pero y ÷(3.8) ~ k 4 ¦ f¢ b k f k  ö –Y¥%¹ definir como £tienen magnitud menor que , entonces podemos con radio de convergencia . Si todos los autovalores de £ ¦ f¢ Y¥%¹ f y ÷ g ~ k g 4 ¢ k k  ö –¦ %¹ que se puede representar por g. Supongamos g es a través de la serie de potencias de Otra forma de definir una función matricial ¦ %¹ ¢ ¦ %¹ ¢ ¦ f¢ Y¥%¹ 3.6.4 Series de Potencias ˜ œ› y y š ¡¢ŸÊ ˜ › 8 8 y˜ › y b šÊ Ë š ʘ › 8 y˜ › – 8} ž  r  š Ê ˜˜ › á 8 š Ê ˜ Ë 8 š ʘ 8 ˜ y ™› —4 •) š ž Ú ‡ŸÊ œ› š ž0r œ› ™Ê œ› ‡›Ê š š ›Ê , 8 g Así, por ejemplo, si ) 4 ¢ G5¦ %¹ o g ¦ q %¹ ¢ g} } } Ò ’jò q g ¦ q %¹ ¢g } b ”Ip¦ g ¢ ƒ æ ¹ g} 4 ¦ f¢ –Y¥%¹ ’ o ò “§p¦ q ¢ ¹ ”rê¦ q ¢ ƒ ¹ ’ j ò ¦ q %¹ ¢ } ’ ² ò Ð ÏÐ “§p¦ q g ¢ çç r æ ¹ ¡p¦ q g ¢ ç æ ¹ ”Ip¦ q g ¢ ƒ ¹ ¦ q g %¹ ÈÇÈÉ Ú ’ oò r ’jò ¢ que en este ejemplo permite obtener la expresión general para ¦ f¢ Y¥%¹ y y y ylyly–y g ylyly– D ¥ ll–yyy 4 Û Yf — q ¢ ¦ ylyly– y yl y ly–yly q g ¥ 5l–yy y y y 5l– q g ¥ ql–lyy¤ y y y y–yl q g D ¥ yly–yly ¦ ¢ y yy yy ¦ ¢ 4 ¦ q –yly y– yy–ly 4 Ú Yf — HD qy ql–yy 4 r £f — 2D lqy qlyy 5Yf — ¢ yy y , ¤g ¤ Una propiedad útil del bloque de Jordan es la de nilpotencia de ¤ ¦Yf — q ¢ ’ ’ g g ‚ b ¦ q g ¡² æ ¹ 4 Ú D ¦ q g “o æ ¹ 4 r ‘(¦ q ­0d4 q (¦ q %n4 y ‚ ‚ D ¢ƒ ¹ ‚ D ¢¹ ¢çÚ ¢çr da las expresiones en el espectro de g g La condición f ¦ ¢ ¢ 45¦ %¹ ¢ g µg q gµg r g Óg Ú g D y ‚"’¦ q h ¢ ‚%h r ¦ q ¢ ‚"h Ú ¦ q ¢ ‚“4–¦ ¢ ¢ , elegimos g g g . Si en vez de seleccionar g Xg g Su polinomio característico es simplemente ‚ y "h g q ‚ ‚ ‚ 4 h r r •h Ú Ú i5¦ ¢ ¢ Û¦q ¢ 4 tY¦ ¢ j q g } } } Ò q g } } 4 b j} j q g } Vf Ð ÏÐ } } j q g ÇÈÉÈ Ejemplo 3.8. Consideremos el bloque de Jordan de orden 430 3. Herramientas de Álgebra Lineal
  • 33. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 31 ¦ %¹ ¢ q gSupongamos que g tiene el siguiente desarrollo en serie de potencias alrededor de Á2ÁHÁh r ¦ q ¢ ¦ q “¢o ƒƒ ¹ (¦ q g h ¢ 2¦ ¢ ƒ `(¦ q %d–¦ %¹ ¹ h ¢¹ 4 ¢ g µg ’ µg q g g g gEntonces 2Hh r •— q ÁÁÁ ¦ ¥¢ ¦ q ¡¢o ƒƒ ¹ (¥— q f ’g h ¦ ¥2¦ q ¢ f`~H¦ q %d–Y¥%¹ f¢ ƒ¹ h — ¢ ¹ 4 ¦ f¢ g g g g }g4 Yf — ¢ ¦ ™ 4Por la propiedad de nilpotencia del bloque de Jordan, ù g para h ‘ 3 , la serie de potencias sereduce inmediatamente a la expresión que sacamos en el Ejemplo 3.8.3.6.5 Diferenciación e Integración MatricialSe define elemento a elemento, D I2(uf 8 6 E Q¦ E¢ F2"f SQ Q ¦1¢ 1 crC(P¢ A k 8 6 D E Q¦ E R32¢ A k SQ Q b ¦1 1 y son respectivamente @ y @Con estas definiciones no es difícil probar que vale la propiedad (F2Bp F2"·lF2qH3Cuf 4 F2˜232"f SQ Q D ¦1 ¢ d ¦1 ¢ f h ¦1 ¢ p ¦1 ¢d ¦1¢ p¦1¢ 1 el teorema fundamental del cálculo, (F2"w4 I2(P"f 6 SQ Q D ¦1¢ f E Q¦ E¢ 8 1 yy la regla de Leibniz ç â Q ç â 8 æ 6 SQ ÖI2(FCCuf 1 ¿ 8 æ uSF2‘d ¹ (FCCuf F2¢ d ‡ (3ƒ2"g4 I2(3ƒ2"f b E Q¦ ED1¢ 6 h ¦1¢ ¦ ED1¢ ¦1 ¦ ED1¢ f E Q¦ ED1¢ ç x 1 ç x ¿ 8æ 8æ3.6.6 La Exponencial Matricial o o ) ) h "j 4 h S1 22`h Ë 0Ë r h Á Á Á ž8Una función de particular interés en este curso eso H2wh Ì ž8 Ì ÁÁÁ . Como la serie de Taylor 1 8} 8 g converge para todo y finitos, tenemos que “ g r b f ’ ù 1  ö %H2wõf ¡1o h •`ct4 8 •) 4ÁÁÁ h ’ f1 h — } ù h y (EXP) ÷ ù })En M ATLAB se calcula con la función expm(A),4 que implementa la expansión de Padé. ) Usando (EXP) es fácil probar las siguientes dos propiedades de 8 } rn4 y ) D— Ê } •44 ç D 8Ë •) Ê 8 ¬ 8 æ •) }) 8Ë } ¥ ™8 })¤ ‚ 44 q ‚ ) b 8} ) G4 ç ) )¿Cómo probamos la tercera? En general 8 ¦ 8 } ô 8 §¬ } æ ¦ (¿por qué?). Diferenciando término a término (EXP) obtenemos q f •ºj ‚ ù 1 ¢  ö 4 8 } ) SQ Q 1 ù ’ ¦ Xh q ÷ ù f •¦ ù 1 ¢  ö “w4 ¨ f © 0ù ’ h q ÷ D f f’ ù 1 ù  ö d4 ¨ © ù •¦ h ¢ q ÷ f } x4 } «w4 } ) ù ) ) fasí tenemos que 8 8 8 8 ªª . 4 Ojo no confundir con exp(A), que da la matriz de las exponenciales de los elementos de . ¬
  • 34. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 32Ejercicio 3.1. Probar que la transformada de Laplace de °•­ ¯ ® es ² r± ¿¡¥˜i¹”œx(°® ­ ¾ ½ ¼» º ¸ · ¶µ ´ ³¯3.7 Ecuación de LyapunovEs la siguiente ecuación matricial Ո i–«º Ä Ã ´ À Á À (LYAP)donde y son matrices constantes, respectivamente de dimensiones º  y . Las matrices y la izÆ Æ Ç {ÉÈ È Ç Ãincógnita son . À {zÆ È Ç La ecuación (LYAP) es lineal en y puede escribirse como sistema de ecuaciones algebraicas en la Àforma estándar . Veámoslo para y : Ï t´ È t´ Æ Î ŒÌ˺ Í ´ Ê Ò ©ÐÑ ™GÕÖ Ø× ÐÑ ÕÖ ÐÑ –ÕÖ Ò Ò Ø Ú 0ÐÑ Ú ÕÖ ½ w½ Ò Ø Ó ™½ È t½ È ½ Ó Ÿ½ È w½ È ½ Ô Ÿ½ Ò Ÿ½ Ò Ó Ø ½ w½ Ú Ó Ÿ½ Ú ½t½ Ó ™½ ½©Ó Ò Ó tÓ È  Ó È Á wÓ È ©Ó È ½ Ó ½ Ô wÓ Ò wÓ Ò Ó ´ ½©Ó Ú ÓwÓ Ú ½  Ó Ù©ÓtÓ ½©Ô Ó tÔ È  Ô È ½ Ó wÔ È ©Ô È ½ Ô wÔ Ó wÔ ½©Ô ÓwÔHaciendo las cuentas y expresando à À y como vectores apilando sus columnas, llegamos a Ø Ø Ò ÐÛÛ Ø Ò Ò Ò ÝÝ ÞÕ ÐÛ ÝÝ ÞÕ Ú ÐÛÛ ÝÝ ÞÕ Ø È ÛÛ ½ w½ ÛÛ Ü Ó Ÿ½ Ø Ÿ½ Ò Ò Ô Ó ™½ ½ w½ Á Ò ÜØ ÝÝ ÝÝ t½ ½ Ú ÛÛ ÝÝ t½ ½ ÛÛ Ó™½ Ü Ô wÓ ½ w½ Á Ò tÓ Ó ½  Ó ÒØ Ü ÝÝ È ÛÛ ÝÝ  Ó ½ Ú ÛÛ ÝÝ  Ó ½ Ø È ÛÑ Ñ Ü Ò Ü Ò w½ Á tÔ ½ Ô Ó tÔ Ø ½  Ô Ö Ó™½ Ò ´ Ö  Ô ½ ÚÑ Ö  Ô ½ Ø Ó Ÿ½ Ò wÓ Á Ò t½ Ó ½ ÜØ Ü ½ ©Ó Ø ™½ Ò Ò Ô È Ó ™½ Ú Ó ™½ Á Ò wÓ Ó ½ ©Ó Ò Ü ½ ©Ó Ü Ó tÓ Ô tÓ È Ó tÓ Ú Ó tÓ Ó wÔ ½ ©Ô ½ ©Ó Ü Ü Ó tÓ Á wÔ Ô È Ó tÔ Ó tÔes decir , donde es la matriz à à âÀ ß ´ á à de la ecuación anterior, y y son las matricesß » a#Æ µ Ç » •#Æ µ È ã Èã àÀ àà Ày convertidas en vectores à .5 ä Ç » aYÆ µ È ã Como es cuadrada, por el Teorema 3 de la clase del 20 de marzo, esta ecuación tiene solución única ßsi la matriz es invertible, es decir si no tiene ningún autovalor nulo. ß Resulta que si æ „ç Eå æ y son respectivamente los autovalores de y , los autovalores de son é , º Â ß è Vç Á Eå æ ¾¾Ä Ï ´ ê ľ¾¾Ä Ï .È Äf¾CfCI¥Ä ä ëlÄ Æ 0fCfIcÄ ä ´ En M ATLAB la ecuación (LYAP) se resuelve con lyap(A,B,-C).3.8 Formas CuadráticasDada una matriz , la función escalar 80ˆˆíÀ ï ðï î ì Ê ÌÀ B Ê , donde , es una forma cuadrática. Sin pérdida ˜r"Ê ï î ìde generalidad se puede tomar como simétrica, À B GâÀ À ´ , ya que ó(ñ B uiœ» B Œò§µ B Ê Ä Ê Ê Ï ´ Ê ñ Á ñ para todo ï ÅÊ î ì .Los autovalores de una matriz simétrica son todos reales, ya que para todo autovalor ô con autovector õ deB 4âÀ À ´ , 1. el escalar õ À õ ö (donde ö õ denota la transpuesta conjugada de ) es real (sea õ õ real o no), Ä õ Àö õ ´ õ ö Àö õ ´ ö» õ Àö õµ y así 2. ô debe ser real dado que ¾ §» õ ö õ µ ô ´ Eô ö õ ´ õ À ö õ õ 5 ÷ puede escribirse en forma compacta como ü 0tÿ ü Y¬ vf2l{{÷ ÿ û ù þ ý ü ú û úù ø ( : producto de Kronecker).
  • 35. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 33Toda matriz real simétrica es diagonalizable, es decir, el orden de su mayor bloque de Jordan es . Si no À älo fuera, es decir, si existiera un autovector generalizado de orden mayor que asociado a algún autovalor õ ärepetido , tendría que verificarse que ô ¡» £ ¤¢ para algún ,y (3.9) Ä Ü ´ õ ¡ ˆˆ¡ô¸ · µ µ À ¡· ¸ ä ¾ Ü ¦õ ¡¼ » À ¥´ ½ ô (3.10)Pero entonces § ¡ ˆ¡· ô µ ö ©õ ¡ ¡ ¡ ò§· ô µ À ¸ ½¡¼ » À ¸ ¨ ½¡¼ » ò¡· ô µ ö õ ´ õ À ¸ Àˆ¡· ô µ ½¡¼ » ö ¸ ¡ ½“¼ » õ Àò¡· ô fö õ ´ ¸ µ õ °¼ t» Ó Ó ¡ » ˆ¸¡· µ 2¼ ¡ » Àò¡· ô µ ö õ ´ ¸ À ô Ó õ (3.11)debería ser nulo por (3.9) y no nulo por (3.10). Una contradicción que prueba que no puede tener À B À ´bloques de Jordan de orden mayor que , y por lo tanto debe ser similar a una matriz diagonal: existe una ämatriz no singular tal que 80˜rñ ï ðï î ì , donde es diagonal. ¡¼ vtâÀ ½ ñ ñ ´ VC˜G ï ðï î ì Notar que como es simétrica y diagonal, À Ä B # B » “¼ §4´ B » ¡¼ #œ4´ ¡¼ vt‡À ñ ½ ñµ ½ ñ ñµ ½ ñ ñ ´que implica que · É´ B Yñ ¡¼ G´ B ñ y ñ . Toda matriz no singular ½ ñ ñ con esta propiedad se llama ortogonal, ysus columnas son vectores ortonormales.Teorema 3.6. Para toda matriz real simétrica À existe una matriz ortogonal ñ tal que B vt‡À ñ ñ ´ o òÅÀ B tt Ä ñ ñ ´donde es una matriz diagonal con los autovalores de À , que son todos reales, en la diagonal. Una desigualdad importante para una matriz simétrica À es la desigualdad de Rayleigh-Ritz, que diceque para cualquier ˜ÅÊ ï î ì Ê B Ê ô B Ê "! ô ÌÀ Ê Ä Ê B Êdonde "! ô ô y son respectivamente el menor y mayor autovalor de À .3.8.1 Matrices definidas y semi-definidas positivasUna matriz simétrica se dice definida positiva, que denotamos À , si para todo vector £ À Ê ÌÀ B Ê £ Ü Ü ˆòì Êï î no nulo. Es semi-definida positiva, que denotamos , si para todo vector no # $À Ü Ü #%ÊÌÀ B Ê ˜ò%Ê ï î ìnulo. Si es definida positiva, entonces À sii . Si es semi-definida positiva, entonces existe Ê B Ü ´ ÌÀ Ê Ü {Ê ´ Àalgún no nulo tal que Ê . ´ Ê B Ü ÌÀ Ê Existen pruebas para determinar si una matriz es definida o semi-definida positiva basados en las pro-piedades del signo de los determinantes de diversas submatrices. Uno de ellos se basa en los menoresprincipales. Sea una matriz simétrica con entradas . Entonces dados los enteros y 800 ï é î ì À é ï ð (è #È & æ ) ´ Æ CfCfÄ ä ľ¾¾ 0 é ffCfÄ Ó é Ä ½ é & ľ¾¾ , con ä é , definimos los menores principales de la matriz ½ como Æ 00ã Ó ãã À ã0ã0ã @ Ÿ7 æ È 7 æ 97 æ È ÛÑ æ 8 ÐÛ ÝÝ Ö A Ÿ7 æ È æ ÞÕ 642E» 0 é ffCfÄ Ó é Ä ½ é À 531 ´ ľ¾¾ µ ã00ã @ œ@ æ È 7 æ B@ æ È ã00ã C0ã ã ã æ ãã 8 0Cã ãã ¾ A œ@ æ È æ 0Cã ãã ã00ã @ æ A æ È 7 æ 8 A æ È ã Aæ Aæ ÈLos escalares , ä À µ ) » ) CCfCI¥Ä ľ¾¾Ä Ï Æ CffCI¥Ä ä ´ ľ¾¾Ä Ï , que son simplemente los determinantes de las submatrices dela esquina superior izquierda de , À Ä t½ È n» ä À ´ µ ä À µ I7Q77@ HF6DCn”cÄ GG E 5 3 1 ´ » Ï GG S (P@R@7@ Ä ½ V6DT„”cI¥Ä ä À U 531 ´ » ÎÄ Ï µ GG GG I7Q77Q7@W P@R@7@ R@W 00ã Ä (I@W GG ãã XW7 Y WIW G G Gson los primeros menores principales de À .
  • 36. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 34Teorema 3.7. Una matriz simétrica À es definida positiva (semi-definida positiva) sii cualquiera de las si-guientes condiciones se satisface: 1. Cada uno de sus autovalores es positivo (no negativo). 2. Todos sus primeros menores principales son positivos (todos su menores principales son no negativos). 3. Existe una matriz no singular ` VC˜xì ï ðï î (una matriz singular ` 8C˜tì ï ðï î , o una matriz ` î tì G ï Vð , con ) tal que tbÈ Æ a . ´ À `B ` Una matriz simétrica À es definida negativa (semi-definida negativa ) si À ¸ es definida positiva (semi-definida positiva).Ejemplo 3.10. La matriz simétrica × ´ ‡À ½ w½ È Ó Ÿ½ È Ó Ÿ½ È Ù ÓwÓ Èes definida positiva si y sólo si £ y YÈ ¸ wÓ È w½ È £ . Es semi-definida positiva si y sólo si # ½ w½ È Ü Ó Ó ½ Ó Ÿ½ Ü ½ w½ È ,y # . #Ó wÓ È Ä Ü Ü Ó È ¸ tÓ È t½ È Ó ½ Ó Ÿ½ Ü3.9 La Descomposición en Valores Singulares (SVD)Consideremos una matriz òº î ì y definamos G ï 8ð º B “‡À º ´ . Claramente À es —¿Æ Æ Ç , simétrica, y semi-definidapositiva. Sus autovalores æ ô son no negativos. Como G · ô  6D1 µ53 » ˜º B ¸ ï · ô  6D1 ï ¼ G ô E» B ni¸ º µ53 ´ º ºlas matrices cuadradas B nº º B º º y comparten los mismos autovalores positivos y sólo difieren en el númerode autovalores nulos. Supongamos que hay c autovalores positivos de À , y sea ) » Æ Ä È Vh ge´ µ f d . Entonces podemos ordenar # # £ ô # i ´ Ü "pFô i ô ´ C0ã ´ ½ 0 Ä ½ ô Ó ô C0ã ãã ããLos valores singulares de la matriz º son é usæ q t r Äæ ô ¾ ) CCffÄ ä ´ ľ¾¾ Por el Teorema 3.7, para º B i´ À º existe una matriz ortogonal ñ tal que B º B ñ xvxEº w ´ ´ ñ Ä „w Bdonde es una matriz diagonal con los q Óæ en la diagonal. La matriz w es Æ ÉÈ Ç con los q æ en la diagonal.Teorema 3.8 (Descomposición en Valores Singulares). Para toda matriz tGº î ì G ï 8ð , existen matrices or-tonormales y tales que y î iì € GðG 80ï î ì ï ð q ÐÛÛ 00ã ãã C0ã ãã ÞÕ ÝÝ ½ ÛÛ Üq Ü Ü ÝÝ Ü Ü ÛÛ Ó ã00ãã Ü Ü ãC0ãã ÝÝ Ü . . . . .. . . . . . . . ÛÛ . . . . C0ã ãã . ÝÝ y º B r T´ € w Û 00ã ãã 0q ãC0ãã ÝÝ Ü ÛÑ Ü Ü ÖÜ Ü Ü ã00ãã Ü Ü ãC0ã ã Ü . . . . . . . . . . . . 00ã ãã . . C0ã ãã . Ü Ü ã00ãã Ü Ü ãC0ã ã Ü G ï Vðdonde # Óq # ½q 0Cã ãã # 0q # Ü .
  • 37. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 35 Los vectores en las columnas de y S ‰ˆ 8„„„8 7 ƒ‡´ € S †‚ 8„„„8 7 ƒ´ y ˆE … ‚E son los vectores singulares izquierdos yderechos respectivamente de . º Es fácil verificar comparando las columnas de las ecuaciones º € ´ wy y B º y ´ w € B que æ tõ º ´ q f’æ æ‘ é q ä ´ ) fCfCÄ Ä¾¾¾ ¾ §» Æ Ä È 8h –•´ µ f d æ •‘ B º ´ “”tœæ æõLa descomposición en valores singulares (SVD)6 revela muchas propiedades de la matriz . Por ejemplo, si ºces el índice del valor singular positivo más pequeño, entonces 1. el rango de º es , c 2. los vectores ï õ CfCfÄ ½ —pi ”& ľ¾¾ õ son una base ortonormal del kernel de , º 3. los vectores i ‘ •CfCÄ ½ 4& ľ¾¾ ‘ son una base ortonormal de la imagen de , º 4. tenemos la representación i ´ %º q ˜ ¾ Bæ õ æ ‘ æ ½ ™æ Los valores singulares representan precisamente las longitudes de los semiejes del hiper-elipsoide d ´ ichfóº & g Êg e Ê . La Figura 3.3 muestra el conjunto para una matriz con . q qÄ qÄ ´ ©ä d º Ü ´ Ô pkl¾ Ü ´ Ó Ikj¾ Ü ´ ½ m¾ 1 0.5 q Ô 0 q q Ó −0.5 ½ −1 1 0.5 1 0.5 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1 Figura 3.3: Hiper-elipsoide d en Ô î . En M ATLAB la función [U,S,V]=svd(A) calcula los valores y vectores singulares.3.10 Normas de MatricesEl concepto de norma de vectores se extiende a matrices. Sea º una matriz áÈ Æ Ç . La norma de º puededefinirse como ió g 4|™{ rsy´ wwó¥ gºÊÊgg g rps •—n g g Ê º z x| q ho u d ´ g º v t™ (3.12) ½Esta norma definida desde la norma de los vectores se llama norma inducida. Usando diferentes normasvectoriales ( , , , etc.) obtenemos diferentes normas inducidas. En este curso vamos a utilizar la norma Ï ä }inducida por la norma vectorial euclídea, , que es la que se conoce como norma espectral de una matriz. Ó wcg gÊ Otra propiedad importante de la descomposición en valores singulares de es que la norma espectral ºde está dada por su mayor valor singular, º —n g ´ g º q ¾ ½ 6 Singular Value Decomposition.
  • 38. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 36Ejemplo 3.11. Si y son números reales, la norma espectral de × ½ ô Ó ô ´ %º ½ ô ä Ü Ù ¥Ó ôestá dada por (3.12) como —n g ´ g º 6pd ~ qo ¾ Ó Ê Ó ô Á Ó » Ó iÁ ½ Ê ½ ô µ Ê  h½ ™ @ @ s p @7 s Ó ÓPara no tener que resolver un problema de optimización con restricciones, calculamos n0g g º a través de q ½computando los autovalores de . El polinomio característico de es º B º º B º × Ó ¡ô ¸ ô 5 3 1 ´ » B º ¸ µ 5 3 ¸ ½ ô ¸ ô ½ ½ ô ¸ 6DTEˆº i§· ô  6D1 Ù ä ¸ Ó ô Ó Ó ô Á Ó ô Á ä Œ¸ Ó ô ´ µ ¾ Ó ôÓ ô Á ô» Ó ½ Ó ½Las raíces de esta cuadrática están dadas por ´ ô Á ä t ‚¡ô Á €¡ô  ÓÓ Ó Ó » ÓÓ ô Á ½ Ó ô Á ä µ m ƒ¸ Ó ôÓ ô Ó ½ ÏEl radical puede escribirse de forma que su positividad es obvia. Eligiendo el signo positivo, y después de unpoco de álgebra llegamos a —n g ´ g º t Á ä Á Ó»Ó ô Á ½ ôµ t ä Á Ó»Ó ô ¸ ½ ôµ ¾ (3.13) ÏDe (3.13) se ve que q ô ¸ ½ ô Á Ó ô Á ½ ô —n g ´ g º ¾ ¹» Ó ô Ä ½ ô 86pe´ „ Ó µ qo d „ τ „ …# ½ „ „ „ „ La propiedad de que q es mayor que la magnitud mayor de los autovalores de º es general, y más aún, ½para cualquier autovalor no nulo de æ §ô 8C˜î Œº ï ðï ì q §ô 0 q „æ „ ½La norma espectral de una matriz en M ATLAB se calcula con norm(A). º Algunas propiedades útiles de la norma espectral de matrices: wcDn u†wó g g Êgg ºg g Ê º gpugx„n u‡‡“Å g  Á g ºg g  Á º „puDn u‡‡( g ¾ g  g g ºg g  º3.11 ResumenEn este capítulo hemos repasado ˆ Las definiciones básicas relativas a vectores y matrices, traza, determinante, e inversa. ˆ Bases y conjuntos ortonormales, independencia lineal, el concepto de norma, y el método de ortonor- malización de Schmidt. ˆ Los resultados principales para la solución de ecuaciones lineales algebraicas, y los conceptos de imagen, rango y kernel de una matriz. En particular, la ecuación Œóº Í ´ Ê – tiene solución sii Í está en la imagen de . º – tiene solución única si ‰ d ‹1 Ü & Eˆ™§D3 ‰ f ´ » ºµŠ ( ). £ ˜œœ©3 ‰ d ‹1 Ü E˜œœD3 ´ » ºµŠ – tiene infinitas soluciones si f . Ü » ºµŠ
  • 39. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 37 ˆ Transformaciones de similitud de matrices, que permiten representar una matriz en diferentes coorde- nadas, ˆ Formas diagonales y de Jordan, que muestran la estructura básica de una matriz dada. No toda matriz puede diagonalizarse, pero siempre se puede obtener la forma de Jordan (diagonal en bloques). ˆ Funciones polinomiales de matrices y el teorema de Cayley-Hamilton, que dice que toda matriz satis- face su polinomio característico. ˆ El polinomio mínimo, que es el polinomio de menor orden Œ » ôµ tal que Œ . Es siempre un factor Ü E˜œµ ´ » º del polinomio característico de la matriz (coincide con éste si º no tiene autovalores repetidos). ˆ Que una función de una matriz cuadrada,  ˜œµ » º puede definirse evaluando » ôµ  en el espectro de , y º por lo tanto, como una combinación lineal de r“¼ ˜c0fCf«cc· & ½ ï ºÄ¾¾¾Ä ºÄ (o de & r½“¼ nc0fCf«cc· donde Žï º Ä ¾ ¾ ¾ Ä º Ä Æ es el Æ orden del polinomio mínimo de ). º ˆ Diferenciación e integración de matrices, definida elemento a elemento. ˆ La ecuación de Lyapunov , que es una ecuación lineal algebraica matricial que tiene à ⴠ ‰‡«º À Á À solución única sii los autovalores de , y de son tales que , G C˜¢À ðï î ì é ¿ æ å VC˜òº ï ðï î ì è ç i î ì Gð G Ü ¥´ è ç Á æ å ľ¾¾ ‘ ľ¾¾ . È fCfCÄ ä ´ ê ‹Æ ffCfÄ ä ´ ˆ Las formas cuadráticas , que son funciones escalares cuadráticas en los elementos del vector ,Ê ÌÀ B Ê Ê donde puede tomarse como simétrica (o ser reemplada por À ). Ï ’“» B “–¥µ À Á À ˆ Que las matrices simétricas tienen siempre autovalores reales, y que son siempre diagonalizables. ˆ Matrices simétricas definidas, y semi-definidas positivas, que son aquellas À para las que Ê ÌÀ B Ê es positiva, y no negativa, respectivamente. ˆ La descomposición en valores singulares de una matriz . Los valores singulares son la raíz cuadrada º de los autovalores de . º B º ˆ La norma espectral de una matriz º , que es la inducida por la norma euclídea de vectores, y es el máximo valor singular, de . q º ½3.12 EjerciciosEjercicio 3.2. Dados los vectores B ƒä Î lv´ Ê S ¸ ÏE ½ y B ƒä ëä v´ Ê S ä E Ó 1. Calcular sus normas 1, 2 e } . 2. Encontrar vectores ortonormales que generen el mismo subespacio.Ejercicio 3.3. Determinar rango y bases de la imagen y el kernel para cada una de las siguientes matrices: ÐÑ ÕÖ Ü ä Ü m ÐÑ ä ä ¸ ÕÖ ÐÑ ä Ï Î m ÕÖ ´ ½ º Ü Ü Ü ´ Ó º Î Ï Ü ´ Ô º Ü ä ¸ Ï(¸ Ï ¾ Ü Ü ä ä ä Ü Ü Ü Ü äEjercicio 3.4. Dada la ecuación ÐÑ ÕÖ ÕÖ ÐÑ Ï ä ¸ ä Î(¸ Î ´ ”Ê Ä Ü ä ¸ Ï ä¿Cuantas soluciones tiene? ¿Qué pasa si B ƒëëä ”ÅÍ Sä ä E ´ ?Ejercicio 3.5. Dada la ecuación ÐÑ ÕÖ ÕÖ ÐÑ ä Ï Î m Î Ü ä ¸ Ï(¸ Ï ´ Ê Ï Ü Ü Ü ä ä
  • 40. 3. Herramientas de Álgebra Lineal 38 1. Encontrar la forma de la solución general. 2. Encontrar la solución de mínima norma euclídea.Ejercicio 3.6. Dadas ÐÛ ÝÝ ÞÕ ÝÝ ÞÕ ÐÛÛ ÝÝ ÞÕ ÐÛÛ Ï ÛÑ ä Ü Ö Ü Ø Ö ÜÑ Ø ÖäÑ Ü Ï ä Ü Ü Ï ´ %º Ï ´ ½ ´ Ó Î Ü Ü Ü ä Ü Ü Ü ä ä ä Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Øencontrar las representaciones de º con respecto a las bases & º cÄ ½ Ô tÄ ½ Ó tÄ ½ º º & ½ y Ô cÄ Ó Ó cÄ Ó tÄ Ó º º º Ó .Ejercicio 3.7. Representar en forma de Jordan las siguientes matrices ÐÑ ÕÖ ÐÑ ÕÖ ÐÑ ÕÖ ä m Üä Ü ä Ü Ü m Î ´ ½ º Ü Ï Ü ´ Ó º Ü ä ´ Ô º Ï lä ¾ Ü Ü Î Ï (¸ m •Ü ¸ Î (¸ Ü Ü 4Ü (¸ –Ï Ü (¸ ÏEjercicio 3.8. Mostrar que si ô es un autovalor de º con autovector , entonces õ  » ôµ es un autovalor de con autovector . ˜œµ » º õEjercicio 3.9. Calcular para las matrices y del Ejercicio 2 de la clase del 22 de marzo. °•­ ¯ ® ½ º Ô ºEjercicio 3.10. Mostrar que funciones de la misma matriz conmutan:  ˜œµ  ˜œ¡xE˜œ¡“˜œµ » º » ºµ — ´ » ºµ —» º .Ejercicio 3.11. Sean todos los autovalores de º distintos, y sea ÐÑ 7@ 00 ÕÖ æ a˜ un autovector por derecha de º asociado éa º æ ô , ˜ æ ˜æ ô ´ æ . Sea r œ S ‰ ™ šš ›@ ™ 7 H”ñ š ™E ´ y ´ “¼ ñ ½ 0 . . . Ä donde ) æ es la fila de œ . Mostrar que ‰ 1. ) æ es un autovector por izquierda de º asociado a æ ô : ) æ ) æ ô %º æ ´ . 2. ˜ ä ´ ¡¼ ˜§”œµ ½ » º ¸ · ¶ ô v¶ ¸ ˜æ ¾ æ )æ tò ³ ½ v ²Ejercicio 3.12. Encontrar À solución de la ecuación de Lyapunov con ´ %º Î ´ , , S ÔÔ ”"à E ´ . ¿Existesolución única? 2E2¼ Ó ¼ ÓEjercicio 3.13. ¿Son las siguientes matrices definidas o semi-definidas positivas? ÐÑ ÕÖ ÐÑ ÕÖ Ò ÐÑ Ò Ò ÕÖ Ò Ò Ï Î Ï ä ¸ Ó ´ ½ º Î ä ´ Ó Ä º Ü Ü ´ Ô Ä º ½Ò Ò Ó ½Ò ÓÒ Ò ÔÒ½ Ò Ü Ü Ü Ü ½ ÒÓÒ Ó Ô ÓÒ Ï Ü Ï ä ¸ Ü Ï ½ Ô Ó Ô Ó ÔEjercicio 3.14. Calcular los valores singulares de las siguientes matrices × × ´ ½ º ä ¸ Ü ´ Ó ºÄ ä ä ¸ Ï Ï ä ¸ ÙuÜ Ï m ÙEjercicio 3.15. Calcular la norma espectral de las siguientes matrices × × × Ü Ü Î ä ê ë¸ ä Ü ´ ½ º Ä ´ Ó º Ä ´ Ô º ä Ù Ü ä Ù Î Ü Ù ê Á äEjercicio 3.16. Dada una constante å £ ä , mostrar cómo definir una matriz º Ï Ç Ï tal que los autovaloresde sean los dos º y . å’ ä †n g # g º åEjercicio 3.17. Si º es invertible probar que “¼ n •‡g ¡¼  g ½ g ºg # ½ º .
  • 41. Capítulo 4Solución de la Ecuación de Estado yRealizaciones4.1 Solución de Ecuaciones de Estado EstacionariasVimos que los sistemas lineales pueden representarse mediante integrales de convolución y, si son de di-mensión finita (a parámetros concentrados), también mediante ecuaciones de estado. No existe forma analítica simple de resolver la integral de convolución ¯ eEtƒnÍ ž ´ »µ ¡¤ƒ¹¢µ ‘ ¹¡ H§— ¾   £»   »  Äµ (4.1) Ÿ¯La forma más fácil es calcularla numéricamente en una computadora digital, para lo cual hay que aproximarlaprimero mediante una discretización. Cuando el sistema es de dimensión finita, la forma más eficiente de calcular es obtener una repre- wƒnÍ »µsentación en EE de (4.1) (realización) y resolver las ecuaciones » »µ  Á »µ Ê»µ º ´ »µ¥ tHµ ‘ wƒ(“Ëwƒ¿œwƒ—“ˆwƒ¿Ê (4.2) ¾¹»wƒµ ‘ wƒµ Cówƒ¿œtH«GEtƒnÍ  » Á »µ Ê»µ à ´ »µ (4.3) Empezamos considerando el caso estacionario (invariante en el tiempo), es decir: 6E vC(º Ä ÃÄ ÂÄ constantes.Buscamos la solución de la ecuación tHóÊ »µ  Á »µ Ê º ´ »µ¥ “¿tHóói˜wƒ¿Ê ‘ wƒµ » (4.4)para un estado inicial y entrada » Ü óÊ µ dados. Un método de encontrar la solución en este caso, g¦0tƒµ ‘ # Ä» Ücomo es simple, es “probar” una solución candidata y ver si satisface la ecuación. Para el sistema escalar ´ »µ¥ Ò ˜wƒ¿Ê wƒ¿Ê »µsabemos que la solución tiene la forma , así que probamos suponiendo que » Ü ¿Ê ¥¦­ ˆwƒ¿Ê µ ¯§ ´ »µ tHóÊ »µ en (4.4) va ainvolucrar a la exponencial matricial . 2f­ ¯ ® Multiplicando ambos lados de la ecuación (4.4) (en ) por obtenemos   D”¼ ­ ¨® ¸ »  µ¥ ¨ ® ˜¹’óóu©°¼ ­ § „§¢ËÊ ©°¼ ­ ´ »  µ Ê º ¨ ® ‘ 2©°¼ ­  ¨ ® ¹¢µ »   © £ ´ ¨ ¹¢¿fD”¼ ­ »  µ Ê ¨ ® ¾§»¹¢µ ‘ 2©°¼ ­   ¨®   ¤£La integración de esta última ecuación entre y  da Ü ‘  D”¼ ­ ¯ v x´ s™ ¯¨ ª©§¢¿Ê D”¼ ­ ¨® ž v ª »  µ ¨ ® ¡¤ƒ§¢µ Ä   £»  es decir, ˜» Ü ¿Ê v ­ nwƒ¿Ê 2”¼ ­ ´ µ ¸ »µ ¯ ® ‘  D”¼ ­ ¯ v ž ¨® “‹H¹¢µ ¾   £»   39
  • 42. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 40Como la inversa de °°¼ ­ ¯ ® es °•­ ¯ ® y v­ · 4´ , como vimos en clases anteriores, finalmente arribamos a la soluciónde (4.4) Ü óÊ °® ­ ˜tHóÊ µ ¯ ´ »µ ‘ 0ƒ­¼ ¯ ¤® ­ ¯ v «¿» ®¨ ¬ ž Á ¡¤ƒ¹’µ ¾   £»   (4.5) La ecuación (4.5) es la solución general de la ecuación de estado (4.4). Suele referirse como la fórmulade variación de los parámetros. La substitución de (4.5) en la ecuación de salida (4.3) expresa como tHEÍ »µ Ü ¿Ê 2® ­ GEtƒnÍ µ ¯ à ´ »µ ‘ xz¤ƒ§¢µ ‘  r­¼ ¯ ¤® ­ ¯ v ¯r¹» Á  £»   ®¨ ¬ ž à Á CtHµ Ä» (4.6)que evidencia la superposición de la respuesta a entrada nula y la respuesta a condiciones iniciales nulas. La solución de la ecuación de estado también puede calcularse en el dominio frecuencial haciendo latransformada de Laplace de (4.2) y (4.3)1 y resolviendo las ecuaciones algebraicas obtenidas: S » œµ ° ‘ i¿» Ü óÊ E “¼ ˜§”œ4E» œ¿° Ê ¶  Á µ ½ » º ¸ · ¶µ ´ ¶µ ° ‘ TÁ S » œµ ° ‘ “¹» ¿Ê ›“¥˜¡”œ«GE» œ„° Í ¾C» ¶œµ ¶  Á ܵ E ½ ¼» º ¸ · ¶µ à ´ ¶µ Las fórmulas (4.5) o (4.6) requieren la exponencial matricial °•­ ¯ ® . Como vimos, esta puede calcularse enmás de una forma, entre otras, 1. Usando el Teorema 1 de la clase del 27 de marzo, evaluando  ´ {» ô µ au­ ¯ ± en el espectro de º , y calculando los coeficientes del polinomio matricial . ² » ôµ 2. Encontrando la forma de Jordan de ¡¼ °´“"º ½ ñ ³ ñ ´ , usando la fórmula explícita de ¯ ¦­ µ (también vista el 27 de marzo), y después haciendo ½ ¡¼ ñ ¯ µ ­ i´ °•­ ñ ¯ ® . ± 3. Como ¡¼ ˆi¹”™4´ ’°•­ E ½ » º ¸ · ¶µ S¯ ® , calculando la inversa de ˜i¹”œµ » º ¸ · ¶ y antitransformando.Ejemplo 4.1. Consideremos la ecuación × × ´ »µ¥ ¸ ˜wƒ¿Ê Ü ÁË»tHµóÊ ä (¸ Ï Ü ‘ tHµ » ä Ù ÙäSu solución está dada por la ecuación (4.5). Calculamos °•­ ¯ ® por el método 3; la inversa de §”¶ º ¸ · es × × "«¶ Ï Á ä ä ½ ¡¼ ¶ ä ¸ ´ ¡¼ ˆi¡”œµ ½ » º ¸ · ¶ ´ Ï ŒÁ ¶ ä ¸ × ä Ó » ä «œµÁ ¶ Ù Ù ¶ ´ Ó » ä ˆœ8’ ä ¸ Ó » ä —œ8””"«œµ Á ¶µ Á ¶µ ’» Ï Á ¶ Ù Ó » ä Á œ8©¶¶µ ’ Ó » ä —œ8’ ä Á ¶µLa matriz es la antitransformada Laplace de °•­ ¯ ® , que obtenemos expandiendo en fracciones ¡¼ ˜“ˆ”œµ ½ » º ¸ · ¶simples y usando una tabla de transformada Laplace (o en M ATLAB con el symbolic toolbox con la funciónilaplace). × ± @ ¢½¡¼p X·¬ @ ¡¢Ó®® ½ p p X·X·¬ ¬ ´¡¼ ½ ¡u­ txÁ ä µ ¯ ¼ » ¡¼ ­ g¸ ¯  ¹@ ®¢½ · p X·¬ @ ¢½ ½ p X·¬ ¶ ½ ¸ ® ® ´ ¯ ¡¼ ­  Ù ¯¡¼ ­ wC¸ ä µ » ¾Finalmente, usando la fórmula de variación de los parámetros (4.5) × × µ Ó Ê “¼ ­ 2„» Ü µ ½ Ê “¼ ­ weÁ ä µ ¯  ¸ ¯ » » ¤ƒ»§¢µ ‘¹ƒ­¼ ¯ ¬ ¼ ­ ¹ »¸„ƒµ ¯ v ¸  £   ®¨ »  º ˜wƒ¿Ê ´ »µ µ Ó Ê “¼ ­ wC¸ ä i¹» Ü µ ½ Ê ¡¼ ­  Á » Ü ¾ ¯ » µ Á ¯ Ù Ü º Ù  ¤ƒ»¹¢µ ‘Hƒ¤¼ ¯ ¼ ­œS »¹ ƒ¸óƒµŒ¸ ä E ¯ v £   ®¨ ¬  1 Clase del 8 de marzo.
  • 43. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 414.1.1 Comportamiento asintótico de la respuesta a entrada nulaDe la forma de donde está en forma de Jordan podemos deducir el comportamiento asintótico de la ¯µ ­ ³respuesta del sistema a condiciones iniciales. Consideremos un sistema cuya matriz es ³ Eº ¡¼ t´ ñ ½ ñ ÐÛ Û ÝÝ ÞÕ ½ ô ÛÛ ä Ü Ü ÝÝ Ü Ü Ñ ½ ô ä Ü Ö Ü ³ ´ Ü Ü ½ ô Ü Ü Ü Ü Ü ½ ô Ü Ü Ü Ü Ü Ó ôLa respuesta a entrada nula de  Á »µ Ê º ´ »µ¥ ótƒ¿ó«tHóÊ ‘ tƒµ » es » Ü ¿Ê 2f­ (wƒ¿Ê µ ¯ ® ´ »µ , donde ya conocemos la expresiónen forma cerrada para 2f­ ¯ ® ÐÛ ÞÕ ÝÝ ¯ 7 u­ ÛÛ ± ¯ 7 u­  ±  u’ ¯ 7 u­ Ó Ï ± ÝÝ Ü ¯ 7 u­ ¯ 7 u­  Û Ü Ü Ñ ± ± Ö ¯ 7 u­ Ü Ü i´ °® ­ ñ ¯ ± ½ ¡¼ ñ ¯ 7 u­ Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü ± @ ܱ ­ Ü Ü Ü Ü ¯Vemos que cada elemento de será una combinación lineal de los términos °•­ ¯ ® B¯ @ u­ Ä ¯ 7 ¦Ó ¦Ä ¯ 7 ¦­ (Ä ¯ 7 ¦V& ± ±­  ±  ±­ , quesurgen de los autovalores de y sus multiplicidades. º Podemos así deducir que ˆ Si todos los autovalores de , repetidos o no, tienen parte real negativa, º ‡g 2® ­ g ¼ ¯ cuando } ½ ¼ ; la Ü respuesta de extingue. ˆ Si algún autovalor de º tiene parte real positiva, } ¾g °•­ g ¼ ¯® cuando } ¿ ¼ ; la respuesta crece en forma ilimitada. ˆ Si ningún autovalor de tiene parte real positiva, y los autovalores con parte real cero son de multipli-º cidad 1, cuando ¯para alguna cota †g °® ­ g ; la respuesta permanece acotada. å } À ¼ î ì å ˆ Si tiene autovalores con parte real cero de multiplicidad º Ï o mayor, } ¿g °® ­ g ¼ ¯ cuando } Á ¼ ; la respuesta crece en forma ilimitada. Estas conclusiones son válidas en general para la respuesta de un sistema  º ´ »µ¥ »wƒµ¿Êói˜tƒ¿Ê .Ejemplo 4.2 (Oscilador armónico). Para el oscilador armónico, donde × ´ %º Ü ä ä ¸ Ù Üobtenemos × × ¶ ä ½ ¡¼ ä ¸ ¶ ä ´ ¡¼ ˆi¡”œµ ½ » º ¸ · ¶ ´ ä ä Á Ó ¶ Ù ¶ ä ¸ Ù ¶de donde (Á× Ã ´ °® ­ ¯ (Âx Äx Ô  •h©3 ¾ Ù ix •©”Ÿ h3xLa respuesta a entrada nula » Ü óÊ °•­ ˜tƒ¿Ê µ ¯ ® ´ »µ será oscilatoria.
  • 44. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 424.1.2 DiscretizaciónUna aplicación directa de la fórmula de variación de los parámetros es la discretización de sistemas parasimulación o diseño de controladores digitales. S ¢E ‘ ‘ tƒµ » tHEÍ »µ S ¢ ÆÍ E p s Ë ™ È sÊ ÉÌ D/A ‚‚ Fp s ®s™ ¯Ç Í Ï ‚Î A/D Consideremos el sistema en tiempo continuo Î dado por sus EE » »µ  Á »µ Ê»µ º ´ »µ¥ tHµ ‘ wƒ(“Ëwƒ¿œwƒ—“ˆwƒ¿Ê ¾¹»wƒµ ‘ wƒµ Cówƒ¿œtH«GEtƒnÍ  » Á »µ Ê»µ à ´ »µPretendemos obtener un modelo discreto en EE Ï ‚Î asumiendo un bloqueador de orden cero a la entrada yun muestreador a la salida.Discretización simple pero inexactaHagamos primero un enfoque intuitivo. La forma más simple de obtener un modelo discreto de este sistemapara un muestreo regular con periodo es usando la aproximación §ƒ¿Ê Á µ wƒ¿Ê n» »µ ¸ Æwƒ¿¥ Ê Ð »µ Ípara obtener ¢ ¢ tHóóº •wƒ¿Œˆ» Í Cƒ¿Ê »µ Ê Á»µ Ê ´ Áµ  Á ‘ tƒµ » . Si sólo nos interesa la evolución del sistema en los instantes ´ , n CÍ f(¥Ä ä Ä Ü ´ ¾¾¾ Ï , llegamos al modelo ¢ ÄÊ E %“©x´ ƒä Á º Á ·µ S Í S ¢ Ĝ» EÊ Â iÁ S ¢E ͑ ¾ Í (4.7) ÍEl modelo discreto (4.7) es simple de obtener, pero inexacto inclusive en los instantes de muestreo. Í ÍDiscretización exactaUn modelo discreto exacto del sistema continuo puede obtenerse usando la fórmula de variación de losparámetros que da la solución general de la EE. La salida del bloqueador de orden cero (D/A) se mantiene constante durante cada período de muestreo hasta la próxima muestra, ‘ ˜wƒµ ´ » ¢µ ‘ » S ¢E ‘ r para ¢ a • ¢ •  e »ä Á µ .ÍPara esta entrada seccionalmente constante, evaluamos el estado del sistema continuo en el instante de Í¢ Í Ímuestreo , » ä Á 4n µ ´ ¢ ÄÊ E Á ¬ ® ¡ ž Á µ p ¡ Q¬‹® ­ B ¢½ p ¬ «¿» óÊ B ’®½ p ¡ ¤® ­ E» » ä Á Í ¢ cóÊ r ƒä ¬ ´ µµ S  ®ƒ¨¤¼ B ¢½ ® ‹H¹¢µ ‘   £»   v Ü B ¡ B ’½ p ¡¬ B¡ ž Á Ò ¤ƒ¹¢µ ‘  ƒ­¼ B ¡ ¤® ­ v ž ¹» Ü ¿Ê Í B ¡ ® ­ »B ® ­ ´  £»   ®¨ ¬ Á µ Ñ ®   ¤£ S ¢ E ‘  ƒ­¼ B ’®½ p ¡ Q¬¤® ­ ®¨ ¬ Ö Ø ¡¡ ¹rÔ×Õ s Ó ¢ B ¢E Ä S E ‘ Â Ò q £ ©® ­ ž Ñ Á S ÄÊ B ® ­ ´ Ù v
  • 45. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 43donde en la última línea usamos q ¢ » ä Á G´ µ   ƒ¸ . Así llegamos al modelo discreto ¢ ÄÊ E r´ ƒä Á º S ¢E S ¢¢ ÄÊ ÏÏ E  “Á ‘ ÏÏ S ¢¢ E Í (4.8) д S ÆÍ ‘ TÁ S ÄÊ E ÄS Edonde B º r Ï Ä B ®­ Ï vž r Ï Â „¤¤D® ­    £ ¨ à r Ï Ä Eà ¾ r El modelo (4.8) da el valor exacto de las variables en . ´ n ¢ Usando la igualdad , si es no singular podemos computar º ¯º · ® ´   ¨ ® B ˆ¸ B •­ •¤£ ©•­ v º Â Ï con la fórmula Â Ï œµ ¡¼ r´ º ½ º Ï C§ˆ¸ ¾ »· Í Un método mejor, que vale para toda , surje del siguiente resultado ºTeorema 4.1 (Van Loan (1978)). Sean dados los enteros positivos tales que . Si definimos ÓÆĽ Æ Æ ´ ÓÆ Á ½ Æla matriz triangular × Æ zÆ Ç ½  ½ º ´ à ºdonde @ ï8ð @ ï îì º Ù Ó 7 Vð 7 ï ì º ï Ü î ½ , y  , entonces para @ Vð 7 ï ì ï Û î ½ # ڝ Ó Ü Î »  9× Ë wƒµ ½ Û tHµ ½ » Û ¯ 7 ® ­ ´˜wƒµ ½ Û Þ » @ •­ ˜wƒµ ÜÝ Ä wƒµ ´ ¯ ­ donde ¯ ® ´ » Ó Ù» Ó Ü ¾“ ‹£ ƒ¨­¼ ¯ ¬ @ •­ ½  ¨ 7 •­ ¯ v º ˆwƒµ ½ ® ® Û ® ´ » Î Î Ï Ï Ýß ² Aplicando el teorema para obtenemos ´ %à µ ½ ´ Â Ï » µ ½Ï ´ º vÉ ³ ¿v ® y . » La función M ATLAB [Ad,Bd] = c2d(A,B,T) calcula  º y de estas expresiones. Í Í4.2 Ecuaciones de Estado EquivalentesLa descripción en EE para un sistema dado no es única. Dada una representación en EE, un simple cambiode coordenadas nos lleva a una representación en EE distinta equivalente del mismo sistema. ÛEjemplo 4.3. Sea el circuito RLC de la figura, donde à ´ â (ä á , ´ ã Dä y ä rà ´ . Como salida tomamos latensión en el capacitor. Si elegimos como variables de estado la tensiónen la resistencia y la tensión en el capacitor, obte- ä ë ånemos la descripción en EE èéç ¥Ê× × Ê × ¸ × æ è éç ½¥ ´ Ü Á ½ Ê ä ¸ ä ‘ ä Ù ©Ó Ê ä Ù ¥Ó ×Ù ä Ù Ü ì ì ² Ê Ü ´ Í ¾ ½ Ê ³ä ÙÓ èéç ë êuç uåê çSi en cambio elegimos las corrientes de lazo y ½ íÊ Ó íÊ ê uç êuçobtenemos ¥ íÊ × × × × ½¥ ´ Ü ä ¸ ½ íÊ Á ä ‘ Ù ©Ó í Ê ä Ùä ¸ Ù ¥Ó í Ê × Ù Ü ´ Í ² ä ³ä ¸ ½ íÊ ¾ Ù Ó íÊLas dos descripciones en EE valen para el mismo circuito. De hecho puede verificarse que × × × ´ ½ Ê Ê ä Ü ½ íÊ es decir ´ ”Ê ‡œ íÊ o ´ í Ê œ Ê “¼ ½ . ÙÓ ä Ùä ¸ Ù Ó íÊLa matriz œ (no singular) representa un cambio de coordenadas o transformación de equivalencia.
  • 46. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 44Definición 4.1 (Transformación de Equivalencia). Sea œ VC˜òì ï ðï î una matriz no singular, y sea Ê ¡˜œ {í Ê ½ ¼ ´ .Entonces la EE ¥ ówƒ¿í Ê í º ˆwƒ¿í Ê Á »µ ´ »µ ‘ í tHµ » »µ í à EtƒnÍ Á¿tHóí Ê ´ »  µ ‘ í ¾C»wƒµ donde rrí à v œ “í Â Ä ¡˜œ º œ òº à ´ Ä ´ ½ ¼ ´ í î4í Ä ¡˜œ ´ ½¼ , se dice (algebraicamente) equivalente a la EE en Ê con lasmatrices ,y ‡œ ”Ê rE0f«º íÊ ´ Ä ÃÄ ÂÄ es una transformación de equivalencia. Por lo visto en el repaso de Álgebra Lineal, las matrices y son similares y comparten los mismos º íºautovalores con la misma estructura de autovectores.2 La función M ATLAB [Ab,Bb,Cb,Db] = ss2ss(A,B,C,D,P) realiza transformaciones de equivalencia.4.2.1 Equivalencia a estado ceroDos descripciones estacionarias en EE son equivalentes a estado cero si tienen la misma matriz transferen-cia, ií  “¥˜º §”œ«í à CÁ C¡cˆi¡”œ«Ã Á ½ ¼»í ¸ · ¶µ ´ ½ ¼» º ¸ · ¶µ í ¾ (4.9)Usando la expansión en series3 Ó º º · Á Á ´ ¡¼ ˆi¡”œµ ½ » º ¸ · ¶ 0Cã Á ãã Ô ¶ Ó ¶ ¶válida para todo ¶ que no sea un autovalor de , podemos escribir (4.9) como º ¾ 0C㠈°¼ ¶ í Â í º í Ã ó“¼ ¶ í  í à Œí ´ 00ã E2¼ ˜«ErË¡¼ ˜(rŒ ãã Á Ó Á ½ Á ãã Á Ó ¶  º à Á ½ ¶  à ÁTeorema 4.2 (Equivalencia a Estado Cero). Dos EE lineales y estacionarias 6E vf«º & Ä ÃÄ ÂÄ y í (í à ví  (í º & Ä Ä Äson equivalentes a estado cero sii y , para ´ t í º Eà G ´ ò í G í º íà Cffp¥IcÄ ä Ä Ü ´ È ¾¾¾Ä ÎÄ Ï4.2.2 Parámetros de MarkovLa matriz ° Î representa la ganancia estática directa del sistema. Cuando , la matriz transferencia se Ü – ´reduce a  ¡¼ ˜i§”™«GE» œµ , que no es otra cosa que la transformada Laplace de la respuesta al impulso ½ » º ¸ · ¶µ à ´ ¶ Î Â 2® ­ x˜wƒµ ¾ ¯ à ´ »Los coeficientes Î » ܵ » Ü ÆÎ Œ(EÃ ïµ ´ŒÂ«ºÃ ´  » Ü ïïµ Î ŒunEà ´ Â Ó º . . .son las derivadas de la respuesta al impulso en el origen, y se llaman parámetros de Markov. En otras palabras, dos sistemas en EE son equivalentes a estado cero © sus respuestas al impulso son idénticas . © sus ganancias estáticas y sus parámetros de Markov son idénticos. Es claro que equivalencia algebraica implica equivalencia a estado cero. Pero que dos sistemas tenganla misma matriz transferencia no implica que tengan la misma descripción en EE. 2 Dado que la forma de Jordan es única, salvo reordenamientos de filas y columnas. 3 Surge de evaluar matricialmente la función ¡9¦§B”“©¯¡¡””u¯§”4û“õ ø ©¢””Dg9ñ ø 4óòrð þþþ ý ýø÷ý ò ý üø÷ü ò ý ø÷ ò ý ú ùôø÷ ò ö õ ô ñ .
  • 47. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 45Ejemplo 4.4 (Equivalencia algebraica × × ÿ   equivalencia a estado cero). Los sistemas ´ »µ¥ ˆwƒ¿Ê Ü ä ówƒ¿Ê Á »µ Ü ‘ wƒµ » » » µ¥ tHµ ‘ ´ˆwƒ¿Ê ܲ Ùä ¸ Ùä EtƒnÍ ´ »µ ä »tƒ¿ÊI³ ä µ 0tƒ¿ò˜wƒEÍ ¾»µ Ê ´ »µson equivalentes a estado cero, ya que para ambos ´ y , para todo r(à ´  º , y por Eà ä G # °Î Ü Ü ´ Â È äende, tienen la misma función transferencia, ¶ a’ ä E» œµ ´ ¶ . No son, sin embargo, algebraicamente equivalentes(tienen distinta dimensión).4.3 Formas CanónicasExisten formas particulares de las EE que presentan características útiles. Estas formas se llaman canónicasy discutimos tres: ˆ Forma canónica modal, ˆ Forma canónica controlable, ˆ Forma canónica del controlador.4.3.1 Forma canónica modalLa forma canónica modal es aquella en la que la matriz del sistema esta en forma de Jordan. Como ya ºvimos, la matriz de cambio de base se forma apilando los autovectores y autovectores generalizados del ñsistema. Una salvedad: cuando hay autovalores complejos , — naturalmente conjugados ya ´ Ó8 ½ ô q ¡ ¢ê q î r£Ä ì ¡que es real — con autovectores º  ´ Ó8 ½ õ c Ä ‘ ê ‘Äc Äï î ì ¤en vez de apilar y en ñ hay que usar y ‘ c para obtener la forma de Jordan real con el bloque S Ù ¤Ù¼ E . ½õ ÓõEjemplo 4.5. La matriz ÐÑ ÕÖ Ü Ü Ï Ï(¸ Ï ´ %º Ï Ü ä ¸ Ïtiene autovalores ä ´ Ó ô ê Á ä ´ ½ ô , Ï i´ Ô ô ,y ê ë¸, respectivamente con autovectores ÕÖ ÐÑ ÕÖ ÐÑ ÕÖ ÐÑ ÕÖ ÐÑ ÕÖ ÐÑ ä ä ä ä ä ä ´ Ó õ Ä ä ë¸ ä ´ ½ õ ê ´ Ôõ Ä ä ê Á ¾ Ü ä Ü ä Ü ä ½v ¼La matriz de cambio de base U‡xñ ´ Y n¡v½¡ó½½½ ½ la lleva a la forma de Jordan real ½ ó ¼ ÕÖ ÐÑ Ü ä ä ¾ Ü ä ä ¸ xñ ¥ º ¦“¼ ñ ´ ¥ ½ Ï Ü Ü4.3.2 Forma canónica controlablePresentamos esta forma canónica para el caso de una sola entrada de control, es decir ï %“ î ì . Esta formacanónica se obtiene seleccionando como matriz de cambio de base S  ¡¼ ˜taffCv«c E ´ § ½ ï ºÄ ¾¾¾Ä  ºÄ , que lleva a lamatriz a una forma companion, º ÐÛÛ ÝÝ ÞÕ ÐÛÛ ÞÕ ÝÝ ÜÛ Ü Cf¾ ¾¾ Ü å ¸ ÝÝ ï äÛ ÝÝ ä ÛÛ ¾Cf¾ ¾ ï å ¸ Ý “¼ Û § § Ñ Ü ¾Cf¾ ¾ Ü Ä Ö °¼ ½ § Ö Ü ÛÑ Ý º “¼ ½ ´ Ü ä Ü ï å ¸ Ó ˆÂ ¡¼ ´ ½ ¾ Ü (4.10) . . . . .. . . . . . . . . . . . . Ü Ü Cf¾ ¾¾ ä ½ å ¸ Ü
  • 48. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 46 §Obviamente se requiere que la matriz sea no singular (lo que veremos sucede si el sistema es controlable). Esta forma canónica tiene una relación uno a uno con el polinomio característico de , º ´ ˜Œn· ô 06D1 » º ¸ µ53 ãã Ó ½ .ï å Á ô “¼ ï å Á 0Cã Á 2¼ ï ô Ó å Á “¼ ï ô ½ å Eï ô Á ½ En M ATLAB la función [Ac,Bc,Cc,Dc] = canon(A,B,C,D,’modal’) genera la forma canónica mo-dal y canon(A,B,C,D,’companion’) la forma canónica controlable.4.3.3 Forma canónica del controladorUna forma canónica similar a la controlable (4.10), pero más conveniente para diseño de control, es la delcontrolador. Esta está dada por (caso SISO) ÐÛ ÝÝ ÞÕ ÝÝ ÞÕ ÐÛÛ Û ä Cf¾ ¾¾ Ü ÛÛ Ü Ü ÝÝ ÝÝ Ü ÛÛ Ü ÛÑ Ü ä ¾Cf¾¾ Ý Ü Ý Ö Ü ÛÑ . . . . . . .. . . Ä Ö . . Eº “¼ ñ ´ ñ ½ . . . . . ò ¡¼ ñ ´ ½ . Ü Ü Ü Cf¾ ¾¾ Ü ä ï å ¸ ½ ¡¼ ï å ¸ Ó °¼ ï å ¸ ¾Cf¾¾ ä ½ å ¸La matriz de cambio de base es à § xñ ´ , donde E §  ½“¼ ï ºcÄu¾C¾f¾fÄ«ºcÄv ”´ S y ÐÛ ÝÝ ÞÕ Û ff¾ ¾¾ ½ ¡¼ ï å ÛÛ Ó °¼ ï å Ó å ½ å ÝÝ ä Ó åÛ 2¼ ï Û Ô°¼ ï å ¾ff¾¾ ½ å ä ÝÝ Ü . . . . . . . . . . à ´ ÛÑ . . ff¾ ¾¾ . . ÝÖ . Ó å ½ å ¾ff¾ ¾ Ü Ü Ü ½ å ä ¾ff¾ ¾ Ü Ü Ü ä Ü ¾ff¾ ¾ Ü Ü ÜLa derivación del caso multientrada es complicada; ver Rugh (1995, § 13).Ejemplo 4.6. Consideremos un sistema cuyas matrices º y  son ÐÑ ÕÖ ÕÖ ÐÑ ä Ï Î Ü ´ %º Ü Ï ä Ä ´ ˆÂ ä ä Ü Î ä §Calculamos la matriz S Â Ó tv«c b´ ºÄ  ºÄ E con la función M ATLAB ctrb(A,B), y à con el polinomio caracterís-tico de , poly(A), º ¨ «Á ¡ô l ¸ ¡ô E» ô µ j Ó Ô ´ Ï ¸ ô ÐÑ ÕÖ § Ü – Ü Ï ln¸ j ÐÑ ä ÕÖ ´ ä Î © ä l n¸ ´ à Ä Ü ä Î mä ä Ü Üde donde obtenemos ÐÑ ÕÖ ÕÖ ÐÑ § § Ü ä Ü § Ü µ à «º “¼ » µ ½ à ´ n» Ü Ü ä Ä µ à ˆÂ ¡¼ » ´ ½ ¾ Ü Ï l n¸ j ä4.4 RealizacionesComo vimos, todo sistema lineal estacionario (invariante en el tiempo) puede describirse por una represen-tación entrada-salida con matriz transferencia E» œ„Í ´ ¶µ ° °Î C» œµ ‘ » œµ Ä ¶ ¶ °y si el sistema es de dimensión finita, también por una representación interna en EE  Á »µ Ê º ´ »µ¥ iówƒ¿ó“ˆwƒ¿Ê ‘ tƒµ » T¹wƒ¿ËGEtƒnÍ Á »µ Ê Ã ´ »µ ‘ ¾C»wƒµ 
  • 49. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 47 °ÎCuando tenemos las EE, , la matriz transferencia puede calcularse en forma única como rE0f«º & Ä ÃÄ ÂÄ E» œµ ´ ¶ Ti “¼ ˜¡”œ«Ã Á ½ » º ¸ · ¶µ . °Î El problema inverso, de obtener las EE de , se llama problema de realización. 6E vC(º ° Î & Ä ÃÄ ÂÄ » œµ ¶ Diremos que una matriz transferencia ° es realizable si existe una EE con tales que » œµ ¶ 6E vC(º & ° Î Ä ÃÄ ÂÄ T ¡¼ ˜¡”œ«x˜» ™µ Î Á ½ » º ¸ · ¶µ à ´ ¶ , y el cuádruplo se dice una realización de . 6E vC(º & Ä ÃÄ ÂÄ » ™µ ¶ Como sabemos, si existe una realización, existen infinitas, no necesariamente de la misma dimensión. Una función transferencia racional (cociente de polinomios) es propia si el grado del polinomio numeradorno supera al grado del polinomio denominador, estrictamente propia si el grado del numerador es menor queel del denominador. Una matriz transferencia es (estrictamente) propia si todos sus elementos son funciones racionales (es-trictamente) propias. °Î °Î ©Teorema 4.3 (Realizabilidad). Una matriz transferencia » œµ ¶ es realizable » œµ ¶ es una matriz racional ypropia. °ÎDemostración. ( ) Si » œµ ¶ es realizable, entonces existen matrices rE0f«º & Ä ÃÄ ÂÄ tales que Ti ¡¼ ˜¡”œ«x˜» ™µ ° Î Á ½ » º ¸ · ¶µ à ´ ¶ ä CÁC»˜ºi¸¹·”œ©£uûà ˜§”œ 641 ´  ¶µ1 o » º ¸ · ¶µ53 Si es º , es un polinomio de orden . Como cada elemento de ˜iE”œ 641 òÅÆ » º ¸ · ¶µ53 Æ Ç es el Æ ˆˆ˜”œ©¦o » º ¸ · ¶µ1 determinante de una submatriz , es una matriz de polinomios de a lo 0ˆ%¿”œ©¦¯Ã » ä ¸ Æ µ Ç » ä ¸ Æ µ » º ¸ · ¶µ1 o °Î sumo grado . Así es racional y estrictamente propia, y si , racional y propia. °Î ä ¸ Æ Â “¼ ˜zu”œµ ½ » º ¸ · ¶ °Î °Î Ü ¥´ » œµ ¶( ) Si que es una matriz racional propia » œµ ¶ Œ˜ ) Ç descomponemos ˆ» œµ ´ ¶ Áó» } µ » ¶œµ ¢° Î 0 , donde » ¶œµ †° Î 0 °Î es la parte estrictamente propia de . » œµ ¶ Definimos å ó¶ ¡¼ i å Á C0ã Á “¼ i ¶ ½ † å ° Î Á i iE» œ§£ Á ½ ãã ½ 0 ¶ ´ ¶µ como el polinomio mónico mínimo común denominador i de los elementos de » œµ ¶ . Entonces podemos expresar Á 0Cã Á °¼ i ¶ Ó ` Á “¼ i ¶ ½ ` ãã Ó ½ ² ä E» œµ ´ ¶ ¢° Î 0 ` «¶ ¡¼ i Á ½ ` Ä „³ i » ™¹£ ¶µ donde las son matrices constantes ` æ »”˜ ) Ç . Entonces no es difícil probar que el conjunto de EE en forma canónica del controlador ÐÛÛ 0· Cf¾ ¾¾ ÝÝ ÞÕ ÐÛÛ ÞÕ ÝÝ ÛÛ Ü 0 Ü· ¾Cf¾¾ Ü ÝÝ Ü ÛÛ ÝÝ ÛÑ ÝÖ Ö Ü ÛÑ Ü Ü Ü Ý ´ »µ¥ ˜tƒ¿Ê . . . . . . . . . .. . . . . ¿tƒ¿Ê Á »µ . . . ‘ tƒµ » Cf¾ 0 Ü ¾¾ 0· 0· i Üå ¸ å ¸ 0 · Üi å íCf¾ · 2¼ i å ¸ ¸ ¾¾ 0· 0 Ü· ½ ¡¼ ½ °Î Ó ´ Í ½¡¼ iÀ` À` i ² 2¼ À` Ó i »wƒµ ‘ » } µ ótƒ¿Ê ³ ½ ` fC¾ Á »µ ¾¾ °Î es una realización de » ™µ ¶ , finalizando la demostración. °Î °Î Como vimos, una matriz transferencia es realizable sii es racional y propia. Vimos también (en » œµ ¶ » œµ ¶ °Îla prueba del teorema) una forma de obtener las matrices de la realización ( es ). En el caso  vf«º ÃÄ ÂÄ }µ »SISO esta forma es particularmente simple y se reduce a la forma canónica del controlador ÐÛ ÝÝ Õ ÝÝ Õ ÐÛÛ Û ä 00ã ãã Ü ÛÛ Ü Ü ÝÝ ÝÝ Ü ÛÛ Ü ÛÑ Ü ä ã00ãã ÝÖ Ü Ý Ö Ü ÛÑ ´ »µ¥ ˆwƒ¿Ê . . . . . . . . . .. . . . . wƒ¿Ê »µ . . . ‘ wƒµ » (4.11) ä 00ã ãã Ü Ü Ü Ü ½ å ¸ 00ã 2¼ ï å ¸ “¼ ï å ¸ ï å ¸ ãã Ó ½ ä ² tƒ¿2³ ½ ç 00ã 2¼ ï ç ¡¼ ï ç ï ç EtƒnÍ »µ Ê ãã Ó ½ ´ »µ (4.12) °Îpara una función transferencia » ™µ ¶ dada por °Î ï ç Á C0ã Á °¼ ï ¶ Ó ç Á “¼ ï ¶ ½ ç ãã Ó ½ ˜» œµ ´ ¶ ã Á 00ã Á 2¼ ï ¶ Ó å Á “¼ ï ¶ ½ å Á ï ¶ ï å ãã Ó ½
  • 50. G‘ GÊ . . Ó ½ . . G . G ãã 0Cã ² Á Ó ³ . à ãã 00ã Ó Ã ½ à ´ {Í Ó‘ ³ Ê ² Ý Ö ½ ‘ ÛÛÑ Ý Ö ½ Ê ÛÛÑ ÞÕ ÝÝG ÐÛ G Ü Ü ÐÛ ÝÝ ÞÕ G G Ü Ü ‘  ãã 00ã Ê º ãã 0Cã ï Ê . . . . . . . . . . . ¥ . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . ӑ Ü ã00ãã Ó Â Ü Á Ó Ê Ü ã0Cãã Ó º Ü ´ Ó Ê Ý Ö ½ ‘ ÛÑ ÝÖ Ü ãã 00ã Ü ½  ÛÑ ãã 0Cã Ü ½ º ÛÑ Û Ý Ö ½ Ê ÛÛÑ ÝÝ Ö Ü Û Ý Ö ½ ¥ Ê ÛÛÑ ÝÝ ÞÕ ÐÛÛ ÝÝ ÞÕ ÐÛ ÝÝ ÞÕ ÐÛ ÞÕ Ý ÐÛ ÝÝ ÞÕ ¥ ÐÛ la superposición esentonces una realización de » œµ ¶ , de È fCfCÄ ä ´ ľ¾¾ , ¶ æ » œµ VË Si es la realización de la columna æ 6Ä æ 0Ä æ CÄ æ º à  °Î é °Î GË °Î G‘ . . . ° Í Ó Ë °Î Ó ½ °‘ Ë ½ °Î °‘ G ‘ » œµ G Ë ãã Á ¶ ¶ Á 00ã ¿» ™µ Ó ‘ » œµ Ó Á ¶ ¶ ¹» œµ ½ ‘ » œµ ½ ´ ° ¶ ° ËÎ ° ° ËÎ ° » œµ ¶ G° Î ‘ . ° G . . ³ » œµ ¶ ËÎ ãã C0ã » œµ Ó ¶ ËÎ » œµ ½ ¶ Ë Î² ´ ¶ Ó Ö » œµ ½ ° ‘ Ñ ° ° ° ÝÝ » œµ ‘ Û ¶ ÝÞÕ G ° ÐÛÛ ¶ » ™µ ‘ » œµ¶ G ã0Cãã » œµ Ó ¶ » œµ ½ ¶ » œµ Í ¶ . ° . 0 w° Î ãã 0Cã . 0 Ä° Î . 0 Ä° Î . 0° . . . . . . . . . ´ . ¶ » œµ Ó ‘ » œµ G Ó ¶ ã0Cãã » œµ tÓ ¶ Ó ¶ ½ » œµ  Ó Ñ » œµ Ó Í ¶ ¶ Ý Ö » œµ ½ ° ‘ ÛÛÑ ÝÝ Ö » œµ G ½ °Î ãã 0Cã » œµ ™½ ¶ Ó °Î ¶ ½ Î » œµ t½ ° ÛÛ ¶ Ý Ö » œµ ½ ° Í ÛÛÑ ÝÝ Õ ° ÐÛ Ý Õ ¶ °Î °Î ÎÛ ° Ð ÝÝ Õ ° ÐÛ El caso MIMO puede encararse como la superposición de varios SIMOs,de la matriz transferencia . » œµ ¶ La realización SISO (4.11)-(4.12), o la SIMO (4.11)-(4.13), pueden escribirse directamente por inspección °Î ï å ãã Ó ½ Á 0Cã Á 2¼ ï ¶ Ó å Á “¼ ï ¶ ½ å Á ï ¶ ´ ¶ ãã Ó ½ ï ç Á C0ã Á °¼ ï ¶ Ó ç Á ¡¼ ï ¶ ½ ç ˜» œµ °Î 0 . 0 0 . . ãã Ó Ó ½ ½ ï Ó ç Á C0ã Á °¼ ï ¶ tÓ ç Á ¡¼ ï ¶ ©Ó ç ãã Ó Ó ½ ½ Ý Ö ï ½ ç Á C0ã Á °¼ ï ¶ ™½ ç Á ¡¼ ï ¶ w½ ç ÛÛÑ ÝÝ ÞÕ ÐÛ , y la matriz transferencia es î ì Í para ½ ç Ó ç Ô áC0ã ç ãã ï ç 0 . 0 ã0Cã ã0 .0 . . 0 . . . . . . . .(4.13) »wƒµ¿Ê  Ó½ ÓwÓ ç ÔwÓ ´ »µ EtƒnÍ Ö½ ç ç C0ã ãã ïÓ ç Ý t½ ç Ó Ÿ½ ç Ô Ÿ½ ç C0ã ãã ï ½ ç ÛÑ Û ÝÝ Õ ÐÛecuación (4.11) es en la ecuación de salida En el caso SIMO (una entrada y varias salidas) la forma es también simple; la única modificación en la48 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones
  • 51. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 49 De forma similar, la realización de un sistema MIMO también se puede encarar, mutatis mutandis, comola superposición de varios sistemas MISOs subdividiendo la matriz transferencia por filas.Ejemplo 4.7. Consideramos la matriz transferencia °Î Ôp v “p w· ½ ¼ ˜» œµ ´ ¶ ¸ @ ®B½ Ó p · ·X¬ ¡Ó p X·’¬’®½ ½· p ¡ÞÓ¬ × Ó p· ® ½ ¡Ó ¶ · Ôp Ÿ¡¼ Ó ½p Ï ´ ¸ @ B½® Ó Ó p p ·· ·X¬ BÓ p ½X·’¬®¢½ ½BÓ p BÞÓ¬ ¶ Á uÜÜ Ü × ® · · Ù ® ¡Ó ¬ p p X·¹Ô ®BÓ p X·H ¼ ¬ Ï (4.14) ´ ¸ &@ ’®¡½® Ó p X·X·¬ ¬ $·§½ p @ · ¶ Á uÜÜ Ü # # p Ó %" ½ @ ! ÙRealizamos la parte estrictamente propia de (4.14) por columnas. × × ´ ½¥Ê Á ½ Ê )¸ äÜ Ü ‘ ® Óp BÓ §X·"H½¬! ¼ ¶ Ù (Ó ä ¸× Ùä ½ ¸ # ½ p · @% p @ · ´ ½ Ë Í l n¸ Ï ä ¸ ½ Ê Ù ½ Ü Ó × × × ´ Ó¥Ê ä Á Ó Ê Ï(¸ •¸ mÜ × Ü ‘ ®¡’®Ó ½ p p X·X·¹¬¬ Ô # p p @ Ù Ùä Ó ·BÓ · Ù Î l ´ ½ Ë Í Ó Ê Ùä ä °ÎFinalmente superponemos las realizaciones de las columnas de » œµ ¶ para obtener su realización completa. ÐÛ × ÝÝ ÕÖ ÐÛ × ÝÝ ÕÖ ¥Ê× ()¸ ä ¸ Ü Ñ Û ä Ü Ü Ê ÜÑ Û ä Ü ‘ ½¥ ´ Ó Ü Ü Á ½ Ê Ü ½ Ù ©Ó Ê Ü Ü Ü ä Ù ©Ó Ü Ü ‘ Ù©Ó (4.15) Ü Ü × m •¸ × Ï(¸ × Ü ä× ´ Í l n¸ Ï ä ¸ l Î Á ½ Ê Ê Ï Ü ‘ ½ ½ Ó Ü ä Ùä Ù ¥Ó Ü Ù uÜ ‘ Ù Ó4.4.1 Realización MínimaNotamos que estos métodos de obtener una realización de una matriz transferencia (por columnas, por filas,etc.) dan en general realizaciones de distintos órdenes. Para toda matriz transferencia realizable existen siempre realizaciones de orden mínimo, llamadas reali-zaciones mínimas. Éstas son entre sí no sólo equivalentes a estado cero, sino algebraicamente equivalentes. Las realizaciones mínimas están intrínsecamente relacionadas con las propiedades de controlabilidad yobservabilidad del sistema que estudiaremos en § 6.°Î La función M ATLAB [Am,Bm,Cm,Dm] = minreal(A,B,C,D) lleva una realización dada de 6E0f«º & Ä ÃÄ ÂÄ a una realización mínima. » ™µ ¶4.4.2 Sistemas DiscretosTodo lo visto relativo a realizaciones en este capítulo se aplica sin modificaciones a sistemas de tiempodiscreto.4.5 Solución de Ecuaciones de Estado InestacionariasConsideremos el sistema inestacionario descripto por las EE » »µ  Á »µ Ê»µ º ´ »µ¥ tHµ ‘ wƒ(“Ëwƒ¿œwƒ—“ˆwƒ¿Ê (4.16) Ĺ»wƒµ ‘ wƒµ Cówƒ¿œtH«GEtƒnÍ  » Á »µ Ê»µ à ´ »µ
  • 52. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 50para el que asumimos solución única para cada condición inicial v ƒ¿Ê µ » y cada entrada de control ‘ wƒµ » . Antes de ir al caso más general tratamos el sistema homogéneo »µ Ê»µ º ´ »µ¥ tHó™tƒ—i˜wƒ¿Ê (4.17)y mostramos por qué el método aplicado en el caso estacionario no sirve. Una condición suficiente para existencia y unicidad de solución de (4.17) es que wƒ—º »µ sea una funcióncontinua de . Para cada par la ecuación lineal (4.17) con v ƒ¿§Ä v ƒµ µ Ê  continua tiene una solución única y continuamente » c» tH«º »µdiferenciable. »µ¥ »µ¥ Ò En el caso estacionario extendimos la solución de la ecuación escalar wƒ¿óá´ tƒ¿Ê »µ Ê º para ´ wƒ¿Ê wƒ¿Ê »µmostrar que la solución es usando la propiedad de conmutatividad de con » Ü ¿Ê °•­ ˜tHóÊ µ ¯ ® ´ »µ en º °•­ ¯ ® £ «º °® ­ ´ 2® ­ i´ 2® ­ ¾ ¯ ¯ º ¯ Ä£Ò Ahora, para el caso inestacionario sabemos que la solución de la ecuación escalar inestacionaria ´ »µ¥ ˆwƒ¿Ê wƒ¿œtHµ »µ Ê»con condición inicial es » Ü ¿Ê µ Ï ˜wƒ¿Ê ´ »µ ¨ ƒP¨“§ 2 Ÿ 1­ ® ¬ 0 C» Ü ¿Ê Ä µ (4.18)y además tenemos la propiedad Ï Ï Ï ¨ ƒP¨“§ 2 Ÿ 1­ Ä£ £ ® ¬ 0  ´ Ò ¨ ƒP¨“§ 31­ wƒµ ® ¬ 2Ÿ 0 »  ´ ¨ ƒP¨“§ 2 Ÿ 1­ ® ¬ 0 Ò Cwƒµ ¾»Veamos si funciona extender directamente (4.18) en forma matricial. Escribimos (4.18) en forma matricial como Ï ˜wƒ¿Ê ´ »µ ¨ ƒP¨¤® 2 Ÿ 1­ ® ¬ 0 C» Ü ¿Ê Ä µ Ïdonde la exponencial matricial ¨ ƒP¨¤® 2 Ÿ 0 ­ ® ¬ puede expresarse como Ï Ó ¨ ƒP¨‹® 40 ­ ® ¬ 2Ÿ I4´ Á · Ò  ‹H»¹¢µ—º ¯ v ž Ñ ä Ï z¤ƒ§¢—º ¯ v ž £   Á   £»  µ 0Cã Á ããLa extensión de la solución escalar al caso matricial no es válida en el caso inestacionario pues Ï Ò ¤ƒ¹¢—º ¯ v ž Ñ wƒ—º ä Ï ówƒ—“ë¨ rP¨¤® 2 Ÿ 0 ­ Ä£ £   £»  µ »µ Á »µ º ´ ® ¬  Á Ï ä Ò ¤ƒ¹’ «º ¯ v ž Ñ  £» µ 00ã ówƒ—º ãã Á »µ Ï Ä ¨ ƒP¤® 2 Ÿ 0 ­ wƒ—“¥ ´ ® ¨¬ »  µ ºdado que para distintos tiempos    y las matrices tƒ—º »µ y ¹¢—º »  µ son distintas y por ende en general noconmutan, . wσ—t¹¢—r¥ ´ ¹’«wtƒ—º »µ º»  µ º »  µ º»µ En general, » Ü ¿Ê ¨ ƒP‹® 2 Ÿ 0 ­ ´ wƒ¿Ê µ ® ¨¬ »µ no es una solución de ´ »µ¥ wƒ¿œtH«º ztƒ¿Ê »µ Ê»µ y debemos usar otro métodopara derivarla.4.5.1 Matriz FundamentalConsideremos Ä»µ Ê»µ º ´ »µ¥ CtHó™tƒ—i˜wƒ¿Ê (4.19)donde es una función continua de . Entonces para cada condición inicial 80ˆ«wƒ—º ï ðï î ì »µ  » v HóÊ µ existe una únicasolución . wƒ¿Ê »µ é Supongamos que tomamos un conjunto de condiciones iniciales , Æ Y» v ƒ¿Ê ´ µ ´ ˜ì æ õ ï î Æ CffCI¥Ä ä ľ¾¾Ä Ï , quedarán soluciones Æ .4 Apilamos estas soluciones en una matriz » æ a‘ ƒ¿Ê õ µ Æ Æ iÇ Æ 5 ² ntƒµ ´ » » ½ •‘ HóÊ õ µ » Ó a‘ ƒ¿Ê õ µ 80ï ì ³ c» ï •‘ ƒ¿Ê 0Cã ï ð î » õ µ ãã para cada .  4 La notación HB@846 ôA97ñ representa la solución de (4.19) con condición inicial ø ”D8D6 ô C7 ñ A .
  • 53. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 51 5Dado que cada » t•‘ HóÊ æõ µ es una solución de (4.19), la matriz wƒµ » satisface ¥5 5 5 tH«i˜wƒµ »µ º ´ » wƒµ » con condición inicial » v ƒµ  . (4.20) 5 5Si es no singular (es decir, las » v ƒµ  Æ condiciones iniciales » v Hµ æ Ê  son LI), entonces tHµ » se dice una matrizfundamental del sistema (4.19).Ejemplo 4.8. Consideremos la ecuación homogénea × ´ »µ¥ ˜wƒ¿Ê Ü Cwƒ¿Ê Ü ¾»µ (4.21) Ù ÜLa solución de la primer componente » Ü µ ½ Ê QtHµ ½ Ê ´ » ´ » ¥ Ü Qwƒµ ½ Ê es ; la solución de la segunda componentewƒµ ½ Ÿb˜wƒµ Ó ¥ Ê» ʝ ´ » es x˜tHµ Ó Ê º ´ » » Ü µ Ó i¿» Ü µ ½ uu’ Ó în» Ü µ Ó iz¤ƒ§¢µ ½ p  ¯ v Ê Á Ê Ï  ´ Ê Á   £»   Ê . Para condiciones iniciales S ½Ó ”´ Ó õ n» Ü ¿Ê S × ½v ”´ ½ õ n» Ü ¿Ê E ´ µ E ´ µ y tenemos respectivamente las soluciones × ä ä E» ½ a‘ ƒ¿Ê ´ õ µ y ¾ ŒÏ ’  E» Ó a‘ ƒ¿Ê ´ õ µ Ù Ï ’ӝ Ù Ï Á ÓComo los estados iniciales y son linealmente independientes, × Óõ ½õ 5 ntƒµ ´ » ä ä  Ï u’ Ó Ù ÏŒÁ(u’ Ó  Ïes una matriz fundamental de (4.21). 55 Obviamente, como las columnas de se pueden elegir LI de muchas formas, la matriz fundamental » v Hµ  no es única. wƒµ » 5 Una propiedad muy importante de una matriz fundamental es la siguiente. wƒµ » 5 Una matriz fundamental es no singular para todo . tHµ »  5Demostración. Si fuera singular para algún , entonces existiría un vector no nulo tal que wƒµ » v ¥ ´ ½  E5 . Ü ´ E » ½ ƒµ  5 Por linealidad del sistema, la función es una solución que cumple para todo . r wƒµ » wƒµ » F E Ü Etƒµ F ´ » ½ vڝ  # Como las soluciones son únicas, para todo (la solución nula es única), y en particular para 5 Ü ´ tHµ F »  5 , es decir . Llegamos a una contradicción, pues fue asumida no singular en ½  « ´ (» v Hµ F ´ Ü ´  » v ƒµ  E » v ƒµ  . v 5 Como una matriz fundamental es no singular para todo , su inversa está bien definida y podemos wƒµ » hacer la siguiente definición crucial para la solución de EE inestacionarias. »µ Ê»µ º ´ »µ¥ 5Definición 4.2 (Matriz de Transición de Estado). Sea tHµ » cualquier matriz fundamental de wƒ¿œtH«iˆwƒ¿Ê .Entonces la matriz G 5 5 r » v ( ƒµ Ä tƒµ » » v Hµ ¡¼  ½se llama matriz de transición de estados de »µ Ê»µ º ´ »µ¥ wƒ¿œwƒ—“˜tƒ¿Ê . 5 5 En el caso estacionario ( constante), una matriz fundamental es directamente rˆwƒ—º º ´ »µ ˜wƒµ ´ » ® Ÿ “¼ ¯ ¤•­ ¯ ¬ ® » v ƒµ  ,y así la matriz de transición resulta G 5 5 v ( ƒµ Ä ´ E» tƒµ » ¾ Ÿ® “¼ ¯ ¤® ­ E» v Hµ ¡¼ ¯ ¬ ´  ½ 5 @ wH¡Ë½ p @ ! ¯Ejemplo 4.9. Para el sistema (4.21) en el ejemplo anterior obtenemos ˆwƒµ ¡¼ ´ » ½ U Ó!½ ¼ Y , y así × × §"½ ! ¡¼ Ó! ¯ G ä ä ä v¦’ Ó v  Á m Ï u’ ä ¸ v ( ƒµ Ä ´ E» "u’ Ó  Ï ’ Ó  × (’ Ó v g¸ m  Ù Ï Á Ï Ù u’ ä Ï ´ ¾ Ü Ï ”» 2¸ Hµ ä Ù ä ’ Óv  Ó  Como hemos visto, el método usado en el caso estacionario no podía aplicarse para derivar la solucióngeneral de EE inestacionarias (esencialmente porque no conmuta con ). wƒ—º »µ ¤ƒ¹¢—º Ÿ¯ ¯ º   £»  µ Hemos también definido
  • 54. i W W XW T S aS 8V UBR . c e cb7 qQ H@8 ô ñ i W ý 7 ô b7ñ ö 7 ô b7ñ D ¬ S paXYXS S 8V ` T 8’ô8ƒgñ ð 4HcQ"›¬ ‹’ô8ñ 4hg DHcQ8¬ c eô cb7ñ X ø fQDdQ"›¬ YS ` R del 27 de marzo 5 Clase Ÿ¯(4.28) Ä   £»   »»   ¸ µ P»µ Á »  µ  »  Ä »µ à ¡¤ƒ¹’µ ‘ ¥¹»nƒ”QwƒëT˹’C¹¡ Hµ wƒ«cµ ž ´ »µ eEtƒnÍ G ¯ y la respuesta a condiciones iniciales nulas se puede escribir como Ê Ä v ™» Ä »µ à ´ »µ v ¦©ƒµ G tH«GEtƒnÍ La respuesta a entrada nula es Ÿ¯ ¾» » 0tƒµ ‘ wƒµ Á   £» »  µ »  Ä C’¤ƒ¹’ µ ‘ §¢C§B©ƒµ »µ Ã Ê  ĝ »µ à ´ »µ G ¯ ž tH«rÁ v ™» v ¦©ƒµ G tH«GEtƒnÍ La respuesta de la salida en (4.26) está dada por ¾» »µ  Á »µ Ê»µ º Cwƒµ ‘ tH“ótƒ¿œwƒ—“´ Ÿ¯ » »µ »Ä tƒµ ‘ wƒ0t( ƒµ ÁQ ¤£ƒ§¢µ ‘ »¹¢µ0»¹ B©ƒµ tƒ—º «Á v œ» v ¦©ƒµ wƒ—“´ »   G    ĝ G» µ ¯ ž Ê Ä G»µ º » »µ » ĝ wƒµ ‘ wƒCw¦©ƒµ Á   £»   »  µ »  Ä Q¤ƒ¹’µ ‘ §¢C§B©ƒµ  Ÿ¯ I ž ĝ »µ º G G ¯ «Á v ʜ» v ¦©ƒµ G wƒ—“´ ŸI ¯     £»   »  µ »  Ä ¤ƒ¹¢µ ‘ ¹¢(C¹¡ ƒµ ž I Ä Ê Á v œ» ´ »µ G ¯ v ( Hµ G  I ˜tHóÊ Ä£ £ I I Usando (4.22) y la regla de Leibniz,5 obtenemos Ê Ê· ¾ v ˆ´ Ü Á v G´ Ÿ¯   £»   »  µ »    ž Ê   ´ µ ¤ƒ¹¢µ ‘ ¹¢(C¹¡Ä v ƒµ G Ÿ ¯ «Á v œ» v ¦Ä v ƒµ G ˜» v ƒ¿Êvemos que v ´ ciales y la ecuación diferencial de EE en (4.26). Evaluando (4.27) en y usando la propiedad (4.23)Demostración de (4.26). Tenemos que mostrar que la solución »µ wƒ¿Ê en (4.27) satisface las condiciones ini- Ÿ¯(4.27) ¾¡ ¤ƒ¹¢µ ‘ ¹¢(C¹¡ ƒµ Ê Ä ´ »µ ˜tHóÊ G £ »   »   µ  »   Ä  G ¯ ž Á v œ» v ( ƒµ está dada por » tHµ ‘ y entrada v Œ˜» v ƒ¿Ê Ê ´ µ con condiciones iniciales Ĺ»wƒµ ‘ wƒµ Cówƒ¿œtH«GEtƒnÍ  » Á »µ Ê»µ à ´ »µ(4.26) tHµ ‘ wƒ(“Ëwƒ¿œwƒ—“ˆwƒ¿Ê » »µ  Á »µ Ê»µ º ´ »µ¥ para mostrar que las solución de » v ¦©ƒµ Ä En esta clase utilizamos estas propiedades de G(4.25) ¾ C» v (Ä ½ ƒµ » ½ ( ƒµ ´ Ä  G  Ä  G E» v ( ƒµ G(4.24) »t(Ä v ƒµ ´ Ä ½   G E» v ( ƒµ “¼ G(4.23) · ´ »Ä 4ˆt( ƒµ G y que satisface las siguientes propiedades:(4.22) Ä· ´ ¥GE» v ¦Ä v ƒµ   Ä C» Ä »µ º ´ Ä I G v ( Hµ G wƒ—iE» v ( ƒµ G  I es la única solución de la ecuación matricial » v ¦©ƒµ Ä En los ejercicios propuestos se pide probar que G ción es simplemente . ¯ ¬ ® ® Ÿ ¡¼ ¯ ‹f­. En el caso estacionario la matriz de transi- »  ½ » v ƒµ “¼ 5 wƒµ ´ —» v ( Hµ Ä la matriz de transición de estados 5 G ˆ ,y S tƒµ ï œ•fCfCwƒµ Ó §0tƒµ ½ Ê E » ÊÄ ¾¾¾Ä» ÊÄ» soluciones LI del sistema Æ , formada apilando » wƒµ la matriz fundamental 5 ˆ52 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones
  • 55. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 53que corresponde con la representación entrada-salida vista Î ¯ eEtƒnÍ ž ´ »µ ¡¤ƒ¹¢µ ‘ ¹¡ Hµ ¾   £»   »  Ä (4.29) Ÿ¯Comparando (4.28) y (4.29) concluimos que la respuesta del sistema (4.26) a un impulso aplicado en elinstante está dada por   Î G ¹ƒËƒ”Qwƒµ C˹¢(C¹¡ ƒµ wƒ«GE¹B©ƒµ »   ¸ µ P» Á »  µ »  Ä »µ à ´ »  Ä µ P» Á »  µ  »  µ½ 5» 5»µ à ¾C»¹ ƒ¸„ƒ”Qwƒµ Có¹’C¹’ ¡¼ tƒµ wƒ«G´ (4.30)La solución general de la EE en sistemas inestacionarios requiere la solución de la ecuación CtHó™tƒ—i˜wƒ¿Ê Ä»µ Ê»µ º ´ »µ 5para obtener tƒµ » , o la solución de la ecuación I I v ( Hµ G wƒ—iE» v ( ƒµ G  Ä »µ º ´ Ä »para obtener Ä G . Salvo para casos especiales, estas ecuaciones son difíciles de resolver. » v ( ƒµ Sin embargo, estos casos especiales pueden ser útiles: es decir, si 1. La matriz wƒ—º »µ es triangular; como por ejemplo en ¥Ê× wƒµ » × Ò tHµ w½ Ò » ½ × tHµ » ½¥ ´ »wƒµ Ü Ò ½ Ê ¾ »tHµ Ó Ê Ù  »tHµ ©Ó  ½ Ù wƒµ wÓ » Ó Ó Ê Ù  zwƒµ ½ ¥ Ê Ò En este caso podemos resolver la ecuación escalar ´ » wƒµ ½ œwƒµ t½ » Ê» ½ y substituir la solución en la ecuación de , Ó Ê ˜wƒµ Ó ¥ Ê Ò Ò ´ » ¿tƒµ ½ ™tƒµ ©Ó Á » Ê» ½ Cwƒµ Ó œwƒµ wÓ ¾» Ê» Ó 2. La matriz wƒ—º »µ posee la propiedad conmutativa Ò ¤ƒ¹’ «º ¯ ž Ñ tƒ—º  £» µ »µ ´ Ò ¤ƒ¹¢—º ¯ ž Ñ   £»  µ wƒ—º »µ Ÿ¯ Ÿ¯ para todo y (como es el caso de v  tH«º »µ diagonal o constante). Entonces puede probarse que la solución está dada por ˜ Ï® ¬ ¡ G v ¦©ƒµ Ä ´ ˜» Ò ¤ƒ¹¢—º ¯ ž Ñ &ä ¢ s´ ¨ ƒP¨‹® Ÿ2 2 0 ­   £»  µ t r ¾ Ÿ¯ v s™ ¡4.5.2 Caso DiscretoLa solución de las EEs inestacionarias en tiempo discreto S ¢¢ ÄÊ S ¢¢ nr´ ƒä ¢ Á ¢ ÄÊ E E º S E S ¢ ¢ E †S ¢ ¢ †“Á ‘ E  (4.31) S wÊ S n´ S ÆÍ E E à E S E 9S gTÁ ‘ E es mucho más simple que el caso en tiempo continuo. En forma similar definimos la matriz de transición deestados discreta como la solución de S v ¢ Ä ¢ E G S ¢ V“´ S v ¢ Ä ä Á ¢ E G E º Ä con G S v ¢ Ä v ¢E · ‰´para ¢ ¢ ¢ fCfÄ ä Á v Ä v ´ ¾¾¾ Pero en este caso la solución se obtiene en forma explícita como SHv ¢ EVº ãC0ã8S ¸ ¢ nº ƒä ¸ ¢ V“´ ƒv ¢ Ä ¢ E G ã Ï E S E º S (4.32)para y ¢ ¢ G v x¤¢ 4´ ¹v Ä v E · S ¢ £ .
  • 56. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 54Notar: Dado que la matriz fundamental en el caso en tiempo continuo es no singular para todo , la matriz de transición de estados está definida para todo , y (lo que implica que podemos resolver la v  a  v  Á  #EE en tiempo invertido). En el caso discreto, si la matriz es singular la inversa de S v ¢ Ä ¢E G no está definida, por lo que la contra- ºpartida discreta de la propiedad (4.25) S v ¢ Ä ½ ¢E GS ½ ¢ Ä ¢E G ´ S v ¢ Ä ¢E Gsólo vale si . v¢ # ½¢ # ¢ La solución general de la EE en el caso discreto es ¡ ¢ E G “¼ ˜ Á v Ê Hv ¢ Ä ¢ E G ´ S ¢ ÄÊ ½ S E Á ÈÄ S ¢ E †S ¢ gTÁ pÈ E 9pÈ ‡Â ƒä ‘ E S ‘S E S ¾ ¡Ÿ ™ G4.6 Ecuaciones Inestacionarias EquivalentesDefinición 4.3 (Equivalencia de EE Inestacionarias). Sea una matriz œ wƒµ » Œ•Æ Æ Ç no singular y continua-mente diferenciable para todo . Sea . Entonces la EE  ´ Ìí Ê œ tƒ¿œwƒµ »µ Ê» ¥ Á »µ »µí ´ »µ Ëwƒ¿í Ê wƒ—º ˆwƒ¿í Ê » tHµ ‘ wƒ(í  »µ (4.33) ÁówƒËí Ê tƒµ í à EtƒnÍ »µ » ´ »µ Ĺwƒµ ‘ wƒµ í » »donde Á »µ º» E ´ »µí „wƒ—twƒµ œ v˜tH«º ¥ ˜tHí  9S wƒµ œ œ » tƒf¡¼ »µ½ ´ »µ œ wƒCwƒµ »µ » »wƒµ ¡¼ œ wƒ«x˜tH—í à  ½ »µ à ´ »µ ”´˜tHµ í » tHµ »se dice (algebraicamente) equivalente a la EE (4.26) y œ wƒµ » es una transformación de equivalencia. 5 5 í No es difícil ver que si 5 es una matriz fundamental del sistema original (4.26), entonces tƒµ » ÅtHµ ´ »œ tƒµ » es una matriz fundamental del sistema (4.33). wƒµ » Una propiedad interesante en el caso inestacionario es que es posible llevar al sistema a una formaequivalente donde »µí sea constante. tƒ—ºTeorema 4.4 (Transformación a matriz de evolución estacionaria). Sea una matriz º v iiÆ Æ Ç constantecualquiera. Entonces existe una transformación de equivalencia que lleva (4.26) a (4.33) con º ´ »µí i˜wƒ«º . v »µ Ê»µ º ´ »µ¥ 5Demostración. Sea wƒµ » una matriz fundamental de tƒ¿œwƒ—‰vtƒ¿Ê , y definamos œ  ½ 5 ® ´ » »tHµ “¼ ¯ Ÿ •­ #tHµ . En-tonces, » ½ ³» ¥ Á »µ º» ² ´ »µí tƒµ ¡¼ œ œtƒµ œ ËtH«wtƒµ œ ˜wƒ—º 5 ¥5 5 5 ² ¾¥¯ Ÿ ®°¼ ­ »wƒµ ³§»wƒµ0½¡¼ ¯ Ÿ ® ­ Áó»wƒµ0½¡¼ ¯ Ÿ ® ­ v Œ¿tH«w“¼ ¯ Ÿ ® ­ ´ º Á »µ º½ (4.34)Como ¥ 5 tƒµ “¼ 5 ¿tHµ 5 wƒµ ¡¼ ¥ 5 » ½ Á » » ½ Ä Ü ˆwƒµ ´ » (4.35) 5 5que sigue de derivar tƒµ “¼ » ½ Gˆwƒµ · ´ », el reemplazo de (4.35) en (4.34) muestra que 5 5 » ½ º ´ »µí wƒµ ¡¼ ¯ Ÿ ® ­ v i˜wƒ—º ¾ v º“´ ¯ Ÿ °¼ ­ tHµ ® » 5 Si vºse elige como la matriz nula, , entonces ˆtƒµ ´ » y el sistema barra se reduce a Ü ´ v º 5 5 œ ½ ¡¼ » µí ´˜wƒ—º Ä Ü »wƒµ«ÃG´˜tH—í à Cwƒ0tƒµ “¼ »µ Ä»µ » ½ ˜wƒví  ´ »µ CtHµ Ä» í Cwƒë”Etƒµ ¾»µ ´ »Una representación considerablemente más simple, aunque necesitamos conocer una matriz fundamentaldel sistema original para obtenerla. Es fácil ver usando (4.30) que la respuesta al impulso inestacionaria es invariante con respecto a trans-formaciones de equivalencia. Sin embargo, y a diferencia de lo que pasaba en el caso estacionario, las propiedades de la matriz deevolución del sistema pueden cambiar drásticamente con una transformación de equivalencia! wƒ—º »µ Esta es una excepción donde el caso estacionario no es un caso particular del caso inestacionario (nuncavamos a poder transformar la matriz en la matriz nula con una transformación de equivalencia estacio- wƒ—º »µnaria).
  • 57. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 55 ‘ ¥Ê Ê Í Â º à º í ‘ ¥íÊ íÊ Í í º íÃ4.7 Realizaciones de Sistemas InestacionariosEn el caso inestacionario no podemos usar la transformada de Laplace para describir el comportamientoentrada-salida del sistema, por lo tanto usamos directamente la descripción en dominio temporal Î ¯ eEtƒnÍ ž ´ »µ ¡¤ƒ¹¢µ ‘ ¹¡ Hµ ¾   £»   »  Ä Ÿ¯Si el sistema es de dimensión finita tiene representación en EE. Vimos en (4.30) que de la representaciónen EE (4.26) la respuesta al impulso está dada por «½   # 5 C¹ƒ„ƒ”Qwƒµ Có¹’C¹’µ ¡¼ tƒµ wƒ«GE¹B©ƒµ Ä »   ¸ µ P» Á »  µ  »   ½ 5 » »µ à ´ »  Ä Î para , (4.36) » µ Ê»µ º ´ »µ¥ 5donde es una matriz fundamental del sistema wƒ¿œwƒ—“˜tƒ¿Ê tHµ » . Î El problema inverso se trata de obtener wƒµ tƒ« CwƒCCtH«º » »µ ÃÄ»µ ÂÄ»µ y Î de la respuesta al impulso . Así, §B©ƒµ »  Äuna respuesta al impulso »tƒµë »wƒµ«Ã0C»wƒµ(fÄCwƒ—º   Ä   »µ se dice realizable si existen §B©ƒµ »  Ä y tales que se cumple(4.36).Teorema 4.5 (Realizabilidad de sistemas inestacionarios). Una matriz À¿˜ )Ç de respuesta al impulso Î ¹¡ ƒµ »  Äes realizable si y sólo si puede descomponerse en la forma ` wƒ‰E¹B©ƒµ Î »µ À ´ »  Ä ¹ƒËƒ”QwƒëT¹¹¢µ »   ¸ µ P»µ Á »   (4.37)para todo   ڝ # , donde , ` À y son matrices {z˜ Æ Ç , Åz˜ ÅzÆ ) Ç ) Ç y para algún entero . ÆDemostración. » Si »¹ B©ƒ5 µ ĝ Î es realizable entonces existe una realización que cumple (4.36) y iwƒÀ ´ »µ 5 wƒ«Ã »µ tƒµ » y ` n¹¢µ ´ »   §¢„’µ ¡¼ »  µ    ½ .» Si Î ¹¡ Hµ »  Ä puede descomponerse en la forma (4.37) entonces ´ »µ¥ tHµ ‘ wƒµ ` Ewƒ¿Ê » » »wƒµ ‘ »tƒµëTÁË»wƒ¿œwƒ‰EwƒEÍ µ Ê»µ À ´ »µ 5 es una realización del sistema. En efecto, si entonces es una matriz fundamental y Î Ü —wƒ—º ´ »µ · É´ wƒµ » ` ¡¼ ¥CwƒÀ ½ ··»µ . E¹»„ƒ”@tƒëx§¹¢µ ´ »   ¸ µ P»µ Á »   ¹¡ ƒµ »  ÄEjemplo 4.10. La respuesta al impulso b˜wƒµ Î  ´ » au­ ¯ ± ,o Î E¹B©ƒµ ´ »  Ä ƒ­¼ ¯ ¦u­ ¹´¸ ƒxE¹´¸ ƒµ Î ®¨ ¬± »   µ ´ »    , puede factorizarsecomo × Î E¹B©ƒµ ´ »  Ä ² ¯ u± ­  ³ u± ­ ¯ uhu­ •¸ ¯ ± ¼   Ù Hh¼ ­ ¨±
  • 58. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 56y así admite la realización inestacionaria × × ´ »µ¥ ˆwƒ¿Ê Ëwƒ¿Ê Ü Ü Á »µ » wƒµ ‘ u±h¼u­ ¯  g¸ Ù Ü Ü² Ù uh¼ ­ ¯ ± (4.38) EtƒnÍ ´ »µ ¾C»wƒµ¿p³ uu­  uu­ Ê ¯ ± ¯ ±Alternativamente, la transformada de Laplace de wƒµ » Î es ± óE ´ "uu­ S¯ ± @ ± p ƒ½ “°¼ @ · , de donde obtenemos la reali-zación estacionaria × × ·±Ó ´ »µ¥ ˆwƒ¿Ê Ü ä Ëwƒ¿Ê Á »µ Ü ‘ wƒµ » Ù ô Ï ¡ô ¸ ² Ó Ùä EtƒnÍ ´ »µ ¾0»tƒ¿I³ Ü ä µ Ê4.8 ResumenEn este capítulo: ˆ Obtuvimos la solución general de la ecuación de estado para sistemas lineales estacionarios, conocida como fórmula de variación de los parámetros. ˆ Aplicamos la fórmula de variación de los parámetros para obtener la discretización exacta de un sistema con un bloqueador de orden cero a la entrada y un muestreador a la salida. ˆ Vimos que sistemas cuyas representaciones en EE están relacionadas a través de un cambio de coor- denadas no singular son equivalentes. ˆ Equivalencia a estado cero de EE, que implica que dos representaciones en EE tienen la misma matriz transferencia, aunque no necesariamente sean algebraicamente equivalentes. ˆ Algunas formas canónicas útiles de EE: modal, controlable y del controlador. ˆ El problema de realización, que consiste en obtener una descripción en EE dada una matriz transfe- rencia racional y propia. ˆ La realización de una matriz transferencia en forma canónica del controlador es particularmente simple para los casos de una entrada. ˆ Esta simplificación es útil para subdividir la realización de una matriz transferencia con varias entradas (columnas) superponiendo las realizaciones de cada columna. ˆ La teoría de realización vista se aplica sin modificaciones a sistemas en tiempo discreto. ˆ Primera conclusión en la solución de la EE para sistemas lineales inestacionarios: el método usado para derivar la solución en el caso estacionario no sirve. ˆ Para la solución general definimos la matriz fundamental 5 w5 ƒµ 5 » , formada apilando soluciones LI del Æ G sistema, y la matriz de transición de estados v ¦©ƒµ Ä » v ƒµ ¡¼ tƒµ ½ » ´ Y» , que en el caso estacionario se reduce a . Continuará “¼ ¯ ¤•­ ¯ ¬ ® Ÿ® Cf¾ ¾¾ ˆ Mostramos la fórmula de la solución general de la EE lineal inestacionaria, utilizando la matriz de G transición definida en la clase pasada. §B©ƒµ »  Ä ˆ Una dificultad en el caso inestacionario es el cómputo de G ¹B©ƒµ »  Ä , que es difícil salvo casos especiales como los de triangular, diagonal o constante. wƒ—º »µ ˆ Para sistemas discretos G SHv ¢ Ä ¢ E sí se puede calcular explícitamente (la solución en tiempo discreto es válida en la dirección positiva del tiempo). ˆ Vimos transformaciones de equivalencia (algebraica) inestacionarias. Estas llevan el sistema a una forma con la misma descripción entrada-salida, pero en la que la matriz puede tener propiedades tH«º »µ muy distintas. ˆ La respuesta al impulso de un sistema inestacionario es realizable sii Î ¹B©ƒµ »  Ä admite una factorización simple que separa la dependencia en y .   
  • 59. 4. Solución de la Ecuación de Estado y Realizaciones 574.9 EjerciciosEjercicio 4.1. Utilizando la regla de Leibniz para derivar expresiones integrales,6 verificar que (4.5) satisface(4.2) con estado inicial . » Ü ¿Ê µEjercicio 4.2. Probar que los sistemas descriptos por EE equivalentes tienen la misma función transferencia.Ejercicio 4.3. Para los siguientes casos de la matriz , × × × × º Î Ï (¸ Ä Ü ä Ä ä ¸ ä Ä l V¸ – ä ÙÜ ä ¸ Ù Ï ä ¸ Ù ä ¸ Ù m (¸ Îobtener una expresión de la respuesta a entrada nula, , y dibujar en forma cualitativa el diagrama »µ Ê º ´ »µ¥ wƒ¿ó“ˆwƒ¿Êde fases ( versus ). ¿Cómo es la respuesta a condiciones iniciales sobre las direcciones de los wƒµ Ó Ê » wƒµ ½ Ê »autovalores de ? º Verificar los diagramas obtenidos mediante simulación numérica con un conjunto de distintas condicionesiniciales en el marco de la ventana , . ò•» Ü µ Ó "(¸ ˆ½» Ü µ ½ %(¸ Ï Ê Ï Ï Ê Ï (Los diagramas corresponden a los tipos de sistemas de segundo orden conocidos respectivamente comonodo, nodo degenerado, foco y ensilladura.)Ejercicio 4.4. Terminar los detalles de la demostración del Teorema 4.3.Ejercicio 4.5. Hallar una realización para la matriz transferencia × °Î ˜» œµ ´ ¶ Ó ½ p· Ó°w·¼p ® ¡Ó p 2’¬X·Ô w·¼ ’®p ¡½· Ó p X·¬ ¾ · ½ Ù Ó · °ÎEjercicio 4.6. Hallar una realización de cada columna de en el ejercicio anterior por separado, y des- » œµ ¶pués conectarlas en un solo modelo en EE. ¿Son las realizaciones obtenidas equivalentes? °ÎEjercicio 4.7. Hallar una realización de cada fila de en el ejercicio anterior por separado, y después » œµ ¶conectarlas en un solo modelo en EE. ¿Cómo se compara la realización obtenida con las de los ejerciciosanteriores? GEjercicio 4.8. Probar que la matriz de transición v ¦©ƒµ Ä » satisface las siguientes propiedades G 1. v ( ƒµ Ä » es la única solución de la ecuación diferencial matricial v ¦©ƒµ G wƒ—r˜» v ( Hµ G Ä£ £ Ä »µ º ´ Ä  Ä 0» G v ¦Ä v ƒµ   ¥4˜» ¾· ´ G 2. ‰˜t( ƒµ · ´ »Ä , G 3. v ¦©ƒµ ¡¼ Ä ½ ´ E» v ƒµ G  t(Ä » , G G G 4. E» v ( ƒµ ´ Ä » v (Ä ½ ƒµ » ½ ( ƒµ  Ä .Ejercicio 4.9. Encontrar matrices fundamentales y de transición para los sistemas × × ´ »µ¥ ˜wƒ¿Ê Ü Cwƒ¿Ê  ä Ä»µ y ´ »µ¥ ˜tƒ¿Ê ä ¸ Cwƒ¿Ê ©a­¸ ¾»µ ¯Ó Ü Ù Ü ÙäEjercicio 4.10. Mostrar que la matriz de transición de × tHµ Ÿ½ wƒµ t½ º » Ó º » ½ »tHµóÊ »tHµ º  wÓ ´ »µ¥ ˜wƒ¿Ê Ù Ó Ütiene la forma × v ¦Ä©ƒµ ™½ GG » v ¦©ƒµ t½ G E» v ( ƒµ G  Ä ½ ´ Ä » v ¦Ä©ƒµ ÓtÓ   Ó Ü Ù» G G épara todo “E» v ( ƒµ ææ u º ´ Ä , donde v ¦© Ä ææ ææ v ¦©ƒµ Ä para Ï ¥Ä ä ´ » . ¯ uEjercicio 4.11. Llevar un sistema estacionario Ü µ ˆ0vC«œµ » ÃÄ ÂÄ º a ¥»wƒµ«í à Cwƒ(í Â Ä »  Ä»µ mediante una transformación deequivalencia inestacionaria.Ejercicio 4.12. Encontrar una realización inestacionaria y una estacionaria de la respuesta al impulso Î Etƒµ ´ » ¯.a± ­ Ó 6 Clase 27/03/00.
  • 60. Capítulo 5Estabilidad5.1 IntroducciónLa estabilidad de un sistema puede pensarse como una continuidad en su comportamiento dinámico. Sise presenta un cambio pequeño en las entradas o condiciones iniciales, un sistema estable presentarámodificaciones pequeñas en su respuesta perturbada. tƒ¿Ê »µ Estable wƒ¿Ê »µ vÊ vÊ Inestable En un sistema inestable, cualquier perturbación, por pequeña que sea, llevará estados y/o salidas acrecer sin límite o hasta que el sistema se queme, se desintegre o sature. La estabilidad es un requerimiento básico de los sistemas dinámicos destinados a realizar operaciones oprocesar señales, y es lo primero que debe garantizarse en el diseño. Estudiaremos la estabilidad de sistemas estacionarios e inestacionarios por separado, empezando porlos primeros.5.2 Estabilidad Entrada-Salida de Sistemas EstacionariosHemos visto que la respuesta de los sistemas dinámicos que estudiamos se descompone en respuesta concondiciones iniciales nulas y respuesta con entrada nula. Estudiamos la estabilidad de estas respuestas porseparado comenzando por la estabilidad entrada-salida.5.2.1 Representación externaSea un sistema lineal, causal y estacionario SISO descripto por e¤ƒ¹¢µ ‘ ¹»„H§— ¯ v eEtƒnÍ v ž ´   £»   »   ¸ µ ž ´ »µ ¯ ¡¤ƒ¹»ËHµ ‘ §¢§— Ä   £»   ¸  »  µ (5.1)para el cual asumimos condiciones iniciales nulas. Una señal se dice acotada si existe una constante ‘ wƒµ » À ‚ tal que ‘„ À x wƒµ » ‚ para todo # ڝ . „ Ü 58
  • 61. 5. Estabilidad 59Definición 5.1 (Estabilidad entrada-acotada/salida-acotada (BIBO)). 1 Un sistema es estable BIBO (entrada-acotada/salida-acotada) si toda entrada acotada produce una salida acotada.Teorema 5.1 (Estabilidad BIBO de sistemas SISO). Un sistema SISO es estable BIBO si y sólo si su res-puesta al impulso es absolutamente integrable en el intervalo tH§— »µ , es decir, existe una constante } Ä ÜE »À tal que # Ü „ rvž tg•¤£ ¹¢¡— À ´   »  µ „ } 2a ¾Demostración. Supongamos que tƒ¡— »µ es absolutamente integrable. Sea ‘ tƒµ » una entrada arbitraria acotada,es decir, para todo  wƒµ » . Entonces ‘„ À „ ‚ Ü ½ # ªª ‹H¹ƒóƒµ ‘ ¹¢¡— ¯ ž ªª ´ wƒEÍ ªª   £ »   ¸  »   µ v ªª „ »  µ „  ‹£ „ ¹»„ƒµ ‘ R„„ ¹¢¡— „ ¯ v C »   ¸  »  µ ž À x ¤£ „ ¹’ §— „ r v ž ‚   » µ À x ‚ Ä •À el sistema es BIBO.Supongamos ahora que wƒ¡— »µ no es absolutamente integrable, es decir que existe algún tal que ½ 7¯ •¤£ ¹¢¡— ´   »  µ „ vž „ } ¾Consideremos la entrada acotada ä si Ú¹¢¡— # »  µ ƒ¸ ½ ƒµ ‘    wE¹ v ´ » ä ¸ si a ¹¢¡— »  µ Ü ¾ ÜLa salida del sistema para esta entrada y es ½ în  ´ 7 ¤ƒ§ƒóƒµ ‘ ¹¢¡— ¯ v eE» ½ ƒnÍ   £»   ¸  »  µ ž ´ µ 7¯ Ä } ”¤£ §¢§— ´   »  µ el sistema no es BIBO. „ „ vž ´ Notar que una función absolutamente integrableno necesariamente es acotada y puede no ir a cerocuando . Un ejemplo de una función que } ¾ ¼es absolutamente integrable y no va a cero cuando  es } À ¼ Æ » Æ óƒiÁ Æ ¸ µ para Ɲ ‡Ô Æ ’ ä ¸ Æ a Æ  v ˜» Æ óƒµ ´ ¸  Æ » Æ óƒò¸ Æ ¸ µ para ’ ä Á Æ Ú Æ a ¾ Ô Æ x y € para Ï ˆ# Æ Ä ƒì Æ ‚ . WüÿTeorema 5.2 (Estabilidad BIBO y respuesta en régimen permanente). Si un sistema con respuesta al im-pulso es estable BIBO, entonces cuando wƒ¡— »µ } À ¼ 1. La salida correspondiente a una entrada constante ‘ ˜tƒµ ´ » Ò , para # ڝ , tiende a la constante ° » Ü ¡— µ Ò . Ü 2. La salida correspondiente a una entrada sinusoidal ‘ ëwƒµ ´ »  v ¦D“x ¡ h 3 , para # g , tiende a la sinusoide ° . c» v ¢ê “— …§ v HVD“x » v ¢ê §— » ¡ µ „ Á ¡µ h 3 ¡ µ ° Ü „ „Demostración. 1 Bounded Input Bounded Output.
  • 62. semiplano (abierto, sin incluir al eje ) izquierdo del plano complejo. ¡ 1êpertenece al ) Es fácil chequear que todos estos términos serán absolutamente integrables si y sólo si ¾ ½ t¯ ­ ¡¼ G (fCffc¯ Ä¾¾¾Ä ­ §(¥¯ ­ (¥¯ ­ ÓÄ Ä 0 0 0 0 binaciones lineales de las exponenciales— la respuesta al impulso del sistema relajado — incluirá com- µ » ¶œ¡— La transformada de Laplace inversa de ° G» ) ¸ ¶ œµ Ó» ) ¸ ¶ œµ ) ¸ (¶ ľ¾¾ ffCfÄ Ä ä ä ä los términos, es claro que su expansión en fracciones simples incluirá È con multiplicidad ) Si tiene un polo en ¶µ » ™§— °negativa. ¶µ » œ¡—transferencia racional y propia es BIBO estable si y sólo si todos los polos de tienen parte real ¶µ » œ¡— °Teorema 5.3 (Estabilidad BIBO para funciones racionales y propias). Un sistema SISO con una función °propias. El resultado siguiente establece la estabilidad BIBO en términos de funciones transferencia racionales ysoidales una vez que los transitorios se extinguen. Esta es la base del filtrado de señales. El teorema anterior es básico; especifica la respuesta de un sistema BIBO a señales constantes y sinu- ¾» ¡ µ „ Á ¡µ h 3 C¥» v 1ê ¡— i§ v "VD”x » v 1ê ¡— ´ „ ¡ µ „ ¡ µ „ h 3 x Á ¡ µ „ ¡ h 3 S » v 1ê ¡° — h©”é v ¡ x ó» v 1ê §° — ° gx  v ¦©” Ex „ » v 1ê ¡°° — „ ´ ¡ µ µ ¡ ç f » v ¢ê 6 — kd™ v 3x ¡ à Á( ¡ µ 3 e ¡ h 3 ¿Â » v 1ê §— F& v D”x ´ ° °   £ ¡ h 3x »  µ ž ¡ ¸   £ ¤w  v ©”¤§¢§— r v h v 3x ̤w( Ã  v ¡ x ¹¢¡— r v ‹ v ¦D“x ‚wƒEÍ »  µ ž ¡ h 3 ¼ »µ à ( à ( } À ¼ Finalmente de (5.2), cuando ¾ ¡ µ C» 1ê ¡ „ h 3 „ ¡ µ „ ¸ ¡ µ „ „» ¡ µ „ ° — dD”x » 1ê ¡° — ê n» 1ê ¡— ™x à ¼ »—¡1ê µ§— ´ ˜ ® ¤ °è ¬ ” • £è ( ­ „ —1ê §°° — „ ´ ® ¤ è ¬ • —¼ – ® ¤ è¬ • Ö Õ” ¹Ô Ó Ö Õ ”Ô “ HUq’ Ó   £   ¡ h3x » µ ž ê   £   »  µ ž ´   ¤w‚¦D“¤¹’ §— r v ÆI¸ ‹ÄÆ¡ x ¹¢¡— r v T•¤£ ¨ ¤ è ¼ ­ ¹’ §— r v eE—1ê §° — » µ ž ´» ¡ µ à ( es absolutamente integrable, entonces podemos evaluar »µ tƒ¡— Si ¾¡ ¤£w  v ¡‰D3“¤»¹¢µ¡— ‹ v ¡3x ¸   £ ¡ ̋Ġ v ‘x ¹¢¡— ‹ v ¦©”C´ »  µ(5.2) h x   ¯vž v ž ¡ h3x ¯ à ( à 6   ¡ 3 ¡ ¡ h 3 E »  µ ¤£ S  v ¡ x   v hD“xƒ¸Q  v 3x  v D”x F¹¢¡— ¯ v e´ ž Ã( à (   £»   ¸  ¡ h 3x »  µ ž ´ »µ ‹H¹ƒóƒµ v ‰D”­¹¢¡— ¯ v eEwƒEÍ , entonces Ü # ڝ , para  v ¦D“C˜tƒµ ‘ ¡ h 3 x ´ »  2. Si r vs™ · ªª ‡ ˆ¯ Ä µ 0» Ü ¡— ´   ¨· »  µ v ´   £»  µ ”¤ƒ¹¢¡— r vž ´ »µ ˆwƒEÍ fd ° Ò ªª ¤£ ¢‹¼ ­ §¢§— r ž Ò Ò † y así  £» µ ¤ƒ¹’ §— ¯ v ž Ò ´   £»   ¸  »  µ •¤ƒ§ƒóƒµ ‘ ¹¢¡— ¯ v eEwƒEÍ ž ´ »µ , entonces Ü # ½ para todo ´ » ˜tƒµ ‘ 1. Si Ò60 5. Estabilidad
  • 63. 5. Estabilidad 61Ejemplo 5.1. Sea el sistema en realimentación positiva de la Figura 5.1 que incluye un retardo unitario, Ò ä ´, y una ganancia estática de valor . El sistema es de dimensión infinita, puesto que incluye un retardo,y no tiene función transferencia racional. Cuando la entrada es un impulso, , la salida está dada ‘ wƒ”j«tHµ »µ P ´ »porÍ Ò Ò Ò ˜ Ò é ˜wƒ¡— ´ »µ Á ¿» ä ˃”P ¸ µ ¹”Ï óƒ”P Ó Á » ¸ µ C0ã ¹”„ƒ”P Ô ãã Á » Î ¸ µ r $´ „ƒ”P æ ¸ µ ¾ 0» ™æ ½ Ò éPodemos considerar los impulsos como positivos, con lo que tH§— »µ j´ ˃”P æ ¸ µ » , y así Ò „ „ k „ „ ½ ™ ær ˜ æ Ò } si ä # „ ҄ Ä£ „ wƒ¡— „ r v ž  »µ sE r ´ „ „ ™æ v l´ } m m Ca § § œ½ m m si äGa . ½ ¼ „ „ ÒConcluimos que el sistema es BIBO estable si y sólo si ä a . Ò „ „ ‘ + Í + Í Figura 5.1: Sistema realimentado con retardo.5.2.2 Caso MIMOLos resultados de estabilidad BIBO para sistemas MIMO siguen de los de sistemas SISO, ya que una matriztransferencia sera BIBO estable si y sólo si cada una de sus entradas son BIBO estables.5.2.3 Representación internaCuando el sistema está representado en EE,  Á »µ Ê º ´ ¥ iówƒ¿ó“Ê ‘ tƒµ » T¹wƒ¿ËGEtƒnÍ Á »µ Ê Ã ´ »µ ‘ ÄC»wƒµ  °Îla estabilidad BIBO dependerá de los autovalores de la matriz , ya que todo polo de º » œµ ¶ es un autovalorde ,º °Î CC“¥˜§”œ«x˜» œµ Á ½ ¼» º ¸ · ¶µ à ´ ¶ ä TÁiC»˜º¸§·”œ©¦¯Ã ˜i¹”œ 6D1 ´  ¶µ1 o » º ¸ · ¶µ53 Ä °Îy así si todos los autovalores de tienen parte real negativa, todos los polos de º tendrán parte real » œµ ¶negativa, y el sistema será BIBO. °Î No obstante, no todo autovalor de es un polo de °Î , ya que puede haber cancelaciones entre ceros y º » œµ ¶polos al computar . Así un sistema puede ser BIBO estable aunque algunos autovalores de no tengan » œµ ¶ ºparte real negativa.Ejemplo 5.2. El sistema × × ä ä ¸ wƒ¿Ê»µ¥ Ï (¸ »wƒµ ‘ ¿tƒ¿Ê Ü Á »µ ä ÙÜ Ù ²Ü C»wƒµ ‘ Ï Ewƒ¿p³ Î (¸ EtƒnÍ Ä  ¸ »µ Ê Ï ´ »µa pesar de tener un autovalor con parte real positiva en ä ´ ô , es BIBO estable porque su función transfe-rencia » ¸ ä pÏ ¶ µ xCC“¥˜§”œ«xE» œ¡— ´ Á ½ ¼» º ¸ · ¶µ à ´ ¶µ ° Ä » ä «™µ Á ¶tiene su único polo en ä 4Y¶ ¸ ´ .
  • 64. 5. Estabilidad 625.2.4 Caso discretoEl caso discreto es análogo al caso continuo, mutatis mutandis, con el sistema descripto por ˜ ¢ F— n´ S ¢ ‚Í ˜ ¢ E 9pÈ F— o´ pÈ E 9pÈ E r E ¸ ‘S E r S ‘S Ä pÈ ¸ S v s™ G v s™ Gdonde S ¢ F— es la secuencia respuesta a un impulso discreto aplicado en el instante E ¢ Ü ´ . Resumimos los resultados principales en los siguientes teoremas.Teorema 5.4 (Estabilidad BIBO discreta). Un sistema discreto MIMO con matriz respuesta al impulso S ¢E Î ´SS ¢ E è æ P—E es estable BIBO si y sólo si cada es absolutamente sumable, es decir, S ¢ E èæ — ˜ S ¢ F— „ r ¡ „ E s™ À x } 2a ¾ vTeorema 5.5 (Respuesta en régimen permanente discreta.). Si un sistema discreto con respuesta al im-pulso S ¢ F— es estable BIBO, entonces, cuando E , } ¼ ¢ 1. La salida excitada por S ¢E ‘ ´ Ò , para # ¢ Ü , tiende a ° » ä ¡— µ Ò . 2. La salida excitada por ¢ p¡D3“2´ S ¢ E ‘ h x ¢ , para # ¢ , tiende a ¢ v "8©”x » Ÿ ¤ è ­ §° — ¡µ h 3 Ÿ ¤ è ­ ¡° — , donde ° » E ¡— es la transformada de r S F—E , Ü „ µ „ „ qÁ µ » c» µ ° ˜ µ §— r sˆ» E ´ G ¼ ˆEpÈ F— S E ¾ v h™ GTeorema 5.6 (Estabilidad BIBO para funciones racionales y propias). Un sistema discreto MIMO con ma- °Î °— E °—triz transferencia racional y propia es BIBO estable si y sólo si todo polo de tiene ´ Å» E µ µ èæ E S» » E µ èæmagnitud menor que . äNotar: Que en el caso de tiempo continuo las funciones absolutamente integrables pueden no ser aco-tadas, o no tender a cuando . En el caso de tiempo discreto, si Ü es absolutamente sumable } ¿ ¼ S ¢ — ¢ Eentonces debe necesariamente ser acotada y aproximarse a cuando . } ¼ ÜEjemplo 5.3. Sea un sistema discreto estacionario con respuesta al impulso S ¢ — E ´ ¢’ä , para # ¢ ä , y . Analizamos siÜ ´ S Ü — E es absolutamente sumable, S ¢ — E ˜ ¢E ä ä ä „ S F— „ s™ r ¡ v Á ä ´ Ï Á Î Á m 00ã Á ãã Á ä ´ ä Á Ñ ä Á Ò äm Á Ñ ä Á 0Cã Á ãã Ò äj Á Ñ Á 0Cã Á ãã ä Ò lää C0ã Á ãã Ï Î – © £ Á ä ä Á ä Á ä ´ 00ã Á ãã } ¾ Ï Ï ÏLa secuencia de la respuesta al impulso es acotada pero no sumable, por lo tanto el sistema no es BIBO.5.3 Estabilidad Interna de Sistemas EstacionariosLa estabilidad BIBO se definió bajo condiciones iniciales nulas, y se refería al comportamiento externo delsistema, o sea, aquel observable en la relación entre salidas y entradas independientemente de estados delsistema. Ahora estudiamos la estabilidad interna del sistema, que se refiere al comportamiento de los estados delsistema. Consideramos la respuesta a condiciones iniciales y con entradas nulas, es decir, v ˆE» Ü ¿Ê µ Ê ´ ¾»µ Ê º ´ »µ¥ CtHóói˜wƒ¿Ê (5.3) La estabilidad interna describe las propiedades de convergencia de las trayectorias a puntos de operacióno de equilibrio del sistema.
  • 65. 5. Estabilidad 63 ´ »µ¥ Definición 5.2 (Punto de Equilibrio). Un punto de equilibrio de un sistema en EE Ê #wƒ¿Ê  ctƒ¿›µ »»µ Ê es unvector constante tal que si , entonces para todo . ˆn» Ü óÊ Ê ´ µ ò˜tƒ¿Ê Ê ´ »µ # ڝ Ü La definición de punto de equilibrio vale para sistemas no lineales, que pueden tener varios. Para sis-temas lineales, salvando los casos en que la matriz tenga autovalores nulos, existe un solo punto de ºequilibrio: el origen.Ejemplo 5.4. Sean los sistemas × × ´ »µ¥ ˜wƒ¿Ê ä Î wƒ¿Ê © »µ ¢ ÄÊ E ´ ƒä Á S Ï Ü S ¢ ÄÊ E » µ¥ »wƒµ¿Ê§hD”xŸx´ˆwƒ¿Ê  3 Î Ù Ü Ù u’ ä ÏEn el primer sistema la matriz tiene un autovalor nulo, por lo que tiene un kernel no trivial generado por el º vector Ê . La dirección definida por es un conjunto de equilibrio. ƒä p(¸ ”´ S ÄÎ E t u Ê En el segundo sistema, los equilibrios están definidos por los tales que , es decir, Ê ¢ ÄÊ E Á S ¢ ė´ Hä EÊ S œ§òiœµÊ»· ¸ º . Como la matriz es no singular, el único equilibrio es . ¢ utS´ Ü Ä Ê Ü ”´ E Ü ´ Ê ¢ El tercer sistema es no lineal. Haciendo obtenemos , donde . 3 » µ¥ ʹh©”xC´˜tHóÊ v Ü w x ä Ä Ü ´  fCfÄ ¾¾¾ Para los sistemas lineales que tratamos en la materia, interesa un equilibrio único y estable en el origen.Éste será un equilibrio en cualquier representación en EE equivalente del sistema.Definición 5.3 (Estabilidad en el sentido de Lyapunov). El (equilibrio del) sistema es esta- »µ¥ wƒ¿óº ´ tƒ¿Ê »µ Êble en el sentido de Lyapunov, o simplemente estable, si toda condición inicial finita origina una trayectoriaacotada.Definición 5.4 (Estabilidad Asintótica). El sistema es asintóticamente estable si toda condi- »µ Ê º ´ »µ¥ tƒ¿óx«tƒ¿Êción inicial finita origina una trayectoria acotada que además tiende al origen cuando . } À ¼Definición 5.5 (Inestabilidad). El sistema »µ Ê º ´ »µ¥ tƒ¿ó“˜tHóÊ es inestable si no es estable. Estabilidad Lyapunov Estabilidad asintótica Inestabilidad Para sistemas del tipo (5.3) la estabilidad queda determinada por los autovalores de . ºTeorema 5.7 (Estabilidad Interna). El sistema »µ Ê º ´ »µ¥ tƒ¿ó“˜tHóÊ es 1. estable en el sentido de Lyapunov si y sólo si todos los autovalores de tienen parte real no positiva, º y aquellos con parte real cero están asociados a un bloque de Jordan de orden de . ä º 2. asintóticamente estable si y sólo si todos los autovalores de º tienen parte real negativa.Demostración. Notamos primero que la estabilidad de una EE no será alterada por transformaciones deequivalencia algebraica, puesto que en , donde es una matriz no singular, si es acotado œ ´ wƒ¿í Ê »µ wƒ¿Ê »µ œ tHóÊ »µtambién lo será . Y si tiene a cero, también lo hará tHóí Ê »µ . tHóÊ »µ ¥ wƒóí Ê »µ En el sistema transformado es , donde tiene los mismos autovalores que . » µ Êí ´ »µ wƒ¿Ëº Qwƒ¿í Ê ½¡¼˜œ º œ ´ í º ºSean son los autovalores de ô ffCfÄ Ó ô Ä ½ ô ľ¾¾ con multiplicidad . 80˜òº ï ðï î ì G k Ä æc Æ ´ æc G Sea la transformación de equivalencia que lleva el sistema a su forma canónica modal, o sea que es œ ½ ™æ íºdiagonal en bloques, ÐÛ ÝÝ ÞÕ ½ ³ ÛÛ Û 0Cã ãã Ü Ü ÝÝ Ü Ü ÛÑ ³ Ó Ü ã0Cã ã ÝÖ Ü ´ í %º Ü . Ü . Ô ³ . ã0Cã ã Ü . . . . .. . . . . . . Ü Ü Ü 0Cã ãã G³
  • 66. 5. Estabilidad 64donde el bloque î ì ¥ æ ³ i i Y ðY y y es el bloque de Jordan asociado al autovalor . æ §ô La solución de» Ü ¿Ê °d­ ˆwƒ¿Ê µ ¯ z® ´ »  µ ˆwƒ¿í Ê ´ »µ  Êí »wƒµ¿Ëº es , donde también es diagonal en bloques °d­ ¯ z® ÝÝ ÞÕ ÐÛ ÝÝ Ü 0Cã ãã ¯ 7 µ ­ ÛÛ Ü @ Ü Û ó°z ® ­ ´ ¯ ¾ ÝÖ Ü 0Cã ãã 0C¯ ããã W ܵ ­ ¯ µ ­ Ü ÛÑ . Ü Ü . Ü . . . . . .. . . . . . . Ü Ü Ü 0Cã ãã …µ­ ¯ y y y yComo vimos, cada involucra términos con las exponenciales ¯ µ ­ , etc., dependiendo de ¦­ (Ä ¯ u­ ±  ± ¯ ¦­ Ó ¦Ä ¯ ± la multiplicidad de . Es claro entonces que la respuesta del sistema sólo puede ser acotada si ningún æ ôautovalor tiene parte real positiva y todos los autovalores con parte real nula están asociados a bloques deJordan de orden . ä Para que el estado converja asintóticamente al origen, es necesario que todos los autovalores tenganparte real estrictamente negativa.Ejemplo 5.5. Sea el sistema ÐÑ ÕÖ ´ »µ¥ Ü Ü Ü ˜wƒ¿Ê Ü Ü Ü CtHóÊ ¾»µ Ü Ü ä ¸Tiene un autovalor doble en y uno simple en . Como el autovalor nulo está asociado a dos bloques de ä ¸ ÜJordan de orden , concluimos que el sistema es estable en el sentido de Lyapunov. ä El sistema ÐÑ ÕÖ ä ´ »µ¥ Ü Ü ˜wƒ¿Ê Ü Ü Ü CtHóÊ Ä»µ Ü Ü ä ¸sin embargo, tiene los mismos autovalores, pero esta vez el autovalor nulo está asociado a un bloque deJordan de orden , y por lo tanto el sistema es inestable. Ï Como ya discutiéramos, todo polo de la matriz transferencia del sistema ° CC“¥˜§”œ«x˜» œµ Î Á ½ ¼» º ¸ · ¶µ à ´ ¶debe ser un autovalor de , por lo que estabilidad interna implica estabilidad BIBO. º °Î Sin embargo, no todo autovalor de aparecerá como polo de , por lo que estabilidad BIBO no implica º » œµ ¶estabilidad interna.5.3.1 Sistemas discretosLas definiciones de estabilidad en el sentido de Lyapunov y asintótica son las mismas para sistemas en ¢ wÊtiempo discreto E Á S ¢ wói´ ƒä . El teorema 5.7 se reformula de la siguiente forma. Eʺ STeorema 5.8 (Estabilidad Lyapunov para sistemas discretos). El sistema ¢ ÄÊ E Á S ¢ Äó“´ ƒä Eʺ S es 1. estable en el sentido de Lyapunov si y sólo si todos los autovalores de tienen magnitud no mayor que º , y aquellos con magnitud igual a están asociados a un bloque de Jordan de orden de . ä ä ä º 2. asintóticamente estable si y sólo si todos los autovalores de º tienen magnitud menor que . ä5.4 El Teorema de LyapunovDa una forma alternativa de chequear estabilidad asintótica de . La importancia de este re- ´ »µ¥ wƒ¿Ëº ’wƒ¿Ê »µ Êsultado (en su forma general) es que permite estudiar la estabilidad de sistemas más generales, como porejemplo inestacionarios o no lineales. Diremos que una matriz es Hurwitz si todos sus autovalores tienen parte real negativa. º
  • 67. 5. Estabilidad 65Teorema 5.9 (Teorema de Lyapunov). La matriz º es Hurwitz si y sólo si dada cualquier matriz simétrica ydefinida positiva , la ecuación de Lyapunov ` 4%•i–˺ ¸ ´ º À Á À t ` (5.4)tiene una solución única simétrica y definida positiva À . Aleksandr Lyapunov (1857-1918)Demostración. ( ) La ecuación (5.4) es un caso especial de la ecuación de Lyapunov ˆÂ i–«º à ´ À Á Àque viéramos en la clase del 27 de marzo, con , ,y . Como y tienen los mismostr t Œº º ´ º ´ ` rŒÃ ¸ ´ º º tautovalores, si es Hurwitz no hay dos autovalores y tales que º . Así, por lo visto en § 3, laè ô æ ô ´ è ô Á æ ô Üecuación de Lyapunov es no singular y tiene una solución única para cada . À ` Postulamos la siguiente candidata a solución (5.5) v e‡À ž ´  Ä£ 2® ­ ` aU® ­ r ¾ ¯ ¯ {Substituyendo (5.5) en (5.4) da º t v ž §Ä£ 2® ­ ` ¯ { ® ­ t º r v ž %•i–À Á  ¯ ´ º À Á ®­ r w•º °® Y` ¯ { £ ¯ ­ Ä£ H~2® ­ ` aU® ­ }Ä£ £ r v e´  ¯ ¯{ |  ž ` ¸x´ ` † ¸ Ü ´ s™ r ªªª °® Y` ¯ { ® ­ ´ v ¯ ¯ ­ Ädonde hemos usado el hecho de que ´ 2•­ ¯ ® fd puesto que º es Hurwitz. Así mostramos que en efecto ÜÀ de (5.5) es solución de la ecuación de Lyapunov (5.4). r De (5.5) se ve también que si es simétrica, también lo es ` À . Factoricemos ` ´ í ` í ` t donde í` es unamatriz no singular, y consideremos v xÌË™Ê ž ´ Ê Àt t ™Ê r g r v eněʰ® #í ` t í ` ¯ { ® ­ ž ´£ ¯ ­  Ä£  iÊ °® #í ` ¾ Óg ¯ ­ Ó (5.6)Como y °•­ í ` son no singulares, para cualquier no nulo el integrando de (5.6) es positivo para cada . Es ¯£ ® Ê decir, para todo Ê ÌÀ t Ê , y concluimos que es definida positiva. Ê ¥´ À Ü ( ) Mostramos que si `Ü y son definidas positivas entonces es Hurwitz. Sea un autovalor de À º ô ºy Cõ ¥´el autovector correspondiente, es decir, . Tomando la traspuesta conjugada obtenemos ´ õ º õ Eô Ü ö õö . Así, de (5.4) a§ô ´ t º õ ö ¸ `öõ õ ••ö õ Á õ Ë¥ö õ ´ õ º À À t º ¾ õ À ö õ˜ô 3Fe€“´ õ À ö õ » ô Á ö ô G´ Ï µ (5.7)Como los términos y õ Àö õ 6õ `ö õ son reales y positivos, como viéramos en el § 3, (5.7) implica que »ô Fe a 3 Üy muestra que es Hurwitz. º
  • 68. 5. Estabilidad 66 Un corolario de este resultado que nos va a ser útil más adelante es el siguiente.Corolario 5.1. La matriz º es Hurwitz si y sólo si para cualquier matriz {rtí ` Æ Ç È con Æ ia È y la propiedad ÐÛÛ í` ÝÝ ÞÕ Ã ‚ à ÛÑ í` ÝÖ º h 4—oŠ  f h 4—oŠ r  ¢ . . Ä Æ ´ . í` ¡¼ ˜º ½ ï ï 8ð G ïla ecuación de Lyapunov 4%•i–À t º ¸ ´ º À Á í` t í`tiene una solución única simétrica y definida positiva À . Un resultado importante que usamos en la prueba del Teorema de Lyapunov es el siguiente, que resumi-mos en un teorema aparte.Teorema 5.10. Si º es Hurwitz, entonces la ecuación de Lyapunov 4%•i–˺ ¸ ´ º À Á À t `tiene una solución única para cada ` que puede ser expresada como v e‡À ž ´  Ä¡2® ­ ` ¯ { ® ­ r ¾ £¯5.5 Estabilidad Interna de Sistemas Discretos 5La contrapartida discreta de la ecuación general de Lyapunov i„“Á À à ´ ƒ À vista en el Capítulo 3 es 5 ¸ À Exˆ„À Ä Ã ´ ƒ (5.8) 5donde las matrices e son respectivamente y y las matrices y son . De forma similar ƒ Æ ˆÆ Ç ë"È È Ç À à ë˜Æ È Çal caso visto,2 la ecuación (5.8) es una ecuación lineal en que puede reescribirse en la forma . À àà ´ à À ß 5 Si es un autovalor de y æ ô un autovalor de , la condición para que exista una solución única de è … ƒ À(5.8) es que é ä ¥´ è … æ ô para todo 2lÄ ¾ ê (5.9)Puede verse intuitivamente como surge esta condición. Sea un autovector derecho (vector columna ) ‘ ä Ç Æ 5 5asociado al autovalor de ; o sea, . Sea un autovector izquierdo (vector fila ) asociado al æ ô ‘ ô ´ ‘æ õ ”(ä È Çautovalor de ; o sea, è.V… ƒ … iƒ õ õ è ´ Si pensamos a la ecuación (5.8) en términos de la función matricial † 5 » ©µ À r ¸ À §„À Ä ƒ † †la ecuación se reduce a E» ©µ à ´ À . Evaluando en la matriz I‘ âÀ È Ç Æ õ ´ , tenemos que † 5 ¸ I‘ n» “‘ µ õ ´ õ Ä I‘ » Va§ô ¸ ä 4òƒ I‘ õ è …æ µ ´ õpor lo que lo son autovalores de (5.8). Si , entonces existe una solución única de la V‡§ô ¸ ä è …æ † Ü f‡§ô ¸ ä ¥´ è … æecuación . De otro modo, pueden o no existir soluciones. GE» ©µ à ´ À ¢ ÄÊ Volvemos entonces ahora a la condición de estabilidad para el sistema discreto . E S ¢ ÄËr´ ƒä Eʺ S ÁTeorema 5.11 (Teorema de Lyapunov Discreto). Todos los autovalores de la matriz tienen mag- ï8ð0ï˜î숺nitud menor que si y sólo si dada cualquier matriz simétrica y definida positiva , o ä ` `wí ` ´ ` t , dondeí` î ì con G tiene la propiedad ï 8ð iîÈ Æ a ÐÛÛ ÝÞÕ í Û ÝÝ ` Ã Ñ Ö º í` h 4—oŠ  f . . Ä Æ ´ . í` ½ ¡¼ ï º ï 8ð G ï 2 En la clase del 27/03/2000.
  • 69. 5. Estabilidad 67la ecuación de Lyapunov discreta %•Ë¸ À ´ º À t º ` (5.10)tiene una solución única simétrica y positiva definida À . Un esquema de la demostración, que sigue pasos similares a la del caso continuo, se puede encontraren Chen (1999, p. 136-137). En este caso una solución explícita está dada por el siguiente resultado. ÀTeorema 5.12 (Solución de la Ecuación de Lyapunov Discreta). Si todos los autovalores de la matriz ºtienen magnitud menor que , entonces la ecuación de Lyapunov ä %•À t ¸ À ´ º º `tiene solución única para cada ` , y la solución puede expresarse en la forma ˜ r n‡À ´ º œµ t G º ` G» ¾ (5.11) v s™ G Remarcamos que aún cuando tuviera autovalores con magnitud mayor que , la ecuación de Lyapunov º ätiene solución si se cumple (5.9), pero no puede expresarse en la forma (5.11). La función M ATLAB lyap calcula la solución de la ecuación de Lyapunov continua, mientras que la funcióndlyap calcula la discreta.5.6 Estabilidad de Sistemas Inestacionarios5.6.1 Estabilidad entrada/salidaEl concepto de estabilidad BIBO para sistemas lineales inestacionarios es el mismo que vimos en el casoestacionario; si el sistema está representado por Î ¯ eEtƒnÍ ž ´ »µ ¡¤ƒ¹¢µ ‘ ¹¡ Hµ Ä   £»   »  Ä Ÿ¯decimos que el sistema es BIBO estable si toda entrada acotada produce una salida acotada. La condición necesaria y suficiente para estabilidad BIBO es que exista una constante finita À tal quepara todo y todo ,  , v uڝ v  # Îg¯ ž •t»¤¦6¹B©ƒµ ¾ À   £ g»  Ä Ÿ¯5.6.2 Estabilidad internaComo en el caso estacionario, la ecuación ´ »µ¥ es estable en el sentido de Lyapunov si toda wƒ¿œwƒ—º Qwƒ¿Ê »µ Ê»µcondición inicial genera una respuesta acotada. Como la respuesta está gobernada por G ˜wƒ¿Ê ´ »µ v ƒ¿œ» v ¦©ƒµ µ Ê Ä »concluimos que la respuesta es Lyapunov estable si y sólo si existe una constante finita À tal que para todoy , , v uڝ v  # ĝ G ¾ } a À†g6» v ¦©ƒµ g (5.12)  Ê» µ ´ » µ¥La ecuación »wƒµ¿œtH«º4vwƒóÊ es asintóticamente estable si la respuesta generada por toda condición iniciales acotada y además tiende a cero cuando . Las condiciones de estabilidad asintótica incluyen (5.12) } À ¼y además •6» v ¦©ƒµ G g ¼ g Ä Ü cuando } ‚ ¼ . Como en el caso inestacionario la respuesta depende del tiempo inicial , interesa caracterizar la es- vtabilidad del sistema de como una propiedad independiente de . Así surgen las nociones de estabilidad vuniforme y estabilidad asintótica uniforme.
  • 70. 5. Estabilidad 68Definición 5.6 (Estabilidad Uniforme). La ecuación Ä»µ Ê»µ º ´ »µ¥ CtHó™tƒ—i˜wƒ¿Ê v Œ˜» v ƒ¿Ê Ê ´ µes uniformemente estable si existe una constante finita positiva ˆ tal que para cualquier v y vÊ la solucióncorrespondiente satisface ‡rtƒ¿cg g»µ Ê ug v cg ˆ Ä Ê v vڝ  # ¾ (5.13) Notar que como la ecuación (5.13) debe satisfacerse en , la constante debe ser mayor que . v ”n  ´ ˆ ä El adjetivo uniforme se refiere precisamente a que no debe depender de la elección del tiempo inicial, ˆcomo se ilustra en la Figura 5.2. ‰  ‰ ‰ ç 1 ‰ ç  ‰ ‰ Ž 4‰ ‰ ç QŒ ‹ Š 磌  ‹ Š Ž ‹  ˆ‹  ˆ‹ Figura 5.2: Estabilidad uniforme.Ejemplo 5.6. La ecuación v ò˜» v HóœCwƒ¿œt Ï Ë•©”é¢xˆwƒ¿¥ Ê Ê ´ µ ÊÄ»µ Ê» ¸  h 3x  mµ ´ »µ puede verificarse que tiene la solución @ ¯ p Ÿ ¯ ‘ H”’ Ÿ ¯ p Ÿ ¯ “ • ¼ @ “¼ ¯ ‘ H”“¯ ¼ ¯ “ U ¬ ‘ ‘ ­ ˜wƒ¿Ê ´ »µ ¾ v ® Ÿ Ê ¯ ’ (5.14)Es fácil ver que para un fijo, existe un tal que (5.14) es acotada por ˆ para todo , dado que el v ˆ g v ¥g Ê v ”V  #término domina en el exponente cuando crece. Ó g¸   Sin embargo, la ecuación de estado no es uniformemente estable. Con un estado inicial fijo, conside- vÊ ¢ w x¢remos la secuencia , con , y los valores de las correspondientes soluciones evaluadas ffCI¥Ä ä Ä ´ ¾¾¾Ä Ï Ï “´ vw Ü segundos más tarde: ¢ ­ ˜» » ä Á p§¿Ê ´ µ ϵ w ¬ 鈖’®½ p ¡ ¬ ¾ v Ê u—¼ ®–Claramente, no hay cota del factor exponencial independiente de , o sea que ¢ ˆ va a depender forzosamente ¢de , y así del tiempo inicial . vDefinición 5.7 (Estabilidad Exponencial Uniforme (EEU)). La ecuación Ä»µ Ê»µ º ´ »µ¥ CtHó™tƒ—i˜wƒ¿Ê v Œ˜» v ƒ¿Ê Ê ´ µ (5.15)es uniformemente exponencialmente estable si existen constantes finitas positivas ôÄ ˆ tales que para cual-quier y la solución correspondiente satisface v Ê v ‡grtƒ¿cg »µ Ê ug v cg ¢Ÿ ¡¼ ¯ u‹¼ ˆˆ Ä Ê ® ¯ ¬ ± ­ v vڝ  # ¾ Nuevamente, , y el adjetivo uniforme se refiere a que ˆ # ä ˆ y ô son independientes de v , como seilustra en la Figura 5.3.Teorema 5.13 (EEU para acotada). Supongamos que existe wƒ—º »µ tal que para todo . å £ 6wƒ—0g g»µ º å Entonces la ecuación lineal (5.15) es uniformemente exponencialmente estable si y sólo si existe tal Ü ç £ Üque q u6» q  ƒµ G g ¯ ž £g ĝ ç para todo , «Ú ¡    #  Ä . ¨
  • 71. 5. Estabilidad 69 ˆ g v cg Ê g v cgÊ 6wƒ¿¥g g»µ Ê 6wƒ¿° Ê g g»µ  v v ° Figura 5.3: Estabilidad exponencial uniforme. Ver Rugh (1995, p. 102-103) por la demostración. En el caso estacionario, , la condición el teorema anterior lleva al requerimiento de que todos Éëwƒ—º º ´ »µlos autovalores de tengan parte real negativa para que el sistema tenga EEU. º En el caso inestacionario los autovalores de no determinan las propiedades de estabilidad del siste- wƒ—º »µma, como muestra el siguiente ejemplo.Ejemplo 5.7. Sea el sistema inestacionario × »µ Ê»µ º ´ »µ¥ ´ tHó™tƒ—i˜wƒ¿Ê ä ¸ ¾0»tƒµ¿Ê ©a­¸ ¯Ó (5.16) Ü ÙäEl polinomio característico de wƒ—º »µ es × 642ˆctƒ—i§· ô  6D1 53 1 ´ »»µ º ¸ µ53 ä Á ô Ä Ó » ä Á ô µ4´ ¯©Óa­ Á ¸ Ü Ùä ôpor lo que wƒ—º »µ tiene dos autovalores en ä ¸4´ ô para todo . Puede verificarse que la matriz  × G ¡u­ ¯ ¼ » “¼ ­ ¸ V­ µ ½ ¯ ¯ E» Ü  ƒµ ´ ĝ Ü Ù ¯ “¼ ­ Ósatisface la condición I I v ( Hµ G wƒ—iE» v ( ƒµ G  Ä »µ º ´ Ä » Òy es por lo tanto la matriz de transición de estados del sistema (5.16). Como la entrada de crece tƒµ Ÿ½ » Ó tH«º »µen forma ilimitada con , el sistema no puede ser asintóticamente o Lyapunov estable.  A diferencia del caso estacionario, los autovalores de no son útiles para chequear estabilidad. tH«º »µ5.6.3 Invariancia frente a transformaciones de equivalenciaEn el caso inestacionario las propiedades de estabilidad, determinadas por los autovalores de , son inva- ºriantes frente a transformaciones de equivalencia. En el caso inestacionario sabemos que esta propiedad no se conserva, ya es posible llevar la matriz wƒ—º »µ íºa una matriz constante arbitraria mediante una transformación de equivalencia inestacionaria . œ tHµ » No obstante, para ciertas , es posible hacer que las propiedades de estabilidad sean también inva- œ tƒµ »riantes en el caso inestacionario.Definición 5.8 (Transformación de Lyapunov). Una matriz que es continuamente diferenciable Æ ¯{Ç œ Æ wƒµ »e invertible en cada se llama transformación de Lyapunov si existen constantes y tales que para todo  ˜ ™  ‡rtƒµ œ g g» Ä ˜ # „ wƒµ œ 641 „ » 53 ¾ ™ (5.17) Una condición equivalente a la (5.17) es la existencia de una constante ˜ tal que para todo  ‡rtƒµ œ g g» Ä ˜ ‡6tHµ “¼ œ g g» ½ ¾ ˜
  • 72. 5. Estabilidad 70Teorema 5.14 (Equivalencia y Estabilidad en Sistemas Inestacionarios). Supongamos que es una œ tHµ »transformación de Lyapunov. Entonces la ecuación lineal (5.15) es uniformemente (exponencialmente) esta-ble si y sólo si la ecuación de estado ¥ œ vˆwƒµ ¥ E E ´ » ˜tHµ œ tƒ—twƒC¡¼ ¸ » »µ º»µ½ œ wƒµ šS wƒµ œ tHf“¼ » E » »µ½es uniformemente (exponencialmente) estable.5.7 Resumen ˆ Hemos introducido los primeros conceptos de estabilidad de sistemas estacionarios, comenzando por la estabilidad entrada-salida BIBO: entrada-acotada/salida-acotada. ˆ Vimos que un sistema es BIBO estable si y sólo si – su respuesta al impulso es absolutamente integrable (sumable, para sistemas discretos), o – si su función transferencia (en discreto °) es racional y propia, todos los polos de » œ¡— ¶µ ° » E ¡— µ ° » œ“— ¶µ tienen parte real negativa (los polos de tienen magnitud menor que ). ° E µ§— » ä ˆ Los sistemas MIMO son BIBO estables si y sólo si todos los subsistemas SISO que conectan las diferentes entradas y salidas son BIBO estables. ˆ La respuesta en régimen permanente de un sistema BIBO a una entrada sinusoidal de frecuencia ¡ v es sinusoidal de la misma frecuencia, y con magnitud y fase dadas por el la magnitud y fase de la función transferencia del sistema evaluada en ( en sistemas discretos. 1”#¶ ¡ ê ´ v ´ E Ÿ ¤è­ ˆ Definimos estabilidad interna para un sistema con entradas nulas. Definimos estabilidad según Lyapu- nov, y estabilidad asintótica. ˆ La condición necesaria y suficiente para estabilidad según Lyapunov es que la matriz en no º Ê º ´ ¥ ó{Ê tenga autovalores con parte real positiva, y para aquellos autovalores con parte real nula, que no estén asociados a un bloque de Jordan de dimensión mayor que . ä ˆ La condición necesaria y suficiente para estabilidad asintótica es que todos los autovalores de º tengan para real negativa (Hurwitz). ˆ Presentamos un método alternativo de chequear si la matriz es Hurwitz (tiene todos sus autovalores º con parte real negativa), mediante la existencia de solución de una ecuación de Lyapunov.. ˆ Vimos el teorema de Lyapunov para sistemas discretos, que vincula la existencia de solución de la ecuación À con la propiedad de que tenga todos sus autovalores dentro del círculo x•À t "¸ ´ º º ` º unitario. ˆ Vimos las nociones de estabilidad para sistemas lineales inestacionarios, incluyendo estabilidad uni- forme y estabilidad exponencial uniforme. ˆ Una nota importante es que los autovalores de wƒ—º »µ en general no determinan la estabilidad en siste- mas lineales inestacionarios.5.8 Ejercicios 0 0Ejercicio 5.1. Probar que las funciones ¯ ­ y  ¯ ­ son absolutamente integrables si y sólo si ) ¼ œì › .3 ° Ÿ 8 ž  @Ejercicio 5.2. Es el sistema con función transferencia E» œ¡— ´ ¶µ p· BIBO estable? ½Ejercicio 5.3. ¿Cuáles son las respuestas en régimen permanente de un sistema con función transferencia°2w· ˜» ™§—Ó ¼p ´ ¶ µ excitado por y para ‘ ? “˜tƒµ ½ Î ´ » ‘ ˆwƒµ Ó ´ » „©”x Ï h3 # ½ · ½ ÜEjercicio 5.4. Probar los Teoremas 5.5 y 5.6 para sistemas discretos. 3   ù q) x1„  œø ¨ § ¦ ¥ ¤ £ ø ¢ ¡ ø .
  • 73. 5. Estabilidad 71Ejercicio 5.5. Analizar la estabilidad de los siguientes sistemas ÐÑ ÕÖ ä ¸ ä ´ »µ¥ Ü ˆwƒ¿Ê Ü Ü Ü wƒ¿Ê »µ Ü ÐÑ Ü ÕÖ Ü ä ¸ ä ´ »µ¥ Ü ˆwƒ¿Ê Ü Ü »wƒµ¿Ê ä Ü ÐÑ Ü ÕÖ Ü Y¾ ¢ ÄÊ E ´ ƒä Á S © Ü Ü ä ¢ EÄÊ ä S Ü Ü Ü ÐÑ Ü ä ÕÖ Y¾ S Á ¢ ÄÊ E ´ © Ü Ü ä ¢ ÄÊ ää E S Ü Ü Ü äEjercicio 5.6. Probar que todos los autovalores de tienen parte real menor que º ¸ a C… si y sólo si para Ücualquier matriz simétrica y positiva definida dada, la ecuación ` ¸ 4´ À … ŒÅ•i–˺ Ï Á º À Á À t `tiene una solución única simétrica y positiva definida À .Ejercicio 5.7. Probar que todos los autovalores de tienen magnitud menor que º ˜ si y sólo si para cualquiermatriz simétrica y positiva definida dada, la ecuación ` ´ •„¸ uÓ ˜ º À t º À ˜ `Ótiene una solución única simétrica y positiva definida À . m m m mEjercicio 5.8. ¿Es el sistema con respuesta al impulso à ( ¼ ¯ 2u­ (¹B©ƒ¡— Ó ¼ ´ »  Äµ ¨ para C†   # BIBO estable? ¿Quéhay de ˆ¹¡ H§— ´ »  Äµ ? ¤x VD“x ƒ¤¼ ¯ ¼ ­    h3 ®¨ ¬Ejercicio 5.9. Es el sistema »µ¥ ´«»wƒµEŸÄCwƒµ ‘ Á„»tƒµ¿›ÏG´«tƒ¿Ê  Í »  Ê  @¯ ¼ »wƒµ¿Ê ¡u­ BIBO estable?¿ Estable en el sentido deLyapunov? ¿Asintóticamente estable?Ejercicio 5.10. Mostrar que la ecuación del problema anterior puede transformarse, usando @ ¡¼ ­ ˆwƒ¿í Ê ´ »µ œ tHó™tƒµ »µ Ê»con œ ´ », en ˆwƒµ ¯ ¥ @ ¡¼ ­ ˜wƒ¿í Ê ´ »µ ¯ ‘ CtHóí Ê ˆwƒEŸCwƒµ ¾ »µ ´ »µ ÍÄ »Es el sistema transformado BIBO estable?¿ Estable en el sentido de Lyapunov? ¿Asintóticamente estable?Es œ una transformación de Lyapunov? tƒµ »
  • 74. Capítulo 6Controlabilidad y ObservabilidadVer notas de clase de Aníbal Zanini, disponibles de las páginas de Control Automático 2 en http://vcyt-22.unq.edu.ar/. 1. Controlabilidad 2. Observabilidad 3. Descomposiciones canónicas 4. Condiciones en ecuaciones en forma de Jordan 5. Ecuaciones de estado discretas 6. Controlabilidad y muestreo 7. Sistemas inestacionarios 72
  • 75. Capítulo 7Especificaciones y Limitaciones deDiseñoComo referencias generales a los temas de este capítulo pueden consultarse Goodwin, Graebe & Salga-do (2000, §5), para las definiciones de funciones de sensibilidad y arquitecturas de realimentación; Doyle,Francis & Tannenbaum (1992) y Sánchez Peña (1992), para los resultados relativos a robustez; y Seron,Braslavsky & Goodwin (1997, §1), para los resultados relativos a limitaciones en la respuesta al escalón.7.1 Sensibilidad y RobustezUno de los esquemas de control más simples es el lazo en realimentación de la Figura 7.1. En el lazo de la ° ° £ » œµ æ ¶ » œ¢£ ¶µ p °c » ™µ ¶ » œµ ‘ ¶ ° » ¶œ„Í µ ° °© » œµ ¶ °Î » œµ ¶ - ° G£ » œµ ¶ Figura 7.1: Lazo de control de un grado de libertad.Figura 7.1 las señales representan V» œn° Í e ¶µ salida •» œµ °c ° e ¶ referencia eV» œµ ° ‘ ° ¶ control •» œµ æ £ ° e ¶ perturbación de entrada eV» œ¢£¶µ p perturbación de salida e•» œµ G £ ¶ perturbación de medición La implementación práctica de un sistema de control se ve afectada en su desempeño de dos principalesfuentes de error: 1. señales espúreas (perturbaciones) en el lazo de control, °Î 2. incertidumbre en el modelo de la planta » œµ ¶ . Un buen diseño de control debe tolerar satisfactoriamente tanto perturbaciones como incertidumbres enel modelado. La especificación de las propiedades del sistema de control con respecto a rechazo de perturbaciones eincertidumbre definen los objetivos de desempeño (en inglés: performance) del diseño. 73
  • 76. 7. Especificaciones y Limitaciones de Diseño 747.1.1 PerturbacionesLas señales espúreas representan perturbaciones que bajo condiciones ideales deberían ser nulas, peroque están presentes, en mayor o menor medida en todo sistema real.Ejemplo 7.1. El control de corriente de armadura de un motor de corriente continua se suele implementar émediante inversores que trabajan por modulación de ancho de pulso (PWM: pulse width modulation), . La wƒµ »componente continua de la señal, é vé , es el control efectivo; las armónicas representan una perturbación wƒµ »de entrada , £ » . tƒµ æ ˜wƒµ ´ » C¿tƒµ v é £ Á » wƒµ æ » é wƒµ » vé wƒµ »  Actuador PWMDefinición 7.1 (Sensibilidad). Cuando un sistema de control retiene su desempeño nominal frente a per-turbaciones se dice que tiene buenas propiedades de rechazo, o baja sensibilidad, a perturbaciones.7.1.2 IncertidumbreLa incertidumbre en el modelado surge de que es imposible conocer con exactitud el modelo de un sistema.Así, el modelo con el que se diseña el controlador (nominal) es una aproximación al verdadero sistema sobreel cual este actuará. Por ejemplo, si diseñamos un controlador basados en el modelo linealizado alrededor de un punto deoperación nominal de un sistema no lineal, las alinealidades se presentarán como incertidumbres de mode-lado.Ejemplo 7.2. Sea el sistema no lineal Á » Ê Á »µ Ê ´ »µ¥ ¿tƒµ Ô ¿tƒ¿ò˜wƒ¿Ê ‘ wƒµ » ÁË»tHó™¥tHµ IÁ ä G´ µ Ê»» Ó Ê µ ‘ CtHµ ¾»El modelo linealizado alrededor del origen es , y así el control » µ¥ tHóÊ ˜wƒ¿Ê ´ Á »µ ‘ tƒµ » ‘ ëwƒµ ´ » wƒ¿u(¸ »µ Ê Ï estabilizaasintóticamente el sistema linealizado. Sin embargo, este control aplicado al sistema real da el lazo cerrado » Ê Á »µ Ê ¸ ´ »µ¥ tƒµ Ô ¿tƒ¿ˆG˜wƒ¿Ê ¾0»tƒµ¿œctƒµ Ó Ê ¸ ä YG´ Ê»» µ ¸y por lo tanto sólo alcanza estabilidad asintótica para un conjunto acotado de condiciones iniciales, a „ ʄ e Ê & . ©ä Para tener en cuenta la incertidumbre del modelo en el diseño del controlador es necesario contar conuna representación de la incertidumbre con alguna cota conocida. Por ejemplo, es habitual representar la incertidumbre con un modelo lineal multiplicativo °Î ° ˜» œµ ´ ¶ vÎ §¥» œµ ¨ I¥§» ™µ Ä » ¶ Á ·µ ¶ (7.1) °Î °donde representa la función transferencia real, » œµ ¶ vÎ la función transferencia nominal (el modelo utiliza- » œµ ¶do para diseño), y una función transferencia desconocida salvo por alguna cota del tipo » œµ ¨ ¶ , n6—¢ µê ¨ g g» ¡ » "µ å ¡con conocida. » "µ å ¡Ejemplo 7.3. Supongamos que tenemos el sistema °Î © ˜» œµ ´ ¶ Ä ä —¡  Á ¶
  • 77. 7. Especificaciones y Limitaciones de Diseño 75donde existe incertidumbre en la posición del polo, , donde ¦ªÁ v •{   P   ´ v  es el valor nominal. La represen-tación de esta incertidumbre en el modelo multiplicativo (7.1) es °Î © ˜» œµ ´ ¶ © v ¢µ   ä (t¹¦ƒÁ Á ¶»   P ä «¶ v   Á Ñ ´ v  ä «¡¦q—¶ v   ä «¶ Á ¶   P Á Á Ò ´ “¦P ¶   ¸ ä Ñ © Ò v °  ä Á«¡¦q—¶ v   ¶   P Á ä «¶ Á ´ vÎ C¥» ™µ ¨ Á ä 0» ™µ ¾» ¶ µ ¶Definición 7.2 (Robustez). Un sistema de control que retiene sus propiedades de estabilidad y desempeñofrente a incertidumbres de modelo en la planta se dice robusto. No siempre es posible alcanzar buen rechazo de perturbaciones conjuntamente con robustez, y así debenadoptarse soluciones de compromiso en el diseño. Para alcanzar soluciones de compromiso adecuadas a las condiciones de perturbaciones e incertidumbreexistentes en el sistema considerado, es útil disponer de índices que de alguna forma “midan” las propie-dades de sensibilidad y robustez de un controlador dado. Dos índices tradicionalmente utilizados son lasfunciones de sensibilidad del lazo.7.2 Funciones de SensibilidadVolvamos al sistema de control de la Figura 7.1, que supondremos SISO por simplicidad. La respuesta delsistema a condiciones iniciales nulas está dada por ° °Î ° ° °Î ° ° »£ » œµœæ¶ µ £ ° © » œµ n» ™n°¹Í » » œ™Vµµ¶¶ 1°p £© ¿»» œœµ¶¶ µ ° ‘ » » ™œµ¶¶ µ ° © E»» œµ„° Í ¶ ¶ Á Á ´ œµ ¶ Ä C» ¶œµ G ¸ ¶µ ¸ Ë c ´ E ¶ ‘ ¸ ¶ ° „» œµ p £ ¸n» œµ ¶ ¶ ° ‘ » œµ ° Î Ë» œµ ° £ n» ™µ °c ² » ™µ ° © ´ ¸ ¶ G ¸ ¶ ¶ °Î ° Ä ³ » œµ æ £ » œµ ¶ ¶de donde resolvemos °© °£ °£ ° £ » œµ ° Î °‘ E» œµ ´ ¶ °Î ° © » œµ ¶ ³ » œµ æ ¶ ¸Ë» œµ p ¸Ë» œµ G ¸n» ¶™µ c ¶ ¶ "°² ¶ Á ä » ™µ » œµ ¶ ¶ § ° °Î ° © » œä¶ µ ° Î Á¿» ¶œµ p ° £ Á » œµ ° £ ¸n» œµ ° » ™µ ° © » œµ ° Î ² ¶ c ¶ ° £ » œµ E» œ„Í ´ ¶µ Á ä » ™µ ¶ ¨ ¶ G ¶ ¶ ¾ ³ » œµ æ ¶ La arquitectura del esquema de la Figura 7.1 se llama “de un grado de libertad”. Este nombre refleja elhecho de que sólo existe un grado de libertad para definir las funciones transferencias de lazo cerrado que °c ° ° ° ° °mapean y a ,y y a . Así, si » °œ©¶ µ » œµ se diseña para obtener una particular respuesta a la señal de referencia, » ™µ ¶ ¶ G£ » œnÍ ¶µ £ » œµ æ ¶ » œ1£ ¶µ p » œnÍ ¶µ ° °© °Î » œ„Í ¶µ » ¶œµ » ¶œµ ° » œµ c ¶ ´ °© ¶ °Î Ä ä » ¶™µ » œµ Áse induce al mismo tiempo una única respuesta a la perturbación de salida, ° » œn° Í ¶µ ä ´ °Î °© ¾ » œµ p £ ¶ Á ä » ¶™µ » œµ ¶ A menudo, es deseable ajustar las respuestas a referencia y perturbaciones en forma independiente.Esto puede lograrse con una arquitectura de dos grados de libertad, como la de la Figura 7.2. La salida eneste caso esta dada por °Î °© ° ° °˜» œnÍ ´ ¶µ » œµ ã » œµ » œµ ¶ ° © » ¶ œµ ° Î ¶ Á ° Áó» ¶™µ c °Î » ™µ p £ ¶ ° © » ¶œä µ » ™µ ¶ ¶ ä Á ä » œµ ¶ °Î °£ °© ¶ °Î°£ » œµ ¶ » ¶œµ » œµ Á Á ä ° © » ¶œµ ° Î » œµ ¶ E» œµ æ ¸ ¶ G » ™µ ° © » œµ ° Î Á ¶ ¶ 0» œµ ¾ ¶ ä
  • 78. 7. Especificaciones y Limitaciones de Diseño 76 ° °£ £ » ™µ æ ¶ » œµ p ¶ °c » œµ ¶ ° » ¶œµ ‘ » ¶œnÍ µ ° ° °© °Î ã » œµ ¶ » œµ ¶ » œµ ¶ - °£ » ™µ ¶ G Figura 7.2: Lazo de control de dos grados de libertad. °© Ahora puede usarse para ajustar la respuesta a la perturbación (que tiene la misma transferencia » œµ ¶ °que en la arquitectura de un grado de libertad), y puede usarse para ajustar la respuesta a la referencia ã » ™µ ¶independientemente, dada por » œ„Í ¶µ ° °Î °© » œµ ã » ™µ » œµ ° ´ ° » œµ c ¶ ¾ ¶ °© ¶ °Î ¶ » œµ » œµ Á ä ¶ ¶No obstante, notar que aún en la arquitectura de dos grados de libertad quedan funciones transferenciascuya dinámica no puede ajustarse independientemente. °© °£ °£ °£ Así, el controlador puede usarse para ajustar la respuesta a una perturbación , o » ™µ ¶ , » œµ æ ¶ » œµ p ¶ » ™µ ¶pero una vez elegido, las restantes respuestas quedan determinadas. G La salida del controlador en el esquema de la Figura 7.2 está dada por °© ° °© ° °‘ E» œµ ´ ¶ ° © » 㠜»¶ µ œ°¶ Î µ » œµ ¶ ° ¸„» ¶œµ c °Î » œµ p £ ¶ ° © » » œœµ¶¶ µ Á ä » ™µ ¶ Á ä » œµ ¶ ° © » œµ ° Î °£ °© °£ ¸ ° © ¶° Î » ™µ ¶ E» œµ æ ¸ ¶ °Î ° © » œµ ¶ G 0» œµ ¾ ¶ ä » œµ Á ¶ » œµ ¶ Á ä » ™µ » œµ ¶ ¶ La respuesta a lazo cerrado del sistema de la Figura 7.2 está entonces gobernada por cuatro funcionestransferencia, colectivamente llamadas funciones de sensibilidad, ° ° © » ™µ ° Î ° ¶ » œµ ¶ ä ° » œµ ¶ r °Î °© » œˆw ¶µ r Î °© (7.2) ä » œµ Á¶ » œµ ¶ » œµ » ¶œµ Á ä ¶ °Í » œµ¶ °Î ° °© w » œµ æ ¶ r °© °Î ‚w » œµ ¶ r ° © » ¶œµ ° Î (7.3) ä » œµ Á ¶ » œµ ¶ » œµ » œµ Á ä ¶ ¶e individualmente ° •» œµ ° e ¶ Sensibilidad complementaria e•» œˆw ° ¶µ Sensibilidad e•» œµ æ Í w° ¶ Sensibilidad de entrada e•» œµ ‚ w ¶ Sensibilidad de controlLa funciones de sensibilidad están algebraicamente relacionadas, y estas relaciones son unas de las mani-festaciones de las restricciones inherentes al lazo de control en realimentación. No es difícil ver que ° ° ¿» œ˜w Á ¶µ ä E» œµ ´ ¶ ° ° w » ™µ ¶ ° © E» œµ ° Î » œˆ° w Í ˜» œµ æ ´ ¶ ¶µ ´ ¶ » œµ ¶ °w °Í ¾ » œµ » œµ ¶ ¶ ° Î E» œµ ° © » œˆ° w E» œµ ‚ ´ ¶ ¶µ ´ ¶ Í
  • 79. 7. Especificaciones y Limitaciones de Diseño 777.3 Especificaciones de la Respuesta en Frecuencia °c °Como normalmente la señal de referencia posee un espectro de bajas frecuencias, se especifica —¢ µê » ¡ —¢ µê » ¡como filtro pasa-bajos, y así rechazar al mismo tiempo el ruido de medición, normalmente de alta frecuencia. ° °La Figura 7.3 muestra especificaciones típicas de la respuesta en frecuencia para ° ° y (recordemos ° ° » 1ê ˆw Í » 1 µê ¡ µ ¡que y no pueden elegirse en forma independiente ya que » œµ ¶ » œˆw ¶µ para todo ). ä E» œˆw ¿» œµ ´ ¶µ Á ¶ «ë¶ › ì Í Í Í 1 1 |T(jω)| |S(jω)| 0.5 0.5 0 0 −2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ω ω ° ° Figura 7.3: Formas típicas para » 1ê ˆw ¡ µ and —1 µê » ¡ . „ „ „ „ Í7.4 Robustez7.4.1 Estabilidad Robusta ° °Además de especificar la respuesta del sistema a señales, las funciones y sirven para especifi- » 1 µê ¡ » 1ê ˆw ¡ µcar las propiedades de robustez del sistema. Supongamos que representamos la incertidumbre en el modelo con estructura multiplicativa » œµ ¨ ¶ Í °Î ° ° ˜» œµ ´ ¶ vÎ C¥» ™µ ¨ Á ä 0» ™µ Ä» ¶ µ ¶ (7.4)y que se conoce la cota de incertidumbre ° 0—"µ Ó ­ » 1 µê ¨ ¾» ¡ ¬ (7.5) „ ¡ „Típicamente, es una función creciente de la frecuencia (el modelo es más incierto a frecuencias » "µ Ó ¬ ¡ ¡mayores). ¿Cómo se obtiene la cota en la práctica? El siguiente ejemplo ilustra una forma. » "µ Ó ¬ ¡Ejemplo 7.4 (Incertidumbre de modelado). Supongamos que la planta es estable y se obtuvo su función °transferencia nominal vÎ mediante experimentos de respuesta en frecuencia: La magnitud y fase de la » œµ ¶ ésalida se miden para sinusoides de referencia de distintas frecuencias È . El experimento se È CCffÄ ä ´ Ä æ ¡ ľ¾¾repitió veces. Æ Denotamos el par (magnitud,fase) para la frecuencia y el experimento como . El modelo æ ¡ ¢ » ¡ æ Ä ¡ æ ©µ ® À °nominal se puede obtener ajustando vÎ a estas mediciones, por ejemplo, minimizando el error cuadrático —¢ µê » ¡medio total (típico en Identificación de Sistemas). ° Una vez obtenida la función transferencia nominal , se puede obtener eligiéndola de forma vÎ » œµ ¶ » "µ Ó ¬ ¡tal que ªª ª y° Qè ­ ¡ æ ° Î À 0—"µ Ó ­ ªª ä ¸ Ä» ¡ ¬ ¯ é ä ´ ¢ ûÈ fCfCÄ ‘ ľ¾¾ ¾ Æ fCfÄ ä ´ ¾¾¾ ªª ª » æ 1 µê v ¡Existen distintos criterios para ajustar . La Figura 7.4 muestra los resultados de un experimento real » "µ Ó ¬ ¡en un sistema intercambiador de calor experimental ( ). Î “´ Æ
  • 80. 7. Especificaciones y Limitaciones de Diseño 78 Diagrama de Nyquist Diagrama de Bode 1 10 Nyquist nominal Mediciones 0.5 Incertidumbre 0 0 10 Parte Imaginaria Magnitud −0.5 Diagrama de Nyquist −1 −1 10Diagrama de Bode −1.5 Nyquist nominal Magnitud Mediciones Frecuencia Incertidumbre −2 −2 Parte Imaginaria 10 −2 −1 0 1 2 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 10 10 10 10 10 Parte Real Parte Real Frecuencia Figura 7.4: Mediciones, modelo nominal e incertidumbre El siguiente es un importante resultado que da condiciones necesarias y suficientes para estabilidad robusta con incertidumbre multiplicativa en los lazos de control de la Figura 7.1, 7.2. ° Teorema 7.1 (Estabilidad robusta con incertidumbre multiplicativa). Sea la planta nominal ° con in- vÎ » œµ ¶ certidumbre de modelo estable y dada por (7.4) y (7.5). Entonces, si los lazos de control de la Figu- » œµ ¨ ¶ °Î °Î ra 7.1, 7.2 son estables con la planta nominal , serán estables con la planta real si y sólo si v » œµ ¶ » ™µ ¶ ° ä © ° a „ —1 µê v „ » ¡ —"µ Ó ¬ » ¡ Ä xa —¢ µê ä » ¡ para todo , ¡ (7.6) » "µ Ó ¬ ¡ „ „ ° °Î °Î donde » 1 µê v Í ¡ es la sensibilidad complementaria nominal (de (7.2) con Í ˜» ™µ ´ ¶ v » œµ ¶ ). Demostración. Ver por ejemplo Sánchez Peña (1992, § 2) o Doyle et al. (1992, § 4). Í Este resultado nos dice que si existe mucha incertidumbre de modelo a una determinada frecuencia, ° °© debe diseñarse (a través de v » œµ ¶ ) para tener valores bajos a esa frecuencia, o la estabilidad nominal » œµ ¶ del sistema puede llegar a perderse en la planta real. Í El resultado anterior tiene la siguiente interpretación gráfica: Puesto que ° ªª © ªª —¡1 µê v ° Î ° » 1 µê ° © ° —"µ Ó  a „ —¢ µê „ » ¡ » "µ Ó ¬ ¡ ä ªª ¬ äa ª » ªª —¡1 µê v ° ¡ ° » Î » ¡ 1 µê » © ¡ Á ä Ä ¡ ª © Î ¡ ©» ¡ ° Î —1 µê ° ©  Í ä a —1 µê v » 1 µê —Hµ Ó v ¬ „ „ „» ¡ Á » ¡ Ä » 1 µê ¡ „ Ä ¡ °© °Î » entonces, para cada frecuencia °© ° ¡ el punto crítico ä ¸ se encuentra fuera del disco de centro ¡ 1 µê » 1 µê ¡ y radio . » "µ Ó ¬ ¡ „ v Î —¢ µê » ¡ » 1 µê ¡ „ 7.4.2 Desempeño robusto ° El desempeño nominal del sistema puede especificarse definiendo la forma de —¢ê ˆw » ¡ µ con una función de peso dada requiriendo que » "µ ½ ¬ ¡ „ „ ° ä © °  a „ —1 µê w „ » ¡ Ä Ga » 1ê ˆw » "µ ½ ¬ (7.7) » "µ ½ ¬ ¡ ä „ ¡ µ ¡ „ ¾ ¡ Si (7.7) se preserva de la planta nominal a la planta real, y además se preserva la estabilidad, decimos que el sistema tiene desempeño robusto. El desempeño robusto, como intuitivamente puede esperarse, requiere la estabilidad robusta (7.6) como condición necesaria. El siguiente resultado establece una condición necesaria y suficiente para el desempeño robusto de los sistemas de la Figura 7.1, 7.2.
  • 81. 7. Especificaciones y Limitaciones de Diseño 79 imag ² ± real ³µ ³´ C ·¶ ¶ ³µ ³´ ü C Figura 7.5: Estabilidad robusta gráficamente °Teorema 7.2 (Desempeño robusto con incertidumbre multiplicativa). Sea la planta nominal ° con vÎ » œµ ¶incertidumbre de modelo estable y dada por (7.4) y (7.5). Entonces, si los lazos de control de la » œµ ¨ ¶ °ÎFigura 7.1, 7.2 son estables, y se cumple (7.7) con la planta nominal , el sistema tiene desempeño v » œµ ¶robusto si y sólo si ° ° "µ v w» » "µ Ó ¬ Á » 1 µê v Ä a » 1 µê ä para todo , (7.8) ½ ¬„ ¡ ¡ „ „ °¡ „ ¡ ¡ ° °Îdonde ° vw » 1 µê ¡ y son la sensibilidad y sensibilidad complementaria nominales (de (7.2) con » 1 µê v ¡ Í ’» œµ ´ ¶vÎ ). » œµ ¶ ÍDemostración. Ver Sánchez Peña (1992, § 2) o Doyle et al. (1992, § 4). La condición de desempeño robusto también admite una buena interpretación gráfica: imag ² ± real · ú ³µ ³´ C ·¶ ¶ ³µ ³´ ü C Figura 7.6: Desempeño robusto gráficamente —•…¹ ¼ » º ½ •º ¼ »7.5 Restricciones algebraicas en ¸ y ¸En resumen, se pueden especificar las propiedades del sistema de control a lazo cerrado especificando una ° °forma en la respuestas en frecuencia de y . ° ° » œˆw ¶µ » œµ ¶ Sin embargo, y no pueden ajustarse arbitrariamente. Existen restricciones en los valores ° „ » 1ê ˆw „ ¡ µ° —¢ µê » ¡que pueden tomar y „ » ¶™µ „ » œ˜w para ciertos valores de¶µ que imponen restricciones sobre los valores en Í ¶ › «ìel eje . ¡ ¢ê Í La restricción más obvia es la relación de complementariedad Í °  ä E» œµ ° ¿» œ˜w Á ¶µ ¾v›„ì ¶ ´ ¶Otras restricciones surgen en los ceros y polos a lazo abierto debido al requerimiento de estabilidad del lazocerrado. Í
  • 82. 7. Especificaciones y Limitaciones de Diseño 80 °Lema 7.1 (Restricciones de Interpolación). Si el sistema a lazo abierto no tiene cancelaciones polo- â » ™µ ¶ ° °cero inestables, entonces, para cualquier control que estabilice al sistema a lazo cerrado, y deben » œˆw ¶µ » ™µ ¶satisfacer las siguientes condiciones ° Í 1. si ) es un polo inestable de â » œµ ¶ ( # ) e 3 ) ° ° Ü y Ü E» ) ˆw ´ µ ¾ ä E» ) µ ´ ° 2. si ˜ es un cero de fase no mínima de Í â » ™µ ¶ ( # ˜ e 3 ) ° ° Ü ä E» ˜ ˆw ´ µ y ¾ Ü E» ˜ µ ´Demostración. Por el requerimiento de estabilidad del lazo cerrado, ceros y polos con parte real positiva Í °de la planta o el controlador no pueden cancelarse, por lo que permanecerán en . Las condiciones de ° ° â » œµ ¶interpolación siguen directamente de las definiciones de y . » œˆw ¶µ » ™µ ¶Sea cual fuera el controlador elegido, las funciones de sensibilidad deberán satisfacer estas restricciones en Ílos polos y ceros de parte real no negativa del lazo abierto.7.6 Especificaciones de diseño en la respuesta temporalAlternativamente a la especificación de la respuesta en frecuencia, la especificación del desempeño delsistema a lazo cerrado suele hacerse sobre la respuesta temporal del sistema. La especificación de la £Œh¾ Á À ¿ É xÈ “Q•¾ Ä ÃÂ Æ Ç À •¾ Ä Å Â Ê dÀ Ë HÀ Figura 7.7: Especificaciones en la respuesta temporalrespuesta temporal es más directa respecto de lo que se pretende del sistema, pero entonces es más difíciltraducir estas especificaciones a condiciones para las funciones transferencia del lazo cerrado. Los parámetros típicos para la respuesta al escalón son Ì sobrevalor “Q ¾ Ä Ã Ì subvalor  ¾ Ä Å Ì ÊÀ tiempo de crecimiento Ì tiempo de establecimiento Ë dÀ Definimos los parámetros de la respuesta al escalón sobre el sistema de la Figura 7.1, y definimos elerror de seguimiento QŒÓdQŒ¢ÑÏQŒ¿ Í ÁÀ ¿ ¾ Ò ÁÀ ¿ Ð Î ÁÀ .sobrevalor: es el máximo valor en que la respuesta del sistema excede su valor de régimen permanente, U“QŒ¿ Í Ò ÚØj՗“Qx¾ ß Þ ÁÀ Ù × Ö Î Ô Ä ÃÂ Ü ÝÛ
  • 83. 7. Especificaciones y Limitaciones de Diseño 81subvalor: es máximo pico negativo de la salida del sistema, ÚàÑÔ Â ¾ Ù × Ö Ä Å U“£“Ò ß Þ Á À ¿ ¾ Ü ÝÛtiempo de crecimiento: cuantifica aproximadamente el tiempo mínimo que toma la salida en alcanzar el nuevo punto de operación, ÚàjÔ Ê À Ù × Ö £Ñ—QŒh¾ æ À å ÁÀ ¿ À è gÇ Þ á äqÜ ã â â para todo en el intervalo ç é fâtiempo de establecimiento: cuantifica el tiempo que tardan los transitorios en decaer permanentemente É por debajo de un determinado nivel , usualmente entre el 1 y 10% del valor de régimen permanente, £Œ¿ Í Á À í ìêÔ Ë À ë Ö å É À ð ñè Þ ŒÁ ‘îŒÜ á ï ã â ï para todo en el intervalo âç7.7 Restricciones en la Respuesta al EscalónComo vimos, los polos y ceros en el semiplano derecho del plano complejo imponen restricciones algebraicasen las funciones de sensibilidad del sistema, no importa cual sea el controlador usado. Veremos cómo estas restricciones algebraicas se traducen en restricciones en el desempeño alcanzablede la respuesta al escalón del sistema a lazo cerrado. Usaremos el siguiente resultado preliminar, que surge de la definición de transformada Laplace.Lema 7.2. Sea •8¿ ò ó Á ô una función transferencia estrictamente propia cuyos polos se encuentran en el semi-plano i„ô ö õ Þûú—Òùå„ô , para algún número real finito . Sea la antitransformada Laplace de ü ýú Ç Á£À“¿ ó Ü &dã ø ÷ •8¿ ò óÁ ô . Entonces para cualquier número Ø£ô õ þ „}ô ö õ Þ —ÿäô ú Ò ü Ü &‘ã ø ÷ Î ¨ Á À §¦Â ¤ £¡ ¢ §¦ À ©£Œ¿ ó Û ¥Í þ ڕ8¿ ò ó ë Â ß Á ô ÂÖ La salida y el error de seguimiento en la respuesta al escalón del sistema de la Figura 7.1 satisfacen lassiguientes condiciones integrales.Teorema 7.3 (Polos inestables). Supongamos que el sistema a lazo abierto ò •8¿ Á ô tiene un polo en , con ü Ç . Entonces si el lazo cerrado es estableø &÷ Á À ¢ ¡ ¨©£Œ¿ Í Û ¤ Í þ Î hÀ Ç (7.9) ©£ÀŒh¾ Û ¤ Í £¡ ¨Á ¿ ¢þ Î hÀ Æ (7.10) Demostración. Veamos primero que al ser el sistema estable, el error es acotado, digamos QŒ¿ Í ÁÀ £“¿ Í Á À å!è À , y por lo tanto su transformada Laplace no tiene singularidades en . En efecto, •8¿ Í Á ô ò Ü «ìô ö õ &‘ã ø ÷ ü ìô Þ Ç ï ï •8¿ Í Á ô å ¨" À ÁÀ ¢ £¡ ¦ QŒ¿ Í Û Â òï ï $Í #þ ¤ "" å Îd¦¨" Û Â À ¢ %¡ ð ô ü ìô Ç 1ô &÷ 0 ø )¤ Í þ (& para todo &3ã ø ÷ .Entonces, por el Lema 7.2, la ecuación (7.9) sigue de ¢ £¡ ¤ Í ¦ £“¿ Í Û ¨ Î À Á À2 Î hÁ ¿ Í ò ò3 Á ¿ Î è gÇ þ donde usamos la relación ä•8¿ Í Î Á ô , el hecho de que la referencia es un escalón, 3 •8fÐ •"¿ Á ô¿ Á ô ò ä•8fÐ Î Á ô¿ ô 1æ Æ , y larestricción de interpolación de en los polos inestables de . ò ò 3 •8¿ Á ô ò ò •8¿ Á ô ò QŒ¢Ð Î ÁÀ ¿ Æ À La ecuación (7.10) sigue de (7.9) y el hecho de que para todo , ©£Œh¾ Û ¥Í ¢ þ ¡ ¨ÁÀ¿ ¤ Î hÀ ¥Í þ ¤ ¢ ¡ dQŒ¢£¿ Û Ò ÁÀ ¿ Ð ¦ ñQŒ¿ Í À Á ÁÀ ¨ 2 Î Æ ÎhÀ¦¨ Û ¥Í ¢ %¡ ß ¤ þ
  • 84. 7. Especificaciones y Limitaciones de Diseño 82 Un resultado dual existe para plantas con ceros de fase no mínima.Teorema 7.4 (Ceros de fase no mínima). Supongamos que el sistema a lazo abierto ò •8¿ Á ô tiene un cero en4, con ø 4 ü Ç . Entonces si el lazo cerrado es estable &÷ 4 2 6¥Í %¡ ¨ 5 ¤ ¢þ h¦ £“¿ Í Û Î À Á À Æ (7.11) ß Ç ÎhÀ¦¨2£“¾ Û 7¤ Í Á À ¿ 5 ¢ £¡ þ (7.12)Demostración. Ejercicio. Estos teoremas muestran que si la planta tiene ceros o polos en el semiplano derecho del plano complejo,entonces el error y la salida a una entrada escalón deben satisfacer relaciones integrales independientemen-te del controlador usado para estabilizar el sistema. Damos interpretaciones de diseño de estas integrales en términos de los parámetros de la respuesta alescalón. ü ÇCorolario 7.1 (Polos inestables reales y sobrevalor). Si la planta tiene un polo inestable real en , su respuesta al escalón tiene forzosamente sobrevalor. Más aún, si es el tiempo de crecimiento del sistema Ê dÀa lazo cerrado, entonces se cumple que ¿ 9ŒQà¾ Ò ÊÀ B CA@Û Í Á Æ Æ 8Ä Ê dÀ (7.13) ÊÀ È 8 ßDemostración. Necesariamente el error deberá cambiar de signo para que la integral (7.9) sea nula — amenos que sea idénticamente nulo. Así, la salida deberá superar a la referencia en algún momento E FDsobrevalor. De la definición de tenemos que para Ê dÀ, o sea qued3£ê—QŒ¾ ÊÀ æ À å ÁÀ ¿ Hêå À ÊÀ . Usando esta cota £Œ¿ Í Á À 8 d3£ÿÒ Æ ÊÀ æ Àen la integral (7.9) tenemos que PÛ ¥Í A@Û ¡ 8 ¦2£“¿ Í Û ¥Í £¡ B ¦2£“¿ Í Û ¥Í A@Û ¡ Î Ç I ¤ À ¨ Á À ¤ HGÛ ¢ À ¨ÁÀ ¤ þ Ò Æ £¡ B ¦¨ À ¢ À ¥Í HGÛ ¤ ¦ £“¿ Í Û À Á À ¨ 2 þ Q RdÊÀ A@Û ¡ ß BÀ ¨ À Q dÊÀ Ò Æ I Û ¥Í ¨ Á Á À Ò ¤ %¡ ¢ ¤ þ 8 À ©ñ£“¿ Í ñ¿ Û ¥Í HGÛ D (7.14)De (7.14) y la definición de sobrevalor tenemos que ¢ ¡ À ¢ ¡Ä A@Û ŒQ ¾ Ä Ã ¤ Í G Û 8 ¦¨ Û ¤ Í G Û “QྠΠ¤ Í ¦ £Œ¿ Í ñ¿ Û À Á Á À Ò ¨ 2 ¿ d¦¨ Q Ê À À Ò Æ SÛ ¥Í @ Û þ ¡ 8 Î À I ¤ HÀ Ò Ê @Û B Á Æ è ¤ Í Ê À Tde donde surge (7.13).Sigue del Corolario 7.1 que si la planta tiene un polo inestable: 1. necesariamente hay sobrevalor en la respuesta al escalón 2. el sobrevalor será mayor cuanto mayor sea el tiempo de respuesta del lazo cerrado. Los polos inestables demandarán acción de control rápida para un mejor desempeño (menor sobrevalor). Cuanto mayores (más rápidos) sean los polos inestables, mayor será esta demanda. Î ÈEjemplo 7.5. Supongamos que nuestra planta a lazo abierto tiene un polo en . Entonces tenemos quela cota en sobrevalor en la respuesta al escalón del lazo cerrado (estable) es 9ŒQྠ8Ä ¢dÀ ß ÊSi diseñamos el controlador para obtener un tiempo de crecimiento Î VU pÀ ô Æ , el sobrevalor será mayor al100%! Para una respuesta razonable deberíamos elegir al menos ô È ß Ç dÀ å Ê .
  • 85. 7. Especificaciones y Limitaciones de Diseño 83Corolario 7.2 (Ceros de fase no mínima y subvalor). Si la planta tiene un cero de fase no mínima real en4 ü Ç , su respuesta al escalón tiene forzosamente subvalor. Más aún, si es el tiempo de establecimiento ËÀ Éa un nivel del sistema a lazo cerrado, entonces se cumple que É Ò Æ •¾ Ä Å Â HW 5 8 Ò Û Í ß ÆDemostración. Similar a la del Corolario 7.1. Ejercicio.La interpretación del Corolario 7.2 es que si la planta tiene un cero real de fase no mínima, Ì necesariamente hay subvalor en la respuesta al escalón Ì el pico del subvalor será mayor cuanto menor sea el tiempo de establecimiento del lazo cerrado. Los ceros de fase no mínima demandarán acción de control lenta para un mejor desempeño (menor subva- lor). Cuanto menores (más lentos) sean los ceros de fase no mínima, mayor será esta demanda. En conclusión podemos extraer las siguientes reglas prácticas de diseño básicas para evitar sobrevalor osubvalor excesivos: 1. El polo dominante a lazo cerrado deber mayor (en magnitud) que cualquier polo inestable a lazo abierto del sistema. 2. El polo dominante a lazo cerrado deber menor (en magnitud) que el menor cero no mínima fase del sistema. Vemos que entre las plantas inestables y no mínima fase, aquellas que posean polos a lazo abierto a laderecha de sus ceros en X Pö serán más “difíciles”, ya que no podremos satisfacer ambas reglas simultánea-mente, y habrá un compromiso inevitable entre reducir sobrevalor o subvalor. Ç ` $Y a Ç ` bY a Figura 7.8: Caso manejable Figura 7.9: Caso difícil El siguiente resultado considera este caso.Corolario 7.3 (Plantas inestables y no mínima fase). Consideremos el esquema de control de un grado d •8ô¿ ò cde libertad con realimentación unitaria. Supongamos que tiene un cero real y un polo ò ϕ8¿ Î Á ô Á ò