Análisis numérico

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Análisis numérico

  1. 1. República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular Para la Educación Superior Universidad Fermín Toro Acarigua - Portuguesa RESUMEN Análisis Numérico Integrantes Alejandro Riera
  2. 2. Análisis NuméricoEs una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. Se puede definir comola disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que permitan resolverproblemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con unaprecisión determinada.El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores, los cualesson útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instanciaoperan con números binarios y operaciones matemáticas simples. Desde esta perspectiva, elanálisis numérico proporcionará todo la estructura necesaria para llevar a cabo todos losprocedimientos matemáticos existentes en base a algoritmos que permitan su simulación ocálculo en procesos más sencillos empleando números.Métodos Numéricos. ImportanciaLos métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemasmatemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemascomplejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de unasecuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problemamatemático.Los métodos numéricos son utilizados en áreas como ingeniería industrial, ingeniería química,ingeniería civil, ingeniería mecánica, ingeniería eléctrica, entre otras; se pueden aplicar pararesolver procedimientos matemáticos en cálculo de derivadas, integrales, ecuacionesdiferenciales, operaciones con matrices, interpolaciones, ajuste de curvas, polinomios y otros.Números de Máquina DecimalesLos Números de Máquina son un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos(1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que esde base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, peroen lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que launidad lógica primaria de las computadoras digitales usa componentes de apagado/encendido,o para una conexión eléctrica abierta/cerrada.Los Números de Máquinas Decimales son aquellos cuya representación viene dada de lasiguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k";Ante esto, se indica que las maxicomputadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6y –78 £ n £ 76.CÁLCULO DE ERRORES. ERROR ABSOLUTO Y RELATIVOCualquier medida debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida, y acontinuación, las unidades empleadas.Por ejemplo, al medir un cierto volumen hemos obtenido 297±2 ml.Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente, en casosexcepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0).Así, es incorrecto expresar 24567±2928 ml.
  3. 3. La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error, expresados en lasmismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas,unidades, décimas, centésimas).Así, es incorrecto expresar 43±0.06 mlBien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe untratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan enlos cálculos:Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto.Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la restasale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si semultiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absolutopuede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso opor defecto. no tiene unidades.Las reglas que vamos a adoptar en el cálculo con datos experimentales son las siguientes: Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error accidental. Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de los resultados. El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética). El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmética).Ejemplo 1.Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s;3,15 sValor que se considera exacto:Errores absoluto y relativo de cada medida: Medidas Errores absolutos Errores relativos 3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s -0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%) 3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s -0,01 / 3,12 = - 0,003 (- 0,3%) 3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s +0,08 / 3,12 = + 0,026 (+ 2,6%) 3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s +0,03 / 3,12 = + 0,010 (+ 1,0%)Ejemplo 2.Obtenemos el error absoluto y relativo al considerar:a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 m.b) 60 m como la distancia entre dos postes que están situados a 59,91 m.a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m Er = | 3 , 59 - 3 , 5 | 3 , 59 = 0 , 025 = 2 , 5 %
  4. 4. b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m Er = | 59 , 91 - 60 | 59 , 91 = 0 , 0015 = 0 , 15 %Observamos que el error absoluto es el mismo en ambos casos, pero el error relativo esconsiderablemente mayor en el primer caso y, por tanto, la aproximación es menos precisa.Por ejemplo, si redondeamos el número 2,387 a las centésimas:Error absoluto: Ea = |2,387 - 2,39| = 0,003.Error relativo: Er = 0,003 / 2,387 = 0,0013. Es decir, el 0,13%.Cota de Errores Absolutos y RelativosCotas de error:1. Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa2. Una cota para el error relativo es: Cota de error relativo= cota del error absoluto/valor realEjemplo nº 1.-Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientesaproximaciones:a) Precio de una casa: 275 miles de €.b) 45 miles de asistentes a una manifestación.c) 4 cientos de coches vendidos.Solución:a) |Error absoluto| 500 € error relativo<500/275000=0,0018b) |Error absoluto| 500 personas error relativo=500/45000=0,011c) |Error absoluto| 50 coches error relativo<50/400=0,125 ________________________________________________________Ejemplo nº 2.-a) Expresa con un número razonable de cifras significativas cada una de las siguientes cantidades: 1) Asistentes a un concierto: 25 342 personas. 2) Premio que dan en un concurso: 328 053 €. 3) Número de libros de cierta biblioteca: 52 243.b) Calcula el error absoluto y el error relativo que se cometen con esas aproximaciones.Solución:1) 25 342 personas  25 miles de personas error absoluto valor real - valor aproximado 25 342 - 25 000  342 personas error relativo=342/25342=0,0132) 328.053 €  328 miles de €
  5. 5. error absoluto 328 053 - 328 000  53 € error relativo=53/328053=0,000163) 52 243 libros  52 miles de libros error absoluto 52 243  52 000 243 libros error relativo=243/52243=0,0047 ________________________________________________________Ejemplo nº 3.-Expresa con un número adecuado de cifras significativas:a) Audiencia de un programa de televisión: 3 017 849 espectadores.b) Tamaño de un virus: 0,008375 mm.c) Resultado de 157.d) Fuerza de atracción entre dos cuerpos: 18 753 N.e) Presupuesto de un ayuntamiento: 987 245 €.f) Porcentaje de votos de un candidato a delegado: 37,285%.g) Capacidad de un pantano: 3 733 827 000 l.Solución:a) 3 000 000 espectadoresb) 0,008 mmc) 157 = 170 859 375 ?170 000 000d) 19 000 Ne) 1 000 000 €f) 37%g) 3 750 000 000 lFuentes Básicas de ErroresExisten dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: error de truncamiento yerror de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).Redondeo y TruncamientoLos errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los cálculosmatemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores de truncamiento, queresultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, ylos errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos.
  6. 6. En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por: valorverdadero = valor aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está dadopor: Ev = valor verdadero - valor aproximado, donde Evsignifica el valor exacto del error.La deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en larepresentación decimal completa no tienen relevancia en la versión de cortar o truncar; por lotanto el redondeo produce un error bajo en comparación con el truncamiento o cortado.Error de RedondeoSe debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual asu vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por elnúmero de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo localestán representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y, y después truncar para que resulte unnúmero de la forma fl(y)= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agregauno (1) a dk para obtener a fl(y); esto es, se redondea hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente setrunca después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo.Error de TruncamientoCualquier número real positivo y puede ser normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que serepresentará por fl(y), se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales. Existen dosformas de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . .. para obtener fl(y)= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.Este método es bastante preciso y se llama truncar el número. Este tipo de error ocurre cuandoun proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos.Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar lasuma de una serie infinita. El error de truncamiento, a diferencia del error de redondeono depende directamente del sistema numérico que se emplee.Errores de Suma y RestaEn esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en lacomputadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de la máquina, sequiere ver cómo estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que se presentageneraliza al problema del cálculo de productos interiores.
  7. 7. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especialesde más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llamanbits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisiónadicional.Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restarcantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño,lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.CondicionamientoLas palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuansensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos deentrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden darlugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir unnúmero de condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de los erroresrelativos".Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal condicionado; sedebe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de condición, es decir parala evaluación de una función se asocia un número condicionado, para la solución de sistemasde ecuaciones lineales se establece otro tipo de número de condición; el número condicionadoproporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta por el método numérico.Estabilidad e InestabilidadLa condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datosde entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de losvalores de entrada aumenta considerablemente por el método numérico. Un proceso numéricoes inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas, seagrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en loserrores relativos, es decir, investigar la inestabilidad o mal condicionamiento, lo cual significaque un cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambiorelativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una fórmula puede ser inestable sinimportar con qué precisión se realicen los cálculos.

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