IntroducciónSe presenta en estos apuntes un resumen de la materia perteneciente a los apartados de trigonometría básica (4...
Ilustración 2: Cuadrantes y circunferencia goniométricaRadían: Denominamos radian a la medida de un ángulo que se define c...
Las razones trigonométricas son independientes al triangulo rectángulo usado y son únicas para cadaángulo. Es decir, dos á...
Ilustración 4: Signo de las razones trigonométricas de ángulos en cualquier cuadranteObservaciones para las razones de tri...
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Apuntes de trigonometria

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Aquí unos apuntes de trigonometría (muy básicos) para 4º de la ESO y repaso en primero de Bachiller.
Erratas
página 3, al comienzo, dice :
tg(alfa)=1
debería decir
tg(alfa)=P1/P2
página 4
dice
observaciones para las razones de triángulos mayores
debería decir
observaciones para las razones de ángulos mayores

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Apuntes de trigonometria

  1. 1. IntroducciónSe presenta en estos apuntes un resumen de la materia perteneciente a los apartados de trigonometría básica (4ºESO) y los fundamentos de la trigonometría de Bachillerato. En estas páginas se exponen los conceptos básicosque sustentan a las definiciones de las razones trigonométricas y unas explicaciones en las que se suelenpresentar más dudas por parte el alumno, todo ello a un nivel, como se ha dicho, muy básico.El objetivo de estos apuntes es reforzar lo aprendido y aclarar algunas dudas que surgen durante el aprendizajede los rudimentos de la trigonometría que luego aplicaremos o profundizaremos. Luego, más que a unaexposición del tema detallado, pueden entenderse como un resumen, exposición esquemática de ideas, o máspróximo a su uso, una chuleta.El uso de estos apuntes no es recomendable hasta que no se halla leído el tema o los temascorrespondientes en el libro de texto del alumno de la materia de trigonometría. Una vez hecho, se puede leerestos apuntes, y consultarlos cuantas veces se quieran. Insistimos en que su objetivo es de refuerzo.Conceptos básicosTriangulo rectángulo- Denominamos triángulo rectángulo a aquel triángulo compuesto por dos ángulos agudoscualesquiera y uno recto. Los lados que forman un ángulo recto se denominan catetos y el otro hipotenusa. Ilustración 1: Triángulos rectángulosEjes cartesianos: Son dos rectas ortogonales que pasan por el origen de coordenadas y dividen al plano encuatro cuadrantes. Los puntos de cada cuadrante tienen coordenadas distintas.Origen de coordenadas- Es el punto en el que se cortan los dos ejes de ordenadas. Se le asocia lascoordenadas O=(0,0).Circunferencia goniométrica: Denominamos circunferencia goniométrica a la circunferencia de radio 1 ycentrada en el origen de coordenadas. También puede expresarse como el lugar geométrico donde todos lospuntos distan una unidad del origen de coordenadas.Apuntes de trigonometría-1
  2. 2. Ilustración 2: Cuadrantes y circunferencia goniométricaRadían: Denominamos radian a la medida de un ángulo que se define como la razón de la longitud de un arcodeterminado por un ángulo en una circunferencia entre el radio. Un ángulo de 360º son 2π rad. Para pasar deuna medida a otra un ángulo, utilizamos los siguientes factores de conversión. 360º (ángulo en radianes)× 2π rad 2 π rad (ángulo en grados)× 360ºRazones trigonométricasRazones trigonométricas (definición)- Sea un triángulo rectángulo como el de la figura. Se define comorazones trigonométricas de uno de sus ángulos α a los cocientes del margen superior derecho.Apuntes de trigonometría-2
  3. 3. Las razones trigonométricas son independientes al triangulo rectángulo usado y son únicas para cadaángulo. Es decir, dos ángulos distintos tienen también razones trigonométricas distintas.Ángulos en la circunferencia trigonométrica- Sea P=(P1, P2) de la circunferencia goniométrica. El ángulo queforman la recta que une el punto con el origen de coordenadas y el eje horizontal de la circunferencia tienecomo como razones trigonométricas cos(α)=P1, sen(α)=P2 y tg(α)=1. Ilustración 3: Punto de la circunferencia goniométricaRelaciones trigonométricas fundamentales- Son dos las razones fundamentales para un ángulo. Suma de cuadrados (cos α)2+ sen(α)2 = 1 La definición de tangente sen(α) tg (α) = cos(α)Ángulos complementarios: Se denomina ángulos complementarios a dos ángulos tales que su suma es de 90º(π /2 en radianes). Por ejemplo, 60º y 30º son ángulos complementarios. Recordemos que en estos ángulos elseno de uno es el coseno del otro y viceversa y que la tangente de uno es la inversa del otro.Valores de las razones trigonométricas según el cuadrante- Según esté un ángulo en uno de los cuatrocuadrantes, sus razones trigonométricas tendrán que ser positivas o negativas. Las resumimos en general en lasiguiente imagen.Apuntes de trigonometría-3
  4. 4. Ilustración 4: Signo de las razones trigonométricas de ángulos en cualquier cuadranteObservaciones para las razones de triángulos mayores que 90º en la circunferencia goniométricaPara hallar las razones trigonométricas de ángulos mayores que 90º ( segundo, tercer y cuarto cuadrante) lo queharemos será identificar el ángulo como suma de dos distintos, uno de los cuales este en el primercuadrante, y le daremos el valor numérico de las razones trigonométricas de este, teniendo en cuenta si sonnegativas o positivas, según en que cuadrante se encuentren, como indicamos más arriba.Estudiaremos algunos casos particulares, que suelen ser los más frecuentes.Señalamos que trabajamos con grados por comodidad de lenguaje y nos sostenemos en la Ilustración 5.Los casos que se nos presentan con más frecuencias son los siguientes:Para ángulos entre 90º y 180º- (imagen a-) ) Lo que hacemos es expresar β, situado en el segundo cuadrante,como β=180º-α, con α en el primer cuadrante. Así pues cos(β)= -cos(α) y sen(β)=sen(α).Para ángulos entre 180º y 270º- (imagen b-) ) Tenemos que expresar β, que está en el tercer cuadrante, comoβ=180º+α. Así pues cos(β)= -cos(α) y sen(β)= -sen(α).Para ángulos entre 270º y 360º- (imagen c-) ) Al igual que las anteriores, buscamos encontrar β, hallándose enel cuarto cuadrante, como β=270º+α. Así pues cos(β)=cos(α) y sen(β)= -sen(α).Para ángulos negativos- (imagen d-) ) Un ángulo negativo es aquel que ha sido definido siguiendo la direcciónde las agujas del reloj. Así pues, tenemos -α equivale a un ángulo β=360-α. Posteriormente, recurrimos a laspropiedades anteriormente estudiadas y le asignaremos a sus razones trigonométricas un valor positivo onegativo según en qué cuadrante se encuentre el ángulo β.Apuntes de trigonometría-4
  5. 5. Ilustración 5: Ángulos mayores que 90º y negativosPara ángulos mayores que 360º- Lo que hacemos es expresar el ángulo dado, que llamaremos β , como β=360º+α, con un ángulo α situado en cualquiera de los cuadrantes . Posteriormente, definimos su razonestrigonométricas usando los pasos anteriores y teniendo en cuenta en qué cuadrante se encuentre.BibliografíaImago Matemáticas, ed. Santillana, colección Biblioteca temática en esquemas y síntesis.Enciclopedia de las Ciencias Larousse, Tomo 1. Ed. Planeta.Matemáticas Especiales, varios autores, editorial Sanz y Torres.Apuntes de trigonometría-5

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