1 teoría de errores

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA “TOMAS FRÍAS”
FAC. DE CIENCIAS PURAS – DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Válido sólo para el semestre 2/2015
Pág. 1TEORÍA DE ERRORES
TEORÍA DE ERRORES
1.- ERRORES DE MEDIDA
Cuando se mide una magnitud física, no debe esperarse que el valor obtenido sea exactamente igual al
valor verdadero. Es importante dar alguna indicación de qué tan cerca está el resultado obtenido del
valor verdadero; es decir, alguna indicación de la exactitud o confiabilidad de las mediciones.
La estimación de los errores es importante, por que sin ella no se puede obtener conclusiones
significativas de los resultados experimentales. La idea de error no es cosa de interés secundario o
circunstancial en un experimento, al contrario, está relacionado con el propósito del experimentador, el
método de efectuarlo y el significado de los resultados.
Para lo que sigue se requiere tener presente las siguientes definiciones:
Error.- Incertidumbre estimado.
Precisión.- Definición nítida (error casual pequeño).
Exactitud.- Proximidad al valor verdadero (relativamente libre de error sistemático).
Discrepancia.- Diferencia entre dos resultados.
No debe confundirse precisión con exactitud. Presión denota inexactitud por ejemplo un reloj de alta
precisión en su construcción, por algún deterioro, puede estar marcando valores inexactos. También se
debe tener cuidado en no confundir error y discrepancia.
2.- CIFRAS SIGNIFICATIVAS
El resultado de una medición, por lo menos debe caracterizarse por:
 Los dígitos del valor numérico de la magnitud (Cifras significativas).
 La posición de la coma decimal asociada a la unidad de medida.
 La precisión del instrumento de medida (en forma implícita).
Por ejemplo, si se ha determinado la longitud de una varilla con tres dígitos, empleando una regla
graduada en milímetros, el resultado puede expresarse de varias formas:
310 mm 310,0 mm
31,0 cm 31 cm
0,310 m 0,31 m
Sin embargo, solamente las tres expresiones de la izquierda dan una idea clara del número de cifras
significativas, de acuerdo con las convenciones y prácticas aceptadas. Estas convenciones son:
1º.- El último dígito expresado representa el dato incierto

2º.- Se entiende (a menos que se diga lo contrario) que hay una incertidumbre total de una unidad en
el último dígito. P. ej. el tercer dígito de la longitud de la varilla está más cerca de cero que de
uno a nueve. Así pues, la longitud 310 mm tiene un valor comprendido entre 309 y 311 mm.
3º.- Para evitar la necesidad de poner ceros después del dígito incierto, se debe utilizar, cuando sea
necesario, una potencia apropiada de 10; P. ej. 310x10-3
m.
Cuando se requiere redondear hasta un número especificado de cifras significativas, deben seguirse los
siguientes pasos sugeridos por el S.I.
a) Si el primer dígito que debe despreciarse es menor que 5, el dígito precedente permanece el
mismo.
b) Si el primer dígito que debe despreciarse es mayor que 5, el dígito precedente se aumenta en 1.
c) Si el primer dígito que debe despreciarse es igual a 5, y va seguido de dígitos mayores que cero,
el dígito que antecede al 5 debe aumentarse en 1.
d) Si el primer dígito que debe despreciarse es igual a 5 y va seguido por cero, o no le sigue ningún
otro dígito, el dígito precedente al 5 es redondeado a su valor par más próximo. (La elección de
par en lugar de impar es arbitraria, la idea es que una convención permanente producirá un
efecto equilibrador a lo largo de un gran número de casos).
Por ejemplo, redondeando hasta tres cifras significativas,
52,409 pasa a ser 52,4
52,46 pasa a ser 52,5
52,4501 pasa a ser 52,5
52,45 pasa a ser 52,4
52,35 pasa a ser 52,4
En las operaciones aritméticas deben seguirse las siguientes reglas:
i) Al sumar o al restar, el dígito menos significativo de la suma o de la diferencia ocupa la misma
posición relativa que el dígito menos significativo de las cantidades que son sumadas o restadas.
En este caso, el número de cifras significativas no es importante; la posición es lo que importa.
Por ejemplo, supongamos que queremos hallar la masa total de tres objetos como sigue:
103,9 Kg + 2,10 Kg + 0,319 Kg = 106,3 Kg
ii) En cálculos de multiplicación, división y extracción de raíces, el resultado final no debe tener
más cifras significativas que los datos con menor número de ellas. Por ejemplo:
3.- FUENTES DE ERROR
38
031,0
173,1

Como ya hemos indicado al hacer una medición experimental sucede que jamás se puede llegar a medir
sin cometer error alguno. En consecuencia, existe diferencia entre el valor medio y el verdadero, a esta
deferencia se designa con el nombre de error.
La fuente del error puede ser de distinta naturaleza, para los fines que interesa, a la física en particular,
se clasifican en dos grupos importantes: Errores sistemáticos y errores casuales o accidentales. En la
anterior clasificación no se incluye la equivocación que resulta ser fortuita.
3.1. Errores sistemáticos o acumulativos
Un error sistemático se caracteriza por tener aproximadamente el mismo valor numérico y el mismo
signo bajo las mismas condiciones dadas; P. ej. el retardo de un reloj.
Errores Naturales
Estos provienen de fenómenos naturales y son el efecto de ciertas influencias que inciden directamente
en las observaciones o lecturas que se realizan, algunas de éstas influencias son p. ej. la refracción de la
luz, la dilatación térmica de los materiales, la presión atmosférica, etc. Así p. ej. un instrumento que
mide distancias por el tiempo tardado en viajar, entre dos puntos por una radiofrecuencia de radar dará
un resultado erróneo si no se corrige la variación de la velocidad de las ondas por las variaciones de
densidad de la atmósfera, presencia de vapor de agua, etc.
Errores instrumentados
Estos son efecto de imperfecciones de construcción, deterioros o deficiente calibración de los
instrumentos de medida. Por ejemplo si las divisiones de una regla graduada son en exceso o en defecto
de lo que señala, las longitudes que se miden con ella, tendrán sus valores numéricos demasiado
pequeños o demasiado grandes. Todavía peor, si las divisiones de la escala fuesen diferentes entre sí.
Errores personales
Estos dependen de las limitaciones físicas y también de los hábitos del observador, p. ej. él puede tener
un retardo en audición y visualización de señales, tendencia a observar las escalas siempre por el lado
izquierdo, en la estimación de fracciones, etc.
El error sistemático debido a fenómenos naturales se compensa tomando en cuenta Factores de
corrección especificados en cada instrumento a usar.
En cambio los errores instrumentales, se puede corregir sometiendo el instrumento a control continuo
sobre su correcto funcionamiento mediante contrastación con subpatrones. Esta corrección es limitada
por la carencia de esta última razón por la cual cada instrumento, según su calidad o categoría, ofrece
una precisión determinada. Por ejemplo, instrumento de clase 1 significando que la medición se realiza
con un error del 1% de la desviación final en toda la escala de medición correspondiente.

3.2. Errores casuales o accidentales
Los errores accidentales o de observación son casuales en naturaleza y usualmente pequeños y tienen la
tendencia de compensarse unos con otros. Su presencia es detectada en una serie de medidas por la
aparición de discrepancias. Los errores casuales pueden tener tanto de signo positivo como negativo, de
hecho hay una igual probabilidad de que el signo sea positivo o negativo. De modo que es imposible
determinar el signo, puesto que no hay relación conocida entre el signo y la magnitud del error por un
lado, y las condiciones de medida por el otro. Hay una verdadera casualidad en ocurrencia y cantidad.
Se puede observar que los distintos resultados de medición presentan una dispersión en torno a un valor
(valor medio) y a medida que el número de mediciones aumente, se establece la función analítica
denominada distribución normal o gaussiana como se observa en la figura 1.
3.2.1 Valor medio
Si se tiene una serie de valores parciales de observación xi correspondientes a una magnitud, estos
valores xi se dispersan en los alrededores del valor verdadero X desconocido.
Puesto que el valor verdadero se desconoce, por ello es conveniente calcular el valor medio, como la
media aritmética definida por:
(1)
Donde n, es el número de mediciones.
La importancia del valor medio radica en que es el valor más próximo al valor verdadero.
x
n
1
=
n
x+.......+x+x
x i
n
1=i
n21
x
f(x)
x xx

Intervalo de confianza
Fig. 1.- Función de distribución de Gauss
3.2.2 Error típico
El error absoluto de una medición con valor xi es:
ei = xi - X (2)
y el error del valor medio será :
(3)
El residuo di de la medición xi está definido por :
di = xi - (4)
A diferencia del error, el residuo es una cantidad conocida. Según Gauss, los errores típicos se calculan
de la forma siguiente (desviación estándar de la muestra):
con n (grande) (5)
Si n 10, se recomienda usar la relación:
(6)
Donde = xi máx - xi min (intervalo de variación)
El resultado de la serie de mediciones se expresa como
(7)
Cuya interpretación consiste en: el valor verdadero X se hallará en el "intervalo de confianza"
Con un “porcentaje de confianza” de 68,3%. Es decir que hay probabilidad del 68,3% de que el valor
verdadero se halle dentro de esos límites y un 31,7% que no se halle.
X-x=E
x
1
1
2
n
d
n
i
i
xX
xXx
n

Tabla 1.- Resultados de algunas mediciones hipotéticas
INTERVALO
(mm)
Nº de lecturas que
caen en el intervalo
9,9 – 10,1
10,1 – 10,3
10,3 – 10,5
10,5 – 10,7
10,7 – 10,9
10,9 – 11,1
11,1 – 11,3
1
3
7
9
4
5
2
Fig. 2.- Histograma correspondiente a la tabla 1.
Interpolación de los puntos representativos
La relación (7) expresa el resultado final de nuestra medición, pero debe tomarse en cuenta que ella no
incluye al error proveniente de fuentes del tipo sistemático.
Ejemplo 1: Se ha propuesto medir el tiempo que
emplea una esfera en rodar todo el tramo de un plano
inclinado. Se han efectuado 10 mediciones bajo las
mismas condiciones que la primera y se tienen los
valores tabulados en la columna de ti. Se desea hallar
el valor medio y su error correspondiente.
El promedio es:
Y el error típico medio del tiempo será:
Si se desea usar los programas de las máquinas de calcular, p. ej. las CASIO, se cumplen que: n-1
y
Para realizar el anterior ejemplo 1 en una Casio Fx-3800Pse debe proceder de la siguiente manera:
1.- Fijar el modo de función en “SD” presionando MODE 3
2.-Realizar las siguientes operaciones:
Nº ti
(s)
di
(s)
di
2
(s2
)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10,4
10,2
10,6
10,5
10,2
10,3
10,5
10,5
10,7
10,6
0,0
-0,2
+0,2
+0,1
-0,2
-0,1
+0,1
+0,1
+0,3
+0,2
0,00
0,04
0,04
0,01
0,04
0,01
0,01
0,01
0,09
0,04
di
2
= 0,29
0
2
4
6
8
10
10 11
s10,4t
sst
2,01795,0
1
11
2
1
n
d
n
i
n

OPERACIÓN LECTURA
SHIFT KAC 10.4 DATA 10.2 DATA 10.6 DATA
10.5 DATA 10.2 DATA 10.3 DATA10.5 DATA
10.5 DATA 10.7 DATA 10.6 DATA 10.6
(Muestra la desviación estándar) SHIFT 1n 0.171593835
(Media aritmética) SHIFT X 10.45
En este ejemplo puede indicarse que el valor verdadero del tiempo empleado por la esferita en rodar el
plano inclinado es:
t = (10,4 ± 0,2) s
Es decir, que el valor del tiempo se halla en el intervalo entre 10,2 y 10,6 s con una probabilidad del
68,3%.
2.2.3 Error porcentual
En muchos casos se suele indicar el error en forma porcentual
Para una medición individual, el error porcentual será:
(8)
Para el ejemplo anterior, el error porcentual en la medición del tiempo es 1,9 %.
2.2.4 Distribución de frecuencias – Histogramas
TOMA DE DATOS
La toma de datos es la obtención de los mismos que no han sido ordenados numéricamente. En siguiente
ejemplo se muestra la toma de datos (xi) que corresponden al tiempo de oscilación de un péndulo
(periodo). Observación: ¡Es inexorablemente necesario factorizar la potencia de 10 tal que la última
cifra significativa sea del orden de las unidades!
Nº medida Tiempo en 101
ms Nº medida Tiempo en 101
ms Nº medida Tiempo en 101
ms
1 133 11 132 21 136
2 137 12 135 22 132
3 131 13 137 23 136
4 138 14 142 24 139
5 134 15 138 25 131
6 128 16 140 26 137
7 135 17 133 27 134
8 132 18 135 28 129
9 135 19 139 29 134
10 137 20 140 30 136
%100·
x
P

ORDENACIÓN
Una ordenación es una colocación de los datos numéricos tomados, en orden creciente o decreciente de
magnitud. La diferencia entre el mayor y el menor de los números se llama recorrido o rango de los
datos.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA
Cuando se dispone de un gran número de datos, es útil el distribuirlos en clases o categorías y
determinar el número de ellos pertenecientes a cada clase, que es la frecuencia de clase
DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO O ANCHURA DE UN INTERVALO DE CLASE
Para determinar el ancho de los intervalos se procede de la siguiente manera:
1.- Determinar la amplitud:
A = Amplitud = XMAX – XMIN + 1 (9)
En el ejemplo: XMAX = 142. 101
ms y XMIN = 128. 101
ms
Entonces: A = (142 - 128 + 1). 101
ms = 15. 101
ms
2.- Determinar el tamaño o anchura del intervalo de clase:
ervalosdeNúmero
Amplitud
In
A
h
int)(0
(10)
Donde usualmente el número de intervalos puede ser )(0 In = 3, 5 o 10
Volviendo a nuestro ejemplo y escogiendo )(0 In = 5 (5 intervalos) se obtiene:
msms
In
A
h 11
0
10310
5
15
)(
En realidad el límite inferior del intervalo (li) es 0,5 unidades menor que el extremo inferior del
intervalo y el límite superior del intervalo (Li) es 0,5 unidades mayor que el extremo superior del
intervalo y el punto medio se encuentra al medio de estos dos valores. El punto medio (hi) del
intervalo se encuentra al medio entre los límites: hi = (Li - li)/2. En el ejemplo los límites
superiores e inferiores serían: 127,5 – 130,5; 130,5 – 133,5; 133,5 – 136,5; etc.
Por lo tanto, partiendo del valor mínimo de la variable se construyen la serie de intervalos y se
evalúa la frecuencia con que cae la variable en el para cada caso:

INTERVALOS DE TIEMPO
En 101
ms
CUENTEO FRECUENCIA
128 a 130 II 2
131 a 133 IIIII II 7
134 a 136 IIIII IIIII 10
1137 a 139 IIIII III 8
140 a 142 III 3
TOTAL 30
Y el histograma correspondiente a la distribución:
Distribución del periodo de un péndulo
0
2
4
6
8
10
12
128 - 130 131 - 133 134 - 136 137 - 139 140 - 142
Tiempo en 10 ms
Frecuencia

PRÁCTICA: ERROR DE DISTRIBUCIÓN DE GAUSS
1.- OBJETIVOS
- Observación y registro de errores casuales en la medición de una variable física
- Obtención del valor medio ( X )
- Cálculo del error típico ( )
- Realización de la curva de distribución de la variable observada
2.- PRINCIPIO
El sistema resorte masa está compuesto por un resorte suspendido verticalmente donde
en su extremo inferior se cuelga una masa. El sistema descrito tiene propiedades
elásticas, por tanto al desplazar la masa de su posición de equilibrio (reposo), y
soltándola, este se pone a oscilar alrededor de su posición de equilibrio. El tiempo de una
oscilación completa (un vaivén) se llama periodo de oscilación. En tal sistema el periodo es
constante (invariable). Se trata de medir dicho periodo.
3.- FUNDAMENTOS
Luego, Ver párrafos 1, 2 y 3
4.- MONTAJE Y REALIZACIÓN
1. Montaje y realización.
Se debe medir 50 veces el periodo de oscilación a partir del
montaje indicado en la figura 3 de la derecha, usando un
cronómetro:
5. TAREAS.
5.1. Anotar los datos obtenidos
experimentalmente en la tabla 1.
5.2. Obtener el valor medio de los periodos
medidos (con la ecuación 1) con X=T y TX
5.3.Calcular el error típico y el error porcentual
(evaluar con las Ecs. 5 y 8) Figura.3.
5.4.Escribir el valor verdadero en función del valor medio y el error típico
medio.
Establecer el intervalo de confianza (según la ecuación 7).

5.5.Ordene sus datos por intervalos y frecuencias según el ejemplo de la
página 7 y anote sus datos en la Tabla 2. Grafique en papel
milimetrado el histograma y ubique en el intervalo de confianza.
7. OBTENCIÓN DE DATOS
TABLA 1: Valores experimentales
Nº Ti en S di=(Ti-T )
en S
di
2
en (
S)2
Nº Ti en S di= (Ti-T )
en S
di
2
en ( S)2
1 26
2 27
3 28
4 29
5 30
6 31
7 32
8 33
9 34
10 35
11 36
12 37
13 38
14 39
15 40
16 41
17 42
18 43
19 44
20 45
21 46
22 47
23 48
24 49
25 50
T n
i
id
1
2
Promedio ó media aritmética error absóluto errror porcentual
........................................................ PT
Intervalo de confianza: ..........................................................................

TABLA 2: VALORES PARA EL HISTOGRAMA
Nº Intervalo [ ] Frecuencia
1
2
3
4
5
6
7
8
8. PROCESAMIENTO DE DATOS.
9. CUESTIONARIO.
9.1. ¿Cuál es el valor del tiempo de oscilación que tiene la mayor
probabilidad de ser correcto?
9.2. Interprete la curva de Gauss obtenida. ¿Qué puede decir, si la curva
es achatada o si es empinada?
9.3. ¿Cuáles son las fuentes de error en la práctica? Indique además, al
tipo de error que corresponden.
9.4. ¿Es posible realizar algún tipo de medición sin error? Justifique su
respuesta.

10. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES.

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