Fractais

1. FRACTAISFRACTAIS
A OBRA PRIMA DA NATUREZA ESTUDADAA OBRA PRIMA DA NATUREZA ESTUDADA
POR MATEMÁTICOSPOR MATEMÁTICOS
Trabalho elaborado por:
Alexandra Pereira
César Pereira

2. Os contornos das montanhas, a
superfície dos pulmões humanos, a
trajetória das gotículas de água quando
penetram na terra - existe uma infinidade
de fenômenos na natureza que não
podem ser descritos por essa geometria
toda certinha. É preciso apelar para
complicados cálculos que resultam nas
chamadas dimensões fracionárias.

3. CONCEITOCONCEITO
Fractais são objetos gerados pela repetição deFractais são objetos gerados pela repetição de
um mesmo processo recursivo, apresentandoum mesmo processo recursivo, apresentando
auto-semelhança e complexidade infinita.auto-semelhança e complexidade infinita.

4. “Nuvens não são esferas, montanhas
não são cones, continentes não são
círculos, o som do latido não é
contínuo e nem o raio viaja em linha
reta.“
Benoît Mandelbrot, "The Fractal Geometry of Nature“"The Fractal Geometry of Nature“
1983
A GEOMETRIA FRACTALA GEOMETRIA FRACTAL
DA NATUREZADA NATUREZA

7. GEOMETRIA NÃO-GEOMETRIA NÃO-
EUCLIDIANAEUCLIDIANA
A Geometria Fractal pode ser utilizada para descreverA Geometria Fractal pode ser utilizada para descrever
diversos fenómenos na natureza, onde não podem serdiversos fenómenos na natureza, onde não podem ser
utilizadas as geometrias tradicionais. Nuvens, montanhas,utilizadas as geometrias tradicionais. Nuvens, montanhas,
turbulências, árvores, crescimento de populações, vasosturbulências, árvores, crescimento de populações, vasos
sanguíneos e outras formas irregulares podem sersanguíneos e outras formas irregulares podem ser
estudadas e descritas utilizando as propriedades dosestudadas e descritas utilizando as propriedades dos

8. Segundo o velho Euclides, matemático grego que viveu dois milénios atrás, existem figuras que não
têm dimensão, ou melhor, têm dimensão ZERO. É o caso dos pontos, como este ponto final (.). Uma
linha, por sua vez - considerada a distância entre dois pontos quaisquer -, é algo com uma única
dimensão. Já a capa de SUPERINTERESSANTESUPERINTERESSANTE, de acordo com a geometria euclidiana, tem duas
dimensões. Pois, para conhecer qual a sua área, é necessário multiplicar dois números - o do
comprimento pelo da largura. Do mesmo modo, um bloco possui três dimensões, porque precisamos
multiplicar três números (comprimento, largura e altura) para saber qual o seu volume. Euclides estava
certo. Mas não resolveu todo o problema.

9. CARACTERÍSTICAS DOSCARACTERÍSTICAS DOS
FRACTAISFRACTAIS
COMPLEXIDADE INFINITA:COMPLEXIDADE INFINITA: É uma propriedade dos fractaisÉ uma propriedade dos fractais
que significa que nunca conseguiremos representá-losque significa que nunca conseguiremos representá-los
completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Semprecompletamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre
existirão reentrâncias e saliências cada vez menores.existirão reentrâncias e saliências cada vez menores.
AUTO-SIMILARIDADE:AUTO-SIMILARIDADE: Um fractal costuma apresentar cópiasUm fractal costuma apresentar cópias
aproximadas de si mesmo em seu interior. Um pequeno pedaço éaproximadas de si mesmo em seu interior. Um pequeno pedaço é
similar ao todo. Visto em diferentes escalas a imagem de umsimilar ao todo. Visto em diferentes escalas a imagem de um
fractal parece similar.fractal parece similar.

10. O PAI DOS FRACTAISO PAI DOS FRACTAIS
Benoît Mandelbrot foi o pioneiro na
investigação da geometria fractal.

11. A imagem ao lado (A imagem ao lado ("A Curva de"A Curva de
Koch"Koch") é um exemplo geométrico da) é um exemplo geométrico da
construção de um fractal. Um mesmoconstrução de um fractal. Um mesmo
procedimento é aplicado diversasprocedimento é aplicado diversas
vezes sobre um objeto simples,vezes sobre um objeto simples,
gerando uma imagem complexa.gerando uma imagem complexa.
Cada pedaço da linha foi dividido emCada pedaço da linha foi dividido em
4 pedaços menores idênticos ao4 pedaços menores idênticos ao
pedaço original, cada um sendo 3pedaço original, cada um sendo 3
vezes menor que o tamanho original.vezes menor que o tamanho original.

12. CONJUNTO DECONJUNTO DE
CANTORCANTOR
O TAPETE DEO TAPETE DE
SIERPINSKYSIERPINSKYTAPETETAPETE
TRIANGULARTRIANGULAR

13. CURVA DE PEANOCURVA DE PEANO