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6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del 
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Polinomios 3eso

  1. 1. Los polinomios son una parte importante del Álgebra. Están presentes en todos los contextos científicos y tecnológicos: desde los ordenadores y la informática hasta la carrera espacial. La fórmula que expresa el movimiento de un cuerpo en caída libre viene dada por el siguiente polinomio: P(t) = 1 gt 2 2 t: tiempo g: gravedad La fórmula para calcular el volumen de un cubo en función de la longitud (l) de su lado viene dada por: V (l) = l3
  2. 2. MMoonnoommiiooss Un monomio es una expresión algebraica en la que la únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y la potencia de exponente natural. Son monomios: NO son monomios: 2x2 -12x3 yz2 4abc15 2x-2 2 3 - 7yz2x
  3. 3. PPaarrtteess ddee uunn mmoonnoommiioo Los coeficientes son los números que aparecen multiplicando. La parte literal la forman las letras y sus exponentes. El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras. 1 1 1 Gr. = 2 Gr. = 3+ 1+ 2 = 6 Gr. = 1+ 1+ 15 = 17
  4. 4. TTiippooss ddee mmoonnoommiiooss Monomios sseemmeejjaanntteess: tienen la misma parte literal. Monomios ooppuueessttooss: son semejantes y sus coeficientes son números opuestos. - 25a2b3 a2b3 5xy - 1 xy 7 25a2b3 25a2b3 - 3 2 - 1 x y 7 3 2 7 1 x y a2b3 xy - NO semejantes NO opuestos 3a2b3c a2b3 - 25a3b2 25a2b3
  5. 5. OOppeerraacciioonneess ccoonn mmoonnoommiiooss La ssuummaa ((oo rreessttaa)) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal. 5 xy2 +3 -5 +7 ( ) 10 = 5xy2 +3x2 y2 No son semejantes, luego no se pueden sumar. Ejemplo 1: Ejemplo 2: xy2 xy2 xy2 xy2 xy2 =
  6. 6. OOppeerraacciioonneess ccoonn mmoonnoommiiooss Para mmuullttiipplliiccaarr por un lado, multiplicamos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales. =15x4 y2 Ejemplo 3: -3y2 ×7 y = Ejemplo 4: 7y ( ) = - 21y3 55xxyy22 ××33xx33 = ( )
  7. 7. OOppeerraacciioonneess ccoonn mmoonnoommiiooss Para ddiivviiddiirr por un lado, dividimos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales (si se puede). Ejemplo 5: Ejemplo 6: - 21y7 : 7 7y2 y2 = ( ) ( : ) = -3y5 = 25 a 25a3b 4b 3 25a3b2 : = 4
  8. 8. PPoolliinnoommiiooss Un ppoolliinnoommiioo es una expresión algebraica formada por la suma o resta de dos o más monomios no semejantes. Término independiente Grado: 2 + 5 = 7 Coeficiente principal 3xy3 - 7x2 y5 + 3xyz - 21 Términos Cada uno de los monomios se llama ttéérrmmiinnoo, y si no tiene parte literal se llama ttéérrmmiinnoo iinnddeeppeennddiieennttee. Se llama coeficiente principal al coeficiente del monomio de mayor grado. El mayor de los grados de todos sus términos se denomina ggrraaddoo del polinomio.
  9. 9. PPoolliinnoommiiooss El vvaalloorr nnuumméérriiccoo de un polinomio P(x), para un valor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable x por el valor a en el polinomio y operando. P(x) = 7x4 -3x3 +4x -10 Ejemplo: P(2) = 7 ×24 -3×23 +4×2 -10 = = 7 ×16 -3×8+8-10 =112 -24 +8-10 =86 P(-1) = 7×(-1)4 -3×(-1)3 +4×(-1) -10 = = 7×1-3×(-1) -4 -10 = 7 +3-4 -10 = -4
  10. 10. PPoolliinnoommiiooss El ppoolliinnoommiioo ooppuueessttoo de un polinomio P(x), que designamos como -P(x), se obtiene cambiando el signo de todos los términos de P(x). P(x) = 7x4 -3x3 +4x -10 - P(x) = -7x4 +3x3 -4x +10 Ejemplo: Polinomio opuesto:
  11. 11. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss Para ssuummaarr polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes. Ejemplo:P(x) = 2x5 x4 7x2 +1 Q(x) = 3x4 2x3 2x2 + 7x -8 P(x) +Q(x) - + - - + 2x5 + 2x4 - 2x3 + 5x2 + 7x - 7
  12. 12. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss Para rreessttaarr polinomios sumamos al primero el opuesto del segundo. Ejemplo: P(x) = 2x5 x4 7x2 +1 Q(x) = 3x4 - 2x3 - 2x2 + 7x -8 P(x) -Q(x) - + -+ + - + + 2x5 - 4x4 + 2x3 + 9x2 - 7x + 9
  13. 13. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss Para mmuullttiipplliiccaarr uunn mmoonnoommiioo ppoorr uunn ppoolliinnoommiioo multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Ejemplo: P(x) = 2x5 - x4 + 7x2 +1 por 2x3 2x3 × P(x) ´ 4x8 - 2x7 +14x5 + 2x3
  14. 14. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss El pprroodduuccttoo ddee ddooss ppoolliinnoommiioo se halla multiplicando cada uno de los términos de uno de los polinomios por el otro, y sumando después los polinomios semejantes. Ejemplo: ( ) 2 5 1 ( ) 3 4 P x = x3 - x + Q x = x2 - P(x) ×Q(x) 3x2 ´ 2x3 5x -8x3 + 20x - 4 6x5 -15x3 + 3x2 6x5 - 23x3 + 3x2 + 20x - 4 +
  15. 15. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss Para ddiivviiddiirr uunn ppoolliinnoommiioo eennttrree uunn mmoonnoommiioo, dividimos cada término del polinomio entre el monomio. Ejemplos: P(x) = 6x5 - 9x4 + 27x2 ( ) ( ) ( ) 2 5 2 4 2 2 2 P x x x x x x x x = - + = ( ) : 3 6 : 3 9 : 3 27 : 3 3 2 x x = - + 2 3 9 Q(x) = 7x3 y - 5xy xy 3 Q x x x y 5 ( ) : 2 7 7 2 ( ) x y x x 2 2 2 5 2 = - + - - - - =
  16. 16. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss Para ddiivviiddiirr uunn ppoolliinnoommiioo eennttrree uunn ppoolliinnoommiioo, seguiremos los siguientes pasos: P(x) = -2x3 + x4 - 20 -11x2 + 30x Q(x) = 3x + x2 - 2 1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor y los dispondremos como una división normal. x4 - 2x3 -11x2 + 30x - 20 x2 + 3x - 2
  17. 17. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss 2º) Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor, así se obtiene el primer término del cociente. x4 - 2x3 -11x2 + 30x - 20 x2 + 3x - 2 x2 x x + - 3 2 2 2 x ´ 4 3 2 x + 3 x - 2 x - x4 -3x3 + 2x2 3º) Se multiplica el primer término del cociente por cada término del divisor y el producto pasa restando al dividendo.
  18. 18. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss 4º) Se suman algebraicamente. x4 - 2x3 -11x2 + 30x - 20 x2 + 3x - 2 x2 - x4 -3x3 + 2x2 -5x3 - 9x2 + 30x - 20 - 5x 5x3 +15x2 -10x + - 3 2 x 2 x x 5 ´ - 3 2 x x x - - + 5 15 10 5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre el primer término del divisor, así obtenemos el segundo término del divisor. Este segundo término se multiplica por el divisor y se pasa restando al dividendo.
  19. 19. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss 6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor. x4 - 2x3 -11x2 + 30x - 20 x2 + 3x - 2 x2 - x4 -3x3 + 2x2 -5x3 -9x2 + 30x - 20 - 5x 5x3 +15x2 -10x 6x2 + 20x - 20 + 6 - 6x2 -18x +12 2x - 8
  20. 20. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss Polinomio dividendo D(x) = Polinomio divisor x4 - 2x3 -11x2 + 30x - 20 x2 + 3x - 2 Polinomio cociente Polinomio resto 2x - 8 d(x) = c(x) = r(x) = x2 - 5x + 6
  21. 21. IIddeennttiiddaaddeess nnoottaabblleess Las siguientes operaciones con binomios son simples multiplicaciones. Es recomendable aprenderlas de memoria por su constante utilidad. Uno de los errores mas frecuentes es considerar que la expresión (a+b)2 es igual a a2+b2. Pero es FALSO.
  22. 22. IIddeennttiiddaaddeess nnoottaabblleess CCuuaaddrraaddoo ddee uunnaa ssuummaa:: el cuadrado de una suma es igual a: • el cuadrado del primero, • más el doble del primero por el segundo, • más el cuadrado del segundo. (a+b)2 a + b a + b ab + b2 a2 + ab a2 + 2ab + b2 a2 ab ab b2 a b a b a + b a + b
  23. 23. IIddeennttiiddaaddeess nnoottaabblleess CCuuaaddrraaddoo ddee uunnaa ddiiffeerreenncciiaa:: el cuadrado de una diferencia es igual a: • el cuadrado del primero, • menos el doble del primero por el segundo, • más el cuadrado del segundo. (a-b)2 a2 a - b a - b - ab + b2 ab a2 - ab a2 - 2ab + b2 ab b2
  24. 24. IIddeennttiiddaaddeess nnoottaabblleess SSuummaa ppoorr ddiiffeerreenncciiaa:: una suma por una diferencia es igual a: • el cuadrado del primero, • menos el cuadrado del segundo. a + b a - b - ab - b2 a2 + ab a2 - b2
  25. 25. IIddeennttiiddaaddeess nnoottaabblleess

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