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Resumos matemática (1º teste)

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Resumos matemática (1º teste) Document Transcript

  • 1. Resumos Matemática Probabilidades Experiência aleatória caracteriza-se pela impossibilidade de prever o resultado que se obtém, ainda que as experiências sejam realizadas nas mesmas condições. Ex. Tirar uma carta de um baralho Lançar um dado Experiência determinista caracteriza-se por produzir o mesmo resultado desde que sejam repetidas nas mesmas condições. Ex. Empurrar uma caneta para fora do tampo da mesa; Desligar a televisão da tomada Conjunto de resultados Ao conjunto de todos os resultados possíveis numa experiência aleatória chama-se espaço amostral ou espaço de resultados. Representa-se por S. Ex. Lançamento de um dado equilibrado S= {1,2,3,4,5,6}  sair número par S= {2,4,6]  sair número menor que 7 S= {1,2,3,4,5,6}  sair o 3 S= {3}  sair o 8 S= { } Classificação de acontecimentos Acontecimento elementar só tem 1 elemento Acontecimento composto tem 2 ou mais elementos Acontecimento certo o seu conjunto de resultados é igual ao espaço amostral Acontecimento impossível o seu conjunto de resultados é o conjunto vazio Acontecimentos equiprováveis os seus conjuntos de resultados têm o mesmo número de elementos Como varia a probabilidade? 0 1 Impossível Provável Certo P (“sair número par”) = Lei de Laplace A probabilidade de um acontecimento A é o quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. P(A) = 1
  • 2. Propriedades das Probabilidades Propriedade de um acontecimento contrário Probabilidade de um acontecimento contrário = 1 - Probabilidade de um acontecimento Esquemas auxiliares de contagem Tabela de dupla entrada Os dois ponteiros foram rodados ao mesmo tempo e calculou-se a soma dos resultados obtidos. 1 -2 + 0 4 -2 3 4 1 1 5 -1 -5 0 3 3 7 1 -5 -5 -1 -7 1. Quantos são os casos possíveis? Existem 9 casos possíveis 2. Calcula a probabilidade de obter soma -7, 1 e -1. P(-7)= P(1)= P(-1)= 3. Calcula a probabilidade de obter um número positivo. P(nº positivo)= Diagrama de Árvores A Ana comprou dois pares de calças (umas vermelhas e outras azuis) e três camisas, sendo uma vermelha, outra azul e outra branca. Camisa Calças Vermelhas Vermelha Azuis Vermelhas Azul Azuis Vermelhas Branca Azuis 1. De quantas formas diferentes pode a Ana vestir umas calças e uma camisa? 6 maneiras 2. A Ana vestiu ao acaso umas calças e uma camisa. Calcula a probabilidade de: a) ter vestido as duas peças de cor vermelha P(2 peças vermelhas)= b) ter vestido as calças azuis P(calças azuis)= 2
  • 3. Diagrama Numa escola de dança existem 50 alunos. Desses alunos, 25 praticam Ballet e 30 praticam jazz. 50 B BJ J 20 5J 25 Soma-se os alunos das duas modalidades. (é maior que o número de alunos) 30+25=55 Vê-se quantos sobram, ou seja, quantos praticam ambas as modalidades. 55-50=5 (número de alunos que praticam ambas as modalidades) Tira-se esse número (neste caso 5) ao número de alunos de cada modalidade. 25-5=20 (número de alunos que praticam ballet) 30-5=25 (número de alunos que praticam jazz) 1. Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, praticar: a) só ballet P(só ballet)= b) as duas modalidades P(duas modalidades)= c) pelo menos uma das modalidades P(pelo menos uma modalidades)= 1 Lei dos Grandes Números Em probabilidades, quando se repete uma experiencia aleatória um grande número de vezes, podemos dizer que a frequência relativa de um acontecimento se aproxima da probabilidade desse acontecimento. Frequência Relativa Sistemas de Equações Como fazer um sistema? 1. Resolve-se uma das equações em ordem a uma das incógnitas 2. Substitui-se a expressão obtida na outra equação 3. Resolve-se esta equação 4. Substitui-se o valor obtido da incógnita na outra equação e encontra-se o valor da outra incógnita Solução de um sistema de duas equações com duas incógnitas, é todo o par ordenado que é solução de ambas as equações. Sistemas equivalentes são aqueles que admitem as mesmas soluções. 3
  • 4. Classificação de sistemas Sistema Possível Determinado admite uma só solução (um único par ordenado verifica as duas equações simultaneamente). Sistema Possível Indeterminado admite uma infinidade de soluções (quando se obtém uma condição universal; as duas equações transmitem a mesma informação – são equivalentes). Sistema Impossível não admite nenhuma solução (quando se obtém uma condição impossível); não há soluções simultâneas para as duas equações.  Resolução Gráfica de Sistemas Cada uma das equações de um sistema pode ser representada graficamente por uma recta. Os pontos de intersecção das duas rectas são as soluções do sistema. Assim:  Se as rectas se intersectam apenas num ponto, há apenas uma solução; o sistema é possível determinado.  Se as rectas coincidem, há uma infinidade de soluções; o sistema é possível indeterminado.  Se as rectas não se intersectam, não há soluções; o sistema é impossível.  Resolução de Problemas Tal como as equações, os sistemas são uma ferramenta fundamental para resolver alguns tipos de problemas. Quando temos duas incógnitas, devemos procurar encontrar duas equações para resolver o problema  Guião para a resolução de problemas:  Compreender o problema  Identificar a incógnita  Traduzir o problema por meio de um sistema  Resolver o sistema  Verificar se a solução do sistema serve como solução do problema  Dar resposta ao problema 4