Recomendados
Más contenido relacionado
La actualidad más candente
La actualidad más candente (20)
Destacado
Destacado (20)
Invers Matriks
- 1. MODUL 5 INVERS MATRIK PRAYUDI STT PLN
- 2. PENGERTIAN INVERS MATRIK Matrik bujur sangkar A dikatakan mempunyai invers, jika terdapat matrik B sedemikian rupa sehingga : AB = BA = I dimana I matrik identitas B dikatakan invers matrik A ditulis A–1 , maka, AA–1 = A–1 A = I A dikatakan invers matrik B ditulis B–1 , maka, B–1 B= BB–1 = I Contoh ; AB = BA = I 111 230 132 653 432 321 111 230 132 100 010 001 653 432 321
- 3. TEKNIK MENGHITUNG INVERS Metode Adjoint matrik Metode operasi elementer baris Metode Perkalian Invers Matrik Elementer Metode partisi matrik Program Komputer – MATCADS, MATLAB WS OFICE EXCELL
- 4. Metode Adjoint Matrik Andaikan A matrik bujur sangkar berordo (nxn), Cij=(-1)i+j Mij kofaktor elemen matrik aij, dan andaikan pula det(A)≠0 maka A mempunyai invers yaitu : adj(A) det(A) 1 A 1 dimana, ij ji ij nnnnn n n n MC CCCC CCCC CCCC CCCC Aadj )1( ... ............... ... ... ... )( 321 3332313 2322212 1312111 Kasus, n = 2 : maka 2221 1211 aa aa A 1121 1222 21122211 1 1 aa aa aaaa A
- 5. Kasus, n = 3 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 332313 322212 312111 332313 322212 312111 1- MM-M M-MM- MM-M det(A) 1 CCC CCC CCC det(A) 1 A CONTOH : 554 543 432 A det(A)= 1 1-21- 26-5 1-55- 9)-(812)-(10-16)-(15 12)-(10-)16-10(20)-(15- 16)-(1520)-(15-25)-(20 43 32 54 32 - 54 43 53 42 - 54 42 54 53 - 54 43 55 43 - 55 54 (1) 1 A 1-
- 6. KASUS : n = 4 44342414 43332313 42322212 41312111 1- 44434241 34333231 24232221 14131211 MM-MM- M-MM-M MM-MM- M-MM-M det(A) 1 A aaaa aaaa aaaa aaaa A CONTOH : Hitunglah invers matrik berikut ini : Ekspansi baris -1 : det(a)=M11-2M12+3M13-4M14 =-10 – 2(5) + 3(9) – 4(2)= –1 6863 4753 5532 4321 A Ekspansi baris-2 : det(A)=-2M21+3M22-5M23+5M24 =-2(-6) –3(4) + 5(-6) –5(-1)= –1 Ekspansi baris-3 : det(A)=3M31-5M32+7M33-4M34 =3(-8) –5(3) + 7(6) –4(1)= –1 Ekspansi baris-4 : det(A)=-3M41+6M42-8M43+6M44 =-3(-7) +6(2) - 8(5) + 6(1)= –1
- 7. INVERS : OPERASI ELEMENTER BARIS Operasi Elementer baris yang digunakan adalah : (1). Hj kHj (2). Hj Hi (3). Hj Hj + kHj 1000 ...1...... 0010 0001 ... ......... ... ... 21 22221 11211 nnnn ii n n aaa a aaa aaa Langkah-langkah sebagai berikut (1). Bentuk matrik lengkap [A,I] (2). Dengan serangkain operasi elelemter baris reduksilah [A,I] menjadi matrik berbentuk [I,B] (3). A–1 = B nnnn ii n n bbb b bbb bbb ... ......... ... ... 1000 ...1...... 0010 0001 21 22221 11211 nnnn ii n n bbb b bbb bbb ... ......... ... ... AJadi, 21 22221 11211 1- Operasi elementer baris Gaouss-Jordan
- 8. CONTOH : M.Asal 2 3 4 1 0 0 3 4 5 0 1 0 4 5 5 0 0 1 Iterasi-1 1 1.5 2 0.5 0 0 H1=(1/a11)H1 0 -0.5 -1 -1.5 1 0 H2=H2-(a21/a11)H1 0 -1 -3 -2 0 1 H3=H3-(a31/a11)H1 Iterasi-2 1 1.5 2 0.5 0 0 0 1 2 3 -2 0 H2=(1/a22)H2 0 0 -1 1 -2 1 H3=H3-(a32/a22)H2 Iterasi-3 1 1.5 2 0.5 0 0 0 1 2 3 -2 0 0 0 1 -1 2 -1 H3=(1/a33)H3
- 9. Iterasi-4 1 1.5 0 2.5 -4 2 H1=H1-(a13/a33)H3 0 1 0 5 -6 2 H2=H2-(a23/a33)H3 0 0 1 -1 2 -1 Iterasi-5 1 0 0 -5 5 -1 H1=H1-(a12/a22)H2 0 1 0 5 -6 2 0 0 1 -1 2 -1 Lanjutan : 1-21- 26-5 1-55- AJadi, 1-
- 10. Matrik Awal 1 2 3 4 1 0 0 0 2 3 5 5 0 1 0 0 3 5 7 4 0 0 1 0 3 6 8 6 0 0 0 1 Iterasi - 1 1 2 3 4 1 0 0 0 H1=(1/a11)H1 0 -1 -1 -3 -2 1 0 0 H2=H2-(a21/a11)H1 0 -1 -2 -8 -3 0 1 0 H3=H3-(a21/a11)H1 0 0 -1 -6 -3 0 0 1 H4=H4-(a41/a11)H1 Iterasi - 2 1 2 3 4 1 0 0 0 0 1 1 3 2 -1 0 0 H2=(1/a22)H2 0 0 -1 -5 -1 -1 1 0 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 -1 -6 -3 0 0 1 H4=H4-(a42/a22)H2 Iterasi-4 1 2 3 4 1 0 0 0 0 1 1 3 2 -1 0 0 0 0 1 5 1 1 -1 0 H3=(1/a33)H3 0 0 0 -1 -2 1 -1 1 H4=H4-(a43/a33)H3
- 11. Iterasi-5 1 2 3 4 1 0 0 0 0 1 1 3 2 -1 0 0 0 0 1 5 1 1 -1 0 0 0 0 1 2 -1 1 -1 H4=(1/a44)H4 Iterasi-6 1 2 3 0 -7 4 -4 4 H1=H1-a14*H4 0 1 1 0 -4 2 -3 3 H2=H2-a24*H4 0 0 1 0 -9 6 -6 5 H3=H3-a34*H4 0 0 0 1 2 -1 1 -1 Iterasi-7 1 2 0 0 20 -14 14 -11 H1=H1-a13*H3 0 1 0 0 5 -4 3 -2 H2=H2-a23*H3 0 0 1 0 -9 6 -6 5 0 0 0 1 2 -1 1 -1 Iterasi-8 1 0 0 0 10 -6 8 -7 H1=H1-a12*H2 0 1 0 0 5 -4 3 -2 0 0 1 0 -9 6 -6 5 0 0 0 1 2 -1 1 -1 1-112 56-69- 2-34-5 7-86-10 AJadi, 1-
- 12. PERKALIAN MATRIK ELEMENTER (1). Matrik elementer adalah matrik yang diperoleh dari operasi elementer yang dikenakan pada matrik identitas. (2). Setiap matrik elementer mempunyai invers, dan setiap matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers ekivalen baris terhadap matrik identitas I. (3). Akibatnya, jika : EkEk–1Ek–2 …E2E1A = I, maka, A–1 = EkEk–1Ek–2 …E2E1 Matrik elementer E diperoleh dari transformasi matrik identitas dimana pada kolom ke-I diganti dengan normalitas vektor kolom : 1......00 ................... 0......00 ................... 0......10 0......01 . . . . ik ik ik ik i N N N N E iiin aii iii ik aa aa N / ... /1 ... / , ,1 , iiiik IAEEEN 121, ... :dimana
- 13. CONTOH Hitung invers matrik A Jawab : Menghitung E1 554 543 432 A 5 5 4 A; 5 4 3 A; 4 3 2 A 321 102- 011.5- 000.5 10/aa- 01/aa- 001/a E 1131 1121 11 1 Menghitung E2 12-1 02-3 034- 102 011.5- 000.5 12-0 02-0 031 EE 12-0 02-0 031 1)(-1)/(-0.5-0 00.5-1/0 00.5-1.5/-1 E 1- 0.5- 1.5 5 4 3 102- 011.5- 000.5 AEN 12 2 212
- 14. Menghitung E3 dan Invers Matrik 1-21- 26-5 1-55- 12-1 02-3 034- 1-00 210 1-01 EEE 1-00 210 1-01 1/(-1)00 (2)/(-1)-10 (-1)/(-1)-01 E 1- 2 1- 5 5 4 12-1 02-3 034- AEEN 123 3 3123 Jadi Invers Matrik 1-21- 26-5 1-55- A 1-
- 15. CONTOH Hitung invers matrik A Jawab : Menghitung E1 6863 4753 5532 4321 A 1003- 0103- 0012- 0001 E 3 3 2 1 AN 1 11 Menghitung E2 1003- 011-1- 001-2 0023- 1003- 0103- 0012- 0001 1000 011-0 001-0 0021 EE 1000 011-0 001-0 0021 100/(-1)-0 01(-1)/(-1)-0 001-1/0 002/(-1)-1 E 0 1- 1- 2 6 5 3 2 1003- 0103- 0012- 0001 AEN 12 2 212
- 17. Menghitung E4 dan Invers Matrik 1-11-2 56-69- 2-34-5 7-86-10 11-12- 01-11 012-1 0114- 1-000 5100 2-010 7-001 EEEEA 1-000 5100 2-010 7-001 1/(-1)000 5/(-1)-100 (-2)/(-1)-010 (-7)/(-1)-001 E 1- 5 2- 7- 6 4 5 4 11-12- 01-11 012-1 0113- AEEEN 1234 1- 3 41234
- 18. INVERS : PARTISI MATRIK (1) Partisi matrik A yang berordo (mxn) adalah sub matrik-sub matrik yang diperoleh dari A dengan cara memberikan batasan-batasan garis horisontal diantara dua baris dan atau memberikan batasan-batasan garis vertikal diantara dua kolom. CONTOH 6863 4753 5532 4321 A 68 47 A 63 53 A 55 43 A 32 21 A :adalahAmatrikPartisi 2221 1211 31554 13343 53632 23443 34532 A CONTOH
- 19. INVERS : PARTISI MATRIK (2) Andaikan A matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers, yaitu : A–1 = B, dan partisinya masing-masing adalah : Karena, AB=BA=I maka diperoleh : 2221 1211 2221 1211 BB BB B; AA AA A I0 0I AA AA BB BB I0 0I BB BB AA AA 2221 1211 2221 1211 2221 1211 2221 1211 Dari perkalian matrik diperoleh hasil : (1). A11 B11 + A12 B21 = I (2). A11 B12 + A12 B22 = 0 (3). B21 A11 + B22 A21 = 0 (4). B21 A12 + B22 A22 = I Dengan asumsi, A11 –1 ada, dan B22 = L–1 ada Maka rumus untuk menghitung inver matriknya adalah : (1). B12 = –(A 11 –1 A12)L–1 (2). B21 = – L–1(A21 A11 –1) (3). B11 = A11 –1+(A11 –1A12)L–1(A21 A11 –1) (4). L = A22 – (A21A11 –1A12)
- 20. CONTOH : Kasus n=4. Hitunglah invers matrik berikut ini Jawab : 6863 4753 5532 4321 A 68 47 A 63 53 A 55 43 A 32 21 A :adalahAmatrikPartisi 2221 1211 Menghitung L 1-1 56- 1-(-1)- (-5)-6- 5-6 1 LJadi, 6-1- 5-1- 129 98 - 68 47 31 2-1 63 53 - 68 47 AAAAL 03 11 1-2 23- 63 53 AA 31 2-1 55 43 1-2 23- AA 1-2 23- 12- 2-3 )43( 1 A 1- 12 1- 112122 1- 1121 12 1- 11 1- 11
- 21. Menghitung Invers Matrik 4-5 6-13 3-3 8-13 1-2 23- 12- 6-9 31 2-1 1-2 23- )A(AL)AA(AB 1-2 69- 03 11 1-1 56- - )A(A-LB 2-3 7-8 1-1 56- 31 2-1 - L)A-(AB 1- 1121 1- 12 1- 11 1- 1111 1- 1121 1- 21 1- 12 1- 1112 1-112 56-69- 2-34-5 7-86-10 BB BB A 2221 12111- CONTOH : Hitung invers matrik A berikut : Jawab : Partisi matrik A 31554 13343 53632 23443 34532 A 315 133 536 A 54 43 32 A 234 345 A 43 32 A 2221 1211
- 24. SOAL TUGAS IV Hitung invers matrik A berikut ini dengan cara : 111 4112 221 111 bbaa bbaa aabb aabb A a. Metode Adjoint b. Perkalian matrik elementer c. Operasi elementer baris d. Metode partisi matrik Hitung invers matrik A berikut ini dengan 2 cara partisi yang berbeda: 13112 31123 11234 4321 32112 aaabb aaabb aaabb bbbaa bbbaa A 4432 12121 31 131 1221 aaabb aaabb aaabb bbbaa bbbaa A