Calculo 1 Derivación

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Calculo de una variable. Matemática

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Calculo 1 Derivación

  1. 1. LA DERIVADA Y EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE
  2. 2. Recordemos el camino trazado… Funciones de una variable Limites y continuidad La derivada Pero, antes de iniciar HAGAMONOS una simple pregunta… Ya analizamos funciones… También limites de funciones… Y el tema que iniciamos hoy es….
  3. 3. ( un minuto de silencio…) Introducción a la Derivada
  4. 4. “La pregunta del millón…” Si tenemos una función definida por 2 xy  La mayoría contestaría: “su derivada es: ” MUY BIEN!! ….. Pero…….. “memorizar términos matemáticos y no tener la mínima idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..” “las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!” xy 2
  5. 5. Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en términos geométricos Recta secante Recta tangente “es una recta que intersecta un círculo en dos puntos” “es una recta que tiene un punto en común con un circulo”
  6. 6. Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original
  7. 7. Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original Recta secante
  8. 8. Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original Recta tangente
  9. 9. Algunos conceptos básicos. Sabemos que una de las características principales de una recta es su pendiente (m) En términos muy simples la pendiente de una recta es un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta 1 1( , )x y 2 2( , )x y 2 1x x 2 1y y 2 1 2 1 y y m x x    Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!
  10. 10. Algunos conceptos básicos. Función original Recta secante De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta secante en la curva de una función es: 2 1 2 1 y y m x x    1 1( , )x y 2 2( , )x y
  11. 11. Algunos conceptos básicos. Recta tangente Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta tangente si solo se conoce un punto? 1 1( , )x y 2 1 2 1 ? y y m x x    
  12. 12. Algo de historia. Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran : Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo Moderno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a una curva a través de lo que el llamo símbolos.
  13. 13. La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE Supongamos que deseamos conocer la pendiente de la recta tangente en X=1 Observe que si hacemos diversas aproximaciones de rectas secantes, podemos hacer una muy buena estimación de la Pendiente de la recta tangente tanm
  14. 14. La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm
  15. 15. La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm
  16. 16. La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm
  17. 17. La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm
  18. 18. La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm
  19. 19. La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm
  20. 20. La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm
  21. 21. La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm
  22. 22. La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm
  23. 23. La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm
  24. 24. La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE 1 1( , )x y Observa que el punto Cada vez se acerca más al punto 1 1( , )x y 2 2( , )x y 2 2( , )x y tanm
  25. 25. La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE Ahora, como expresar el comportamiento anterior en términos matemáticos?
  26. 26. La derivada. 1 1( , )x y 2 2( , )x y Aprox. tanm  secm Procedemos a sustituir: 12 12 sec xx yy m    2 1 2 1 y y x x   tanm
  27. 27. 12 12 sec xx yy m    La derivada. 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm  2 1 2 1 y y x x   Considerando: ( )y f xtanm  2 1 2 1 ( ) ( )f x f x x x   )( 1xf )( 2xf tanm Procedemos a sustituir:
  28. 28. La derivada. 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm  2 1 2 1 ( ) ( )f x f x x x   2 1x x x  Ahora Consideremos: 2 1( ) ( )f x f x x   2 1x x x   tanm
  29. 29. La derivada. 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm  2 1( ) ( )f x f x x   Ahora recordemos el comportamiento de las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuirx 2 1x x x   tanm
  30. 30. La derivada. 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm  2 1( ) ( )f x f x x   Ahora recordemos el comportamiento de las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuirx 2 1x x x   tanm
  31. 31. La derivada. 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm  2 1x x x   2 1( ) ( )f x f x x   Podemos expresar lo anterior así: lim 2 1( ) ( )f x f x x   0x  0x  Analizando dicho comportamiento, procedemos a aplicar un límite así: Se puede observar que el punto cada vez se aproxima más al punto pero no llegará a tocarlo 2 2( , )x y 1 1( , )x y tanm
  32. 32. La derivada. 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm  Finalmente considerando lo siguiente: lim 2 1( ) ( )f x f x x   0x  2 1x x x   La expresión nos queda así: 1 1( ) ( )f x x f x x     2 1x x x   tanm
  33. 33. 1 1( ) ( )f x x f x x     La derivada. 1 1( , )x y 2 2( , )x y tanm  Finalmente considerando lo siguiente: lim 0x  2 1x x x   La expresión nos queda así: 2 1x x x   tanm
  34. 34. La derivada. tanm  lim 0x  1 1( ) ( )f x x f x x     Este límite (el cual genera otra función), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a la gráfica de una función….. Y se le conoce comúnmente como: Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así: dx dy Por su origen basado en incrementos =
  35. 35. La derivada. lim 0x  1 1( ) ( )f x x f x x    dx dy = Y precisamente por esta fórmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido: Si tenemos una función definida por 2 xy  Entonces su derivada es: x dx dy 2 Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original
  36. 36. Aplicación del límite obtenido…. Procederemos a la aplicación del límite deducido para obtener la derivada de la función: 2 )( xxfy  x xfxxf dx dy x     )()( lim 0 Recordemos que la derivada esta definida por el límite: Al evaluar el término )( xxf  se puede observar que: 2 )()( xxxxfy  Al sustituirlo obtenemos:
  37. 37. x xxx dx dy x     22 0 )( lim )( xxf  )(xf Al desarrollar el binomio al cuadrado obtenemos: x xxxxx dx dy x     222 0 ))()(2( lim Reduciendo términos: x xxx dx dy x     2 0 )()(2 lim Aplicando los teoremas sobre límites tenemos lo siguiente:
  38. 38. Aplicación del límite obtenido….      x xxx dx dy x 2 0 )()(2 lim xx xx   00 lim2lim Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que: Si tenemos una función definida por 2 xy  Entonces su derivada es: x dx dy 2
  39. 39.                   Representación gráfica de: 2 xy  La función que representa su derivada es: x dx dy 2
  40. 40.                   Representación gráfica de: 2 xy  La función que representa su derivada es: x dx dy 2 1x Al sustituir en la derivada el valor de X: 2)1(2tan  dx dy m Observe que: 2tan m ?tan m
  41. 41.                   Representación gráfica de: 2 xy  La función que representa su derivada es: x dx dy 2 2tan m
  42. 42.                   Representación gráfica de: 2 xy  La función que representa su derivada es: x dx dy 2                                                                                         
  43. 43. Referencia: “El Cálculo” por Louis Leithold
  44. 44.  Ahora si ya podemos empezar con los primeros ejemplos. xxf 3)(  3 dx df 3 )( 3 x xf  2 x dx df  2 6)( xxf  x dx df 2 5 12 )(   x xf 5 2  dx df

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