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41 a 60

Aula 41 - Triângulo


Para pensar:

Na figura, existem 46 triângulos.

Exercícios:

1.
a)   retângulo; isósceles
b)   acutângulo; equilátero
c)   obtusângulo; escaleno
d)   obtusângulo; isósceles
e)   retângulo; escaleno
f)   acutângulo; escaleno

2.
a) escaleno
b) isósceles
c) equilátero

3.
a) retângulo
b) obtusângulo
c) acutângulo

4.
a) 85º
b) 92º
c) 40º

5.   60º

6.   80º
7.    35º

8.
a) 140º
b) Medindo com o transferidor ou observando que:

      a + 40º = 180º
      a = 180º - 40º = 140º

c)    Sua medida é a soma dos dois ângulos internos opostos:

      a = 90º + 50º
      a = 140º

9.
a) a = 80º
b) a = 120º

10.
a)    Sim.
b)    Sim.
c)    Não.
d)    Não.


Aula 42 - O quadrado e outros quadriláteros

1.
a)    paralelogramo
b)    trapézio
c)    retângulo (o quadrado é um retângulo)
d)    retângulo (o quadrado é um retângulo)

2.
a)    Lados iguais; tamanhos diferentes.
b)    1 par de lados paralelos; trapézio retângulo - trapézio isósceles.
c)    4 ângulos iguais; 4 lados iguais - lados opostos iguais dois a dois.
d)    2 pares de ângulos opostos iguais; lados opostos iguais - 4 lados iguais.
e)    4 lados iguais; 4 ângulos iguais - ângulos iguais 2 a 2.

3.
a)    losango
b)    retângulo
c)    trapézio retângulo
d)    paralelogramo ou losango

4.    a) 14 quadrados b) 30 quadrados

5.    Resposta pessoal.

6.    45º, 135º e 135º.
Aula 43 - Polígonos e mosaicos

1.   Várias respostas.

2.   Primeiro: 60º, 150º, 90º, 90º e 150º.
     Segundo: 60º, 60º, 120º e 120º.

3.   Não, pois apesar de ter os 4 lados iguais, seus ângulos não são iguais.

4.
a) 6
b) Sim.
c) 6 . 180º = 1.080º

5.
        3      0       1       180º

        4      1       2       360º

        5      2       3       540º

        6      3       4       720º

        7      4       5       900º

        8      5       6      1.080º

        9      6       7      1.260º

      10       7       8      1.440º


6.   Sim. A diferença entre o número de lados do polígono e o número de
     triângulos formados é constante e igual a 2.

7.
a) n - 2 (n = nº de lados)
b) (n - 2) · 180º


Aula 44 - A linguagem matemática

1.
a) 2x

b) 3x

c)   y-7
     a
d)     +1
     2
2.
a) x . y = y . x
b) a + b = b + a

3.
a) 2x + 2y = 20
b) se x = 4, y = 6 ;
   se x = 2, y = 8; etc.

4.   x
     2


Aula 45 - O círculo e o número p


Exercícios:

1.   Mantendo 5 cm de distância entre as pernas do compasso, centre a ponta
     metálica e gire.

2.   Se o diâmetro é de 10 cm, o raio terá 5 cm e essa circunferência será do mesmo
     tamanho que a do Exercício 1.

3.   A de 6 cm de raio tem o comprimento maior.

4.   2 . 26 . 3,14 = 163,28 cm

5.   62,8 ¸ 3,14 = 20 cm


6.
           1                2                6,28

          2,5               5               15,7

           3                6               18,84



7.   18,84 ¸ 2 = 9,42 m

8.   18,84 ¸ 4 = 4,71 m

9.   Essa corda é o diâmetro e mede 2 cm.
10. Várias soluções possíveis, como a que está na figura:




Aula 46 - Novamente frações

Para pensar:

Para fazer duas paradas, é preciso dividir a distância entre as cidades (220 km)
em 3 etapas: 220 ¸ 3 = 73,333...



      1ª parada           2ª parada
|________________|_______________|_________________|
0 km              73,3 km         146,6 km               220 km



Exercícios:

1.
a)   0,13
b)   0,35
c)   6,222 ...
d)   4,26666...

2.
a) 0,111 ...
b) 0,222 ...
c) 0,333 ...

3.
a) 0,444 ...
b) 0,555 ...
c) 0,666 ...

4.
a)   decimal finita
b)   decimal finita
c)   decimal infinita periódica
d)   decimal infinita não periódica
e)   decimal infinita periódica
f)   decimal infinita não periódica
5.
a)   racional
b)   racional
c)   racional
d)   irracional
e)   racional
f)   racional


Aula 47 - Números proporcionais

Para pensar:

   1        x
       =                  ®   x = 200 cm
200.000 40.000.000


Exercícios:

1.


                                        A
a)            A       B         RAZÃO
                                        B


                                   18       6
b)         18        21
                                   21       7

                                   30       6
c)         30        35
                                   35       7

                                 85,71      6
d)        85,71      100
                                  100       7

                                  100       6
e)        100     116,6 ...
                                 116, 66    7



2.
a)   12
     30



b)   18
     30


c)   12
     18
3.
a)   x = 15
b)   x = 42
c)   x = 15
d)   x = 5,33...

4.   40 cm


5.     4     12
           =
     3, 50    x

     4x = 42
     x = 42 ¸ 4
     x = R$ 10,50



Aula 48 - O Teorema de Tales

Para pensar:

l    3,34 m.
l    11,7 kg .
l    Sim.

Exercícios:

1.
a) 2,8
b) 3,2

2.   x = 36 m; y = 54 m

3.   20 m
       altura do coqueiro   altura da pessoa
4.                        =
      sombra do coqueiro sombra da pessoa


Aula 49 - Figuras semelhantes


1.   Um quarto mede 3 m por 4 m e o outro mede 3 m por 3,40 m.

2.   100 cm · 100.000 = 10.000.000 cm = 100 km

3.   204 cm ¸ 12 = 17 cm

4.   1,5 ¸ 30 = 0,05 m2
Aula 50 - Proporção inversa

Para pensar:

l    Levará 3 horas.
l    São grandezas inversamente proporcionais.

Exercícios:

1.
a) Sim, k = 40.
b) Não.
c) Sim, k = 80.

2.   20 dias.

3.   1h30min

4.   6h40min aproximadamente



Aula 51 - Regra de três

Para pensar: 51 dias.

1.   40 min

2.   24 operários

3.   20 m

4.   300 peças

5.   37,5 l

6.   45%

7.   R$ 200,00

8.   R$ 1.200,00



Aula 52 - Introdução à álgebra

Para pensar:

l    3 kg
l    2 kg
l    Daqui a 24 anos, quando André tiver 32 anos e sua mãe 64 anos.
Exercícios:

1.   674 e 675

2.
a) x = 3
b) x = 5
c) x = 14

3.
a)   2 (x + 1) + 4x = 3,20
b)   R$ 1,20
c)   20 centavos
4.   12



Aula 53 - Calculando áreas

Para pensar:

l    A área.
l    As áreas são iguais .
l    10.000.

Exercícios:

1.
a) 6,375 cm2
b) 2,625 cm2
c) 6,75 cm2

2.   Resposta pessoal.

3.   Aproximadamente 553,5 cm2.

4.   Resposta pessoal.

5.   Aproximadamente 2.000 azulejos.

6.   Os 4 triângulos têm áreas iguais, apesar de terem formatos diferentes.
     Todos têm a mesma base e a mesma altura.

7.   14 cm2

8.   0,24 cm2

9.   93 + 145 = 119, aproximadamente 119 u.
        2
Aula 54 - Potências e raízes

Para pensar:

a) 5² fichas brancas

b) 5³ fichas pretas

c)   54 fichas verdes

Exercícios:

1.
a) 13² = 169

b) 4³ = 64

2.

a)   l    l   l


     l    l   l


     l    l   l




b) impossível

c)   l    l   l   l


     l    l   l   l


     l    l   l   l


     l    l   l   l




3.
a)   8
b)   1
c)   1
d)   0
e)   1.000... ( 10 zeros)

4.
a)   7
b)   8
c)   1
d)   10
e)   6

5.
a)   2
b)   1
c)   10
d)   4
e)   0
Aula 55 - O Teorema de Pitágoras

Para pensar:

l    Sim, porque os três triângulos têm os ângulos com a mesma medida.

l    Sim.

Exercícios:

1.
a)   Sim: 10² = 8² + 6².
b)   Não, porque 20² ¹ 9² + 7².
c)   Não, porque 6² ¹ 5² + 4².
d)   Sim: 13² = 12² + 5²

2.   A área do triângulo desenhado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas
     dos triângulos desenhados sobre os catetos. Observe que esse exemplo é
     uma extensão do Teorema de Pitágoras.

3.   a=8

     b = 8,50

     x = 3,76

     y = 19,26

     Observação: Os valores decimais foram considerados até os centésimos,
     desprezando-se os demais.


Aula 56 - Aplicação do Teorema de Pitágoras

Para pensar: 4 metros

Exercícios:

1.   Sim: 13² = 12² + 5²
     169 = 144 + 25

2.
a)    84
b)    50

3.   x = 15 cm

4.    2.025 = 45 m

5.   d = 72 cm

6.   20 cm
Aula 57 - A área do círculo

Para pensar:

Foi pintada metade da área da roda.

Exercícios:

1.
a) 113,04 cm²
b) 50,24 cm²

2.
a) 34,89 m²
b) 40º

3.   1,31 m²

4.   10%      =   1,256 cm²
     20%      =   2,512 cm²
     30%      =   3,768 cm²
     40%      =   5,024 cm²

5.   21,5% da área do quadrado.


Aula 58 - Calculando volumes

Para pensar:

l    8
l    Resposta pessoal.
                         1
l    Volume da pirâmide = do volume do cubo.
                         3
Exercícios:

1.   64 cubinhos

2.   20.000 cm3 = 20 litros

3.   Resposta pessoal.

4.   14.137 cm3

5.   18,84 litros

6.   Resposta pessoal.

7.   Resposta pessoal.

8.   Resposta pessoal.
Aula 59 - Organizando os números

Para pensar:

a)   0, 1, 2, 3, 4
b)   -1, 0
c)   Não tem.
d)   Não tem.
e)   0,5 (há uma infininidade de outras soluções).

Exercícios:

1.   6, 9, 12, 15 ...

2.   0, -1, -2, -3 ...
     9
3.     ou 1,8
     5
4.   Existe uma infinidade. Exemplos: 2,1; 2,2; 3,5; 4.

5.
a)   V
b)   V
c)   V
d)   F

6.
a)   3 ou 6 ou 12 , .....
     1    2     4



b)   25   5
        =
     10   2

c)   5
     9

d)   0
     1

Observação: Todos os itens do Exercício 6 têm outras soluções.

7.   1,3; 0; 2,3; etc.

8.
                            -2   -1       0     1         2



                                          1 1       1,5
                                      -
                                          4 3
Aula 60 - A reta e os números reais

Para pensar:

a) -5

b) 4,2;        - 3,1;       0,555...

c)        11

d) 4,2;        -5;    -3,1;       0,555...;      0

Exercícios:

1.


                     -2,5                   -0,666...       0,75   2           π
     -4         -3           -2        -1               0      1       2   3       4   5




2.
a)    V
b)    F
c)    F
d)    V
e)    F
f)    V
g)    F

3.
a) 1
b) -1

4.
a) 0 e 1 (há uma infinidade de outras respostas)
b) -0,25 e -0,5 (há uma infinidade de outras respostas)

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  • 1. Gabarito das aulas 41 a 60 Aula 41 - Triângulo Para pensar: Na figura, existem 46 triângulos. Exercícios: 1. a) retângulo; isósceles b) acutângulo; equilátero c) obtusângulo; escaleno d) obtusângulo; isósceles e) retângulo; escaleno f) acutângulo; escaleno 2. a) escaleno b) isósceles c) equilátero 3. a) retângulo b) obtusângulo c) acutângulo 4. a) 85º b) 92º c) 40º 5. 60º 6. 80º
  • 2. 7. 35º 8. a) 140º b) Medindo com o transferidor ou observando que: a + 40º = 180º a = 180º - 40º = 140º c) Sua medida é a soma dos dois ângulos internos opostos: a = 90º + 50º a = 140º 9. a) a = 80º b) a = 120º 10. a) Sim. b) Sim. c) Não. d) Não. Aula 42 - O quadrado e outros quadriláteros 1. a) paralelogramo b) trapézio c) retângulo (o quadrado é um retângulo) d) retângulo (o quadrado é um retângulo) 2. a) Lados iguais; tamanhos diferentes. b) 1 par de lados paralelos; trapézio retângulo - trapézio isósceles. c) 4 ângulos iguais; 4 lados iguais - lados opostos iguais dois a dois. d) 2 pares de ângulos opostos iguais; lados opostos iguais - 4 lados iguais. e) 4 lados iguais; 4 ângulos iguais - ângulos iguais 2 a 2. 3. a) losango b) retângulo c) trapézio retângulo d) paralelogramo ou losango 4. a) 14 quadrados b) 30 quadrados 5. Resposta pessoal. 6. 45º, 135º e 135º.
  • 3. Aula 43 - Polígonos e mosaicos 1. Várias respostas. 2. Primeiro: 60º, 150º, 90º, 90º e 150º. Segundo: 60º, 60º, 120º e 120º. 3. Não, pois apesar de ter os 4 lados iguais, seus ângulos não são iguais. 4. a) 6 b) Sim. c) 6 . 180º = 1.080º 5. 3 0 1 180º 4 1 2 360º 5 2 3 540º 6 3 4 720º 7 4 5 900º 8 5 6 1.080º 9 6 7 1.260º 10 7 8 1.440º 6. Sim. A diferença entre o número de lados do polígono e o número de triângulos formados é constante e igual a 2. 7. a) n - 2 (n = nº de lados) b) (n - 2) · 180º Aula 44 - A linguagem matemática 1. a) 2x b) 3x c) y-7 a d) +1 2
  • 4. 2. a) x . y = y . x b) a + b = b + a 3. a) 2x + 2y = 20 b) se x = 4, y = 6 ; se x = 2, y = 8; etc. 4. x 2 Aula 45 - O círculo e o número p Exercícios: 1. Mantendo 5 cm de distância entre as pernas do compasso, centre a ponta metálica e gire. 2. Se o diâmetro é de 10 cm, o raio terá 5 cm e essa circunferência será do mesmo tamanho que a do Exercício 1. 3. A de 6 cm de raio tem o comprimento maior. 4. 2 . 26 . 3,14 = 163,28 cm 5. 62,8 ¸ 3,14 = 20 cm 6. 1 2 6,28 2,5 5 15,7 3 6 18,84 7. 18,84 ¸ 2 = 9,42 m 8. 18,84 ¸ 4 = 4,71 m 9. Essa corda é o diâmetro e mede 2 cm.
  • 5. 10. Várias soluções possíveis, como a que está na figura: Aula 46 - Novamente frações Para pensar: Para fazer duas paradas, é preciso dividir a distância entre as cidades (220 km) em 3 etapas: 220 ¸ 3 = 73,333... 1ª parada 2ª parada |________________|_______________|_________________| 0 km 73,3 km 146,6 km 220 km Exercícios: 1. a) 0,13 b) 0,35 c) 6,222 ... d) 4,26666... 2. a) 0,111 ... b) 0,222 ... c) 0,333 ... 3. a) 0,444 ... b) 0,555 ... c) 0,666 ... 4. a) decimal finita b) decimal finita c) decimal infinita periódica d) decimal infinita não periódica e) decimal infinita periódica f) decimal infinita não periódica
  • 6. 5. a) racional b) racional c) racional d) irracional e) racional f) racional Aula 47 - Números proporcionais Para pensar: 1 x = ® x = 200 cm 200.000 40.000.000 Exercícios: 1. A a) A B RAZÃO B 18 6 b) 18 21 21 7 30 6 c) 30 35 35 7 85,71 6 d) 85,71 100 100 7 100 6 e) 100 116,6 ... 116, 66 7 2. a) 12 30 b) 18 30 c) 12 18
  • 7. 3. a) x = 15 b) x = 42 c) x = 15 d) x = 5,33... 4. 40 cm 5. 4 12 = 3, 50 x 4x = 42 x = 42 ¸ 4 x = R$ 10,50 Aula 48 - O Teorema de Tales Para pensar: l 3,34 m. l 11,7 kg . l Sim. Exercícios: 1. a) 2,8 b) 3,2 2. x = 36 m; y = 54 m 3. 20 m altura do coqueiro altura da pessoa 4. = sombra do coqueiro sombra da pessoa Aula 49 - Figuras semelhantes 1. Um quarto mede 3 m por 4 m e o outro mede 3 m por 3,40 m. 2. 100 cm · 100.000 = 10.000.000 cm = 100 km 3. 204 cm ¸ 12 = 17 cm 4. 1,5 ¸ 30 = 0,05 m2
  • 8. Aula 50 - Proporção inversa Para pensar: l Levará 3 horas. l São grandezas inversamente proporcionais. Exercícios: 1. a) Sim, k = 40. b) Não. c) Sim, k = 80. 2. 20 dias. 3. 1h30min 4. 6h40min aproximadamente Aula 51 - Regra de três Para pensar: 51 dias. 1. 40 min 2. 24 operários 3. 20 m 4. 300 peças 5. 37,5 l 6. 45% 7. R$ 200,00 8. R$ 1.200,00 Aula 52 - Introdução à álgebra Para pensar: l 3 kg l 2 kg l Daqui a 24 anos, quando André tiver 32 anos e sua mãe 64 anos.
  • 9. Exercícios: 1. 674 e 675 2. a) x = 3 b) x = 5 c) x = 14 3. a) 2 (x + 1) + 4x = 3,20 b) R$ 1,20 c) 20 centavos 4. 12 Aula 53 - Calculando áreas Para pensar: l A área. l As áreas são iguais . l 10.000. Exercícios: 1. a) 6,375 cm2 b) 2,625 cm2 c) 6,75 cm2 2. Resposta pessoal. 3. Aproximadamente 553,5 cm2. 4. Resposta pessoal. 5. Aproximadamente 2.000 azulejos. 6. Os 4 triângulos têm áreas iguais, apesar de terem formatos diferentes. Todos têm a mesma base e a mesma altura. 7. 14 cm2 8. 0,24 cm2 9. 93 + 145 = 119, aproximadamente 119 u. 2
  • 10. Aula 54 - Potências e raízes Para pensar: a) 5² fichas brancas b) 5³ fichas pretas c) 54 fichas verdes Exercícios: 1. a) 13² = 169 b) 4³ = 64 2. a) l l l l l l l l l b) impossível c) l l l l l l l l l l l l l l l l 3. a) 8 b) 1 c) 1 d) 0 e) 1.000... ( 10 zeros) 4. a) 7 b) 8 c) 1 d) 10 e) 6 5. a) 2 b) 1 c) 10 d) 4 e) 0
  • 11. Aula 55 - O Teorema de Pitágoras Para pensar: l Sim, porque os três triângulos têm os ângulos com a mesma medida. l Sim. Exercícios: 1. a) Sim: 10² = 8² + 6². b) Não, porque 20² ¹ 9² + 7². c) Não, porque 6² ¹ 5² + 4². d) Sim: 13² = 12² + 5² 2. A área do triângulo desenhado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos triângulos desenhados sobre os catetos. Observe que esse exemplo é uma extensão do Teorema de Pitágoras. 3. a=8 b = 8,50 x = 3,76 y = 19,26 Observação: Os valores decimais foram considerados até os centésimos, desprezando-se os demais. Aula 56 - Aplicação do Teorema de Pitágoras Para pensar: 4 metros Exercícios: 1. Sim: 13² = 12² + 5² 169 = 144 + 25 2. a) 84 b) 50 3. x = 15 cm 4. 2.025 = 45 m 5. d = 72 cm 6. 20 cm
  • 12. Aula 57 - A área do círculo Para pensar: Foi pintada metade da área da roda. Exercícios: 1. a) 113,04 cm² b) 50,24 cm² 2. a) 34,89 m² b) 40º 3. 1,31 m² 4. 10% = 1,256 cm² 20% = 2,512 cm² 30% = 3,768 cm² 40% = 5,024 cm² 5. 21,5% da área do quadrado. Aula 58 - Calculando volumes Para pensar: l 8 l Resposta pessoal. 1 l Volume da pirâmide = do volume do cubo. 3 Exercícios: 1. 64 cubinhos 2. 20.000 cm3 = 20 litros 3. Resposta pessoal. 4. 14.137 cm3 5. 18,84 litros 6. Resposta pessoal. 7. Resposta pessoal. 8. Resposta pessoal.
  • 13. Aula 59 - Organizando os números Para pensar: a) 0, 1, 2, 3, 4 b) -1, 0 c) Não tem. d) Não tem. e) 0,5 (há uma infininidade de outras soluções). Exercícios: 1. 6, 9, 12, 15 ... 2. 0, -1, -2, -3 ... 9 3. ou 1,8 5 4. Existe uma infinidade. Exemplos: 2,1; 2,2; 3,5; 4. 5. a) V b) V c) V d) F 6. a) 3 ou 6 ou 12 , ..... 1 2 4 b) 25 5 = 10 2 c) 5 9 d) 0 1 Observação: Todos os itens do Exercício 6 têm outras soluções. 7. 1,3; 0; 2,3; etc. 8. -2 -1 0 1 2 1 1 1,5 - 4 3
  • 14. Aula 60 - A reta e os números reais Para pensar: a) -5 b) 4,2; - 3,1; 0,555... c) 11 d) 4,2; -5; -3,1; 0,555...; 0 Exercícios: 1. -2,5 -0,666... 0,75 2 π -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 2. a) V b) F c) F d) V e) F f) V g) F 3. a) 1 b) -1 4. a) 0 e 1 (há uma infinidade de outras respostas) b) -0,25 e -0,5 (há uma infinidade de outras respostas)