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Fundamentos De Matemáticas 
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
Esp. ANTALCIDES OLIVO
Fundamentos matematica
Índice general 
1. Introducción a la Lógica 1 
1.1 Introducción 2 
1.2 Sistema axiomático 3 
1.2.1 Modelos para un sistema axiomático formal 4 
1.2.2 Concepto de lógica matemática 4 
1.3 Enunciados y proposiciones 5 
1.3.1 Enunciados 6 
1.3.2 Proposición lógica 14 
1.4 Conjunto y operaciones con proposiciones 18 
1.4.1 Proposiciones abiertas 19 
1.4.2 Conjuntos especiales 21 
1.4.3 Operaciones entre proposiciones 32 
1.4.4 Relaciones entre proposiciones 38 
1.5 Inferencia y esquemas de razonamiento 41 
1.5.1 Principales leyes lógicas o tautológicas 41
1.5.2 Esquemas de razonamiento 47 
1.6 Problemas 55 
2. Teoría de conjuntos y sistemas numéricos 1 
2.1 Introducción 2 
2.1.1 Un poco de historia 2 
2.1.2 Teoría intuitiva de conjuntos 2 
2.2 Relaciones y axiomas en la teoría de conjuntos 7 
2.3 Operaciones entre conjuntos 10 
2.4 Representación de conjuntos 12 
2.5 Propiedades De los conjuntos 12 
2.6 Problemas 12
1 Introducción a la Lógica 
Contenido Capítulo 1 Página 
1.1 Introducción 2 
1.2 Sistema axiomático 3 
1.2.1 Modelos para un sistema axiomático formal 4 
1.2.2 Concepto de lógica matemática 4 
1.3 Enunciados y proposiciones 5 
1.3.1 Enunciados 6 
1.3.2 Proposición lógica 14 
1.4 Conjunto y operaciones con proposiciones 18 
1.4.1 Proposiciones abiertas 19 
1.4.2 Conjuntos especiales 21 
1.4.3 Operaciones entre proposiciones 32 
1.4.4 Relaciones entre proposiciones 38 
1.5 Inferencia y esquemas de razonamiento 41 
1.5.1 Principales leyes lógicas o tautológicas 41 
1.5.2 Esquemas de razonamiento 47 
1
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
1.6 Problemas 55 
Objetivos 
* Interpreta correctamente las proposiciones. 
* Clasifica correctamente las condiciones. 
* Argumenta los diferentes métodos de demostración. 
* Identifica proposiciones. 
Indicadores de Logros 
* Diferencia entre demostraciones directas e indirectas. 
* Argumenta los distintos tipos de demostración indirectas. 
1.1 Introducción 
Este primer capítulo es una breve introducción a la lógica, que es la herramienta que usan las matemáticas 
para desarrollarse. 
El objetivo del mismo es describir en que consiste una teoría matemática. Para lograrlo, primero hay que 
exponer sucintamente las reglas de la lógica de proposiciones, definir con precisión que es un razonamiento 
lógico y, por ultimo, explicar en que consiste una teoría matemática (brevemente, una serie de axiomas, 
definiciones y teoremas relacionados entre sí mediante argumentos lógicos, como veremos mas adelante). 
La lógica es un esquema de reglas que permite deducir verdades a partir de o otras verdades. El medio 
que lleva de las primeras verdades a las otras deducidas se llama razonamiento lógico. La lógica estudia, 
precisamente, los razonamientos lógicos, estableciendo cuándo un razonamiento es valido, independientemente 
del contenido de las verdades que se enuncien. Sólo le interesan las manipulaciones que se hacen con los 
enunciados, no su contenido. 
Todos los resultados mostrados en este capítulo se prueban rigurosamente. Sin embargo, no se usa para 
ello el razonamiento lógico, que que se utiliza en un curso de lógica matemática sino el simple y eficaz camino 
de las tablas introducidas en la sección 1.4.4 . Por supuesto, algunos resultados si se podrán demostrar a 
partir de otros anteriores mediante las leyes del álgebra de proposiciones, que se exponen en la a sección 1.4.3. 
Pero hemos preferido dejar todo el capítulo en manos de las tablas. 
Por otra parte Uno de los aspectos fundamentales en cualquier interpretación rigurosa de la realidad es 
la coherencia interna de la explicación. Es conveniente atender a este aspecto con toda la claridad que sea 
2 Antalcides Olivo
1.2. Sistema axiomático 
posible. y a aquí es donde echamos mano de la lógica que es la que se ocupa del estudio de las formas correctas 
de pensar y sirve, por tanto, no sólo para comprobar la validez formal de los argumentos, sino que permite 
también la elaboración formalmente rigurosa de las explicaciones teóricas. 
En la medida en que las ciencias procuran interpretar la realidad física sin depender excesivamente de 
implícitos no controlables, y en que la realidad que estudian es compleja y difícil de comprender intelectualmente; 
necesitan aumentar el control sobre las propias formulaciones teóricas. Este dominio debe ejercerse en dos 
campos principales: 
El significado estricto de las nociones que emplea. 
La validez formal de las teorías y leyes en que las ordena. 
El método que permite dar cumplimiento a estas necesidades es el de la axiomatización. 
El cual es aplicable en toda su pureza en las llamadas ciencias formales como, la lógica y las matemáticas, 
pero proporciona grandes ventajas en la ciencias, y sigue siendo el ideal en otras ramas del saber. 
No es posible alcanzar un control objetivo absoluto acerca del saber, es decir tenerlo todo explicitado sin 
presupuestos. 
No cabe alcanzar un dominio total de la objetividad. Pero sí merece la pena que lo objetivable se exprese 
del modo más claro y formalmente riguroso que pueda alcanzarse, conscientes de las limitaciones inherentes al 
intento y de la necesidad de presupuestos no sistematizables para que el conocimiento pueda cumplirse. 
El conocimiento humano puede dividirse en inmediato y mediato. 
Todo posible conocimiento debe alcanzarse desde aquel que ya se posee, y el modo de poseer con claridad 
objetiva lo que se sabe se apoya en la posibilidad de expresarlo mediante enunciados con sentido. 
Así pues, lo que se desconoce directamente habrá de poderse concluir desde los enunciados conocidos, con 
la ayuda de una regla que nos permita comprender su validez. 
El proceso avanza desde las premisas hacia la conclusión, según las reglas válidas de la demostración y de 
la lógica . 
Sistema axiomático 1.2 
Toda teoría matemática tiene una estructura que la diferencia de las teorías presentadas en las otras 
disciplinas. 
A ésta estructura se le llama sistema axiomático. 
Un sistema axiomático formal consta de los siguientes elementos: 
* Un alfabeto S para construir expresiones formales que incluye: 
* Un conjunto mínimo de elementos o términos propios de la teoría que no se pueden construir a partir 
de otros. ( “Es decir no se pueden definir”). 
* Un conjunto de términos construidos a partir de los elementos del conjunto anterior. (Definiciones) 
Antalcides Olivo 3
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
* Un conjunto de símbolos para conectivas lógicas y cuantificadores. (operaciones) 
* Un conjunto de símbolos para designar variables. 
* Un conjunto de símbolos para constantes (que tendrán en un modelo una interpretación fija). 
* Un conjunto de símbolos que serán interpretados como funciones. 
* Un conjunto de símbolos que serán interpretados como relaciones. 
* Una gramática formal que incluirá: 
* Reglas de buena formación, que reproducen la "morfología" del lenguaje formal. 
* Reglas de inferencia que permitirán deducir unas proposiciones de otras, estas reglas reproducen la 
"sintaxis" del lengua formal. 
* Un conjunto de axiomas inicial, o expresiones bien formadas, que son el punto de partida de cualquier 
deducción. 
Para el conjunto de expresiones bien formadas expresadas en el lenguaje formal anterior puede definirse 
una S −estructura en la que a cada variable constante o cada ocurrencia libre de una variable reciba un valor 
dentro del modelo (es decir, las constantes y variables libres serán conjuntos preasignados de la S −estructura). 
Las funciones y relaciones serán definidas como funciones y relaciones matemáticas dentro de la S −estructura. 
Una vez definidas las constantes, variables libres, funciones y relaciones resulta trivial atribuir un significado 
concreto a las expresiones del lenguaje formal en la S −estructura. 
1.2.1. Modelos para un sistema axiomático formal 
Si un conjunto de proposiciones (fórmulas bien formadas) de un sistema axiomático formal admiten una 
S − estructura donde se satisfacen, entonces se dice que dicha estructura es un modelo para el conjunto de 
proposiciones. 
Un sistema de axiomas que admite un modelo es un sistema de axiomas consistente. Un sistema formal 
bien construido satisface "teorema de validez" que viene a afirmar que cualquier proposición deducible de los 
axiomas o teorema del sistema axiomático, se satisface también, en todos los modelo que sean un modelo 
en el que se satisfacen los axiomas. La propiedad recíproca no siempre se cumple, una proposición que se 
satisface en todos los modelos de una teoría no tiene porqué ser deducible del sistema de axiomas. Este último 
punto es ilustrado por los teoremas de incompletitud de Gödel, que viene a afirmar que una sistema formal de 
ciertos sistemas matemáticos con un conjunto de axiomas que satisface determinada propiedad formal (ser un 
recursivamente enumerables ) admitirá un modelo en el que algunas proposiciones serán ciertas pero no serán 
deducibles. Es decir, la teoría asociada al sistema axiomático formal será esencialmente incompleta. 
1.2.2. Concepto de lógica matemática 
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos 
intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. 
4 Antalcides Olivo
1.3. Enunciados y proposiciones 
La lógica estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes 
formales y las propiedades metalógicas de los mismos. 
En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento 
dado dentro de un determinado sistema formal. 
En un nivel avanzado, la lógica matemática se ocupa de la posibilidad de axiomatizar las teorías matemáticas, 
de clasificar su capacidad expresiva, y desarrollar métodos computacionales útiles en sistemas formales. 
La teoría de la demostración y la matemática inversa son dos de los razonamientos más recientes de la 
lógica matemática abstracta. 
Debe señalarse que la lógica matemática se ocupa de sistemas formales que pueden no ser equivalentes 
en todos sus aspectos, por lo que la lógica matemática no es método de descubrir verdades del mundo físico 
real, sino sólo una fuente posible de modelos lógicos aplicables a teorías científicas, muy especialmente a la 
matemática convencional. 
La lógica matemática no se encarga por otra parte del concepto de razonamiento humano general o del 
proceso creativo de construcción de demostraciones matemáticas mediante argumentos rigurosos pero hechas 
usando lenguaje informal con algunos signos o diagramas, sino sólo de demostraciones y razonamientos que 
pueden ser completamente formalizados en todos sus aspectos. 
Enunciados y proposiciones 1.3 
Empezaremos el estudio de la lógica construyéndola como expondremos a continuación: 
Lo primero es establecer un conjunto mínimo de términos, los cuales no se pueden definir, pero que de 
forma natural se pueden conocer sus características o propiedades. 
A partir de los elementos anteriores se construyen otros usando proposiciones en forma de equivalencia. 
estas proposiciones se llaman definiciones. 
Un conjunto de operaciones y relaciones. 
Luego se establecen un conjunto de propiedades independientes, los cuales son ciertos por si solos , es 
decir su validez es evidente. A este conjunto de propiedades se llaman axiomas y/o postulados. 
Para terminar se construyen a partir de todo lo anterior un conjunto ilimitado de propiedades, las 
cuales no son evidentes por si solas y por lo tanto es necesario demostrarlas a partir de proposiciones 
verdaderas usando los métodos de demostración establecidos por la lógica. 
Antes de empezar la construcción de la lógica estableceremos alguna ideas generales. 
Por ejemplo: 
Antalcides Olivo 5
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Término. 1.3. 1 
Término Es una palabra o propiedad que representa a un objeto o la relación entre varios objetos. 
En el lenguaje común existen conceptos como son los enunciados, oraciones y proposiciones que ayudan 
construir la sintaxis del un idioma en particular, pero estos conceptos son muy amplios y permiten que una 
expresión o termino pueda tener varios significados, lo cual es un problema para utilizarlo en la ciencia donde 
cada termino debe tener una y solo una interpretación. A continuación expondremos estos conceptos de 
acuerdo con el idioma Español. 
1.3.1. Enunciados 
Los enunciados están constituidos de manera diversa, según las palabras que lo forman y las relaciones 
que se establecen entre ellas. 
Llamamos enunciado a cada secuencia delimitada entre dos silencios, marcada por una determinada curva 
entonativa, y que constituye un mensaje que ofrece sentido completo en una situación dada. El enunciado es, 
por tanto, una unidad mínima de comunicación. Existen varios tipos de enunciados 
* Enunciativos: este tipo de enunciados informan acciones que han ocurrido en el pasado, están ocurriendo 
en ese preciso momento o pasarán en el futuro. Algunos ejemplos son: 
Ejemplos. 1.3. 1 
1. Ayer estuve de visita en la casa de José. 
2. Me estoy comiendo un helado de chocolate y vainilla. 
3. Mañana mi tía entra al trabajo más tarde. 
4. Miguel está enfermo desde la semana pasada. El viernes voy al cine con mis primas. 
* Dubitativos: en este caso las ideas expresadas tienen un carácter dudoso o solo existe la posibilidad de 
que se hagan realidad. Algunos ejemplos de estos enunciados son: 
Ejemplos. 1.3. 2 
1. Quizá llueva esta noche. 
2. Es probable que mañana me levante muy temprano para hacer compras Posiblemente Romina 
llegue tarde. 
6 Antalcides Olivo
1.3. Enunciados y proposiciones 
Ejemplos. 1.3. 2 (Continuación) 
3. Tal vez el viernes vamos a comer a la casa de Agustín. 
4. Puede ser que salgamos en veinte minutos. 
* Interrogativos: estos enunciados son utilizados para formular preguntas. Algunos ejemplos son: 
Ejemplos. 1.3. 3 
1. ¿Qué hora es? ¿Cómo estás? 
2. ¿Falta mucho para llegar? 
3. ¿Has hablado con Esteban en los últimos días? 
4. ¿Entendiste la última pregunta del examen de matemática? 
* Exhortativos: en este caso los enunciados son utilizados para dar órdenes, peticiones, consejos o ruegos. 
Algunos ejemplos son: 
Ejemplos. 1.3. 4 
1. ¿Podrías traerme un vaso de agua? 
2. ¡No vayas por allá! Trata de no llegar tarde esta noche. 
3. Me alcanzarías los papeles que están sobre la mesa por favor. 
4. Cierra las ventanas de tu cuarto. 
* Exclamativos: estos enunciados son utilizados para expresar emociones, como alegría, dolor, nostalgia, 
ira, etc. Por ejemplo: 
Ejemplos. 1.3. 5 
1. ¡Cuánto me alegra que hayas podido venir! 
2. ¡Estoy muy enojada con tu primo! 
3. ¡Es un día precioso! 
4. ¡Estoy muy feliz! ¡Siento mucho la muerte de tu gato! 
Antalcides Olivo 7
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
1.3.1.1. Oración 
Llamamos oración a un tipo particular de enunciados caracterizado por la presencia de una forma verbal: 
Si el verbo establece con el sujeto una relación predicativa basada en la concordancia de persona y número, 
se trata de una oración personal. Si la relación predicativa no es posible, la oración es impersonal. 
En la escritura, una oración se reconoce porque comienza con grafía inicial mayúscula y termina con un 
punto. 
La oración es una unidad: 
semántica, con sentido completo en sí misma; 
fonética, con pausas orales delimitadas y marcadas; y 
sintácticamente independiente. 
Cuando una oración incluye uno o más enunciados pasa a ser compuesta. Si no es así, se trata de una oración 
simple. 
Es decir la oración es la unidad lingüística más pequeña que tiene sentido propio (sujeto y predicado), 
sintácticamente independiente, donde : 
Sujeto : Es la persona, animal o cosa de la que se dice algo. Para localizarlo se pregunta ¿Quién?, ¿Quiénes? 
o ¿Qué cosa?, ¿Qué cosas? al verbo. El sujeto concuerda siempre en persona y número con el verbo: A Luis 
le gustan las canciones de Bisbal. “Las canciones de Bisbal” es el Sujeto porque responde a la pregunta 
¿qué cosas le gustan a Luis? Y porque concuerda en persona y número (ellos/ellas) con el verbo. 
Predicado : Es lo que se dice del sujeto. Para localizarlo es fácil: "Lo que no es sujeto". 
Clases de sujetos. 
Sujeto expreso . Es el que aparece en la oración y lo llamaremos Sujeto 
Sujeto omitido o elíptico . Es el sujeto que no aparece pero que nos descubre el verbo. 
Ejemplos. 1.3. 6 
1. 
Alfonso corre mucho. 
Sujeto Predicado 
2. 
Corren mucho. (Ellos/as) 
Predicado Sujeto omitido 
8 Antalcides Olivo
1.3. Enunciados y proposiciones 
1.3.1.2. Frase 
Los enunciados que carecen de una forma verbal personal son las denominadas frases . Los constituyentes 
de las frases son siempre palabras de índole nominal, esto es, sustantivos, adjetivos o adverbios. Al no existir 
un núcleo verbal del que dependan sus demás componentes, las relaciones internas no son idénticas a las que 
se establecen en la oración. Por ello, las frases no deben clasificarse por analogía con las oraciones a las que 
pudieran ser semánticamente equivalentes. 
Las frases pueden ser constituidas por una sola palabra (¡Lástima!, ¡gracias!, ¡vaya!), (¡Mi alma!, ¡buenas 
tardes!, ¡a estudiar mucho!, ¡gajes del oficio!). Por ejemplo: 
Ejemplos. 1.3. 7 
1. Perro ladrador, poco mordedor. 
2. Prohibida la entrada. 
3. ¡Qué tiempos aquellos! 
4. A mal tiempo, buena cara. 
5. ¡A mi edad, hacer estas cosas! 
6. De tal palo, tal astilla. 
7. En casa del herrero, cuchillo de palo. 
8. Vivir para ver. 
1.3.1.3. Proposición: 
Es parecida a la oración, pero carece de un elemento y se puede interpretar como la unidad de lenguaje 
que tiene sujeto y predicado, verbo en modo personal, pero cuyo sentido es incompleto. 
Esta unidad de lenguaje depende de otra con sentido completo. También recibe el nombre de oración 
subordinada, es decir. 
La proposición es un sintagma más reducido que la oración. Y por lo tanto, cualquiera que sea su estructura, 
estará siempre incluida en la oración. 
Tanto la oración como la proposición son unidades semánticas, sintácticas y fonéticas. La diferencia estriba 
en que la proposición es una unidad menor y formante de la oración compuesta, ya sea por coordinación o por 
subordinación. 
Por lo tanto, la proposición es también una unidad: 
Antalcides Olivo 9
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
* semántica, sin sentido completo en sí misma o si lo tiene, por ser un miembro de la oración a que 
pertenece, será un sentido más restringido; 
* fonética, sin pausas tan delimitadas, marcadas gráficamente por la coma o el punto y coma; y 
* sintáctica, con enlaces gramaticales que la hacen dependiente de una oración principal o la relacionan 
con otra u otras proposiciones. 
Podemos clasificar las proposiciones de la siguiente forma: 
* Proposición Sustantiva: Equivale a un sustantivo y funciona como tal en la oración compuesta. Funciona 
sintácticamente como: 
Ejemplos. 1.3. 8 
Sujeto: 
1. Es necesario que te levantes temprano. 
2. Lo racional es que continúes trabajando. 
3. Parecía injusto que se olvidara de mí. 
Ejemplos. 1.3. 9 
Complemento directo: 
1. Veo lo que dices. 
2. Pide lo que quieras. 
3. Olvidé decirle a Carlos lo que me habías encargado. 
4. Dijeron que vendrían hoy. 
Ejemplos. 1.3. 10 
Complemento de un adjetivo: 
1. Pedro está arrepentido de lo que hizo. 
2. El jurado está convencido de que el reo es inocente. 
3. El niño está cansado de que no lo tomen en serio. 
10 Antalcides Olivo
1.3. Enunciados y proposiciones 
Ejemplos. 1.3. 11 
Complemento de un adverbio: 
1. Ella está muy lejos de que la inviten. 
2. El pueblo está más cerca de lo que imaginan. 
* Proposición Adjetiva: Equivale a un adjetivo. Cumple sus mismas funciones. Nada más que en lugar 
de ser una sola palabra constituyen una oración subordinada. Hay proposiciones adjetivas de sujeto 
y en el complemento indirecto. Cabe mencionar que el subordinante "Que" es el más empleado en las 
proposiciones adjetivas. 
* Proposición Adjetiva de sujeto: Modifican directamente al núcleo del sujeto. Fíjate en las siguientes 
oraciones: 
Ejemplos. 1.3. 12 
1. El marido que respeta a su mujer cumple con su deber. 
2. El cuadro que adquirieron ayer no vale lo que pagaron. 
3. Ese club, al cual se adhirieron ayer, cumple bien sus funciones. 
4. El periódico cuyo director renunció, subirá de prestigio. 
5. La silla donde te sentaste está rota. 
Está muy clara la función desempeñada por las proposiciones resaltadas: modifican al sustantivo, núcleo 
del sujeto, que es su antecedente. 
* Proposición Adjetiva en el complemento directo: Modifican directamente al núcleo del complemento 
directo (El complemento directo es el nombre del objeto que se ve afectado por la acción del verbo). 
Nota que inmediatamente después del sustantivo viene la proposición que se convierte en el complemento 
directo. 
Ejemplos. 1.3. 13 
1. Te escribí una carta en la que te informaba sobre el nuevo carro. 
2. Deberías apreciar el regalo que te hizo Bertha. 
3. Algún día visitarás la casa que tengo en El Valle. 
Antalcides Olivo 11
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Ejemplos. 1.3. 13 (Continuación) 
4. Todavía estoy esperando la cena que me prometiste. 
5. Me sacaron la muela que me dolía mucho. 
* Proposición Adjetiva en el complemento indirecto: Modifican directamente al núcleo del complemento 
indirecto (El complemento indirecto siempre va precedido de las preposiciones a y para). Analiza las 
siguientes oraciones compuestas: 
Ejemplos. 1.3. 14 
1. Regalé ropa y cobijas a la Cruz Roja, que necesita de todos nosotros. 
2. Escogieron una bellísima canastilla para la joven que va a cumplir quince años. 
3. Los distintos clubes sociales de la ciudad dieron su aportación para los niños que sufren poliomielitis. 
4. Trajeron la tarjeta de crédito para el señor que vive al lado. 
5. Llegó un telegrama para el hombre cuyo padre vive en Europa. 
Las proposiciones están modificando al sustantivo que es núcleo del complemento indirecto. 
* Proposición Adjetivas en el complemento circunstancial: Modifican directamente al núcleo del comple-mento 
circunstancial. 
Ejemplos. 1.3. 15 
1. Juan está en la casa donde encontraron oro. 
2. Te espero en el café que está en la calle Morelos. 
3. Escuché la conferencia de Raiza en Pedasí, cuyas playas son formidables. 
4. Me quedo con la carretilla que tiene más espacio. 
5. No voy al cine que exhibe películas de guerra. 
* Proposiciones Adjetivas en el predicado nominal: Modifican al núcleo del predicado nominal, cuando es 
un sustantivo o equivalente. Como en las siguientes oraciones: 
12 Antalcides Olivo
1.3. Enunciados y proposiciones 
Ejemplos. 1.3. 16 
1. Hortensia es la persona a quien he estado buscando. 
2. Los niños son los seres que tienen mayor inocencia. 
3. Apreciar esta pintura es la forma como se concilia uno con el mundo. 
4. Estos son los poemas cuyos autores no los hubieran escrito sin sentirse realmente desolados en el 
universo. 
En estos casos las proposiciones adjetivas están modificando directamente a los sustantivos que están 
funcionando como núcleos del predicado nominal. 
1. persona; 
2. seres; 
3. forma; 
4. poemas. 
Los subordinantes son respectivamente: quien, que, como, cuyos. 
* Proposiciones Adjetivas explicativas: Añaden una cualidad al sustantivo que están modificando directa-mente, 
van entre comas. De hecho las comas son la principal forma de diferenciarlas de las especificativas. 
La proposición en sí no es indispensable para dar sentido cabal a la oración. 
Ejemplos. 1.3. 17 
1. Socorrimos a la madre, que estaba gritando. 
2. Escoge la corbata roja, que es la más fina de todas. 
3. Los niños, que iniciaron el juego, llegaron primero. 
* Proposiciones Adjetivas especificativas: Limitan al sustantivo al cual están determinando; restringen 
el sentido de lo enunciado. La proposición en si es indispensable para dar sentido cabal a la oración. 
Ejemplos: 
Ejemplos. 1.3. 18 
1. Los niños que iniciaron el juego llegaron primero. 
Antalcides Olivo 13
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Ejemplos. 1.3. 18 (Continuación) 
2. Adquirimos los libros que estaban en oferta. 
3. La alberca que estaba recién pintada fue inaugurada. 
Ejemplo. 1.3. 1 Oración compuesta (por una proposición subordinada) 
La madre creyó que el niño dormía en su cuna. 
Oración compuesta en donde encontramos una frase subordinada: que el niño dormía en su cuna. El sujeto 
de la oración es La madre y el predicado es creyó que el niño dormía en su cuna. El niño es el sujeto de la 
proposición y dormía en su cuna es el predicado de la proposición. 
1.3.2. Proposición lógica1 
De acuerdo con lo expuesto anteriormente vemos la necesidad de establecer un concepto menos amplio de 
enunciado y de proposición por lo que estableceremos un nuevo concepto determinado como 
Término no defnido. 1.3. 1 Enunciado lógico 
Un enunciado lógico es una oración o conjunto de oraciones con sentido completo. 
En este concepto usaremos el concepto de oración en toda su dimensión, pero no así el de enunciado. 
Presentaremos dos ejemplos de Enunciados lógicos 
* Escuché la conferencia de Raiza en Pedasí, cuyas playas son formidables. 
* Estos son los poemas cuyos autores no los hubieran escrito sin sentirse realmente desolados en el universo. 
Ahora presentaremos un nuevo concepto como un término que se construye a partir de uno ya conocido. 
Definición. 1.3. 1 Proposición lógica 
Una proposición lógica es un enunciado lógico al cual se le puede asignar un valor de verdad, es decir 
puede ser falso o verdadero, pero no ambas. 
1Aquí empieza la construcción axiomática de la lógica. 
14 Antalcides Olivo
1.3. Enunciados y proposiciones 
Nota: De aquí en adelante a las proposiciones lógicas y a los enunciodos lógicos los llamaremos simplemente 
proposiciones y enunciados, a no ser que no estemos en el contexto de la lógica matemática, por que en ese 
caso debemos hacer la aclaración 
Por ejemplo: 
* 3 + 2 = 5. De acuerdo con la definición de adición entre naturales, este enunciado es verdadero, por lo 
tanto es una proposición. 
* Mañana llueve. esto es algo que no se puede saber antes de termine el día, por lo tanto no se le puede 
asignar un valor de verdad, es decir este enunciado no es una proposición. 
Notación: Las proposiciones lógicas serán denotadas generalmente con letras minúsculas p, q, r , t, etc. 
A la veracidad o falsedad de una proposición se denomina valor de verdad. 
Definición. 1.3. 2 Valor de verdad 
Se llama valores de verdad de una proposición a sus dos valores posibles; verdadero o falso. 
Estos posibles valores se puede esquematizar en una tabla, llamada tabla de verdad, en la forma. 
Cuadro 1.1: Tabla de verdad 
p 
f 
v 
1.3.2.1. Clasificación de proposiciones 
Proposiciones atomicas o simples 
Las proposiciones atómicas ó simples, son las proposiciones que no utiliza conectivos lógicos. 
Proposiciones Moleculares o compuestas 
Cuando las proposiciones costan de una única oración es fácil especificar su valor de verdad, pero cuando 
consta de varias oraciones, no lo es tanto; además debemos establecer la forma de conectar las oraciones para 
que tengan sentido, completo, por lo que se hace necesario establecer una serie de términos para este fin, 
estos términos son los llamados conectivos lógicos. Y las proposiciones que los usan se llaman proposiciones 
compuestas o moleculares. 
Conectivos lógicos 
Son expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones, entre los más importantes conectivos lógicos 
tenemos. La conjunción, disyunción, condicional, bicondicional, negación, esto mostraremos en la siguiente 
tabla: 
Antalcides Olivo 15
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Cuadro 1.2: Tabla de los conectivos lógicos 
Símbolo lógico Expresión 
^ p y q 
_ o p o q 
Y p ó q 
! Si p, entonces q 
 ! p si y sólo si q 
o ¬ ni p, no p 
Nota: Generalmente usamos el conectivo _ de la siguiente forma 2 es par o 3 es impar, en vez de o 2 es 
par o 3 es impar. también se puede usar: 2 es par o/y 3es impar. 
* Ejemplos de proposiciones atómicas. 
Ejemplos. 1.3. 19 
1. 6 es par. 
2. 2+5=7. 
3. p2 es un número real. 
* Ejemplos de proposiciones moleculares. 
Ejemplos. 1.3. 20 
1. 6 es par y 5 es primo. 
2. Si 3+5=8, entonces la suma de primos no es primo. 
3. o p 
−2 no es un número real o p2 es real. 
1.3.2.2. Tipo de proposiciones 
Término. 1.3. 2 Tautología 
Una tautología es una proposición que siempre es verdadera. 
A las tautologías a veces en matemáticas se les llama verdades o afirmaciones. Las verdades generales de las 
matemáticas se deducen a partir del razonamiento lógico, siendo las premisas o afirmaciones, las definiciones, 
postulados o principios previamente establecidos. El razonamiento utilizado para establecer cualquier verdad 
o principio es llamado una demostración. 
16 Antalcides Olivo
1.3. Enunciados y proposiciones 
Término. 1.3. 3 Falacia 
Una falacia o contradicción es una proposición que siempre es falsa. 
Término. 1.3. 4 Contingencia 
Las contingencia son proporciones compuestas que no son ni tautología ni contradicciones, es decir, son 
proposiciones que en algunos casos es f, y en otros es v. 
1.3.2.3. Tipos de tautologías 
Los siguientes términos son siempre tautologías 
Término. 1.3. 5 Definición 
Una definición es una afirmación que explica el significado de un término o una palabra, en función de 
palabras o términos conocidos. 
En caso de que un término no se pueda expresar en función de otros términos ya establecidos, se dice que 
es un término no definido. 
Término. 1.3. 6 Teorema 
Un teorema es una verdad que requiere demostración. 
Término. 1.3. 7 Axioma 
Un axioma es una verdad auto-evidente. 
Un PROBLEMA es una situación o proposición que requiere solución. 
Término. 1.3. 8 Postulado 
Un Postulado es un problema auto-evidente. 
Antalcides Olivo 17
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Término. 1.3. 9 Hipótesis 
Una hipótesis es una suposición hecha, bien en el texto de una proposición, o en el curso de una 
demostración. 
1.4 Conjunto y operaciones con proposiciones 
Antes de seguir con la construcción de la lógica matemática debemos conocer los conceptos de conjunto, 
producto cruz, relación y función. 
Término no defnido. 1.4. 1 Conjunto 
Un conjunto es o la existencia o agrupación de objetos que poseen varias características en común, ó la ausencia 
de objetos. 
Realmente un conjunto es una estructura mental con alguna de las siguientes características : 
* No posee objetos. 
* Posee sólo un objeto. 
* Posee muchos objetos. 
* Posee infinitos objetos 
Nota: Los objetos que se encuentran en un conjunto se les llama elementos 
Hasta ahora no hemos explicado como se representan los conjuntos , ya que recordemos que los conjuntos 
son estructuras abstractas. 
Los conjuntos se pueden representar de dos maneras por extensión y por comprensión. 
Término. 1.4. 1 Conjuntos por extensión 
Un conjunto esta representado por extensión cuando los elementos del conjunto se listan entre llaves. 
Por ejemplo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } 
Término. 1.4. 2 Conjuntos por compresión 
Un conjunto esta representado por comprensión cuando los elementos del conjunto se clasifican especificando 
una o varias propiedades que los identifica. 
18 Antalcides Olivo
1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones 
Ejemplo. 1.4. 1 representación de conjuntos 
* Los números pares. 
* Los carros marca Ford. 
Notación: A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B C, . . . , etc. Y a los elementos se 
les representa con lestras minúsculas a, b, c . . . etc. Cuando un elemento a se encuentra en un conjunto B se 
denota a 2 B. “ Se lee a pertenece a B.” 
Ejemplo. 1.4. 2 Notación de conjuntos 
Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5,6} tenemos. 
* 3 2 A, se lee 3 pertenece al conjunto A. 
* 5 /2 A, se lee 2 no pertenece al conjunto A. 
Nota: Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos 
1.4.1. Proposiciones abiertas 
Regresando al concepto de proposición lógica, donde las expresiones solo pueden ser falsas o verdaderas, 
nos encontramos regularmente en matemáticas con expresiones como 
* x2 −5x + 6 = 0. 
* x + 1 = 3. 
* x2 −9 = (x −3) (x + 3) . 
* x2 = 25 ^ x + 1 = 6. 
En estos enunciados no es posible deducir el valor de verdad, porque no conocemos el valor de x, pero si 
por ejemplo en la expresión x + 1 = 3 decimos que x = 3 entonces el enunciado es verdadero y es falso si 
x6= 3, por lo tanto la expresión es una proposición. 
Para poder trabajar con este tipo de expresiones es necesario especificar que es x, lo que estudiaremos a 
continuación. 
Antalcides Olivo 19
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Definición. 1.4. 1 Variable 
Una variable es un termino que representa cualquier elemento de un conjunto en particular y puede ser 
sustituido por cualquier elemento del conjunto. 
Ejemplo. 1.4. 3 Variable 
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. x es par, para algúnx 2 A. 
En este caso la variable es x y la proposición es cierta si x = 2, ya que 2 2 A. 
Definición. 1.4. 2 Constante 
Una constante es un termino que representa a un elemento fijo de un conjunto. 
Notación: Las variables se representan generalmenta con las letras minúsculas l, · · · , u, v, w x, y, z y 
las constantes generalmente con las letras minúsculas a, b c, · · · , k. 
Nota: Las letras i, j, k, n y m, como variables, generalmente representan números naturales. 
Definición. 1.4. 3 Proposiciones abiertas 
Una proposición abierta es aquella donde el sujeto o los sujetos son representados por variables 
Ejemplos. 1.4. 1 Proposiciones abiertas 
* x2 −5x + 6 = 0, x 2 IR. 
* x + 1 = 3, x 2 IR. 
* x2 −9 = (x −3) (x + 3) , x 2 IR. 
* x2 = 25 ^ x + 1 = 6, x 2 IR. 
Definición. 1.4. 4 Dominio de una proposición abierta 
El dominio de una proposición abierta o una variable, es el conjunto de valores que puede tomar una 
variable. 
20 Antalcides Olivo
1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones 
En los ejemplos 1 el dominio de las proposiciones o de la variable es el conjunto de los números reales. 
Definición. 1.4. 5 Conjunto solución 
El conjunto solución de una proposición abierta el el conjunto de valores del dominio de una variable que 
hacen que la proposición sea verdadera. 
Ejemplo. 1.4. 4 Conjuto solución 
Dada la proposición x2 −5x + 6 = 0, x 2 IR encuentre el conjunto solución. 
Solución: Tenemos que el conjunto solución es {−3, 2} ya que 
*(−3)2 −5 (−3) + 6 = 0 y, 
* (2)2 −5 (2) + 6 = 0. 
Además −3, 2 2 IR. 
Notación: Las proposiciones abiertas se denotan p (x)ó p(x, y, · · · , z) para indicar cuales son las variables. 
Esta notación nos ayuda a representar mejor los conjuntos por extensión usando la estructura: A = {x : 
p(x), x 2 A} 
Como por ejemplo A = {x : x es impar, x 2 IN} 
1.4.2. Conjuntos especiales 
1.4.2.1. Conjunto vacío 
Definición. 1.4. 6 Conjunto vacío 
El conjunto vacío es aquel que no tiene elementos 
Notación: El conjunto vacío es único y se representa con los símbolos ; ó {}. 
1.4.2.2. Conjunto unitario 
Definición. 1.4. 7 Conjunto unitario 
Un conjunto unitario es aquel que posee un solo elemento. 
Antalcides Olivo 21
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Ejemplos. 1.4. 2 Conjuntos unitarios 
* {1} 
* {a} 
* {;} 
1.4.2.3. Conjunto universal 
Definición. 1.4. 8 Conjunto universal 
Un conjunto es universal cuando es el conjunto referencia, es decir es el conjunto que contiene a todos los 
elementos con las mismas propiedades. 
Notación: Al conjunto universal se le representa con la letra U. 
Ejemplos. 1.4. 3 Conjuntos universales 
* El conjunto de los números naturales. 
* El conjunto de las letras del alfabeto. 
* El conjunto de todos los alumnos de la Universidad Del Atlántico. 
1.4.2.4. Subconjunto 
Definición. 1.4. 9 Subconjunto 
Se dice que un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B. Si A contiene sólo elementos de B ó 
ningún elemento. 
Esta definición nos asegura que el vacío es subconjunto de cualquier conjunto. 
Notación: Si A es subconjunto de B se denota A  B ó B  A. 
22 Antalcides Olivo
1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones 
Ejemplo. 1.4. 5 Subconjunto 
Sea A = {x : x es una letra del alfabeto español} ¿Cuales de los siguientes conjuntos son subconjunto de A 
1. B = {a, b, c, d}. 
2. C = {;}. 
3. D = ;. 
4. E = {, a, b}. 
Solución: B y D ya que CA porque ? no es un elemento de A sino un subconjunto y DA porque  
no es una letra del alfabeto español. 
Diagramas de Venn 
anteriormente dijimos que los conjuntos podíamos representarlos por extensión y por comprensión, pero 
en algunas ocasiones es mejor representarlos gráficamente, utilizando un rectángulo para el conjunto universal 
y los conjuntos con figuras geométricas en su interior. 
por ejemplo sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} el conjunto referencia de los conjuntos A = {1, 4, 5, 7} ,B = 
{2, 4, 7, 6} y C = {3, 5, 6, 7} entonces podemos representarlos así. 
U 
4 
1 2 
7 
5 6 
3 
8 
A B 
C 
1.4.2.5. Producto cruz 
Definición. 1.4. 10 Producto cruz 
Sean A y B conjuntos no vacíos, se llama producto cruz al conjunto de elementos que tienen la forma (x, y) 
de tal manera que x 2 A y y 2 B. Es decir los elementos de A están en la primera posición y los elementos de 
B están en la segunda posición del termino (x, y) . 
Notación: Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío, el producto cruz entre los conjuntos A y B se 
denota A×B. 
Antalcides Olivo 23
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Nota: Al elemento (x, y) se le llama pareja ordenada y a x se le llama primera componente y a y segunda 
componente. 
Ejemplo. 1.4. 6 
Sean A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6} hallar 
a. A×B. 
b. B ×A. 
c. A×A 
Solución: 
a. A×B = {(1, 4) , (1, 5) , (1, 6) , (2, 4) , (2, 5) , (2, 6) , (3, 4) , (3, 5) , (3, 6)}. 
b. B ×A = {(4, 1) , (5, 1) , (6, 1) , (4, 2) , (5, 2) , (6, 2) , (4, 3) , (5, 3) , (6, 3)}. 
c. A×A = {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , (3, 1) , (3, 2) , (3, 3)}. 
Observe que A ×B6= B ×A. 
Definición. 1.4. 11 Productos cruz con el vacío 
1. ;× ;=;. 
2. A×; = ;. 
1.4.2.6. Relación binaria 
Definición. 1.4. 12 Relación binaria 
Una relación binaria es un subconjunto del producto cruz diferente del vacío . 
Notación: Si una pareja (x, y) pertenece a una relación binaria R se denota xRy. Que se lee x está 
relacionada con y. 
Ejemplo. 1.4. 7 Relación binaria 
Sean A = {2, 4, 6, 8, 10} y B = {1, 2, 3, 4, 5}, indique cuales conjuntos son relaciones binarias, 
24 Antalcides Olivo
1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones 
Ejemplo. 1.4. 7 (Continuación) 
1. R1 = {(x, y) : x = y, x 2 A, y 2 B}. 
2. R2 = {(x, y) : x  y, x 2 A, y 2 B}. 
3. R3 = {(2, 1) , (4, 1) , (6, 1) , (8, 1) , (10, 1)}. 
4. R4 = {(1, 2) , (4, 5)}. 
Solución: 
1. R1 = {(2, 2) , (4, 4)}  A×B, entonces R1 es relación binaria . 
2. R2 = {(2, 3) , (2, 4) , (2, 5) , (4, 5)}  A×B, entonces R2 es relación binaria. 
3. R3 = {(x, y) : y = 1, x 2 A, y 2 B}  A×B, entonces R3 es relación binaria. 
4. R4 no es relación binaria de A en B, ya que (1, 2) /2 A×B. 
Nota: De aquí en adelante a las relaciones binarias las nombraremos sólo relaciones. 
Nota: En las relaciones a los conjuntos A y B se les llaman conjunto de partida y conjunto de llegada 
respectivamente 
1.4.2.7. Formas de representar una relación 
Existen varias formas de representar una relación, estas son: 
1. Diagrama sagital Los diagramas sagitales son representaciones donde los conjuntos de partida y de 
llegada son ovalos y las parejas ordenadas se representan con flechas, como se indica en la figura1.1 
A R B 
1 
2 
3 
4 
a 
b 
c 
Figura 1.1: Diagrama Sagital 
Antalcides Olivo 25
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
La figura 1.1 representa la relación R = {(1, a) , (2, a), (2, c), (3, b), (4, c)} 
2. Tabla de datos en esta representación se colocan las parejas en una tabla de la forma 
x x1 x2 x3 · · · 
y y1 y2 y3 · · · 
Cuadro 1.3: Tabla de datos 
Sean A = B = {1, 2, 3, 4}, indicar si la siguiente tabla representa una relación 
x 1 2 2 3 4 4 
y 1 2 4 3 2 4 
Cuadro 1.4: Ejemplo de una tabla de datos 
Ejemplo. 1.4. 8 
Como observamos la tabla representa un subconjunto de A×B, por tanto es una relación de A en B. 
3. Una gráfica Esta forma de representar una relación su usa generalmente cuando los conjuntos de partida 
y de llegada son números ordenados y para ello se usan las coordenadas rectangulares que se dibujan de 
la siguiente forma 
a) El conjunto de partida se representa con una linea horizontal llamada eje X, y en el se coloca un 
punto por cada elemento del conjunto 
b) El conjunto de llegada se representa con una linea vertical llamada eje Y , y en el se coloca un 
punto por cada elemento del conjunto. 
c) Para representar la pareja (x4, y5) se traza una paralela al eje X que pase por y5, luego se traza 
una paralela al eje Y que pase por x4 y el punto de intersección de estas dos rectas representa a 
(x4, y5). 
Y 
y5 
y4 
y3 
y2 
y1 
(x4, y5) 
O 
0 X 
x−1 x1 x2 x3 x4 x5 
y−1 
26 Antalcides Olivo
1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones 
d) Utilizando el paso anterior se representan todas las parejas de la relación. 
Ejemplo. 1.4. 9 
Sean A = B = (−1, 7), representar gráficamente la relación R = {(x, y) 2 A×B : y  x} 
7 
Y 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
0 
X 
−1 1 2 3 4 5 6 7 
4. Una proposición abierta. Las proposiciones abierta o fórmulas como por ejemplo anterior y  x. 
5. Consideremos ahora las relaciones sobre el mismo conjunto es decir si A es un conjunto entonces la 
relación R : A ! A, cuando Aes un conjunto finito. En este caso usamos un diagrama llamado grafo 
dirigido. 
Un grafo dirigido es un conjunto de puntos (llamados vértices) y un conjunto de flechas entre los vértices 
como mostraremos en el siguiente ejemplo 
Ejemplo. 1.4. 10 
Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4} y la relación R = {(1, 2), (2, 3)}  A×A construya su grafo dirigido. 
Solución: 
1 2 
4 3 
Figura 1.2: Grafo de una relación 
La manera de asociarle un grafo a una relación R  A × A es poner como vértice los elementos del 
conjunto A y luego una flecha por cada elemento de R. 
Antalcides Olivo 27
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Si (x, y) 2 R, la flecha asociada es la parte del vértice a y llega al vértice y. Por ejemplo 
Ejemplo. 1.4. 11 
Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4} y la relación R = {(1, 1), (1, 3) , (3, 2) , (2, 4) , (4, 2)}  A×A construya 
su grafo dirigido. 
Solución: 
1 2 
4 3 
Figura 1.3: Grafo de una relación {(1, 1), (1, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2)} 
Nota: A los conceptos de igualdad y subconjunto se les llama relaciones de contenencia entre conjuntos. 
1.4.2.8. Función 
Se va a introducir el concepto de función, hablando libremente una función f de un conjunto A en un 
conjunto B es una regla (procedimiento o mecanismo) que nos transporta de un conjunto a otro de manera 
que asociamos cada elemento de A un único elemento en B. 
Definición. 1.4. 13 Función 
Consideremos dos conjuntos cualquiera A y B no vacíos, al conjunto f le llamaremos función de A en B, 
si y sólo si, se verifica: 
i) f  A×B, es decir f es una relación de A×B. 
ii) Si (x1, y1) 2 f y (x1, y2) 2 f, entonces y1 = y2. 
Nota: La segunda condición indica, que dos parejas ordenadas distintas no pueden tener la misma primera 
componente. 
Observaciones 
28 Antalcides Olivo
1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones 
* A una función f de A en B la denotaremos por f : A ! B 
x7! y 
ó A 
f! 
B y se lee “ f es una 
función de A en B”, donde el conjunto A le llamamos conjunto de partida y el conjunto B le llamaremos 
conjunto de llegada. 
* Si el par (x, y) 2 f, escribimos y = f (x) y se dice que y es imagen de x por f ó también, que y = f (x) 
es el valor de f en x. 
* También se puede decir que y = f (x) si y sólo si (x, y) 2 f. 
* Otra forma de representar una función es f = {(x, y) 2 A×B : y = f (x)} 
* Una consecuencia inmediata de la definición es que toda función es una relación pero no toda relación 
es una función. 
Ejemplo. 1.4. 12 Función 
Dada la relación R = {(1, 2) , (2, 3) , (3, 4) , (2, 5)} indicar si R es una función. 
Solución: R no es una función, puesto que para la componente 2 existen dos componentes 3 y 5 tales que 
(2, 3) y (2, 5) 2 R, lo que contradice la segunda condición de la definición de función. 
Sean A = {1, 5, 7, 11} y B = {a, b, c, d}. Indique si el diagrama representa una función 
A B 
11 
7 
5 
1 
d 
c 
b 
a 
f 
Ejemplo. 1.4. 13 
Solución: El diagrama nos indica que 1fa y que 1fc, por tanto existen dos parejas diferentes de f con la 
primera componente igual, lo que contradice la definición de función. 
Nota: Sea f : A 
f! 
B una función de A en B, llamaremos dominio de la función f, al conjunto de todas 
las primeras componentes, el cual denotaremos por Df , es decir: 
Antalcides Olivo 29
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Dom(f) =Df = {x 2 A : tal que existe un y 2 B ^ (x, y) 2 f}  A. 
Llamaremos rango de la función f al conjunto de las imágenes de todos los elementos de A, mediante f al 
cual denotaremos por Rf es decir: 
Im (f) = Rf = {y 2 B : tal que existe un x 2 A ^ (x, y) 2 f}  B. 
Ejemplo. 1.4. 14 
Sea f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6).(7, 8)} una función, entonces su dominio y rango son: Df = {1, 3, 5, 7}; 
Rf = {2, 4, 6, 8}. 
Aplicación 
A una función f, le llamaremos aplicación de A en B, si y sólo si: Df = A. 
Ejemplo. 1.4. 15 
Sean A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, calcule A×B 
a) El conjunto f = {(1, 4), (3, 2)} es función, donde Df = {1, 3} y Rf = {4, 2} pero f no es una 
aplicación de A en B puesto que Df6= A. 
b) El conjunto f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6)} es una función donde: Df = {1, 3, 5} y Rf = {2, 4, 6}, como 
Df = A entonces f es una aplicación de A en B. 
Función Compuesta 
En matemáticas se conoce la composición como el anidamiento de dos o más funciones para formar una 
nueva función única. La composición de dos funciones se denota como: (f  g) (x) 
En otras palabras entendemos la composición de funciones como la aplicación de dos o más funciones de 
forma consecutiva, es decir primero se compone una, con el resultado obtenido se compone la segunda, con el 
resultado de la segunda se compone la tercera y así sucesivamente. 
El procedimiento que lleva a cabo la composición es denominado como la regla de la cadena. 
Dadas dos funciones f(x) y g(x) , definimos la composición como la función que obtenemos en aplicarle 
a la función f las imágenes de g(x). Es decir primero se aplica la función g(x) y después f(x) al resultado, 
quedando f [g (x)]. 
30 Antalcides Olivo
1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones 
Como vemos gráficamente, debemos seguir un orden inverso para aplicar la composición. Con orden 
descendente, desde la función de más hacia la derecha hasta la función inicial 
Definición. 1.4. 14 Función Compuesta 
Consideremos tres conjuntos cualquiera A, B y C no vacíos y las funciones denotadas por 
g : A ! B 
x7! z 
y f : B ! C 
z7! y 
, definimos la función f compuesta g al conjunto 
(f  g) = {(x, y) 2 A×C : y = f [g (x)] , g (x) 2 B} 
o 
(f  g) = {(x, y) : 9z 2 B, que forma las parejas (x, z) 2 g ^ (z, y) 2 f} . 
El siguiente diagrama nos muestra la estructura la composición de funciones. 
g 
A B 
C 
f  g 
f 
Ejemplo. 1.4. 16 
Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {1, 2, 3}, C = {1, 4, 5, 8} y las funciones g = {(1, 2) , (3, 2) , (4, 1) , (2, 1)} , 
f = {(2, 1) , (1, 4) , (3, 5)}. Determine f  g 
Solución: Note que (1, 2) 2 g y (2, 1) 2 f, entonces (1, 1) 2 f  g de manera análoga se encuentran todos 
los elementos del conjunto f  g = {(1, 1) , (3, 1) , (4, 4) , (2, 4)}, ¿será f  g función?, se podrá asegurar de 
acuerdo con este ejemplo que dada dos funciones, la composición entre ellas existe y es función. 
Antalcides Olivo 31
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Pregunta 
Si suponemos que g : A ! B y f : C ! D. ¿ Que condición hay que pedirle a 
f y g para poder hacer la composición f  g? 
Respuesta: Si queremos definir (f  g) (a) = f [g (a)], entonces precisamos que g (a) 2 C. Luego la 
condición necesaria y suficiente para poder componer f con g es que Im(f)  C, o sea que la imagen de g 
está contenida en el dominio de f . 
1.4.3. Operaciones entre proposiciones 
En en sistema axiomático son importantes las operaciones que se pueden realizar con sus elementos, pero 
en este punto es necesario definir lo que es una operación. 
Definición. 1.4. 15 Operación binaria 
Dados tres conjuntos A,B y C no vacíos, una operación binaria es una aplicación de la forma : 

: A×B ! C 
(x, y)7! z 
Notación: Si ((x, y) , z) 2 
 se denota x 
y = z. 
Note que si tenemos las aplicaciones g : A ! B , f : B ! C. y h : A ! C la 
composición de aplicaciones es una operación binaria de 
n 
g : A ! B 
o 
× 
n 
f : B ! C 
o 
! 
n 
h : A ! C 
o 
. 
Como ejemplos de operaciones veremos a continuación las operaciones entre proposiciones. 
Si convenimos en considerar el conjunto U de todas las posibles proposiciones del lenguaje como conjunto 
universo, y además el conjunto V = {v, f} el conjunto de los valores de verdad de una proposición. Entonces 
podemos definir las siguientes aplicaciones : 
P: U ! V 
p7! x 
, 
 : V ×V ! V 
(x, y)7! z 
, R
 : U ×U ! U 
(p, q)7! r 
y 
O
 : U ×U ! V ×V 
(p, q)7! (x, y) 
* La aplicación P establece que a cada proposición se le puede asignar un valor y sólo un valor de verdad, 
lo que está de acuerdo con la definición, y que cada proposición tiene asignado un valor de verdad. 
32 Antalcides Olivo
1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones 
* La operación 
 establece que dados dos valores de verdad estos se pueden operar y obtener un único 
valor de verdad 
* La operación R
 establece que dadas dos proposiciones se pueden operar y obtener una única proposición. 
* La operación O
 establece que dadas dos proposiciones se pueden operar y obtener una pareja ordenada 
de valores de verdad. 
Teniendo en cuenta las aplicaciones definidas podemos establecer las siguientes estructuras 
R
 
U × U U 
× 
O
 P 
V ×V V 

 
En el diagrama anterior se nos muestra dos caminos para realizar la composición × que necesitamos, el 
camino que se muestra en rojo nos presenta la dificultad que sería una composición entre una operación binaria 
y una aplicación, mientras que el camino que está en azul nos muestra la composición de dos operaciones 
binarias por lo que escogeremos está para construir las operaciones entre proposiciones lógicas. 
De acuerdo con lo anterior nos queda la siguiente estructura para la operación ×. 
× : U ×U 
R
 ! V ×V 
O
 ! V 
Usando ésta estructura podemos definir las siguientes operaciones entre proposiciones. 
Nota: En este curso no demostraremos que las operaciones están bien definidas, es decir que es una 
función y el conjunto de partida es igual al conjunto de llegada, como tampoco la existencia y unicidad de 
ellas. 
1.4.3.1. Conjunción 
La conjunción es la operación de la forma O^ : U ×U ! U 
(p, q)7! p ^ q 
de tal forma que se pueden 
operar sus valores de verdad usando la definición 
^ : V ×V ! V 
(x, y)7! z 
, obtenemos una estructura de 
la forma: ^ : U ×U 
O^ ! V ×V 
^! 
V . 
Antalcides Olivo 33
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Definición. 1.4. 16 Conjunción 
La ley que establece la conjunción es la siguiente: la conjunción es verdadera, sólo si las dos proposiciones 
son verdaderas. 
Cuadro 1.5: Tabla de verdad de la conjunción 
p q p ^ q 
v v v 
v f f 
f v f 
f f f 
Ejemplo. 1.4. 17 Conjunción 
Sí p : 4  7 y q : 6 es número par. Calcular el valor de verdad de p ^ q. 
Solución: 
Cuadro 1.6: Tabla de verdad 
p q p ^ q 
v v v 
1.4.3.2. Disyunción 
La disyunción es la operación de la forma O_ : U ×U ! U 
(p, q)7! p _ q 
de tal forma que se pueden 
operar sus valores de verdad usando la definición 
_ : V ×V ! V 
(x, y)7! z 
, obtenemos una estructura de 
la forma: _ : U ×U 
O_ ! V ×V 
_! 
V . 
Definición. 1.4. 17 Conjunción 
La ley que establece la disyunción es la siguiente: la disyunción es falsa, sólo si las dos proposiciones son 
falsas. 
34 Antalcides Olivo
1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones 
Cuadro 1.7: Tabla de verdad de la disyunción 
p q p _ q 
v v v 
v f v 
f v v 
f f f 
Ejemplo. 1.4. 18 Disyunción 
Sí p : 7  9 y q : 4  5. Calcular el valor de verdad de p _ q. 
Solución: 
Cuadro 1.8: Tabla de verdad 
p q p _ q 
f v v 
1.4.3.3. Condicional 
La condicional es la operación de la forma O! : U ×U ! U 
(p, q)7! p ! q 
de tal forma que se pueden 
operar sus valores de verdad usando la definición 
!: V ×V ! V 
(x, y)7! z 
, obtenemos una estructura de 
la forma: !: U ×U 
O! ! V ×V 
! 
! V . 
Nota: En la condicional a la proposición p se le llama antecedente y a q consecuente. 
Definición. 1.4. 18 Condicional 
La ley que establece la condicional es la siguiente: la bicondicional es verdadera cuando las dos proposiciones 
tienen el mismo valor de verdad. 
Cuadro 1.9: Tabla de verdad de la bicondicional 
p q p  ! q 
v v v 
v f f 
f v f 
f f v 
Antalcides Olivo 35
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Ejemplo. 1.4. 19 Condicional 
Sea p : Cristóbal Colón descubrió América. ; q : 6 + 3 = 8 Hallar el valor de verdad de p ! q 
Solución: 
Cuadro 1.10: Tabla de verdad 
p q p $ q 
v f f 
1.4.3.4. Bicondicional 
La bicondicional es la operación de la forma O ! : U ×U ! U 
(p, q)7! p $ q 
de tal forma que se pueden 
operar sus valores de verdad usando la definición 
$: V ×V ! V 
(x, y)7! z 
, obtenemos una estructura de 
la forma: $: U ×U 
O$ ! V ×V 
$ 
! V . 
Definición. 1.4. 19 Bicondicional 
La ley que establece la bicondicional es la siguiente: la bicondicional es verdadera cuando las dos proposi-ciones 
tienen el mismo valor de verdad. 
Cuadro 1.11: Tabla de verdad de la bicondicional 
p q p  ! q 
v v v 
v f f 
f v f 
f f v 
Ejemplo. 1.4. 20 Bicondicional 
Sea p : Cristóbal Colón descubrió América. ; q : 6 + 3 = 8 Hallar el valor de verdad de p ! q 
Solución: 
Cuadro 1.12: Tabla de verdad 
p q p ! q 
v f f 
36 Antalcides Olivo
1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones 
1.4.3.5. Disyunción exclusiva 
La disyunción exclusiva es la operación de la forma OY : U ×U ! U 
(p, q)7! p Y q 
de tal forma que 
se pueden operar sus valores de verdad usando la definición 
Y : V ×V ! V 
(x, y)7! z 
, obtenemos una 
estructura de la forma: Y : U ×U 
OY! 
V ×V 
Y! 
V . 
Definición. 1.4. 20 Disyunción exclusiva 
La ley que establece la disyunción exclusiva es la siguiente: la disyunción exclusiva es falsa cuando las dos 
proposiciones tienen el mismo valor de verdad. 
Cuadro 1.13: Tabla de verdad de la bicondicional 
p q p Y q 
v v f 
v f v 
f v v 
f f f 
Ejemplo. 1.4. 21 Disyunción exclusiva 
Sea p : Cristóbal Colón descubrió América. ; q : 6 + 3 = 8 Hallar el valor de verdad de p Y q 
Nota: Ésta operación se llama excluyente porque porque sólo se puede dar ambas pero no una sola. 
Solución: 
Cuadro 1.14: Tabla de verdad 
p q p Y q 
v f v 
1.4.3.6. Negación 
Para la negación usamos las operaciones de la forma P : U ! V 
p7! x 
y P : V ! V 
x7! y 
tal 
que x6= y. para construir la composición : U 
P! 
V 
P ! V 
Antalcides Olivo 37
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Definición. 1.4. 21 Negación 
La ley que establece la negación es la siguiente: La negación cambia el valor de verdad de una proposición. 
Su tabla de verdad es la siguiente 
Cuadro 1.15: Tabla de verdad de la negación. 
p  p 
v f 
f v 
1.4.4. Relaciones entre proposiciones 
En esta sección trabajaremos con tautologías y falacias por lo que presentaremos algunos ejemplos para 
aprender a determinar cuando una proposición es una tautología, contingencia ó falacia. 
Ejemplos. 1.4. 4 Tautológias 
1. p_  p (principio del tercio excluido) 
2. [(p ! q) ^ p] ! q 
3.  (p^  p) 
Solución: 
1. Vemos que en la última columna de la tabla de verdad (1.16) nos muestra que p_  p es una tautología. 
Cuadro 1.16: Tabla de verdad. 
p  p p_  p 
v f v 
f v v 
2. Si observamos en la tabla de verdad (1.17) nos queda demostrado que [(p ! q) ^ p] ! q es una tautología. 
Cuadro 1.17: Tabla de verdad. 
p q p ! q (p ! q) ^ p [(p ! p) ^ p] ! q 
v v v v v 
v f f f v 
f v v f v 
f f v f v 
38 Antalcides Olivo
1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones 
3. Este queda de ejercicio al lector. 
Ejemplos. 1.4. 5 Falacias 
1. p^  p (principio de contradicción) 
2. (p ! q) ^ (p^  q) 
3.  (p_  p) 
Solución: 
1. Vemos que en la última columna de la tabla de verdad (1.18) nos muestra que p^  p es una falacia. 
Cuadro 1.18: Tabla de verdad. 
p  p p^  p 
v f f 
f v f 
2. Si observamos en la tabla de verdad (1.19) nos queda demostrado que (p ! q) ^ (p^  q) es una falacia. 
Cuadro 1.19: Tabla de verdad. 
p q p ! q p^  q (p ! q) ^ (p^  q) 
v v v f f 
v f f v f 
f v v f f 
f f v f f 
3. Este queda de ejercicio al lector 
1.4.4.1. Implicación 
Definición. 1.4. 22 Implicación 
Se dice que una proposición q se deduce de p o que una proposición p implica una proposición q cuando 
p ! q es una tautología. 
Notación: Si una proposición p implica a una proposición q se denota p ) q o p . : q que se lee q se 
deduce de p, también se puede leer si tenemos p se deduce q. 
Nota: El hecho que p implique q quiere decir que se puede obtener q a partir de de p o que si p es 
verdadera q también lo es. 
Antalcides Olivo 39
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Ejemplo. 1.4. 22 Implicación 
Determinar si [( p _ q) ^  q] ) p 
Solución: 
Cuadro 1.20: Tabla de verdad. 
p q  p  p _ q  q ( p _ q) ^  q [( p _ q) ^  q] ! p 
v v f f v v v 
v f f f v f v 
f v v f v v v 
f f v f v v v 
Ejemplo. 1.4. 23 Implicación 
Determinar si (p^  p) ) q 
Solución: 
Cuadro 1.21: Tabla de verdad. 
p q  p p^  p (p^  p) ! q 
v v f f v 
v f f f v 
f v v f v 
f f v f v 
Cuando verificamos que p ) q en realidad estamos comparando el conjunto solución de p y el conjunto 
solución de q. Desde ese punto de vista p ) q si y solo si el conjunto solución de p es subconjunto del conjunto 
solución de q. 
1.4.4.2. Equivalencia lógica 
Definición. 1.4. 23 Equivalencia lógica 
Se dice que una proposición q es equivalente a p, cuando p $ q es una tautología. 
Notación: Si una proposición p es equivalente a una proposición q se denota p , q ó p  q. 
Nota: Que p  q quiere decir que se puede intercambiar p y q sin afectar el valor de verdad de la 
proposición. También expresa que los conjuntos soluciones de p y q son iguales y eso se verifica al observar 
que si p  q, p y q tiene la misma tabla de verdad. 
40 Antalcides Olivo
1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento 
Ejemplo. 1.4. 24 Equivalencia lógica 
Analice el valor de verdad de la proposición compuesta (p ! q) $ ( q ! p) 
Solución: 
p q p ! q  q  p  q ! p (p ! q) $ ( q ! p) 
V V V F F V V 
V F F V F F V 
F V V F V V V 
F F V V V V V 
Es decir las proposiciones: p ! q y  q ! p son equivalentes. 
Ejemplo. 1.4. 25 Equivalencia lógica 
Probar usando las tablas de verdad que las proposiciones (p ! q) y ( q ! p), son lógicamente 
equivalentes. 
Solución: Para probar que las proposiciones (p ! q) y ( q ! p) son lógicamente equivalentes debemos 
probar que (p ! q) $ ( q ! p) es una tautología. 
Cuadro 1.22: Tabla de verdad. 
p q  p  q p ! q  q ! p (p ! q) $ ( q ! p) 
v v f f v v v 
v f f v f f v 
f v v f v v v 
f f v v v v v 
Nota: Para verificar si dos proposiciones son lógicamente equivalentes basta comprobar que las dos 
proposiciones tienen la misma tabla de verdad. Como se observa en la tabla (1.22) al comparar las columnas 5 
y 6. 
Inferencia y esquemas de razonamiento 1.5 
1.5.1. Principales leyes lógicas o tautológicas 
Siguiendo las construcción axiomática de la lógica nos queda establecer los axiomas y los teoremas, cual 
estableceremos en ésta sección. 
Antalcides Olivo 41
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Término. 1.5. 1 Leyes de inferencia lógica 
Dadas dos proposiciones p y q al término p  q se le llama ley de inferencia. 
En la lógica los teoremas son leyes de inferencia. 
1.5.1.1. Axiomas 
Estableceremos tres axiomas, 
Axioma. 1.5. 1 Toda proposición es idéntica a si misma, es decir p  p 
Identidad 
Axioma. 1.5. 2 una proposición no puede ser cierta y falsa a la vez, es decir  (p^  p)  v. 
Contradicción 
Axioma. 1.5. 3 Toda proposición es cierta ó es falsa , es decir p_  p  v. 
Tercer excluido 
1.5.1.2. Leyes de inferencia básicas. 
Trataremos de presentar las leyes de inferencia que se deben demostrar utilizando tablas de verdad. (no 
son un conjunto mínimo de leyes de inferencias básicas) 
Leyes de inferencia. 1.5. 1 Involutiva 
 ( p)  p 
Leyes de inferencia. 1.5. 2 Indempotencia 
1. p ^ p  p 
2. p _ p  p 
42 Antalcides Olivo
1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento 
Leyes de inferencia. 1.5. 3 falsos modulos o de la adición 
1. p ^ f  f 
2. p _ v  v 
Leyes de inferencia. 1.5. 4 Comutativas 
1. (p ^ q)  (q ^ p) 
2. (p _ q)  (q _ p) 
3. p $ q  q $ p 
Leyes de inferencia. 1.5. 5 Asociativas 
1. p ^ (q ^ r)  (p ^ q) ^ r 
2. p _ (q _ r)  (p _ q) _ r 
3. p $ (q $ r)  (p $ q) $ r 
Leyes de inferencia. 1.5. 6 Distributivas 
1. p ^ (q _ r)  (p ^ q) _ (p ^ r) 
2. p _ (q ^ r)  (p _ q) ^ (p _ r) 
3. p ! (q _ r)  (p ! q) _ (p ! r) 
4. p ! (q ^ r)  (p ! q) ^ (p ! r) 
Antalcides Olivo 43
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Leyes de inferencia. 1.5. 7 Morgan 
1.  (p ^ q)  p _  q 
2.  (p _ q)  p ^  q 
Leyes de inferencia. 1.5. 8 Del condicional 
1. p ! q  p _ q 
2.  (p ! q)  p ^  q 
Leyes de inferencia. 1.5. 9 Del bicondicional 
1. p $ q  (p ! q) ^ (q ! p) 
2. p $ q  (p ^ q) _ ( p _  q) 
Leyes de inferencia. 1.5. 10 De la absorción 
1. p ^ (p _q)  p 
2. p ^ ( p _ q)  p ^ q 
3. p _ (p ^ q)  p 
4. p _ ( p ^ q)  p _ q 
Leyes de inferencia. 1.5. 11 De transposición 
1. (p ! q)  q ! p contrareciproco 
2. p $ q  q $ p 
44 Antalcides Olivo
1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento 
Leyes de inferencia. 1.5. 12 De exportación 
1. (p ^ q) ! r  p ! (q ! r) 
2. (p1 ^ p2 ^ p3 ^ · · · ^ pn) ! r  (p1 ^ p2 ^ p3 ^ · · · ^ pn−1) ! (pn ! r) 
Leyes de inferencia. 1.5. 13 De los modulos 
1. p ^ v  p 
2. p _ f  p 
Leyes de inferencia. 1.5. 14 De la simplificación 
1. (p _ q) ^ (p _  q)  p 
2. (p ^ q) _ (p ^  q)  p 
Nota: Estas Leyes son muy útiles para simplificar los problemas, puesto que es válido reemplazar una 
proposición por su equivalente sin alterar el resultado. 
Ejemplos. 1.5. 1 
Simplificar las proposiciones siguientes aplicando las leyes lógicas 
1. (p ^ q) ^  (p ^ q) . 
2. [(p_  q) ^ q] ! p. 
3.  [ (p ^ q) ! q] _ q. 
4. [( p ^ q) ! (r^  r)] ^  q. 
5. [(p ^ q) ^ q]  ! [p ^ (q ^ q)] . 
6. (p ! q) _ [ (p  ! q)] . 
7. (p ! q) $ (p^  q) ! q 
Antalcides Olivo 45
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Solución: 
1. Apliquemos las leyes de inferencia 
(p ^ q) ^ [ (p ^ q)]  (p ^ q) ^ [ p_  q] morgan 
 [(p ^ q) ^  p] _ [(p ^ q) ^ q] 
distributiva 
 [(q ^ p) ^  p] 
conmutativa 
_ [p ^ (q^  q)] 
asociativa 
 [q ^ (p^  p)] 
asociativa 
_ [p ^ f] 
contadicción 
 (q ^ f) 
contradicción 
_ f 
falso modulo 
 f 
falso modulo 
_ f 
 f 
2. Apliquemos las leyes de inferencia (indique las leyes aplicadas) 
[(p_  q) ^ q] ! p   [(p_  q) ^ q] _ p 
 [ (p_  q) _  q] _ p 
 [ (p_  q)] _ (p_  q) 
 ( (p_  q) _ p) _  q 
 ([ p^  q] _ p) _  q 
 [( p _ p) ^ ( q _ p)] _  q 
 [v ^ ( q _ p)] _  q 
 ( q _ p) _  q 
 (p_  q) _  q 
 p _ ( q_  q) 
 p_  q 
46 Antalcides Olivo
1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento 
3. Apliquemos las leyes de inferencia (indique las leyes aplicadas) 
 [ (p ^ q) ! q] _ q  [ (p ^ q) ^  ( q)] _ q 
 [( p_  q) ^ q] _ q 
 [( p ^ q) _ ( q ^ q)] _ q 
 [( p^  q) _ f] _ q 
 ( p^  q) _ q 
 (( p _ q) ^ ( q _ q)) 
 ( p _ q) ^ v 
  p _ q 
El resto de los ejemplos quedan de ejercicio para el lector. 
1.5.2. Esquemas de razonamiento 
Las leyes de inferencia nos ayuda a construir esquemas mentales que nos sirven para construir demostra-ciones, 
es decir cada ley de inferencia es un esquema de razonamiento. 
1.5.2.1. Método inductivo 
El razonamiento inductivo es el proceso mediante el cual se obtienen conclusiones a partir de nuestras 
propias observaciones o a partir de ejemplos particulares, es decir al observar que una acción o propiedad se 
repite se concluye en general que esa acción o propiedad siempre es cierta 
Término. 1.5. 2 Conjetura 
Es la conclusión que se obtiene a partir de un proceso inductivo 
Todas las proposiciones que tomamos como conjetura deben tener la forma de una implicación o de una 
equivalencia, por tanto es necesario conocer las diferentes formas de representar una implicación. 
Nota: Al utilizar el razonamiento inductivo debemos tener cuidado de no construir conjeturas o generali-zaciones 
falsas, por lo siempre hay que tratar de encontrar casos donde no se cumpla la conjetura, en caso de 
que no se consiga, no quiere decir que la conjetura es cierta, sólo nos indica que no hemos encontrado un 
caso donde no se cumple. A continuación mostraremos un ejemplo para explicar paso a paso como podemos 
obtener una conjetura a partir de una secuencia de casos o fenómenos. Aunque en ese ejemplo no trataremos 
de verificar si la conjetura es siempre cierta, el objetivo es de aprender a construir conjeturas. 
Antalcides Olivo 47
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Ejemplo. 1.5. 1 
Suponga que una persona mide los lados de cuatro triángulos como muestra la figura(1.4). Establezca una 
conjetura sobre los lados de un triángulo 
Figura 1.4: Desigualdad triangular 
C 
0,77 
0,59 
A 0,77 B 
D 
0,76 
E 
0,75 
F 
0,58 
G 
H 
0,61 
I 
0,61 
1,08 
0,62 
K 
J 
0,88 
L 0,62 
De acuerdo con la figura 1.4 tenemos que en ABC se tiene: 
AC + AB = 1,54  BC = 0,31 (1.1) 
AB + BC = 1,36  AC = 0,77 (1.2) 
En el DEF se tiene que 
DE +DF = 1,51  EF = 0,58 (1.3) 
DE + EF = 1,48  AC = 0,75 (1.4) 
En el IGH se tiene que 
IG + GH = 1,22  HI = 1,08 (1.5) 
IG + IH = 1,69  GH = 0,61 (1.6) 
En el JKL se tiene que 
JK +KL = 1,29  JL = 0,88 (1.7) 
JK + JL = 1,50  KL = 0,75 (1.8) 
De los anteriores resultados , a pesar que los triángulos ABC, HIG y JKL son isósceles, podemos concluir. 
 Que la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo siempre es menor que la longitud de su tercer 
lado 
Cuantificadores y otras formas de expresar la implicación 
48 Antalcides Olivo
1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento 
En algunos casos las condicionales, vienen expresadas de tal forma que cada proposición simple se puede 
representar como un conjunto, por ejemplo 
Los polígonos de cuatro lados son cuadriláteros. (1.9) 
En este caso llamaremos Px = {x : x es un polígono} y Qx = {x : x es un cuadrilátero} y representamos la 
proposición ((??)) como Px ! Qx, pero a nosotros nos interesan son las implicaciones, por tanto veamos 
cuando está proposición es verdadera. Para ello tomaremos otro conjunto Ux = {x : x es una figura plana}, a 
este conjunto lo llamaremos universal o de referencia. Ahora realizaremos un diagrama de Venn mostrado en 
la figura(1.5) 
Ux 
Px 
Qx 
x1 
Px 
Ux 
Qx 
x2 
Diagrama 1 Diagrama 2 
Figura 1.5: Proposiciones abiertas 
Si tomamos un polígono, el cual representaremos con el símbolo x1, observamos en el diagrama 1 que x1 
no está en el conjunto de los cuadriláteros, por tanto en este caso Px ! Qx es falsa, mientras en el diagrama 
2 tomaremos un polígono representado por x2 el cual está en Qx, por tanto Px ! Qx es verdadera, de lo que 
podemos concluir que para que Px ! Qx sea una tautología debe cumplirse la relación. 
Qx  Px 
Para indicar que Px ! Qx es una tautología utilizamos unos operadores lógicos de existencia, los cuales son: 
* Existe algún: Se representa 9x y se lee existe algún x. 
* Para todo: se representa 8x y se lee para todo x. 
* Existe un único: Se representa 9 !x y se lee existe uno y sólo un x. 
* Ningún: Se representa  9x y se lee no existe ningún x. 
En nuestro caso la proposición quedaría: 
8x 2 U, (px =) qx) 
De aquí en adelante el conjunto que representa a la proposición se representará con letras mayúsculas y las 
proposiciones con letras minúsculas con la variable como subíndice: 
Antalcides Olivo 49
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Analicemos nuevamente el diagrama 2 de la figura (1.5) Como, x2 está en el conjunto, entonces podemos 
decir que P es condición suficiente para que x2 esté en el conjunto Q. En este sentido, se dice que px es 
condición suficiente para qx. Además es claro que para que un elemento x2 esté en P se necesita que x2 esté 
en en Q. De aquí que se diga que qx es condición necesaria para px. También se observa que un elemento x2 
está en el conjunto Q si está en el conjunto P. Este análisis precedente sugiere otras maneras de expresar la 
implicación 
px =) qx 
éstas son: 
1. px implica a qx 
2. px es condición suficiente para qx 
3. qx es condición necesaria para px 
4. qx, si px 
Negación de los cuantificadores 
La regla general para construir la negación de una proposición abierta es la siguiente: Los 8 se cambian 
por o 9 y los 9 se cambian por 8 y después se niega la proposición abierta. 
La negación de la proposición se construye mecánicamente del mismo modo como se o a realiza la negación 
de una proposición . 
1.5.2.2. Método del contraejemplo 
Hay ocasiones donde después de un razonamiento inductivo obtenemos una conjetura que no se cumple 
para todos los casos, es decir obtenemos una generalización falsa, entonces para indicar que esa generalización 
es falsa buscamos un ejemplo donde no se cumpla la acción o la propiedad. 
Término. 1.5. 3 Contraejemplo 
Es el método que se usa para demostrar que una generalización es falsa, utilizando un ejemplo que la 
contradiga. 
Nota: Los ejemplos sólo son validos para demostrar que una proposición es falsa, nunca demuestra que 
una proposición es verdadera. 
Ejemplo. 1.5. 2 Contraejemplo 
Si un cuadrilátero tiene sus diagonales perpendiculares, entonces es un rombo. 
50 Antalcides Olivo
1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento 
Figura 1.6: Cometa 
A 
B 
C 
3,49 
D 
4,27 
E 
90 
En el cuadrilátero podemos observar que AD = 6,29 y AC = 6 y por definición de rombo el cuadrilátero 
ABCD no puede ser un rombo porque no tiene sus lados congruentes. 
1.5.2.3. Razonamiento deductivo 
El método deductivo consiste en partir de un número reducido de información (hipótesis) y mediante un 
proceso lógico deducir otros conocimientos o proposiciones nuevas. Para profundizar y entender este método 
explicaremos a continuación cuales son los procesos lógicos. 
1.5.2.4. Prueba indirecta (Tollendo-tollens) 
Es un razonamiento de la forma: 
p −! q 
 q 
 p 
p ! q : Si dos rectas son paralelas, entonces no tienen puntos en común. 
 q : Las rectas  !l 
1 y  !l 
2 tienen un punto en común. 
 p : Las rectas  !l 
1 y  !l 
2 no son paralelas. 
Ejemplo. 1.5. 3 
Antalcides Olivo 51
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Como la condicional debe ser una implicación, entonces tenemos que para que ella sea una tautología, solo 
existen dos posibilidades, que las dos proposiciones p y q tengan el mismo valor de verdad. Por tanto si q es 
falsa se deduce que p también es falsa. 
1.5.2.5. Modus ponendus ponens (Directa) 
Este es un razonamiento de la forma: 
p −! q 
p 
p 
La argumentación es la misma de la prueba indirectas decir para que p  ! q sea una implicación si p es 
verdadera, se tiene que q también lo es. 
p ! q : Si un triángulo tiene tres ángulos congruentes, entonces es equilátero. 
p : El triángulo 4ABC tiene tres ángulos congruentes 
q : El triangulo 4ABC es equilátero. 
Ejemplo. 1.5. 4 
1.5.2.6. Regla de la cadena 
Este razonamiento es el más usado en matemáticas consiste en construir una cadena de implicaciones 
partiendo de la hipótesis hasta obtener la conclusión y es de la forma: 
p −! r 
r −! q 
p −! q. 
52 Antalcides Olivo
1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento 
p ! q : Si dos rectas son perpendiculares, entonces se intersecan. 
q ! r : Si dos rectas se intersecan, entonces no son paralelas. 
p ! r : Si dos rectas son perpendiculares, entonces no son paralelas. 
Ejemplo. 1.5. 5 
Otra forma de interpretar este razonamiento es: 
(p −! r ^ r −! q) −! (p −! q) , 
mirándola de esta forma el razonamiento es equivalente si la conjunción es cierta entonces la conclusión 
también lo es decir p −! q es una tautología. 
Sea  ! 
ED una mediatriz del segmento AB en el ABC, si el punto F es la intersección de lado AB y la 
mediatriz, entonces AF = 
FB. 
Ejemplo. 1.5. 6 
b 
Figura 1.7: Regla de la cadena 
C 
E 
c d 
A B 
F 
D 
Solución: Para demostrar que ésta proposición es una implicación vamos a utilizar el método de razona-miento 
deductivo, de la siguiente manera: 
Antalcides Olivo 53
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
Figura 1.8: Solución 
Dato Definición de mediatrz 
ED es mediatriz de AB F es el punto medio de AB 
AF = 
FB 
Definición de punto medio 
La estructura para redactar una demostración que usaremos es la siguiente. 
Prueba: 
Afirmaciones Razones 
= 
1. ED es la mediatriz de AB Dado 
2. F es punto medio de AB Definición de punto mediatriz 
3. AF FB Definición de punto medio 
Es decir en este ejemplo usamos la regla de la cadena. 
1.5.2.7. Ley modus tollendo-ponens 
Este razonamiento es de la forma: 
p _ q 
 p 
q. 
1.5.2.8. Ley del silogismo disyuntivo 
Es un razonamiento con la siguiente estructura 
54 Antalcides Olivo
1.6. Problemas 
p _ q 
p −! r 
q −! s 
r _ s. 
Nota: Existen tres reglas básicas de validez que se aplican continuamente en una demostración. 
Regla 1: las definiciones, los postulados y los teoremas demostrados pueden aparecer en cualquier paso de la 
demostración. 
Regla 2: las proposiciones equivalentes se pueden sustituir entre sí en cualquier parte de una demostración. 
Regla 3: una proposición verdadera se puede introducir en cualquier punto de la demostración. 
Nota: Antes de terminar la sección mostraremos, en la figura 1.9, como es el esquema que se debe 
emplear en una demostración sin importar como la redactemos. 
Figura 1.9: Esquema de una demostración 
Hipótesis Razonamieto lógico Tesis 
Términos no definidos 
Definiciones 
Postulados 
Otros teoremas 
Conclusión 
Esquemas de 
razonamiento 
Problemas 1.6 
1. Determine el valor de verdad de cada uno de los 
siguientes enunciados: 
a) Si 3  5, entonces −3  −5. 
b) Si 2 + 2 = 4, entonces 3 + 3 = 7 si, y sólo si, 
1 + 1 = 4. 
c) p16 = 4, entonces 3 + 3 = 7 si, y sólo si, 
1 + 1 = 4. 
d) 6 + 4 = 10 y p2 · 
p2 = 2. 
e) p3 + 
p2 = 
p5y 4 + 4 = 8. 
f ) 52 + 1 = 8 si, y sólo si, 5− 1 = 2. 
2. Construya la tabla de verdad de: 
a) (p ! q) ! (p ^ q) . 
b)  p! (q ! p) . 
c) (p ! q) _ [ (p  ! q)] . 
d) [(p ! q) ^ p] ! q. 
3. Determine en cada caso si la proposición es contin-gencia, 
falacia o tautología. 
a) [(p ^ q) ^ p] ! q. 
b) [(p ^ q) ^ s]  ! [p ^ (q ^ s)] . 
4. Construya la tabla de verdad para verificar si son 
cierto los siguientes enunciados: 
a) [(p _ q) ^  p]  ( p _ q) . 
b) [p _ (p ^ q)]  p. 
c) {[ (p _ q)] _ ( p ^ q)}  p. 
Antalcides Olivo 55
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
5. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son igua-les 
y entre cuáles se puede establecer una relación de 
contenencia. 
a) A = {econom´ıa, mercadotecnia, contadur´ıa} . 
b) B = {cebada, trigo ajojol´ı} . 
c) C = {x : xes una ciudad de Latinoamérica} . 
d) D = {mercadotecnia} . 
e) F = {2, 4, 6, 8} . 
f ) E = {Quito, Cali, Caracas} . 
g) G = {banano, caf ´ e trigo, cebada} . 
h) H = {x : xes un numero par menor que 10} . 
i) J = {x : x es un numero dígito} 
6. En el siguiente ejercicio escriba todos lo subconjun-tos 
del conjunto dado. ¿Cuáles son los subconjuntos 
propios? 
a) {2, 9} . 
b) {{2} , 9} . 
c) {;, {1} , 1} 
d) {} . 
7. Dados: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , A = 
{1, 3, 6, 810} , B = {2, 4, 5, 6, 8} y C = {1, 4, 6, 10}haga 
un diagrama de Venn para representar los conjuntos 
dados. 
8. Sea A = {;, {1, 2} , {1} , {;} , 1, {2}} ¿Cuáles de las 
siguientes afirmaciones son ciertas y por qué? 
a) 1 2 A. 
b) 2 2 A. 
c) 2  A. 
d) {2} 2 A. 
e) {2}  A. 
f ) ;  A y ;  A. 
g) 1 2 A y {1} 2 A. 
h) {1, 2}  A. 
9. Sean A = {−1, 0, 1, 2}y B = {0, 1, 2, 3, 4} indicar cua-les 
de los siguientes conjuntos son funciones de A en 
B. 
a) R1 = 
 
(x, y) 2 A ×B : y = x2	 
b) R2 = {(x, y) 2 A×B : y = x + 1} 
c) R3 = {(x, y) 2 : |= | 
A×B y| x|} 
	 
d) R4 = 
(x, y) 2 A ×B : y2 = x 
e) R5 = {(−1, 2) , (2, 3) , (0, 4) , (1, 1)} 
f ) R6 = {(2, 4) , (1, 0) , (−1, 3)} 
g) R7 = {(−1, 2) , (0, 2) , (1, 2) , (2, 2)} 
h) R8 = {(1, y) : y 2 B} 
Justifique su respuesta. 
10. Sean A = {−2,−1, 0, 1, 2} y IN , IR los conjuntos de 
los números naturales y reales respectivamente. Re-presentar 
en el plano cartesiano, usando coordenadas 
rectángulares los siguientes conjuntos 
a) f : A ! IN 
x7! y = |x| + 1 
b) g : IR ! IR 
x7! −x + 1 
Indique cuales gráficos representan una función. 
11. Sean A = {1, 2}y B = {1, 2, 3, 4} indique si el conjun-to 
f : A ×B ! B 
(x, y)7! z = f ((x, y)) = x + y 
es una función. 
12. En los incisos del a) al e), escriba las proposiciones 
como implicaciones, luego decida si es falso o verda-dero 
a) Hipótesis p : Un hombre vive en Barranquilla, 
Conclusión q : Vive en Antioquía. 
b) Hipótesis p : Algunas manzanas son rojas, 
Conclusión q : Los caballos tienen cuatro pa-tas. 
c) Hipótesis p : Dos rectas se intersecan, Conclu-sión 
q : Las dos rectas no son paralelas. 
d) Conclusión q : Dos rectas son perpendiculares, 
Hipótesis p : Las rectas se intersecan. 
e) Hipótesis p : Dos ángulos tienen la misma me-dida, 
Conclusión q : Los ángulos son congruen-tes. 
13. Analice la siguiente conjetura: Si un triángulo 
tiene un ángulo recto, tiene dos lados congruentes. 
Comentario: Para demostrar que la conjetura es 
falsa, debe presentar un contraejemplo, para explicar 
que es verdadera use las definiciones. 
14. Demuestre la siguiente conjetura: Si dos ángulos son 
congruentes sus complementos son congruentes. 
15. En los incisos del a) al e) identifique la hipótesis y la 
conclusión y determine si es una implicación. 
a) un número es par si termina en 4. 
b) Dos rectas son perpendiculares si forman un 
ángulo recto. 
c) Un triángulo con dos lados congruentes, tiene 
los tres ángulos congruentes, 
d) Si Un número es impar, termina en cinco. 
56 Antalcides Olivo
1.6. Problemas 
e) Una recta que biseca un segmento contiene su 
punto medio. 
16. Formule la recíproca, contraria y contra-reciproca , 
de las siguientes proposiciones. 
a) Si una persona camina se acalora. 
b) Si dos rectas se intersecan, son paralelas. 
c) Si una persona es adinerada, entonces puede 
viajar. 
d) si a = 0 y b = 0, entonces a.b = 0, para todo a 
y b reales. 
e) Si un polinomio es un triángulo, entonces una 
región plana. 
f ) Dos planos paralelos si intersecan. 
17. Determine en cada inciso si la proposición representa 
una equivalencia, en caso de no ser lo encuentre un 
contra ejemplo. 
a) Un triángulo tiene sus lados congruentes si y 
sólo si tiene sus ángulos interiores congruentes. 
b) Un ángulo es recto si y sólo si es congruente a 
uno que tiene medida igual a 90. 
c) Dos rectas son paralelas si y solo si no se inter-secan. 
d) Un cuadrilátero tiene sus lados opuestos para-lelos, 
si y sólo si un par de lados opuestos son 
congruentes. 
e) Dos ángulos son complementarios si y sólo si la 
suma de sus mediadas es igual a 90 
18. Incluya la información omitida para formular un es-quema 
de razonamiento correcto, además indique que 
tipo de prueba se esta realizando. 
a) 
p =) q : Dos rectas perpendiculares se intersecan. 
q =) r : Las rectas no son paralelas 
ni se intersecan. 
b) 
p =) q : Si dos rectas son paralelas no 
se intersecan. 
 q : Las rectas no se intersecan. 
c) 
p =) q : Si un punto está en la mediatriz de un 
segmento, entonces equidista de sus 
extremos. 
El punto no está en la mediatriz. 
d) 
p : ABC mide más de 90 
El ABC es un ángulo obtuso 
e) 
 q : La temperatura aumenta. 
No llovió. 
19. Compruebe la validez de cada uno de los siguientes 
argumentos: 
Si trabajo no puedo tomar clases de música 
trabajo o apruebo biología 
aprobé biología. 
Por tanto, tome clases de biología. 
20. Compruebe la validez de cada uno de los siguientes 
argumentos: 
Julio César, que siempre dice la verdad, le ha contado 
a su amigo Iván lo siguiente: 
”Me gusta Liliana o Victoria, pero no ambas. Además, 
si me gustara Liliana, me gustaría también Victoría”. 
¿ Quién le gusta realmenta a Julio César? 
21. Probar la veracidad de la implicación 
Si ab = 0, entonces a = 0 _ b = 0, 
es equivalente a probar la veracidad de la implicación 
Si ab = 0 ^ a6= 0, entonces b = 0. 
22. Determine el valor de verdad de la siguiente afirma-ción. 
Si es falsa, dé un contraejemplo: 
“Si AB = 
BC, entonces B es el punto medio de AC”. 
23. ¿Será condición suficiente que x2 = 81 par que x = 9? 
Antalcides Olivo 57
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
24. Dada la proposición “Una condición necesaria para 
que B sea el punto medio de AC es que B está entre 
los punto A y C”. 
a) Escríbala de la forma si..., entonces... sin alterar 
su significado y obtenga su valor de verdad. 
b) Escríba el condicional en términos de condición 
suficiente. 
c) Haga el recíproco del condicional y determine su 
valor de verdad. Si es falsa, dé un contraejemplo. 
25. Dada la proposición “Si ab = 0, entonces a = 0 o 
b = 0”, escriba su recíproca, su contraria y su con-trarecíproca. 
Además determine sus correspondientes 
valores de verdad. 
26. ¿ Es posible que existan dos recta que no se interse-can 
y están en planos diferentes? Si la respuesta es 
afirmativa, dé un ejemplo. 
27. Tomando como conjunto universal el conjunto de los 
números reales, determine si las proposiciones px : 
x2 −4 = 0 y qx : (x−2) (x + 2) = 0 son equivalentes. 
Argumente su respuesta. 
28. Complete los siguientes esquemas de razonamiento: 
a) 
: Si un número entero termina en dos, 
entonceses par. 
: 32 es un entero que termina en dos. 
: ...... 
b) 
: Si dos tectas son paralelas, 
entonces están en un 
mismo plano y no se intersecan. 
: ......... 
: Las rectas  ! 
l1 y  ! 
l2 no son paralelas. 
c) : Dos rectas perpendiculares se 
intersecan. 
: Las rectas no son paralelas, si se 
intersecan. 
: ........ 
29. Demuestre que si x e y son enteros impares, entonces 
xy también es un entero impar. 
30. Haga una demostración por reducción al absurdo del 
siguiente teorema: Si x2 es un entero par, entonces x 
es par. Sugerencia: Utilice el ejercicio anterior. 
31. Siendo p : los precios son bajos y q : los precios no 
suben, escribir en lenguaje corriente las siguientes 
expresiones simbólicas : 
a)  q 
b) p ^ q 
c) p^  q 
d)  p^  q 
e)  (p^  q) 
32. Sean p : tengo un loro y q : tengo un gato, escribir en 
lenguaje corriente y luego simplificar, 
 ( p_  q) ^  ( p) 
33. Pruebe que: 
a) (p ^ q) , (p ! q) 
b) [p ! (q _ r)] , [(p^  q) ! r] 
34. Pruebe que: 
a) [(a ! b) ^ (b ! c)] ) (a ! c) 
b) (a ! b) ) [(c _ a) ! (c _ b)] 
35. Siendo p y q proposiciones cualesquiera, la proposición 
,(p ! q) $ [(p _ q) $ q] , 
a) ¿Es siempre verdadera? 
b) ¿Es verdadera si y sólo si p lo es? 
c) ¿Es verdadera si y sólo si q es falsa? 
d) ¿Es verdadera si y sólo si p y q lo son? 
36. Pruebe, sin hacer uso de tablas de verdad, que: 
a) p^  q ! r  p _ (q _ r) 
b) [(p ^ q) _ r] ^  q  (r^  q) 
37. ¿ Cuál es la relación que existe entre las proposiciones 
siguientes? 
p ! [p^  (q _ r)] y  p _ ( q^  r) 
58 Antalcides Olivo
1.6. Problemas 
38. Se define 4 como la conjunción negativa, es decir, 
p4q se lee ni p ni o q. 
a) Construya la tabla de verdad de p4q. 
b) Pruebe que: 
1)  p  p4p 
2) p _ q  (p4q)4(p4q) 
3) p ^ q  (p4p)4(q4q) 
4) (p $ q) ^  (p ^ q)  p4q 
39. Simplifique la expresión: 
[ q _ ( q $ p)] ! q 
40. Simplifique las siguientes expresiones 
a)  (p _ q) ! ( p^  q) 
b) [(p ^ q) _ r] ^  p 
c) [(p ! q) ! q] ! (p _ q) 
41. Sea A = 1, 2, 3, 4 el conjunto universal. Determinar el 
valor de verdad de cada enunciado: 
a) 8x : x + 3  6 
b) 8x : x2 −10  8 
c) 9x : 2x2 + x = 15 
d) 9x : x2  1 ! x + 2 = 0 
42. Negar los siguientes enunciados 
a) [9y 2 U : p (y)] ! [8x 2 U : ( q (x))] 
b) [9x 2 U : ( p (x))] _ [8x 2 U : q (x)] 
c) 9x8y 2 U:[(p (x, y) ! q (x, y))] 
43. Exprese en forma simbólica y niegue las siguientes 
proposiciones, utilizando el cuantificador adecuado: 
a) Existen enteros tale que x2 −1 = 0. 
b) Ningún conjunto es subconjunto del vacío. 
c) −5 es un número racional. 
d) A todos los alumnos de secundaria les gusta 
Facebook. 
e) En todos los números naturales x, −x es menor 
que cero. 
f ) Existe un número de la forma a 
b tal que a 
b 
− 1 
es negativo. 
g) Algunos mamíferos son acuáticos. 
44. Niegue la siguiente proposición [(p _ q) ^ r] ! 
[s _ (q ^ t)]. 
45. Se sabe que: Si Pedro no es alumno de la U.A. o Juan 
es alumno de la U.A., entonces Juan es alumno de la 
U. Costa. Si Pedro es alumno de la U.A. y Juan no 
es alumno de la U. A., entonces Juan es alumno de la 
U.Costa. Se desea saber en que universidad estudia 
Juan. 
46. Negar la siguiente expresión: 
(8  0) (9  0) (0  |x−x0|   _ |f (x) −l|  ) 
47. A partir del álgebra proposicional, demostrar la vali-dez 
del siguiente a argumento: Si 2 es par, entonces 5 
no es divisor de 9 por otra parte 11 no es primo o 5 
es divisor de 9. Además, 11 es primo. Por tanto, 2 es 
impar. 
48. Demuestre: 
a) p Y q  (p _ q) ^  (p ^ q) 
b)  [p ! (qY  p)] $ (p ^ q) 
49. Siendo p : José es estudioso y q : Juan es estudioso, 
escribir en forma e simbólica: 
a) José es estudioso y Juan no es estudioso. 
b) Jos´é 
no es estudioso y Juan es estudioso. 
c) Jos´éy Juan, no son estudiosos. 
d) No es cierto que Juan o Jos´é 
sean estudiosos. 
50. En cual de sus significados est´á “o”(no excluyente) 
en las siguientes a proposiciones: 
a) a) Si ganase mucho dinero o ganara la lotería, 
haría un viaje. 
b) El lunes ir´é 
a la estaci´ón de trenes o al terminal 
de buses. 
c) x = 3 ó x = 2 
51. Verificar, utilizando tablas de verdad, cuáles de las 
siguientes proposiciones son equivalentes: 
a) pY  q; 
b)  p _ q; 
c) (p_  q) ^ ( p _ q) ; 
d) (p ^ q) _ ( p^  q) ; 
52. Encuentre el valor de verdad de 
[ (p ! q) ^ ( p ^ q)] _ (r ! p) 
si p : el número e es par, q  f y r : los gatos tienen 
5 patas 
Antalcides Olivo 59
Capítulo 1. Introducción a la Lógica 
53. Construya las tablas de verdad de las siguientes pro-posiciones: 
a) [(p ! q) ! (q ! p)] $ (p_  q) 
b) p Y (q _ r) 
c)  ( p $ q) 
d)  ( q $ p) 
e) (p^  q) ! ( p _ q) 
f ) [p ^ ( q ! p)] ^ [(p $ q) ! (q_  p)] 
54. Pruebe que son tautologías: 
a) [p _ (p ^ q) $ p] 
b) (p ^ q) ! ( p^  q) 
c) q ! (p ! q) 
d) (p ^ q) ! r $ (p ! r) _ (q ! r) 
e) p ! [q ! (p ^ q)] 
f ) ((p ! (q ^ r))) $ ((p ! q) ^ (p ! r)) 
g) [p _ (p ^ q)] $ p 
55. Probar las siguientes equivalencias: 
a) p Y (q Y r)  (p Y q) Y r 
b) p ^ (q Y r)  (p ^ v) Y (p ^ r) 
c) p _ q  (p Y q) Y (p ^ q) 
d) p ^ q  p Y (p^  q) 
e) p ^ (p _ q)  p 
f )  (p ^ q)  p_  q 
g) p ^ (q _ r)  (p ^ q) _ (p ^ r) 
56. Averiguar si son equivalentes las proposiciones: (p ^ 
q) ! r y (p ! r) ^ (q ! r) 
57. Encuentre el valor de verdad de: [(p ! q) _ ( p ^ q)]^ 
(r ! q)si 
a) p es v, q es v, r es f 
b) p, r son f, q es v 
c) p es f, q es f y r es f 
d) si todas son verdaderas 
58. Simplificar las siguientes proposiciones: 
a) p^(q^  p) 
b) (p ^ q) _ p 
c) (p ! q) _ p 
d) (p ! q) _ q 
e) (p ! q) ^ p 
f ) (p ! q) ! p 
g) (p ! q) _ q 
h) p^  (q ! p) 
i) [p _ (q $ p)] ! q 
j) [ (p ! q) ^ ( p ^ q)] _ [r ! (p _ r)] 
k)  p ^ (q ^ p) 
l) {p ! ( p _ r)} ^ {r ! p} 
m) { (p ! q) ! (q ! p)} ^ (p _ q) 
59. Derive a partir de las equivalencias básicas, las si-guientes 
equivalencias: 
a) ((p ^ q) ! r)  ((p ! r) _ (q ! r)) 
b) ((p ! q) ^ q) ! p  q ! p 
60. Demostrar sin el uso de tablas de verdad: 
a) p _ (p ^ q)  p 
b) p ^ (p _ q)  p 
c)  (p _ q) _ ( p ^ q)  p 
d)  (p ! q) $ (p ^ q) 
e) (p^  q) ! r  p _ (q _ r) 
f ) [{(p ! q) ^ (p ! t)} _ {(r ! q) ^ (r ! t)}]  
[(p ^ r) ! (q ^ t)] 
61. Exprese en símbolos lógicos y después niegue las si-guientes 
oraciones: 
a) Todo múltiplo de 4 es número primo. 
b) Si 2 es par entonces todos los números son pares. 
c) Todo número mayor que 2 es la suma de dos 
números primos. 
62. Sea A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Escribir en símbolos y averi-guar 
el valor de verdad de: 
a) Hay un elemento que es mayor que todos. 
b) Existe un único elemento cuyocuadrado es 4. 
c) Para todos los elementos de A, sea x el elemento 
que sumado 1 unidad, siempre es mayor que cero 
entonces su cuadrado es menor que 35. 
d) Para cada elemento existe otro que es menor o 
igual qué él 
63. Si las proposiciones a y b son tales que la proposición 
 (a ^ b) ! (a _ b) o es verdadera, determinar el 
valor de verdad de (a ^ b) _ (a _ b). 
64. Sea A = 1, 2, 3, 4, 5. Negar hallar el valor de verdad 
de los siguientes enunciados 
a) (9x 2 A)(x + 3 = 10) 
b) 8x 2 A)(x + 3  10) 
c) (9x 2 A)(x + 3  5) 
d) (8x 2 A)(x + 3  7) 
e) (9!x 2 A)(x2−3x + 2 = 0) 
60 Antalcides Olivo
1.6. Problemas 
65. Si el conjunto universal es conjunto de los números 
naturales. Escribir en símbolos las siguientes expre-siones. 
a) ) Todo número es mayor o igual que sí mismo. 
b) Si el número x es menor que y, entonces no es 
mayor que 9. 
c) Cualquier x sumado con algún número resulta 
x. 
d) El producto de x con y es mayor que x, y mayor 
que y. 
66. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdade-ras? 
a) Si p _ q  F entonces [ ( q ! p)^  p] es 
una tautología. 
b) Es suficiente que p Y q sea falsa para que p y q 
sean equivalentes. 
c) No es necesario que p sea verdadera y q sea falsa 
para que [p _ (q^  p)]^  q sea verdadero. 
67. Demuestre las siguientes equivalencias sin uso de ta-blas 
de verdad. 
a) (p ! q)  (p^  q) ! q 
b) (p $ q)  ( p $ q) 
c) p ! (q ^ r)  (p ! q) ^ (p ! r) 
d) (p ^ q) ! r  (p^  r) ! q 
e) p ! (p^  (q _ r))  p _ ( q^  r) 
f ) [( p _ q) _ ( r^  p)]  (q_  p) 
68. Indique en cuáles de los siguientes casos p es condición 
suficiente para q; y en cuáles p es condición necesaria 
y suficiente para q. 
a) p : A es múltiplo de 4, q : Aes número par 
b) p: A y B son pares, q: A + B es par. 
69. Si las proposiciones compuestas 
a) p $ ( q_  r) y 
b)  p _ q son siempre verdaderas. Demuestre que 
la proposición [ r ^ (p _ s)] ! s _ q es también 
verdadera. 
70. Negar las siguientes afirmaciones: 
a) (8x9y 2 IR) (x + y = 5 ! y = −x) 
b) (8x8y 2 IR) [(x + y es impar) ! (x es impar _ 
y es impar)] 
c) (9x8y 2 IR) (x  y ^ x2  y) 
d) (9z8y8x 2 IR) (x  y ! x + z = y) 
71. Averiguar el valor de verdad siendo U = IR. 
a) (x 2 IR) (x  0 ! x  3) 
b) (9x2IR)(x2  0 ! x4 = x3) 
c) (8x2IR, 9y2IR) (x2 + y2 = 1) 
d) (8x2IR, 8y2IR) (y  x ! 2y  10) 
72. Dada la proposición, 8 no es impar divisible por 2, 
porque 9 no es o múltiplo de 3.Niegue la proposición 
y Determine su valor de verdad . 
73. Dadas las proposiciones abiertas p(x) : x2  x y 
q(x) : x  0. Determine el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
a) [p( 11 
2 ) ! q(1)] ! [p(x) ^ q(x)] 
b) 8x2IR : p(x) ! q(x) 
74. Si la proposición (p ^ q) ! (r ! t) es falsa, 
determine el valor o de verdad de la proposición 
(p ^ t) ! (r _ q) ! (u $ v). 
75. Demostrar: 
a) Si n es par y m es impar, entonces (n +m) es 
impar, n,m2IN). 
b) Si xy = 0 entonces x = 0 _ y = 0. 
c) Si ab es impar, entonces a es par y b es impar. 
76. Determine el valor de verdad de las siguientes propo-siciones: 
a) 8x2IR : x2  x 
b) 9x2IR : 2x = x 
c) 8x2IR : 2x−1 
4x−2 = 12 
d) 9x2IR : x2 + 2x + 1  0 
e) 8x2IR : −x2 + 4x−5  0 
Antalcides Olivo 61
Fundamentos matematica
2 Teoría de conjuntos y sistemas numéricos 
Contenido Capítulo 2 Página 
2.1 Introducción 2 
2.1.1 Un poco de historia 2 
2.1.2 Teoría intuitiva de conjuntos 2 
2.2 Relaciones y axiomas en la teoría de conjuntos 7 
2.3 Operaciones entre conjuntos 10 
2.4 Representación de conjuntos 12 
2.5 Propiedades De los conjuntos 12 
2.6 Problemas 12 
Objetivos 
* Interpreta correctamente los conceptos de conjunto y elemento. 
* Argumenta los procedimientos para realizar operaciones entre conjuntos . 
* Maneja con criterio las operaciones y sus propiedades en los diferentes sistemas numéricos. 
* Identifica conjuntos. 
* Clasifica conjuntos. 
* Realiza operaciones entre conjuntos. 
* Clasifica los conjuntos numéricos. 
Indicadores de Logros 
* Realiza operaciones aritméticas en los diferentes conjuntos numéricos. 
* Aplica correctamente las propiedades de las operaciones definidas en los conjuntos numéricos 
1
Capítulo 2. Teoría de conjuntos y sistemas numéricos 
2.1 Introducción 
La teoría de conjuntos, es la rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento 
formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación 
de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su 
forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y 
precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito. 
2.1.1. Un poco de historia 
En el último cuarto del siglo XIX se vivió un episodio apasionante de la historia de las matemáticas que las ligaría desde 
entonces a la historia de la lógica. 
Primero, Georg Boole (1815-1864) en su Mathematical Analysis of Logic trató de presentar la lógica como parte de las 
matemáticas. 
Poco después Gottlob Frege (1848-1925) intentó mostrar que la aritmética era parte de la lógica en su Die Grundlagen der 
Arithmetik. Pero, dando un gran paso tanto en la historia de las matemáticas como en la historia de la lógica, G. Cantor se había 
adelantado a Frege con una fundamentación lógica de la aritmética. 
Cantor había demostrado que la totalidad de los números naturales comprendidos en el intervalo de extremos 0 y 1 no es 
numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los números naturales. Como una consecuencia de esa situación, Cantor 
creó una nueva disciplina matemática entre 1874 y 1897: la teoría de conjuntos. 
Su obra fue admirada y condenada simultáneamente por sus contemporáneos. 
Desde entonces los debates en el seno de la teoría de conjuntos han sido siempre apasionados, sin duda por hallarse 
estrechamente conectados con importantes cuestiones lógicas. 
Según la definición de conjunto de Cantor, éste es “una colección en un todo de determinados y distintos objetos de nuestra 
percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto”. 
Frege fue uno de los admiradores de la nueva teoría de Cantor, y dio una definición de conjunto similar. 
En 1903 B. Russell demostraría que la teoría de conjuntos de Cantor era inconsistente y cuestionaría la definición de conjunto 
en la teoría de Cantor. 
Pero pronto la teoría axiomática de Zermelo (1908) y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1922), Skolem (1923), von 
Newman (1925) y otros sentaron las bases para la teoría de conjuntos actual. 
Es indiscutible el hecho de que la teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas, es además, la teoría matemática 
dónde fundamentar la aritmética y el resto de teorías matemáticas. 
Es también indiscutible que es una parte de la lógica y en particular una parte de la lógica de predicados. 
En esta historia cruzada de las matemáticas, la lógica y los fundamentos de ambas, la teoría de conjuntos permitiría por un 
lado una fundación logicista de las matemáticas; pero por otro lado la teoría de conjuntos mirada como parte de las matemáticas 
proporciona el metalenguaje, el contexto o sustrato de las teorías lógicas. Finalmente, puede ser completamente expresada en 
un lenguaje de primer orden y sus axiomas y teoremas constituyen una teoría de primer orden a la que pueden aplicarse los 
resultados generales que se aplican a cualquier teoría de primer orden. 
2.1.2. Teoría intuitiva de conjuntos 
La definición inicial de Cantor es totalmente intuitiva: 
Definición. 2.1. 1 Conjunto según Cantor 
un conjunto es cualquier colección C de objetos determinados y bien distintos de nuestra percepción o nuestro pensamiento 
(objetos x que se denominan elementos de C), reunidos en un todo. 
2 Antalcides Olivo
2.1. Introducción 
Igual que en Frege su idea de lo que es un conjunto coincide con la extensión de un predicado (la colección de objetos que 
satisface el predicado). Esta idea sencilla y tan intuitiva resulta ser también ingenua porque produce enormes contradicciones de 
inmediato, como por ejemplo la paradoja de Russell. 
Para poder mostrarlo es necesario empezar por formalizar esta teoría intuitiva que, aparte de los símbolos para los conjuntos 
y sus elementos (x, C, etc.), tendrá los símbolos de pertenencia, 2 e igualdad = (de los objetos del lenguaje formal). 
Que x es un elemento del conjunto C se expresa “ x pertenece a C” o bien x 2 C. 
Que x no es un elemento de C se expresa “ x no pertenece a C” o bien x /2 C. 
Tendremos en cuenta que no es necesario denotar siempre con mayúsculas a los conjuntos y con minúsculas a sus elementos, 
ya que un conjunto puede ser a su vez un elemento de otro conjunto e incluso podemos considerar que en nuestra teoría no hay 
objetos que no sean conjuntos. 
El problema ahora el el siguiente: 
¿Cómo se determina una colección? 
De acuerdo con la definición intuitiva de Cantor un conjunto queda definido si es posible describir completamente sus 
elementos. 
* El procedimiento mas sencillo de descripción es nombrar cada uno de sus elementos, esta descripción se llama definición 
por extensión; es conocida la notación de encerrar entre llaves los elementos del conjunto. 
Ejemplos. 2.1. 1 Listar un conjunto 
1. A = a, b, c. Donde A es el conjunto formado por la colección de objetos a, b y c. 
2. B = {,	,
,,
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  • 1. Fundamentos De Matemáticas UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Esp. ANTALCIDES OLIVO
  • 3. Índice general 1. Introducción a la Lógica 1 1.1 Introducción 2 1.2 Sistema axiomático 3 1.2.1 Modelos para un sistema axiomático formal 4 1.2.2 Concepto de lógica matemática 4 1.3 Enunciados y proposiciones 5 1.3.1 Enunciados 6 1.3.2 Proposición lógica 14 1.4 Conjunto y operaciones con proposiciones 18 1.4.1 Proposiciones abiertas 19 1.4.2 Conjuntos especiales 21 1.4.3 Operaciones entre proposiciones 32 1.4.4 Relaciones entre proposiciones 38 1.5 Inferencia y esquemas de razonamiento 41 1.5.1 Principales leyes lógicas o tautológicas 41
  • 4. 1.5.2 Esquemas de razonamiento 47 1.6 Problemas 55 2. Teoría de conjuntos y sistemas numéricos 1 2.1 Introducción 2 2.1.1 Un poco de historia 2 2.1.2 Teoría intuitiva de conjuntos 2 2.2 Relaciones y axiomas en la teoría de conjuntos 7 2.3 Operaciones entre conjuntos 10 2.4 Representación de conjuntos 12 2.5 Propiedades De los conjuntos 12 2.6 Problemas 12
  • 5. 1 Introducción a la Lógica Contenido Capítulo 1 Página 1.1 Introducción 2 1.2 Sistema axiomático 3 1.2.1 Modelos para un sistema axiomático formal 4 1.2.2 Concepto de lógica matemática 4 1.3 Enunciados y proposiciones 5 1.3.1 Enunciados 6 1.3.2 Proposición lógica 14 1.4 Conjunto y operaciones con proposiciones 18 1.4.1 Proposiciones abiertas 19 1.4.2 Conjuntos especiales 21 1.4.3 Operaciones entre proposiciones 32 1.4.4 Relaciones entre proposiciones 38 1.5 Inferencia y esquemas de razonamiento 41 1.5.1 Principales leyes lógicas o tautológicas 41 1.5.2 Esquemas de razonamiento 47 1
  • 6. Capítulo 1. Introducción a la Lógica 1.6 Problemas 55 Objetivos * Interpreta correctamente las proposiciones. * Clasifica correctamente las condiciones. * Argumenta los diferentes métodos de demostración. * Identifica proposiciones. Indicadores de Logros * Diferencia entre demostraciones directas e indirectas. * Argumenta los distintos tipos de demostración indirectas. 1.1 Introducción Este primer capítulo es una breve introducción a la lógica, que es la herramienta que usan las matemáticas para desarrollarse. El objetivo del mismo es describir en que consiste una teoría matemática. Para lograrlo, primero hay que exponer sucintamente las reglas de la lógica de proposiciones, definir con precisión que es un razonamiento lógico y, por ultimo, explicar en que consiste una teoría matemática (brevemente, una serie de axiomas, definiciones y teoremas relacionados entre sí mediante argumentos lógicos, como veremos mas adelante). La lógica es un esquema de reglas que permite deducir verdades a partir de o otras verdades. El medio que lleva de las primeras verdades a las otras deducidas se llama razonamiento lógico. La lógica estudia, precisamente, los razonamientos lógicos, estableciendo cuándo un razonamiento es valido, independientemente del contenido de las verdades que se enuncien. Sólo le interesan las manipulaciones que se hacen con los enunciados, no su contenido. Todos los resultados mostrados en este capítulo se prueban rigurosamente. Sin embargo, no se usa para ello el razonamiento lógico, que que se utiliza en un curso de lógica matemática sino el simple y eficaz camino de las tablas introducidas en la sección 1.4.4 . Por supuesto, algunos resultados si se podrán demostrar a partir de otros anteriores mediante las leyes del álgebra de proposiciones, que se exponen en la a sección 1.4.3. Pero hemos preferido dejar todo el capítulo en manos de las tablas. Por otra parte Uno de los aspectos fundamentales en cualquier interpretación rigurosa de la realidad es la coherencia interna de la explicación. Es conveniente atender a este aspecto con toda la claridad que sea 2 Antalcides Olivo
  • 7. 1.2. Sistema axiomático posible. y a aquí es donde echamos mano de la lógica que es la que se ocupa del estudio de las formas correctas de pensar y sirve, por tanto, no sólo para comprobar la validez formal de los argumentos, sino que permite también la elaboración formalmente rigurosa de las explicaciones teóricas. En la medida en que las ciencias procuran interpretar la realidad física sin depender excesivamente de implícitos no controlables, y en que la realidad que estudian es compleja y difícil de comprender intelectualmente; necesitan aumentar el control sobre las propias formulaciones teóricas. Este dominio debe ejercerse en dos campos principales: El significado estricto de las nociones que emplea. La validez formal de las teorías y leyes en que las ordena. El método que permite dar cumplimiento a estas necesidades es el de la axiomatización. El cual es aplicable en toda su pureza en las llamadas ciencias formales como, la lógica y las matemáticas, pero proporciona grandes ventajas en la ciencias, y sigue siendo el ideal en otras ramas del saber. No es posible alcanzar un control objetivo absoluto acerca del saber, es decir tenerlo todo explicitado sin presupuestos. No cabe alcanzar un dominio total de la objetividad. Pero sí merece la pena que lo objetivable se exprese del modo más claro y formalmente riguroso que pueda alcanzarse, conscientes de las limitaciones inherentes al intento y de la necesidad de presupuestos no sistematizables para que el conocimiento pueda cumplirse. El conocimiento humano puede dividirse en inmediato y mediato. Todo posible conocimiento debe alcanzarse desde aquel que ya se posee, y el modo de poseer con claridad objetiva lo que se sabe se apoya en la posibilidad de expresarlo mediante enunciados con sentido. Así pues, lo que se desconoce directamente habrá de poderse concluir desde los enunciados conocidos, con la ayuda de una regla que nos permita comprender su validez. El proceso avanza desde las premisas hacia la conclusión, según las reglas válidas de la demostración y de la lógica . Sistema axiomático 1.2 Toda teoría matemática tiene una estructura que la diferencia de las teorías presentadas en las otras disciplinas. A ésta estructura se le llama sistema axiomático. Un sistema axiomático formal consta de los siguientes elementos: * Un alfabeto S para construir expresiones formales que incluye: * Un conjunto mínimo de elementos o términos propios de la teoría que no se pueden construir a partir de otros. ( “Es decir no se pueden definir”). * Un conjunto de términos construidos a partir de los elementos del conjunto anterior. (Definiciones) Antalcides Olivo 3
  • 8. Capítulo 1. Introducción a la Lógica * Un conjunto de símbolos para conectivas lógicas y cuantificadores. (operaciones) * Un conjunto de símbolos para designar variables. * Un conjunto de símbolos para constantes (que tendrán en un modelo una interpretación fija). * Un conjunto de símbolos que serán interpretados como funciones. * Un conjunto de símbolos que serán interpretados como relaciones. * Una gramática formal que incluirá: * Reglas de buena formación, que reproducen la "morfología" del lenguaje formal. * Reglas de inferencia que permitirán deducir unas proposiciones de otras, estas reglas reproducen la "sintaxis" del lengua formal. * Un conjunto de axiomas inicial, o expresiones bien formadas, que son el punto de partida de cualquier deducción. Para el conjunto de expresiones bien formadas expresadas en el lenguaje formal anterior puede definirse una S −estructura en la que a cada variable constante o cada ocurrencia libre de una variable reciba un valor dentro del modelo (es decir, las constantes y variables libres serán conjuntos preasignados de la S −estructura). Las funciones y relaciones serán definidas como funciones y relaciones matemáticas dentro de la S −estructura. Una vez definidas las constantes, variables libres, funciones y relaciones resulta trivial atribuir un significado concreto a las expresiones del lenguaje formal en la S −estructura. 1.2.1. Modelos para un sistema axiomático formal Si un conjunto de proposiciones (fórmulas bien formadas) de un sistema axiomático formal admiten una S − estructura donde se satisfacen, entonces se dice que dicha estructura es un modelo para el conjunto de proposiciones. Un sistema de axiomas que admite un modelo es un sistema de axiomas consistente. Un sistema formal bien construido satisface "teorema de validez" que viene a afirmar que cualquier proposición deducible de los axiomas o teorema del sistema axiomático, se satisface también, en todos los modelo que sean un modelo en el que se satisfacen los axiomas. La propiedad recíproca no siempre se cumple, una proposición que se satisface en todos los modelos de una teoría no tiene porqué ser deducible del sistema de axiomas. Este último punto es ilustrado por los teoremas de incompletitud de Gödel, que viene a afirmar que una sistema formal de ciertos sistemas matemáticos con un conjunto de axiomas que satisface determinada propiedad formal (ser un recursivamente enumerables ) admitirá un modelo en el que algunas proposiciones serán ciertas pero no serán deducibles. Es decir, la teoría asociada al sistema axiomático formal será esencialmente incompleta. 1.2.2. Concepto de lógica matemática La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. 4 Antalcides Olivo
  • 9. 1.3. Enunciados y proposiciones La lógica estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes formales y las propiedades metalógicas de los mismos. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado dentro de un determinado sistema formal. En un nivel avanzado, la lógica matemática se ocupa de la posibilidad de axiomatizar las teorías matemáticas, de clasificar su capacidad expresiva, y desarrollar métodos computacionales útiles en sistemas formales. La teoría de la demostración y la matemática inversa son dos de los razonamientos más recientes de la lógica matemática abstracta. Debe señalarse que la lógica matemática se ocupa de sistemas formales que pueden no ser equivalentes en todos sus aspectos, por lo que la lógica matemática no es método de descubrir verdades del mundo físico real, sino sólo una fuente posible de modelos lógicos aplicables a teorías científicas, muy especialmente a la matemática convencional. La lógica matemática no se encarga por otra parte del concepto de razonamiento humano general o del proceso creativo de construcción de demostraciones matemáticas mediante argumentos rigurosos pero hechas usando lenguaje informal con algunos signos o diagramas, sino sólo de demostraciones y razonamientos que pueden ser completamente formalizados en todos sus aspectos. Enunciados y proposiciones 1.3 Empezaremos el estudio de la lógica construyéndola como expondremos a continuación: Lo primero es establecer un conjunto mínimo de términos, los cuales no se pueden definir, pero que de forma natural se pueden conocer sus características o propiedades. A partir de los elementos anteriores se construyen otros usando proposiciones en forma de equivalencia. estas proposiciones se llaman definiciones. Un conjunto de operaciones y relaciones. Luego se establecen un conjunto de propiedades independientes, los cuales son ciertos por si solos , es decir su validez es evidente. A este conjunto de propiedades se llaman axiomas y/o postulados. Para terminar se construyen a partir de todo lo anterior un conjunto ilimitado de propiedades, las cuales no son evidentes por si solas y por lo tanto es necesario demostrarlas a partir de proposiciones verdaderas usando los métodos de demostración establecidos por la lógica. Antes de empezar la construcción de la lógica estableceremos alguna ideas generales. Por ejemplo: Antalcides Olivo 5
  • 10. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Término. 1.3. 1 Término Es una palabra o propiedad que representa a un objeto o la relación entre varios objetos. En el lenguaje común existen conceptos como son los enunciados, oraciones y proposiciones que ayudan construir la sintaxis del un idioma en particular, pero estos conceptos son muy amplios y permiten que una expresión o termino pueda tener varios significados, lo cual es un problema para utilizarlo en la ciencia donde cada termino debe tener una y solo una interpretación. A continuación expondremos estos conceptos de acuerdo con el idioma Español. 1.3.1. Enunciados Los enunciados están constituidos de manera diversa, según las palabras que lo forman y las relaciones que se establecen entre ellas. Llamamos enunciado a cada secuencia delimitada entre dos silencios, marcada por una determinada curva entonativa, y que constituye un mensaje que ofrece sentido completo en una situación dada. El enunciado es, por tanto, una unidad mínima de comunicación. Existen varios tipos de enunciados * Enunciativos: este tipo de enunciados informan acciones que han ocurrido en el pasado, están ocurriendo en ese preciso momento o pasarán en el futuro. Algunos ejemplos son: Ejemplos. 1.3. 1 1. Ayer estuve de visita en la casa de José. 2. Me estoy comiendo un helado de chocolate y vainilla. 3. Mañana mi tía entra al trabajo más tarde. 4. Miguel está enfermo desde la semana pasada. El viernes voy al cine con mis primas. * Dubitativos: en este caso las ideas expresadas tienen un carácter dudoso o solo existe la posibilidad de que se hagan realidad. Algunos ejemplos de estos enunciados son: Ejemplos. 1.3. 2 1. Quizá llueva esta noche. 2. Es probable que mañana me levante muy temprano para hacer compras Posiblemente Romina llegue tarde. 6 Antalcides Olivo
  • 11. 1.3. Enunciados y proposiciones Ejemplos. 1.3. 2 (Continuación) 3. Tal vez el viernes vamos a comer a la casa de Agustín. 4. Puede ser que salgamos en veinte minutos. * Interrogativos: estos enunciados son utilizados para formular preguntas. Algunos ejemplos son: Ejemplos. 1.3. 3 1. ¿Qué hora es? ¿Cómo estás? 2. ¿Falta mucho para llegar? 3. ¿Has hablado con Esteban en los últimos días? 4. ¿Entendiste la última pregunta del examen de matemática? * Exhortativos: en este caso los enunciados son utilizados para dar órdenes, peticiones, consejos o ruegos. Algunos ejemplos son: Ejemplos. 1.3. 4 1. ¿Podrías traerme un vaso de agua? 2. ¡No vayas por allá! Trata de no llegar tarde esta noche. 3. Me alcanzarías los papeles que están sobre la mesa por favor. 4. Cierra las ventanas de tu cuarto. * Exclamativos: estos enunciados son utilizados para expresar emociones, como alegría, dolor, nostalgia, ira, etc. Por ejemplo: Ejemplos. 1.3. 5 1. ¡Cuánto me alegra que hayas podido venir! 2. ¡Estoy muy enojada con tu primo! 3. ¡Es un día precioso! 4. ¡Estoy muy feliz! ¡Siento mucho la muerte de tu gato! Antalcides Olivo 7
  • 12. Capítulo 1. Introducción a la Lógica 1.3.1.1. Oración Llamamos oración a un tipo particular de enunciados caracterizado por la presencia de una forma verbal: Si el verbo establece con el sujeto una relación predicativa basada en la concordancia de persona y número, se trata de una oración personal. Si la relación predicativa no es posible, la oración es impersonal. En la escritura, una oración se reconoce porque comienza con grafía inicial mayúscula y termina con un punto. La oración es una unidad: semántica, con sentido completo en sí misma; fonética, con pausas orales delimitadas y marcadas; y sintácticamente independiente. Cuando una oración incluye uno o más enunciados pasa a ser compuesta. Si no es así, se trata de una oración simple. Es decir la oración es la unidad lingüística más pequeña que tiene sentido propio (sujeto y predicado), sintácticamente independiente, donde : Sujeto : Es la persona, animal o cosa de la que se dice algo. Para localizarlo se pregunta ¿Quién?, ¿Quiénes? o ¿Qué cosa?, ¿Qué cosas? al verbo. El sujeto concuerda siempre en persona y número con el verbo: A Luis le gustan las canciones de Bisbal. “Las canciones de Bisbal” es el Sujeto porque responde a la pregunta ¿qué cosas le gustan a Luis? Y porque concuerda en persona y número (ellos/ellas) con el verbo. Predicado : Es lo que se dice del sujeto. Para localizarlo es fácil: "Lo que no es sujeto". Clases de sujetos. Sujeto expreso . Es el que aparece en la oración y lo llamaremos Sujeto Sujeto omitido o elíptico . Es el sujeto que no aparece pero que nos descubre el verbo. Ejemplos. 1.3. 6 1. Alfonso corre mucho. Sujeto Predicado 2. Corren mucho. (Ellos/as) Predicado Sujeto omitido 8 Antalcides Olivo
  • 13. 1.3. Enunciados y proposiciones 1.3.1.2. Frase Los enunciados que carecen de una forma verbal personal son las denominadas frases . Los constituyentes de las frases son siempre palabras de índole nominal, esto es, sustantivos, adjetivos o adverbios. Al no existir un núcleo verbal del que dependan sus demás componentes, las relaciones internas no son idénticas a las que se establecen en la oración. Por ello, las frases no deben clasificarse por analogía con las oraciones a las que pudieran ser semánticamente equivalentes. Las frases pueden ser constituidas por una sola palabra (¡Lástima!, ¡gracias!, ¡vaya!), (¡Mi alma!, ¡buenas tardes!, ¡a estudiar mucho!, ¡gajes del oficio!). Por ejemplo: Ejemplos. 1.3. 7 1. Perro ladrador, poco mordedor. 2. Prohibida la entrada. 3. ¡Qué tiempos aquellos! 4. A mal tiempo, buena cara. 5. ¡A mi edad, hacer estas cosas! 6. De tal palo, tal astilla. 7. En casa del herrero, cuchillo de palo. 8. Vivir para ver. 1.3.1.3. Proposición: Es parecida a la oración, pero carece de un elemento y se puede interpretar como la unidad de lenguaje que tiene sujeto y predicado, verbo en modo personal, pero cuyo sentido es incompleto. Esta unidad de lenguaje depende de otra con sentido completo. También recibe el nombre de oración subordinada, es decir. La proposición es un sintagma más reducido que la oración. Y por lo tanto, cualquiera que sea su estructura, estará siempre incluida en la oración. Tanto la oración como la proposición son unidades semánticas, sintácticas y fonéticas. La diferencia estriba en que la proposición es una unidad menor y formante de la oración compuesta, ya sea por coordinación o por subordinación. Por lo tanto, la proposición es también una unidad: Antalcides Olivo 9
  • 14. Capítulo 1. Introducción a la Lógica * semántica, sin sentido completo en sí misma o si lo tiene, por ser un miembro de la oración a que pertenece, será un sentido más restringido; * fonética, sin pausas tan delimitadas, marcadas gráficamente por la coma o el punto y coma; y * sintáctica, con enlaces gramaticales que la hacen dependiente de una oración principal o la relacionan con otra u otras proposiciones. Podemos clasificar las proposiciones de la siguiente forma: * Proposición Sustantiva: Equivale a un sustantivo y funciona como tal en la oración compuesta. Funciona sintácticamente como: Ejemplos. 1.3. 8 Sujeto: 1. Es necesario que te levantes temprano. 2. Lo racional es que continúes trabajando. 3. Parecía injusto que se olvidara de mí. Ejemplos. 1.3. 9 Complemento directo: 1. Veo lo que dices. 2. Pide lo que quieras. 3. Olvidé decirle a Carlos lo que me habías encargado. 4. Dijeron que vendrían hoy. Ejemplos. 1.3. 10 Complemento de un adjetivo: 1. Pedro está arrepentido de lo que hizo. 2. El jurado está convencido de que el reo es inocente. 3. El niño está cansado de que no lo tomen en serio. 10 Antalcides Olivo
  • 15. 1.3. Enunciados y proposiciones Ejemplos. 1.3. 11 Complemento de un adverbio: 1. Ella está muy lejos de que la inviten. 2. El pueblo está más cerca de lo que imaginan. * Proposición Adjetiva: Equivale a un adjetivo. Cumple sus mismas funciones. Nada más que en lugar de ser una sola palabra constituyen una oración subordinada. Hay proposiciones adjetivas de sujeto y en el complemento indirecto. Cabe mencionar que el subordinante "Que" es el más empleado en las proposiciones adjetivas. * Proposición Adjetiva de sujeto: Modifican directamente al núcleo del sujeto. Fíjate en las siguientes oraciones: Ejemplos. 1.3. 12 1. El marido que respeta a su mujer cumple con su deber. 2. El cuadro que adquirieron ayer no vale lo que pagaron. 3. Ese club, al cual se adhirieron ayer, cumple bien sus funciones. 4. El periódico cuyo director renunció, subirá de prestigio. 5. La silla donde te sentaste está rota. Está muy clara la función desempeñada por las proposiciones resaltadas: modifican al sustantivo, núcleo del sujeto, que es su antecedente. * Proposición Adjetiva en el complemento directo: Modifican directamente al núcleo del complemento directo (El complemento directo es el nombre del objeto que se ve afectado por la acción del verbo). Nota que inmediatamente después del sustantivo viene la proposición que se convierte en el complemento directo. Ejemplos. 1.3. 13 1. Te escribí una carta en la que te informaba sobre el nuevo carro. 2. Deberías apreciar el regalo que te hizo Bertha. 3. Algún día visitarás la casa que tengo en El Valle. Antalcides Olivo 11
  • 16. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Ejemplos. 1.3. 13 (Continuación) 4. Todavía estoy esperando la cena que me prometiste. 5. Me sacaron la muela que me dolía mucho. * Proposición Adjetiva en el complemento indirecto: Modifican directamente al núcleo del complemento indirecto (El complemento indirecto siempre va precedido de las preposiciones a y para). Analiza las siguientes oraciones compuestas: Ejemplos. 1.3. 14 1. Regalé ropa y cobijas a la Cruz Roja, que necesita de todos nosotros. 2. Escogieron una bellísima canastilla para la joven que va a cumplir quince años. 3. Los distintos clubes sociales de la ciudad dieron su aportación para los niños que sufren poliomielitis. 4. Trajeron la tarjeta de crédito para el señor que vive al lado. 5. Llegó un telegrama para el hombre cuyo padre vive en Europa. Las proposiciones están modificando al sustantivo que es núcleo del complemento indirecto. * Proposición Adjetivas en el complemento circunstancial: Modifican directamente al núcleo del comple-mento circunstancial. Ejemplos. 1.3. 15 1. Juan está en la casa donde encontraron oro. 2. Te espero en el café que está en la calle Morelos. 3. Escuché la conferencia de Raiza en Pedasí, cuyas playas son formidables. 4. Me quedo con la carretilla que tiene más espacio. 5. No voy al cine que exhibe películas de guerra. * Proposiciones Adjetivas en el predicado nominal: Modifican al núcleo del predicado nominal, cuando es un sustantivo o equivalente. Como en las siguientes oraciones: 12 Antalcides Olivo
  • 17. 1.3. Enunciados y proposiciones Ejemplos. 1.3. 16 1. Hortensia es la persona a quien he estado buscando. 2. Los niños son los seres que tienen mayor inocencia. 3. Apreciar esta pintura es la forma como se concilia uno con el mundo. 4. Estos son los poemas cuyos autores no los hubieran escrito sin sentirse realmente desolados en el universo. En estos casos las proposiciones adjetivas están modificando directamente a los sustantivos que están funcionando como núcleos del predicado nominal. 1. persona; 2. seres; 3. forma; 4. poemas. Los subordinantes son respectivamente: quien, que, como, cuyos. * Proposiciones Adjetivas explicativas: Añaden una cualidad al sustantivo que están modificando directa-mente, van entre comas. De hecho las comas son la principal forma de diferenciarlas de las especificativas. La proposición en sí no es indispensable para dar sentido cabal a la oración. Ejemplos. 1.3. 17 1. Socorrimos a la madre, que estaba gritando. 2. Escoge la corbata roja, que es la más fina de todas. 3. Los niños, que iniciaron el juego, llegaron primero. * Proposiciones Adjetivas especificativas: Limitan al sustantivo al cual están determinando; restringen el sentido de lo enunciado. La proposición en si es indispensable para dar sentido cabal a la oración. Ejemplos: Ejemplos. 1.3. 18 1. Los niños que iniciaron el juego llegaron primero. Antalcides Olivo 13
  • 18. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Ejemplos. 1.3. 18 (Continuación) 2. Adquirimos los libros que estaban en oferta. 3. La alberca que estaba recién pintada fue inaugurada. Ejemplo. 1.3. 1 Oración compuesta (por una proposición subordinada) La madre creyó que el niño dormía en su cuna. Oración compuesta en donde encontramos una frase subordinada: que el niño dormía en su cuna. El sujeto de la oración es La madre y el predicado es creyó que el niño dormía en su cuna. El niño es el sujeto de la proposición y dormía en su cuna es el predicado de la proposición. 1.3.2. Proposición lógica1 De acuerdo con lo expuesto anteriormente vemos la necesidad de establecer un concepto menos amplio de enunciado y de proposición por lo que estableceremos un nuevo concepto determinado como Término no defnido. 1.3. 1 Enunciado lógico Un enunciado lógico es una oración o conjunto de oraciones con sentido completo. En este concepto usaremos el concepto de oración en toda su dimensión, pero no así el de enunciado. Presentaremos dos ejemplos de Enunciados lógicos * Escuché la conferencia de Raiza en Pedasí, cuyas playas son formidables. * Estos son los poemas cuyos autores no los hubieran escrito sin sentirse realmente desolados en el universo. Ahora presentaremos un nuevo concepto como un término que se construye a partir de uno ya conocido. Definición. 1.3. 1 Proposición lógica Una proposición lógica es un enunciado lógico al cual se le puede asignar un valor de verdad, es decir puede ser falso o verdadero, pero no ambas. 1Aquí empieza la construcción axiomática de la lógica. 14 Antalcides Olivo
  • 19. 1.3. Enunciados y proposiciones Nota: De aquí en adelante a las proposiciones lógicas y a los enunciodos lógicos los llamaremos simplemente proposiciones y enunciados, a no ser que no estemos en el contexto de la lógica matemática, por que en ese caso debemos hacer la aclaración Por ejemplo: * 3 + 2 = 5. De acuerdo con la definición de adición entre naturales, este enunciado es verdadero, por lo tanto es una proposición. * Mañana llueve. esto es algo que no se puede saber antes de termine el día, por lo tanto no se le puede asignar un valor de verdad, es decir este enunciado no es una proposición. Notación: Las proposiciones lógicas serán denotadas generalmente con letras minúsculas p, q, r , t, etc. A la veracidad o falsedad de una proposición se denomina valor de verdad. Definición. 1.3. 2 Valor de verdad Se llama valores de verdad de una proposición a sus dos valores posibles; verdadero o falso. Estos posibles valores se puede esquematizar en una tabla, llamada tabla de verdad, en la forma. Cuadro 1.1: Tabla de verdad p f v 1.3.2.1. Clasificación de proposiciones Proposiciones atomicas o simples Las proposiciones atómicas ó simples, son las proposiciones que no utiliza conectivos lógicos. Proposiciones Moleculares o compuestas Cuando las proposiciones costan de una única oración es fácil especificar su valor de verdad, pero cuando consta de varias oraciones, no lo es tanto; además debemos establecer la forma de conectar las oraciones para que tengan sentido, completo, por lo que se hace necesario establecer una serie de términos para este fin, estos términos son los llamados conectivos lógicos. Y las proposiciones que los usan se llaman proposiciones compuestas o moleculares. Conectivos lógicos Son expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones, entre los más importantes conectivos lógicos tenemos. La conjunción, disyunción, condicional, bicondicional, negación, esto mostraremos en la siguiente tabla: Antalcides Olivo 15
  • 20. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Cuadro 1.2: Tabla de los conectivos lógicos Símbolo lógico Expresión ^ p y q _ o p o q Y p ó q ! Si p, entonces q ! p si y sólo si q o ¬ ni p, no p Nota: Generalmente usamos el conectivo _ de la siguiente forma 2 es par o 3 es impar, en vez de o 2 es par o 3 es impar. también se puede usar: 2 es par o/y 3es impar. * Ejemplos de proposiciones atómicas. Ejemplos. 1.3. 19 1. 6 es par. 2. 2+5=7. 3. p2 es un número real. * Ejemplos de proposiciones moleculares. Ejemplos. 1.3. 20 1. 6 es par y 5 es primo. 2. Si 3+5=8, entonces la suma de primos no es primo. 3. o p −2 no es un número real o p2 es real. 1.3.2.2. Tipo de proposiciones Término. 1.3. 2 Tautología Una tautología es una proposición que siempre es verdadera. A las tautologías a veces en matemáticas se les llama verdades o afirmaciones. Las verdades generales de las matemáticas se deducen a partir del razonamiento lógico, siendo las premisas o afirmaciones, las definiciones, postulados o principios previamente establecidos. El razonamiento utilizado para establecer cualquier verdad o principio es llamado una demostración. 16 Antalcides Olivo
  • 21. 1.3. Enunciados y proposiciones Término. 1.3. 3 Falacia Una falacia o contradicción es una proposición que siempre es falsa. Término. 1.3. 4 Contingencia Las contingencia son proporciones compuestas que no son ni tautología ni contradicciones, es decir, son proposiciones que en algunos casos es f, y en otros es v. 1.3.2.3. Tipos de tautologías Los siguientes términos son siempre tautologías Término. 1.3. 5 Definición Una definición es una afirmación que explica el significado de un término o una palabra, en función de palabras o términos conocidos. En caso de que un término no se pueda expresar en función de otros términos ya establecidos, se dice que es un término no definido. Término. 1.3. 6 Teorema Un teorema es una verdad que requiere demostración. Término. 1.3. 7 Axioma Un axioma es una verdad auto-evidente. Un PROBLEMA es una situación o proposición que requiere solución. Término. 1.3. 8 Postulado Un Postulado es un problema auto-evidente. Antalcides Olivo 17
  • 22. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Término. 1.3. 9 Hipótesis Una hipótesis es una suposición hecha, bien en el texto de una proposición, o en el curso de una demostración. 1.4 Conjunto y operaciones con proposiciones Antes de seguir con la construcción de la lógica matemática debemos conocer los conceptos de conjunto, producto cruz, relación y función. Término no defnido. 1.4. 1 Conjunto Un conjunto es o la existencia o agrupación de objetos que poseen varias características en común, ó la ausencia de objetos. Realmente un conjunto es una estructura mental con alguna de las siguientes características : * No posee objetos. * Posee sólo un objeto. * Posee muchos objetos. * Posee infinitos objetos Nota: Los objetos que se encuentran en un conjunto se les llama elementos Hasta ahora no hemos explicado como se representan los conjuntos , ya que recordemos que los conjuntos son estructuras abstractas. Los conjuntos se pueden representar de dos maneras por extensión y por comprensión. Término. 1.4. 1 Conjuntos por extensión Un conjunto esta representado por extensión cuando los elementos del conjunto se listan entre llaves. Por ejemplo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } Término. 1.4. 2 Conjuntos por compresión Un conjunto esta representado por comprensión cuando los elementos del conjunto se clasifican especificando una o varias propiedades que los identifica. 18 Antalcides Olivo
  • 23. 1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones Ejemplo. 1.4. 1 representación de conjuntos * Los números pares. * Los carros marca Ford. Notación: A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B C, . . . , etc. Y a los elementos se les representa con lestras minúsculas a, b, c . . . etc. Cuando un elemento a se encuentra en un conjunto B se denota a 2 B. “ Se lee a pertenece a B.” Ejemplo. 1.4. 2 Notación de conjuntos Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5,6} tenemos. * 3 2 A, se lee 3 pertenece al conjunto A. * 5 /2 A, se lee 2 no pertenece al conjunto A. Nota: Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos 1.4.1. Proposiciones abiertas Regresando al concepto de proposición lógica, donde las expresiones solo pueden ser falsas o verdaderas, nos encontramos regularmente en matemáticas con expresiones como * x2 −5x + 6 = 0. * x + 1 = 3. * x2 −9 = (x −3) (x + 3) . * x2 = 25 ^ x + 1 = 6. En estos enunciados no es posible deducir el valor de verdad, porque no conocemos el valor de x, pero si por ejemplo en la expresión x + 1 = 3 decimos que x = 3 entonces el enunciado es verdadero y es falso si x6= 3, por lo tanto la expresión es una proposición. Para poder trabajar con este tipo de expresiones es necesario especificar que es x, lo que estudiaremos a continuación. Antalcides Olivo 19
  • 24. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Definición. 1.4. 1 Variable Una variable es un termino que representa cualquier elemento de un conjunto en particular y puede ser sustituido por cualquier elemento del conjunto. Ejemplo. 1.4. 3 Variable Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. x es par, para algúnx 2 A. En este caso la variable es x y la proposición es cierta si x = 2, ya que 2 2 A. Definición. 1.4. 2 Constante Una constante es un termino que representa a un elemento fijo de un conjunto. Notación: Las variables se representan generalmenta con las letras minúsculas l, · · · , u, v, w x, y, z y las constantes generalmente con las letras minúsculas a, b c, · · · , k. Nota: Las letras i, j, k, n y m, como variables, generalmente representan números naturales. Definición. 1.4. 3 Proposiciones abiertas Una proposición abierta es aquella donde el sujeto o los sujetos son representados por variables Ejemplos. 1.4. 1 Proposiciones abiertas * x2 −5x + 6 = 0, x 2 IR. * x + 1 = 3, x 2 IR. * x2 −9 = (x −3) (x + 3) , x 2 IR. * x2 = 25 ^ x + 1 = 6, x 2 IR. Definición. 1.4. 4 Dominio de una proposición abierta El dominio de una proposición abierta o una variable, es el conjunto de valores que puede tomar una variable. 20 Antalcides Olivo
  • 25. 1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones En los ejemplos 1 el dominio de las proposiciones o de la variable es el conjunto de los números reales. Definición. 1.4. 5 Conjunto solución El conjunto solución de una proposición abierta el el conjunto de valores del dominio de una variable que hacen que la proposición sea verdadera. Ejemplo. 1.4. 4 Conjuto solución Dada la proposición x2 −5x + 6 = 0, x 2 IR encuentre el conjunto solución. Solución: Tenemos que el conjunto solución es {−3, 2} ya que *(−3)2 −5 (−3) + 6 = 0 y, * (2)2 −5 (2) + 6 = 0. Además −3, 2 2 IR. Notación: Las proposiciones abiertas se denotan p (x)ó p(x, y, · · · , z) para indicar cuales son las variables. Esta notación nos ayuda a representar mejor los conjuntos por extensión usando la estructura: A = {x : p(x), x 2 A} Como por ejemplo A = {x : x es impar, x 2 IN} 1.4.2. Conjuntos especiales 1.4.2.1. Conjunto vacío Definición. 1.4. 6 Conjunto vacío El conjunto vacío es aquel que no tiene elementos Notación: El conjunto vacío es único y se representa con los símbolos ; ó {}. 1.4.2.2. Conjunto unitario Definición. 1.4. 7 Conjunto unitario Un conjunto unitario es aquel que posee un solo elemento. Antalcides Olivo 21
  • 26. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Ejemplos. 1.4. 2 Conjuntos unitarios * {1} * {a} * {;} 1.4.2.3. Conjunto universal Definición. 1.4. 8 Conjunto universal Un conjunto es universal cuando es el conjunto referencia, es decir es el conjunto que contiene a todos los elementos con las mismas propiedades. Notación: Al conjunto universal se le representa con la letra U. Ejemplos. 1.4. 3 Conjuntos universales * El conjunto de los números naturales. * El conjunto de las letras del alfabeto. * El conjunto de todos los alumnos de la Universidad Del Atlántico. 1.4.2.4. Subconjunto Definición. 1.4. 9 Subconjunto Se dice que un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B. Si A contiene sólo elementos de B ó ningún elemento. Esta definición nos asegura que el vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Notación: Si A es subconjunto de B se denota A B ó B A. 22 Antalcides Olivo
  • 27. 1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones Ejemplo. 1.4. 5 Subconjunto Sea A = {x : x es una letra del alfabeto español} ¿Cuales de los siguientes conjuntos son subconjunto de A 1. B = {a, b, c, d}. 2. C = {;}. 3. D = ;. 4. E = {, a, b}. Solución: B y D ya que CA porque ? no es un elemento de A sino un subconjunto y DA porque no es una letra del alfabeto español. Diagramas de Venn anteriormente dijimos que los conjuntos podíamos representarlos por extensión y por comprensión, pero en algunas ocasiones es mejor representarlos gráficamente, utilizando un rectángulo para el conjunto universal y los conjuntos con figuras geométricas en su interior. por ejemplo sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} el conjunto referencia de los conjuntos A = {1, 4, 5, 7} ,B = {2, 4, 7, 6} y C = {3, 5, 6, 7} entonces podemos representarlos así. U 4 1 2 7 5 6 3 8 A B C 1.4.2.5. Producto cruz Definición. 1.4. 10 Producto cruz Sean A y B conjuntos no vacíos, se llama producto cruz al conjunto de elementos que tienen la forma (x, y) de tal manera que x 2 A y y 2 B. Es decir los elementos de A están en la primera posición y los elementos de B están en la segunda posición del termino (x, y) . Notación: Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío, el producto cruz entre los conjuntos A y B se denota A×B. Antalcides Olivo 23
  • 28. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Nota: Al elemento (x, y) se le llama pareja ordenada y a x se le llama primera componente y a y segunda componente. Ejemplo. 1.4. 6 Sean A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6} hallar a. A×B. b. B ×A. c. A×A Solución: a. A×B = {(1, 4) , (1, 5) , (1, 6) , (2, 4) , (2, 5) , (2, 6) , (3, 4) , (3, 5) , (3, 6)}. b. B ×A = {(4, 1) , (5, 1) , (6, 1) , (4, 2) , (5, 2) , (6, 2) , (4, 3) , (5, 3) , (6, 3)}. c. A×A = {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , (3, 1) , (3, 2) , (3, 3)}. Observe que A ×B6= B ×A. Definición. 1.4. 11 Productos cruz con el vacío 1. ;× ;=;. 2. A×; = ;. 1.4.2.6. Relación binaria Definición. 1.4. 12 Relación binaria Una relación binaria es un subconjunto del producto cruz diferente del vacío . Notación: Si una pareja (x, y) pertenece a una relación binaria R se denota xRy. Que se lee x está relacionada con y. Ejemplo. 1.4. 7 Relación binaria Sean A = {2, 4, 6, 8, 10} y B = {1, 2, 3, 4, 5}, indique cuales conjuntos son relaciones binarias, 24 Antalcides Olivo
  • 29. 1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones Ejemplo. 1.4. 7 (Continuación) 1. R1 = {(x, y) : x = y, x 2 A, y 2 B}. 2. R2 = {(x, y) : x y, x 2 A, y 2 B}. 3. R3 = {(2, 1) , (4, 1) , (6, 1) , (8, 1) , (10, 1)}. 4. R4 = {(1, 2) , (4, 5)}. Solución: 1. R1 = {(2, 2) , (4, 4)} A×B, entonces R1 es relación binaria . 2. R2 = {(2, 3) , (2, 4) , (2, 5) , (4, 5)} A×B, entonces R2 es relación binaria. 3. R3 = {(x, y) : y = 1, x 2 A, y 2 B} A×B, entonces R3 es relación binaria. 4. R4 no es relación binaria de A en B, ya que (1, 2) /2 A×B. Nota: De aquí en adelante a las relaciones binarias las nombraremos sólo relaciones. Nota: En las relaciones a los conjuntos A y B se les llaman conjunto de partida y conjunto de llegada respectivamente 1.4.2.7. Formas de representar una relación Existen varias formas de representar una relación, estas son: 1. Diagrama sagital Los diagramas sagitales son representaciones donde los conjuntos de partida y de llegada son ovalos y las parejas ordenadas se representan con flechas, como se indica en la figura1.1 A R B 1 2 3 4 a b c Figura 1.1: Diagrama Sagital Antalcides Olivo 25
  • 30. Capítulo 1. Introducción a la Lógica La figura 1.1 representa la relación R = {(1, a) , (2, a), (2, c), (3, b), (4, c)} 2. Tabla de datos en esta representación se colocan las parejas en una tabla de la forma x x1 x2 x3 · · · y y1 y2 y3 · · · Cuadro 1.3: Tabla de datos Sean A = B = {1, 2, 3, 4}, indicar si la siguiente tabla representa una relación x 1 2 2 3 4 4 y 1 2 4 3 2 4 Cuadro 1.4: Ejemplo de una tabla de datos Ejemplo. 1.4. 8 Como observamos la tabla representa un subconjunto de A×B, por tanto es una relación de A en B. 3. Una gráfica Esta forma de representar una relación su usa generalmente cuando los conjuntos de partida y de llegada son números ordenados y para ello se usan las coordenadas rectangulares que se dibujan de la siguiente forma a) El conjunto de partida se representa con una linea horizontal llamada eje X, y en el se coloca un punto por cada elemento del conjunto b) El conjunto de llegada se representa con una linea vertical llamada eje Y , y en el se coloca un punto por cada elemento del conjunto. c) Para representar la pareja (x4, y5) se traza una paralela al eje X que pase por y5, luego se traza una paralela al eje Y que pase por x4 y el punto de intersección de estas dos rectas representa a (x4, y5). Y y5 y4 y3 y2 y1 (x4, y5) O 0 X x−1 x1 x2 x3 x4 x5 y−1 26 Antalcides Olivo
  • 31. 1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones d) Utilizando el paso anterior se representan todas las parejas de la relación. Ejemplo. 1.4. 9 Sean A = B = (−1, 7), representar gráficamente la relación R = {(x, y) 2 A×B : y x} 7 Y 6 5 4 3 2 1 0 X −1 1 2 3 4 5 6 7 4. Una proposición abierta. Las proposiciones abierta o fórmulas como por ejemplo anterior y x. 5. Consideremos ahora las relaciones sobre el mismo conjunto es decir si A es un conjunto entonces la relación R : A ! A, cuando Aes un conjunto finito. En este caso usamos un diagrama llamado grafo dirigido. Un grafo dirigido es un conjunto de puntos (llamados vértices) y un conjunto de flechas entre los vértices como mostraremos en el siguiente ejemplo Ejemplo. 1.4. 10 Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4} y la relación R = {(1, 2), (2, 3)} A×A construya su grafo dirigido. Solución: 1 2 4 3 Figura 1.2: Grafo de una relación La manera de asociarle un grafo a una relación R A × A es poner como vértice los elementos del conjunto A y luego una flecha por cada elemento de R. Antalcides Olivo 27
  • 32. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Si (x, y) 2 R, la flecha asociada es la parte del vértice a y llega al vértice y. Por ejemplo Ejemplo. 1.4. 11 Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4} y la relación R = {(1, 1), (1, 3) , (3, 2) , (2, 4) , (4, 2)} A×A construya su grafo dirigido. Solución: 1 2 4 3 Figura 1.3: Grafo de una relación {(1, 1), (1, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2)} Nota: A los conceptos de igualdad y subconjunto se les llama relaciones de contenencia entre conjuntos. 1.4.2.8. Función Se va a introducir el concepto de función, hablando libremente una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla (procedimiento o mecanismo) que nos transporta de un conjunto a otro de manera que asociamos cada elemento de A un único elemento en B. Definición. 1.4. 13 Función Consideremos dos conjuntos cualquiera A y B no vacíos, al conjunto f le llamaremos función de A en B, si y sólo si, se verifica: i) f A×B, es decir f es una relación de A×B. ii) Si (x1, y1) 2 f y (x1, y2) 2 f, entonces y1 = y2. Nota: La segunda condición indica, que dos parejas ordenadas distintas no pueden tener la misma primera componente. Observaciones 28 Antalcides Olivo
  • 33. 1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones * A una función f de A en B la denotaremos por f : A ! B x7! y ó A f! B y se lee “ f es una función de A en B”, donde el conjunto A le llamamos conjunto de partida y el conjunto B le llamaremos conjunto de llegada. * Si el par (x, y) 2 f, escribimos y = f (x) y se dice que y es imagen de x por f ó también, que y = f (x) es el valor de f en x. * También se puede decir que y = f (x) si y sólo si (x, y) 2 f. * Otra forma de representar una función es f = {(x, y) 2 A×B : y = f (x)} * Una consecuencia inmediata de la definición es que toda función es una relación pero no toda relación es una función. Ejemplo. 1.4. 12 Función Dada la relación R = {(1, 2) , (2, 3) , (3, 4) , (2, 5)} indicar si R es una función. Solución: R no es una función, puesto que para la componente 2 existen dos componentes 3 y 5 tales que (2, 3) y (2, 5) 2 R, lo que contradice la segunda condición de la definición de función. Sean A = {1, 5, 7, 11} y B = {a, b, c, d}. Indique si el diagrama representa una función A B 11 7 5 1 d c b a f Ejemplo. 1.4. 13 Solución: El diagrama nos indica que 1fa y que 1fc, por tanto existen dos parejas diferentes de f con la primera componente igual, lo que contradice la definición de función. Nota: Sea f : A f! B una función de A en B, llamaremos dominio de la función f, al conjunto de todas las primeras componentes, el cual denotaremos por Df , es decir: Antalcides Olivo 29
  • 34. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Dom(f) =Df = {x 2 A : tal que existe un y 2 B ^ (x, y) 2 f} A. Llamaremos rango de la función f al conjunto de las imágenes de todos los elementos de A, mediante f al cual denotaremos por Rf es decir: Im (f) = Rf = {y 2 B : tal que existe un x 2 A ^ (x, y) 2 f} B. Ejemplo. 1.4. 14 Sea f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6).(7, 8)} una función, entonces su dominio y rango son: Df = {1, 3, 5, 7}; Rf = {2, 4, 6, 8}. Aplicación A una función f, le llamaremos aplicación de A en B, si y sólo si: Df = A. Ejemplo. 1.4. 15 Sean A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, calcule A×B a) El conjunto f = {(1, 4), (3, 2)} es función, donde Df = {1, 3} y Rf = {4, 2} pero f no es una aplicación de A en B puesto que Df6= A. b) El conjunto f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6)} es una función donde: Df = {1, 3, 5} y Rf = {2, 4, 6}, como Df = A entonces f es una aplicación de A en B. Función Compuesta En matemáticas se conoce la composición como el anidamiento de dos o más funciones para formar una nueva función única. La composición de dos funciones se denota como: (f g) (x) En otras palabras entendemos la composición de funciones como la aplicación de dos o más funciones de forma consecutiva, es decir primero se compone una, con el resultado obtenido se compone la segunda, con el resultado de la segunda se compone la tercera y así sucesivamente. El procedimiento que lleva a cabo la composición es denominado como la regla de la cadena. Dadas dos funciones f(x) y g(x) , definimos la composición como la función que obtenemos en aplicarle a la función f las imágenes de g(x). Es decir primero se aplica la función g(x) y después f(x) al resultado, quedando f [g (x)]. 30 Antalcides Olivo
  • 35. 1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones Como vemos gráficamente, debemos seguir un orden inverso para aplicar la composición. Con orden descendente, desde la función de más hacia la derecha hasta la función inicial Definición. 1.4. 14 Función Compuesta Consideremos tres conjuntos cualquiera A, B y C no vacíos y las funciones denotadas por g : A ! B x7! z y f : B ! C z7! y , definimos la función f compuesta g al conjunto (f g) = {(x, y) 2 A×C : y = f [g (x)] , g (x) 2 B} o (f g) = {(x, y) : 9z 2 B, que forma las parejas (x, z) 2 g ^ (z, y) 2 f} . El siguiente diagrama nos muestra la estructura la composición de funciones. g A B C f g f Ejemplo. 1.4. 16 Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {1, 2, 3}, C = {1, 4, 5, 8} y las funciones g = {(1, 2) , (3, 2) , (4, 1) , (2, 1)} , f = {(2, 1) , (1, 4) , (3, 5)}. Determine f g Solución: Note que (1, 2) 2 g y (2, 1) 2 f, entonces (1, 1) 2 f g de manera análoga se encuentran todos los elementos del conjunto f g = {(1, 1) , (3, 1) , (4, 4) , (2, 4)}, ¿será f g función?, se podrá asegurar de acuerdo con este ejemplo que dada dos funciones, la composición entre ellas existe y es función. Antalcides Olivo 31
  • 36. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Pregunta Si suponemos que g : A ! B y f : C ! D. ¿ Que condición hay que pedirle a f y g para poder hacer la composición f g? Respuesta: Si queremos definir (f g) (a) = f [g (a)], entonces precisamos que g (a) 2 C. Luego la condición necesaria y suficiente para poder componer f con g es que Im(f) C, o sea que la imagen de g está contenida en el dominio de f . 1.4.3. Operaciones entre proposiciones En en sistema axiomático son importantes las operaciones que se pueden realizar con sus elementos, pero en este punto es necesario definir lo que es una operación. Definición. 1.4. 15 Operación binaria Dados tres conjuntos A,B y C no vacíos, una operación binaria es una aplicación de la forma : : A×B ! C (x, y)7! z Notación: Si ((x, y) , z) 2 se denota x y = z. Note que si tenemos las aplicaciones g : A ! B , f : B ! C. y h : A ! C la composición de aplicaciones es una operación binaria de n g : A ! B o × n f : B ! C o ! n h : A ! C o . Como ejemplos de operaciones veremos a continuación las operaciones entre proposiciones. Si convenimos en considerar el conjunto U de todas las posibles proposiciones del lenguaje como conjunto universo, y además el conjunto V = {v, f} el conjunto de los valores de verdad de una proposición. Entonces podemos definir las siguientes aplicaciones : P: U ! V p7! x , : V ×V ! V (x, y)7! z , R : U ×U ! U (p, q)7! r y O : U ×U ! V ×V (p, q)7! (x, y) * La aplicación P establece que a cada proposición se le puede asignar un valor y sólo un valor de verdad, lo que está de acuerdo con la definición, y que cada proposición tiene asignado un valor de verdad. 32 Antalcides Olivo
  • 37. 1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones * La operación establece que dados dos valores de verdad estos se pueden operar y obtener un único valor de verdad * La operación R establece que dadas dos proposiciones se pueden operar y obtener una única proposición. * La operación O establece que dadas dos proposiciones se pueden operar y obtener una pareja ordenada de valores de verdad. Teniendo en cuenta las aplicaciones definidas podemos establecer las siguientes estructuras R U × U U × O P V ×V V En el diagrama anterior se nos muestra dos caminos para realizar la composición × que necesitamos, el camino que se muestra en rojo nos presenta la dificultad que sería una composición entre una operación binaria y una aplicación, mientras que el camino que está en azul nos muestra la composición de dos operaciones binarias por lo que escogeremos está para construir las operaciones entre proposiciones lógicas. De acuerdo con lo anterior nos queda la siguiente estructura para la operación ×. × : U ×U R ! V ×V O ! V Usando ésta estructura podemos definir las siguientes operaciones entre proposiciones. Nota: En este curso no demostraremos que las operaciones están bien definidas, es decir que es una función y el conjunto de partida es igual al conjunto de llegada, como tampoco la existencia y unicidad de ellas. 1.4.3.1. Conjunción La conjunción es la operación de la forma O^ : U ×U ! U (p, q)7! p ^ q de tal forma que se pueden operar sus valores de verdad usando la definición ^ : V ×V ! V (x, y)7! z , obtenemos una estructura de la forma: ^ : U ×U O^ ! V ×V ^! V . Antalcides Olivo 33
  • 38. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Definición. 1.4. 16 Conjunción La ley que establece la conjunción es la siguiente: la conjunción es verdadera, sólo si las dos proposiciones son verdaderas. Cuadro 1.5: Tabla de verdad de la conjunción p q p ^ q v v v v f f f v f f f f Ejemplo. 1.4. 17 Conjunción Sí p : 4 7 y q : 6 es número par. Calcular el valor de verdad de p ^ q. Solución: Cuadro 1.6: Tabla de verdad p q p ^ q v v v 1.4.3.2. Disyunción La disyunción es la operación de la forma O_ : U ×U ! U (p, q)7! p _ q de tal forma que se pueden operar sus valores de verdad usando la definición _ : V ×V ! V (x, y)7! z , obtenemos una estructura de la forma: _ : U ×U O_ ! V ×V _! V . Definición. 1.4. 17 Conjunción La ley que establece la disyunción es la siguiente: la disyunción es falsa, sólo si las dos proposiciones son falsas. 34 Antalcides Olivo
  • 39. 1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones Cuadro 1.7: Tabla de verdad de la disyunción p q p _ q v v v v f v f v v f f f Ejemplo. 1.4. 18 Disyunción Sí p : 7 9 y q : 4 5. Calcular el valor de verdad de p _ q. Solución: Cuadro 1.8: Tabla de verdad p q p _ q f v v 1.4.3.3. Condicional La condicional es la operación de la forma O! : U ×U ! U (p, q)7! p ! q de tal forma que se pueden operar sus valores de verdad usando la definición !: V ×V ! V (x, y)7! z , obtenemos una estructura de la forma: !: U ×U O! ! V ×V ! ! V . Nota: En la condicional a la proposición p se le llama antecedente y a q consecuente. Definición. 1.4. 18 Condicional La ley que establece la condicional es la siguiente: la bicondicional es verdadera cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Cuadro 1.9: Tabla de verdad de la bicondicional p q p ! q v v v v f f f v f f f v Antalcides Olivo 35
  • 40. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Ejemplo. 1.4. 19 Condicional Sea p : Cristóbal Colón descubrió América. ; q : 6 + 3 = 8 Hallar el valor de verdad de p ! q Solución: Cuadro 1.10: Tabla de verdad p q p $ q v f f 1.4.3.4. Bicondicional La bicondicional es la operación de la forma O ! : U ×U ! U (p, q)7! p $ q de tal forma que se pueden operar sus valores de verdad usando la definición $: V ×V ! V (x, y)7! z , obtenemos una estructura de la forma: $: U ×U O$ ! V ×V $ ! V . Definición. 1.4. 19 Bicondicional La ley que establece la bicondicional es la siguiente: la bicondicional es verdadera cuando las dos proposi-ciones tienen el mismo valor de verdad. Cuadro 1.11: Tabla de verdad de la bicondicional p q p ! q v v v v f f f v f f f v Ejemplo. 1.4. 20 Bicondicional Sea p : Cristóbal Colón descubrió América. ; q : 6 + 3 = 8 Hallar el valor de verdad de p ! q Solución: Cuadro 1.12: Tabla de verdad p q p ! q v f f 36 Antalcides Olivo
  • 41. 1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones 1.4.3.5. Disyunción exclusiva La disyunción exclusiva es la operación de la forma OY : U ×U ! U (p, q)7! p Y q de tal forma que se pueden operar sus valores de verdad usando la definición Y : V ×V ! V (x, y)7! z , obtenemos una estructura de la forma: Y : U ×U OY! V ×V Y! V . Definición. 1.4. 20 Disyunción exclusiva La ley que establece la disyunción exclusiva es la siguiente: la disyunción exclusiva es falsa cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Cuadro 1.13: Tabla de verdad de la bicondicional p q p Y q v v f v f v f v v f f f Ejemplo. 1.4. 21 Disyunción exclusiva Sea p : Cristóbal Colón descubrió América. ; q : 6 + 3 = 8 Hallar el valor de verdad de p Y q Nota: Ésta operación se llama excluyente porque porque sólo se puede dar ambas pero no una sola. Solución: Cuadro 1.14: Tabla de verdad p q p Y q v f v 1.4.3.6. Negación Para la negación usamos las operaciones de la forma P : U ! V p7! x y P : V ! V x7! y tal que x6= y. para construir la composición : U P! V P ! V Antalcides Olivo 37
  • 42. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Definición. 1.4. 21 Negación La ley que establece la negación es la siguiente: La negación cambia el valor de verdad de una proposición. Su tabla de verdad es la siguiente Cuadro 1.15: Tabla de verdad de la negación. p p v f f v 1.4.4. Relaciones entre proposiciones En esta sección trabajaremos con tautologías y falacias por lo que presentaremos algunos ejemplos para aprender a determinar cuando una proposición es una tautología, contingencia ó falacia. Ejemplos. 1.4. 4 Tautológias 1. p_ p (principio del tercio excluido) 2. [(p ! q) ^ p] ! q 3. (p^ p) Solución: 1. Vemos que en la última columna de la tabla de verdad (1.16) nos muestra que p_ p es una tautología. Cuadro 1.16: Tabla de verdad. p p p_ p v f v f v v 2. Si observamos en la tabla de verdad (1.17) nos queda demostrado que [(p ! q) ^ p] ! q es una tautología. Cuadro 1.17: Tabla de verdad. p q p ! q (p ! q) ^ p [(p ! p) ^ p] ! q v v v v v v f f f v f v v f v f f v f v 38 Antalcides Olivo
  • 43. 1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones 3. Este queda de ejercicio al lector. Ejemplos. 1.4. 5 Falacias 1. p^ p (principio de contradicción) 2. (p ! q) ^ (p^ q) 3. (p_ p) Solución: 1. Vemos que en la última columna de la tabla de verdad (1.18) nos muestra que p^ p es una falacia. Cuadro 1.18: Tabla de verdad. p p p^ p v f f f v f 2. Si observamos en la tabla de verdad (1.19) nos queda demostrado que (p ! q) ^ (p^ q) es una falacia. Cuadro 1.19: Tabla de verdad. p q p ! q p^ q (p ! q) ^ (p^ q) v v v f f v f f v f f v v f f f f v f f 3. Este queda de ejercicio al lector 1.4.4.1. Implicación Definición. 1.4. 22 Implicación Se dice que una proposición q se deduce de p o que una proposición p implica una proposición q cuando p ! q es una tautología. Notación: Si una proposición p implica a una proposición q se denota p ) q o p . : q que se lee q se deduce de p, también se puede leer si tenemos p se deduce q. Nota: El hecho que p implique q quiere decir que se puede obtener q a partir de de p o que si p es verdadera q también lo es. Antalcides Olivo 39
  • 44. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Ejemplo. 1.4. 22 Implicación Determinar si [( p _ q) ^ q] ) p Solución: Cuadro 1.20: Tabla de verdad. p q p p _ q q ( p _ q) ^ q [( p _ q) ^ q] ! p v v f f v v v v f f f v f v f v v f v v v f f v f v v v Ejemplo. 1.4. 23 Implicación Determinar si (p^ p) ) q Solución: Cuadro 1.21: Tabla de verdad. p q p p^ p (p^ p) ! q v v f f v v f f f v f v v f v f f v f v Cuando verificamos que p ) q en realidad estamos comparando el conjunto solución de p y el conjunto solución de q. Desde ese punto de vista p ) q si y solo si el conjunto solución de p es subconjunto del conjunto solución de q. 1.4.4.2. Equivalencia lógica Definición. 1.4. 23 Equivalencia lógica Se dice que una proposición q es equivalente a p, cuando p $ q es una tautología. Notación: Si una proposición p es equivalente a una proposición q se denota p , q ó p q. Nota: Que p q quiere decir que se puede intercambiar p y q sin afectar el valor de verdad de la proposición. También expresa que los conjuntos soluciones de p y q son iguales y eso se verifica al observar que si p q, p y q tiene la misma tabla de verdad. 40 Antalcides Olivo
  • 45. 1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento Ejemplo. 1.4. 24 Equivalencia lógica Analice el valor de verdad de la proposición compuesta (p ! q) $ ( q ! p) Solución: p q p ! q q p q ! p (p ! q) $ ( q ! p) V V V F F V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V Es decir las proposiciones: p ! q y q ! p son equivalentes. Ejemplo. 1.4. 25 Equivalencia lógica Probar usando las tablas de verdad que las proposiciones (p ! q) y ( q ! p), son lógicamente equivalentes. Solución: Para probar que las proposiciones (p ! q) y ( q ! p) son lógicamente equivalentes debemos probar que (p ! q) $ ( q ! p) es una tautología. Cuadro 1.22: Tabla de verdad. p q p q p ! q q ! p (p ! q) $ ( q ! p) v v f f v v v v f f v f f v f v v f v v v f f v v v v v Nota: Para verificar si dos proposiciones son lógicamente equivalentes basta comprobar que las dos proposiciones tienen la misma tabla de verdad. Como se observa en la tabla (1.22) al comparar las columnas 5 y 6. Inferencia y esquemas de razonamiento 1.5 1.5.1. Principales leyes lógicas o tautológicas Siguiendo las construcción axiomática de la lógica nos queda establecer los axiomas y los teoremas, cual estableceremos en ésta sección. Antalcides Olivo 41
  • 46. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Término. 1.5. 1 Leyes de inferencia lógica Dadas dos proposiciones p y q al término p q se le llama ley de inferencia. En la lógica los teoremas son leyes de inferencia. 1.5.1.1. Axiomas Estableceremos tres axiomas, Axioma. 1.5. 1 Toda proposición es idéntica a si misma, es decir p p Identidad Axioma. 1.5. 2 una proposición no puede ser cierta y falsa a la vez, es decir (p^ p) v. Contradicción Axioma. 1.5. 3 Toda proposición es cierta ó es falsa , es decir p_ p v. Tercer excluido 1.5.1.2. Leyes de inferencia básicas. Trataremos de presentar las leyes de inferencia que se deben demostrar utilizando tablas de verdad. (no son un conjunto mínimo de leyes de inferencias básicas) Leyes de inferencia. 1.5. 1 Involutiva ( p) p Leyes de inferencia. 1.5. 2 Indempotencia 1. p ^ p p 2. p _ p p 42 Antalcides Olivo
  • 47. 1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento Leyes de inferencia. 1.5. 3 falsos modulos o de la adición 1. p ^ f f 2. p _ v v Leyes de inferencia. 1.5. 4 Comutativas 1. (p ^ q) (q ^ p) 2. (p _ q) (q _ p) 3. p $ q q $ p Leyes de inferencia. 1.5. 5 Asociativas 1. p ^ (q ^ r) (p ^ q) ^ r 2. p _ (q _ r) (p _ q) _ r 3. p $ (q $ r) (p $ q) $ r Leyes de inferencia. 1.5. 6 Distributivas 1. p ^ (q _ r) (p ^ q) _ (p ^ r) 2. p _ (q ^ r) (p _ q) ^ (p _ r) 3. p ! (q _ r) (p ! q) _ (p ! r) 4. p ! (q ^ r) (p ! q) ^ (p ! r) Antalcides Olivo 43
  • 48. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Leyes de inferencia. 1.5. 7 Morgan 1. (p ^ q) p _ q 2. (p _ q) p ^ q Leyes de inferencia. 1.5. 8 Del condicional 1. p ! q p _ q 2. (p ! q) p ^ q Leyes de inferencia. 1.5. 9 Del bicondicional 1. p $ q (p ! q) ^ (q ! p) 2. p $ q (p ^ q) _ ( p _ q) Leyes de inferencia. 1.5. 10 De la absorción 1. p ^ (p _q) p 2. p ^ ( p _ q) p ^ q 3. p _ (p ^ q) p 4. p _ ( p ^ q) p _ q Leyes de inferencia. 1.5. 11 De transposición 1. (p ! q) q ! p contrareciproco 2. p $ q q $ p 44 Antalcides Olivo
  • 49. 1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento Leyes de inferencia. 1.5. 12 De exportación 1. (p ^ q) ! r p ! (q ! r) 2. (p1 ^ p2 ^ p3 ^ · · · ^ pn) ! r (p1 ^ p2 ^ p3 ^ · · · ^ pn−1) ! (pn ! r) Leyes de inferencia. 1.5. 13 De los modulos 1. p ^ v p 2. p _ f p Leyes de inferencia. 1.5. 14 De la simplificación 1. (p _ q) ^ (p _ q) p 2. (p ^ q) _ (p ^ q) p Nota: Estas Leyes son muy útiles para simplificar los problemas, puesto que es válido reemplazar una proposición por su equivalente sin alterar el resultado. Ejemplos. 1.5. 1 Simplificar las proposiciones siguientes aplicando las leyes lógicas 1. (p ^ q) ^ (p ^ q) . 2. [(p_ q) ^ q] ! p. 3. [ (p ^ q) ! q] _ q. 4. [( p ^ q) ! (r^ r)] ^ q. 5. [(p ^ q) ^ q] ! [p ^ (q ^ q)] . 6. (p ! q) _ [ (p ! q)] . 7. (p ! q) $ (p^ q) ! q Antalcides Olivo 45
  • 50. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Solución: 1. Apliquemos las leyes de inferencia (p ^ q) ^ [ (p ^ q)] (p ^ q) ^ [ p_ q] morgan [(p ^ q) ^ p] _ [(p ^ q) ^ q] distributiva [(q ^ p) ^ p] conmutativa _ [p ^ (q^ q)] asociativa [q ^ (p^ p)] asociativa _ [p ^ f] contadicción (q ^ f) contradicción _ f falso modulo f falso modulo _ f f 2. Apliquemos las leyes de inferencia (indique las leyes aplicadas) [(p_ q) ^ q] ! p [(p_ q) ^ q] _ p [ (p_ q) _ q] _ p [ (p_ q)] _ (p_ q) ( (p_ q) _ p) _ q ([ p^ q] _ p) _ q [( p _ p) ^ ( q _ p)] _ q [v ^ ( q _ p)] _ q ( q _ p) _ q (p_ q) _ q p _ ( q_ q) p_ q 46 Antalcides Olivo
  • 51. 1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento 3. Apliquemos las leyes de inferencia (indique las leyes aplicadas) [ (p ^ q) ! q] _ q [ (p ^ q) ^ ( q)] _ q [( p_ q) ^ q] _ q [( p ^ q) _ ( q ^ q)] _ q [( p^ q) _ f] _ q ( p^ q) _ q (( p _ q) ^ ( q _ q)) ( p _ q) ^ v p _ q El resto de los ejemplos quedan de ejercicio para el lector. 1.5.2. Esquemas de razonamiento Las leyes de inferencia nos ayuda a construir esquemas mentales que nos sirven para construir demostra-ciones, es decir cada ley de inferencia es un esquema de razonamiento. 1.5.2.1. Método inductivo El razonamiento inductivo es el proceso mediante el cual se obtienen conclusiones a partir de nuestras propias observaciones o a partir de ejemplos particulares, es decir al observar que una acción o propiedad se repite se concluye en general que esa acción o propiedad siempre es cierta Término. 1.5. 2 Conjetura Es la conclusión que se obtiene a partir de un proceso inductivo Todas las proposiciones que tomamos como conjetura deben tener la forma de una implicación o de una equivalencia, por tanto es necesario conocer las diferentes formas de representar una implicación. Nota: Al utilizar el razonamiento inductivo debemos tener cuidado de no construir conjeturas o generali-zaciones falsas, por lo siempre hay que tratar de encontrar casos donde no se cumpla la conjetura, en caso de que no se consiga, no quiere decir que la conjetura es cierta, sólo nos indica que no hemos encontrado un caso donde no se cumple. A continuación mostraremos un ejemplo para explicar paso a paso como podemos obtener una conjetura a partir de una secuencia de casos o fenómenos. Aunque en ese ejemplo no trataremos de verificar si la conjetura es siempre cierta, el objetivo es de aprender a construir conjeturas. Antalcides Olivo 47
  • 52. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Ejemplo. 1.5. 1 Suponga que una persona mide los lados de cuatro triángulos como muestra la figura(1.4). Establezca una conjetura sobre los lados de un triángulo Figura 1.4: Desigualdad triangular C 0,77 0,59 A 0,77 B D 0,76 E 0,75 F 0,58 G H 0,61 I 0,61 1,08 0,62 K J 0,88 L 0,62 De acuerdo con la figura 1.4 tenemos que en ABC se tiene: AC + AB = 1,54 BC = 0,31 (1.1) AB + BC = 1,36 AC = 0,77 (1.2) En el DEF se tiene que DE +DF = 1,51 EF = 0,58 (1.3) DE + EF = 1,48 AC = 0,75 (1.4) En el IGH se tiene que IG + GH = 1,22 HI = 1,08 (1.5) IG + IH = 1,69 GH = 0,61 (1.6) En el JKL se tiene que JK +KL = 1,29 JL = 0,88 (1.7) JK + JL = 1,50 KL = 0,75 (1.8) De los anteriores resultados , a pesar que los triángulos ABC, HIG y JKL son isósceles, podemos concluir. Que la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo siempre es menor que la longitud de su tercer lado Cuantificadores y otras formas de expresar la implicación 48 Antalcides Olivo
  • 53. 1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento En algunos casos las condicionales, vienen expresadas de tal forma que cada proposición simple se puede representar como un conjunto, por ejemplo Los polígonos de cuatro lados son cuadriláteros. (1.9) En este caso llamaremos Px = {x : x es un polígono} y Qx = {x : x es un cuadrilátero} y representamos la proposición ((??)) como Px ! Qx, pero a nosotros nos interesan son las implicaciones, por tanto veamos cuando está proposición es verdadera. Para ello tomaremos otro conjunto Ux = {x : x es una figura plana}, a este conjunto lo llamaremos universal o de referencia. Ahora realizaremos un diagrama de Venn mostrado en la figura(1.5) Ux Px Qx x1 Px Ux Qx x2 Diagrama 1 Diagrama 2 Figura 1.5: Proposiciones abiertas Si tomamos un polígono, el cual representaremos con el símbolo x1, observamos en el diagrama 1 que x1 no está en el conjunto de los cuadriláteros, por tanto en este caso Px ! Qx es falsa, mientras en el diagrama 2 tomaremos un polígono representado por x2 el cual está en Qx, por tanto Px ! Qx es verdadera, de lo que podemos concluir que para que Px ! Qx sea una tautología debe cumplirse la relación. Qx Px Para indicar que Px ! Qx es una tautología utilizamos unos operadores lógicos de existencia, los cuales son: * Existe algún: Se representa 9x y se lee existe algún x. * Para todo: se representa 8x y se lee para todo x. * Existe un único: Se representa 9 !x y se lee existe uno y sólo un x. * Ningún: Se representa 9x y se lee no existe ningún x. En nuestro caso la proposición quedaría: 8x 2 U, (px =) qx) De aquí en adelante el conjunto que representa a la proposición se representará con letras mayúsculas y las proposiciones con letras minúsculas con la variable como subíndice: Antalcides Olivo 49
  • 54. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Analicemos nuevamente el diagrama 2 de la figura (1.5) Como, x2 está en el conjunto, entonces podemos decir que P es condición suficiente para que x2 esté en el conjunto Q. En este sentido, se dice que px es condición suficiente para qx. Además es claro que para que un elemento x2 esté en P se necesita que x2 esté en en Q. De aquí que se diga que qx es condición necesaria para px. También se observa que un elemento x2 está en el conjunto Q si está en el conjunto P. Este análisis precedente sugiere otras maneras de expresar la implicación px =) qx éstas son: 1. px implica a qx 2. px es condición suficiente para qx 3. qx es condición necesaria para px 4. qx, si px Negación de los cuantificadores La regla general para construir la negación de una proposición abierta es la siguiente: Los 8 se cambian por o 9 y los 9 se cambian por 8 y después se niega la proposición abierta. La negación de la proposición se construye mecánicamente del mismo modo como se o a realiza la negación de una proposición . 1.5.2.2. Método del contraejemplo Hay ocasiones donde después de un razonamiento inductivo obtenemos una conjetura que no se cumple para todos los casos, es decir obtenemos una generalización falsa, entonces para indicar que esa generalización es falsa buscamos un ejemplo donde no se cumpla la acción o la propiedad. Término. 1.5. 3 Contraejemplo Es el método que se usa para demostrar que una generalización es falsa, utilizando un ejemplo que la contradiga. Nota: Los ejemplos sólo son validos para demostrar que una proposición es falsa, nunca demuestra que una proposición es verdadera. Ejemplo. 1.5. 2 Contraejemplo Si un cuadrilátero tiene sus diagonales perpendiculares, entonces es un rombo. 50 Antalcides Olivo
  • 55. 1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento Figura 1.6: Cometa A B C 3,49 D 4,27 E 90 En el cuadrilátero podemos observar que AD = 6,29 y AC = 6 y por definición de rombo el cuadrilátero ABCD no puede ser un rombo porque no tiene sus lados congruentes. 1.5.2.3. Razonamiento deductivo El método deductivo consiste en partir de un número reducido de información (hipótesis) y mediante un proceso lógico deducir otros conocimientos o proposiciones nuevas. Para profundizar y entender este método explicaremos a continuación cuales son los procesos lógicos. 1.5.2.4. Prueba indirecta (Tollendo-tollens) Es un razonamiento de la forma: p −! q q p p ! q : Si dos rectas son paralelas, entonces no tienen puntos en común. q : Las rectas !l 1 y !l 2 tienen un punto en común. p : Las rectas !l 1 y !l 2 no son paralelas. Ejemplo. 1.5. 3 Antalcides Olivo 51
  • 56. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Como la condicional debe ser una implicación, entonces tenemos que para que ella sea una tautología, solo existen dos posibilidades, que las dos proposiciones p y q tengan el mismo valor de verdad. Por tanto si q es falsa se deduce que p también es falsa. 1.5.2.5. Modus ponendus ponens (Directa) Este es un razonamiento de la forma: p −! q p p La argumentación es la misma de la prueba indirectas decir para que p ! q sea una implicación si p es verdadera, se tiene que q también lo es. p ! q : Si un triángulo tiene tres ángulos congruentes, entonces es equilátero. p : El triángulo 4ABC tiene tres ángulos congruentes q : El triangulo 4ABC es equilátero. Ejemplo. 1.5. 4 1.5.2.6. Regla de la cadena Este razonamiento es el más usado en matemáticas consiste en construir una cadena de implicaciones partiendo de la hipótesis hasta obtener la conclusión y es de la forma: p −! r r −! q p −! q. 52 Antalcides Olivo
  • 57. 1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento p ! q : Si dos rectas son perpendiculares, entonces se intersecan. q ! r : Si dos rectas se intersecan, entonces no son paralelas. p ! r : Si dos rectas son perpendiculares, entonces no son paralelas. Ejemplo. 1.5. 5 Otra forma de interpretar este razonamiento es: (p −! r ^ r −! q) −! (p −! q) , mirándola de esta forma el razonamiento es equivalente si la conjunción es cierta entonces la conclusión también lo es decir p −! q es una tautología. Sea ! ED una mediatriz del segmento AB en el ABC, si el punto F es la intersección de lado AB y la mediatriz, entonces AF = FB. Ejemplo. 1.5. 6 b Figura 1.7: Regla de la cadena C E c d A B F D Solución: Para demostrar que ésta proposición es una implicación vamos a utilizar el método de razona-miento deductivo, de la siguiente manera: Antalcides Olivo 53
  • 58. Capítulo 1. Introducción a la Lógica Figura 1.8: Solución Dato Definición de mediatrz ED es mediatriz de AB F es el punto medio de AB AF = FB Definición de punto medio La estructura para redactar una demostración que usaremos es la siguiente. Prueba: Afirmaciones Razones = 1. ED es la mediatriz de AB Dado 2. F es punto medio de AB Definición de punto mediatriz 3. AF FB Definición de punto medio Es decir en este ejemplo usamos la regla de la cadena. 1.5.2.7. Ley modus tollendo-ponens Este razonamiento es de la forma: p _ q p q. 1.5.2.8. Ley del silogismo disyuntivo Es un razonamiento con la siguiente estructura 54 Antalcides Olivo
  • 59. 1.6. Problemas p _ q p −! r q −! s r _ s. Nota: Existen tres reglas básicas de validez que se aplican continuamente en una demostración. Regla 1: las definiciones, los postulados y los teoremas demostrados pueden aparecer en cualquier paso de la demostración. Regla 2: las proposiciones equivalentes se pueden sustituir entre sí en cualquier parte de una demostración. Regla 3: una proposición verdadera se puede introducir en cualquier punto de la demostración. Nota: Antes de terminar la sección mostraremos, en la figura 1.9, como es el esquema que se debe emplear en una demostración sin importar como la redactemos. Figura 1.9: Esquema de una demostración Hipótesis Razonamieto lógico Tesis Términos no definidos Definiciones Postulados Otros teoremas Conclusión Esquemas de razonamiento Problemas 1.6 1. Determine el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados: a) Si 3 5, entonces −3 −5. b) Si 2 + 2 = 4, entonces 3 + 3 = 7 si, y sólo si, 1 + 1 = 4. c) p16 = 4, entonces 3 + 3 = 7 si, y sólo si, 1 + 1 = 4. d) 6 + 4 = 10 y p2 · p2 = 2. e) p3 + p2 = p5y 4 + 4 = 8. f ) 52 + 1 = 8 si, y sólo si, 5− 1 = 2. 2. Construya la tabla de verdad de: a) (p ! q) ! (p ^ q) . b) p! (q ! p) . c) (p ! q) _ [ (p ! q)] . d) [(p ! q) ^ p] ! q. 3. Determine en cada caso si la proposición es contin-gencia, falacia o tautología. a) [(p ^ q) ^ p] ! q. b) [(p ^ q) ^ s] ! [p ^ (q ^ s)] . 4. Construya la tabla de verdad para verificar si son cierto los siguientes enunciados: a) [(p _ q) ^ p] ( p _ q) . b) [p _ (p ^ q)] p. c) {[ (p _ q)] _ ( p ^ q)} p. Antalcides Olivo 55
  • 60. Capítulo 1. Introducción a la Lógica 5. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son igua-les y entre cuáles se puede establecer una relación de contenencia. a) A = {econom´ıa, mercadotecnia, contadur´ıa} . b) B = {cebada, trigo ajojol´ı} . c) C = {x : xes una ciudad de Latinoamérica} . d) D = {mercadotecnia} . e) F = {2, 4, 6, 8} . f ) E = {Quito, Cali, Caracas} . g) G = {banano, caf ´ e trigo, cebada} . h) H = {x : xes un numero par menor que 10} . i) J = {x : x es un numero dígito} 6. En el siguiente ejercicio escriba todos lo subconjun-tos del conjunto dado. ¿Cuáles son los subconjuntos propios? a) {2, 9} . b) {{2} , 9} . c) {;, {1} , 1} d) {} . 7. Dados: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , A = {1, 3, 6, 810} , B = {2, 4, 5, 6, 8} y C = {1, 4, 6, 10}haga un diagrama de Venn para representar los conjuntos dados. 8. Sea A = {;, {1, 2} , {1} , {;} , 1, {2}} ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas y por qué? a) 1 2 A. b) 2 2 A. c) 2 A. d) {2} 2 A. e) {2} A. f ) ; A y ; A. g) 1 2 A y {1} 2 A. h) {1, 2} A. 9. Sean A = {−1, 0, 1, 2}y B = {0, 1, 2, 3, 4} indicar cua-les de los siguientes conjuntos son funciones de A en B. a) R1 = (x, y) 2 A ×B : y = x2 b) R2 = {(x, y) 2 A×B : y = x + 1} c) R3 = {(x, y) 2 : |= | A×B y| x|} d) R4 = (x, y) 2 A ×B : y2 = x e) R5 = {(−1, 2) , (2, 3) , (0, 4) , (1, 1)} f ) R6 = {(2, 4) , (1, 0) , (−1, 3)} g) R7 = {(−1, 2) , (0, 2) , (1, 2) , (2, 2)} h) R8 = {(1, y) : y 2 B} Justifique su respuesta. 10. Sean A = {−2,−1, 0, 1, 2} y IN , IR los conjuntos de los números naturales y reales respectivamente. Re-presentar en el plano cartesiano, usando coordenadas rectángulares los siguientes conjuntos a) f : A ! IN x7! y = |x| + 1 b) g : IR ! IR x7! −x + 1 Indique cuales gráficos representan una función. 11. Sean A = {1, 2}y B = {1, 2, 3, 4} indique si el conjun-to f : A ×B ! B (x, y)7! z = f ((x, y)) = x + y es una función. 12. En los incisos del a) al e), escriba las proposiciones como implicaciones, luego decida si es falso o verda-dero a) Hipótesis p : Un hombre vive en Barranquilla, Conclusión q : Vive en Antioquía. b) Hipótesis p : Algunas manzanas son rojas, Conclusión q : Los caballos tienen cuatro pa-tas. c) Hipótesis p : Dos rectas se intersecan, Conclu-sión q : Las dos rectas no son paralelas. d) Conclusión q : Dos rectas son perpendiculares, Hipótesis p : Las rectas se intersecan. e) Hipótesis p : Dos ángulos tienen la misma me-dida, Conclusión q : Los ángulos son congruen-tes. 13. Analice la siguiente conjetura: Si un triángulo tiene un ángulo recto, tiene dos lados congruentes. Comentario: Para demostrar que la conjetura es falsa, debe presentar un contraejemplo, para explicar que es verdadera use las definiciones. 14. Demuestre la siguiente conjetura: Si dos ángulos son congruentes sus complementos son congruentes. 15. En los incisos del a) al e) identifique la hipótesis y la conclusión y determine si es una implicación. a) un número es par si termina en 4. b) Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo recto. c) Un triángulo con dos lados congruentes, tiene los tres ángulos congruentes, d) Si Un número es impar, termina en cinco. 56 Antalcides Olivo
  • 61. 1.6. Problemas e) Una recta que biseca un segmento contiene su punto medio. 16. Formule la recíproca, contraria y contra-reciproca , de las siguientes proposiciones. a) Si una persona camina se acalora. b) Si dos rectas se intersecan, son paralelas. c) Si una persona es adinerada, entonces puede viajar. d) si a = 0 y b = 0, entonces a.b = 0, para todo a y b reales. e) Si un polinomio es un triángulo, entonces una región plana. f ) Dos planos paralelos si intersecan. 17. Determine en cada inciso si la proposición representa una equivalencia, en caso de no ser lo encuentre un contra ejemplo. a) Un triángulo tiene sus lados congruentes si y sólo si tiene sus ángulos interiores congruentes. b) Un ángulo es recto si y sólo si es congruente a uno que tiene medida igual a 90. c) Dos rectas son paralelas si y solo si no se inter-secan. d) Un cuadrilátero tiene sus lados opuestos para-lelos, si y sólo si un par de lados opuestos son congruentes. e) Dos ángulos son complementarios si y sólo si la suma de sus mediadas es igual a 90 18. Incluya la información omitida para formular un es-quema de razonamiento correcto, además indique que tipo de prueba se esta realizando. a) p =) q : Dos rectas perpendiculares se intersecan. q =) r : Las rectas no son paralelas ni se intersecan. b) p =) q : Si dos rectas son paralelas no se intersecan. q : Las rectas no se intersecan. c) p =) q : Si un punto está en la mediatriz de un segmento, entonces equidista de sus extremos. El punto no está en la mediatriz. d) p : ABC mide más de 90 El ABC es un ángulo obtuso e) q : La temperatura aumenta. No llovió. 19. Compruebe la validez de cada uno de los siguientes argumentos: Si trabajo no puedo tomar clases de música trabajo o apruebo biología aprobé biología. Por tanto, tome clases de biología. 20. Compruebe la validez de cada uno de los siguientes argumentos: Julio César, que siempre dice la verdad, le ha contado a su amigo Iván lo siguiente: ”Me gusta Liliana o Victoria, pero no ambas. Además, si me gustara Liliana, me gustaría también Victoría”. ¿ Quién le gusta realmenta a Julio César? 21. Probar la veracidad de la implicación Si ab = 0, entonces a = 0 _ b = 0, es equivalente a probar la veracidad de la implicación Si ab = 0 ^ a6= 0, entonces b = 0. 22. Determine el valor de verdad de la siguiente afirma-ción. Si es falsa, dé un contraejemplo: “Si AB = BC, entonces B es el punto medio de AC”. 23. ¿Será condición suficiente que x2 = 81 par que x = 9? Antalcides Olivo 57
  • 62. Capítulo 1. Introducción a la Lógica 24. Dada la proposición “Una condición necesaria para que B sea el punto medio de AC es que B está entre los punto A y C”. a) Escríbala de la forma si..., entonces... sin alterar su significado y obtenga su valor de verdad. b) Escríba el condicional en términos de condición suficiente. c) Haga el recíproco del condicional y determine su valor de verdad. Si es falsa, dé un contraejemplo. 25. Dada la proposición “Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0”, escriba su recíproca, su contraria y su con-trarecíproca. Además determine sus correspondientes valores de verdad. 26. ¿ Es posible que existan dos recta que no se interse-can y están en planos diferentes? Si la respuesta es afirmativa, dé un ejemplo. 27. Tomando como conjunto universal el conjunto de los números reales, determine si las proposiciones px : x2 −4 = 0 y qx : (x−2) (x + 2) = 0 son equivalentes. Argumente su respuesta. 28. Complete los siguientes esquemas de razonamiento: a) : Si un número entero termina en dos, entonceses par. : 32 es un entero que termina en dos. : ...... b) : Si dos tectas son paralelas, entonces están en un mismo plano y no se intersecan. : ......... : Las rectas ! l1 y ! l2 no son paralelas. c) : Dos rectas perpendiculares se intersecan. : Las rectas no son paralelas, si se intersecan. : ........ 29. Demuestre que si x e y son enteros impares, entonces xy también es un entero impar. 30. Haga una demostración por reducción al absurdo del siguiente teorema: Si x2 es un entero par, entonces x es par. Sugerencia: Utilice el ejercicio anterior. 31. Siendo p : los precios son bajos y q : los precios no suben, escribir en lenguaje corriente las siguientes expresiones simbólicas : a) q b) p ^ q c) p^ q d) p^ q e) (p^ q) 32. Sean p : tengo un loro y q : tengo un gato, escribir en lenguaje corriente y luego simplificar, ( p_ q) ^ ( p) 33. Pruebe que: a) (p ^ q) , (p ! q) b) [p ! (q _ r)] , [(p^ q) ! r] 34. Pruebe que: a) [(a ! b) ^ (b ! c)] ) (a ! c) b) (a ! b) ) [(c _ a) ! (c _ b)] 35. Siendo p y q proposiciones cualesquiera, la proposición ,(p ! q) $ [(p _ q) $ q] , a) ¿Es siempre verdadera? b) ¿Es verdadera si y sólo si p lo es? c) ¿Es verdadera si y sólo si q es falsa? d) ¿Es verdadera si y sólo si p y q lo son? 36. Pruebe, sin hacer uso de tablas de verdad, que: a) p^ q ! r p _ (q _ r) b) [(p ^ q) _ r] ^ q (r^ q) 37. ¿ Cuál es la relación que existe entre las proposiciones siguientes? p ! [p^ (q _ r)] y p _ ( q^ r) 58 Antalcides Olivo
  • 63. 1.6. Problemas 38. Se define 4 como la conjunción negativa, es decir, p4q se lee ni p ni o q. a) Construya la tabla de verdad de p4q. b) Pruebe que: 1) p p4p 2) p _ q (p4q)4(p4q) 3) p ^ q (p4p)4(q4q) 4) (p $ q) ^ (p ^ q) p4q 39. Simplifique la expresión: [ q _ ( q $ p)] ! q 40. Simplifique las siguientes expresiones a) (p _ q) ! ( p^ q) b) [(p ^ q) _ r] ^ p c) [(p ! q) ! q] ! (p _ q) 41. Sea A = 1, 2, 3, 4 el conjunto universal. Determinar el valor de verdad de cada enunciado: a) 8x : x + 3 6 b) 8x : x2 −10 8 c) 9x : 2x2 + x = 15 d) 9x : x2 1 ! x + 2 = 0 42. Negar los siguientes enunciados a) [9y 2 U : p (y)] ! [8x 2 U : ( q (x))] b) [9x 2 U : ( p (x))] _ [8x 2 U : q (x)] c) 9x8y 2 U:[(p (x, y) ! q (x, y))] 43. Exprese en forma simbólica y niegue las siguientes proposiciones, utilizando el cuantificador adecuado: a) Existen enteros tale que x2 −1 = 0. b) Ningún conjunto es subconjunto del vacío. c) −5 es un número racional. d) A todos los alumnos de secundaria les gusta Facebook. e) En todos los números naturales x, −x es menor que cero. f ) Existe un número de la forma a b tal que a b − 1 es negativo. g) Algunos mamíferos son acuáticos. 44. Niegue la siguiente proposición [(p _ q) ^ r] ! [s _ (q ^ t)]. 45. Se sabe que: Si Pedro no es alumno de la U.A. o Juan es alumno de la U.A., entonces Juan es alumno de la U. Costa. Si Pedro es alumno de la U.A. y Juan no es alumno de la U. A., entonces Juan es alumno de la U.Costa. Se desea saber en que universidad estudia Juan. 46. Negar la siguiente expresión: (8 0) (9 0) (0 |x−x0| _ |f (x) −l| ) 47. A partir del álgebra proposicional, demostrar la vali-dez del siguiente a argumento: Si 2 es par, entonces 5 no es divisor de 9 por otra parte 11 no es primo o 5 es divisor de 9. Además, 11 es primo. Por tanto, 2 es impar. 48. Demuestre: a) p Y q (p _ q) ^ (p ^ q) b) [p ! (qY p)] $ (p ^ q) 49. Siendo p : José es estudioso y q : Juan es estudioso, escribir en forma e simbólica: a) José es estudioso y Juan no es estudioso. b) Jos´é no es estudioso y Juan es estudioso. c) Jos´éy Juan, no son estudiosos. d) No es cierto que Juan o Jos´é sean estudiosos. 50. En cual de sus significados est´á “o”(no excluyente) en las siguientes a proposiciones: a) a) Si ganase mucho dinero o ganara la lotería, haría un viaje. b) El lunes ir´é a la estaci´ón de trenes o al terminal de buses. c) x = 3 ó x = 2 51. Verificar, utilizando tablas de verdad, cuáles de las siguientes proposiciones son equivalentes: a) pY q; b) p _ q; c) (p_ q) ^ ( p _ q) ; d) (p ^ q) _ ( p^ q) ; 52. Encuentre el valor de verdad de [ (p ! q) ^ ( p ^ q)] _ (r ! p) si p : el número e es par, q f y r : los gatos tienen 5 patas Antalcides Olivo 59
  • 64. Capítulo 1. Introducción a la Lógica 53. Construya las tablas de verdad de las siguientes pro-posiciones: a) [(p ! q) ! (q ! p)] $ (p_ q) b) p Y (q _ r) c) ( p $ q) d) ( q $ p) e) (p^ q) ! ( p _ q) f ) [p ^ ( q ! p)] ^ [(p $ q) ! (q_ p)] 54. Pruebe que son tautologías: a) [p _ (p ^ q) $ p] b) (p ^ q) ! ( p^ q) c) q ! (p ! q) d) (p ^ q) ! r $ (p ! r) _ (q ! r) e) p ! [q ! (p ^ q)] f ) ((p ! (q ^ r))) $ ((p ! q) ^ (p ! r)) g) [p _ (p ^ q)] $ p 55. Probar las siguientes equivalencias: a) p Y (q Y r) (p Y q) Y r b) p ^ (q Y r) (p ^ v) Y (p ^ r) c) p _ q (p Y q) Y (p ^ q) d) p ^ q p Y (p^ q) e) p ^ (p _ q) p f ) (p ^ q) p_ q g) p ^ (q _ r) (p ^ q) _ (p ^ r) 56. Averiguar si son equivalentes las proposiciones: (p ^ q) ! r y (p ! r) ^ (q ! r) 57. Encuentre el valor de verdad de: [(p ! q) _ ( p ^ q)]^ (r ! q)si a) p es v, q es v, r es f b) p, r son f, q es v c) p es f, q es f y r es f d) si todas son verdaderas 58. Simplificar las siguientes proposiciones: a) p^(q^ p) b) (p ^ q) _ p c) (p ! q) _ p d) (p ! q) _ q e) (p ! q) ^ p f ) (p ! q) ! p g) (p ! q) _ q h) p^ (q ! p) i) [p _ (q $ p)] ! q j) [ (p ! q) ^ ( p ^ q)] _ [r ! (p _ r)] k) p ^ (q ^ p) l) {p ! ( p _ r)} ^ {r ! p} m) { (p ! q) ! (q ! p)} ^ (p _ q) 59. Derive a partir de las equivalencias básicas, las si-guientes equivalencias: a) ((p ^ q) ! r) ((p ! r) _ (q ! r)) b) ((p ! q) ^ q) ! p q ! p 60. Demostrar sin el uso de tablas de verdad: a) p _ (p ^ q) p b) p ^ (p _ q) p c) (p _ q) _ ( p ^ q) p d) (p ! q) $ (p ^ q) e) (p^ q) ! r p _ (q _ r) f ) [{(p ! q) ^ (p ! t)} _ {(r ! q) ^ (r ! t)}] [(p ^ r) ! (q ^ t)] 61. Exprese en símbolos lógicos y después niegue las si-guientes oraciones: a) Todo múltiplo de 4 es número primo. b) Si 2 es par entonces todos los números son pares. c) Todo número mayor que 2 es la suma de dos números primos. 62. Sea A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Escribir en símbolos y averi-guar el valor de verdad de: a) Hay un elemento que es mayor que todos. b) Existe un único elemento cuyocuadrado es 4. c) Para todos los elementos de A, sea x el elemento que sumado 1 unidad, siempre es mayor que cero entonces su cuadrado es menor que 35. d) Para cada elemento existe otro que es menor o igual qué él 63. Si las proposiciones a y b son tales que la proposición (a ^ b) ! (a _ b) o es verdadera, determinar el valor de verdad de (a ^ b) _ (a _ b). 64. Sea A = 1, 2, 3, 4, 5. Negar hallar el valor de verdad de los siguientes enunciados a) (9x 2 A)(x + 3 = 10) b) 8x 2 A)(x + 3 10) c) (9x 2 A)(x + 3 5) d) (8x 2 A)(x + 3 7) e) (9!x 2 A)(x2−3x + 2 = 0) 60 Antalcides Olivo
  • 65. 1.6. Problemas 65. Si el conjunto universal es conjunto de los números naturales. Escribir en símbolos las siguientes expre-siones. a) ) Todo número es mayor o igual que sí mismo. b) Si el número x es menor que y, entonces no es mayor que 9. c) Cualquier x sumado con algún número resulta x. d) El producto de x con y es mayor que x, y mayor que y. 66. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdade-ras? a) Si p _ q F entonces [ ( q ! p)^ p] es una tautología. b) Es suficiente que p Y q sea falsa para que p y q sean equivalentes. c) No es necesario que p sea verdadera y q sea falsa para que [p _ (q^ p)]^ q sea verdadero. 67. Demuestre las siguientes equivalencias sin uso de ta-blas de verdad. a) (p ! q) (p^ q) ! q b) (p $ q) ( p $ q) c) p ! (q ^ r) (p ! q) ^ (p ! r) d) (p ^ q) ! r (p^ r) ! q e) p ! (p^ (q _ r)) p _ ( q^ r) f ) [( p _ q) _ ( r^ p)] (q_ p) 68. Indique en cuáles de los siguientes casos p es condición suficiente para q; y en cuáles p es condición necesaria y suficiente para q. a) p : A es múltiplo de 4, q : Aes número par b) p: A y B son pares, q: A + B es par. 69. Si las proposiciones compuestas a) p $ ( q_ r) y b) p _ q son siempre verdaderas. Demuestre que la proposición [ r ^ (p _ s)] ! s _ q es también verdadera. 70. Negar las siguientes afirmaciones: a) (8x9y 2 IR) (x + y = 5 ! y = −x) b) (8x8y 2 IR) [(x + y es impar) ! (x es impar _ y es impar)] c) (9x8y 2 IR) (x y ^ x2 y) d) (9z8y8x 2 IR) (x y ! x + z = y) 71. Averiguar el valor de verdad siendo U = IR. a) (x 2 IR) (x 0 ! x 3) b) (9x2IR)(x2 0 ! x4 = x3) c) (8x2IR, 9y2IR) (x2 + y2 = 1) d) (8x2IR, 8y2IR) (y x ! 2y 10) 72. Dada la proposición, 8 no es impar divisible por 2, porque 9 no es o múltiplo de 3.Niegue la proposición y Determine su valor de verdad . 73. Dadas las proposiciones abiertas p(x) : x2 x y q(x) : x 0. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) [p( 11 2 ) ! q(1)] ! [p(x) ^ q(x)] b) 8x2IR : p(x) ! q(x) 74. Si la proposición (p ^ q) ! (r ! t) es falsa, determine el valor o de verdad de la proposición (p ^ t) ! (r _ q) ! (u $ v). 75. Demostrar: a) Si n es par y m es impar, entonces (n +m) es impar, n,m2IN). b) Si xy = 0 entonces x = 0 _ y = 0. c) Si ab es impar, entonces a es par y b es impar. 76. Determine el valor de verdad de las siguientes propo-siciones: a) 8x2IR : x2 x b) 9x2IR : 2x = x c) 8x2IR : 2x−1 4x−2 = 12 d) 9x2IR : x2 + 2x + 1 0 e) 8x2IR : −x2 + 4x−5 0 Antalcides Olivo 61
  • 67. 2 Teoría de conjuntos y sistemas numéricos Contenido Capítulo 2 Página 2.1 Introducción 2 2.1.1 Un poco de historia 2 2.1.2 Teoría intuitiva de conjuntos 2 2.2 Relaciones y axiomas en la teoría de conjuntos 7 2.3 Operaciones entre conjuntos 10 2.4 Representación de conjuntos 12 2.5 Propiedades De los conjuntos 12 2.6 Problemas 12 Objetivos * Interpreta correctamente los conceptos de conjunto y elemento. * Argumenta los procedimientos para realizar operaciones entre conjuntos . * Maneja con criterio las operaciones y sus propiedades en los diferentes sistemas numéricos. * Identifica conjuntos. * Clasifica conjuntos. * Realiza operaciones entre conjuntos. * Clasifica los conjuntos numéricos. Indicadores de Logros * Realiza operaciones aritméticas en los diferentes conjuntos numéricos. * Aplica correctamente las propiedades de las operaciones definidas en los conjuntos numéricos 1
  • 68. Capítulo 2. Teoría de conjuntos y sistemas numéricos 2.1 Introducción La teoría de conjuntos, es la rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito. 2.1.1. Un poco de historia En el último cuarto del siglo XIX se vivió un episodio apasionante de la historia de las matemáticas que las ligaría desde entonces a la historia de la lógica. Primero, Georg Boole (1815-1864) en su Mathematical Analysis of Logic trató de presentar la lógica como parte de las matemáticas. Poco después Gottlob Frege (1848-1925) intentó mostrar que la aritmética era parte de la lógica en su Die Grundlagen der Arithmetik. Pero, dando un gran paso tanto en la historia de las matemáticas como en la historia de la lógica, G. Cantor se había adelantado a Frege con una fundamentación lógica de la aritmética. Cantor había demostrado que la totalidad de los números naturales comprendidos en el intervalo de extremos 0 y 1 no es numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los números naturales. Como una consecuencia de esa situación, Cantor creó una nueva disciplina matemática entre 1874 y 1897: la teoría de conjuntos. Su obra fue admirada y condenada simultáneamente por sus contemporáneos. Desde entonces los debates en el seno de la teoría de conjuntos han sido siempre apasionados, sin duda por hallarse estrechamente conectados con importantes cuestiones lógicas. Según la definición de conjunto de Cantor, éste es “una colección en un todo de determinados y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto”. Frege fue uno de los admiradores de la nueva teoría de Cantor, y dio una definición de conjunto similar. En 1903 B. Russell demostraría que la teoría de conjuntos de Cantor era inconsistente y cuestionaría la definición de conjunto en la teoría de Cantor. Pero pronto la teoría axiomática de Zermelo (1908) y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1922), Skolem (1923), von Newman (1925) y otros sentaron las bases para la teoría de conjuntos actual. Es indiscutible el hecho de que la teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas, es además, la teoría matemática dónde fundamentar la aritmética y el resto de teorías matemáticas. Es también indiscutible que es una parte de la lógica y en particular una parte de la lógica de predicados. En esta historia cruzada de las matemáticas, la lógica y los fundamentos de ambas, la teoría de conjuntos permitiría por un lado una fundación logicista de las matemáticas; pero por otro lado la teoría de conjuntos mirada como parte de las matemáticas proporciona el metalenguaje, el contexto o sustrato de las teorías lógicas. Finalmente, puede ser completamente expresada en un lenguaje de primer orden y sus axiomas y teoremas constituyen una teoría de primer orden a la que pueden aplicarse los resultados generales que se aplican a cualquier teoría de primer orden. 2.1.2. Teoría intuitiva de conjuntos La definición inicial de Cantor es totalmente intuitiva: Definición. 2.1. 1 Conjunto según Cantor un conjunto es cualquier colección C de objetos determinados y bien distintos de nuestra percepción o nuestro pensamiento (objetos x que se denominan elementos de C), reunidos en un todo. 2 Antalcides Olivo
  • 69. 2.1. Introducción Igual que en Frege su idea de lo que es un conjunto coincide con la extensión de un predicado (la colección de objetos que satisface el predicado). Esta idea sencilla y tan intuitiva resulta ser también ingenua porque produce enormes contradicciones de inmediato, como por ejemplo la paradoja de Russell. Para poder mostrarlo es necesario empezar por formalizar esta teoría intuitiva que, aparte de los símbolos para los conjuntos y sus elementos (x, C, etc.), tendrá los símbolos de pertenencia, 2 e igualdad = (de los objetos del lenguaje formal). Que x es un elemento del conjunto C se expresa “ x pertenece a C” o bien x 2 C. Que x no es un elemento de C se expresa “ x no pertenece a C” o bien x /2 C. Tendremos en cuenta que no es necesario denotar siempre con mayúsculas a los conjuntos y con minúsculas a sus elementos, ya que un conjunto puede ser a su vez un elemento de otro conjunto e incluso podemos considerar que en nuestra teoría no hay objetos que no sean conjuntos. El problema ahora el el siguiente: ¿Cómo se determina una colección? De acuerdo con la definición intuitiva de Cantor un conjunto queda definido si es posible describir completamente sus elementos. * El procedimiento mas sencillo de descripción es nombrar cada uno de sus elementos, esta descripción se llama definición por extensión; es conocida la notación de encerrar entre llaves los elementos del conjunto. Ejemplos. 2.1. 1 Listar un conjunto 1. A = a, b, c. Donde A es el conjunto formado por la colección de objetos a, b y c. 2. B = {, , ,,