Covarancia

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Covarancia

  1. 1. 78 Bioestad´ ıstica: M´todos y Aplicaciones e3.3.2. IndependenciaExiste un concepto que es radicalmente opuesto a la dependencia funcio-nal, que es el de independencia. Se dice que dos variables X e Y son inde-pendientes si la distibuci´n marginal de una de ellas es la misma que la ocondicionada por cualquier valor de la otra. Esta es una de entre muchas maneras de expresar el concepto de in-dependencia, y va a implicar una estructura muy particular de la tablabidimensional, en el que todas las filas y todas las columnas van a serproporcionales entre s´ ı.3.4. Covarianza La covarianza SXY , es una medida que nos hablar´ de la variabilidad aconjunta de dos variables num´ricas (cuantitativas). Se define como: e n 1 SXY = (xi − x)(yi − y) n i=1Una interpretaci´n geom´trica de la covarianza o eConsideremos la nube de puntos formadas por las n parejas de datos (xi , yi ).El centro de gravedad de esta nube de puntos es (x, y), o bien podemosescribir simplemente (x, y) si los datos no est´n ordenados en una tabla de adoble entrada. Trasladamos los ejes XY al nuevo centro de coordenadas(x, y). Queda as´ dividida la nube de puntos en cuatro cuadrantes como ıse observa en la figura 3.1. Los puntos que se encuentran en el primer ytercer cuadrante contribuyen positivamente al valor de SXY , y los que seencuentran en el segundo y el cuarto lo hacen negativamente. De este modo: Si hay mayor´ de puntos en el tercer y primer cuadrante, ocurrir´ que ıa a SXY ≥ 0, lo que se puede interpretar como que la variable Y tiende a aumentar cuando lo hace X;
  2. 2. 3.4. COVARIANZA 79 . − Y + − Y + (− , −) x y (− , −) x y X X + − + − Cuando X crece, Y crece Cuando X crece, Y decrece Casi todos los puntos pertenecen Casi todos los puntos pertenecen a los cuadrantes primero y tercero a los cuadrantes segundo y cuarto . Figura 3.1: Interpretaci´n geom´trica de SXY o e Si la mayor´ de puntos est´n repartidos entre el segundo y cuarto ıa a cuadrante entonces SXY ≤ 0, es decir, las observaciones Y tienen tendencia a disminuir cuando las de X aumentan; Si los puntos se reparten con igual intensidad alrededor de (x, y), entonces se tendr´ que SXY = 0. V´ase la figura 3.2 como ilustraci´n. a e o
  3. 3. 80 Bioestad´ ıstica: M´todos y Aplicaciones e . Sxy=0 S xy =0 Hay dependencia entre Las dos variables son las dos variables, aunque independientes. la covarianza sea nula. .Figura 3.2: Cuando los puntos se reparte de modo m´s o menos homog´neo a eentre los cuadrantes primero y tercero, y segundo y cuarto, se tiene queSXY ≈ 0. Eso no quiere decir de ning´n modo que no pueda existir ninguna urelaci´n entre las dos variables, ya que ´sta puede existir como se aprecia o een la figura de la derecha. La Covarianza • Si SXY > 0 las dos variables crecen o decrecen a la vez (nube de puntos creciente). • Si SXY < 0 cuando una variable crece, la otra tiene tendencia a decrecer (nube de puntos decreciente). • Si los puntos se reparten con igual intensidad alrededor de (x, y), SXY = 0 (no hay relaci´n lineal). o

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