2. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 1
1 เซต (Set)
Who is George ความรู้พื้นฐาน (Basic Background)
Cantor?
โครงสร้ างระบบจานวนจริง
จานวนจริ ง
จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ
…………………
………………… จานวนเต็ม เศษส่ วนหรื อทศนิ ยม
…………………
…………………
………………… จานวนเต็มลบ ศูนย์ จานวนเต็มบวก
…………………
…………………
1. จานวนตรรกยะ คือ จานวนที่สามารถเขียนได้ในรู ปของเศษส่ วน โดยไม่เป็ นศูนย์
3
หรื อเขียนอยูในรู ปทศนิยม ซ้ าๆ ได้เ ช่น - 7 ,-3,
่ 0, 5, 8, , 01 2
5
◙True or False ? 2. จานวนอตรรกยะ คือ จานวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยูในรู ปเศษส่ วน หรื อทศนิยมซ้ า
่
1. a a
2 ได้ เช่น 2 , 3 , 5 , 7 , , 0.121221222 ...
2. 3.99999… is an integer 3. จานวนจริง คือ จานวนที่เป็ นตรรกยะ หรื อจานวนอตรรกยะ
3. 27 is an integer.
9 4. รากที่สอง ให้ a เป็ นจานวนจริ งบวกใดๆ หรื อศูนย์ รากที่สองของ a คือจานวนจริ งที่
4. 121 is an integer. ยกกาลังสองแล้วได้ a
5. 1.21 is a rational
number. ข้อสังเกต
6. 12 is a rational 5. รากที่สาม ให้ a เป็ นจานวนจริ งใดๆรากที่สามของ a คือจานวนจริ งที่ยกกาลังสาม
number.
7. 2 is an irrational แล้วได้ a ใช้สัญลักษณ์ " 3 a " แทนรากที่สามของ a
number. เช่น รากที่สามของ 27 คือ 3 27 3
8. 3.99999... 2
รากที่สามของ 125 คือ 3 125 5
6. รากที่ n ให้ a เป็ นจานวนจริ งใดๆรากที่ n ของ a คือจานวนจริ งที่ยกกาลัง n แล้วได้ a
☼ How to prove that
3.9999... 4 ใช้สัญลักษณ์ " n a " แทนรากที่สามของ a
………………………… เช่น รากที่สี่ของ 16 คือ 4 16 2
………………………… 7. ค่าสั มบูรณ์ ให้ a เป็ นจานวนจริ งใดๆ
…………………………
………………………… a, where a 0
………………………… a
………………………… a, where a 0
………………………… 8. ให้ a เป็ นจานวนจริ งใดๆ
…………………………
……………………… a2 a
………………………
………………………
………………………
เรื่ อง เซต [Set] 1 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
………………
3. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 2
1.1 ความหมาย และ การเขียนเซต
ความหมายของเซต
True or False?
ในวิชาคณิ ตศาสตร์ เราใช้คาว่า “เซต” เพื่อบ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่ งต่างๆ โดย
(1) 1, 2,3 3, 2,1 ต้องทราบอย่างแน่ชดว่า สิ่ งใดอยูในกลุ่ม และ สิ่ งใดไม่อยูในกลุ่มที่เรากล่าว และ เรี ยก
ั ่ ่
(2) 1, 2,3 1, 2,3,1 สิ่ งที่อยูในเซตนั้นว่า สมาชิก
่
(3) 1, 2,3 1, 2,1
(4) 1, 2,3 1, 2, 2,3
(5) 1, 2,3 1,1, 2, 2,3,3 การเขียนเซต และ ชื่อของเซต
(6) a a , b, a, b การเขียนเซตมี 2 แบบ ดังนี้
(7) a a , b, a, b (1) แบบแจกแจงสมาชิก
(8) b a , b, a, b
(9) b a , b, a, b
(10) b a , b, b , a, b
(11) a, b a , b, a, b หมายเหตุ สมาชิกที่เขียนซ้ ากันให้ถือว่าเป็ นสมาชิกเพียง 1 ตัว
(2) แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
(12) a a , b, a, b
◙ Names of set of สมาชิกของเซต (Element of set)
number:
ใช้เครื่ องหมาย “ “ แทนข้อความ “ เป็ นสมาชิกของเซต ”
I : Positive Integer ใช้เครื่ องหมาย “ “ แทนข้อความ “ ไม่เป็ นสมาชิกของเซต ”
I : Negative Integer
I : Integer
N : Natural Number เซตของเซต (Set of set)
P : Prime Number
สมาชิกของเซตอาจจะเป็ นเซตก็ได้
Q : Rational Number
R : Positive Integer
True or False? เซตที่เท่ ากัน (Equality of set)
บทนิยาม เซต A เท่ากับ เซต B ก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน กล่าวคือ
(1) N I
(2) I R สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมาชิกของเซต B และ สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็ นสมาชิก
(3) 9 I ของเซต A
(4) 2 Q เซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B
(5) 2.9999... Q เซต A ไม่เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A B
(6) Q R
เรื่ อง เซต [Set] 2 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
4. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 3
เซตว่าง (Empty Set)
Who is Venn? บทนิยาม เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก
Who is Euler?
…………………….. เซตว่างเขียนแทนด้วย หรื อ
……………………..
◙ Which is empty set ? เซตจากัด และ เซตอนันต์ (Finite and Infinite Set)
(1) x x 2 2
บทนิยาม เซตจากัด คือ เซตที่มีจานวนสมาชิกเท่ากับจานวนเต็มบวกใดๆ หรื อ ศูนย์
กล่าวคือ สามารถนับจานวนสมาชิกได้ครบถ้วน
(2) x x 2 x
(3) x x 2 x บทนิยาม เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจากัด กล่าวคือเซตอนันต์เป็ นเซตที่มี่จานวน
(4) x x 2 x สมาชิกมากมายนับไม่ถวนหรื อไม่สามารถนับจานวนสมาชิกได้ครบถ้วน
้
(5) x x 2
x
(6) x x 2
x
◙ Which is finite set ? 1.2 เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe )
(1) x x 2 2 บทนิยาม เอกภพสัมพัทธ์ (Universal set) คือเซตที่กาหนดขึ้นเพื่อเป็ นขอบเขตของเซต
(2) x x 2 x ทั้งหมดในการพิจารณา โดยที่ทุกเซตที่กล่าวถึงจะต้องเป็ นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์
(3) x x 2 x และเอกภพสัมพัทธ์นิยมเขียนแทนด้วย U
(4) x x 2 x
(5) x x 2
x
(6) x x 2
x แผนภาพของเวนน์ -ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram)
เป็ นการเขียนแผนภาพแทนเซตเพื่อช่วยให้ความคิด และ การแก้ปัญหาเกี่ยวกับเซตชัดเจน
◙ Which is infinite set ? และ ง่ายขึ้น
(1) x x 2 2
(2) x x 2 x
(3) x x 2 x
(4) x x 2 x
(5) x x 2
x
(6) x x 2
x
เรื่ อง เซต [Set] 3 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
5. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 4
1.3 สับเซต(Subsets) และเพาเวอร์ เซต (Power Set)
สั บเซต(Subset)
A x x2 x บทนิยาม A เป็ นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เป็ นสมาชิกของ B
Is A an empty A เป็ นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย A B
set? แต่ B A เรี ยกว่า B เป็ น Supper set ของ A
และ A ไม่เป็ นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย A B
? ข้ อตกลงเบืองต้นเกียวกับเซต
้ ่
(1) เซตว่าง เป็ นสับเซตของทุกๆ เซต นันคือ A เมื่อ A เป็ นเซตใดๆ
่
(2) เซตทุกเซตเป็ นสับเซตของตัวมันเอง นันคือ A A เมื่อ A เป็ นเซตใดๆ
่
◙ True or False ?
การหาจานวนสับเซต
(1) 1, 2,3 3, 2,1 เซตที่มีสมาชิก k ตัว มีจานวนสับเซตทั้งหมด 2k สับเซต
(2) 1, 2,3 1, 2,3,1
สมบัตเิ บืองต้นเกียวกับสับเซต
้ ่
(3) 1, 2,3 1, 2,1
กาหนดให้ A, B และ C เป็ นเซตใดๆ และ เป็ นเซตว่าง จะได้ว่า
(4) 1, 2,3 1, 2, 2,3
1) A A
(5) 1, 2,3 1,1,, 2,3,3
2) A
(6) a a , b, a, b 3) ถ้า A แล้ว A
(7) a a , b, a, b 4) ถ้า A B และ B C แล้ว A C
(8) b a , b, a, b 5) ถ้า A B และ B A แล้ว A B
(9) b a , b, a, b
(10) b a , b, b , a, b เพาเวอร์ เซต (Power set)
(11) a, b a, b, a, b บทนิยาม ถ้า A เป็ นเซตใด เพาเวอร์ เซตของ A คือเซตของสับเซตของ A และเขียนแทน
(12) a a , b, a, b ด้วย P(A)
(13) If A 1, 2,1 then นันคือ P(A) ={x x A}
่
n( A) 3
(14) If A 1, 2, 2 then
n( A) 3
(15) , b, a, b สมบัติเกี่ยวกับเพาเวอร์ เซต
6) P( A)
(16) , b, a, b
7) A P( A)
(17) {}, b, a, b 8) P( A)
(18) {}, b, a, b 9) ถ้า n( A) k แล้ว n( P( A)) 2k
เรื่ อง เซต [Set] 4 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
6. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 5
1.4 ยูเนียน อินเตอร์ เซกชัน และ คอมพลีเมนต์ของเซต
(Union, Intersection and Complement)
◙ Some of the most
beautiful mathematical
formulas: ยูเนียน (Union)
9 The roots of a
ให้ A และ B เป็ นเซตใดๆ
quadratic equation : A B {x x A หรื อ x B หรื อ x เป็ นสมาชิกของทั้งสองเซต}
If ax bx c 0
2
where a 0 , then
b b 2 4ac สมบัติเกี่ยวกับการยูเนียน ให้ A, B, C เป็ นเซตใดๆ เป็ นเซตว่าง และ U เป็ นเอก
x .
2a
ภพสัมพัทธ์
10 The golden ratio: (1) A B B A
1 5 (2) ( A B) C A ( B C )
2 (3) A A A
(4) A A A
11 Imaginary numbers: (5) A U U U A
i 1 (6) A A B และ B A B
(7) ถ้า A B แล้ว A B B และ ถ้า A B B แล้ว A B
(8) ถ้า A B แล้ว A และ B
อินเตอร์ เซกชัน (Intersection)
ให้ A และ B เป็ นเซตใดๆ
A B {x x A และ x B}
สมบัติเกี่ยวกับการอินเตอร์ เซก ให้ A, B, C เป็ นเซตใดๆ เป็ นเซตว่าง และ U เป็ น
เอกภพสัมพัทธ์
1) A B B A
2) ( A B) C A ( B C )
3) A A A
4) A A
5) A U A U A
6) A B A และ A B B
7) ถ้า A B แล้ว A B A และ ถ้า A B A แล้ว A B
8) ถ้า A B แล้ว ไม่จาเป็ นที่ A หรื อ B
9) A ( B C) ( A B) ( A C)
A ( B C) ( A B) ( A C)
เรื่ อง เซต [Set] 5 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
7. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 6
ผลต่ าง และ คอมพลีเมนต์ (Difference and Complement)
A B B A ให้ A และ B เป็ นเซตใดๆ และ U เป็ นเอกภพสัมพัทธ์
A B {x x A และ x B}
? A B {x x B และ x A}
และ A = U - A
………………… หมายเหตุ
…………………
………………… เห็นได้ชดว่า A B B A
ั
…………………
………………… สมบัติเกี่ยวกับผลต่ าง และ คอมพลีเมนต์ ให้ A, B, C เป็ นเซตใดๆ เป็ นเซตว่าง และ
…………………
………………… U เป็ นเอกภพสัมพัทธ์
………………… 1) A B A B
……………….... 2) ถ้า A B แล้ว A B A และ B A B
3) ถ้า A B แล้ว A B และ B A
4) ถ้า A B แล้ว A B และ B A
5) ( A B) A B
6) ( A B) A B
7) ( A) A
8) A A A A
9) A A U A A
10) U
11) U
1.5 จานวนสมาชิกของเซตจากัด (Number of Finite Set)
ให้ A, B, C เป็ นเซตจากัดใดๆ และ n( A) แทนจานวนสมาชิกของ A จะได้ว่า
(1) n( A B) n( A) n( A B)
(2) n( A B) n( A B) n( B)
(3) n( A B) n( A) n( B) n( A B)
(4) n( A B) n( A) n( B) n(C) n( A B) n( B C) n( A C) n( A B C)
เพื่อความสะดวก เราสามารถใช้แผนภาพ ของเวนน์ และ ออยเลอร์ แก้ปัญหาเกี่ยวกับ
จานวนสมาชิกของเซตจากัด ได้อย่างมีประสิ ทธิภาพมากยิงขึ้น
่
เรื่ อง เซต [Set] 6 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
8. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 7
◙ ตัวอย่างข้ อสอบที่ท้าทายเรื่องเซต
☻ความรู้เกี่ยวกับพื้นฐานทางเซต
1. ข้อความใดถูกต้อง
1. ถ้า A B = B แล้ว [(A B) B] = A – B
2. ถ้า A B = B แล้ว B A
3. {0 , {1} ,{ }}
4. (AB) [ A (B – (A B)) ]
2. (A – B) (B – A) (AB) จะเท่ากับเซตใดเสมอ
1. AB 2. (AB)
3. A 4. (A B)
3. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} และให้ A = {1 , 2 , 3 , 4 ,} ,
B = {3 , 4 , 5 , 6 , } , C = {2 , 4 , 6 , 7} แล้ว [(BC) – A] (A B C)
คือเซตในข้อใดต่อไปนี้
1. {6} 2. {6 , 8}
3. {5 , 6} 4. {5 , 6 , 7}
4. ให้ A, B, C เป็ นเซต ดังนี้
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {x | x = 1 – 1 เมื่อ y A}
y
C = { x | x = y 1 y เมื่อ y A}
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. B C = { 1 , 2 , 4 , 4 , 6 , 6 }
2 3
3
5
5
7 2. B C = { 1 , 2 , 4 , 4 , 6 }
2 3
3
5
5
3. B – C = { 6 } 7 4. C – B = { 0 }
5. ถ้า A = {5 , 6 , 7 , …, 20} และ B = {1 , 2 , 3 , …, 15} แล้วจานวนสมาชิกในเซต
{ X | X เป็ นสับเซตของ A และ X ไม่เป็ นสับเซตของ B} เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 7 210 2. 31 211
3. 31 210 4. 63 211
6. ให้ U = {2 , 3 , 4 , … , 10} A = {2 , 4 , 6}
B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} C = {3 , 5 , 7 , 9}
แล้ว (A – C) B คือข้อใดต่อไปนี้
1. {4 , 6} 2. {3 , 5 , 7}
3. {3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10} 4. {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10}
เรื่ อง เซต [Set] 7 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
9. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 8
7. กาหนดให้ A = {x | x 2 – 6x – 16 0}
B = {x | |2 – x| 5}
ถ้า A – B = [a, b] แล้ว a + b มีค่าเท่ากับเท่าใด
8. กาหนดให้ A, B, C เป็ นเซต โดยที่ AB = {6, 8} AC = {6, 7}
AC = {4, 5, 6, 7, 8} AB = {4, 6, 7, 8, 9}
B – C คือเซตในข้อใดต่อไปนี้
1. {8} 2. {9}
3. {8, 9} 4. {4, 8}
9. กาหนดให้ A , B และ C เป็ นเซตใดๆ A (B C) มีความหมายตรงกับข้อใด
1. สาหรับสมาชิก x ใดๆ ถ้า x A แล้ว x B และ x C
2. มีสมาชิก x ซึ่ ง x A แต่ x B และ x C
3. สาหรับสมาชิก x ใดๆ x A แต่ x B หรื อ x C
4. มีสมาชิก x ซึ่ ง ถ้า x A แล้ว x B และ x C
10. ให้ A , B , C , D เป็ นเซตใดๆ (A C) (B D) เท่ากับเซตในข้อใดต่อไปนี้
1. (A B) (D C) 2. (A B) (C D)
3. (A B) (D C) 4. (A B) (C D)
☻ความรู้เกี่ยวกับสับเซต และเพาเวอร์ เซต
1. ข้อความใดถูกต้อง
ก. ถ้าเพาเวอร์ เซตของ A และ B มีจานวนสมาชิกเท่ากัน แล้ว A เป็ นสับเซตของ B
และ B เป็ นสับเซตของ A
ข. ถ้า A เป็ นสับเซตของ B แล้ว เพาเวอร์ เซตของ A มีจานวนสมาชิก น้อยกว่าเพาเวอร์
เซตของ B
ค. สามารถสร้าง A ที่เพาเวอร์ เซตของ A มีสมาชิกจานวน 25 สมาชิก
ง. ถ้าเพาเวอร์ เซตของ A และ B มีจานวนสมาชิกเท่ากัน แล้ว A และ B เทียบเท่ากัน
จ. ไม่มีคาตอบที่ถูกต้องในข้อ ก ถึงข้อ ง
2. ถ้า B เป็ นเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว คือ 1 กับ A โดยที่ A = { 1 } แล้วข้อใดถูก
1. P(B) = { 1 , , {1} } 2. A P (B)
3. P(A) = P(B) 4. P(A) P(B) = { }
3. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5, …,10}
ถ้า A = {1 , 2 , 5 , 6 , 9 , 10} และ B = {2 , 4 , 6 , 8 , 10}
แล้วสมาชิกของเพาเวอร์ เซตของ [(AB)B] มีจานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2 2. 4
3. 8 4. 16
เรื่ อง เซต [Set] 8 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
10. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 9
4. กาหนดให้ A = {1 , 2 , 3} , B = {1 , 2 , 4} และ P(X) แทนเพาเวอร์ เซตของเซต X
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. {1 , 2} P(AB) ข. P(A – B) = P(A) – P(B)
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด
3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด
5. ให้ A, B, C เป็ นเซต ซึ่ ง A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
C = {3, 6, 9,12, 15}
สาหรับเซต X ใดๆให้ n(X) หมายถึงจานวนสมาชิกของเซต X
P(X) หมายถึงเพาเวอร์ เซตของเซต X
ข้อใดต่อไปนี้ถก ู
1. n[(A B) C] = 2 2. n[A (B C)] = 2
3. n[P(A– B)] = 16 4. n[P(B– C)] = 32
6. ถ้า A = {a, b, {c}, {a}, {a, b}, {b, c}}
และ P(A) เป็ นเพาเวอร์เซตของ A แล้ว จานวนสมาชิกของ [P(A) A] เท่ากับเท่าไร
7. ถ้า A = { , 0, 1, {1}, {1, 2}, {3}} และ P(A) เป็ นเพาเวอร์เซตของ A
แล้ว จานวนสมาชิกของเซต P(A) – A เท่ากับเท่าใด
8. กาหนดให้ A = {0, 1, 2}
B = { , {0, 1}, {1, 2}, {2, 3, 4,…}}
และ P(S) เป็ นเพาเวอร์ เซตของ S
ถ้า S = {(a, b) AB | a b } แล้วจานวนสมาชิกของ P(S) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 32 2. 64
3. 128 4. 256
9. ข้อใดต่อไปนี้ ผิด
1. มีเซต S และ T ซึ่ ง S T และ S T
2. มีเซต S , T และ U ซึ่ ง S T และ T U แต่ S U
3. P() { P()} และ P() { P()}
4. P(S) S สาหรับทุกๆ เซต
10. ถ้า A = { , {} , 0 , {0} , {1} , {0 , 1}} และ P(A) คือเพาเวอร์ เซตของ A แล้วเซต
(P(A) – A) (A – P(A)) มี จานวนสมาชิกกี่ตว ั
เรื่ อง เซต [Set] 9 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น