1. ตรรกศาสตร์ เบืองต้ น
้
ประพจน์
หมายถึง ประโยคหรื อข้อความที่ใช้สาหรับบอกค่าความเป็ นจริ งหรื อเท็จเพียงอย่างใดอย่าง หนึ่ง ส่ วน
ประโยคหรื อข้อความที่ไม่สามารถบอกค่าความจริ งหรื อเป็ นเท็จได้จะไม่เรี ยกว่า ประพจน์
ตัวอย่างของประโยคหรื อข้อความที่เป็ นประพจน์ เช่น
ดวงอาทิตย์ข้ ึนทางทิศตะวันออก
สุ นขมี 4 ขา
ั
ประเทศไทยมีชายแดนติดกับประเทศอินเดีย
เดือนมกราคมมี 30 วัน
ตัวอย่างของประโยคหรื อข้อความที่ไม่เป็ นประพจน์ เช่น
ห้ามเดินลัดสนาม
กรุ ณาปิ ดไฟก่อนออกจากห้อง
เธอกาลังจะไปไหน
เขาเป็ นนักฟุตบอลทีมชาติไทย
Y+5=8
ประโยคเปิ ด
คือ ประโยคหรื อข้อความที่มีค่าตัวแปรอยูในประโยค และยังไม่สามารถทราบค่าความจริ ง ถ้าทาการแทน
่
ค่าตัวแปรนั้นด้วยค่าบางอย่าง จาทาให้ประโยคหรื อข้อความนั้นมีค่าออกมาเป็ นจริ งหื อเป็ นเท็จ ต้วอย่างของ
ประโยคเปิ ด เช่น
เขาเป็ นนักฟุตบอลทีมชาติไทย ถ้าแทนเขาด้วยชื่อของนักฟุตบอลทีมชาติไทยประโยคนี้จะมีค่าเป็ น
จริ ง ถ้าแทนเข้าด้วยอื่นที่ไม่ใช่ชื่อนักฟุตบอลทีมชาติไทย ประโยคนี้จะมีค่าเป็ นเท็จ
Y + 5 = 8 ถ้าแทนค่าของ Y ด้วย 3 ประโยคนี้ จะมีค่าออกมาเป็ นจริ ง ถ้าแทนค่าของ Y ด้วย ตัวเลข
อื่น ประโยคนี้จะมีค่าออกมาเป็ นเท็จ
ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์
ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ใช้สาหรับกรณี ที่ตองการเชื่อมประพจน์มาก ว่า 1 ประพจน์เข้าด้วยกัน เรี ยกว่า
้
ประพจน์เชิงประกอบ ส่ วนประพจน์ที่ไม่มีตวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ เรี ยกว่า ประพจน์เดี่ยว สัญลักษณ์ที่ใช้
ั
สาหรับเป็ นตัวเขื่อมทางตรรกศาสตร์ มีดงต่อไปนี้
ั

2. ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ สั ญลักษณ์
และ
หรื อ
ถ้า...แล้ว
ก็ต่อเมื่อ
ไม่ ~
ใน ทางตรรกศาสตร์ เพื่อความสะดวกสาหรับการศึกษาเกี่ยวกับการทางานของตัวเชื่ อม ทางตรรกศาสตร์
นิยมแทนแต่ละประพจน์ดวยตัวอักษร P,Q,R ... และใช้ T (True) และ F (False) แทนค่าของผลลัพธ์ที่ได้จาก
้
ประพจน์เป็ นจริ งและเป็ นเท็จ ตามลาดับ
ถ้า P แทนประพจน์ "ดวงอาทิตย์ข้ ึนทางทิศตะวันออก" ค่าของความจริ งที่ได้จากประพจน์ P มี
ผลลัพธ์ออกมาเป็ นจริ ง แทนค่าความจริ งของประพจน์ P คือ T
ถ้า Q แทนประพจน์ "เดือนมกราคมมี 30 วัน" ค่าของความจริ งที่ได้จากประพจน์ Q มีผลลัพธ์
ออกมาเป็ นเท็จ แทนค่าความจริ งของประพจน์ Q คือ F
ข้ อความ สั ญลักษณ์
ดวงอาทิตย์ข้ ึนทางทิศตะวันออก และ เดือนมกราคม มี 30 วัน
ดวงอาทิตย์ข้ ึนทางทิศตะวันออก หรื อ เดือนมกราคม มี 30 วัน
ถ้าดวงอาทิตย์ข้ ึนทางทิศตะวันออก แล้ว เดือนมกราคม มี 30
วัน
ดวงอาทิตย์ข้ ึนทางทิศตะวันออก ก็ต่อเมื่อ เดือนมกราคม มี 30
วัน
ค่ าความจริงของประพจน์
ผลลัพธ์ที่ได้จากประพจน์เชิงประกอบที่ใช้ตวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ แต่ละชนิด จะมีผลลัพธ์ที่ต่างกัน
ั
ออกไป การแสดงผลลัพธ์ที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ สามารถแสดงโดยใช้ตารางค่า ความจริ งสาหรับใช้
แสดงค่าความจริ งทั้งหมดที่สามารถเป็ นไปได้ โดยค่าความจริ งทั้งหมดที่สามารถเป็ นไปได้ที่เกิดจากประพจน์
เชิงประกอบมีค่า เท่ากับ เมื่อ n คือจานวนประพจน์เดี่ยวที่ประกอบอยูภายในประพจน์เชิงประกอบ เช่น
่
ประพจน์เชิงประกอบเกิดจากประพจน์เดี่ยวจานวน 2 ประพจน์ ค่าความจริ งทั้งหมดที่สามารถเป็ นไปได้ คือ 4
คา

3. ถ้าให้ P,Q คือ ประพจน์ และ T,F คือผลลัพธ์ของประพจน์ ที่เป็ นจริ งและเป็ นเท็จตามลาดับ ผลลัพธ์ที่ได้
จากการกระทาของตัวเชื่ อมทางตรรกศาสตร์ แต่ละชนิดได้ ดังนี้
ค่ าความจริงทีได้ จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "และ"
่
ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทาของตัวเชื่ อมทาง ตรรกศาสตร์ "และ" จะเป็ นจริ ง
เพียงกรณี เดี่ยว คือ เมื่อค่าความจริ งของประพจน์ท้ งสองที่นามากระทากันเป็ นจริ งทั้งคู่ ถ้ามีประพจน์ใดประพจน์
ั
หนึ่งเป็ นเท็จ ผลลัพธ์ที่ได้จะออกมาเป็ นเท็จทันที
P Q P^Q
F F F
F T F
T F F
T T T
ตารางค่าความจริ งที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "และ"
ค่ าความจริงทีได้ จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "หรือ"
่
ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทาของตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ "หรื อ" จะเป็ นจริ ง
เมื่อค่าความจริ งของประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็ นจริ ง ถ้าประพจน์ท้ งสองที่นามากระทากันเป็ นเท็จทั้งคู่
ั
ผลลัพธ์ที่ได้จะออกมาเป็ นเท็จ
P Q PvQ
F F F
F T T
T F T
T T T
ตารางค่าความจริ งที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "หรื อ"
ค่ าความจริงทีได้ จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้ า....แล้ว"
่
ประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทาจองตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า...แล้ว" จะเป็ นลักษณะของ
่ ั
ประพจน์ที่เป็ นเหตุเป็ นผลกัน โดยประพจน์ที่อยูถดจาก "ถ้า" จะเป็ นประพจน์ที่เป็ นเหตุ ส่ วนประพจน์ที่อยูถด่ ั
จาก "แล้ว" จะเป็ นประพจน์ที่เป็ นผล ผลลัพธ์ที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า...แล้ว" จะเป็ นเท็จเมื่อ

4. ค่าความจริ งของประพจน์ท่ีเป็ นเหตุเป็ นจริ งและประพจน์ที่ เป็ นผลมีค่าเป็ นเท็จ นอกนั้นในกรณี อื่นผลลัพธ์เชิง
ประกอบทีได้จะมีค่าออกมาเป็ นจริ ง
P Q
F F T
F T T
T F F
T T T
ตารางค่าความจริ งที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์
"ถ้า...แล้ว"
ค่ าความจริงทีได้ จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ก็ต่อเมื่อ"
่
การกระทาของตัวเชื่ อมทางตรรกศาสตร์ "ก็ต่อเมื่อ" ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จะเป็ นจริ งเมื่อ
ค่าความจริ งของประพจน์ท้ ง สองที่นามากระทากันมีค่าความจริ งที่เหมือนกันคือ ค่าความจริ งของประพจน์เป็ น
ั
จริ งทั้งคู่หรื อเป็ นเท็จทั้งคู่ ถ้าค่าความจริ งของประพจน์ท้ งสองที่นามากระทากันมีค่าต่างกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะ
ั
ออกมาเป็ นเท็จ
P Q
F F T
F T F
T F F
T T T
ตารางค่าความจริ งที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์
"ก็ต่อเมื่อ"
นิเสธของประพจน์
การทานิเสธของประพจน์หรื อการกระทาตัวดาเนิ นการ "ไม่" จะเป็ นการเปลี่ยนค่าความจริ งของประพจน์
นั้นให้เป็ นค่าที่ตรงข้าม คือ ถ้าค่าความจริ งของประพจน์น้ นเป็ นจริ ง การทานิเสธของประพจน์น้ นจะได้ผลลัพธ์
ั ั
ออกมาเป็ นเท็จ ถ้าค่าความจริ งของประพจน์น้ นเป็ นเท็จ การทานิเสธของประพจน์น้ นจะได้ผลลัพธ์ออกมาเป็ น
ั ั
จริ ง

5. P Q ~P
T F F
F T T
ตารางค่าความจริ งที่ได้จากการกระทานิเสธของประพจน์
ประพจน์ ทประกอบด้ วยหลายตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์
ี่
การหาค่าความจริ งของประพจน์ที่ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ สามารถทาได้โดยใช้
ตารางค่าความจริ ง การบอกลาดับของการกระทาระหว่างประพจน์จาใช้วงเล็บในการบอกลาดับการทางาน ถ้ามี
นิเสธ ให้ทาในส่ วนของนิ เสธของประพจน์ก่อนเป็ นอันดับแรก ตัวอย่างของการหาค่าความจริ งของประพจน์ที่
ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ แสดงได้ ดังนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนตารางค่าความจริ งของ ~Q^R
่
จากตัวอย่างประพจน์น้ ี ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ยอย ดังนี้ ค่าความจริ งที่สามารถเป็ นไปได้มีท้ งหมด 4
ั
กรณี สามารถเขียนเป็ นตารางค่าความจริ งได้ ดังนี้
Q R ~Q ~Q^R
F F T F
F T T T
T F F F
T T F F
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนตารางค่าความจริ งของ (~Q^R) v (R^~S)
่
จากตัวอย่างประพจน์น้ ี ปรกอบด้วย 3 ประพจน์ยอย คือ Q,R และ S ดังนั้นค่าความจริ งที่สามารถเป็ นไปได้
มีท้ งหมด 23 = 8 กรณี สามารถเขียนเป็ นตารางความจริ งได้ ดังนี้
ั
Q R S ~R Q^~S ~S R^~S (A^~R) v (R^~S)
F F F T F T F F
F F T T F F F F
F T F F F T T T
F T T F F F F F
T F F T T T F T

6. T F T T T F F T
T T F F F T T T
T T T F F F F F
ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนตารางค่าความจริ งของ (~Q^R)<-->(Q^R)
่
จากตัวอย่างประพจน์น้ ี ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ยอย ดังนี้ ค่าความจริ งที่สามารถเป็ นไปได้มีท้ งหมด 4
ั
กรณี สามารถเขียนเป็ นตารางค่าความจริ งได้ ดังนี้
Q R ~Q ~Q v R Q^R (~QvR)<-->(Q^R)
F F T T F F
F T T T F F
T F F F F T
T T F T T T
การหาค่ าความจริงโดยไม่ ใช้ ตารามความจริง
การหาค่าความจริ งของประพจน์เชิงประกอบ นอกจากหาค่าโดยใช้ตารางค่าความจริ งในการหาค่าความ
่
จริ ง ยังสามารถทาได้อีกวิธีหนึ่ง คือ การแทนค่าความจริ งของแต่ละประพจน์ยอยลงไป แล้วทาการพิจารณาการ
กระทาของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ เพื่อนามาหาค่าความจริ งของประพจน์เชิงประกอบนนั้น
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าความจริ งของประพจน์ต่อไปนี้ คือ P^~Q เมื่อ
ประพจน์ P และ ประพจน์ Q มีค่าความจริ งเป็ นจริ งทั้งสองประพจน์
ตัวอย่าง ที่ 2 จงหาค่าความจริ งของประพจน์ต่อไปนี้ คือ (P^~R)-->(R<--
่
>Q) เมื่อประพจน์ P และ ประพจน์ Q มีคาความจริ งเป็ นจริ งและประพจน์
R มีค่าความเป็ นจริ งเป็ นเท็จ
ประพจน์ สัจนิรันดร์
ประพจน์ที่เป็ นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่ประกอบด้วยค่าความจริ งที่เป็ นจริ งในทุกกรณี ตัวอย่างเช่น
่
ประพจน์เชิงประกอบที่ประกอบด้วยประพจน์ยอย 2 ประพจน์ กรณี ที่สามารถเป็ นไปได้ คือ 4 กรณี โดยที่ทุก
กรณี จะให้ค่าความจริ งออกมาเป็ นจริ งทั้งหมด

7. ตัวอย่างที่ 1 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน์ P-->(QvP) เป็ นสัจนิรันดร์ หรื อไม่
Q P QvP P-->(QvP)
F F F T
F T T T
T F T T
T T T T
ประพจน์ P -->(QvP) เป็ นสัจนิรันดร์
ตัวอย่างที่ 2 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน์ (P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็ นสัจนิรันดร์ หรื อไม่
P Q R QvR P-->(QvR) P^R (Q<-->(P^R) (P-->(QvR))v(Q<-->(P^R))
F F F F T F T T
F F T T T F T T
F T F T T F F T
F T T T T F F T
T F T F F F T T
T F F T T T F T
T T T T T F F T
T T T T T T T T
ประพจน์ (P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็ นสัจนิรันดร์
ประพจน์ ทสมมูลกัน
ี่
ประพจน์สองประพจน์มีความสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อประพจน์ท้ งสองประกอบด้วยประพจน์ยอยที่เหมือนกัน
ั ่
และให้ค่าความ จริ งออกมาเหมือนกันในทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ แทนการสมมูลกัน

8. ตัวอย่างที่ 1 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน์ P-->Q และ ~Q-->~P เป็ นประพจน์ที่สมมูลกันหรื อไม่
P Q P-->Q ~P ~Q ~Q-->~P
F F T T T T
F T T T F T
T F F F T F
T T T F F T
P-->Q และ ~Q-->~P เป็ นประพจน์ที่สมมูลกัน
่
หรื อเขียนได้วา P-->Q ~Q-->~P
ตัวอย่างที่ 2 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน ์์(P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็ นสัจนิรันดร์ หรื อไม่
P Q P-->Q ~(P-->Q) ~Q P^~Q
F F T F T F
F T T F F F
T F F T T T
T T T F F F
ประพจน์ ~(P-->Q) และ P^~Q เป็ นประพจน์ที่สมมูลกัน
่
หรื อเขียนได้วา ~(P-->Q) P^~Q

9. ตรรกศาสตร์ เบืองต้ น
้

14. จงสร้างตารางหาค่าความจริ งของประพจน์ต่อไปนี้

19. จงหาค่าความจริ งของประพจน์เชิงประกอบในแต่ละข้อ เมื่อกาหนดค่าความจริ งบางประพจน์ให้

21. ่
จงหาค่าความจริ งประพจน์ยอยในแต่ละข้อ

24. จงตรวจสอบว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้สมมูลกันหรื อไม่ โดยใช้ตารางค่าความจริ ง

25. ่ ่
จงใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันอยูแล้ว ตรวจสอบดูวา ประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้สมมูลกันหรื อไม่
่
จงตรวจดูวาข้อความ ก. สมมูลกับข้อความ ข. หรื อไม่

29. จงตรวจสอบโดยใช้ตารางค่าความจริ งว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็ นสัจนิรันดร์หรื อไม่
จงตรวจสอบโดยใช้วธีหาข้อขัดแย้งว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็ นสัจนิรันดร์หรื อไม่
ิ

30. จงตรวจสอบโดยใช้ความรู ้เรื่ องสมมูล ว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็ นสัจนิรันดร์หรื อไม่

32. ่
จงเขียนข้อความให้อยูในรู ปของสัญลักษณ์
จงเขียนข้อความแทนสัญลักษณ์ในแต่ละข้อ กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ จานวนจริ ง

33. จงเขียนสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ในแต่ละข้อ

35. จงหาค่าความจริ งของประพจน์ในแต่ละข้อ

38. ่่
จงพิจารณาว่า ประพจน์แต่ละคูตอไปนี้ สมมูลกันหรื อไม่

39. จงหานิเสธในแต่ละข้อ