1. Perché le pulsar rallentano Candidato Relatore Matteo Lotito Prof. Valeria Ferrari
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7. Energia rotazionale persa per unità di tempo Si associa la potenza elettromagnetica emessa con la variazione di energia cinetica: Esprimendo : si ricava la legge di potenza: Coefficiente K em (<0)
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9. Emissione gravitazionale Energia onde gravitazionali: pseudo-tensore energia-impulso Simboli di Christoffel, ricavabili dalla metrica di un'onda gravitazionale piana
13. Pulsar come ellissoide triassiale II Momento di inerzia Momento di quadrupolo ridotto Ellitticità:
14. Pulsar come ellissoide triassiale (III) Studi teorici su struttura stelle di neutroni Parametro fondamentale per emissione gravitazionale Da termini periodici in Q ij : Frequenza onde GW doppia rispetto frequenza di rotazione
15. Perdita di energia rotazionale (per unità di tempo) Potenza emessa Energia rotazionale persa Assumendo quindi tutta l'energia di rotazione in onde gravitazionali Braking Index = 5
16. Valori limite dell'ellitticità Limite - uguaglianza Calcolo con misure sperimentali di velocità e accelerazione A. Giazotto, S. Bonazzola, and E. Gourgoulhon. Gravitational waves emitted by an ensemble of rotating neutron stars. Phys. Rev. D, 55(4):2014–2023, Feb 1997
17. Modello combinato Energia persa: somma delle energie emesse con in onde elettromagnetiche e gravitazionali 3
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20. Nuova stima parametri da modello combinato: em + GW Da eq. esposta si ricava: Minimo di massimo di C. Palomba. Pulsars ellipticity revised. Astronomy and Astrophysics, 354:163–168, 2000 Valori minori a quelli ricavati con solo emissione gravitazionale
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22. Pulsar come ellissoide triassiale (III) Studi teorici su struttura stelle di neutroni Asse di rotazione Parametro importante per emissione gravitazionale (legata alla deformabilità della stella) Frequenza onde GW doppia rispetto rotazione Momento di inerzia Momento di quadrupolo ridotto
Notas del editor
In questa dissertazione si vuole studiare il rallentamento del moto di rotazione delle pulsar, descrivendo opportunamente i fenomeni che lo caratterizzano, attraverso cui, quindi, una pulsar può cedere energia di rotazione confrontando poi il modello esposto con le misurazioni sperimentali e ricavando alcuni parametri interessanti di queste stelle.
L'osservazione è possibile grazie al fatto che le pulsar emettono radiazione elettromagnetica pulsante. L'intermittenza è una conseguenza del lighthouse effect, effetto faro, infatti le onde elettromagnetiche sono emesse sostanzialmente lungo la direzione dell'asse magnetico delle pulsar, e sono pertanto rivelabili soltanto quando questo punta nella nostra direzione. Le misurazioni permettono di ricavare una relazione tra il periodo e la sua variazione nel tempo, che seguono una legge di potenza, che si può esprimere in questa forma, dove Omega punto è l'accelerazione angolare, K un coefficiente di proporzionalità, omega la velcità angolare e l'esponente n è quello che viene detto braking index.
Mostriamo ora le cause del rallentamento delle pulsar, il primo effetto sarà sicuramente l'emissione di onde elettromagnetiche, che è anche il mezzo attraverso il quale noi possiamo osservare questi oggetti. L'altro importante fenomeno che sarà considerato come causa della decelerazione è la prevista emissione di onde gravitazionali. Saranno quindi esposti inizialmente due modelli separati, che poi si cercherà di combinare insieme .
Le pulsar , sorgenti radio pulsanti, sono stelle di neutroni rotanti con delle particolari caratteristiche. Le stelle di neutroni sono oggetti superdensi, densita' paragonabili se non superiori a quelle dei nuclei atomici 10^14 g/cm^3. possiedono un intenso campo magnetico, dell'ordine di 10^12 Gauss, l'asse di rotazione non allineato all'asse magnetico, fatto che permette l'emissione di onde elettromagnetiche. La scoperta di questi oggetti avvenne nel 1967, quando fu osservata una radiazione pulsante, del tutto inaspettata all'epoca. Proprio per questo, questa prima scoperta fu battezzata LGM1, little green men, nomignolo usato per identificare organismi extraterrestri intelligenti, che trasmettevano segnali.
Per descrivere l'emissione elettromagnetica le pulsar vengono schematizzate come un dipolo magnetico con un asse non allineato all'asse di rotazione. In questa configurazione il momento di dipolo è variabile nel tempo e questo comporta emissione di onde elettromagnetiche con una data luminosità, che dipende dalla derivata seconda del momento di dipolo magnetico.
Si può scomporre il momento di dipolo scegliendo opportunamente una terna di assi, un'asse coincidente con l'asse di rotazione della pulsar, gli altri due sul piano ortogonale. In questo modo si può quindi ricavare l'espressione della derivata seconda del momento di dipolo, da inserire nell'espressione della luminosità, per esprimere quest'ultima in funzione dei parametri della pulsar e della velocità angolare.
Ottenuta l'espressione della luminosità, ossia la potenza emessa come onde elettromagnetiche, la si può associare alla perdita di energia di rotazione della pulsar, ottenendo la variazione di energia dovuta all'emissione di onde elettromagnetiche. Da questa relazione si può poi ricavare l'andamento dell'accelerazione in funzione della velocità angolare, che mostra un andamento dello stesso tipo riscontrato con i dati sperimentali, una legge di potenza in cui il coefficiente Kem, ha valore negativo e mostra che le ulsar rallentano e il valore del braking index ricavato e' 3.
A proposito del braking index dobbiamo ora fare una parentesi, per quanto riguarda il confronto tra il modello presentato e i dati sperimentali. Dalle misure si ricava infatti, che il valore del braking index osservato è minore di 3, dato che sembrerebbe in contrasto con il modello descritto finora. Questa discrepanza si puo' pero' giustificare ed e' stato fatto nel corso degli anni con modelli che prevedono la variazione di alcuni parametri delle pulsar: il campo magnetico B, l'angolo alfa tra l'asse di rotazione e l'asse magnetico ed il momento di inerzia I. Queste possibili variazioni si possono riassumere nel fatto che il coefficiente Kem non e' costante nel tempo, ma dipende appunto dalle variazioni di questi parametri. Si puo' quindi ricavare un'espressione in cui il braking index effettivo e' pari al valore canonico 3, dato del modello, piu' un termine di correzione che dipende dalla derivata del coefficiente Kem e permette a nem di assumere valori inferiori a 3
Passiamo ora a descrivere l'emissione di onde gravitazionali. La prima cosa da fare è introdurre l'oggetto che contiene informazioni sull'energia trasportata dalle onde gravitazionali, questo sarà il tensore energia-impulso del campo gravitazionale. Lo si può definire da una relazione che si può ricavare dal tensore di Riemann, che rappresenta una legge di conservazione del tensore energia-impulso ordinario sommato ad un altro termine, che per altro si annulla nei sistemi di riferimento inerziali, quelli in cui si può trascurare l'effetto del campo gravitazionale. Questi motivi lo portano a essere definito proprio il tensore energia-impulso associato al campo gravitazionale.
Per calcolare le componenti di quest'oggetto è necessario introdurre il tensore metrico. Sarà considerato lo spazio tempo piatto in cui è presente una perturbazione, che si propaga come un'onda, eventualmente espresso nella TT-gauge, riferimento in cui sono espliciti gli effettivi gradi di libertà dell'onda che si propaga . Dalla metrica, si calcolano le componenti di t mu nu e da queste è poi possibile ottenere la luminosità dell'emissione gravitazionale, espressa in funzione del momento di quadrupolo della sorgente, legato ai termini perturbativi della metrica.
Ottenuta l'espressione generale dobbiamo ora calcolare il momento di quadrupolo per la nostra particolare sorgente, una pulsar, che per descrivere l'emissione gravitazionale è schematizzata come un ellissoide in rotazione intorno ad un proprio asse. Definendo l'ellissoide se ne può calcolare il momento di inerzia e, da questo, con alcuni passaggi il momento di quadrupolo, che si può poi esprimere in funzione dell'ellitticità della pulsar, cioè del grado di asimmetria sul piano ortogonale all'asse di rotazione.
Ottenuta l'espressione generale dobbiamo ora calcolare il momento di quadrupolo per la nostra particolare sorgente, una pulsar, che per descrivere l'emissione gravitazionale è schematizzata come un ellissoide in rotazione intorno ad un proprio asse. Definendo l'ellissoide se ne può calcolare il momento di inerzia e, da questo, con alcuni passaggi il momento di quadrupolo, che si può poi esprimere in funzione dell'ellitticità della pulsar, cioè del grado di asimmetria sul piano ortogonale all'asse di rotazione.
Ottenuta l'espressione generale dobbiamo ora calcolare il momento di quadrupolo per la nostra particolare sorgente, una pulsar, che per descrivere l'emissione gravitazionale è schematizzata come un ellissoide in rotazione intorno ad un proprio asse. Definendo l'ellissoide se ne può calcolare il momento di inerzia e, da questo, con alcuni passaggi il momento di quadrupolo, che si può poi esprimere in funzione dell'ellitticità della pulsar, cioè del grado di asimmetria sul piano ortogonale all'asse di rotazione.
Anche nel caso gravitazionale si può ora associare la potenza emessa sotto forma di onde gravitazionali con la perdita di energia di rotazione della stella. In questo modo è possibile ottenere una relazione simile a quella ricavata nel caso elettromagnetico: una legge di potenza che lega l'accelerazione alla velocità angolare, la differenza sostanziale nei due casi, oltre al coefficiente di proporzionalità è il valore del braking index, che, mentre nel caso elettromagnetico era 3, nel caso gravitazionale è 5.
La relazione esposta poco fa è ovviamente un limite, infatti, già con l'osservazione delle pulsar, sappiamo che la potenza emessa come onde gravitazionali non può essere l'unico contributo al rallentamento delle pulsar, in ogni caso considerando al limite l'uguaglianza della potenza gravitazionale e dell'energia cinetica persa, si possono stimare limiti superiori per il valore dell'ellitticità, invertendo appunto la relazione che lega la luminosità gravitazionale all'energia rotazionale persa. In alcuni casi i valori limite sono molto piu grandi dei limiti teorici.
Ora vorremmo cercare di mettere insieme i due tipi di radiazione in un modello unico, che riesca a descrivere correttamente la perdita di energia delle pulsar. Si scrive pertanto l'energia cinetica persa come la somma dei due contributi, relazione che si può scrivere analogamente per l'accelerazione angolare uguagliandola alla legge di potenza, che i dati ossservativi seguono, in cui abbiamo le incognite K ed n. Non si potrà in realtà ricavare un'espressione analitica per i parametri incogniti, ma tramite questa equazione potranno essere fatte delle stime numeriche per ricavare alcuni parametri strutturali delle pulsar, primo fra tutti l'ellittività.
Il primo passaggio da fare è definire il rapporto tra le decelerazioni, quella dovuta a effetti gravitazionali fratto l'accelerazione dovuta agli effetti elettromagnetici. Si può esprimere l'andamento di questa grandezza in funzione dei vari braking index e graficare Y in funzione di n, usando nem come un parametro. In questo caso nem varia tra 2 e 3 e dal grafico si osservano i comportamenti nei casi limte: per y che tende a 0 n tende alla scelta del parametro nem, quindi si vede che solo l'emissione elettromagnetica influenza il moto delle pulsar, nel caso opposto, per y che tende a infinito, n tende a 5, per qualunque scelta di nem, quindi in questo caso è la radiazione elettromagnetica a poter essere trascurata. La definizione di Y può essere anche manipolata per ottenere un'espressione di questa grandezza dipendente soltanto dalla velocità angolare, e che contiene il parametro nem
Si può sfruttare l'espressione di Y in funzione di omega per riscrivere la legge di potenza complessiva e trovare un'espressione per l'accelerazione angolare dipendente solo dalla velocità angolare e da alcuni parametri delle pulsar. Quest'equazione può quindi essere integrata numericamente fissando soltanto l'età delle pulsar e ricavando come parametri la velocità angolare iniziale, il braking index elettromagnetico nem e l'ellitticità epsilon.
Dall'integrazione si ottiene quindi un intervallo di accettabilità dei parametri incogniti. Di questo intervallo saranno scelti quindi i valori che massimizzano il valore dell'ellitticità, corrispondenti ai valori minimi del braking index elettromagnetico, dato che vorremmo poi confrontare questi valori limite con quelli ricavati in precedenza, considerando soltanto l'emissione graviazionale.
Si conclude riassumendo i risultati ottenuti. Abbiamo considerato che i fenomeni che intervengono nel moto di rotazione sono i due tipi di emissione descritti ed entrambi contribuiscono a rallentare le pulsar. Dall'emissione gravitazionale si ottengono delle stime sul valore del parametro ellitticita', che poi sono state migliorate con il modello unificato dei due fenomeni, infatti si ottengono dei valori piu' bassi per quanto riguarda i limiti superiori di questo parametro.
Ottenuta l'espressione generale dobbiamo ora calcolare il momento di quadrupolo per la nostra particolare sorgente, una pulsar, che per descrivere l'emissione gravitazionale è schematizzata come un ellissoide in rotazione intorno ad un proprio asse. Definendo l'ellissoide se ne può calcolare il momento di inerzia e, da questo, con alcuni passaggi il momento di quadrupolo, che si può poi esprimere in funzione dell'ellitticità della pulsar, cioè del grado di asimmetria sul piano ortogonale all'asse di rotazione.
![Osservazioni sperimentali Impulsi elettromagnetici periodici Rotazione - Effetto faro : ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Rallentamento – K < 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)