Analisis de variables cualitativas

1. Unidad II: La distribución ji cuadrada (χ2). Características y Aplicaciones
sobre variables cualitativas. Pruebas de hipótesis de bondad de ajustes y
Análisis de Tablas de contingencia.
I.- CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADA
En estadística, la distribución ji-cuadrado, también denominada ji-cuadrado
de Pearson, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k
que representa los grados de libertad de la variable aleatoria que se describe a
continuación:
donde Zi son variables de distribución normal, de media cero y varianza uno.
Esta distribución se expresa habitualmente
Donde el subíndice k es le número de sumandos, se denomina grados de libertad
de la distribución.

2. La Distribución ji-cuadrado, tiene por función de densidad
Donde el parámetro k se denomina grados de libertad de la distribución.
La Distribución ji-cuadrado no tiene sentido para valores negativos de x, como se
puede ver en la figura.
Téngase en cuenta que para k = 1 y k = 2 la función de densidad para x = 0, se
hace infinito:
Para el resto de los valores de k, para x = 0, la función vale 0.

3. Grados de libertad
Probabilidad
Valores de χ2
Téngase en cuenta que para k = 1 y k = 2 la función de densidad
para χ2 = 0, se hace infinito. Para el resto de los valores de k, para
χ2 = 0, la función vale 0.

4. Uso De la tabla de la Distribución Ji-cuadrado y Prueba de hipótesis sobre
una varianza
En la tabla de distribución ji-cuadrado se pueden encontrar algunos cuantiles o
valores tabulados de la distribución para diferentes grados de libertad.
Para calcular la probabilidad de que una variable distribuida como una ji-cuadrado
con grados de libertad sea mayor o igual a un cierto valor se procede de la
siguiente forma:
•Se busca en la tabla la fila que corresponde a los grados de libertad de la
distribución y dentro de esa fila se localiza (de manera exacta o aproximada) el
valor x.
•Luego se lee la probabilidad buscada mirando el encabezamiento de la columna
correspondiente.
Por ejemplo, si X se distribuye como una χ2 con 5 grados de libertad entonces:
p( X ≥ 9,24) = 0.1
Como ejercicio de uso de la tabla encontrar:
a) p( X ≥ 6,26) si X se distribuye como una χ2 con 15 grados de libertad.
b) p(S2(n-1) /σ2 ≥ 16,93) si S2 fue obtenido a partir de una muestra de tamaño 10.

5. P(χ2 ≥) = α
grados
liberta
d 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88
2 0.01 0.02 0.05 0.10 0.21 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60
3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84
4 0.21 0.30 0.48 0.71 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86
5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75
6 0.68 0.87 1.24 1.64 2.20 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55
7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28
8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95
9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59
10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19
11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76
12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30
13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82
14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32
15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80
16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27
17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72
18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16
19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58
20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00
21 8.03 8.90 10.28 11.59 13.24 29.62 32.67 35.48 38.93 41.40
22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80
23 9.26 10.20 11.69 13.09 14.85 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18

6. p (X ≥ χ2) = α

7. III.- APLICACIÓN DE LA JI- CUADRADA EN PRUEBAS DE
BONDAD DE AJUSTE
Análisis de Tablas de contingencia con un criterio de
clasificación
Tipos de FO
Accidentes (frecuencia
observada)
Arrollamiento (A) 12
Colisión (C) 15
Objeto Fijo (OF) 23
Total Observados 50

8. III.- APLICACIÓN DE LA JI- CUADRADA EN PRUEBAS DE
BONDAD DE AJUSTE
Análisis de Tablas de contingencia con un criterio de
clasificación
Tipos de Proporción
Accidentes esperada
Arrollamiento (A) 0,333
Colisión (C) 0,333
Objeto Fijo (OF) 0,333
Total 1,00

9. III.- APLICACIÓN DE LA JI- CUADRADA EN PRUEBAS DE
BONDAD DE AJUSTE
Análisis de Tablas de contingencia con un criterio de
clasificación
Tipos de Proporción
Accidentes esperada
Arrollamiento (A) 0,333
Colisión (C) 0,333
Objeto Fijo (OF) 0,333
Total 1,00
La prueba de bondad de ajuste radica en la comparación de
las frecuencias observadas con aquellas frecuencias
esperadas (por la hipótesis nula)

10. Ho : P1 = P2 = P3 = 0,333, es decir Ho: Los tipos de accidentes registraron
igual proporción de ocurrencia. En porcentaje se leería en un 33,3 % igual para
cada categoría de accidente. Por tanto, las frecuencias esperadas (FE) se
calcularían multiplicando la proporción planteada en la hipótesis nula (en este
ejemplo, P = 0,333) por el número total de frecuencias observadas (en este
ejemplo, FO total = 50).
Tipos de FO FE
Accidentes (frecuencia (Frecuencia
observada) Esperada)
Arrollamiento (A) 12 16,7
Colisión (C) 15 16,7
Objeto Fijo (OF) 23 16,7
FE =P*FO total FE = 0,333*50 = 16,7

11. La Prueba estadística usada en esta situación se basa en la
distribución ji cuadrada y se describe a continuación
2
C
( FOi FE i )2
c
i 1 FE i
( FO1 FE 1 )2 ( FO2 FE 2 )2 ( FO3 FE 3 )2 ( FOc FE c )2
....
FE 1 FE 2 FE 3 FE c
2
C
( FOi FE i )2
c
i 1 FE i
( 12 16 ,7 )2 ( 15 16 ,7 ) 2 ( 23 16 ,7 ) 2 22 ,09 2 ,89 39 ,69
3 ,87
16 ,7 16 ,7 16 ,7 16 ,7 16 ,7 16 ,7

12. Densidad de Probabilidad
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
2
4
4.61

2
6
8
10

13. 0.5
0.4
Densidad de Probabilidad
0.3
0.2
Región rechazo
de Ho
0.1
Región
aceptación de Ho
0.0
3.87 4.61
0 2 4 6 8 10
2


14. 0.5
0.4
Densidad de Probabilidad
0.3
0.2
Región rechazo
de Ho
0.1
Región
aceptación de Ho
0.0
3.87 4.61
0 2 4 6 8 10
2

Aquí se verifica que el valor calculado es menor al valor 4.61 de la tabla
se acepta la hipótesis nula en la cual estadísticamente podemos afirmar que
la proporción de accidentes fue igual entre categorías.

15. 1.Supóngase que se realiza la siguiente pregunta en una encuesta:
¿conviene el cambio curricular?, y las respuestas establecidas son
SI, NO y No Sé. Sí la indiferencia o el desconocimiento fuera
total, la proporción de respuestas en cada categoría sería igual;
pruébese al 10% de significancia sí la indiferencia prevalece en
los encuestados.
Respuestas Fo
Si 55
No 35
No Sé 30

16. Ho: P(si) = P(no) = P(no sabe) ; La indiferencia prevalece
Ha: P i ≠ P j ; La indiferencia NO prevalece , y si se
tiene preferencia por alguna de las respuestas dadas.
Respuestas Fo FE
Si 55 40
No 35 40
No Sé 30 40
TOTAL de FO / # categorías = 120 / 3 = 40 !!!!!!!!

17. Ho: P(si) = P(no) = P(no sabe) ; La indiferencia prevalece
Ha: P i ≠ P j ; La indiferencia NO prevalece , y si se
tiene preferencia por alguna de las respuestas dadas.
Respuestas Fo FE
Si 55 40
No 35 40
No Sé 30 40
2
C
( FOi FE i )2
c
i 1 FE i
( 55 40 )2 ( 35 40 )2 ( 30 40 )2
8 ,75
40 40 40

18. 8,75

19. Ho: P(si) = P(no) = P(no sabe) ; La indiferencia prevalece
Ha: P i ≠ P j ; La indiferencia NO prevalece , y si se
tiene preferencia por alguna de las respuestas dadas.
Respuestas Fo FE
Si 55 40
No 35 40
No Sé 30 40
Se ha rechazado la hipótesis nula y se decide a favor de la Ha
Conclusión?

20. Municipio Proporción de Frecuencias
Habitantes en cada Observadas de
municipio comercios en cada
municipio
A 6% 30
B 20% 106
C 20% 103
D 20% 103
E 4% 28
F 30% 146
Total 100% 516

21. Ho: La Proporción de comercios es igual a la Proporción de
habitantes en cada municipio .
Ha: La Proporción de comercios NO es igual a la Proporción de
habitantes en cada municipio .
Municipio Proporción de Frecuencias
Habitantes en cada Observadas de
municipio comercios en cada
municipio
A 6% 30
B 20% 106
C 20% 103
D 20% 103
E 4% 28
F 30% 146
Total 100% 516

22. Sí la Ho es cierta entonces del total de 516 comercios en la región
El 6% de ellos están en el municipio A = 31
El 20% de ellos están en el municipio B = 103
El 20% de ellos están en el municipio C = 103
El 20% de ellos están en el municipio D = 103
El 4% de ellos están en el municipio E = 21
El 30% de ellos están en el municipio F = 155
Municipio Proporción de Frecuencias
Habitantes en cada Observadas de
municipio comercios en cada
municipio
A 6% 30
B 20% 106
C 20% 103
D 20% 103
E 4% 28
F 30% 146
Total 100% 516

23. Municipio Proporción de Frecuencias Frecuencias
Habitantes en cada Observadas de Esperadas de
municipio comercios en
comercios en
cada municipio cada municipio
A 6% 30 31
B 20% 106 103
C 20% 103 103
D 20% 103 103
E 4% 28 21
F 30% 146 155
Total 100% 516 516

24. Se acepta Ho, lo cual implica que:
Existe relación entre la proporción de comercios y la proporción de
habitantes entre los municipios !!!!!
Municipio Proporción de Frecuencias Frecuencias
Habitantes en cada Observadas de Esperadas de
municipio comercios en
comercios en
cada municipio cada municipio
A 6% 30 31
B 20% 106 103
C 20% 103 103
D 20% 103 103
E 4% 28 21
F 30% 146 155
Total 100% 516 516