Este documento resume as principais características de variáveis aleatórias contínuas, incluindo: (1) definição de variável aleatória contínua e função densidade de probabilidade; (2) exemplos de distribuições como uniforme e exponencial; (3) cálculo de média, variância e outras medidas para variáveis contínuas.

1. Aula 8
Variável aleatória contínua
Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes
MAT013 Departamento de Matemática e
Computação UNIFEI

2. Variável aleatória
• Uma Variável aleatória é contínua se seu
conjunto de valores é qualquer intervalo dos
números reais, isto é, um conjunto não
enumerável.
Ex: Peso e altura dos filhos.

3. Função densidade de
probabilidade
• Dizemos que f(x) é uma função contínua de
probabilidade ou função densidade de probabilidade
para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz
duas condições:
1. f(x)0, para todo x (-,);
2. A área definida por f(x) é igual a 1

 f ( x)dx  1


4. Exemplo
• Arqueólogos estudaram uma certa região e
mediram o comprimento de fósseis encontrados
(em cm). Chamamos de C a v.a. contínua
comprimento de fósseis. Suponha que C possui
a função densidade de probabilidade:
1 c 
   1 se 0  c  20;
f (c)   40  10 

 0 caso contrário.

5.  1 3 
  20
(b  B)h  40 40 
Área sob f (c)   1
2 2
1 c 
20
Área sob f (c)     1  1
0
40  10 
Gráfico da função
densidade de
probabilidade

6. • Como f(c) é positiva e a área é igual 1, podemos concluir
que f(c) é efetivamente uma densidade.
• Qual a probabilidade de um fóssil, escolhido ao acaso
nessa região, apresentar comprimento inferior a 8 cm?
9
f (8) 
200
 1 9 
  8
9/200 P(C  8)   40 200   7
2 25
8
7
P(C  8)   f (c)dc 
0
25

7. Função de distribuição de
probabilidade
• Dada uma v.a. X com função densidade de
probabilidade f(x), podemos definir a sua
função de distribuição acumulada, F(x), do
mesmo modo como foi definida para v.a.
discreta:
x
F ( x)  P( X  x)   f (t )dt


8. • Considere o exemplo anterior, cuja função densidade de
probabilidade é dada por:
1 c 
   1 se 0  c  20;
f (c)   40  10 

 0 caso contrário.
• A função de distribuição acumulada é dada por:


 0, se c  0
c 1  c2 
F (c)   f (t )dt   + c  se 0  c  20
0 40  20 
 
 20 c
  f (t )dt   0dt  1 se x  20
 0 20

9. Gráfico da função acumulada

10. Valor esperado
• Dada a variável aleatória X contínua, com
função densidade dada por f(x), chamamos de
valor médio ou esperança matemática de X ao
valor:

E( X )    

x f ( x)dx

11. Variância
• A variância da variável aleatória X
contínua, com f. densidade f(x), é definida
por:

   ( x   ) f ( x)dx
2 2

  E( X )  
2 2 2
• O desvio padrão ( ) de X é definido como
a raiz quadrada da variância.

12. Mediana e Moda
• A mediana de uma v.a. X contínua, com f.
densidade f(x), é o valor que satisfaz às
seguintes condições:
1 1
P( X  Md )  e P( X  Md ) 
2 2
• A moda é valor da variável que tem maior
probabilidade de ocorrêcia
P( X  Mo)  max f ( x)
x

13. Conjunto de dados Variável aleatória Variável aleatória
discreta contínua
Valores
X x1 x2 ... xn X x1 x2 ... xn f (x)
freq. fr1 fr2 ... frn pi p1 p2 ... pn
Média n n 
x   xi fri   E ( X )   xi pi    x f ( x)dx
i 1 i 1 
Mediana md = valor central 1 1
Md : P( X  Md )  e P( X  Md ) 
2 2
Moda mo= valor com Mo= valor com Mo = valor com
maior frequência maior probabilid. maior densidade
P( X  Mo)  max pi P( X  Mo)  max f ( x)
i x
Variância n
 (x  )
n 
var( x)   ( xi  x) fri  
2 2

2
i pi  2  ( x   ) 2 f ( x)dx
i 1 i 1 
Desvio dp( x)  var( x)
padrão
  2   2

14. Principais modelos contínuos
• Algumas variáveis aleatórias aparecem com frequência
em situações práticas. Em geral nesses casos, a
distribuição de probabilidade pode ser escrita de uma
maneira mais compacta, isto é, existe uma lei para
atribuir as probabilidades.
• Para caracterizar completamente uma variável aleatória
contínua, precisamos fornecer sua função densidade de
probabilidade, segundo sua definição, é uma função
positiva e com integral igual a 1.

15. Modelo uniforme contínuo
• Uma v.a. X tem distribuição Uniforme Contínua no
intervalo [a,b], a<b, se sua função densidade de
probabilidade é dada por:
 1
 a xb
f ( x)   b  a
 0
 caso contrário
ab (b  a)
b 2
1
 x dx  ;  
2
a
ba 2 12

16. Distribuição Uniforme Contínua
• Função densidade e função de distribuição
F(x)
f(x)
1
1/(b-a)
a b xi a b xi

17. Modelo Exponencial
• Utilizado para modelar variáveis como, vida útil de
equipamentos, tempos de falha e tempos de sobrevivência
de espécies.
• Uma v.a. contínua X, assumindo valores não
negativos, segue o modelo Exponencial com
parâmetro >0 se sua densidade é:
 1 
x
 e x0
f ( x )  
 0
 caso contrário

18. Distribuição Exponencial

Gráfico f. densidade Gráfico f. distribuição acumulada
E( X )   ; Var ( X )   2

19. Distribuição Exponencial
•Para calcular probabilidades com a
Exponencial, precisamos resolver a integral,
pois não teremos as figuras geométricas
simples do exemplo anterior. Assim,
b x a b
1  
P ( a  X  b)   e  dx  e 
e 
a


20. Exemplo
• O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser
considerado uma v.a. com distribuição exponencial com
=500. Segue-se que a vida média do transistor é
E(T)=500 horas. Qual é a probabilidade de que ele dure
mais do que a média?

21. Exemplo
• O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser
considerado uma v.a. com distribuição exponencial com
=500. Segue-se que a vida média do transistor é
E(T)=500 horas. Qual é a probabilidade de que ele dure
mais do que a média?
  t
1 
P(T  500)   f (t )dt  e 500
dt
500
500 500

1  
t

   500e 
500
 e 1  0,3678
500 


1/ 500

22. Modelo Normal
• Modelo fundamental em probabilidade e inferência
estatística. Representa grande parte das variáveis
aleatórias contínuas.
• Dizemos que a v.a. X tem distribuição Normal com
parâmetros  e 2, se sua função densidade é
dada por:
( x )2
1 
f ( x)  e 2 2
, para    x  
 2

23. Propriedades do modelo Normal
• Algumas propriedades da densidade da
Normal podem ser observadas no seu gráfico:
1. f(x) é simétrica em relação à ;
2. f(x)→0 quando x→;
3. O valor máximo de f(x) se dá qdo x= .
E( X )  
Var ( X )   2

24. Calcular probabilidades no modelo
Normal
• Para calcular probabilidades precisamos
resolver a integral:
b ( x )2
1 
P ( a  X  b)   e 2 2
dx
a  2
• Entretanto, a integral acima só pode ser
resolvida de modo aproximado.
• Então essas probabilidades podem ser
calculadas através do uso de tabelas.

25. • Para se utilizar apenas uma tabela, utiliza-se
uma transformação da variável X que conduz
sempre ao cálculo de probabilidades com uma
variável normal com parâmetros (0,1), isto é,
média igual a 0 e variância igual a 1.
X 
Z

• Essa variável Z transformada terá distribuição
N(0,1) e será denominada Normal Padrão.

26. • Para determinar a probabilidade X[a.b],
procedemos da seguinte forma:
P ( a  X  b)  P ( a    X    b   )
a X  b 
 P   
    
a b 
 P Z 
   
• E então olhamos na tabela e obtemos as
probabilidades da distribuição Normal

27. Tabela da Normal Padrão
• Como a distribuição Normal é simétrica,
apresenta-se na tabela apenas os valore de
P(0  Z  z). A probabilidade de estar acima (ou
abaixo de zero) é 0,5.

28. Exemplo
• Seja X~N(2,9), a probabilidade P(2<X<5) é?
 22 52
P(2  X  5)  P Z   P(0  Z  1)
 9 9 
0,3413

30. Exemplo
• Para obter P(0X<2), usamos a simetria da Normal
02 22  2 
P(0  X  2)  P Z    P   Z  0 
 9 9   3 
 2
 P 0  Z  
 3
0,2486

32. • A tabela também pode ser usada no
sentido inverso, dado uma probabilidade,
desejamos obter o valor que a originou.
• Por exemplo, quanto vale c tal que
P(0<Z<c)=0,4?
• É só procurar no corpo da tabela onde está
o 0,4 (aprox. 0,3997), que corresponde a
1,28 que será o valor de c.

34. • Suponha, agora, que queremos encontrar d, tal
que P(Z>d)=0,8.
• Como a probabilidade desejada é maior que ½,
então d é um número negativo. Então o
intervalo precisa ter probabilidade 0,3.
• Da tabela –d=0,84, ou seja, d=-0,84.

36. Exercício 1
• Se X~N(100,100), calcule:
a) P(X<115)
b) P(X80)
c) O valor a, tal que P(100-aX 100+a)=0,95

37.  115  100 
a) P( X  115)  P Z    P( Z  1,5) 
 100 
 80  100 
b) P( X  80)  P Z    P( Z  2) 
 100 
c) P(100  a  X  100  a )  0,95
 (100  a)  100 (100  a)  100 
P Z   0,95
 100 100 
a a
P  Z    0,95
 10 10 

38. Exercício 2
• O peso bruto de latas de conserva é
uma v.a. normal, com média 1000g e
desvio padrão 20g.
a) Qual a probabilidade de uma lata pesar menos
de 980g?
b) Qual a probabilidade de uma lata pesar mais
de 1010g?

39.  980  1000 
a) P( X  980)  P Z    P( Z  1) 
 20 
 1010  1000 
b) P( X  1010)  P Z    P( Z  0,5) 
 20 