1. Universidad y Sociedad
Ingeniería Fermín Toro
Ingeniería de Computación
Cátedra: Análisis Numérico
Polinomios Interpolantes
Participante:
Asisclo Serrano

2. Análisis Numérico
Polinomios Interpolantes
La interpolación Polinómica es un método usado para conocer, de un
modo aproximado, los valores que toma cierta función de la cual
sólo se conoce su imagen en un número finito de abscisas. A
menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y sólo se
dispondrá de los valores que toma para dichas abscisas
El problema de la interpolación consiste en estimar el valor de una
función en un punto a partir de valores conocidos en puntos
cercanos.
El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado
y que permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidos
para la función con una precisión deseable fijada. Por ello, para cada
polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error de
interpolación que permitirá ajustar la precisión del mismo

3. Análisis Numérico
Tabla de Diferencias
La interpolación se usa para obtener datos intermedios a partir de
una tabla de valores, construyendo un polinomio que pasa por el
conjunto de datos conocidos, llamados nodos de interpolación; éste
polinomio suele expresarse en términos de la diferencias Δiƒ. Para
introducir estas diferencias, consideramos la tabla formada por un
conjunto de valores de una función ƒ(x) en el conjunto de N puntos
equiespaciados {x0, x1, ..., xN−1} con xi = xi−1 + h.
Llamamos ƒk a ƒ(xk) y definimos:
Δƒk = ƒk+1 − ƒk
Δ2ƒk = Δƒk+1 − Δƒk = (ƒk+2 − ƒk+1) − (ƒk+1 − ƒk)
y en general:
Δi+iƒk = Δiƒk+1 − Δiƒk

4. Análisis Numérico
Polinomio Interpolante de
Newton-Gregory
El polinomio de grado n que pasa por un conjunto de n+1 puntos
(xk, ƒk) equiespaciados
puede expresarse (fórmula de Gregory-Newton) como:
• x: vector que contiene las abscisas de los datos.
• y: vector que contiene las ordenadas de los datos.
• b: punto en el que se desea evaluar el polinomio interpolante.
• p: grado del polinomio interpolante.

5. Análisis Numérico
Polinomio Interpolante de Gauss
La fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y
retroceso), difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la
tabla de diferencias; donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag,
es decir, los valores desde el punto de partida Xo serán
seleccionados en forma de zig-zag.
En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en
forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia
arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de
avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando
primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así
sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y
retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.

6. Análisis Numérico
Interpolación De Hermite
Sean x0,….xn € [a; b] números distintos y mi >= 0 un entero no negativo
asociado a xi para i € {0,…..n}. Supongamos que ƒ € Cm[a, b],
donde m = max {m0,…mn}. El polinomio osculante que aproxima ƒ es
el polinomio P de menor grado que concuerda con la función ƒ y con
todas sus derivadas de orden <= mi en xi para cada i € {0,….n}:
Grado del polinomio osculante

7. Análisis Numérico
Interpolación Usando Splines
Un spline de grado n y clase m con nodos {x0,…,xN } es una función
s(x) definida en [ a,b ] [x0 ,xn ] verificando:
1. Si = S[xi-1 , xi] es un polinomio de grado ≤ n (i = 1,2,…,N)
2. S €m[a,b].
Convenio: salvo indicación expresa, se sobreentiende m = n −1.
Espacios de splines en los nodos {x0 ,xn }
• de grado n y clase m: ∫mn (x0 ,xn )
• de grado n (y clase m = n −1): ∫mn (x0 ,xn )
Casos usuales:
n =1: grado 1 (clase 0 = continua) →poligonal spline lineal
n = 2: grado 2 (clase 1 = derivable) spline cuadrático
n = 3: grado 3 (clase 2 = derivable 2 veces) spline cúbico
n = 3,m = 1: spline cúbico de clase 1 (caso especial).

8. Análisis Numérico
Polinomio Interpolante De Lagrange
Este método consiste en construir el polinomio interpolador de
grado n que pasa por n+1 puntos (xi,yi) de la forma
donde las funciones Li(x) cumplen Li(xk) = 0 si i ≠ k y Li(xi) = 1.
Esta propiedad garantiza Pn(xk) = yk. Las funciones Li(x) se
construyen como:

9. Análisis Numérico
Diferencias divididas y La fórmula
General de Newton
Las fórmulas de las diferencias divididas de mayor orden se
demuestran análogamente, por inducción.
En la práctica, los cálculos se disponen en una tabla de
diferencias divididas, colocando en la primera columna los valores
de la función o diferencias divididas de orden 0, en la segunda
columna las diferencias divididas de primer orden, en la tercera
columna las de orden 2, y así sucesivamente.
La tabla queda de la forma siguiente:
En la diagonal de la tabla aparecen los coeficientes c0, c1, c2, ...,
de los polinomios de interpolación.

10. Análisis Numérico
Aplicación de los Métodos Numéricos de
Interpolación en la Resolución de Problemas
Fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange,
Hermite, Newton, etc., son compatibles con computadoras y
debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como
subrutinas de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia en la
solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de
una función tabulada, en las abscisas que no aparecen en la
tabla.
El aumento de grado no siempre mejora la aproximación.
El polinomio es muy sensible a los errores de los datos.