2006 padilla

Capacidad Resistente a Cortante de
Elementos de Hormigón Armado con
Bajas Cuantías de Armadura
Longitudinal y sin Armadura
Transversal
Determinación de la Sección de
Comparación

Trabajo de investigación Tutelado
Patricio S. Padilla Lavaselli
Ingeniero Civil
Universidad Nacional de Tucumán - Argentina

Tutor: Alejandro Pérez Caldentey
Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos
Universidad Politécnica de Madrid

Universidad Politécnica de Madrid

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de
Estructuras

Capacidad Resistente a Cortante de Elementos de Hormigón armado con Bajas Cuantías de Armadura
Longitudinal y sin Armadura transversal. Determinación de la Sección de Comparación.

Resumen

A partir de la aparición de la instrucción de hormigón estructural EHE-98, actualmente
vigente, ha surgido una queja generalizada en el ámbito profesional. Dicha queja está
fundamentada en que, con la aparición de la actual normativa, algunos elementos que
anteriormente se diseñaban sin armadura de cortante, hoy la requieren. Dicho problema
afecta a toda la región europea debido a que las expresiones de la EHE-98 están basadas en
las propuestas por el Eurocódigo 2.

Para estudiar el problema y poder dar una solución al mismo se ha llevado a cabo un
análisis para una serie de casos prácticos muy habituales en el ámbito profesional. A partir
de este estudio se desprende que en algunos elementos estructurales existen
discrepancias entre la práctica profesional y los requisitos de la instrucción vigente.
También a partir de este estudio se concluye que el problema no tiene su origen con la
aparición de dicha normativa sino más bien en una incorrecta aplicación de la EH-91.

Una vez localizados los elementos y los rangos de cuantías, cantos, luces etc. en donde
existen discrepancias y teniendo en cuenta la ausencia de patologías vinculadas a la
tracción del alma en dichos elementos, se analiza una posible solución al problema. Para
ello inicialmente se verifica si el modelo propuesto por la EHE-98 para la evaluación de la
capacidad resistente a cortante es muy conservador.

A partir de un análisis exhaustivo de las bases de datos existentes se concluye que la
expresión que propone la EHE no es conservadora.

Dicho modelo se deriva de un ajuste de resultados experimentales, siendo en su mayoría
ensayos de vigas isostáticas con una o dos cargas puntuales alejadas del apoyo una
distancia superior a 2.5 d. También se observa que la mayoría de los ensayos se han
realizado con cuantías muy superiores a las habituales. Esto se debe a que es muy difícil
conseguir una rotura por cortante antes que por flexión en elementos con baja cuantía de
armadura longitudinal.

Generalmente las estructuras reales están sometidas a cargas uniformemente distribuidas,
además dichas estructuras son hiperestáticas en la mayoría de los casos. Si se tiene en
cuenta lo dicho y además se analiza en el ámbito en que ha sido ajustada la expresión de la
EHE-98 se puede pensar que la instrucción propone un modelo experimental “teórico”
debido a que la configuración de los ensayos con una o dos cargas puntuales se realiza para
determinar la capacidad resistente a cortante de los elementos, minimizando así el efecto
arco y así poder determinar la resistencia a cortante del elemento.
El modelo de la EHE-98 no tiene en cuenta la posible influencia del tipo de carga aplicada y
tampoco como afecta la hiperestaticidad en su capacidad resistente última.

A partir de los estudios y las conclusiones anteriores, se plantean una serie de ensayos con
los objetivos siguientes:

Estudiar la aparente contradicción entre la teoría y la práctica profesional con
objeto de proporcionar al proyectista argumentos que le permitan justificar los

I


usos de la práctica profesional y así evitar diseños que presenten importantes
dificultades constructivas
Estudiar elementos con baja cuantía de armadura longitudinal
Estudiar el comportamiento de elementos hiperestáticos
Estudiar la influencia de la forma de aplicación de la carga (puntual o distribuida)

Finalmente, a partir de los resultados experimentales obtenidos de los ensayos y de
campañas similares llevadas a cabo por otros investigadores, se observa que existe una
marcada influencia del tipo de aplicación de la carga en la capacidad resistente a cortante.
Dicha influencia es tenida en cuenta en la distancia de la sección de comparación o de
control, es decir que porción de la carga se transmite directamente al apoyo sin traccionar
el alma. También se observa que la distancia de la sección de control o comparación
incrementa con la raíz cuadrada de la esbeltez.

En cuanto a los ensayos realizados en las vigas hiperestáticas, se observa una sobre
resistencia, en los ensayos realizados, con respecto a sus pares isostáticos. Dicho
incremento en su capacidad se puede deber a la interacción momento cortante, debido a
que los fallos observados se encuentran en una zona en dónde el momento es nulo o casi
nulo.

A partir de las conclusiones anteriores se propone una modificación en la instrucción EHE-
98 para compatibilizar el modelo propuesto por la normativa con los usos de la práctica
profesional sin atentar contra la seguridad de las estructuras.

II


1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................1
1.1 CONTENIDO DEL TRABAJO ..........................................................................................................2
2 BREVE APROXIMACIÓN HISTÓRICA DEL PROBLEMA ....................................................5
2.1 INTRODUCCIÓN ..........................................................................................................................5
2.2 BREVE APROXIMACIÓN HISTÓRICA.............................................................................................6
2.3 MODELOS NORMATIVOS .............................................................................................................9
2.3.1 EH-91 ...................................................................................................................................9
2.3.2 EHE-98 ...............................................................................................................................10
2.3.3 Eurocódigo 2 EN-1992-1....................................................................................................10
2.3.4 AASHTO LRFD 2000 .........................................................................................................11
2.3.5 ACI 318-02 .........................................................................................................................13
2.4 CONCLUSIONES DEL ESTADO DEL ARTE ....................................................................................14
3 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA......................................................................................15
3.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................15
3.2 ELEMENTOS ESTRUCTURALES ESTUDIADOS .............................................................................15
3.2.1 Losas y forjados..................................................................................................................16
3.2.2 Voladizos de Puentes ..........................................................................................................26
3.2.3 Muros de sostenimiento ......................................................................................................32
3.2.4 Zapatas flexibles .................................................................................................................42
3.3 APLICACIÓN DE LOS RESULTADOS A CASOS PRÁCTICOS ...........................................................45
4 RAZONES DEL PROBLEMA ......................................................................................................47
4.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................47
4.2 MODELOS NORMATIVOS COMPARACIÓN ..................................................................................47
4.3 ANÁLISIS DEL MODELO DE LA EHE EN BASE AL ANÁLISIS DE LAS BASES DE DATOS .................49
5 ESTUDIOS PREVIOS....................................................................................................................53
5.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................53
5.2 ENSAYOS DE LEOHARDT Y WALTHER ......................................................................................54
5.3 ENSAYOS DE KREFELD Y THURSTON ........................................................................................56
6 PLANTEAMIENTO DE UN PROGRAMA EXPERIMENTAL ...............................................65
6.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................65
6.2 DIMENSIONES TÍPICAS DE LOS CAJONES ...................................................................................65
6.3 MATERIALES ............................................................................................................................68
6.4 PROPUESTA PARA LOS ENSAYOS ...............................................................................................68
6.5 MEDICIÓN E INSTRUMENTACIÓN ..............................................................................................75
6.5.1 Medidas Manuales..............................................................................................................75
6.5.2 Medidas electrónicas..........................................................................................................77
6.5.3 Adquisición de datos y control de las cargas aplicadas.....................................................79
6.6 METODOLOGÍA DE ENSAYO ......................................................................................................81
6.7 RESULTADOS ESPERADOS.........................................................................................................81
7 RESULTADOS EXPERIMENTALES .........................................................................................83
7.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................83
7.2 RESULTADOS EXPERIMENTALES ...............................................................................................83
8 CONSIDERACIONES FINALES .................................................................................................97
8.1 CONSIDERACIONES CON RESPECTO AL ESTUDIO PARAMÉTRICO ...............................................97
8.2 CONSIDERACIONES CON RESPECTO A LOS MODELOS NORMATIVOS Y SU ESTUDIO CON RESPECTO
A LAS BASES DE DATOS DISPONIBLES ......................................................................................................97
8.3 CONSIDERACIONES CON RESPECTO LOS ENSAYOS ....................................................................98
8.4 RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS .......................................................................99
9 BIBLIOGRAFÍA ..........................................................................................................................101

III


IV


1 Introducción
Existe una gran variedad de elementos estructurales que tradicionalmente se han diseñado
sin armadura de cortante: losas con apoyos continuos, muros, voladizos de puentes,
zapatas flexibles, pasos inferiores, etc.

A pesar de ello, con la aparición de la EHE [17], ha surgido una queja generalizada en el
sentido en que si se aplica el modelo de cortante de esta instrucción, no resulta posible
cumplir el Estado Límite Último de Cortante sin disponer armadura transversal en este tipo
de elementos.

En este trabajo se identifican los elementos que por tradición se han diseñado sin armadura
de cortante y en los que actualmente es necesaria la utilización de armaduras de cortante
según lo obtenido mediante la aplicación rigurosa de los modelos normativos vigentes.
Además de identificar los elementos que podrían presentar discrepancias con la práctica
profesional se identifica el ámbito, es decir las cuantías, cantos y luces en las que aparecen
dichas discrepancias.

Las posibles razones de esta discrepancia entre la práctica profesional y la normativa se
pueden ser dos: o bien la instrucción EHE es muy conservadora respecto de las otras
normativas, o bien los modelos en general son muy conservadores.

Para dilucidar el primer punto se presenta una comparación de los diferentes modelos
normativos propuestos, como pueden ser EHE 98, EH-91, RPH, EC2 EN1992-1, ACI-98. Por
otra parte se presenta una comparación de los modelos normativos con los resultados
obtenidos de ensayos realizados previamente por otros investigadores disponibles en
bases de datos.

A partir del análisis de los resultados experimentales previos se demuestra que los
modelos normativos no son demasiado conservadores y que la aplicación estricta de
dichas formulaciones hace necesaria la utilización de armadura de cortante en elementos
en donde por tradición no se ha utilizado cercos.

Por último en general no existen patologías en elementos estructurales construidos sin
cercos debido al cortante, lo que lleva a plantear la necesidad de una conciliación entre la
teoría y la práctica profesional.

Una posible respuesta a las discrepancias planteadas se debe a que los modelos normativos
están ajustados en un rango de cuantías de armadura longitudinal superior al utilizado
normalmente en los elementos estructurales. Esto se debe principalmente a la dificultad de
obtener una rotura por cortante debido a que el elemento falla antes por flexión, y la otra
razón es que las formulaciones están ajustadas utilizando ensayos de vigas isostáticas con
una o dos cargas puntuales cuya aplicación se encuentra a una distancia mayor o igual a 2.4
veces el canto útil para minimizar la parte de cortante que se transmite directamente al
apoyo por medio del mecanismo resistente de efecto arco. Si se tiene en cuenta que la
mayoría de elementos estructurales son hiperestáticos y que en general están sometidos a
cargas uniformemente distribuidas se tiene una pista de por qué pueden existir dichas
discrepancias.

1


Con el objeto de estudiar la aparente discrepancia entre la práctica profesional y los
modelos normativos, se plantea una serie de ensayos para obtener resultados
experimentales de elementos con baja cuantía de armadura longitudinal, estudiar el
comportamiento de elementos hiperestáticos, estudiar la influencia de la aplicación de la
carga y por último proporcionar a los proyectistas argumentos que les permitan justificar
los usos de la práctica profesional y de esta manera evitar diseños que presenten
importantes e innecesarias dificultades constructivas. Dichos ensayos consisten en
elementos representativos de la práctica profesional (cuantías entre el 0.3 y el 0.8 %) por lo
que se proponen cuatro series de ensayos subdivididos en:

- Vigas isostáticas con dos cargas puntuales aplicadas a una distancia de 2.5d
- Vigas isostáticas con carga uniformemente distribuida
- Vigas hiperestáticas con dos cargas puntuales aplicadas a una distancia de 2.5d
- Vigas hiperestáticas con carga uniformemente distribuida

1.1 Contenido del trabajo
Este trabajo está subdividido en 8 capítulos. En el Capítulo 2 se presenta una breve
introducción a los diferentes mecanismos resistentes, los modelos existentes y los
parámetros que influyen en la resistencia a cortante. También se hace una pequeña reseña
histórica de la evolución del conocimiento y los modelos para determinar la capacidad
resistente a cortante de un elemento y por último se reseña la formulación de diferentes
modelos normativos.

En el Capítulo 3 se hace un estudio paramétrico de varios elementos estructurales para
diferentes rangos de luces, cuantías y cantos y se comparan con diferentes modelos
normativos para así poder determinar en primer lugar cuales son los elementos que
presentan problemas, los rangos de cuantía, canto o luces en las que sería necesario
disponer las armaduras y por último se hace una comparación de la normas EH-91, EHE 98,
EC-2 EN 1992-1.

Con el objeto de poder dilucidar si el problema es particular de la EHE o es un problema
anterior a la aparición de la misma, en el Capitulo 4 se hace una comparación de los
diferentes modelos y se analiza cómo influye cada parámetro en el cálculo de la resistencia
a cortante. También se comparan diferentes resultados experimentales y se demuestra
que los modelos normativos no son demasiado conservadores.

En el Capítulo 5 se analizan ensayos llevados a cabo por Krefeld y por Leonhardt, en los
cuales se pueden comparar la influencia del tipo de carga en la capacidad resistente debido
a que se trata de ensayos de vigas isostática con carga puntual y distribuida. A partir del
análisis de las vigas ensayadas por los investigadores antes mencionados, y del análisis
desarrollado en los capítulos anteriores se plantea un programa experimental pensado para
poder cumplir con los objetivos planteados para el desarrollo del la tesis. Dicho
planteamiento se realiza en el Capítulo 6.

2


En el Capítulo 7 se presentan los resultados experimentales de los ensayos llevados a cabo
en el laboratorio de estructuras de la Universidad Politécnica de Madrid. Por otra parte se
realiza un análisis de los resultados similar al desarrollado en el capítulo anterior.

Finalmente el Capitulo 8 se presentan las consideraciones finales del presente trabajo,
conclusiones y recomendaciones para trabajos futuros.

3


4


2 Breve aproximación histórica del problema

2.1 Introducción
Antes de fallar por cortante, el estado tensional del alma de una viga de hormigón fisurada
(es decir, el sector entre la zona traccionada y la comprimida por flexión) difiere
considerablemente del determinado por la teoría de la elasticidad. De esto, surge la
pregunta de cómo una viga fisurada puede ser considerada para transmitir el cortante
combinado con esfuerzos axiles y de flexión.
Para responder a esta pregunta es necesario identificar primero los diferentes mecanismos
básicos que se movilizan en un elemento fisurado. Estos son:

1- Tensiones tangenciales en la zona de hormigón no fisurado (cabeza comprimida de
la viga)
2- Engranamiento de los áridos (Aggregate Interlock o Crack Friction)
3- Efecto pasador de la armadura longitudinal (Dowel Action)
4- Efecto arco (Arch Action)
5- Tensiones residuales de tracción en las fisuras (Residual Tensile Stress across Cracks)

En la Figura 2.1.1 se representan los diferentes mecanismos actuantes en una viga y el aporte
aproximado de cada uno según Taylor (1974).
1 Resistencia a cortante de la cabeza no fisurada
τ1
Vc
20-40% Vc y depende de
τ1 Nc fck
θ 2. Efecto de arco — Máximo cerca del apoyo
V2
Nc depende de:
cos θ
F4 - a/d
- Armadura longitudinal en el apoyo
F4
Vc 3. Engranamiento de los áridos (Aggregate interlock)
τ3
τ3 30 — 50% Vc y depende de:
τ3
- Tamaño del árido
- Canto
Ns Ns+ ∆Ns
F4 F4 4. Efecto pasador (Dowel action)
F4
15 — 25% Vc y depende de:
- Armadura longitudinal
Figura 2.1.1 Mecanismos básicos que se movilizan para resistir el esfuerzo cortante

Cuantificar el aporte que tiene cada uno de los mecanismos básicos en la resistencia a
cortante de un elemento fisurado de hormigón armado es muy difícil debido a que se trata
de un sistema altamente hiperestático influenciado por varios parámetros.

5


La importancia de cada mecanismo para resistir el cortante, es asignada de diferentes
maneras por cada investigador puesto que cada uno plantea un modelo físico diferente.
Será por lo tanto necesario estudiar dichos modelos.
Entre los modelos existentes se pueden destacar los siguientes:

1- Mecánica de la fractura
2- Modelo simple de bielas y tirantes
3- Modelo de dientes para vigas esbeltas (tooth model)
4- Modelo de celosías con tirantes de hormigón
5- Teoría del Campo Modificado de Compresiones

Por otra parte es importante analizar los factores que influyen en la capacidad resistente a
cortante de los elementos de hormigón armado sin armadura transversal, como puede ser
el efecto tamaño (Size Effect), la cuantía de armadura longitudinal (ρl), la resistencia del
hormigón, la posición y tipo de cargas y por último la influencia de los esfuerzos axiles ya
sean de tracción o de compresión.

2.2 Breve aproximación histórica
Antes de 1900, se pensaba, de manera errónea, que el fallo por cortante en un elemento de
hormigón armado, era un fenómeno de cortante puro, similar a lo que ocurre en los
elementos estructurales de acero o de madera. La armadura transversal se creía que
actuaba como conectores de cortante (Shear Keys) resistiendo solo tensiones tangenciales
horizontales de una manera similar a lo que ocurre en vigas metálicas o de madera.
Según Taub y Neville (1960) [39] el primero que presenta el concepto de tracción diagonal
en el alma y plantea una analogía con la celosía es Ritter en 1899 [36] (ver Figura 2.2.1). Ritter
también afirmaba en su trabajo que los cercos contribuían a la resistencia a cortante de un
elemento de hormigón armado a través de la tracción y no resistiendo esfuerzos
tangenciales y proponía una expresión para el diseño de los cercos similar a las expresiones
propuestas por los modelos normativos actuales para el dimensionamiento. De todas
formas el modelo que proponía Ritter no tuvo mucha aceptación en el medio profesional.
Por consiguiente aparecieron dos líneas de pensamiento, una en la que se creía que los
cercos resistían tensiones tangenciales y otra en concordancia con Ritter que apoyaba a la
teoría de la tracción diagonal en el alma.

Figura 2.2.1 Fotografía de Ritter y el modelo de celosía propuesto por él para evaluar el comportamiento de un
elemento sometido a esfuerzos de flexión y cortante

El debate de las dos líneas fue resuelto finalmente por E. Mörsh en 1909 [30], quien
demuestra que si un elemento esta sometido a tensiones tangenciales puras, entonces
existe una tracción diagonal cuya inclinación es 45º. Por esto y como la resistencia del

6


hormigón a tracción es menor que la de compresión, la rotura se producirá por tracción
diagonal del alma.
Por consiguiente, Mörsch presenta una explicación clara del mecanismo de tracción
diagonal.
Mörsch también precisa que usar el procedimiento de diseño de tracción diagonal es
complejo porque de existen incertidumbres para establecer la tensión de tracción diagonal
del material. Por lo tanto, propone un procedimiento de diseño aceptable de cortante para
las estructuras de hormigón. Se basa en suponer que el fallo por cortante ocurre en una
sección crítica de hormigón no fisurado cuando el plano vertical alcanza una tensión de
cortante aplicada en esa sección, V/b d, que excede el cortante último que el hormigón es
capaz de resistir, Vu/bd. Por lo tanto, Mörsch introduce el concepto de tensión tangencial,
Vu/bd, como medida nominal de la tracción diagonal del alma. También reafirma el modelo
propuesto por Ritter señalando que los cercos contribuyen a la resistencia de cortante de
elementos de hormigón armado resistiendo tensiones de tracción, y no tensiones
tangenciales, una vez que se forma una fisura diagonal que los cruza (en efecto, él
demuestra que la eficacia de los cercos es mucho mayor que la predicha por la teoría que
apoya la tesis de que los cercos están sometidos solo a tensiones tangenciales
horizontales). Sin embargo, Mörsch creyó que la capacidad a cortante de un elemento era
una constante de la característica del hormigón; por consiguiente, él relacionó la fuerza de
cortante nominal del hormigón con una variable solamente, la resistencia a compresión del
hormigón.
En 1909, Talbot [38] disputa a Mörsh el hecho que el cortante nominal depende solamente
de la resistencia a compresión del hormigón puesto que la tracción diagonal es causada por
las tensiones horizontales debido a la flexión así como las tensiones debido al cortante.
De acuerdo con los resultados obtenidos tras ensayar 106 vigas de hormigón armado sin
cercos, Talbot demostró que el cortante nominal no solamente depende de la calidad del
material (resistencia), sino que también de la cantidad de armadura longitudinal, la longitud
de la viga, y del canto útil de la misma. Sin embargo, Talbot no expresó sus resultados en
términos matemáticos y sus conceptos, importantes, fueron olvidados.
A principio de 1910, se desarrollaron las especificaciones del diseño para cortante en los
Estados Unidos donde la fuerza máxima admisible de cortante fue restringida a 0.02fc’ (fc’ es
la resistencia a compresión del hormigón). Por consiguiente, la fuerza de cortante se
suponía como una función de la resistencia a compresión del hormigón únicamente.
Durante la Primera Guerra Mundial, se realizaron numerosas pruebas como parte del
programa de construcción de barcos de hormigón para la flota de combate ver Figura 2.2.2.
Se realizaron ensayos de vigas de gran canto. Los resultados de la prueba demostraron que
el uso de la resistencia a compresión del hormigón como medida única de la fuerza de
cortante nominal era demasiado conservador. A finales de los años 40, Moretto adopta un
modelo empírico para la predicción de la fuerza de cortante nominal, en la que incluía
tanto la resistencia a compresión del hormigón como la cuantía longitudinal de armado.

7


Figura 2.2.2 Foto de la construcción de barco de hormigón en el astillero de Warrenpoint - 1919

Entre los años 50 y 60, aparecen muchas publicaciones y se investiga sobre el tema del
cortante debido al fallo de algunas estructuras por cortante (ACI-ASCE 1962a,b,c).
Los resultados de investigación demostraron claramente que cortante en hormigón
armado es un fenómeno complejo que implica más que una variable. Esto era en hecho una
vuelta a los conceptos olvidados identificados inicialmente por Talbot en 1909. En los
comienzos de los años 50, Clark [11] introdujo una expresión matemática para la predicción
del cortante nominal que incluía las tres variables siguientes: relación vano de cortante-
canto (a/d), la cuantía de armadura longitudinal, y la resistencia del hormigón a
compresión. Esencialmente, Clark utiliza las conclusiones de Talbot y las escribe utilizando
una expresión matemática.
La relación vano de cortante-canto (a/d), fue reconocida inmediatamente como variable
importante puesto que considera dos factores que afectan directamente la fuerza de
cortante: la longitud de la viga y su canto. El problema principal al usar la relación a/d como
variable en la predicción de la fuerza de cortante era que solo valía para el caso de dos
cargas puntuales o una carga puntual, debido a que había que definir la distancia a. Para
otros casos de carga tales como cargas uniformes, el vano de cortante no tenía ningún
significado físico. En el trabajo de investigación llevado a cabo en la universidad de Illinois
en 1950 demostraron que la relación vano de cortante-canto (a/d) relaciona las tensiones
normales de flexión con la tracción diagonal del alma, por consiguiente, se puede
reemplazar a/d por M/V.d (M es el momento flector y V es el cortante). Se debe observar
que el vano de cortante (a), es igual a M/V para el caso de vigas simplemente apoyadas con
una carga puntual en el centro o dos cargas puntuales simétricas. Debido a que el
parámetro luz de cortante no es aplicable a cualquier caso de carga se sustituye a por M/V.
La sustitución de a/d por M/V.d para poder analizar los elementos sometidos a casos de
cargas generales fue un gran salto en el análisis de piezas de hormigón armado sometidas a
cortante.

8


En 1964 Kani [25] propone un modelo realista para abordar el cálculo de elementos sin
armadura transversal, el cual consiste en considerar la viga como si fuese un peine, donde
los dientes son el hormigón entre fisuras de flexión se empotran en la zona comprimida de
la viga, sobre dichos dientes actúa un cortante proveniente de la armadura longitudinal.
Posteriormente el modelo de Kani es estudiado y mejorado por otros investigadores
Fenwick y Paulay (1968) [21], describen los mecanismos de transferencia y señalan la
importancia del engranamiento de los áridos o transferencia por fricción entre las caras de
la fisura. Taylor (1974) [40-44] por su parte estudia el modelo de Kani y como resultado de
su investigación concluye que el aporte de cada mecanismo resistente varía entre:
20 a 40% para la tensión tangencial en la zona de hormigón no fisurado
(cabeza comprimida de la viga)
35 a un 50 % para el efecto de engranamiento de los áridos (Aggregate
Interlock o Crack Friction)
15 a un 25% para el efecto pasador de la armadura longitudinal (Dowel
Action)
Se realizan desarrollos posteriores al modelo de dientes como los que realiza Hamadi y
Regan (1980) [22] o modelos como los de Reineck (1991) [33] en donde tenía en cuenta
todos los mecanismos resistentes que se movilizan en la resistencia a cortante por medio
de un cálculo numérico no lineal.

Por otra parte Collins (1978) [14] a partir de un trabajo análogo que estudia la abolladura del
alma de vigas metálicas conocido como Tension Field Theory propone un modelo que se
basa en la compatibilidad de deformaciones como de equilibrio de la pieza conocido como
el Compression Field Theory, el cual es mejorado a partir de desarrollos sucesivos hasta llegar
a lo que hoy en día se conoce como el Modified Compression Field Theory. La ventaja que
supone el modelo MCFT es que se puede aplicar con diferentes grados de complejidad es
decir con métodos muy complejos o simplificados aptos para la aplicación de la vida
profesional, de hecho actualmente se aplica tanto en la normativa AASHTO LRFD2000 [1]
como en la normativa canadiense CSA 2004 [7].

Otro aporte importante en el conocimiento de la capacidad resistente del hormigón se dan
en las expresiones desarrolladas de manera empírica. Zsutty [46] propone una expresión
que sirve de base al MC-90 [8] y por consiguiente al Eurocódigo 2 [19] y la EHE [17].

2.3 Modelos normativos

2.3.1 EH-91
En la intrucción española EH-91 [16], la expresión para el cálculo de la resistencia a cortante
de elementos sin armadura transversal esta basada en las expresiones del código ACI-318 y
en el Model Code 1978 [9].
La EH-91 divide el comportamiento de los elementos en dos:
1. Elementos lineales (vigas)
2. Elementos de placas (losas).
En el caso de los elementos lineales, en el apartado 39.1.3.3 Dispociciones relativas a las
armaduras dice “que todos los elementos lineales deben llevar armadura transversal, llamada
de alma”, es decir que al menos deben llevar armadura mínima de cortante.

9


Para el caso de elementos de tipo placa la EH-91 específica que la capacidad resistente a
cortante de un elemento sin armadura transversal viene dada por:

Vc = 0.5 fcv ξ ( 1 + 50 ρl ) b w d (2.1)

donde
fcv resistencia virtual de cálculo del hormigón a esfuerzo cortante expresado en [kp/cm2]
f
fcv = 0.5 ck
1.5
fck es la resistencia característica del hormigón expresada en [kg/cm2]
ξ = max ( 1.6 − d ;1) donde d esta en [m]
A
ρl = sl ≤ 0,02 es la cuantía de armadura longitudinal
bw d

2.3.2 EHE-98
La expresión adoptada por la instrucción española es la propuesta por el Código Modelo
1990 con variaciones mínimas. La expresión propuesta es la siguiente:

Vu 2 = ⎡0,12ξ (100 ρl fck )1 3 + 0,15σ 'cd ⎤ b d
⎣ ⎦ (2.2)

200
ξ = 1+ ≤ 2,0 con d en mm
d
Asl
ρl = ≤ 0,02
b0 d

Asl es el área de armadura longitudinal anclada efectivamente en la sección analizada
b0 es el ancho del alma [mm]
N
σ 'cd = d [MPa]
Ac
Nd es el esfuerzo axil mayorado incluyendo al pretensado expresada (Nd>0 para
compresión).
AC Es el área de la sección transversal de hormigón [mm2]

El coeficiente de seguridad de minoración está incluido en la formulación de manera
implícita en el factor 0.12. En el caso de querer disgregar el coeficiente de seguridad se debe
multiplicar dicho factor por 1,5, es decir 0.12 γ c = 0,18 .

2.3.3 Eurocódigo 2 EN-1992-1
La expresión adoptada por el eurocódigo 2 esta basada en la ecuación propuesta en el CM-
90. La resistencia a cortante de elementos sin armadura transversal viene dada por:

VRd ,c = ⎡CRd ,c k(100 ρl fck )1 3 + k 1σ cp ⎤ b0 d
⎣ ⎦ (2.3)

con un mínimo de

10


VRd ,c = (ν min + k1 σ cp )bo d (2.4)

donde
0,18
CRd ,c =
γc

200
k = 1+ ≤ 2,0 con d en mm
d
k 1 = 0,15 (Parámetro nacional, en España vale 0,15)

Asl
ρl = ≤ 0,02
bw d

ν min = 0,035 k 3 2 fck 2
1

Asl es el área del armadura longitudinal, que se extiende una longitud mayor o igual a (lbd+
d) de la sección considerada.
bo es el ancho del alma (mm)
N
σ cp = Ed < 0,2 fcd [MPa]
Ac
NEd es la fuerza normal a la sección transversal debida al pretensado (NEd>0 para
compresión). La influencia de las deformaciones impuestas en NE puede ser despreciada
AC Es el área de la sección transversal de hormigón (mm2)

2.3.4 AASHTO LRFD 2000
La expresión que utiliza la norma AASHTO LRFD 2000 se basa en el Modified Compression
Field Theory (MCFT) y utiliza el procedimiento simplificado propuesto por Adebar y Collins
en 1996 [2]. Debido a que se utiliza el modelo del MCFT, la AASHTO tiene en cuenta tanto
las condiciones de equilibrio como las de compatibilidad.
La capacidad resistente a cortante de un elemento viene dado por:

Vc = φ β fc' b v z (2.5)

donde
fc’ Resistencia específica del hormigón
φ factor de seguridad del hormigón
β coeficiente obtenido de Tabla.2.3.1

11


εx x 1000
sxe [m]
≤ -0.20 ≤ -0.10 ≤ -0.05 ≤0 ≤ 0.125 ≤ 0.25 ≤ 0.50 ≤ 0.75 ≤ 1.00 ≤ 1.50 ≤ 2.00
θ 25.4º 25.5º 25.9º 26.4º 27.7º 28.9º 30.9º 32.4º 33.7º 35.6º 37.2º
≤ 0.127
β 0.53 0.505 0.463 0.429 0.368 0.326 0.272 0.238 0.215 0.184 0.163
θ 27.6º 27.6º 28.3º 29.3º 31.6º 33.5º 36.3º 38.4º 40.1º 42.7º 44.7º
≤ 0.254
β 0.482 0.482 0.448 0.408 0.338 0.293 0.240 0.208 0.186 0.157 0.138
θ 29.5º 29.5º 29.7º 31.1º 34.1º 36.5º 39.9º 42.4º 44.4º 47.4º 49.7º
≤ 0.381
β 0.445 0.445 0.445 0.384 0.304 0.258 0.205 0.174 0.154 0.127 0.109
θ 31.2º 31.2º 31.2º 32.3º 36.0º 38.8º 42.7º 45.5º 47.6º 50.9º 53.4º
≤ 0.508
β 0.374 0.374 0.374 0.384 0.304 0.276 0.205 0.174 0.150 0.127 0.109
θ 34.1º 34.1º 34.1º 34.2º 38.9º 42.3º 46.9º 50.1º 52.6º 56.3º 59.0º
≤ 0.762
β 0.372 0.372 0.372 0.369 0.283 0.235 0.183 0.920 0.133 0.108 0.092
θ 36.6º 36.6º 36.6º 36.6º 41.1º 45.0º 50.2º 53.7º 56.3º 60.2º 63.0º
≤ 1.016
β 0.338 0.338 0.338 0.338 0.267 0.218 0.167 0.138 0.119 0.095 0.079
θ 40.8º 40.8º 40.8º 40.8º 44.5º 49.2º 55.1º 58.9º 61.8º 65.8º 68.6º
≤ 1.524
β 0.292 0.292 0.292 0.292 0.243 0.193 0.143 0.117 0.098 0.077 0.063
θ 44.3º 44.3º 44.3º 44.3º 47.1º 52.3º 58.7º 62.8º 65.7º 68.7º 72.4º
≤ 2.032
β 0.258 0.258 0.258 0.258 0.226 0.176 0.127 0.101 0.084 0.063 0.052
Tabla.2.3.1Coeficiente β según la AASHTO LRFD 2000

sxe separación equivalente entre fisuras
35
s xe = sx
a + 16
a tamaño máximo del árido
z brazo mecánico ( z ≈ 0.9 dv )
sx parámetro de separación de fisuras definido en la Figura 2.3.1 es la menor dimensión
entre z y la distancia vertical entre las capas de armadura horizontal distribuida en el alma.
bv ancho del alma
As área de armadura pasiva
dv canto útil de la pieza
εx deformación longitudinal en el alma. El valor de εx se puede obtener a partir del valor de
la deformación de la fibra correspondiente al baricentro de las armaduras εt. ver Figura 2.3.1
La deformación del centro de gravedad de la armadura longitudinal se calcula como:
Mf
+ Vf − φp Vp + 0.5 Nf − A p fp 0
dv
εt =
E s A s + Ep A p
fpo se puede tomar como 0.7 fpu para niveles normales de pretensado
fpu resistencia última de tensión de la armadura activa
Mf momento flector de cálculo siempre positivo
Vf esfuerzo cortante efectivo
Vp Valor de cálculo de la componente de de la fuerza de pretensado paralela a la sección de
estudio

12


φp factor de resistencia (usualmente 0.3 y 0.8)
Nf esfuerzo normal de cálculo (positivo si es de tracción)
Ap sección de la armadura activa
Es módulo de elasticidad de la armadura pasiva
Ep módulo de elasticidad de la armadura pasiva+
Para el caso de elementos sin cercos se puede considerar que ε t = ε x

Figura 2.3.1 Definición del parámetro de espaciamiento de fisura

2.3.5 ACI 318-02
En la normativa ACI318-02 se distinguen dos procedimientos para la determinación de la
capacidad resistente a cortante de un elemento sin cercos. Uno es el método simplificado y
se calcula como:

fc'
Vc = b0 d (2.6)
6

donde
fc’ resistencia específica del hormigón a compresión expresada en [MPa]. ( fc' ≤ 70 [MPa])
b0 espesor del alma
d canto útil

El segundo procedimiento se aplica a elementos en los cuales el valor (a/d>1.4):

⎛ Vd⎞
Vc = ⎜ 0.16 fc ' + 17 ρl ⎟ b0 d ≤ 0.3 fc ' b0 d (2.7)
⎝ M⎠

13


Vd
≤ 1
M

Donde
fc’ <70 [MPa]
A
ρl = sl es la cuantía de armadura longitudinal
bw d
As es el área de armadura longitudinal anclada efectivamente en la sección analizada
b0 es la menor dimensión de la sección transversal [mm]
d es el canto útil
V Cortante de cálculo concomitante con el momento M en la sección estudiada
M Momento de cálculo concomitante con el cortante V en la sección estudiada

2.4 Conclusiones del estado del arte
Después de más de medio siglo de investigación y muchos modelos propuestos, ya sean
físicos o mecánicos como puede ser el de la analogía del peine de Kani, empíricos como
puede ser el propuesto por Zsuty, o derivados de la mecánica de la fractura como puede
ser el de Hillerborg; estos logran predecir el problema con mayor o menor exactitud.

Por otra parte los mecanismos que se movilizan en un elemento están bien diferenciados y
estudiados, siendo el efecto más importante el de transferencia por fricción también
conocido como engranamiento de los áridos.

Si se estudian las expresiones empíricas propuestas en la EHE o en el Eurocódigo 2, no
parece que la seguridad del modelo, es decir su exactitud para predecir el cortante último,
sea el problema sino mas bien que éste radica en la interpretación y el campo de aplicación
del modelo propuesto por las normativas, es por esto que se propone estudiar mas a fondo
el campo de aplicación adecuado para las cuales dichas expresiones han sido ajustadas.

14


3 Planteamiento del problema

3.1 Introducción

En este capitulo se intenta identificar las características (luz, esbeltez y cuantía geométrica
de flexión) de aquellos elementos sin armadura de cortante que pueden presentar
problemas para cumplir con la Instrucción EHE [17] pero que, a pesar de ello, se han
proyectado durante muchos años sin armadura de cortante sin que exista una patología
documentada por esta causa. Este estudio sirve además, como base para el planteamiento
de un programa experimental más extenso que permita afinar la formulación de la
normativa vigente y determinar la seguridad real frente a cortante que se tiene a partir de
los criterios de dimensionamiento aplicados normalmente en la práctica profesional.

A partir de la caracterización descrita anteriormente, se podrá aplicar la misma a distintos
casos prácticos reales. En estos casos prácticos estarán definidos los rangos de luz, esbeltez
y cuantía habituales y será posible determinar cuales son los casos en que pueden surgir
problemas desde el punto de vista del cortante.

Otro problema que se aborda en este capítulo es la comparación entre el resultado
(parámetros que conllevan teóricamente una rotura prematura por cortante) que se
obtiene aplicando el formato de seguridad establecido en la EHE [17], según el cual la
resistencia a cortante de elementos sin armadura se minora por 1.5 mientras que la
resistencia a flexión se minora, básicamente por 1.15 y la situación que puede darse en la
realidad, es decir, sin considerar los coeficientes de minoración correspondientes. Este
estudio resulta especialmente importante para el planteamiento de ensayos si se quiere
intentar forzar una rotura por esfuerzo cortante.

3.2 Elementos estructurales estudiados

El estudio que se plantea se centra básicamente en losas, voladizos de puentes, zapatas
flexibles y muros.

En la tabla siguiente se recoge para cada elemento estructural considerado el esquema
estático estudiado, el tipo de carga y la tipología de armado.

Tipo de Elemento Esquema estático Tipo de carga Tipología de armado
Losas de sección rectangular simplemente apoyadas uniforme constante (ρcortante=ρflexión)
con refuerzo en cdv (ρcortante=1/3 ρflexión)
puntual constante (ρcortante=ρflexión)
biempotradas uniforme constante (ρcortante=ρflexión)
puntual constante (ρcortante=ρflexión)
Losa empotrada en 4 bordes uniforme constante (ρcortante=ρflexión)
Uniforme
Voladizos (puentes, zapatas) Voladizo (+Carro) constante (ρcortante=ρflexión)
Triangular +
Muros Voladizo Empuje de sc constante (ρcortante=ρflexión)

15


3.2.1 Losas y forjados

3.2.1.1 Metodología de análisis
En el caso de losas y forjados reticulares el método adoptado se resume en el diagrama de
flujo siguiente:

Se fija L y h

λ=L/h Calcular para cada ρ, qu por flexión
ρcrit para qu,flex=qu,cortante
Calcular para cada ρ, qu por cortante

Se fija una luz y una esbeltez.
Se determina la carga que agota el elemento por flexión para distintas cuantías
Se determina la carga que agota el elemento por cortante para distintas cuantías
Se determina la cuantía que marca la rotura simultánea por flexión y cortante
(intersección de las curvas anteriores). Esta cuantía se denominar cuantía crítica.
Para elementos que tengan una cuantía inferior a este valor la rotura se producirá
primero por flexión por lo que en estos elementos no es necesario, en principio
disponer armadura de cortante. Por el contrario para elementos con cuantías
superiores a este valor podrá existir, teóricamente, un problema de rotura
prematura por cortante.
Si se repite este procedimiento para distintos valores de L y h se pueden obtener
curvas en las que en función de la esbeltez y la luz se obtenga la cuantía crítica.
Con estos valores, para cada aplicación práctica para la que se conocen los rangos
de luces, esbelteces y cuantías se puede determinar si es correcta, tanto desde un
punto de vista formal (con coeficientes de mayoración de la EHE) como desde un
punto de vista real (con vistas a plantear ensayos) la no disposición de armadura de
cortante. Este proceder será correcto en el caso en que las cuantías habituales sean
inferiores a la cuantía crítica.
En caso de detectarse un problema se puede plantear la confirmación o
desmentido de este resultado teórico mediante un programa experimental
específico.

3.2.1.2 Losas simplemente apoyadas sometidas a carga uniforme

En la Figura 3.2.1 se resume el estudio llevado a cabo para losas isostáticas sometidas a carga
uniforme. En el gráfico, se representa la cuantía crítica a partir de la cual se produce una
rotura teórica por cortante antes que por flexión, teniendo en cuenta el formato de
seguridad adoptado por la EHE, en función de la esbeltez y de la luz de la viga.

16

0.02
0.019
0.018 q

0.017 d
0.016 L
0.015
L=12 m
0.014
0.013
L=16 m
0.012
Cuantía crítica

0.011 L=4.05 L=8 m
L=20 m
0.01
0.009
0.008
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
Con coeficiente
0.001
de seguridad
0
0 5 10 15 20 25 30
Esbeltez L/h
Figura 3.2.1 Cuantía crítica en función de la esbeltez y de la luz para losas simplemente apoyadas sometidas a carga
uniforme y con armadura constante.

En el caso de losas de edificación, la esbeltez, normalmente está comprendida entre 20 y
30, mientras que la cuantía es pequeña (en torno a 0.5%). Del gráfico anterior se puede
deducir que este tipo de elementos no presenta problemas por agotamiento frente a
esfuerzo cortante y por lo tanto no requiere armadura. Esta conclusión es válida incluso en
un caso extremo que puede ser esbeltez baja, λ=20, luz importante, L=12.00 m y cuantía
alta, ρ=7‰, puesto que, como se deduce del gráfico la cuantía crítica para este caso sería
de 8‰.

Para el caso común de que la losa simplemente apoyada tenga un refuerzo de flexión, la
situación se hace más desfavorable debido a que la capacidad frente a momento flector en
centro de vano se mantienen mientras que la cuantía de armadura que se puede considerar
a efectos de cortante se hace más pequeña. Este análisis se resume en la figura siguiente.

17

0.02
Viga con refuerzo en el centro de vano
0.019
0.018
0.017
q
0.016
d
0.015
L
0.014
L=8 m
0.013 La cuantía en el
apoyo es 1/3 de
0.012 la del centro de
Cuantía crítica

0.011 vano

0.01
L=12 m
0.009 L=4.05
L=16 m
0.008
0.007
L=20 m
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
Con coeficiente
0.001
de seguridad
0
0 5 10 15 20 25 30
Esbeltez L/h
Figura 3.2.2 Cuantía crítica en función de la esbeltez y de la luz para losas simplemente apoyadas sometidas a
carga uniforme y con refuerzo de armadura en centre de vano. ρcortante=1/3ρflexión.

Del examen de la Figura 3.2.2, se deduce que para losas de edificación de características
normales, λ>25, L≤8 m y ρ≈5‰, resulta formalmente correcto la ausencia de armadura de
cortante según el modelo de la EHE. Sin embargo, en un caso extremo λ=20, L=12.0 m y
ρ≈7‰, sería en teoría necesario disponer armadura de cortante.

Otra variante para losas simplemente apoyadas es una carga puntual. Este tipo de carga es
más rara en la práctica profesional pero muy común en ensayos debido a que, acercando la
carga al apoyo, se genera un cortante importante con una flexión reducida. Este esquema
estructural intenta, por lo tanto, forzar una rotura por cortante. Un parámetro importante
en este tipo de esquemas es la distancia entre el apoyo y la carga aplicada, respecto del
canto útil de la sección (relación a/d). Este valor debe ser, lógicamente, superior a un canto
útil puesto que para valores menores la carga entra directamente al apoyo sin necesidad de
que se generen tracciones en el alma. De acuerdo con los ensayos de Shioya et al. [37],
recogidos en la referencia [10], para valores de a/d inferiores a 2-2.5 la resistencia a cortante
medida experimentalmente crece de forma muy importante. Por lo tanto, parece necesario
para obtener resultados comparables con los de la normativa el que a/d sea superior a este
límite que Cladera [10] fija en 2.5. En este estudio se ha tomado a/d=2.0 debido a que ésta
dará lugar a valores teóricos más pesimistas. En la figura 4.1.1.3, se resumen los resultados
correspondientes a este análisis.

18

0,02
0,019 P P
2d 2d
0,018
0,017 d
0,016
L
0,015
0,014
Con coeficiente
0,013
de seguridad
0,012
Cuantía crítica

0,011
0,01
0,009
0,008
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003 L=4.05
L=8 m
0,002
L=12 m
0,001 L=16 m
L=20 m
0
0 5 10 15 20 25 30
Esbeltez
Figura 3.2.3 Cuantía crítica en función de la esbeltez y de la luz para losas simplemente apoyadas sometidas a dos
cargas puntuales a/d=2.0. Armadura constante.

En este caso se puede observar que, efectivamente, la rotura por cortante se produce, al
menos teóricamente, antes que por flexión para unas cuantías mucho más reducidas que
en el caso de carga distribuida. Este resultado es interesante debido, a efectos de los
cajones portuarios, debido a que la cuantía crítica se sitúa en rangos parecidos a los que se
dan en este tipo de elementos estructurales. Otro aspecto interesante en este sentido es
que la influencia de la luz y de la esbeltez en la cuantía crítica resulta mucho más reducida
que para carga distribuida. Ello es lógico debido a que el momento exterior permanece
constante al aumentar la luz e igual a la carga multiplicada por la distancia al apoyo.

3.2.1.3 Losa biempotrada sometida a carga uniforme
En la Figura 3.2.4 se presenta el mismo análisis llevado a cabo para una losa simplemente
apoyada y con cuantía de armadura constante, para una losa biempotrada. Se puede ver
que en este caso, los resultados son más desfavorables. No obstante, tampoco parece que
la gran mayoría de elementos de este tipo deba presentar problemas frente a cortante.
Sólo se tendrá problemas en casos extremos de esbeltez baja, luz importante y cuantía alta.

19

0.02
0.019
q
0.018
0.017 d

0.016 L
0.015
0.014
0.013
0.012
Cuantía crítica

0.011
L=4.05 m
0.01
L=8 m
0.009 L=12 m
0.008
L=16 m
0.007
0.006 L=20 m
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001 Con coeficiente
de seguridad
0
0 5 10 15 20 25 30
Esbeltez L/h
Figura 3.2.4 Cuantía crítica en función de la esbeltez y de la luz para losas bimepotradas sometidas a carga
uniforme y con armadura constante.

Si se aplican los resultados resumidos en el gráfico anterior al caso de cajones portuarios,
deben considerarse dos de elementos principales de estas estructuras que responden,
simplificadamente a este esquema estructural:

Paredes exteriores con un canto de 40 cm, una luz de 4.05 metros (λ=10) y cuantías
comprendidas entre 3 y 4 ‰.
Paredes interiores con un canto de 25 cm, una luz de 4.05 metros (λ=16) y cuantías
comprendidas entre 2 y 3‰.

Para el caso de las paredes exteriores, se pueden dar problemas (cuantía crítica en torno a
2‰) debido a la escasa esbeltez de estos elementos.

Para las paredes interiores, el problema desaparece, debido a que la esbeltez en este caso
es considerable.

Si se repite este mismo análisis eliminando los coeficientes de seguridad de la EHE, que
penaliza más el cortante que la flexión, la situación se modifica ligeramente. Esta situación
se muestra en la Figura 3.2.5.

En este caso, se hace mucho menos probable una rotura por cortante para la losa exterior
puesto que la cuantía crítica alcanza casi el 3‰.

20

0.02
0.019
q
0.018
0.017 d
0.016
L
0.015
0.014 L=12 m
L=4.05
0.013 L=8 m

0.012
L=16 m
Cuantía crítica

0.011
0.01
L=20 m
0.009
0.008
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
0 5 10 15 20 25 30
Esbeltez L/h
Figura 3.2.5 Cuantía crítica en función de la esbeltez y de la luz para losas bimepotradas sometidas a carga
uniforme y con armadura constante. Análisis sin coeficientes de seguridad.

Otra variante de carga para elementos biempotrados es la losa sometida a cargas
puntuales. Nuevamente, se trata de un tipo de carga con poca aplicación práctica pero cuyo
análisis ayuda a encuadrar y entender el problema. En este caso, conviene hacer la
comparación de la Figura 3.2.6 con la Figura 3.2.3.
0,02

0,018 P P
2d 2d

0,016 d

L
0,014

Con coeficiente
0,012 de seguridad
Cuantía crítica

0,01

0,008

0,006

0,004 4.05 m
8.0 m
0,002 12 m
16 m
20 m
0
0 5 10 15 20 25 30 35
Esbeltez
Figura 3.2.6 Cuantía crítica en función de la esbeltez y de la luz para losas biempotradas sometidas a dos cargas
puntuales a/d=2.0. Armadura constante.

21


Se observa, como es lógico, que la cuantía crítica es más pequeña para el caso biempotrado
que para el caso biapoyado. Ello es lógico debido a que la continuidad hace que la cuantía
necesaria por flexión se reduzca, por reducirse el momento flector, mientras que el
cortante se mantiene.

De todo el análisis anterior, parece que se desprende que puede tener interés plantear el
ensayo de elementos de estas características para intentar medir la seguridad real que se
tiene frente a un posible problema de rotura por cortante. Sin embargo, resulta necesario
para que los ensayos tengan éxito intentar forzar la rotura por cortante sin alterar las
cuantías de armadura de flexión que se dan en la práctica en la proximidad de los apoyos.
Con este objeto se plantea llevar a cabo un ensayo utilizando el esquema de la Figura 3.2.7,
en el cuál la estructura se hace hiperestática con objeto de poder aprovechar la reserva de
seguridad a flexión derivada del comportamiento no-lineal del hormigón.

Figura 3.2.7 Posible esquema para medir la capacidad a cortante de elementos biempotrados con cuantías de
armadura reducidas.

Figura 3.2.8 Leyes de momento flector y esfuerzo cortante para el esquema de ensayo sugerido.

Con objeto de evitar que se dé la rotura por flexión antes de la rotura por cortante, resulta
posible disponer una cuantía de flexión importante en centro de vano y aprovechar la
capacidad de redistribución de esfuerzos flectores que tiene un elemento de este tipo,
generando una rótula plástica en la sección de apoyo, sin que ello suponga la rotura del
elemento por flexión.

3.2.1.4 Losa cuadrada empotrada en sus cuatro bordes sometida a carga
uniforme
De acuerdo con el artículo 54.2 de la EH-91 [16] que contiene un prontuario de placas, para
una placa empotrada en sus cuatro bordes, con lados iguales y sometida a una carga
uniforme, q, los máximos momentos positivos y negativos son:

22


ql 2
M+ = por metro de ancho
47.6
− ql 2
M = por metro de ancho
19.23

Estos resultados pueden comprobarse con un cálculo de placa realizado con CEDRUS-3
para una placa de 4×4m2, empotrada en sus cuatro lados y sometida a una carga uniforme
de 10kN/m2, como se puede ver en la figura siguiente:

Figura 3.2.9 Momento flectorde eje y (Mx) en una placa cuadrada de 4.0 metros de luz, sometida a una carga de
10kN/m2 y empotrada en sus cuatro bordes. Cálculo con CEDRUS-3

El cortante que produce una sobrecarga uniforme se puede ver en la figura siguiente:

23


Figura 3.2.10 Cortante en dirección x (Vx) en una placa cuadradade de 4.0 metros de luz, sometida a una carga de
10kN/m2 y empotrada en sus cuatro bordes. Cálculo con CEDRUS-3

De esta figura se puede deducir que el cortante máximo por metro de ancho que produce
una carga uniforme en una losa empotrada en los cuatro bordes y de lados iguales se puede
calcular a partir de la siguiente expresión:

ql
V= por metro de ancho
2.44

El cortante correspondiente a una sección situada a un canto útil del apoyo, se puede
determinar de forma simplificada como:

ql
V= por metro de ancho
2.44

A partir de las expresiones anteriores se puede llevar a cabo un estudio análogo al realizado
para vigas biapoyadas o biempotradas. Este análisis de presenta a continuación.

24

0,02
0,019
0,018
Viga bi empotrada, cargada según los
0,017 resultados de Cedrus para una placa
0,016 cuadrada empotrada en los cuatro lados.
0,015 Con coeficientes de seguridad
0,014
0,013
0,012
Cuantía crítica

0,011
0,01
0,009
0,008 4.05 m

0,007
0,006 8m

0,005 12 m
16 m
0,004
20 m
0,003
0,002
0,001
0
0 5 10 15 20 25 30
Esbeltez
Figura 3.2.11 Cuantía crítica en función de la esbeltez y la luz para una losa cuadrada empotrada en sus cuatro lados

La Figura 3.2.11 muestra el resultado del análisis llevado a cabo teniendo en cuenta los
coeficientes de seguridad establecidos en la EHE [17]. Esta figura representa la cuantía
crítica de armadura longitudinal, a partir de la cual se produce una rotura por cortante antes
que una rotura por flexión. Si la cuantía resulta menor que la crítica, no se producirá rotura
de cortante. En caso contrario, el elemento sí vendría condicionado, al menos
teóricamente, por el Estado Límite de Esfuerzo Cortante. En la figura, se puede ver que
para el elemento estructural analizado y una esbeltez pequeña (≤6), la rotura sería siempre
por cortante. Este resultado es interesente porque el problema estudiado representa
adecuadamente la situación de la cimentación de los cajones marítimos (luces de 4 m y
canto de 65-70 cm).

Con objeto de estudiar si la realización de ensayos permitiría, o no, medir la seguridad real
frente a esfuerzo cortante, se ha llevado a cabo este mismo análisis sin tener en cuenta los
coeficientes de seguridad.

25

0,02
0,019
0,018
0,017
0,016
Viga bi empotrada, cargada según los
0,015 resultados de Cedrus para una placa
0,014 cuadrada empotrada en los cuatro lados.
0,013 Sin coeficientes de seguridad 4.05 m
0,012
Cuantía crítica

0,011
0,01 8m

0,009
0,008 12 m
0,007
16 m 20 m
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0
0 5 10 15 20 25 30
Esbeltez

Figura 3.2.12 Cuantía crítica en función de la esbeltez y la luz para una losa cuadrada empotrada en sus cuatro
lados. Análisis con valores característicos.

Como puede verse en la Figura 3.2.12, para una esbeltez de 6, aproximadamente, y las
cuantías normales de cimentaciones de cajones, la rotura debería ser por cortante, por lo
que resultaría posible estudiar este problema desde un punto de vista experimental.

3.2.2 Voladizos de Puentes

En el caso de voladizos de puentes y muros, la metodología varía debido a que la carga es
conocida y viene definida en el primer caso por la Instrucción de acciones en Puentes de
Carretera (IAP) [28] y en el segundo por los parámetros que definen el terreno (densidad
del terreno γ, ángulo de rozamiento interno, ϕ, ángulo de inclinación de las tierras en el
trasdos, β).

Para voladizos de puentes, el procedimiento seguido se resume en el diagrama de flujo
siguiente y se describe paso a paso a continuación:

Se fijan L,h0,c y p Calcular ρMd, necesaria por flexión
Problemas donde ρMd<
Calcular ρVd, necesaria por cortante ρVd

Se fija la luz, el canto exterior del voladizo y la pendiente del mismo.
Se calcula la armadura necesaria por flexión. En este cálculo se dispone el vehículo pesado
con su máxima excentricidad y se supone un reparto de la carga a 45º. De este valor se
obtiene la cuantía necesaria por flexión (ρMd).
Se calcula a continuación la cuantía necesaria para resistir el máximo esfuerzo cortante
(ρVd). En este caso, se dispone el vehículo pesado a un canto útil del borde del voladizo.

26


Para las luces para las cuales se cumple que ρVd>ρMd, podrían darse teóricamente problemas
por cortante.

En el caso de voladizos de puentes las curvas ρMd-L y, especialmente, ρVd-L presentarán
discontinuidades en los puntos en los que empieza a actuar la primera fila de ruedas del
carro (aproximadamente L=1.00 m) y en el que empieza a actuar la segunda fila de ruedas
del carro (aproximadamente L=3.00 m).

Aunque el procedimiento anterior es interesante debido a que proporciona información
acerca de la cuantía de armadura longitudinal que debe disponerse en este tipo de
elemento, el mismo solo proporciona información relativa al punto a partir del cual se hace
crítico el cortante, pero no acerca de cual es la magnitud de la pérdida de seguridad si no se
tiene en cuenta este aspecto. Por ello, se plantea además un procedimiento adicional que
permite calcular el cociente entre el cortante de cálculo Vd y el cortante último Vu que se
obtiene con la cuantía estricta de flexión, obteniendo de esta forma el coeficiente de
seguridad frente a cortante Vd/Vu. Este procedimiento se resume a continuación.

Se fijan h0,p. L=0.5 m L=L+0.05 m

Calcular Md,Vd

Determinar ρMd (dimensionamiento a flexión)

Calcular Vu(ρMd)

Calcular Vd/Vu(ρMd)

Se fija la luz, el canto exterior del voladizo y la pendiente del mismo.
Se calculan los esfuerzos de flexión y de cortante pésimos en el empotramiento (a un
canto útil del empotramiento en el caso del cortante), Md y Vd. Para el cálculo del
momento, se dispone el vehículo pesado con su máxima excentricidad y se supone un
reparto de la carga a 45º. Para el cálculo del cortante, se dispone el vehículo pesado a un
canto útil del borde del voladizo. Igualmente, en este caso se supone un reparto de la carga
a 45º.
Se calcula la armadura necesaria por flexión. (ρMd).
Se calcula a continuación el cortante último que puede resistir el voladizo considerando la
cuantía estricta del dimensionamiento a flexión.
Se calcula el cociente Vd/Vu para las distintas luces, indicando éste problemas de rotura por
cortante cuando su valor supera la unidad.

3.2.2.2 Resultados
Los resultados correspondientes a voladizos de puentes se resumen en la Figura 3.2.13 en la
que se muestra la cuantía de armadura longitudinal que resulta necesaria para resistir el
momento flector, por un lado y el cortante, por otro, producidos por las cargas
permanentes y la sobrecarga de la Instrucción de acciones a considerar en puentes de carretera

27


IAP [28]. En aquellas zonas en las que la curva correspondiente al cortante se sitúa por
encima de la curva correspondiente a la flexión, el dimensionamiento de la armadura
longitudinal vendría, sorprendentemente, condicionada por el esfuerzo cortante. Esta
figura está elaborada para los parámetros geométricos tomados como base: canto del
borde del voladizo h0=0.20 m y pendiente del voladizo, p=1:15. Más adelante se estudia la
influencia en los resultados de variaciones en esta geometría base.
0,016
h0= 0,20 m
0,015 Barrera Pavimento
0,014 h=h0+L/15
0,013
h0
h Cortante EHE 98
0,012 1/15
Flexión
0,011
L
Con coeficiente de
0,01
seguridad
Cuantía longitudinal

0,009

0,008

0,007

0,006

0,005

0,004

0,003

0,002

0,001

0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9
Luz [m]

Figura 3.2.13 Cuantía de armadura longitudinal necesaria para resistir el momento flector y el esfuerzo cortante
(h0=0.20m, p=1:15).

Como puede verse esta figura presentan dos discontinuidades importantes: para una luz
de voladizo próxima a 1.00 m y para una luz próxima a 3.00 m. Ello es debido a que, para
menos de 1.00 metro el carro no puede actuar sobre el voladizo y que para menos de 3.00
metros, sólo se sitúa en el voladizo una fila de ruedas, mientras que para valores mayores,
se introduce también la segunda fila, lo cual provoca un salto brusco en la cuantía de
cortante y un cambio de pendiente en la cuantía de flexión.

Se puede ver que para voladizos superiores a 3.00 metros y unas dimensiones de voladizo
comunes en la práctica, el dimensionamiento quedaría condicionado por el cortante,
aunque de forma muy leve para luces superiores a 3.50 metros. Esto también sería verdad
para voladizos de luces comprendidas entre 1.00 y 1.70 m. Visto de otra manera, se tendría
una seguridad inferior a la prevista en la EHE para voladizos de entre 1.00 y 1.70m y entre
3.00 y 3.50 metros si no se incrementara la cuantía de armadura de longitudinal para
cumplir con la condición de cortante. En la Figura 3.2.14 se muestra la relación entre el
cortante de cálculo, Vd, y el cortante último, Vu, calculado con la cuantía estricta de flexión.
Se puede ver que para un canto de voladizo extremo de 0.20 m y una pendiente del
voladizo de 1/15, que son valores bastante normales, se obtendría una reducción del
coeficiente de seguridad de aproximadamente un 25% para L=3.00 m y 1.45 para L=1.00 m,
los cuales son valores nada despreciables.

28

1,6

1,5 Barrera Pavimento
h0= 0,20 m
1,4

1,3 h
0 h
h=h0+L/15
1/15
1,2

1,1 L

1

0,9
Vd/Vu

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Luz [m]
Figura 3.2.14 Relación entre cortante solicitante, Vd, y cortante último, Vu (calculado con la cuantía estricta necesaria
por flexión) en función de la luz del voladizo. (h0=0.20m, p=1:15).

Este resultado es, en parte, consecuencia del modelo adoptado por la EHE donde no existe
límite inferior a la resistencia por cortante, como ya se ha indicado anteriormente, siendo
ésta nula para cuantía nula.

Si, en lugar de aplicar el modelo de la EHE, se aplica la propuesta de la RPH [29], el cortante
último sube considerablemente y la máxima reducción en el coeficiente de seguridad
alcanza el 15%. Se obtiene un resultado similar si se utiliza el modelo de la EH-91 [16]. Si por
el contrario se usa el límite inferior del último borrador del EC2 (ENV 1992-1-1 — Final Draft)
[19], la situación es menos favorable, debido a que éste límite resulta condicionante en este
caso para cuantías menores que el de la RPH. Estos resultados se resumen en la Figura
3.2.15.

29

1,60

1,40

1,20

1,00
Vd/Vu

0,80

Vd/VuEHE
Vd/VuEC2
0,60
Vd/VuEH-91
Vd/Vu RPH

0,40

0,20

0,00
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9

L [m]
por flexión) en función de la luz del voladizo. Comparación EHE, RPH, EC2 y IEH-91. (h0=0.20m, p=1:15).

Dados estos resultados, parece que puede resultar interesante llevar a cabo ensayos para
estudiar en qué medida la práctica de diseño habitual de voladizos de puentes es adecuado
o no. Para ello habría que buscar la geometría pésima, haciendo un estudio paramétrico en
el cual se haría variar el canto del extremo del voladizo y la pendiente y posteriormente
analizar cual es la situación si en el análisis no se consideran los coeficientes de seguridad.
Estos resultados se presentan a continuación en Figura 3.2.16.
1,90
1,80

1,70
1,60
1,50
1,40
1,30

1,20
1,10
1,00
Vd/Vu

0,90
h0 = 0.20 m
0,80
h0 = 0.15 m
0,70 h0=0.30 m
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9
L [m]
por flexión) en función de la luz del voladizo. Comparación para h0=0.15, 0.20 y 0.25 con p=15.

30


1,60

1,40

1,20

1,00

h0 = 0.20 m y p = 15
Vd/Vu

0,80 h0 = 0.20 m y p = 20
h0 = 0.20 m y p = 10

0,60

0,40

0,20

0,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L [m]
por flexión) en función de la luz del voladizo. Comparación para para p=10, 15 y 20 con h0=0.15.

En las Figura 3.2.16 y Figura 3.2.17, se puede observar que la influencia de la geometría es
bastante limitada. Los resultados más desfavorables se obtienen para h0=0.15 m y 1:p=1:20.

Por último se evalúa el comportamiento del elemento si no se tienen en cuenta los
coeficientes de seguridad, con objeto de ver si con el ensayo se podría, o no, medir la
seguridad frente a esfuerzo cortante. En la medida en que la rotura se produzca por
flexión, esta determinación no podrá llevarse a cabo. Este análisis se lleva a cabo para la
geometría pésima y se resume en la Figura 3.2.18.

31


1,6
Barrera Pavimento
1,5 h0 = 0,15 m

1,4 h = h0 +L/15
h
1,3 0 h
1/15
Sin coeficiente de
1,2
seguridad
L
1,1
1
0,9
Vd/Vu

0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Luz [m]
Figura 3.2.18 Relación entre cortante solicitante característico, y cortante último característico, Vu,k (calculado con la
cuantía estricta necesaria por flexión) en función de la luz del voladizo. p= 20, h0=0.15. Análisis sin coeficientes de
seguridad.

3.2.3 Muros de sostenimiento

En el caso de muros, el problema es muy similar al de los voladizos de puentes y de alguna
forma más sencillo, debido a que las curvas que se obtienen son monótonas. Se llevan cabo
los dos análisis anteriores. El primero, formulado en términos de cuantías, es idéntico al
explicado anteriormente para voladizos. El segundo, formulado en términos de la
seguridad frente a una rotura por cortante, se describe a continuación. Se estudia cual es la
altura máxima del muro para la cual no es necesario disponer armadura de cortante. El
procedimiento seguido es el siguiente:

Fijar hsup,p,β,ϕ - H=1.0 m H=H+0.05

Sí
Calcular Md,Vd

Vd<Vu No

Determinar ρMd (dimensionamiento a flexión)

Calcular Vu(ρMd)

Hmáx para Vd=Vu

Se fija la geometría del muro (inclinación de trasdós, ancho superior del muro), y los
parámetros del suelo: inclinación de trasdós, β, y el ángulo de rozamiento interno del

32

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