3. Para aproveitar 100%
dessa aula você precisa
saber:
Matrizes
Equação do 1º
Equação do 2º grau
4. Como representamos o
determinante de uma
matriz?
Colocando os elementos de uma matriz
entre duas barras verticais.
Exemplos:
1 2 12
A =
4 0 ⇒Det A = 4 0
1 4 0 140
B = 2 0 1 ⇒ Det B = 2 0 1
5 5 3 553
5. Como calculamos o
determinante de uma
matriz quadrada?
Se for uma matriz de ordem 1,
então o determinante é o próprio
elemento da matriz.
Exemplo:
A = ( − 4 ) ⇒ det A = − 4 = −4
6. Se for uma matriz de ordem 2, então o
determinante é a diferença entre o produto dos
elementos da matriz principal e o produto dos
elementos da matriz secundária.
Exemplo:
2 3 2 3
A =
1 0 ⇒
det A =
10
2.0 − 3.1 = −3
7. Tente fazer sozinho!
x − 1 x y
(UF-PI) Sejam A = y 2 e B = 1 1
Se det A = 4 e det B = 2, então, x + y é
igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
8. Solução
x −1 x y
det A = =4 det B = =2
y 2 11
2 x − (− y ) = 4 ⇒ 2 x + y = 4 x− y =2
2 x + y = 4 2 x + y = 4 3x = 6 x-y=2
⇒ ⇒
2-y=2
x − y = 2 x − y = 2 x=2
y=0
Logo, x + y = 2 + 0 = 2
Resposta: letra A.
9. Se for uma matriz de ordem 3,
então o determinante é calculado
através da Regra de Sarrus.
12. Tente fazer sozinho!
(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que
1 2 x
x 0 − 1 = −8 é(são):
x −2 −3
a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3
13. Solução
1 2 x 1 2
1 2 x
x 0 − 1 x 0 = −8
x 0 − 1 = −8
x − 2 − 3 x -2
x −2 −3
0 -2 6x 0 -2x -2x2
-2 + 6x -2x -2x2 =-8
-2x2 + 4x -10 = 0
As raízes são -1 e 3.
Resposta: letra E.
14. Propriedades dos
determinantes
1ª) Se todos os elementos de uma fila
(linha ou coluna) de uma matriz quadrada
forem iguais a zero, o determinante
dessa
matriz também será zero.
1 0 4 1
Exemplo: 2 0 3 0
A = ⇒ det A =0
3 0 7 2
9 0 0 5
15. 2ª) Se os elementos correspondentes de
duas filas (duas linhas ou duas colunas) de
uma matriz forem iguais, o determinante
dessa matriz será zero.
Exemplo:
1 0 4 1
2 7 3 0
A = ⇒det A =0
2 5 3 0
9 1 0 5
16. 3ª) Se duas filas (duas linhas ou duas colunas)
de uma matriz forem proporcionais, o
determinante dessa matriz será zero.
Exemplo: 1 0 4 2
2 7 3 4
A = ⇒det A =0
2 7 3 4
3 1 0 6
17. 4ª) Se trocamos duas filas (duas linhas ou duas colunas)
de posição, o determinante da nova matriz será o
oposto da matriz anterior.
Exemplo: 1 2 5
0 1 3
A= 0 1 3 e B= 1 2 5
−1 0 − 2 −1 0 − 2
det A =
det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = -13
18. 5ª) Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna)
forem multiplicados por um mesmo número, então o
determinante também fica multiplicado por esse número.
Exemplo: 1 2 5 3 6 15
A= 0 1 3 e B= 1 2 5
−1 0 − 2 −1 0 −2
det A =
det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = 39
19. 6ª) Se uma matriz quadrada for multiplicada por um
número real, então o determinante fica multiplicado por
esse número elevado a ordem da matriz.
Exemplo:
1 2 5 1 2 5 2 4 10
A= 0 1 3 e B = 2 0 1 3 = 0 2 6
−1 0 − 2 −1 0 − 2 − 2 0 −4
det A = 13, então det B = 13. 23 = 104
20. 7ª) O determinante de uma matriz quadrada
é igual ao determinante da sua transposta.
Exemplo:
1 2 5
A= 0 1 3
−1 0 − 2
det A = 13, então det At = 13
21. 8ª) O determinante de uma matriz triangular
é igual ao produto dos elementos da
diagonal principal.
Exemplo:
1 2 5
A = 0 1 3
0 0 − 2
det A = 1.1.(-2) = -2
22. 9ª) Teorema de Binet Sendo duas matrizes A e B duas
matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz
produto, então det(AB) = (det A) (det B).
Exemplo: A = 3 2
0 2
5 − 1
e B=
3 4
6 14
AB =
− 3 6 ⇒ det( AB ) = 36 + 42 = 78
det A . det B = (-3 -10)(0 - 6) = 78
23. Tente fazer sozinho!
(UFC-CE) Sejam A e B matrizes 3x3 tais
que det A = 3 e det B = 4.
Então, det (A . 2B) é igual a:
a) 32
b) 48
c) 64
d) 80
e) 96
24. Solução
det A = 3 e det B = 4
Pelo Teorema de Binet temos que:
det(A . 2B) = det A . det 2B
E pela 6ª propriedade temos que:
det 2B = 4 . 23 = 32
Logo, det(A . 2B) = 3 . 32 = 96 letra E.
25. 10ª) Seja A uma matriz
quadrada invertível
e A-1 sua inversa. Então, det A−1 = 1
det A
Exemplo:
0 1
1 − 1 −1 2
A=
2 0 e A =
−1 1
2
−1 1
det A = 0 + 2 = 2, então det A =
2
26. Tente fazer sozinho!
(Cefet-PR) Uma matriz A quadrada, de
ordem 3, possui determinante igual a 2.
O valor de det (2 . A-1) é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
27. Solução
det A = 2
Pela 10ª propriedade temos que:
−1 1 −1 1
det A = ⇒ det A =
det A 2
Pela 6ª propriedade temos que:
det 2.A-1 = 1/2 . 23 = 4
Logo, det (2 . A-1) = 4 letra D.
28. Teorema de La Place
Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, o
determinante da matriz A será o número real que
se obtém somando-se os produtos dos elementos
de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos seus
respectivos cofatores.
Esse teorema nos permite calcular o determinante
de matrizes de ordem maior que 3.
Porém, antes vamos aprender os conceitos
de Cofator.
29. O que é Cofator de uma
matriz?
É o produto de (-1)i+j (sendo i e j o índice
de um elemento) pelo determinante da
matriz obtida quando eliminamos a linha e
a coluna desse elemento.
Exemplo: Considerando a matriz
2 5 3
A = 0 − 2 −1
6 4 − 3
32. Teorema de La Place
Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,
o determinante da matriz A será o número
real
que se obtém somando-se os produtos dos
elementos de uma fila (linha ou coluna)
qualquer pelos seus respectivos cofatores.
Exemplo: Considerando3amatriz
2 5
A = 0 − 2 −1
6 4 − 3
34. Então, o cálculo do
determinante da matriz
2 5 3
A = 0 − 2 −1
6 4 − 3
Pelo Teorema de La Place é:
det A = 27.0 + (-24).(-2) + 22.(-1)
det A = 0 + 48 - 22
det A = 26.
35. O que você aprendeu:
Como representar e calcular um
determinante.
Regra de Sarrus.
As propriedades dos determinantes.
Teorema de La Place.
36. Bibliografia
Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto
e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática
– SP. Páginas: 146 a 174.
Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,
Roberto; Degenszajn, David – Matemática
(volume único). 4ª edição – 2007. Editora
Atual – SP. Páginas: 303 a 313.
Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso
de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora
Moderna – SP. Páginas: 295 a 308.
http://www.somatematica.com.br/emedio/det
erminantes/