O documento discute produtos notáveis, definindo-os como resultados importantes de multiplicações. Ele apresenta seis produtos notáveis: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença de dois termos. Exemplos são fornecidos para ilustrar cada um desses produtos notáveis.

2. O que significa
Produto Notável?

3. Produto Notável
 Produto:
Resultado de uma multiplicação.
 Notável:
Algo que é importante.

4. O que vamos estudar
 Quadrado da soma de dois termos
 Quadrado da diferença de dois termos
 Produto da soma pela diferença de dois
termos
 Cubo da soma de dois termos
 Cubo da diferença de dois termos

5. Quadrado da soma
Produto Quadrado da diferença
Notável
Produto da soma pela diferença
Cubo da soma
Cubo da diferença

6. Quadrado da soma de
dois termos
( a + b) 2
Termo a Termo b

7. Quadrado da soma ( a +b ) 2
Produto Quadrado da diferença
Notável
Produto da soma pela diferença
Cubo da soma
Cubo da diferença

8. Quadrado da soma de
dois termos
( a + b) 2
= ( a + b ).( a + b )

9. Quadrado da soma de
dois termos
( a + b) 2
= ( a + b ).( a + b )
= a + ab + ab + b
2 2
= a + 2ab + b
2 2

10. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2
Produto Quadrado da diferença
Notável
Produto da soma pela diferença
Cubo da soma
Cubo da diferença

11. Vamos calcular 1
( x + 1) 2

12. Vamos calcular 1
( x + 1) 2
= ( x + 1)( x + 1)

13. Vamos calcular 1
( x + 1) 2
= ( x + 1)( x + 1)
= x + x + x +1
2 2

14. Vamos calcular 1
( x + 1) 2
= ( x + 1)( x + 1)
= x + x + x +1
2 2
= x + 2x +1
2

15. Vamos calcular 2
( 5+y ) 2

16. Vamos calcular 2
( 5+y ) 2
= ( )(
5+y. 5+y )

17. Vamos calcular 2
( 5+y ) 2
= ( 5+y. 5+y)( )
= ( 5) 2
+ 5y + 5y + y2

18. Vamos calcular 2
( 5+y ) 2
= ( 5+y. 5+y)( )
= ( 5) 2
+ 5y + 5y + y2
= 5 + 2 5y + y 2

19. Vamos calcular 3
2
 2 b
a + 
 2

20. Vamos calcular 3
2
 2 b  2 b  2 b 
a +  =  a + . a + 
 2  2  2

21. Vamos calcular 3
2
 2 b  2 b  2 b 
a +  =  a + . a + 
 2  2  2
2
= (a )
2 2 b 2 b b
+a +a + 
2
2 2 2

22. Vamos calcular 3
2
 2 b  2 b  2 b 
a +  =  a + . a + 
 2  2  2
2
= (a )
2 2 b 2 b b
+a +a + 
2
2 2 2
2
b b
= a + 2a
4
+ 2
2 4

23. Quadrado da diferença de
dois termos
( a − b) 2
Termo a Termo b

24. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2
Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2
Notável
Produto da soma pela diferença
Cubo da soma
Cubo da diferença

25. Quadrado da diferença de
dois termos
( a − b) 2
= ( a − b ).( a − b )

26. Quadrado da diferença de
dois termos
( a − b) 2
= ( a − b ).( a − b )
= a − ab − ab + b
2 2
= a − 2ab + b
2 2

27. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2
Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2
Notável
Produto da soma pela diferença
Cubo da soma
Cubo da diferença

28. Vamos calcular 1
( x − 3) 2

29. Vamos calcular 1
( x − 3) 2
= ( x − 3)( x − 3)

30. Vamos calcular 1
( x − 3) 2
= ( x − 3)( x − 3)
= x − 3x − 3x + 3
2 2

31. Vamos calcular 1
( x − 3) 2
= ( x − 3)( x − 3)
= x − 3x − 3x + 3
2 2
= x − 2.3 x + 3
2 2

32. Vamos calcular 1
( x − 3) 2
= ( x − 3)( x − 3)
= x − 3x − 3x + 3 2
= x − 2.3 x + 3
2 2
= x − 6x + 9
2

33. Vamos calcular 2
( 2ab − c ) 2

34. Vamos calcular 2
( 2ab − c ) 2
= ( 2ab − c ) .( 2ab − c )

35. Vamos calcular 2
( 2ab − c ) 2
= ( 2ab − c ) .( 2ab − c )
= ( 2ab ) − 2abc − 2abc + c
2 2

36. Vamos calcular 2
( 2ab − c ) 2
= ( 2ab − c ) .( 2ab − c )
= ( 2ab ) − 2abc − 2abc + c
2 2
= 4a b − 4abc + c
2 2 2

37. Vamos calcular 3
2
a b
 − 
2 8

38. Vamos calcular 3
2
a b  a b  a b 
=  − . − 
 −   2 8  2 8 
2 8

39. Vamos calcular 3
2
a b  a b  a b 
=  − . − 
 −   2 8  2 8 
2 8
2 2
a a b b a b
=   − . − . + 
 2  2 8 8 2 8

40. Vamos calcular 3
2
a b  a b  a b 
=  − . − 
 −   2 8  2 8 
2 8
2 2
a a b b a b
=   − . − . + 
 2  2 8 8 2 8
a 2 ab ab b 2
= − − +
4 16 16 64

41. Vamos calcular 3
2
a b  a b  a b 
=  − . − 
 −   2 8  2 8 
2 8
2 2
a a b b a b
=   − . − . + 
 2  2 8 8 2 8
a 2 ab ab b 2
= − − +
4 16 16 64
a2 ab b 2
= −2 +
4 16 64

42. Vamos calcular 3
2
a b  a b  a b 
=  − . − 
 −   2 8  2 8 
2 8
2 2
a a b b a b
=   − . − . + 
 2  2 8 8 2 8
a 2 ab ab b 2
= − − +
4 16 16 64
a2 ab b 2
= −2 +
4 16 64

43. Vamos calcular 3
2
a b  a b  a b 
=  − . − 
 −   2 8  2 8 
2 8
2 2
a a b b a b
=   − . − . + 
 2  2 8 8 2 8
a 2 ab ab b 2
= − − +
4 16 16 64
a2 ab b 2
= −2 +
4 16 64
a 2 ab b 2
= − +
4 8 64

44. Produto da soma pela
diferença de dois termos
( a + b ).( a − b )
Termo a Termo b Termo a Termo b

45. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2
Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2
Notável
Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b )
Cubo da soma
Cubo da diferença

46. Produto da soma pela
diferença de dois termos
( a + b ).( a − b ) = a − ab + ab − b
2 2
= a −b
2 2

47. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2
Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2
Notável
Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2
Cubo da soma
Cubo da diferença

48. Vamos calcular 1
( a + 5)( a − 5)

49. Vamos calcular 1
( a + 5)( a − 5) = a − 5a + 5a − 5
2 2

50. Vamos calcular 1
( a + 5)( a − 5) = a − 5a + 5a − 5
2 2

51. Vamos calcular 1
( a + 5)( a − 5) = a − 5a + 5a − 5
2 2
= a − 25
2

52. Vamos calcular 2
(y 2
)(
− 3z y + 3z
2
)

53. Vamos calcular 2
(y 2
)( 2
)
− 3z y + 3z = ( y )
2 2
+ 3zy − 3zy − ( 3z )
2 2 2

54. Vamos calcular 2
(y 2
)( 2
)
− 3z y + 3z = ( y )
2 2
+ 3zy − 3zy − ( 3z )
2 2 2

55. Vamos calcular 2
(y 2
)( 2
)
− 3z y + 3z = ( y 2 2
) + 3zy − 3zy − ( 3z )
2 2 2
= y − 9z
4 2

56. Vamos calcular 3
 2 1  2 1 
 x + 2  x − 2 
 x  x 

57. Vamos calcular 3
 2 1  2 1  2
 x + 2  x − 2  = ( x 2 ) 2 − x 2 . 12 + x 2 . 12 −  12 
 
 x  x  x x x 

58. Vamos calcular 3
 2 1  2 1  2
 x + 2  x − 2  = ( x 2 ) 2 − x 2 . 12 + x 2 . 12 −  12 
 
 x  x  x x x 

59. Vamos calcular 3
 2 1  2 1  2
 x + 2  x − 2  = ( x 2 ) 2 − x 2 . 12 + x 2 . 12 −  12 
 
 x  x  x x x 
1
=x − 44
x

60. Cubo da soma de dois
termos
( a + b) 3
Termo a Termo b

61. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2
Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2
Notável
Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2
Cubo da soma ( a +b ) 3
Cubo da diferença

62. Cubo da soma de dois
termos
( a + b) 3
= ( a +b ).( a +b )
2

63. Cubo da soma de dois
termos
( a + b) 3
= ( a +b ).( a +b )
2
(
= ( a + b ) . a + 2ab + b
2 2
)
= a + 2a b + ab + a b + 2ab + b
3 2 2 2 2 3
= a + 3a b + 3ab + b
3 2 2 3

64. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2
Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2
Notável
Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2
Cubo da soma ( a +b ) 2 a 3 +3a 2b +3ab 2 +b 3
Cubo da diferença

65. Vamos calcular 1
( x + 2) 3

66. Vamos calcular 1
( x + 2) 3
= ( x + 2) .( x + 2)
2

67. Vamos calcular 1
( x + 2) 3
= ( x + 2) .( x + 2)
2
(
= ( x + 2). x + 4 x + 4
2
)

68. Vamos calcular 1
( x + 2) 3
= ( x + 2) .( x + 2)
2
(
= ( x + 2). x + 4 x + 4
2
)
= x +4 x + 4 x + 2 x + 8 x + 8
3 2 2

69. Vamos calcular 1
( x + 2) 3
= ( x + 2) .( x + 2)
2
(
= ( x + 2). x + 4 x + 4
2
)
= x +4 x + 4 x + 2 x + 8 x + 8
3 2 2
= x + 6 x + 12 x + 8
3 2

70. Vamos calcular 2
( x + 2 y) 3

71. Vamos calcular 2
( x + 2 y) 3
= ( x + 2 y ).( x + 2 y )
2

72. Vamos calcular 2
( x + 2 y) 3
= ( x + 2 y ).( x + 2 y )
2
(
= ( x + 2 y ) . x + 4 xy + 4 y
2 2
)

73. Vamos calcular 2
( x + 2 y) 3
= ( x + 2 y ).( x + 2 y )
2
(
= ( x + 2 y ) . x + 4 xy + 4 y
2 2
)
= x + 4 x y + 4 xy + 2 x y + 8 xy + 8 y
3 2 2 2 2 3

74. Vamos calcular 2
( x + 2 y) 3
= ( x + 2 y ).( x + 2 y )
2
(
= ( x + 2 y ) . x + 4 xy + 4 y
2 2
)
= x + 4 x y + 4 xy + 2 x y + 8 xy + 8 y
3 2 2 2 2 3
= x + 6 x y + 12 xy + 8 y
3 2 2 3

75. Vamos calcular 3
( 2 + 3z )
2 3

76. Vamos calcular 3
( 2 + 3z ) = (2 + 3z ).(2 + 3z )
2 3 2 2 2

77. Vamos calcular 3
( 2 + 3z ) = (2 + 3z ).(2 + 3z )
2 3 2 2 2
( )(
= 2 + 3 z 2 . 4 + 12 z 2 + 9 z 4 )

78. Vamos calcular 3
( 2 + 3z ) = (2 + 3z ).(2 + 3z )
2 3 2 2 2
( )(
= 2 + 3 z 2 . 4 + 12 z 2 + 9 z 4 )
= 8 + 24 z + 18 z + 12 z + 36 z + 27 z
2 4 2 4 6

79. Vamos calcular 3
( 2 + 3z ) = (2 + 3z ).(2 + 3z )
2 3 2 2 2
( )(
= 2 + 3 z 2 . 4 + 12 z 2 + 9 z 4 )
= 8 + 24 z + 18 z + 12 z + 36 z + 27 z
2 4 2 4 6
= 8 + 36 z + 54 z + 27 z
2 4 6

80. Cubo da diferença de dois
termos
( a − b) 3
Termo a Termo b

81. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2
Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2
Notável
Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2
Cubo da soma ( a +b ) 2 a 3 +3a 2b +3ab 2 +b 3
Cubo da diferença ( a −b ) 3

82. Cubo da diferença de dois
termos
( a − b) 3
= ( a −b ).( a −b )
2

83. Cubo da diferença de dois
termos
( a − b) 3
= ( a −b ).( a −b )
2
(
= ( a − b ) . a − 2ab + b
2 2
)
= a − 2a b + ab − a b + 2ab − b
3 2 2 2 2 3
= a − 3a b + 3ab − b
3 2 2 3

84. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2
Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2
Notável
Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2
Cubo da soma ( a +b ) 2 a 3 +3a 2b +3ab 2 +b 3
Cubo da diferença ( a −b ) 3 a 3 −3a 2b +3ab 2 −b 3

85. Vamos calcular 1
( x − 2) 3

86. Vamos calcular 1
( x − 2) 3
= ( x − 2 ).( x − 2 )
2

87. Vamos calcular 1
( x − 2) 3
= ( x − 2 ).( x − 2 )
2
(
= ( x − 2). x − 4 x + 4
2
)

88. Vamos calcular 1
( x − 2) 3
= ( x − 2 ).( x − 2 )
2
(
= ( x − 2). x − 4 x + 4
2
)
= x − 4 x + 4 x − 2 x + 8x − 8
3 2 2

89. Vamos calcular 1
( x − 2) 3
= ( x − 2 ).( x − 2 )
2
(
= ( x − 2). x − 4 x + 4
2
)
= x − 4 x + 4 x − 2 x + 8x − 8
3 2 2
= x − 6 x + 12 x − 8
3 2

90. Vamos calcular 2
( ax − y ) 3

91. Vamos calcular 2
( ax − y ) 3
= ( ax − y ) .( ax − y )
2

92. Vamos calcular 2
( ax − y ) 3
= ( ax − y ) .( ax − y )
2
(
= ( ax − y ). a 2 x 2 − 2axy + y 2 )

93. Vamos calcular 2
( ax − y ) 3
= ( ax − y ) .( ax − y )
2
(
= ( ax − y ). a 2 x 2 − 2axy + y 2 )
= a x − 2a x y + axy − a x y + 2axy − y
3 3 2 2 2 2 2 2 3

94. Vamos calcular 2
( ax − y ) 3
= ( ax − y ) .( ax − y )
2
(
= ( ax − y ). a 2 x 2 − 2axy + y 2 )
= a x − 2a x y + axy − a x y + 2axy − y
3 3 2 2 2 2 2 2 3
= a 3 x 3 − 3a 2 x 2 y + 3axy 2 − y 3

95. Vamos calcular 3
(2x − y )
2 3

96. Vamos calcular 3
(2x − y )
2 3
( )(
= 2x − y . 2x − y
2
)
2 2

97. Vamos calcular 3
(2x − y )
2 3
( )(
= 2x − y . 2x − y
2
)
2 2
( )(
= 2 x − y 2 . 4 x 2 − 4 xy 2 + y 4 )

98. Vamos calcular 3
(2x − y )
2 3
(
= 2x − y . 2x − y
2
)( )
2 2
( )(
= 2 x − y 2 . 4 x 2 − 4 xy 2 + y 4 )
= 8 x − 8 x y + 2 xy − 4 x y + 4 xy − y
3 2 2 4 2 2 4 6

99. Vamos calcular 3
(2x − y )
2 3
(
= 2x − y . 2x − y
2
)( 2 2
)
( )(
= 2 x − y 2 . 4 x 2 − 4 xy 2 + y 4 )
= 8 x − 8 x y + 2 xy − 4 x y + 4 xy − y
3 2 2 4 2 2 4 6
= 8 x − 12 x y + 6 xy − y
3 2 2 4 6

100. Resumindo…
( a +b ) 2 = a 2 + 2ab +b 2
Quadrado de um
binômio
( a −b ) 2 = a 2 − 2ab +b 2
Produto
Notável
Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) = a 2 −b 2
( a +b ) 3 = a 3 +3a 2b +3ab 2 +b 3
Cubo de um binômio
( a −b ) 3 = a 3 −3a 2b +3ab 2 −b 3

101. Bibliografia
 Tempo de Matemática, 7a série; NAME,
Miguel Assis. 1996, Editora do Brasil S/A,
São Paulo. Páginas pesquisadas 69 a 78.
 Matemática e Realidade, 8o ano; IEZZI,
Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO,
Antonio. 2009, 6a edição, Atual Editora,
São Paulo. Páginas pesquisadas 186 a 194.