Ejercicios de variable compleja

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario de Tecnología
Antonio José de Sucre
Extensión Barquisimeto
Ejercicios de Variable compleja
(Unidad I)
Participante:
De Santiago Edgar
C.I: 21.246.339
Prof.: Alba Espinoza

2. 1. Efectuar las operaciones indica las:
A) Z= (Re (2i45 – 5i32 ) + √2 i41 + 3i 24 )1/3
Solución:
i45=i1=i.
i32=i0=1.
i41=i1=i.
i24=i0=1
Luego:
Z= (Re (2i45 – 5i32 ) + √2 i41 + 3i 24 )1/3
Z=(Re (2i – 5*1 ) + √2* i + 3*1 )1/3
Z=(Re (2i – 5) + √2i + 3)1/3
Z= (-5 + √2 i + 3)1/3
Z= (-2 + √2i)1/3
Z= √ −2 + 3 √2 i * Cis (
퐴푟푔 (−2+√2푖)+2퐾휋
3
)
PARA K=0,1,2.
3
Z= √(−2) + (√2)
* Cis (
퐴푟푔 (−2+√2푖)+2퐾휋
3
)
PARA K=0,1,2.
Z= √6 6 * Cis (
퐴푟푔 (−2+√2푖)+2퐾휋
3
)
PARA K=0,1,2.
Donde, Arg (-2+√2푖 )= tan -1 (-
√2
32
)
≈-0.6154.
Luego,
Z=
41
1
=
4
10
24
0
=
4
6
32
0
=
4
8
2
2
√6 6 * Cis (
퐴푟푔 (−2+√2푖)
3
); k=0
√6 6 * Cis (
퐴푟푔 (−2+√2푖)+2휋
3
); k=1
√6 6 * Cis (
퐴푟푔 (−2+√2푖)+4휋
3
); k = 2
4
11
45
1
=

3. 2+푖
3푖 −푖
b) Re { (
)}*
5
2
푖 −
3
2
푖
Solución:
i17=i1=i
i14=i2=-1
i6=i2=-1
i5=i1=i
Luego:
Re { (
2+푖
3(−2)−푖
) }*
5
2
(−1) −
3
2
∗ 푖
= Re {
(2−푖 )
−6+ 푖
}* −
5
2
−
3
2
푖
= Re {
(2−푖)∗(−6−푖)
(−6) −푖
}* √(−
5
2
) + (−
3
2
)
= Re {
−12−2푖+6푖−1
36 −(−1)
}* √
25
4
+
9
4
=Re {
−13+4 푖
37
}* √
34
4
=
−13
37
*
√34
2
=
−13
37
*
√34
2
=
−13 √34
74
17
5
6
14
14
2
=
4
3
17
1
=
4
4
5
1
=
4
1
6
2
=
4
1
2
2
2
2

4. 2) describir y bosquejar el lugar geografico definido
por.
3(Z2+Z2) – 10*Z*Z+25=0.
SOLUCION.
SEA, Z= X+Yi Z=X-Yi
ASI Z2=(X+Yi)2=X2+2XYi-Y2
Z2=(X-Yi)2=X2-2XYi-Y2
Z*Z=(X+Yi)*(X-Yi)=X2- (Yi)2=X2+Y2
ASI, 3(Z2+Z2)-10*Z*Z+25=0
3(X2+2XYi-Y2+X2-2XYi-Y2)-10(X2+Y2)+25=0
3(2X2-2Y2)-10X2-10Y2+25=0
6X2-6Y2-10X2-10Y2+25=0
-4X2-16Y2+25=0
4X2+16Y2=25
푋2
(
5
2
)
+
푌2
(
5
4
)
= 1; Representa un elipse centrada en
(0,0).
Re (Z)
Im (Z)
2
O
5
⁄4
⁄2 5
−5
⁄2
Conclusión: La Ecuación Representa La Frontera De
Una Elipse Y La Satisfacen Todos Los Números
Complejos Z=(X, Y).
TALES QUE:
푋2
(
5
2
)
+
푌2
(
5
4
)
= 1
−5
⁄4

5. 3) Demostrar que:
Cos (Z1+Z2)=Cos ZI* Cos Z2 –SenZ1 * SenZ2.
Solución.
Sabemos Que Cos Z=
푒푖푍+ 푒−푖푍
2
; Sen Z =
푒푖푍− 푒−푖푍
2푖
Sea Cos Z1*Cos Z2-Sen Z1*Sen Z2
=
푒푖푍1+ 푒−푖푍1
2
*
푒푖푍2 + 푒 −푖푍2
2
-
푒푖푍1 − 푒 −푖푍1
2푖
∗
푒푖푍2 − 푒 −푖푍2
2푖
=
(푒푖푍1+ 푒−푖푍1)∗(푒푖푍2+ 푒−푖푍2)
4
-
(푒푖푍1− 푒−푖푍1)∗(푒푖푍2 − 푒−푖푍2)
4∗(−1)
=
푒푖(푍1+푍2)+ 푒푖(푍1−푍2)+ 푒푖(푍2−푍1)+ 푒−푖(푍1+푍2)+푒푖(푍1+푍2)−푒푖(푍1−푍2)− 푒푖(푍2−푍1)+푒−푖(푍1+푍2)
4
=
2푒푖(푍1+푍2)+ 2푒 −푖(푍1+푍2)
4
=
푒푖(푍1+푍2)+ 푒−푖(푍1+푍2)
2
= Cos (Z1+ Z2).
4). Expresar la función
F (Z) = √5 [Im (Z)]5* 푒 4푖 ∗(푅푒(푍))
En la forma F (Z) = U(X,Y) + i V(X,Y)
Solución:
Sea Z= X+iY Y así
F (Z)= √5 *[Y]5*푒 4∗(−푖) ∗(푋)
i7=i3=-i
7 2
2
7
3
=
4
1

6. 2
F (Z)= √5 *Y5*푒 푖(−4푥 )
F (Z) = √5 *Y5* (Cos(-4x2)+i Sen(-4x2))
F (Z) = √5 *Y5* (Cos(4x2) - i Sen(4x2))
F (Z) = √5 *Y5*Cos(4x2) - √5 * y5*Sen (4x2) i
F (Z) = U(X,Y) + V(X,Y)
Donde, U(X,Y)= √5 *Y5*Cos(4x2)
V(X,Y)= √5 * y5*Sen (4x2)