Probabilitas merupakan suatu nilai yang digunakan untuk mengukur kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Dokumen ini menjelaskan pengertian probabilitas, pendekatan perhitungan probabilitas seperti pendekatan klasik dan frekuensi relatif, aturan dasar probabilitas seperti aturan penjumlahan dan perkalian, serta rumus Bayes.

1. P R O B A B I L I T A S
Dr. Teguh Hadi Priyono

2. Pengertian Probabiltas
Probabilitas (peluang/kemungkinan) adalah suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur tingkat
terjadinya suatu kejadian yang acak.
Kunci pokok dalam probabilitas, yaitu; eksperimen, hasil (outcome), dan peristiwa atau kejadian
(event). Contoh, eksperimen pelemparan sebuah koin. Hasil (outcome) dari pelemparan koin
tersebut adalah “angka” dan “gambar”. Sedangkan kumpulan dari beberapa hasil disebut kejadian
(event).
Probabilitas dinyatakan dalam bentuk bilangan desimal atau bilangan pecahan, misal; 0,25, 0,50
atau 5/30, 25/100.

3. Pendekatan Perhitungan Probabiltas
Pendekatan menghitung probabilitas:
1. Pendekatan Obyektif
 Pendekatan Klasik
 Pendekatan Frekuensi Relatif
2. Pendekatan Subyektif
Pendekatan Klasik
Perhitungan pendekatan klasik didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil suatu eksperimen
mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama, dan harus mengetahui seluruh kejadian yang akan
muncul.
Suatu kejadian A dapat terjadi sebanyak x cara dari seluruh n cara, dimana n jumlah barang dan x
barang rusak. Probabilitas barang terambil rusak, dimana pengambilan barang secara acak (random),
adalah:
P(A) = x/n, P(A) ≥ 0, sebab x ≥ 0 dan n > 0
P(Ā) = (n – x) / n
= 1 – (x/n)
atau
P(Ā) = 1 – P(A)

4. Pendekatan Frekuensi Relatif
Perhitungan yang didasarkan atas limit dari frekuensi relatif. Misal x nilai ujian matematika, P(X) = 8
adalah probabilitas bahwa seorang mahasiswa mendapat nilai 8.
X ƒ ƒr
X1 ƒ1
X2 ƒ2
.
.
Xk ƒk
Jumlah ∑fi = n ∑ = 1
P(Xi) = limit fi/n
Artinya probabilitas suatu kejadian merupakan limit dari frekuensi relatif kejadian tersebut yang secara
teoritis berlaku untuk nilai n yang besar sekali (tak terhingga), misal untuk eksperimen dengan sampel
besar.
n → ∞

5. Penelitian terhadap 65 karyawan perusahaan dengan gaji/upah sebagai berikut;
X 55 65 75 85 95 105 115
f 8 10 16 14 10 5 2
X adalah gaji/upah dalam ribu Rupiah.
Apabila kita bertemu salah seorang karyawan tersebut, berapa besar probabilitas karyawan dengan
upah 65 ribu? 105 ribu?
P(X = 65)= f2/n
= 10/65 (15 persen)
P(X = 105)= f2/n
= 5/65 (5 persen)

6. Apa yang dimaksud dengan p(Xi) = lim fi/n ?
Contoh eksperimen pelemparan koin, akan menghasilkan 2 kemungkinan yaitu gambar dan angka.
Kejadian tersebut merupakan kejadian yang saling meniadakan (mutually exclusice event), pelemparan
dilakukan sebanyak n kali. Jika probabilitas X1 merupakan kejadian keluar gambar, maka akan didapat
kemungkinan sbb:
f fr f fr f fr f fr f fr
X1 8 0,8 60 0,6 450 0,45 5.490 0,549 52.490 0,5249
X2 2 0,2 40 0,4 550 0,55 4.510 0,451 47.510 0,4751
n 10 1,0 100 1,0 1000 1,00 10.000 1,0 100.000 1,00
Untuk n = 10 P(X1) = 0,8 log 10 = 1
Untuk n = 100 P(X1) = 0,6 log 100 = 2
Untuk n = 1000 P(X1) = 0,45 log 1000 = 3
Untuk n = 10.000 P(X1) = 0,549 log 10.000 = 4
Untuk n = 100.000 P(X1) = 0,5249 log 100.000 = 5
n → ∞
Dari tabel tersebut menyatakan bahwa semakin besar n, maka probabilitas keluar gambar makin
mendekati angka setengah (0,5). Maka P(X1) = 0,5 untuk n mendekati tak terhingga (n → ∞), artinya
0,5 merupakan nilai limit.

7. Kejadian/Peristiwa
Suatu eksperimen dilakukan pelemparan uang logam sebanyak 2 kali; kemungkinan hasilnya (ruang
sampel);
BB BḆ ḆB ḆḆ
Ruang sampel adalah himpunan hasil eksperimen. Suatu himpunan (set) merupakan kumpulan yang
lengkap atas elemen-elemen sejenis, tetapi dapat dibedakan satu sama lain berdasarkan
karakteristiknya. Dalam statistik, himpunan (set) disebut populasi, dan himpunan bagian (subset)
disebut sampel.
Pelemparan uang logam sebanyak 3 kali, maka ruang sampel (S = BBB, BBḆ, BḆB, ḆBB, ḆḆB,
ḆBḆ, BḆḆ, ḆḆḆ. Bila X = jumlah gambar yg muncul (B), dimana X = (0, 1, 2, 3) maka distribusi
probabilitas;
1 2 3 4
X ƒ ƒr = P(X)
0 1 1/8 (= 0,125)
1 3 3/8 (= 0,375)
2 3 3/8 (= 0,375)
3 1 1/8 (= 0,125)
0 1 2 3 X
P(X)
1/8
3/8
Grafik Distribusi ProbabilitasTabel Frekuensi dan Distribusi Probabilitas

8. Himpunan
Apabila S adalah himpunan, maka obyek yang terkandung didalamnya dinamakan anggota atau
elemen.
Diskrit: S =(x : x = 0, 1, 2, 3) (nilai berupa kumpulan beberapa titik)
Kontinu: S = (x: 0 ≤ x ≤ 1) (nilai berupa garis, seluruh titik)
Komplemen suatu kejadian, misal S adalah ruang sampel (himpunan dari hasil eksperimen), A
adalah himpunan bagian dari S, dan Ā adalah komplemen dari A atau semua anggota S yang bukan
anggota A.
Interseksi dua kejadian, misal A dan B (A ∩ B) adalah terdiri dari elemen anggota S yang selain
mempunyai sifat atau ciri A juga B atau selain anggota A juga anggota B.
Union dua kejadian, misal A atau B (A U B) atau A + B merupakan himpunan bagian S yang terdiri
dari elemen-elemen anggota S yang menjadi anggota A saja, B saja, atau menjadi anggota A dan B
sekaligus.

9. Aturan Dasar Probabilitas
Aturan Penjumlahan
 Kejadian saling meniadakan/saling lepas (aturan penjumlahan khusus), kejadian dimana jika
sebuah kejadian terjadi, maka kejadian yang kedua tidak akan terjadi (mutually exclusive event).
Jika A telah terjadi maka kejadian B tidak akan terjadi. Misal, pelemparan sebuah dadu.
P(A atau B) = P(AUB) = P(A) + P(B) atau (A ∩ B) = ϕ
 Kejadian tidak saling meniadakan, seringkali suatu eksperimen bersifat tidak saling meniadakan
artinya kejadian bisa terjadi pada kedua kondisi.
P(A atau B) = P(AUB) = P(A) + P(B) - (A ∩ B)

10. Kejadian saling meniadakan/saling lepas
Sebuah mesin otomatis pengisi campuran sayuran pada sebuah paket kantong plastik. Meskipun demikian,
terdapat variasi berat yg disebabkan oleh variasi ukuran sayuran. Ada paket yang lebih ringan, sedang, dan
lebih berat. Dilakukan pengecekan thd 4000 paket, dengan hasil sbg berikut:
Berat Kejadian Jml Paket Probabilitas
Lebih ringan A 100 0,025
Standar B 3600 0,900
Lebih berat C 300 0,075
Jumlah 4000 1,000
Hitunglah probabilitas bahwa sebuah paket tertentu beratnya akan lebih ringan atau lebih berat?
P(A atau C) = P(A U C) = P(A) + P(C) = 0,025 + 0,075 = 0,10
Kejadian tidak saling meniadakan
Dinas Pariwisata Kabupaten Jember melakukan survey pengunjung wisata di wilayah Kecamatan Ambulu.
Maka dipilih 200 pengunjung, dengan rincian 120 berkunjung ke Watu Ulo saja, 100 berkunjung ke Pantai
Papuma saja, dan 60 berkunjung di kedua tempat tersebut. Hitung probabilitas seorang wisatawan terpilih
telah mengunjungi Watu Ulo atau Pantai Papuma.
P(W Ulo atau P Papuma) = P(W Ulo) + P(P Papuma) – P(W Ulo dan P Papuma)
= 120/200 + 100/200 – 60/200
= 0,80

11. Aturan Perkalian
 Kejadian tak bebas (dependent event), merupakan probabilitas bersyarat yaitu probabilitas terjadinya
kejadian A dgn syarat bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi (conditional probability) atau P(A/B).
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
P(A ∩ B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)
 Kejadian bebas (independent event), merupakan kejadian terjadi dimana kejadian tidak saling
mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas, apabila kejadian A tidak mempengaruhi B,
dan sebaliknya.
P(A ∩ B) = P(A).P(B) = P(B).P(A)
 Probabilitas Marginal, suatu kejadian terjadi bersamaan dengan kejadian lainnya, dimana kejadian
lainnya tersebut mempengaruhi terjadinya kejadian yang pertama.
P(R) = P(S1).P(R/S1) + P(S2).P(R/S2)

12. Kejadian tak bebas (dependent event)
Pengambilan scr acak 2 kartu berturut-turut dari suatu set kartu bridge. Berapa probabilitas pengambilan
kartu pertama berupa kartu As dan kedua juga kartu As. Hasil pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi
(without replacement), dan hasil pengambilan kedua dipengaruhi hasil pengambilan pertama.
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)
= 4/52 . 3/51
= 0,0045
Kejadian bebas (independent event)
Pengambilan 2 lembar kartu berturut-turut scr acak dr set kartu bridge. Sebelum pengambilan kedua, hasil
pengambilan pertama dikembalikan (with replacement), shg hasil pengambilan pertama tidak mempengaruhi
hasil pengambilan kedua. Probabilitas pengambilan kartu pertama kartu As dan kedua juga kartu As.
P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
= 4/52 . 4/52
= 0,0059
Terdapat 3 pabrik baterai, dengan produksi mingguan pabrik pertama (S1) 500, pabrik kedua (S2) 2000, dan
pabrik ketiga (S3) 1500. Diketahui probabilitas baterai rusak pada pabrik pertama P(R/S1) = 0,020, pabrik
kedua P(R/S2) = 0,015, dan pabrik ketiga P(R/S3) = 0,030. Probabilitas baterai yg dipilih scr acak rusak.
P(R) = P(S1) P(R/S1) + P(S2) P(R/S2) + P(S3) P(R/S3)
= (500/4000). 0,020 + (2000/4000). 0,015 + (1500/4000) . 0,030
= 0,0213

13. Rumus Bayes
Thomas Bayes mengembangkan teori untuk menghitung probabilitas tentang sebab-sebab terjadinya
suatu kejadian berdasarkan pengaruh yang dapat diperoleh sebagai hasil observasi (Bayesian
decision theory), yaitu teori keputusan berdasarkan perumusan Bayes yang bertujuan untuk
memecahkan masalah pembuatan keputusan yang mengandung ketidakpastian (decision making
under uncertainty).
P(Ai/A) = [P(Ai).P(A/Ai)] / Σ (PAi).P(A/Ai)
= P(Ai) P(A/Ai) / P(A)
Terdapat 3 pabrik baterai, dengan produksi mingguan pabrik pertama (S1) 500, pabrik kedua (S2) 2000, dan
pabrik ketiga (S3) 1500. Diketahui probabilitas baterai rusak pada pabrik pertama P(R/S1) = 0,020, pabrik
kedua P(R/S2) = 0,015, dan pabrik ketiga P(R/S3) = 0,030. Probabilitas baterai yg dipilih scr acak rusak dr
pabrik pertama, dr parik kedua, dan dr pabrik ketiga.
P(S1/R) = [P(S1) . P(R/S1)] / P(R) P(S2/R) = [P(S2) . P(R/S2)] / P(R)
= [(500/4000) . 0,020] / 0,0213 = [(2000/4000) . 0,015] / 0,0213
= 0,117 (baterai rusak dr pabrik pertama) = 0,352 (baterai rusak dr pabrik kedua)
P(S3/R) = [P(S3) . P(R/S3)] / P(R)
= [(1500/4000) . 0,030] / 0,0213
= 0,528 (baterai rusak dr pabrik ketiga)
k
i=1