1. Gráficos Existenciales Gama en Color
y Algunos Sistemas de Lógica Modal
Leonardo Jiménez Moscovitz
ljmoscovitz@math.com
Trabajo de Grado para Optar por
el Título de Matemático
Director: Schweitzer Rocuts
Matemático Universidad Nacional de Colombia
Candidato a M.Sc. de la Universidad Nacional
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
Facultad de Matemáticas
27 de junio de 2003

2. Resumen
Se presenta una breve introducción al cálculo proposicional clásico y
a algunas lógicas modales proposicionales estándar, y luego se explican
los conceptos básicos de los gráficos existenciales alfa y gama en color. A
partir de estos elementos se establecen las reglas de un sistema gama en
color y se muestra su equivalencia con el sistema de lógica modal S5.
Tinctured existential graphs and some systems of classical modal logic:
A short introduction to classical propositional calculus and classical propositional modal logic is presented and then the basics of alpha and tinctured
existential graphs are explained. Based on these elements, a set of rules
for a tinctured gamma system are developed, as well as its equivalence
with the S5 system of classical modal logic.
2

3. Índice General
Introducción
4
1 Preliminares
1.1 Sistemas Deductivos . . . . . . . . . .
1.2 Cálculo Proposicional Clásico . . . . .
1.3 Lógicas Modales Proposicionales . . .
1.3.1 Semántica de Mundos Posibles
1.3.2 Sistema K . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Sistema T . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Sistema S4 . . . . . . . . . . .
1.3.5 Sistema S5 . . . . . . . . . . .
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2 La Lógica Gráfica de Peirce
2.1 Sistema Alfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Equivalencia entre Alfa y Cálculo Proposicional . . . .
2.2.1 Traducción entre Alfa y el cálculo proposicional
2.2.2 La base de Alfa en el sistema de Rosser. . . . .
2.2.3 La base del sistema de Rosser en Alfa. . . . . .
2.3 Sistema Gama en Color. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Equivalencia entre Gama Color y S5 . . . . . . . . . .
2.4.1 Función de Traducción. . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 La Base de Gama Color en el sistema S5. . . .
2.4.3 La Base del Sistema S5 en Gama Color. . . . .
2.5 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Conclusiones
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3

4. Introducción
En medio de la inmensa y muy variada obra de Charles Saunders Peirce aparecen
muy importantes aportes a la matemática y, en particular, a la lógica matemática, como la distinción de deducibilidad e implicación a través de un teorema de
la deducción, la teoría de cuantificadores y formas normales y el desarrollo del
cálculo de predicados, entre muchos otros trabajos de gran relevancia. En particular en sus aportes a la lógica aparece un constructo mucho más robusto
que comprende la lógica o semiótica universal, las tres categorías generales, la
máxima pragmática, el vaivén evolutivo entre determinación e indeterminación
y la clasificación de las ciencias [Zal01][Oos01]. En medio de su obra aparece lo
que Peirce consideró su obra maestra: los gráficos existenciales, con los cuales
se realizan deducciones formales de forma visual y los cuales son ejemplo nítido
de su constructo filosófico.
Los gráficos existenciales, que corresponden a la versión evolucionada de
varias propuestas al respecto, son presentados por Peirce en tres niveles, a decir,
los gráficos Alfa, Beta y Gama que equivalen respectivamente al cálculo proposicional, de predicados relacional de primer orden y algunos sistemas modales.
Además los gráficos gama, cuya presentación quedó inconclusa, permiten versiones del cálculo clásico de segundo orden y representaciones del metalenguaje.
El lenguaje usado por Peirce para sus gráficos comprende en las versiones
Alfa y Beta, la hoja de aserción, las letras para simbolizar proposiciones o
predicados, las líneas de cortadura e identidad para simbolizar la negación y el
cuantificador existencial. En la versión Gama se extiende este lenguaje con una
línea de identidad punteada o resaltada, y en el caso de lógicas modales, una
línea de cortadura punteada o color para simbolizar alguna modalidad.
Aunque se dispuso de toda la bibliografía anotada al final, la mayor parte
del trabajo se ha basado en la tesis doctoral de Jay Zeman “The Graphical Logic
of C. S. Peirce” que hace extensivos análisis a los sistemas Alfa, Beta y Gama
Punteado.
En capítulo 1 se hace una breve presentación, sintáctica y semántica, del cálculo proposicional clásico y los sistemas modales K, T, S4 y S5. En el capítulo
2 se muestran los gráficos existenciales Alfa y Gama a Color y la equivalencia
entre el cálculo proposional y el sistema modal S5, respectivamente. En la última parte del trabajo se hace alusión a algunas de las exploraciones llevadas a
cabo en desarrollo del trabajo.
Se han utilizado, tal como en las obras referenciadas de Hughes y Cresswell,
los signos “⊃ ” para la implicación material, “−→ ” para significar “se deriva
que”, y el signo “`L ” para significar “se concluye que” en una lógica deductiva
L, escribiendo simplemente ` si el sistema lógico es obvio.
En cuanto a la presentación de este documento, realizado como proyecto
de grado, se han seguido las normas de la AMS, omitiéndose algunas de ellas
para no sacrificar la claridad del mismo, especialmente en el tratamiento de los
gráficos existenciales y las figuras.
4

5. 1
1.1
Preliminares
Sistemas Deductivos
En lógica matemática los sistemas deductivos o lógicas generalmente se estudian bajo dos perspectivas fundamentales, sintaxis y semántica, con lo cuál se
persigue caracterizar los argumentos y verdades de este sistema. El estudio sintáctico percibe al sistema como una colección de símbolos y reglas precisas de
formación de objetos del sistema, acompañadas de reglas de manipulación de
tales objetos, lo que brinda una visión de sus propiedades estructurales, mientras que el estudio semántico del sistema confronta al sistema con universos
interpretantes donde cobra sentido la noción de verdad o validez.
Más precisamente, los elementos sintacticos básicos con que se define un sistema deductivo formal son: Un alfabeto, reglas de formación, reglas de
transformación, axiomas y definiciones. El alfabeto es un conjunto no
vacio de símbolos; las reglas de formación permiten la obtención del lenguaje
del sistema a través de la correcta construcción sus elementos, los cuales se denominan fórmulas bien formadas (fbf) o simplemente las fórmulas del sistema.
Se pide que el conjunto de fórmulas del sistema sea decidible, es decir, debe ser
posible utilizando algún algoritmo de verificación, si una cadena es una fbf o
no. Las reglas de transformación dan movimiento al sistema y permiten obtener relaciones entre los componentes de cada regla. Los axiomas y definiciones
son fórmulas bien formadas que son el punto de inicio del movimiento del sistema a través de las reglas de transformación. Lás fórmulas resultantes de este
movimiento son los teoremas del sistema deductivo.
En cálculo proposicional clásico, el alfabeto consta de símbolos de proposiciones, conectivos y parentesis, mientras que el cálculo de predicados clásico
consta de símbolos de variables, constantes y predicados, paréntesis, conectivos
y cuantificadores además del símbolo de igualdad. Las reglas de formación en
estos calculos permiten la construcción univoca de una fórmula, es decir su
descomposición única en fórmulas más sencillas. Las reglas de precedencia de
los conectivos en la notación infija de la lógica clásica no evitan por sí mismas la ambiguedad, por lo cual se hace uso extensivo de paréntesis en casos
donde se pueda presentar esta situación. La notación polaca, desarrollada por
Łuckasiewics, no require del uso de paréntesis.
El estudio semántico del sistema deductivo comprende las interpretaciones
o valoraciones que se da a las fórmulas del mismo, con lo que entonces, la
semántica proporciona una justificación intuitiva a los procedimientos deductivos. En cálculo proposicional clásico se asigna una función -llamada función
de valuación- a cada conectivo lógico, y el valor que tome depende del valor de
las proposiciones a las cuales conecta. Es así como se construyen las tablas de
verdad para los conectivos, y un conectivo que posee esta propiedad se le llama
funcional de verdad. No todos los conectivos lógicos tienen esta propiedad,
ya que los conectivos modales no son conectivos funcionales de verdad. Una fbf
se dice válida o que es una tautología, si es verdadera para toda valuación
definida en las variables o constantes que la conformen.
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6. 1.2
Cálculo Proposicional Clásico
Se puede establecer un sistema de cálculo proposicional clásico a partir de la
siguiente base axiomática:
Definición 1.1 (Alfabeto) Conjunto enumerable de símbolos que consta de
los siguientes elementos:
1. Letras proposicionales: p, q, r, ..., p1 , p2 , ...
2. Dos conectivos proposicionales primitivos: Conectivo unario ¬ (negación),
y conectivo binario ∧ (Conjunción).
3. Paréntesis, izquierdo y derecho: ( y )
4. Conectivos proposicionales no primitivos: ∨, ⊃, ≡ .
Definición 1.2 (Conectivos no Primitivos) Sean α y β fbfs. A partir de
los conectivos primitivos, se definen los siguientes conectivos binarios:
1. (∨) Disyunción. α ∨ β ≡ ¬(¬α ∧ ¬β)
2. (⊃) Implicación material. α ⊃ β ≡ ¬(α ∧ ¬β), donde α es el antecedente
y β el consecuente.
3. (≡) Equivalencia. (α ≡ β) ≡ (α ⊃ β) ∧ (β ⊃ α)
Regla 1.1 (Reglas de formación de fbfs) Una cadena de símbolos es una
fbf si se obtiene mediante la aplicación de una de las siguientes reglas:
1. Las letras proposicionales son fbfs.
2. α es una fbf, entonces ¬(α) es una fbf.
3. α y β son fbfs, entonces (α) ∧ (β) es una fbf.
4. Nada más es una fbf.
Axioma 1.1 (Rosser 1) p ⊃ p ∧ p
Axioma 1.2 (Rosser 2) p ∧ q ⊃ p
Axioma 1.3 (Rosser 3) (p ⊃ q) ⊃ (¬(q ∧ r) ⊃ ¬(r ∧ p))
Regla 1.2 (Sustitución Uniforme) Sean α, β fbfs de P r, con α una tautología que contiene la variable p. Si α0 = α(p/β), esto es, α0 es la fórmula
que resulta de sustituir en α, todas las ocurrencias de p por β , entonces α0
tautología.
Regla 1.3 (Modus Ponens o Regla de Separación) Si se tiene α y (α ⊃
β) entonces ` β
6

7. Al conjunto de axiomas y teoremas de una lógica L se le llamarán las tesis de
L. La selección de los tres axiomas de Rosser bien se hubiera podido sustituir por
otro conjunto mínimo de axiomas que permitieran que el sistema fuera completo
y consistente. Los tres axiomas suministrados forman la base del Sistema de
Rosser (Pr ). Las dos reglas de inferencia del sistema lógico son las que le
proporcionan los mecanismos deductivos.
En el proceso deductivo, un conjunto de premisas premisa Γ es un conjunto
de fbf de las cuales se quieren obtener deducciones.
Definición 1.3 (Deducción Formal) Dado una lógica L, una sucesión finita
de fbfs α1 , a2 , ..., an de L se llama deducción formal, si para todo ai , 1 ≤ i ≤ n,
se tiene una de las condiciones siguientes:
1. ai es un axioma, ó
2. ai se obtiene a partir de alguna de las fbfs anteriores (a1 , ..., ai−1) mediante
la aplicación de una de las reglas de inferencia del sistema.
Se dice entonces que la sucesión α1 , α2 , ..., αi−1 es una prueba de αi y se
escribe α1 , α2 , ..., αi−1 ` αi o Γ ` αi . Si Γ = φ se dice que αi es un teorema.
Teorema 1.1 (Deducción) Sea Γ un conjunto posiblemente vacío de premisas.
Si Γ, α ` β, entonces Γ ` α ⊃ β
Luego si α1 , α2 , ..., αi−1 ` αi entonces α1 ⊃ (α2 ⊃ (... ⊃ (αi−1 ⊃ αi )...)) es
un teorema, por aplicación reiterada del teorema de la deducción.
Si P es un conjunto de letras proposicionales, una valuación de P es una
función v : P −→ Ω, donde Ω es un conjunto de elementos distintos llamados
valores de verdad. Para la lógica clásica bivaluada Ω = {V, F } . Gracias a las
reglas de formación se permite extender de manera natural una valuación v a
¯
una función v en el conjunto =(P ) de las fórmulas cuyas letras proposicionales
estan en P , así:
¯
1. v [α] = v [α] si α ∈ P
¯
¯
2. v [¬α] = 1 − v [α]
¯
v
¯
3. v [α ∧ β] = Min(¯ [α] , v [β])
¯
v
¯
4. v [α ∨ β] = Max(¯ [α] , v [β])
¯
¯
¯
5. v [α ⊃ β] = Max(1 − v [α] , v [β])
Definición 1.4 (Tautología) Se dice que una fórmula α es una tautología, o
que es válida, y se denota ² α, si v [α] = V para toda valuación definida en las
¯
variables proposicionales que la conforman. Si α es una tautología en una lógica
L, se denota ²L α.
Teorema 1.2 (Validez) Si `L α entonces ²L α. En una lógica L, todo teorema es una tautología.
7

8. Teorema 1.3 (Completitud) Si ²L α entonces `L α. En una lógica L, toda
tautología es demostrable.
Definición 1.5 (Consistencia) Sea Γ una colección de fbfs de una lógica L.
Se dice que Γ es consistente si no existe α tal que Γ `L α y Γ `L ¬α. Si Γ no
cumple esta condición, se dice que es inconsistente.
Afirmaciónt 1.1 El sistema de Rosser, Pr , es consistente y completo.
Son muchos los patrones que se han identificado y estudiado en cada una de
los sistemas lógicos. Uno de ellos, y de particular interés en las demostraciones
que se harán en el siguiente capítulo, tienen que ver con la paridad de la cantidad
de negaciones que afectan una subfórmula dentro de una fórmula.
Definición 1.6 (Posición antecedente y consecuente) Sea P una subfórmula de una fórmula Q de Pr . Se dice que P está en posición antecedente y
se escribe QA (P ) para la fórmula completa, sii la ocurrencia de la subfórmula
P está bajo el alcance de un número impar de negaciones. En caso contrario,
se dice que P está en posición consecuente y se escribe QC (P ) para la fórmula
completa, esto es, sii la ocurrencia de P está bajo el alcance de un número par
de negaciones.
Con esta definición, Zeman establece los siguientes lemas, muy utiles en el
estudio del cálculo proposicional clásico, y cuya demostración se encuentra en
[Zem64]:
Lema 1.1 Si `L QA (P ) y `L R ⊃ P entonces también `L QA (R)
Lema 1.2 Si `L QC (P ) y `L P ⊃ R entonces también `L QC (R)
En palabras, el primero de estos dos lemas dice que si se concluye que P está
en posición antecedente, y que se tiene que otra fórmula R implica a P, entonces
R también está en posición antecedente. Y análogamente para el segundo lema,
con la posición consecuente.
Recordando que en la lógica es común el uso de esquemas, esto es, de expresiones que contienen identificadores que representan expresiones, algunas demostraciones utilizarán un esquema muy particular [Zem64].En ciertos casos es
conveniente utilizar, dentro del metalenguaje de la lógica, la variable functor
que se denotará por δ(p), y que es un esquema que representa cualquier función de verdad de su argumento p. La variable functor permite caracterizar de
manera abreviada, diferencias o similitudes entre fórmulas.
1.3
Lógicas Modales Proposicionales
Las lógicas modales incorporan en su léxico nuevos conectivos para calificar
la verdad de un juicio sobre una proposición. Diferentes conectivos y diferentes interpretaciones de cada conectivo conducen a sistemas lógicos diferentes.
Mientras que en el cálculo proposicional clásico, a cada uno de los conectivos
8

9. se les puede asignar una función de verdad, en las lógicas modales se trabaja
con conectivos adicionales a los cuales no se les puede asignar una función de
verdad.
Una lógica modal muy importante incluye los conectivos modales dos nuevos
conectivos modales: ♦ que se interpretan como “posibilidad”, y ¤ que se interpreta como “necesidad”. Existen variadas interpretaciones de este par de
símbolos, que han llegado a convertirse en lógicas modales particulares; cada
una de ellas conserva el calificativo de “modal” porque expresan modos o maneras en que una proposición puede ser verdadera. La lógica modal es el estudio
del comportamiento deductivo de expresiones “es necesario que” y “es posible
que” que utilizan los signos ¤ y ♦ respectivamente. Las lógicas modales que
trabaja con base en esta interpretación recibe el nombre genérico de alethic
logics, que en algunas publicaciones se ha traducido como “lógicas aléticas”.
1.3.1
Semántica de Mundos Posibles
Dado que no hay tablas de verdad para expresiones que utilizan conectivos
modales, Kripke [Gol02] desarrolló un procedimiento formal que permite establecer la verdad o falsedad de una expresión modal. Se requieren las siguientes
definiciones [HC96]:
Definición 1.7 (Marco) Un marco para la lógica modal proposicional es un
par F = (W, R) donde W es un conjunto no vacío, llamado dominio, dotado
de una relación binaria R sobre elementos de W.
A los elementos de W se les llama mundos posibles. Si se tiene un marco
F = (W, R) donde W = {w1 , w2 , ...wi ...}, entonces entre dos mundos wi , wj de
W decimos que existe una relación de accesibilidad y se denota R(wi , wj ).
Por tanto R es subconjunto de W ×W. Si R(wi , wj ) se dice que wj es R-accesible
para wi .
Notación 1.1 El valor de verdad de una sentencia atómica p, en el mundo w,
dado por una valuación V se escribe V (p, w).
Definición 1.8 (Modelo) Un modelo Φ para un marco es una terna M =
(W, R, V ), donde W es el conjunto de mundos posibles, V : Φ −→ 2W , y R es
una relación entre mundos de W .
Por lo tanto, un modelo es un marco dotado de una función de valuación.
V es una función que asigna a cada fórmula atómica p de LM un subconjunto
V (p) de W. Se puede ver a V (p) como el conjunto de mundos en los cuales p es
verdadero, esto es V (p, w) = T .
Las definiciones siguientes describen la validez de una fórmula dependiendo
del contexto donde se considere.
Notación 1.2 Si se tiene el modelo M = (W, R, V ) se escribe (M, w) ² p para
denotar que la fórmula atómica p se cumple en el mundo w de W en M, esto
es: V (p, w) = T.
9

10. Definición 1.9 (Fórmula Verdadera) Si se tiene un modelo M = (W, R, V ),
se dice que una fórmula α es verdadera en el mundo w del modelo M, si se
cumple [RW01]:
1. (M, w) ² p sii w ∈ V (p), donde p es una fórmula atómica.
2. (M, w) ² ¬α sii ¬(M, w) ² α.
3. (M, w) ² α ∧ β sii (M, w) ² α y (M, w) ² β.
4. (M, w) ² ¤α sii para todo wi en W , si R(w, wi ) entonces en (M, wi ) ² α.
5. (M, w) ² ♦α sii existe un wi en W tal que R(w, wi ) y (M, wi ) ² α.
La condición 4 dice que una proposición α es necesariamente verdadera, si
cumple que α es verdadera en todo mundo wi que sea R-accesible desde el mundo
actual. Y lo contrario, que si en todo mundo wi al que se puede acceder desde w,
se tiene que α es verdadera, entonces α es una verdad necesaria. La condición
5 dice que α es posiblemente verdadera debe existir al menos un mundo wi ,
R-accesible desde w, donde α es verdadera. Y recíprocamente.
La noción de verdad aquí expresada es local, ya que las fórmulas son evaluadas en algún mundo particular w, aún para los conectivos modales, ya que
para ♦ y ¤, se observa que el valor de estos operadores depende de los mundos posibles R-accesibles desde el mundo actual y no mediante una verificación
en todos los mundos posibles. Las siguientes definiciones son importantes para
determinar el contexto de las afirmaciones en lógica modal:
Definición 1.10 (Validez - en un mundo) Una fórmula α es válida en un
mundo w de un marco F, si α es verdadera en w para cada modelo M basado
en F. Se denota (F, w) ² α.
Definición 1.11 (Validez - en un marco) Una fórmula α es válida en un
marco F, si es válida en cada mundo wi de W en F.
Definición 1.12 (Consecuencia semántica local) Sea S una clase de modelos (o una clase de marcos). Sea Σ un conjunto de fórmulas modales y A
una fórmula. Se dice que A es una consecuencia semántica de Σ sobre S, y se
denota por Σ ²S A si para todos los modelos M de S y para todos los mundos
w en M, si (M, w) ² Σ entonces (M, w) ² A.
Definición 1.13 (Consecuencia semántica global) Sea S una clase de modelos o una clase de marcos. Sea Σ un conjunto de fórmulas modales y A una
fórmula. Se dice que A es una consecuencia semántica global de Σ sobre S, y se
denota por Σ ²g A si para todos los modelos M de S o para todos los marcos
S
F de S, si S ² Σ entonces S ² A.
Se han desarrollado métodos para realizar las pruebas de validez de una
expresión, que indican si una expresión es válida y en que marcos: [HC96]
y [Sie02]; su presentación se omite en el presente trabajo por ser demasiado
10

11. extensa. La definición siguiente, establecida por Lemmon y Scott en el año
1977, se ofrece como una herramienta rápida para establecer la correspondencia
entre algunos axiomas y el marco en que son válidos, y funciona para lógicas que
extienden al sistema K (apartado 1.3.2) con axiomas de una forma específica
[LS77]:
Definición 1.14 (Convergencia-hijk) Si se tiene un axioma de la forma
♦h ¤i p ⊃ ¤j ♦k p, la condición de los marcos que le corresponde, de acuerdo con los valores de h, i, j y k, viene dada por Rh (w, v) ∧ Rj (w, u) −→
∃x(Ri (v, x) ∧ Rk (u, x)), donde R0 es la relación identidad, y cada R se puede
componer, de tal manera que Rn = R ◦ R ◦ ... n veces.
Para establecer el marco en el que es válido un determinado axioma de la
forma mencionada, se toma ♦h ¤i p ⊃ ¤j ♦j p, y se dan valores a h, i, j, y k de
tal manera que quede tal como el axioma a demostrar, teniendo en cuenta que
♦0 indica que no hay ocurrencias de ♦ en el axioma, e igualmente para ¤. Los
valores h, i, j, y k obtenidos se reemplazan en la expresión de las relaciones, y
donde aparece R0 (w, v) se coloca w = v. Al final se obtiene la relación buscada.
En el ejemplo 2.1 aparece una aplicación. Es conveniente en todo caso realizar
las pruebas de validez para el resultado obtenido, tal como en [HC96].
Los conectivos modales que se utilizarán en el resto del trabajo, la interpretación que se les da, las reglas de inferencia y axiomas que se tomarán como
punto de partida definen lo que se llama una lógica normal.
Definición 1.15 (Lógicas Normales) Una Lógica LN se denomina normal
si contiene todas las tautologías del cálculo proposicional (CP), contiene los
esquemas:
a. ¤(p ⊃ q) ⊃ (¤p ⊃ ¤q)
b. ¤ ≡ ¬♦¬
y es cerrada bajo las siguientes reglas:
a. Modus Ponens (M P )
b. Sustitución Uniforme (SU )
c. Regla de Necesidad: si `CP α −→²LN ¤α
Las lógicas normales forman una importante familia de lógicas que tienen
en común estas especificaciones. A la más débil de todas las lógicas normales
se se le llama sistema K., y se utiliza como base para contruir otros sistemas
modales normales.
A continuación se expondrán los sistemas K, T, S4 y S5. Los teoremas
más importantes de cada uno de estos sistemas, así como sus demostraciones,
se puede encontrar en [HC96] por ejemplo. Los conectivos ¤ y ♦ serán aquí
siempre interpretados como en la página 9.
11

12. 1.3.2
Sistema K
A la lógica normal más pequeña se le llama sistema K, en honor a Kripke. Es
el sistema modal mínimo en el sentido de que sus axiomas son válidos en todos
los marcos, lo que lo convierte en el menos restrictivo de los sistemas normales.
El sistema K se define formalmente así:
Símbolos Primitivos
• Los símbolos del Cálculo Proposicional son símbolos válidos de K.
• Conectivo monádico ♦.
Definición 1.16 (Necesidad) ¤ := ¬♦¬
Axioma 1.4 si `CP α −→²K α. Es decir, si α es una fbf válida o Teorema
del CP, entonces α es un Teorema en K
Axioma 1.5 (Axioma K) ¤(p ⊃ q) ⊃ (¤p ⊃ ¤q)
Regla 1.4 (CP) Una regla de transformación válida en CP es también válida
en K.
Regla 1.5 (Modus Ponens) Si α y α ⊃ β son teoremas, β es un teorema.
Regla 1.6 (Necesidad) Si α es un teorema del CP, ¤α es un teorema de
K.
Los teoremas más importantes que se encuentra en el sistema K son:
Teorema 1.4 (K1) ¤(p ⊃ q) ≡ (¤p ⊃ ¤q)
Teorema 1.5 (K2) (¤p ∨ ¤q) ⊃ ¤(p ∨ q)
Es importante verificar que el converso de K2 no es un teorema.
Teorema 1.6 (K3) ♦(p ∨ q) ≡ (♦p ∨ ♦q)
Teorema 1.7 (K4) ♦(p ⊃ q) ≡ (¤p ⊃ ♦q)
1.3.3
Sistema T
El sistema T se define con base en el sistema K, con la adición de un axioma
adicional
Axioma 1.6 (Axioma T o Axioma de Necesidad) ¤α ⊃ α
Regla 1.7 si `K α −→`T α. Es decir, todo teorema de K es teorema de T.
12

13. El sistema T contiene al sistema K, lo cual se expresa como T = K+Axioma
T . El axioma T es muy importante en la diferenciación de las lógicas modales
respecto de otras lógicas en la familia de lógicas modales.
Algunos teoremas de T que no son teoremas en K son:
Teorema 1.8 (T1) p ⊃ ♦q
Teorema 1.9 (T2) ♦(p ⊃ ¤p)
Teorema 1.10 (T3) ¤(p ∧ q) ≡ (¤p ∧ ¤q)
El sistema T es válido en todo marco F = (W, R) en el cual se cumpla que
para todo mundo wi de W, se tiene que R(wi , wi ), es decir, en todos los marcos
reflexivos. El proceso detallado de verificación de los marcos en que es válido
un sistema se puede encontrar en [HC96].
El sistema T, al igual que el K, es débil para formalizar de manera correcta
la lógica de la necesidad y la posibilidad. Por este motivo, se idearon nuevos axiomas que reflejaran propiedades importantes de estos conectivos que conducen
entre muchos otros, a S4 y S5, que son los sistemas de más utilizados.
1.3.4
Sistema S4
La base de S4 es la misma base de T, con la adición del siguiente axioma:
Axioma 1.7 (Axioma 4) ¤α ⊃ ¤¤α
Como este sistema contiene al sistema T, usualmente se expresa como S4 =
T + Axioma 4. Algunos teoremas de S4 son:
Teorema 1.11 ¤¤α ≡ ¤α
Teorema 1.12 ♦♦α ≡ ♦α
Teorema 1.13 ¤♦¤♦α ≡ ¤♦α
Teorema 1.14 ♦¤♦¤α ≡ ♦¤α
Entonces, lo que expresa el axioma 4 es que si una fórmula tiene una cadena
¤n , toda la cadena se puede reemplazar por una cadena con menor cantidad de
conectivos ¤, o solo con uno. Análogamente sucede para cadenas ♦n . Más aún,
tal como sugieren los teoremas S4-3 y S4-4, la iteracion de modalidades de la
forma (¤♦)n o (♦¤)n se pueden simplificar, hasta dejar un solo patron. Antes
de generalizar estos resultados en S4 se requieren las siguientes definiciones.
Definición 1.17 (Modalidad) Una modalidad es una sucesión contínua de
cero o más conectivos monádicos ¬, ¤, ♦. Cuando se tienen cero conectivos en
la cadena, se denota por “−”.
13

14. Si la modalidad está expresada de tal manera que no contiene negaciones, o
sólo contiene una negación al principio de la cadena, se dice que está en forma
estándar, y que en el primer caso es una modalidad positiva y en el segundo
una negativa. Si la modalidad contiene dos o más conectivos modales, se dice
que es una modalidad iterada [HC73].
Dos modalidades A y B se dicen equivalentes en un sistema dado. si el
resultado de reemplazar A por B o B por A en cualquier fórmula del sistema,
es siempre equivalente a la fórmula original. Si A y B son equivalentes en un
determinado sistema, y A contiene menor cantidad de operadores modales, se
dice que B es reducible a A.
Teorema 1.15 (Modalidades en S4) Cualquier modalidad en S4 es equivalente a una de las siguientes modalidades:
¬
¤
¬¤
♦
¬♦
¤♦
¬¤♦
♦¤
¬♦¤
¤♦¤ ♦¤♦
¬¤♦¤ ¬♦¤♦
Por lo tanto, en S4 se tienen 14 modalidades diferentes. Cualquier otra
modalidad debe ser equivalente a una de las modalidades descritas. Esto también permite describir en detalle las transformaciones posibles que se pueden
dar entre fórmulas de S4.
El sistema S4 es válido en todo marco F = (W, R) que cumpla las siguientes
dos condiciones: F debe ser reflexivo (ya que S4 contiene a T) y transitivo:
F debe cumplir también que, dados wi , wj de W, para todo mundo w de W se
tiene que si R(w, wi ) y R(wi , wj ), se debe tener R(w, wj ).
1.3.5
Sistema S5
La base de S5 es T, con la adición del siguiente axioma:
Axioma 1.8 (Axioma E) ♦α ⊃ ¤♦α
Y se expresa como S5 = T + Axioma E. Algunos teoremas de S5 son:
Teorema 1.16 (S5-1) ¤α ≡ ♦¤α
Teorema 1.17 (S5-2) ♦α ≡ ¤♦α
Teorema 1.18 (S5-3) ¤α ⊃ ¤¤α
Teorema 1.19 (S5-4) ♦(p ∧ ♦q) ≡ (♦p ∧ ♦q)
Teorema 1.20 (S5-5) ♦(p ∧ ¤q) ≡ (♦p ∧ ¤q)
El axioma 4 no es axioma en S5, pero aquí se puede demostrar como teorema,
lo cual constituye una prueba de que S5 contiene a S4. También se puede
demostrar que S4 no contiene el axioma E.
Se observa que así como S4 permite simplificar cadenas con conectivos o patrones de conectivos repetidos, S5 permite un mayor grado de simplificación, ya
que cualquier cadena de conectivos puede reemplazarse por el último conectivo
de la sucesión, esto es:
14

15. • XX...¤ ≡ ¤
• XX...♦ ≡ ♦
Donde cada X en XX... puede representar indistintamente ¤ o ♦.
Teorema 1.21 (Modalidades en S5) Cualquier modalidad en S5 es equivalente a una de las siguientes modalidades:
¬
¤
¬¤
♦
¬♦
Luego en S5 se tienen sólo 6 modalidades diferentes, dentro de las cuales se
tienen las siguientes transformaciones: ¤p ⊃ p ⊃ ♦p y F ⊃ ¬p ⊃ ¬¤p. [Sie02].
Las reglas de reducción de S5 permiten que sea el único de los 4 sistemas revisados, que disponga de una forma normal conjuntiva modal para cualquier
fbf [HC73].
El sistema S5 es válido en todo marco F = (W, R) que cumpla con las
siguientes tres condiciones: F debe ser reflexivo, transitivo y simétrico. Las
dos primeras, por contener a T y S4 respectivamente. La última condición
establece que en todos los marcos F = (W, R) para cada par de mundos wi , wj
de W, se tiene que si R(wi , wj ), se debe tener también R(wj , wi ). A un marco
que cumple con estas tres condiciones se le llama también marco universal,
y la relación de accesibilidad se da entre todos los mundos posibles [Sie02]. Es
uno de los marcos más útiles en la representación adecuada de la lógica de la
“necesidad” y la “posibilidad” bajo diversas interpretaciones.
15

16. 2
La Lógica Gráfica de Peirce
La lógica gráfica de Peirce que en su etapa más desarrollada llamó gráficos
existenciales, se desarrolló como tres sistemas lógicos, con muchas características
en común, y que llamó Alfa, Beta y Gama.
Alfa es un sistema lógico equivalente al cálculo proposicional clásico, y utiliza tres símbolos distintos a partir de los cuales se desarrolla todo el lenguaje:
La hoja de aserción, las letras y el corte. En cuanto a Beta, se ha demostrado
su equivalencia con el cálculo de predicados de primer órden. Utiliza los mismos
elementos del lenguaje que Alfa, e incorpora un símbolo adicional, llamado la
línea de identidad. Gama fue un proyecto que Peirce no alcanzó a concluir, y
del cual realizó diferentes versiones incompletas, con un objetivo común: representar adecuadamente las diversas lógicas modales. Una de las versiones de
Gama, Gama Punteado, introduce el conectivo modal “posiblemente no” mediante la utilización de un corte punteado. La otra versión, llamada Gama Color,
introduce el conectivo modal “posiblemente”, y lo hace rodeando un gráfico
completemente de color.
En cualquier caso, Peirce sugiere [MS514] algunas definiciones y convenciones
que permiten establecer un lenguaje más claro.
Hoja de Aserción (HA). El elemento básico de los gráficos existenciales es
la hoja de aserción, superficie sobre la cual se dibujan los gráficos. Más que
una simple área de dibujo, representa el universo del discurso, el dominio de los
objetos acerca de los cuales se está afirmando alguna proposición como válida.
La HA en blanco representa “la verdad”. Todo lo que se dibuje sobre la HA se
afirma como verdadero.
Gráfico. En [MS514] Peirce define gráfico como “la manera en que una afirmación dada es representada”. Cuando el grafico es dibujado sobre la hoja de
aserción, se tiene lo que Peirce denomina instancia de un gráfico. En otras
palabras, un gráfico es cualquier signo o combinación de signos que exprese en una proposición cualquier estado posible del universo, mientras que al
inscribirlo en una hoja se tiene una instancia de dicho gráfico. Al utilizar la
palabra “gráfico”, siempre se le dará la connotación de gráfico bien formado
(gbf ), cuya definición se dará más adelante de manera formal.
Los gráficos fueron clasificados por Peirce como divisibles, si se pueden descomponer en gráficos más elementales, e indivisibles (o atómicos) si no es posible
esta descomposición. Sobre la HA se utilizarán las letras mayúsculas X, Y, ...
para representar un gbf cualquiera, indivisible o no.
Corte. Es una línea cerrada, como muestra la figura 1 que divide o separa la
superficie de la hoja en dos zonas: una interior al corte y otra exterior a él.
El corte tiene como propósito afirmar que el gráfico que está en su interior
es falso, y se verá que tiene un comportamiento análogo a la negación de la
lógica clásica. Por lo tanto el gráfico anterior niega la verdad de Y. Peirce lo
16

17. Y
Figura 1: El corte que rodea al gráfico Y
llamó también “sep” [MS514] , ya que establece una separación entre interior y
exterior.
Área. Peirce denominó área a la totalidad de una superficie contínua. Dado
que el corte establece una separación sobre la superficie de la hoja de aserción,
entonces el área es toda la superficie que podemos recorrer sin cruzar por un
corte. Si un gráfico α está en el área interior de un corte y otro gráfico β
se encuentra en el área exterior al corte, decimos que α y β se encuentran
separados.
Los gráficos indivisibles deben estar totalmente contenidos en una única área.
Cuando se trabaje con Beta o con el sistema Gama en gráficos que contengan
Líneas de Identidad, se deberán tener en cuenta consideraciones adicionales
([MS514] página 14).
Los gráficos que están yuxtapuestos sobre la misma área forman una conjunción, tal como los gráficos X y Y de la figura 2, donde todo el gráfico se lee
¬(X ∧ Y ) :
X
Y
Figura 2: Yuxtaposición de dos gráficos X y Y.
Lectura e interpretación de un gráfico. En cuanto a la lectura de un
gráfico e interpretación de un gráfico, Peirce establece para los gráficos existenciales que “...la regla de interpretación que necesariamente se sigue de la
diagramación es que el proceso se realiza de afuera hacia adentro...”1 . La lectura e interpretación por lo tanto se realizan de una manera natural, aún en
gráficos complejos.
Es conveniente disponer de un metalenguaje para hablar acerca de los propios
gráficos y de las relaciones entre ellos, el cual será de utilidad en las demostraciones. Este metalenguaje se define así:
Notación 2.1 (Metalenguaje para los Gráficos Existenciales) Como signos del metalenguaje para describir los gráficos existenciales se utilizarán los
1 C.
S. Peirce, MS514, p. 16
17

18. siguientes:
1. gi representa un gráfico indivisible, donde i = 0, 1, 2... y g0 representa la
HA en blanco. El conjunto de todos los gráficos indivisibles del sistema se
llama Mg = {g0 , g1 , ...}. Cada gráfico indivisible posee una relación uno a
uno con los signos g0 , g1 , ...
2. α, β, ... con o sin subíndices representan tanto gráficos atómicos (es decir,
gk ) como divisibles.
3. S(α) es el resultado de rodear el gráfico α por un corte.
4. J(α1 α2 ...αn ) es el resultado de inscribir los gráficos α1 , α2 , ...αn sobre la
misma área.
5. P (α) es el resultado de rodear el gráfico α de color.
6. Rx (β, α) es la notación que indica que al gráfico α se le aplicó una cierta
regla x y se transformó en el gráfico β. La x será reemplazada por la
abreviatura de la regla particular utilizada.
2.1
Sistema Alfa
Las siguientes definiciones, reglas de formación de gbfs, y reglas de transformación, además de un único axioma, permiten definir a Alfa como un sistema
lógico deductivo.
Definición 2.1 (Alfabeto) Conjunto enumerable de símbolos que consta de:
1. Hoja de aserción (HA).
2. Letras proposicionales. p, q, r, ...
3. Corte.
Definición 2.2 (Gráfico bien formado) Un gbf Alfa se obtiene mediante la
aplicación de una de las siguientes reglas:
1. HA en blanco es un gráfico bien formado.
2. Inscribir una letra proposicional en la HA es un gbf.
3. Si α es un gbf, S(α) es un gbf.
4. Si α, β son gbfs, J(α, β) es un gbfs.
5. Nada más es un gbf.
Regla 2.1 (Inserción - Eliminación) La regla de inserción establece que en
un área encerrada bajo número impar de cortaduras, cualquier gráfico puede
ser dibujado. La regla de eliminación establece que de un área encerrada bajo
número par de cortaduras cualquier gráfico puede ser borrado.
18

19. Su representación abreviada en el metalenguaje es Rins para la regla de
inserción y Reli para eliminación. Hay que resaltar que inserción-eliminación no
son procesos inversos el uno del otro, ya que una vez que se inserta un gráfico
bajo impar, no se puede borrar mediante aplicación de la regla de eliminación.
El siguiente es un ejemplo en gráficos existenciales, donde los gráficos A y B se
insertan bajo impar y todas las instancias de W se eliminan bajo par :
W
X
Y
W
W
Z
A
X
Y
W
Rins
B
Z
A
Reli
X
Y
B
Z
Regla 2.2 (Iteración - Desiteración) La regla de iteración permite repetir
cualquier gráfico en la misma área, o en cualquier área bajo un número mayor
de cortaduras encerradas por la misma área. La regla de desiteración nos permite
borrar cualquier copia de un gráfico que pueda deberse a la iteración.
Su representación abreviada en el metalenguaje es Rit para la regla de iteración y Rdit para desiteración. Estos dos procedimientos si son inversos el uno
del otro. Su representación en gráficos existenciales es:
A
X
Y
Z
Rit
A
X
Y
A
A
Z
A
X
Y
Z
Rdit
Regla 2.3 (Doble corte) Un doble corte puede ser insertado o removido de
cualquier área, siempre y cuando la región entre los cortes esté vacía.
Su representación abreviada en el metalenguaje es Rdc para la regla de inserción de doble corte y Redc para eliminación del doble corte. Son procesos
inversos el uno del otro. Con la introducción de estas reglas se completa la
definición del Alfa.
X
Z
X
Rdc
X
Z
Z
Redc
Ya se dispone de reglas para formación de gráficos bien formados, y su representación en metalenguaje. Dado que cada gráfico puede ser representado en
función de los signos de Mg = {g0 , g1 , ...} , y estos pueden ser ordenados, Zeman
establece que se puede seleccionar un ordenamiento de los gráficos y subgráficos
que contiene, tal que a cada gráfico se le puede asociar un único número natural
y viceversa. Como consecuencia, a cada gráfico se le puede asociar una única
representación en metalenguaje, llamada nombre estándar, y es la notación
en la cual la secuencia de elementos que formen parte del argumento de cada
19

20. aparición de una J, están ordenados apropiadamente. La descripción detallada
de los pasos constructivos para obtener el nombre estándar único de cualquier
gbf Alfa se encuentra en [Zem64].
Es conveniente ahora dar una definición más clara de la notación en metalenguaje para las reglas Alfa, de tal manera que sean útiles más adelante en las
demostraciones.
Notación 2.2 (Metalenguaje para reglas de Alfa) Los siguientes son los
signos del metalenguaje para las reglas de Alfa [Zem64]:
1. Rins (β, α): Representa las reglas de inserción de Alfa. Es verdadero sii β
es idéntico a α excepto en que contiene un subgráfico γ bajo número impar
de cortes, el cual no está en α en la posición correspondiente.
2. Reli (β, α): Representa la regla de eliminación de Alfa. Es verdadero sii
Rins (S(α), S(β)) es cierto.
3. Rit (β, α): Representa la regla de iteración de Alfa. Es verdadero sii β es
idéntico a α excepto en que contiene una ocurrencia o instancia adicional
de un subgráfico γ dentro de la misma área bajo el mismo o mayor número de cortes, y esta ocurrencia adicional no está en α en la posición
correspondiente.
4. Rdit (β, α): Representa la regla de desiteración de Alfa. Es verdadero sii
Rit (α, β) es verdadero
5. Rdc (β, α): Representa la regla de inserción de doble corte de Alfa. Es verdadero sii β es idéntico a α excepto en que contiene un subgráfico S(S(γ))
donde en α solo aparece el subgráfico γ.
6. Redc (β, α): Representa la regla de eliminación de doble corte de Alfa. Es
verdadero sii Rdc (α, β) es cierto.
En cálculo proposicional existen conectivos que se pueden derivar de los
conectivos primitivos, igualmente sucede en Alfa. Para el caso de la implicación,
se utiliza α ⊃ β ≡ ¬(α∧¬β), por lo que la implicación material se puede dibujar
como en la figura 3.
P
Q
Figura 3: P ⊃ Q
En cuanto al conectivo ∨ se tiene que α ∨ β ≡ ¬(¬α ∧ ¬β) y su gráfico es
como en la figura 4.
20

21. P
Q
Figura 4: P ∨ Q
Es necesario ahora demostrar que Alfa es un sistema lógico deductivo. El
método seleccionado consiste en demostrar la equivalencia de las bases de Alfa con las de algún sistema de cálculo proposicional clásico que ya se haya
demostrado como consistente y completo, tal como el sistema de Rosser por
ejemplo.
2.2
Equivalencia entre Alfa y Cálculo Proposicional
Para el caso concreto del estudio de la equivalencia entre Alfa y el cálculo
proposicional clásico, el método que se utilizará es el de demostrar que la base
de Alfa y una base del cálculo proposicional clásico son alternas, de la siguiente
manera:
1. Toda gbf de Alfa se puede escribir como una única fbf de Pr , y que toda
fbf de Pr se puede escribir como un único gbf de Alfa.
2. Que todo axioma de Alfa es una tesis de Pr , y viceversa.
3. Que las reglas de transformación Pr corresponden a transformaciones válidas en Alfa, y viceversa.
Es decir, se deriva en Pr aquellas partes de la base de Alfa que no están en
su propia base y viceversa [HC73].
Dos sistemas lógicos L y L0 se dicen deductivamente equivalentes o equivalentes si tienen diferente base pero en cada uno de ellos se pueden deducir
exactamente las mismas tesis. Las bases de dos sistemas lógicos que cumplan
con esta condición se llaman bases alternas o “permutables”.
Si se da el caso de que todas las tesis de L sean tesis de L0 , pero no todas
las tesis de L0 son tesis de L, se dice que L0 contiene a L, o que L0 es más
fuerte que L. Luego si dos sistemas L y L0 son equivalentes, se debe cumplir
que L contiene a L0 y que L contiene a L0 .
Al demostrar que dos sistemas lógicos son equivalentes mediante los tres
pasos mencionados, se está demostrando que todo teorema de un sistema es
teorema del otro sistema. En particular por el paso tres, que dice que las reglas
de un sistema corresponden, en el otro, a transformaciones que preservan la
validez.
El primer paso en la demostración de la equivalencia de dos sistemas lógicos
se basa en establecer una función de traducción para ir de un sistema al otro.
Martin Davis [Dav58] da la siguiente definición de traducción entre lógicas:
21

22. Definición 2.3 Sean L y L0 dos lógicas. Se dice que L es traducible en L0 sii
existe una función recursiva f (α) tal que `L α sii `L0 f (α) y además, siempre
que se tengan dos fórmulas tales que α ≡ β, entonces f (α) ≡ f (β).
Si L y L0 son equivalentes, debe ser posible encontrar una función f para
traducir de L a L0 , y una función g para traducir de L0 a L. Estas funciones
proporcionan en primera instancia un mecanismo para representar cualquier fbf
de uno de los sistemas mediante una fbf del otro sistema, o en otras palabras,
un cambio de sintaxis.
2.2.1
Traducción entre Alfa y el cálculo proposicional clásico
Definición 2.4 (f : traducción de Alfa al cálculo proposicional) La función f toma el conjunto de gráficos Alfa como su dominio, y halla su rango en
el conjunto de fórmulas del cálculo proposicional clásico (Pr ): Dado cualquier
gbf Alfa, se escribe su nombre estándar. Siempre que en la notación estándar
aparezca J(β 1 ...β n ), se elimina la J y se reemplaza por n − 1 conectivos ∧ entre
las subfórmulas β 1 ...β n , quedando β 1 ∧ ... ∧ β n . Cuando en el nombre estándar
aparezca una S, se reemplaza por el signo ¬. Finalmente, cada ocurrencia de gi
se reemplaza por la letra proposicional correspondiente pi .
Bajo esta definición, si α es un gbf de Alfa, f (α) es una fbf del cálculo
proposicional.
Dado que el nombre estandar es único, se puede demostrar que la función
f así definida es inyectiva, y que por lo tanto se tendrá que f (α) es la misma
fórmula que f (β) sii el gráfico α es el mismo gráfico que β.
Definición 2.5 (g : traducción del cálculo proposicional a Alfa) La función g toma el conjunto de fórmulas del cálculo proposicional como su dominio,
y halla su rango en el conjunto de gráficos alfa: Dado cualquier fbf del cálculo proposicional, se reemplazan los conectivos no primitivos en función de ¬ y
∧ con base en su respectiva definición, y la expresión así obtenida se escribe
en notación polaca, que solo contendrá por tanto conectivos K y N . Siempre
que en la notación polaca aparezca una N se elimina y se reemplaza por una
S, colocando entre paréntesis las subfórmulas que se encuentren bajo el alcance
de N . Cuando aparezca una K que no esté bajo el alcance directo de otra K,
se elimina y en su lugar se coloca una J(), y dentro del paréntesis se colocan
consecutivamente las subfórmulas que estén dentro de su alcance. Cualquier K
que aparezca dentro del alcance directo de la K que ha sido reemplazada, simplemente se elimina y se colocan las subfórmulas dentro de los mismos paréntesis.
La expresión obtenida en metalenguaje se dibuja finalmente sobre la HA.
Bajo esta definición, si A es una fbf del cálculo proposicional, g(A) es un
gbf de Alfa.
Se puede verificar que la función g así definida cumple con la definición
2.3. Ahora que se tiene un procedimiento para escribir una fbf del cálculo
proposicional como un gbf de Alfa y viceversa, se verificarán las condiciones de
equivalencia 2 y 3.
22

23. 2.2.2
La base de Alfa en el sistema de Rosser.
El único axioma Alfa es HA, que representa a T , la verdad, y su equivalencia
en Pr es directa.
Lema 2.1 Dados dos gráficos α y β. Si Rins (β, α) es cierto, entonces si f (α)
es un teorema, f (β) es un teorema.
Demostración. Dado que Rins (β, α) es verdadero, α y β son idénticos
excepto en que en β existe un subgráfico γ bajo número impar de cortes, que no
aparece en la correspondiente posición en α. La definición de la fórmula f dice
que f (α) y f (β) son idénticos excepto en que f (β) contiene la subfórmula f (γ)
que está en posición antecedente. Se puede escribir de manera general que la
posición antecedente de f (α) es A ∧ B, mientras que la de f (β) es A ∧ f (γ) ∧ C,
dado que A y B no sean nulos simultáneamente.
Mediante la aplicación del Axioma 1.2, se llega a que `Pr (A ∧ f (γ) ∧ C) ⊃
A ∧ B. Aplicando ahora el Lema 1.1, se tiene que si f (α) es un teorema de Pr ,
f (β) también debe ser un teorema de Pr .
Lema 2.2 Dados dos gráficos α y β. Si Reli (β, α) es cierto, entonces si f (α)
es un teorema, f (β) es un teorema.
Demostración. Análoga a la prueba del lema anterior, utilizando el lema
1.2.
Lema 2.3 Dados dos gráficos α y β. Si Rit (β, α) es cierto, entonces si f (α)
es un teorema, f (β) es un teorema.
Demostración. Dado que Rit (β, α) es verdadero, α y β son idénticos excepto en que tanto en α como en β existe un subgráfico γ, pero en β tiene una
ocurrencia (instancia) adicional, que está encerrada por una cantidad mayor o
igual de cortes que la ocurrencia de γ en α.
Sea δp la variable functor (página 8) que puede representar cualquier
función de verdad de la expresión p. Se puede caracterizar la diferencia entre f (α) y f (β) asi: las fórmulas f (α) y f (β) son idénticas excepto en que
donde f (α) contiene la subfórmula f (γ) ∧ δ(A ∧ B) se tiene que f (β) contiene
la subfórmula f (γ) ∧ δ(A ∧ f (γ) ∧ B) y donde A y B no pueden ser nulos
simultáneamente. Bajo estas condiciones es evidente y fácilmente demostrable
que `Pr f (γ) ∧ δ(A ∧ B) ≡ f (γ) ∧ δ(A ∧ f (γ) ∧ B) que por sustitutividad del bicondicional, y dadas las definiciones de f (α) y f (β),permite concluir finalmente
que `Pr f (α) ≡ f (β)
Lema 2.4 Dados dos gráficos α y β. Si Rdit (β, α) es cierto, entonces si f (α)
es un teorema, f (β) es un teorema.
Demostración. Análoga a la prueba del lema anterior.
Lema 2.5 Dados dos gráficos α y β. Si Rdc (β, α) es cierto, entonces si f (α)
es un teorema, f (β) es un teorema.
23

24. Demostración. Dado que Rdc (β, α) es cierto, β contiene el subgráfico
S(S(γ)) donde α contiene solo a γ. Al aplicar la función de traducción f se
tienen los subgráficos f (α) y f (β), iguales excepto que donde f (β) contiene la
subfórmula ¬¬f (γ), f (α) contiene f (γ).
Se tiene que `Pr p 𠪪p, y nuevamente aplicando la sustitutividad del
bicondicional, llegamos a que `Pr f (α) ≡ f (β)
Lema 2.6 Dados dos gráficos α y β. Si Redc (β, α) es cierto, entonces si f (α)
es un teorema, f (β) es un teorema.
Demostración. Como ya se demostró el lema anterior, la prueba de este
lema es directa ya que Redc es el converso del teorema anterior.
Lema 2.7 El sistema de Rosser contiene a Alfa.
Demostración. Por los lemas 2.1 a 2.6.
2.2.3
La base del sistema de Rosser en Alfa.
A continuación se verificará que Alfa contiene al sistema de Rosser. Primero se
probará en Alfa la regla de inferencia del cálculo proposicional, Modus Ponens:
α y (α ⊃ β) entonces ` β, y enseguida los axiomas de Rosser.
Lema 2.8 Si p y (p ⊃ q) entonces `Pr q, en Alfa se tiene que de g(p) y g(p ⊃ q)
entonces `Alf a g(q)
Demostración. Se aplicará inicialmente la función de traducción g, donde
P es g(p) y Q es g(q). Entonces, p ∧ (p ⊃ q) es J(P S(P S(Q))), que es el gráfico
de partida. Luego se aplican las reglas de Alfa, así: se aplica desiteración de P,
eliminación de doble corte y eliminación de P, con lo que se demuestra finalmente
Q:
P
P
Q
P
P Q
Q
Q
Por lo tanto, Alfa contiene la regla Modus Ponens.
Lema 2.9 Si p ⊃ p ∧ p es axioma de Pr , entonces de g(p), g(p) `Alf a g(p)
Demostración. Si p ⊃ p ∧ p, entonces por teorema de la deducción se tiene
que de p, p `Pr p
p ∧ p en Alfa es el primero de los gráficos, que es J(P P ) en metalenguaje,
donde P es g(p). La desiteración de P permite llegar a la conclusión.:
P P
P
Luego en Alfa se puede deducir el primer axioma de Rosser.
24

25. Lema 2.10 Si p ∧ q ⊃ p es axioma de Pr , entonces de g(p), g(q) `Alf a g(p)
Demostración. Si p ∧ q ⊃ p, por el teorema de la deducción se tiene que
p∧q `p
Si P es g(p) y Q es g(q), entonces p ∧ q en Alfa es J(P Q), el primero de los
gráficos siguientes, que por eliminación de Q permite concluir P :
P
P Q
Luego en Alfa se puede deducir el segundo axioma de Rosser.
Lema 2.11 Si (p ⊃ q) ⊃ (¬(q ∧ r) ⊃ ¬(r ∧ p)) es un axioma de Pr , entonces
de g(p ⊃ q), g(¬(q ∧ r)) `Alf a g(¬(r ∧ p))
Demostración. Si (p ⊃ q) ⊃ (¬(q ∧ r) ⊃ ¬(r ∧ p)), por el teorema de la
deducción se tiene que (p ⊃ q), ¬(q ∧ r) `Pr ¬(r ∧ p)
Si P es g(p), Q es g(q) y Q es g(q), entonces g(p ⊃ q) es S(J(P S(Q))), el
primero de los gráficos siguientes, y g(¬(q ∧ r)) es S(J(QR)), el segundo gráfico,
se tiene por iteración de S(J(QR)) dentro del otro gráfico que se encuentra
dentro de la misma área:
P
Q
Q
R
P
Q
Q R
Q
R
Aplicando simultáneamente desiteración del gráfico Q y eliminación de gráfico S(J(QR)) que esta bajo número par de cortes (ya no se requiere como testigo
de la iteración):
P
Q
Q R
Q
R
P
Q
R
Eliminando la instancia de Q que se encuentra bajo par y en el paso siguiente
eliminando el doble corte:
P
Q
R
P
R
P
R
Por lo tanto, `Alf a S(J(P R)), es decir `Alf a g(¬(r ∧ p)).
Luego el tercer axioma de Rosser es demostrable en Alfa.
Lema 2.12 El sistema Alfa contiene al sistema de Rosser.
Demostración. Por los lemas 2.8 a 2.11.
Y finalmente se puede establecer lo siguente:
25

26. Lema 2.13 El sistema Pr y el sistema Alfa son deductivamente equivalentes.
Demostración. Por los lemas 2.7 y 2.12.
2.3
Sistema Gama en Color.
El elemento adicional que incluye Gama Color para representar expresiones
modales es precisamente el color: Para indicar que una expressión α es posible,
se rodea de color, lo que en el metalenguaje, se expresa como P (α). El color no
produce una separación, tal como lo hace el corte. El color que rodea la expresión
α se puede concentrar en un anillo que la rodee, tal como lo describe la Regla
R10 de Roberts [Rob73]: “Cualquier área coloreada se puede transformar en un
área sin color que tiene un borde de color, y viceversa.”2 La figura 5 muestra
dos gráficas que expresan ♦Y :
Y
Y
Figura 5: Expansión - retracción del color.
Como convención en el presente trabajo, siempre que se hable de color, se
estará haciendo referencia a un anillo de color que rodea un gráfico. Por lo
anterior, la figura 6 muestra dos formas equivalentes de dibujar el gráfico ¤Y
(esto es, ¬♦¬Y ) en Gama Color:
Y
Y
Y
Figura 6: Anillo de Necesidad.
y se puede hacer referencia a él como un “anillo de necesidad”, que rodea
al gráfico Y en este caso.
En lógica modal se tiene, bajo la semántica de mundos posibles (sección
1.3.1), que ♦p forza a que dado el mundo actual w, exista otro wi , (juntos en
el conjunto de mundos W ) tal que existe una relación R(w, wi ) y un modelo
2 D.
Roberts, The Existential Graphs of Charles S. Peirce, p. 108.
26

27. M tales que (M, wi ) ² p, esto es, que V (p, wi ) = T . Resumiendo, ♦p forza a
que exista un mundo accesible desde el mundo actual, donde p sea válido. En
Gama Color se puede ver así: w es la hoja de aserción actual, sobre la que se
está dibujando o razonando y que se encuentra en un libro W , y wi es cualquier
otra hoja de aserción del mismo libro W. Entonces R(w, wi ) dice que de la hoja
w se puede ir a (o consultar) la hoja wi . La relación de accesibilidad dice en
Gama cuales hojas de aserción sí son accesibles desde la hoja actual y bajo que
condiciones.
En este capítulo se propondrá una base alterna para el sistema modal S5 utilizando gráficos existenciales Gama en Color. Una vez realizado esto, se definirá
una función de traducción entre el sistema Gama en Color y S5. Se seguirá el
procedimiento clásico para decidir la equivalencia del sistema así obtenido con
S5 ( y que por lo tanto contiene a S4, T y K).
El sistema propuesto requiere las siguientes definiciones:
Definición 2.6 (Gráfica completamente modalizada) Un gráfico se llama
completamente modalizado si cumple una de las siguientes condiciones:
Condición 2.1 Su área más externa está totalmente encerrada en color.
Condición 2.2 Si α es una gráfica que cumple la condición anterior, S(α) es
una gráfica completamente modalizada.
Estas definiciones corresponden en lógica modal proposicional a expresiones
de la forma ♦A y ¬♦A (figura 7), y por definición de ¤, corresponden a expresiones ¬¤B y ¤B, donde A y B son fbfs cualesquiera. En este caso se dirá
que A y B son fórmulas completamente modalizadas. Si α es un gráfico
totalmente modalizado, el gráfico encerrado bajo el color más externo se llamará
el interior del gráfico.
La siguiente figura muestra dos gráficos, cada uno de ellos completamente
modalizado:
Y
X
Figura 7: Gráficos completamente modalizados.
La base del sistema Gama Color. Los elementos del Lenguaje para el
sistema propuesto van a ser los mismos del Sistema Gama en Color tal como
los dejó Peirce,en cuanto al alfabeto se refiere. Se han introducido algunas
restricciones adicionales a la regla de iteración de gbf.
Definición 2.7 (Alfabeto) Consta de los siguientes elementos:
27

28. 1. Hoja de aserción (HA).
2. Letras proposicionales. p, q, r, ...
3. Corte.
4. Color.
Definición 2.8 (Gráfico bien formado de Gama Color) Un gbf de Gama
Color se obtiene mediante la aplicación de cualquiera de las siguientes reglas:
1. Si α es un gbf de Alfa, α es un gbf de Gama Color.
2. Si α es un gbf, P (α) es un gbf.
3. Si α es un gbf, S(α) es un gbf.
4. Si α, β son gbfs, J(α, β) es un gbfs.
5. Nada más es un gbf Gama Color.
Axioma 2.1 HA
Axioma 2.2 S(P (S(g0 ))). Esto es, sobre una región en blanco de HA se puede
inscribir un anillo de necesidad.
Regla 2.4 (Reglas Alfa) Todas las reglas de Alfa son válidas en Gama Color
a excepción de la Regla de Iteración - Desiteración, la cual debe tener restricciones adicionales que se especifican más adelante.
Regla 2.5 (Inserción de color) Un área bajo un número par de cortes, se
puede rodear totalmente de color. Su expresión abreviada en metalenguaje es
Ric .
Regla 2.6 (Eliminación de color) A un área coloreada encerrada bajo número impar de cortes, se le puede borrar el color. En metalenguaje se expresa
abreviadamente como Rec .
Regla 2.7 (Iteración de gráfico completamente modalizado) Un gráfico
completamente modalizado se puede iterar libremente. (Esto incluye transportar
el color). En metalenguaje se expresa abreviadamente como Ritm .
Regla 2.8 (Desiteración de gráfico completamente modalizado) Un gráfico que se pueda deber a la iteración de un gráfico completamente modalizado
se puede desiterar libremente. (Esto incluye borrar el color). Se expresa como
Rditm en metalenguaje.
De manera análoga a como se definieron en el metalenguaje las reglas de
Alfa, se definen las reglas para gama así:
28

29. Notación 2.3 (Metalenguaje para reglas de Gama Color) Se utilizarán
los siguientes signos del metalenguaje para las reglas de Gama Color: (Las
Reglas de Alfa conservan su notación original).
1. Ric (β, α): Representa la regla de inserción de color de Gama Color. Es
verdadero sii β es idéntico a α excepto en que contiene un subgráfico P (γ)
bajo número par de cortes, mientras que en la posición correspondiente de
α aparece solo γ.
2. Rec (β, α): Representa la regla de eliminación de Color de Gama Color.
Es verdadero sii Ric (α, β) es cierto.
3. Ritm (β, α): Representa la regla de iteración de un gráfico completamente
modalizado. Es verdadero sii β es idéntico a α excepto en que contiene una
ocurrencia o instancia adicional de un subgráfico completamente modalizado γ dentro de la misma área bajo el mismo o mayor número de cortes,
y esta ocurrencia adicional no está en α en la posición correspondiente.
4. Rditm (β, α): Representa la regla de desiteración de gráficos completamente
modalizados en Gama Color. Es verdadero sii Ritm (α, β) es verdadero.
En Gama Color se debe tener en cuenta que aún cuando el color no imponga
una separación dentro de un área, restringe el tipo de gráficos que lo puedan
cruzar durante la iteración. Esto previene por ejemplo, que se de el caso ♦p ⊃ p.
2.4
Equivalencia entre Gama Color y S5
Dado que Gama Color tal como se ha definido contiene al sistema Alfa, solo se
demostrará la parte que tenga que ver con el color.
2.4.1
Función de Traducción.
Definición 2.9 (f ∗ : de Gama Color a LM ) Es la misma función f definida para Alfa, con la consideración adicional de que siempre que en el gráfico
aparezca una zona de color, se escribirá una P , siguiendo un tratamiento análogo al de la S. Al final se obtiene la fórmula en la notación de LM .
Definición 2.10 (g ∗ : de LM a Gama Color) Es la misma función g definida para el cálculo proposicional, con la consideración adicional de que siempre
que en la fórmula en notación polaca aparezca ♦, se escribirá una P , siguiendo
el mismo tratamiento que para la S. La expresión obtenida en metalenguaje se
dibuja finalmente sobre la HA.
Se puede demostrar que las funciones f ∗ y g ∗ son uno a uno.
29

30. 2.4.2
La Base de Gama Color en el sistema S5.
El axioma 2.2 de gama representa ¤T, y su equivalencia en S5 es directa.
Lema 2.14 Dados dos gráficos α y β. Si Rins (β, α) es cierto, entonces si f ∗ (α)
es un teorema, f ∗ (β) es un teorema.
Demostración. En la demostración del teorema correspondiente para Alfa,
se llegó a la conclusión de que `Pr (A ∧ f (γ) ∧ B) ⊃ A ∧ B. Evidentemente esto
es válido trivialmente para Gama Color, sin importar si la subfórmula f (γ) es
modalizada o no. Entonces `S5 (A ∧ f ∗ (γ) ∧ B) ⊃ A ∧ B y se tiene que si f ∗ (α)
es un teorema de S5, f ∗ (β) también debe ser un teorema de S5.
Lema 2.15 Dados dos gráficos α y β. Si Reli (β, α) es cierto, entonces si f ∗ (α)
es un teorema, f ∗ (β) es un teorema.
Demostración. Análoga a la prueba del lema anterior.
Lema 2.16 Dados dos gráficos α y β. Si Ric (β, α) es cierto, entonces si f ∗ (α)
es un teorema, f ∗ (β) es un teorema.
Demostración. Dado que Ric (β, α) es verdadero, α y β son idénticos excepto en que tanto en α como en β existe, bajo número par de cortes, un subgráfico
γ que en β está rodeado de color pero no en α. Por la definición de f ∗ se tiene que
f ∗ (α) y f ∗ (β) son idénticos excepto en que donde f ∗ (α) contiene la subfórmula
f ∗ (γ), f ∗ (β) contiene la subfórmula ♦f ∗ (γ), en posición consecuente.
La posición consecuente de f ∗ (α) se puede escribir de manera general como
A∧f ∗ (γ)∧B, mientras que la de f ∗ (β) se escribe como A∧♦f ∗ (γ)∧B. Mediante
la aplicación del teorema de T : p ∧ q ⊃ ♦p, y aplicando el Lema 1.2 se tiene
que si f ∗ (α) es un teorema de S5, f ∗ (β) también es un teorema de S5.
Lema 2.17 Dados dos gráficos α y β. Si Rec (β, α) es cierto, entonces si f ∗ (α)
es un teorema, f ∗ (β) es un teorema.
Demostración. Análoga a la prueba del lema anterior, utilizando el lema
1.1.
Lema 2.18 Dados dos gráficos α y β. Si Ritm (β, α) es cierto, entonces si f ∗ (α)
es un teorema, f ∗ (β) es un teorema.
Demostración. Se procederá por inducción. Sea δ la variable functor y
sean A, B fbfs del cálculo proposicional y γ un gráfico completamente modalizado (definición 2.6). La regla de iteración nos lleva al siguiente esquema: si
Ritm (α, β) es verdadero, α y β son idénticos excepto en que tanto en α como
en β existe un subgráfico γ, pero en β tiene una ocurrencia adicional, que está
encerrada por una cantidad mayor o igual de cortes que la ocurrencia de γ en
α. Luego las fórmulas f ∗ (α) y f ∗ (β) son idénticas excepto en que donde f ∗ (α)
contiene la subfórmula f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ B) se tiene que f ∗ (β) contiene la subfórmula f ∗ (γ) ∧δ(A∧ f ∗ (γ) ∧B), donde A y B no serán nulos simultáneamente. Se
30

31. pretende demostrar que `S5 f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ B) ≡ f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ) ∧ B) y por
tanto `S5 f ∗ (α) ≡ f ∗ (β) en todos los casos posibles de iteracion, considerando
los conectivos modales primitivos tomados para S5. Podría omitirse el caso 4,
pero se ha dejado por ilustración, ya que es bastante común encontrar sistemas
con ¤ como conectivo primitivo.
1. Si δ(A) ≡ A.
En este caso β contiene la subfórmula f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ) ∧ B) donde
α contiene f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ B). Dado que δ(A) se refiere a la fórmula del
cálculo proposicional A, se puede escribir f ∗ (γ) ∧ A ∧ f ∗ (γ) ∧ B donde α
contiene f ∗ (γ) ∧ A ∧ B. Las dos expresiones anteriores son equivalentes ya
que en cálculo proposicional y por tanto en LM se tiene que `S5 p ≡ p ∧ p
(idempotencia) y por tanto es evidente que : `S5 f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ B) ≡
f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ) ∧ B). Por sustitutividad del bicondicional se tiene que
`S5 f ∗ (α) ≡ f ∗ (β).
2. Si δ(A) ≡ ¬A.
En este caso β contiene la subfórmula f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ) ∧ B) donde
α contiene f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ B). Dado que δ(A) se refiere a la fórmula del
cálculo proposicional ¬A, se puede escribir f ∗ (γ)∧¬(A∧f ∗ (γ)∧B) donde α
contiene f ∗ (γ)∧¬(A∧B). Aplicando las leyes de De Morgan, y el teorema
p ∨ F ≡ p (ley de identidad) partiendo de la primera subfórmula se tiene
que:
f ∗ (γ) ∧ ¬(A ∧ f ∗ (γ) ∧ B) ≡ f ∗ (γ) ∧ (¬A ∨ ¬f ∗ (γ) ∨ ¬B)
f ∗ (γ) ∧ ¬(A ∧ f ∗ (γ) ∧ B) ≡ (f ∗ (γ) ∧ ¬A) ∨ (f ∗ (γ) ∧ ¬f ∗ (γ)) ∨ (f ∗ (γ) ∧ ¬B)
f ∗ (γ) ∧ ¬(A ∧ f ∗ (γ) ∧ B) ≡ (f ∗ (γ) ∧ ¬A) ∨ F ∨ (f ∗ (γ) ∧ ¬B)
f ∗ (γ) ∧ ¬(A ∧ f ∗ (γ) ∧ B) ≡ (f ∗ (γ) ∧ ¬A) ∨ (f ∗ (γ) ∧ ¬B)
f ∗ (γ) ∧ ¬(A ∧ f ∗ (γ) ∧ B) ≡ f ∗ (γ) ∧ ¬(A ∧ B).
Se ha llegado entonces a que en este caso: `S5 f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ B) ≡ f ∗ (γ) ∧
δ(A ∧ f ∗ (γ) ∧ B), y por sustitutividad del bicondicional se tiene que `S5
f ∗ (α) ≡ f ∗ (β).
3. Si δ(A) ≡ ♦A.
En este caso β contiene la subfórmula f ∗ (γ)∧δ(A∧f ∗ (γ)) donde α contiene
f ∗ (γ) ∧ δ(A). Dado que δ(A) se refiere a la fórmula ♦A, las subfórmulas
se escriben respectivamente como f ∗ (γ) ∧ ♦(A ∧ f ∗ (γ)) y f ∗ (γ) ∧ ♦(A).
Como f ∗ (γ) es completamente modalizada, es de la forma ♦X o ¬♦X,
y esta última se puede transformar en ¤¬X, ante la validez en la lógica
modal del esquema X ≡ ¬¬X. Se recurre ahora al teorema 1.19: ♦(p ∧
♦q) ≡ (♦p ∧ ♦q) si f ∗ (γ) es de la forma ♦X, o al teorema 1.20 ♦(p ∧ ¤q) ≡
(♦p ∧ ¤q) si f ∗ (γ) es de la forma ¬♦X, con lo que las subfórmulas quedan:
f ∗ (γ) ∧ ♦(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ ♦A ∧ ♦f ∗ (γ)
f ∗ (γ) ∧ ♦(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ ♦A ∧ f ∗ (γ)
31

32. f ∗ (γ) ∧ ♦(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ ♦A
y es entonces el caso que `S5 f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ δ(A) y por
sustitutividad del bicondicional, que `S5 f ∗ (α) ≡ f ∗ (β).
4. Si δ(A) ≡ ¤A.
En este caso β contiene la subfórmula f ∗ (γ)∧δ(A∧f ∗ (γ)) donde α contiene
f ∗ (γ) ∧ δ(A). Dado que δ(A) se refiere a la fórmula ¤A, las subfórmulas
se reescriben como f ∗ (γ) ∧ ¤(A ∧ f ∗ (γ)) y f ∗ (γ) ∧ ¤(A) respectivamente.
La subfórmula f ∗ (γ) es completamente modalizada y valen las mismas
consideraciones que para el caso anterior, luego es de la forma ♦X o ¤¬X.
Se recurre ahora al teorema 1.10 de T : ¤(p ∧ q) ≡ (¤p ∧ ¤q). Al aplicarlo
a las dos expresiones se tiene que:
f ∗ (γ) ∧ ¤(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ ¤A ∧ ¤f ∗ (γ))
Es posible escoger la forma apropiada para f ∗ (γ), de tal manera que en
la última expresión se obtengan dos modalidades iteradas: Si f ∗ (γ) es de
la forma ♦X la utilización de los teoremas de simplificación de modalidades iteradas (teoremas 1.17 para este caso) de S5 permiten realizar las
siguientes transformaciones:
♦X ∧ ¤(A ∧ ♦X) ≡ ♦X ∧ ¤A ∧ ¤♦X
♦X ∧ ¤(A ∧ ♦X) ≡ ♦X ∧ ¤A ∧ ♦X
♦X ∧ ¤(A ∧ ♦X) ≡ ♦X ∧ ¤A
lo cual conduce a que `S5 f ∗ (γ) ∧ ¤(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ ¤(A))
Si f ∗ (γ) es de la forma ¬♦X, se reescribe como ¤¬X y mediante la
aplicación del axioma 4 de S4 se realizan las siguientes transformaciones:
¤¬X ∧ ¤(A ∧ ¤¬X) ≡ ¤¬X ∧ ¤A ∧ ¤¤¬X
¤¬X ∧ ¤(A ∧ ¤¬X) ≡ ¤¬X ∧ ¤A ∧ ¤¬X
¤¬X ∧ ¤(A ∧ ¤¬X) ≡ ¤¬X ∧ ¤A
que lleva también a que `S5 f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ δ(A))
Luego en cualquiera de los dos casos se tiene el resultado esperado y por
sustitutividad del bicondicional se llega a `S5 f ∗ (α) ≡ f ∗ (β)
5. Si δ(A) ≡ δ 1 (A)∧ δ 2 (A) donde δ 1 (A) y δ 2 (A) son expresiones que cumplen
con una de las condiciones 1 a 4.
Luego β contiene la subfórmula f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ)) donde α contiene
f ∗ (γ) ∧ δ(A). Se puede la primera expresión como f ∗ (γ) ∧ δ 1 (A ∧ f ∗ (γ)) ∧
δ 2 (A ∧ f ∗ (γ)) y la segunda como f ∗ (γ) ∧ δ 1 (A) ∧ δ 2 (A). Partiendo de
la primera expresión y de los pasos inductivos anteriores se tiene por la
definición de δ(A) que
f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ (δ 1 (A ∧ f ∗ (γ)) ∧ δ 2 (A ∧ f ∗ (γ)))
f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ (f ∗ (γ) ∧ δ 1 (A ∧ f ∗ (γ))) ∧ (f ∗ (γ) ∧ δ 2 (A ∧ f ∗ (γ)))
32

33. y gracias a las demostraciones de las condiciones 1 a 4 y por sustitución
de equivalentes se tiene que:
f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ (f ∗ (γ) ∧ δ 1 (A)) ∧ (f ∗ (γ) ∧ δ 2 (A))
f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ (δ 1 (A) ∧ δ 2 (A))
f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ δ(A)
Esto es `S5 f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ δ(A)) y por sustitutividad del
bicondicional se tiene que `S5 f ∗ (α) ≡ f ∗ (β).
6. Si δ(A) ≡ ¬δ 1 (A) donde δ 1 (A) es una fórmula que cumple con al menos
una de las condiciones 1 a 5.
Se tiene que β contiene la subfórmula f ∗ (γ)∧δ(A∧f ∗ (γ)) donde α contiene
f ∗ (γ) ∧ δ(A). Aplicando la ley de identidad y la definición dada para δ se
tiene:
f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ ¬δ 1 (A ∧ f ∗ (γ))
Por la definición de δ 1 y gracias a las demostraciones anteriores, la sustitución de equivalentes permite transformar en:
f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ ¬δ 1 (A)
f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ δ(A)
Esto es `S5 f ∗ (γ) ∧ δ(A ∧ f ∗ (γ)) ≡ f ∗ (γ) ∧ δ(A)) y por sustitutividad del
bicondicional se tiene que `S5 f ∗ (α) ≡ f ∗ (β). →
Luego en todos los casos se tiene que si f ∗ (α) es un teorema, f ∗ (β) es un
teorema.
Lema 2.19 Dados dos gráficos α y β. Si Rditm (β, α) es cierto, entonces si
f ∗ (α) es un teorema, f ∗ (β) es un teorema.
Demostración. La prueba es directa ya que Rditm es el converso del lema
anterior.
Lema 2.20 Dados dos gráficos α y β. Si Ridc (β, α) es cierto, entonces si f ∗ (α)
es un teorema, f ∗ (β) es un teorema.
Demostración. Dado que Ridc (α, β) es cierto, β contiene el subgráfico
S(S(γ)) donde α contiene solo al subgáfico γ, que puede ser modalizado o Alfa.
Al aplicar la función de traducción f ∗ se tienen los subgráficos f ∗ (α) y f ∗ (β),
iguales excepto que donde f ∗ (β) contiene la subfórmula ¬¬f ∗ (γ), f ∗ (α) contiene
f ∗ (γ).
Se tiene que `S5 p 𠪪p, donde p es cualquier fbf del sistema, y aplicando
la sustitutividad del bicondicional, se llega a que `S5 f ∗ (α) ≡ f ∗ (β).
Lema 2.21 Dados dos gráficos α y β. Si Redc (β, α) es cierto, entonces si f ∗ (α)
es un teorema, f ∗ (β) es un teorema.
33

34. Demostración. Este lema es el converso del anterior, luego su prueba es
directa.
Lema 2.22 El sistema S5 contiene al sistema Gama Color.
Demostración. Por los lemas 2.14 a 2.21.
2.4.3
La Base del Sistema S5 en Gama Color.
En la lógica modal y en particular S5, son válidos todas las tesis del cálculo
proposicional. Modus Ponens también es igualmente válido y su demostración
se encuentra a partir de la página 21. Luego es necesario probar únicamente los
axiomas particulares de S5 en Gama Color. Los axiomas que definen a S5 en
particular son: El axioma K, el axioma T y el axioma E (página 14).
Lema 2.23 Dado el axioma K : ¤(q ⊃ r) ⊃ (¤q ⊃ ¤r), entonces g(¤(q ⊃
r)) `GAMA g(¤q ⊃ ¤r) en Gama Color.
Demostración. Se aplica a la fórmula en S5 la función g ∗ , donde Q es
g (q) y R es g ∗ (r), para obtener la fórmula correspondiente en gama. Dado que
se puede utilizar el teorema de la deducción en este caso (ver [Sie02] página 44),
debemos llegar a que de:
S(P (S(S(J(QS(R)))))) ∧ S(P (S(Q))) `GAMA S(P (S(R)))
en la cual P representa el color que rodea el gráfico correspondiente. Aplicando iteración al gráfico de la izquierda se obtiene:
∗
Q
Q
R
Q
Q R
Q
R
En un solo paso se desitera Q y se elimina el subgráfico de la izquierda ya
que no se requiere más como testigo de la iteración:
Q
Q R
Q
R
R
eliminando el color del subgráfico en el interior:
R
Q
R
34
Q
Q

35. eliminando doble corte y luego eliminando Q se tiene:
R
Q
R
Q
R
Lo que completa la demostración, ya que `GAMA S(P (S(R))). Entonces el
axioma K es un teorema de Gama Color.
Lema 2.24 El axioma T : ¤q ⊃ q es un teorema en Gama Color.
Demostración. A la fórmula en S5 se le aplica la función g ∗ , donde Q
es g ∗ (q), para obtener la fórmula correspondiente en Gama Color. Se parte de
S(P (S(Q))), aplicando eliminación de color y luego eliminación de doble corte
se tiene:
Q
Q
Q
esto es, `GAMA Q y por lo tanto, el axoma T es un teorema de en Gama
Color.
Lema 2.25 El axioma E : ♦q ⊃ ¤♦q es un teorema en Gama Color.
Demostración. A la fórmula en S5 se le aplica la función g ∗ , donde Q es
g (q), para obtener la fórmula correspondiente en Gama Color.
Se parte del gráfico P (Q), en el primer paso se aplica el axioma de inserción
del anillo de necesidad (Axioma 2.2) de Gama Color, y en el segundo paso se
itera el gráfico original dentro del anillo de necesidad, paso permitido ya que se
está iterando un gráfico completamente modalizado:
∗
Q
Q
Q
Q
Se elimina el gráfico original:
Q
Q
Q
y por lo tanto se tiene que P (Q) `GAMA S(P (S(P (Q)))), o en otras palabras,
el axioma E es un teorema de Gama Color.
35

36. Lema 2.26 El sistema Gama Color contiene al sistema S5.
Demostración. Por los lemas 2.23 a 2.25.
Finalmente se puede concluir:
Lema 2.27 El sistema S5 y el sistema Alfa son deductivamente equivalentes.
Demostración. Por los lemas 2.22 y 2.26.
2.5
Ejemplos
Ejemplo 2.1 El sistema B es un sistema cuya base es la de T, con la adición
del axioma: q ⊃ ¤♦q. Y como es usual, se expresa diciendo que el sistema B =
sistema T+ Axioma B. Se desea verificar si el axioma B es un teorema de
Gama Color (S5).
Q es g ∗ (q). Partiendo de su gráfico y aplicando en el primer paso el axioma
2.2 (inserción de un anillo de necesidad sobre un área en blanco de la hoja), en
el segundo paso aplicando la regla de inserción de color (Ric ) al gráfico Q bajo
par (cero cortaduras), quedando convertido en P (Q). En el tercer paso el gráfico
completamente modalizado P (Q) se itera libremente (Ritm ) dentro del anillo de
necesidad, y eliminando el testigo de la iteración, esto es, el gráfico P (Q) sobre
el área más externa, se concluye finalmente el gráfico S(P (S(P (Q)))) que al
aplicarle la función f ∗ se convierte en ¬♦¬♦q o equivalentemente, en ¤♦q.
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Una vez que se ha demostrado el Axioma B en Gama Color (S5), surge la
pregunta acerca de marcos en los que es válido este axioma. Una opción es seguir
el procedimiento de verificación expuesto en [HC96]. Otra opción es que dada
la forma del axioma B, se puede utilizar la definición de convergencia-hijk de
Lemmon y Scott (ver pág. 11): se toma ♦h ¤i p ⊃ ¤j ♦j p, y se hace h = 0, i = 0,
j = 1 y k = 1 con lo que se obtiene el Axioma B. Reemplazando en la expresión
de las relaciones se tiene R0 (w, v) ∧ R1 (w, u) −→ ∃x(R0 (v, x) ∧ R1 (u, x)). Dado
que R0 es la relación identidad, se debe tener que w ≡ v y x ≡ v. Y por lo
tanto (v = v) ∧ R(v, u) −→ (v = v) ∧ R(u, v) o mejor R(v, u) −→ R(u, v), que
es claramente una relación simétrica. Luego el Axioma B es válido en marcos
simétricos.
Se puede concluir adicionalmente que mientras que el sistema S5 contiene
al sistema B, S4 no lo contiene ya que S4 solo es válido en marcos reflexivos y
transitivos.
Ejemplo 2.2 Se desea verificar que gama color S5 contiene al Axioma 4 de
S4.
36

37. El axioma 4 dice que ¤q ⊃ ¤¤q. Por tanto, se tiene que ¤q `S5 ¤¤q.
Aplicando la función g ∗ se tiene que Q es g ∗ (q), y se debe verificar que:
g(¤q) `S5 g(¤¤q).
Sobre la HA se dibuja S(P (S(Q))), se aplica el axioma de inserción de anillo
de necesidad, se aplica Ritm del gráfico original dentro del anillo de necesidad,
y se aplica Reli del gráfico original, lo cual completa la prueba:
Q
Q
Q
37
Q
Q

38. 3
Conclusiones
Durante la exploración del sistema Gama Color y su comportamiento ante diferentes procedimientos se observó lo siguiente, sin pretender dar afirmaciones
concluyentes al respecto:
1. Si el axioma de inserción de anillo de necesidad se elimina de S5, y en su
reemplazo se adiciona la regla RP1 : “Cualquier doble corte que encierre
un gráfico completamente modalizado se puede rellenar de color en su intermedio”, se obtiene un sistema que contiene a S5, esto es, es válida en
marcos universales (reflexivos, simétricos y transitivos).
Esto se verifica fácilmente ya que si se tiene ♦p, al ser éste un gráfico completamente modalizado, aplicando primero Rdc , y luego la regla RP1 , se
puede concluir que ¤♦p. Por una parte, es necesario continuar las pruebas
de esta regla para verificar que no se llega a inconsistencias, y por otra
parte, verificar si lleva a sistemas modales no clásicos, ya que esta regla tal
como está enunciada no excluye su aplicación a cualquier subgráfico completamente modalizado que forme parte de un gráfico no completamente
modalizado.
2. Si al sistema Gama Color S5 se adiciona la regla RP2 : “Una gráfica no
completamente modalizada (parcialmente modal o Alfa) se puede iterar a
través de zonas con color, siempre y cuando caiga en un área bajo número
impar de cortes (y análogamente para la desiteración, bajo impar)” se
obtienen esquemas válidos en marcos universales.
3. Si se adiciona la regla RP3 : “Una gráfica no completamente modalizada
(parcialmente modal o Alfa) se puede iterar a través de zonas con color,
siempre y cuando caiga en un área en la cual haga conjunción únicamente
con gráficos completamente modalizados” se obtienen esquemas válidos en
marcos universales.
Los comentarios para la regla propuesta RP1 , son válidos también para las
reglas RP2 y RP3 : pueden llevar a sistemas modales no clásicos, siempre y
cuando no conduzcan a inconsistencias.
Los ejemplos desarrollados muestran la facilidad y sencillez de los gráficos
existenciales. Es un sistema analítico en la máxima extensión de la palabra: se
basa en simples reglas de inserción y eliminación.
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39. Referencias
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(1990).
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(1958).
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http://www.mcs.vuw,ac.nz/~rob
[HC73] G. E. Hughes, M. J. Creswell, Introducción a la Lógica Modal, Madrid:
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[HC96] G. E. Hughes, M. J. Creswell, A New Introduction to Modal Logic,
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[Sie02] M. Sierra, Inferencia Visual para las Lógicas Normales, Medellín: Fondo Editorial Universidad Eafit (2001).
[Zal01] F. Zalamea, El contínuo Peirciano, Bogota: Universidad Nacional de
Colombia (2001).
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