Bernoulli ahu

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Bernoulli ahu

  1. 1. BernoulliDaniel Aguilera Muñoz
  2. 2. Bernoulli• Los Bernoulli son una familia de matemáticos y físicos suizos procedentes de la ciudad de Basilea, que irrumpió en el mundo científico a finales del siglo XVII.• El fundador de esta familia fue Jacob el viejo, nacido en Amberes (Bélgica), un hugonote que se trasladó a Basilea en 1622 por motivos de persecución religiosa. Se casó tres veces y sólo tuvo un hijo, Nikolaus. Éste se casó y tuvo una docena, de los cuales cuatro llegaron a edad adulta; dos de ellos se convirtieron en matemáticos de primer orden: Jakob, nacido en 1654, y Johann, nacido en 1667. Ambos estudiaron la teoría del cálculo infinitesimal de Leibniz y desarrollaron aplicaciones de la misma.
  3. 3. Ecuación diferencial de Bernoulli• Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:• Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas.
  4. 4. Método de resolución• Caso general• Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene: (1) Definiendo:• Lleva inmediatamente a las relaciones:
  5. 5. Método de resolución• Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:• (2)• Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:• Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:
  6. 6. Método de resolución• Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:• (3)• Con
  7. 7. Método de resolución• Caso particular: α = 0• En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:• (4)
  8. 8. Método de resolución• Caso particular: α = 1• En este caso la solución viene dada por:• (5)

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