1. Distribuciones Binomiales y
Normales
Daniel Aguilera

2. Distribuciones Binomiales
y Normales
Proceso de Bernoulli, Distribucion Binomial.
 Considere un experimento E con dos resultados solamente, uno denominado:
éxito (S) y el otro denominado fracaso (F). Sea p la probabilidad de éxito en un
experimento E y sea q= 1 – p. Ensayos repetidos independientes de un
experimento como el proceso de Bernoulli con dos resultados, se denomina:
Pruebas de Bernoulli.
 B(n,p) representa un experimento con n ensayos y una probabilidad p de
éxito.
 La probabilidad de obtener exactamente k exitos en experimento binomial
B(n,p) esta dado por:
 P (k)= P (k éxitos)=  n  k n−k
 p q ⇒ b(k ; n, p )
k 
 

3.  Propiedades:
 1.- Media o numero esperado de éxitos.
µ = np
 2.- Varianza.
 σ = npq
 3.- Desviación Estándar.
σ = npq

4.  Ejemplos:
 Se lanza una moneda equilibrada 6 veces; sea el resultado cara un éxito.
Encuentre la probabilidad de que:
 Ocurra exactamente dos caras
 Ocurra al menos cuatro caras.
 Ocurra al menos una cara.
1 b)k = 4,5,6
p=
2 15 3 1
P (4) + P (5) + P (6) = + +
1 64 32 64
q=
2 11
=
x = 0,1,2,3,4,5,6 32
a )k = 2 → n = 6 c) A = {1,2,3,4,5,6}
2 4 Ac = { 0}
 6  1   1 
P (2) =     
 2 2 0 6
    2   6  1   1  1
P( A ) =      =
c
0 2
6
 1  15     2  64
P (2) = 15  = 1 63
2 64 P( A) = 1 − ⇒ P( A) =
64 64

5.  Suponga que el 20% de los artículos producidos por una fabrica están
defectuosos. Se selecciona 4 artículos al azar. Encuentre la probabilidad de
que:
 Dos estén defectuosos.
 Tres estén defectuosos.
a.)k = 2 b.)k = 3
p = 0.20  4
P (2) =  ( 0.20 ) ( 0.80 )  4
2 2
 2 P(3) =  ( 0.20 ) ( 0.80)
3 1
q = 0.80    3
 
x{ 0,1,2,3,4} P (2) = 6(0.04)(0.64) P(3) = 4(0.008)(0.80)
n=4 P (2) = 0.1536 ⇒ 15%
P(3) = 0.025 ⇒ 2.56%

6.  Distribución Normal (Gauss)
 Sea x una variable aleatoria en un espacio
muestral infinito S, donde {a<=x<=b} es
un evento del espacio muestral S.
 Condiciones:
1.) f ( x) ≥ 0
∞
2.) ∫ f ( x)dx = 1
−∞
b
3.) P (a ≤ x ≤ b) = ∫ f ( x)dx
a
∞
E ( x) = ∫ xf ( x)
−∞
∞
Var ( x) = ∫ ( x − µ ) 2 f ( x)dx
−∞

7.  Se dice que una variable aleatoria x esta
normalmente distribuida si su función de
densidad o de probabilidad f(x) tienen la
 1  x − µ 2 
siguiente forma: f ( x) =
1
exp −   = N ( µ ,σ 2 )
2π σ  2 σ    

Suponga que x esta distribuida normalmente x ≈ N ( µ , σ ) La variable
2
aleatoria estandarizada esta definida por z = x − µ
σ