Binomialandnormal

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Binomialandnormal

  1. 1. Distribuciones Binomiales y Normales Daniel Aguilera
  2. 2. Distribuciones Binomialesy Normales Proceso de Bernoulli, Distribucion Binomial. Considere un experimento E con dos resultados solamente, uno denominado: éxito (S) y el otro denominado fracaso (F). Sea p la probabilidad de éxito en un experimento E y sea q= 1 – p. Ensayos repetidos independientes de un experimento como el proceso de Bernoulli con dos resultados, se denomina: Pruebas de Bernoulli. B(n,p) representa un experimento con n ensayos y una probabilidad p de éxito. La probabilidad de obtener exactamente k exitos en experimento binomial B(n,p) esta dado por: P (k)= P (k éxitos)=  n  k n−k  p q ⇒ b(k ; n, p ) k   
  3. 3.  Propiedades: 1.- Media o numero esperado de éxitos. µ = np 2.- Varianza. σ = npq 3.- Desviación Estándar. σ = npq
  4. 4.  Ejemplos: Se lanza una moneda equilibrada 6 veces; sea el resultado cara un éxito. Encuentre la probabilidad de que: Ocurra exactamente dos caras Ocurra al menos cuatro caras. Ocurra al menos una cara. 1 b)k = 4,5,6 p= 2 15 3 1 P (4) + P (5) + P (6) = + + 1 64 32 64 q= 2 11 = x = 0,1,2,3,4,5,6 32 a )k = 2 → n = 6 c) A = {1,2,3,4,5,6} 2 4 Ac = { 0}  6  1   1  P (2) =       2 2 0 6     2   6  1   1  1 P( A ) =      = c 0 2 6  1  15     2  64 P (2) = 15  = 1 63 2 64 P( A) = 1 − ⇒ P( A) = 64 64
  5. 5.  Suponga que el 20% de los artículos producidos por una fabrica están defectuosos. Se selecciona 4 artículos al azar. Encuentre la probabilidad de que: Dos estén defectuosos. Tres estén defectuosos. a.)k = 2 b.)k = 3 p = 0.20  4 P (2) =  ( 0.20 ) ( 0.80 )  4 2 2  2 P(3) =  ( 0.20 ) ( 0.80) 3 1 q = 0.80    3   x{ 0,1,2,3,4} P (2) = 6(0.04)(0.64) P(3) = 4(0.008)(0.80) n=4 P (2) = 0.1536 ⇒ 15% P(3) = 0.025 ⇒ 2.56%
  6. 6.  Distribución Normal (Gauss) Sea x una variable aleatoria en un espacio muestral infinito S, donde {a<=x<=b} es un evento del espacio muestral S. Condiciones: 1.) f ( x) ≥ 0 ∞ 2.) ∫ f ( x)dx = 1 −∞ b 3.) P (a ≤ x ≤ b) = ∫ f ( x)dx a ∞ E ( x) = ∫ xf ( x) −∞ ∞ Var ( x) = ∫ ( x − µ ) 2 f ( x)dx −∞
  7. 7.  Se dice que una variable aleatoria x esta normalmente distribuida si su función de densidad o de probabilidad f(x) tienen la  1  x − µ 2  siguiente forma: f ( x) = 1 exp −   = N ( µ ,σ 2 ) 2π σ  2 σ      Suponga que x esta distribuida normalmente x ≈ N ( µ , σ ) La variable 2 aleatoria estandarizada esta definida por z = x − µ σ

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