Traitement du signal

Traitement du Signal
Jean-Yves Tourneret(1)

(1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA
Thème 1 : Analyse et Synthèse de l’Information
jyt@n7.fr

Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 1/82

Bibliographie

J. Max et J.-L. Lacoume, Méthodes et techniques de
traitement du signal, Dunod, 5me édition, 2004.
Athanasios Papoulis and S. Unnikrishna Pillai, Probability,
Random Variable and Stochastic Processes, McGraw Hill
Higher Education, 4th edition, 2002.


Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Transformée de Fourier
Classes de signaux déterministes et aléatoires
Propriétés de Rx (τ ) et de sx (f )
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications


Déﬁnitions
Formule directe

X(f ) = x(t) exp (−j2πf t) dt
R

Formule inverse

x(t) = X(f ) exp (j2πf t) df
R

Hypothèses
TF sur L1 ou L2


Propriétés

Linéarité

TF [ax(t) + by(t)] = aX(f ) + bY (f )

Parité x(t) réelle paire ⇒ X(f ) réelle paire
Translation et Modulation

TF [x(t − t0 )] = exp(−j2πf t0 )X(f )
TF [x(t) exp(j2πf0 t)] = X(f − f0 )

Similitude
1 f
TF [x(at)] = X
|a| a


Propriétés

Produits de Convolution

TF [x(t) ∗ y(t)] = X(f )Y (f )
TF [x(t)y(t)] = X(f ) ∗ Y (f )

Égalite de Parseval

x(t)y ∗ (t)dt = X(f )Y ∗ (f )df
R R

Conjugaison
TF [x∗ (t)] = X ∗ (−f )


Distributions
Localisation

x(t)δ(t − t0 ) = x(t0 )δ(t − t0 )

Produit de Convolution

x(t) ∗ δ(t − t0 ) = x(t − t0 )

Transformées de Fourier

TF [δ(t)] = 1, TF [1] = δ(f )
TF [δ(t − t0 )] = exp(−j2πf t0 ), TF [exp(j2πf0 t)] = δ(f − f0 )


Plan du cours



Classe 1 : signaux déterministes à énergie finie
Classe 2 : signaux déterministes périodiques à
puissance finie
Classe 3 : signaux déterministes non périodiques à
puissance finie
Classe 4 : signaux aléatoires stationnaires


Signaux déterministes à énergie ﬁnie

Déﬁnition E = R
|x(t)|2 dt = R
|X(f )|2 df < ∞
Fonction d’autocorrélation

Rx (τ ) = x(t)x∗ (t − τ )dt = x(t), x(t − τ )
R

Fonction d’intercorrélation

Rxy (τ ) = x(t)y ∗ (t − τ )dt = x(t), y(t − τ )
R

Produit scalaire

x(t), y(t) = x(t)y ∗ (t)dt
R


Densité spectrale d’énergie

Déﬁnition
sx (f ) = TF [Rx (τ )]
Propriété
sx (f ) = |X(f )|2
Preuve

sx (f ) = x(t)x∗ (t − τ )dt exp(−j2πf τ )dτ
R R

= x∗ (t − τ ) exp(−j2πf τ )dτ x(t)dt
R R

= x∗ (u) exp [j2πf (u − t)] du x(t)dt
R R
∗
= X (f )X(f )

Exemple

Fenêtre rectangulaire

1 si − T < t <
2
T
2
x(t) = ΠT (t) =
0 sinon


Rx (τ ) = T ΛT (τ )

Densité spectrale d’énergie

sx (f ) = T 2 sinc2 (πT f ) = |X(f )|2


Signaux déterministes périodiques

1 T0 /2
Déﬁnition P = T0 −T0 /2 |x(t)|2 dt <∞
T0 /2
1
Rx (τ ) = x(t)x∗ (t − τ )dt = x(t), x(t − τ )
T0 −T0 /2

T0 /2
1
Rxy (τ ) = x(t)y ∗ (t − τ )dt = x(t), y(t − τ )
T0 −T0 /2

Produit scalaire
T0 /2
1
x(t), y(t) = x(t)y ∗ (t)dt
T0 −T0 /2

Densité spectrale de puissance

Déﬁnition
sx (f ) = TF [Rx (τ )]
Propriété
sx (f ) = |ck |2 δ(f − kf0 )
k∈Z

avec x(t) = k∈Z ck exp(j2πkf0 t).

Preuve
T0 /2
∗ 1
Rx (τ ) = ck cl exp (j2πlf0 τ ) exp [j2π(k − l)f0 t] dt
T0 −T0 /2
k,l

= |ck |2 exp(j2πkf0 τ )
k

Exemple

Sinusoïde
x(t) = A cos(2πf0 t)
A2
Rx (τ ) = cos(2πf0 τ )
2

A2
sx (f ) = [δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )]
4


Signaux déterministes à puissance ﬁnie

1 T /2
Déﬁnition P = lim T −T /2 |x(t)|2 dt <∞
T →∞

T /2
1
Rx (τ ) = lim x(t)x∗ (t − τ )dt = x(t), x(t − τ )
T →∞ T −T /2

T /2
1
Rxy (τ ) = lim x(t)y ∗ (t − τ )dt = x(t), y(t − τ )
T →∞ T −T /2

Produit scalaire
T /2
1
x(t), y(t) = lim x(t)y ∗ (t)dt
T →∞ T −T /2


Déﬁnition
sx (f ) = TF [Rx (τ )]
Propriété
1
sx (f ) = lim |XT (f )|2
T →∞ T
avec
T /2
XT (f ) = x(t) exp(−j2πf t)dt
−T /2

Exemple

x(t) = A1 cos(2πf1 t) + A2 cos(2πf2 t)

avec f1 et f2 non commensurables.


Signaux aléatoires stationnaires

Déﬁnition
Moyenne : E[x(t)] indépendant de t
Moment d’ordre 2 : E[x(t)x∗ (t − τ )] indépendant de t

Rx (τ ) = E[x(t)x∗ (t − τ )] = x(t), x(t − τ )


E[x(t)y ∗ (t − τ )] = x(t), y(t − τ )

Produit scalaire
x(t), y(t) = E[x(t)y ∗ (t)]

Remarques : stationnarité au sens strict, large, à l’ordre deux, tests de stationnarité.



Puissance moyenne

P = Rx (0) = E |x(t)|2 = sx (f )df
R

Déﬁnition
sx (f ) = TF [Rx (τ )]
Propriété
1
sx (f ) = lim E |XT (f )|2
T →∞ T

mais en général X(f ) n’existe pas !


Exemples

Exemple 1 : Sinusoïde

x(t) = A cos(2πf0 t + θ)

θ va uniforme sur [0, 2π].
A2
Rx (τ ) = cos(2πf0 τ )
2

A2
sx (f ) = [δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )]
4


Exemples

Exemple 2 : Bruit blanc
N0
Rx (τ ) = δ(τ )
2
N0
sx (f ) =
2


Plan du cours


Propriétés de Rx(τ )
∗
Symétrie Hermitienne : Rx (−τ ) = Rx (τ )
Valeur maximale : |Rx (τ )| ≤ Rx (0)
Distance entre x(t) et x(t − τ ) : si x(t) est un signal réel

d2 [x(t), x(t − τ )] = 2 [Rx (0) − Rx (τ )]

Donc Rx (τ ) mesure le lien entre x(t) et x(t − τ ).
Décomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité des
applications, on a

Rx (τ ) = R1 (τ ) + R2 (τ )

où R1 (τ ) est une somme de fonctions périodiques et
R2 (τ ) tend vers 0 lorsque τ → ∞.


Propriétés de sx(f )

DSP réelle
sx (f ) ∈ R
De plus, si x(t) signal réel, sx (f ) réelle paire
Positivité : sx (f ) ≥ 0
Lien entre DSP et puissance/énergie

P ou E = Rx (0) = sx (f )df
R

Décomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité des
applications, on a sx (f ) = s1 (f ) + s2 (f ), où s1 (f ) est un
spectre de raies et s2 (f ) un spectre continu (cas
général : partie singulière).


Plan du cours
Introduction
Relations de Wiener-Lee
Formule des interférences
Exemples

Introduction
On cherche une opération avec les propriétés suivantes
Linéarité : T [a1 x1 (t) + a2 x2 (t)] = a1 T [x1 (t)] + a2 T [x2 (t)]
Invariance dans le temps
Si y(t) = T [x(t)] alors T [x(t − t0 )] = y(t − t0 )
Stabilité BIBO
Si |x(t)| ≤ Mx alors il existe My tel que

|y(t)| = |T [x(t)] | ≤ My

“Limitation” du spectre d’un signal
Convolution

y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(u)h(t − u)du = h(t) ∗ x(t)
R


Commentaires
La linéarité ne sufﬁt pas. Contre-exemple

y(t) = m(t)x(t)

CNS de Stabilité BIBO

|h(t)|dt ∞, i.e., h ∈ L1
R

Réponse impulsionnelle et Transmittance

H(f ) = TF [h(t)] = h(t) exp(−j2πf t)dt
R

Si x(t) = δ(t) alors y(t) = h(t). Ceci permet d’obtenir la
seule réponse impulsionnelle possible.

Réalisabilité d’un ﬁltre
Domaine temporel
(1) h(t) réelle
(2) h(t) ∈ L1 (stabilité)
(3) h(t) causale (ﬁltre sans mémoire)
Domaine spectral
(1) Symétrie hermitienne : H ∗ (−f ) = H(f )
(2) ne peut se traduire
1
(3) H(f ) = −j H(f ), où H(f ) = H(f ) ∗ πf est la
transformée de Hilbert de H (preuve dans le cours
manuscrit).


Écriture équivalente
En écrivant H(f ) = Hr (f ) + jHi (f ), on obtient
1
Hr (f ) =Hi (f ) ∗
πf
1
Hi (f ) = − Hr (f ) ∗
πf


Identiﬁer une relation de ﬁltrage linéaire

Signaux déterministes

y(t) = x(t) ∗ h(t) ⇔ Y (f ) = X(f )H(f )

Signaux aléatoires : Isométrie fondamentale

I I
Si x(t) ↔ ej2πf t , alors y(t) ↔ ej2πf t H(f )

Exemples
n
y(t) = k=1 ak x(t − tk )
y(t) = x′ (t)
y(t) = x(t)m(t)


Plan du cours
Introduction
Exemples

Relations de Wiener Lee

sy (f ) = sx (f )|H(f )|2

Intercorrélation

Ryx (τ ) = Rx (τ ) ∗ h(τ )

Autocorrélation

Ry (τ ) = Rx (τ ) ∗ h(τ ) ∗ h∗ (−τ )


Preuves (signaux à énergie ﬁnie)


sy (f ) = |Y (f )|2 = |X(f )H(f )|2 = sx (f )|H(f )|2

Intercorrélation

Ryx (τ ) = y(u)x∗ (u − τ )du
R
−j2πf τ ∗
= Y (f ) e X(f ) df
R

= X(f )H(f ) ej2πf τ X ∗ (f ) df
R

= sx (f )H(f )ej2πf τ df = TF−1 [sx (f )H(f )] CQFD
R


Preuve (signaux à puissance ﬁnie)

Intercorrélation
T0 /2
1
Ryx (τ ) = y(t)x∗ (t − τ )dt
T0 −T0 /2
T0 /2
1
= h(v)x(t − v)dv x∗ (t − τ )dt
T0 −T0 /2 R
T0 /2
1
= h(v) x(t − v)x∗ (t − τ )dt dv
R T0 −T0 /2

= h(v)Rx (τ − v)dv CQFD
R

etc ...


Preuves (signaux aléatoires)

Intercorrélation

Ryx (τ ) =E[y(t)x∗ (t − τ )]
= y(t), x(t − τ )
= ej2πf t H(f ), ej2πf (t−τ )

= ej2πf t H(f )e−j2πf (t−τ )sX (f )df
R

= H(f )ej2πf τ sX (f )df
R
= h(τ ) ∗ Rx (τ ) CQFD

etc ...


Plan du cours
Introduction
Exemples

Hypothèses

y1 (t) = x(t) ∗ h1 (t) et y2 (t) = x(t) ∗ h2 (t)

Conclusion

Ry1 y2 (τ ) = sx (f )H1 (f )H2 (f )ej2πf τ df
∗
R
Preuve

∗
Ry1 y2 (τ ) = y1 (t)y2 (t − τ )dt
R
−j2πf τ ∗
= Y1 (f ) e Y2 (f ) df
R

= H1 (f )X(f )ej2πf τ H2 (f )X ∗ (f )df
∗
CQFD
R Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 37/82

Plan du cours
Introduction
Exemples

Exemples

Filtre Passe-bas
Transmittance
H(f ) = ΠF (f )
Réponse impulsionnelle

h(t) = F sinc (πF t)

non causale et ∈ L1 ⇒ troncature + décalage
/
Filtres liaisons montante et descendante d’une chaîne
de transmission


Plan du cours
Échantillonnage idéal
Échantillonnage réel
Méthodes pratiques de restitution


Signaux à énergie ﬁnie
Domaine temporel

xe (t) = x(kTe )δ(t − kTe ) = x(t) δ(t − kTe )
k∈Z k∈Z

Domaine Fréquentiel

Xe (f ) = X(f ) ∗ Fe δ(f − kFe ) = Fe X(f − kFe )
k∈Z k∈Z

Périodisation du spectre


Commentaires
Théorème de Shannon

Fe 2fmax

Restitution
Xr (f ) = Xe (f )Πfe (f )
Interpolateur de Shannon

xr (t) = Fe x(kTe )sinc [πFe (t − kTe )]
k∈Z

Généralisation

xr (t) = x(kTe )h (t − kTe )
k∈Z


Commentaires
Fréquences normalisées
f 1
Fe 2fmax ⇔ f= ≤
Fe 2

Repliement et ﬁltre anti-repliement


Échantillonnage d’une sinusoïde
Signal et spectre
A
x(t) = A cos(2πf0 t) ⇔ X(f ) = [δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )]
2
Cas particulier
Fe = 2f0
Repliement

f0 = 5kHz et Fe = 100kHz
f0 = 5kHz et Fe = 8kHz

Filtre de restitution ΠFe (f )


Plan du cours


Échantillonnage bloqueur
Domaine temporel
τ τ
xb (t) = x(kTe )πτ t − − kTe = xe (t) ∗ πτ t −
2 2
k∈Z

Domaine spectral
τ −jπτ f
Xb (f ) = e sinc(πτ f ) X(f − kFe )
Te
k∈Z

Spectre d’ordre 0
τ −jπτ f
X0 (f ) = e sinc(πτ f )X(f )
Te

Conditions de restitution


Échantillonnage moyenneur
voir TD
Échantillonnage à porte analogique
...
Exemples
Téléphone

fmax = 3400Hz et Fe = 8kHz

Audio
fmax = 15kHz et Fe = 44.1kHz


Plan du cours


Restitution
Filtrage passe bas

H(f ) = ΠFe (f )

Interpolation linéaire
Filtre non causal
Bloqueur d’ordre 0
Utilisé dans la quasi-totalité des applications


Plan du cours
Introduction
Quadrateur
Quantiﬁcation


Introduction
Transformation sans mémoire

y(t) = g [x(t)]

Exemples
Quadrateur
y(t) = x2 (t)
Quantiﬁcation
y(t) = xQ (t)


Plan du cours
Introduction
Quadrateur
Quantiﬁcation


Quadrateur

Signaux déterministes

Y (f ) = X(f ) ∗ X(f )

Exemples
Sinusoïde : x(t) = A cos(2πf0 t)

A2 A2
Y (f ) = δ(f ) + [δ(f − 2f0 ) + δ(f + 2f0 )]
2 4
Disparition de la fréquence f0 et apparition de la
fréquence 2f0
Somme de sinusoïdes : Termes d’intermodulation
Sinus cardinal : doublement de la largeur de bande


Quadrateur pour signaux aléatoires

Théorème de Price
Hypothèses
(X1 , X2 ) vecteur Gaussien de moyenne nulle
Y1 = g(X1 ) et Y2 = g(X2 )
Conclusion
∂E(Y1 Y2 ) ∂Y1 ∂Y2
=E
∂E(X1 X2 ) ∂X1 ∂X2

Application au quadrateur
2
RY (τ ) = 2RX (τ ) + K


Remarques

Loi Gaussienne bivariée
1 1 T −1
p(x1 , x2 ) = exp − x Σ x
2π |Σ| 2

Stationnarité

E [Y (t)Y (t − τ )] = g (x1 ) g (x2 ) p (x1 , x2 ) dx1 dx2

avec x1 = X(t), x2 = X(t − τ ) et

RX (0) RX (τ )
Σ=
RX (τ ) RX (0)


Détermination de K
Moments d’une loi Gaussienne centrée

E X 2n+1 = 0, E X 2n = [(2n−1)×(2n−3)...×3×1]σ 2n

τ =0

E Y 2 (t) = E X 4 (t) = 3RX (0) = 2RX (0) + K
2 2

Autocorrélation
2 2
RY (τ ) = 2RX (τ ) + RX (0)

2
sY (f ) = 2sX (f ) ∗ sX (f ) + RX (0)δ(f )


Plan du cours
Introduction
Quadrateur
Quantiﬁcation


Quantification

Principe
∆qi ∆qi
xQ (t) = i∆qi = xi et xi − ≤ x(t) ≤ xi +
2 2
Définitions
Pas de quantification ∆qi
Quantification uniforme ∆qi = ∆q = 2Amax
N
Niveaux de quantification: xi
Nombre de bits de quantification N = 2n


Erreur de quantiﬁcation

Hypothèse
ǫ(t) suit la loi uniforme sur − ∆q , ∆q , i.e., N ≥ 28
2 2

Rapport signal sur bruit de quantiﬁcation
2
σx
SNRdB = 10 log10 2
σǫ

2 (∆q)2
Variance du bruit : σǫ = 12
2 A2
Sinusoïde : σx = 2
Conclusion
SNRdB = 6n + 1.76


Remarques

Généralisation à un signal Gaussien

2Sσ = N ∆q ⇒ SNRdB = 6n + ...

Quantiﬁcation non uniforme


Plan du cours
Déﬁnition
Signal des télégraphistes
Introduction aux ﬁles d’attente


Processus de Poisson homogène

Notations
Instants : {tj }j∈Z
Nombre d’instants dans [t, t + τ [ : N (t, τ )
Hypothèses
Stationnarité (régime établi) : Pn (τ ) = P [N (t, τ ) = n]
est indépendante de t.
Indépendance du passé et de l’avenir (non
embouteillage) : si [t, t + τ [ et [t′ , t′ + τ ′ [ sont des
intervalles disjoints, alors N (t, τ ) et N (t′ , τ ′ ) sont des
va indépendantes.
Non accumulation (non simultanéité des instants ti ) :
si φ(τ ) = P [N (t, τ ) ≥ 2], alors φ(τ ) → 0
τ τ →0


Conclusions
Loi de N (t, τ )
N (t, τ ) suit une loi de Poisson de paramètre λτ , où λ est
le nombre moyen d’instants dans un intervalle de
largeur τ = 1.
Loi des largeurs d’intervalles :
Si Ln = tn+1 − tn , alors {Ln }n∈Z est une suite de va
indépendantes de lois exponentielles de paramètre λ
(utile pour la simulation)
Loi des instants
Si l’intervalle [0, t[ contient n instants t1 , ..., tn , alors
chaque instant ti suit une loi uniforme sur [0, t[.


Plan du cours
Déﬁnition
Introduction aux ﬁles d’attente



Déﬁnition

 A si t = 0

X(t) = A si N (0, t) pair

 −A si N (0, t) impair

où A est uniforme sur {−1, +1}.
Stationnarité
Moyenne

E [X(t)] = 2P [X(t) = 1] − 1 = 0


E [X(t)X(t − τ )] = e−2λ|τ | , τ ∈R


λ
sX (f ) = 2
λ + π2f 2

Application
Imagerie radar à synthèse d’ouverture (Imagerie SAR)


Plan du cours
Déﬁnition
Introduction aux Files d’attente


Introduction aux Files d’attente
Hypothèses
Un guichet
Une ﬁle d’attente
Arrivée des clients décrite par un processus de
Poisson de paramètre λ
Temps de service Ts ∼ E(µ) avec E(Ts ) = 1/µ
Conclusion (admise)
Probabilité d’avoir n clients dans le système à l’instant t

P [X(t) = n] = (1 − Q)Qn , n ∈ N

avec Q = λ/µ 1.


Nombres moyens de clients

Dans le système
Q
L = E [X(t)] =
1−Q

Dans la ﬁle d’attente
Q2
LQ = E XQ (t) =
1−Q

Résultat utile
∞
n x
nx = 2
, |x| 1
(1 − x)
n=1


Temps de séjour moyen d’un client C

Dans le système
1
W = E (T ) = E [E (T |An )] =
µ(1 − Q)

où An est l’événement “il y a n clients dans le système
lorsque C y rentre”.
Dans la ﬁle d’attente
1 Q
WQ = E T Q = E (T ) − =
µ µ(1 − Q)

Formules de Little
L LQ
= =λ
W WQ

Plan du cours


Signaux des télécommunications

Chaîne de transmission
Échantillonnage et Quantiﬁcation
Codage
Mise en forme
modulation
...
Le signal NRZ : soit {An }n∈Z une suite de va binaires
indépendantes avec P [An = 1] = 1 − P [An = 0] = p.
Modèle 1
X(t) = At
Modèle 2
Y (t) = X(t + φ) = At+φ


Signal NRZ (modèle 1)

Moyenne
E[X(t)] = E[At ] = p

E[X(t)X(t − τ )] dépend de t

Exemple : t = 1 , τ = − 1 et t = 3 , τ = − 1 .
4 2 4 2



Moyenne
E[Y (t)] = p.

E[Y (t)Y (t − τ )] = p2 + (p − p2 )Λ1 (τ )


Preuves
Moyenne

E[Y (t)] = E[At+φ ]
= E[φ E[At+φ |φ]]
= E[p]
= p. CQFD


Preuves

E[Y (t)Y (t − τ )] = E[At+φ At−τ +φ ]
= E[φ E[At+φ At−τ +φ |φ]]
1
= E[At+φ At−τ +φ ]dφ
0
t+1
= E[Au Au−τ ]du
t
1
= E[A0 Au−τ ]du.
0


Preuves
τ ≤ −1
1 1
E[A0 Au−τ ]du = E[A0 ]E[Au−τ ]du
0 0
2
=p .

−1 ≥ τ ≥ 0
1 1+τ 1
E[A0 Au−τ ]du = pdu + p2 du
0 0 1+τ
= p(1 + τ ) − p2 τ.



Moyenne
E[Y (t)] = p.

E[Y (t)Y (t − τ )] = p2 + (p − p2 )Λ1 (τ )


Généralisation

X(t) = At/T , Y (t) = X(t + φ)

Moyenne
E[Y (t)] = p.

E[Y (t)Y (t − τ )] = p2 + (p − p2 )ΛT (τ ).


sY (f ) = p2 δ(f ) + (p − p2 )T sinc2 (πT f )
2
Bande passante : B = T (si T ց, le débit ր et B ր)


Signal Biphase

Formes d’onde
T
m1 (t) = 2ΠT /2 t− − 1, m0 (t) = −m1 (t)
4

Moyenne : E[X(t)] = 0

E[X(t)X(t − τ )] = R1 (τ ) + R2 (τ )

avec R1 (τ ) = k∈Z m(τ − kT ) périodique, R2 (τ ) de
support [−T, +T ], et

m(t) = 2(2p − 1)2 ΛT /2 (τ ) − (2p − 1)2 ΠT (τ )


Signal Biphase


sX (f ) = s1 (f ) + s2 (f )

avec s1 (f ) spectre de raies

k k
s1 (f ) = M δ f−
T T
k∈Z

et s2 (f ) spectre continu

πT f
sin4 2
s2 (f ) = [1 − (2p − 1)2 ] 2
πT f
2


Remarques

Fonction M
2k
M =0
T
2k + 1 4 (2p − 1)2
M = 2
T π (2k + 1)2

pour k ∈ Z.
récupération de l’horloge


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