El documento define las secciones cónicas y describe su historia y propiedades geométricas y analíticas. Introduce las cuatro secciones cónicas principales (elipse, parábola, hipérbola y circunferencia) y explica cómo surgieron de cortes en un cono circular. También cubre sus definiciones como lugares geométricos y expresiones analíticas.

1. DEFINICIÓN DE LAS CÓNICAS SECCIONES CÓNICAS: (cono de revolución circular recto y un plano de corte) “curva cónica que se obtiene dependiendo de la relación entre el ángulo de conicidad y la inclinación del plano respecto del eje del cono” LUGAR GEOMÉTRICO: (propiedad aditiva) (suma de distancias, propiedades geométricas, propiedades analíticas) subconjunto de puntos que cumplen ciertas propiedades que se expresan en términos de distancia: “lugar geométrico de puntos en R² cuyas coordenadas satisfacen cierta ecuación” LUGAR GEOMÉTRICO: (propiedad multiplicativas) (multiplicación de distancias, propiedades geométricas, excentricidad) “lugar geométrico de los puntos p del plano cuya razón de sus distancias a un foco, f, y a una recta D, llamada Directriz, es una constante fija”

2. ANTECEDENTES HISTÓRICOS TRES PROBLEMAS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES: Duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo) Trisección de un ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales) Cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) EvaristeGalois; 1830 FerdinandLindemann; 1882

3. CONO CIRCULAR Cono Circular Oblicuo Cono Circular Recto Vértice Generatriz Directriz Eje de simetría Base circular

4. CONO CIRCULAR RECTOPOR REVOLUCIÓN e e : eje g : generatriz v : vértice α : ángulo de inclinación s : superficie cónica α v s g

5. CONO CIRCULAR RECTO POR REVOLUCIÓN r : triángulo rectángulo e : eje g : generatriz v : vértice b : base s : superficie cónica v g e s b

6. MENECMO(Proconeso, c. 375 – c. 325 a.c.) Solución parcial al problema “Duplicación del cubo”: “Triada de Menecmo” : secciones cónicas Cono circular recto Varia el ángulo en el vértice El plano de corte siempre es perpendicular a la generatriz cono acutángulo, rectángulo y obtusángulo para la elipse, parábola e hipérbola, respectivamente.

7. SECCIÓN CÓNICA DE MENECMO ELIPSE Plano de corte Cono circular agudo o acutángulo (oxitoma)

8. SECCIÓN CÓNICA DE MENECMO Cono circular recto o rectángulo (ortotoma) Plano de corte PARÁBOLA

9. SECCIÓN CÓNICA DE MENECMO Plano de corte Cono circular obtuso o obtusángulo (amblitoma) HIPÉRBOLA

10. APOLONIO DE PERGA(c. 262 – 190 a. c.) Las nombro CÓNICAS, estudio sus propiedades y le dio nombre a cada una. ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLA Ellipsis (deficiencia), Hyperbola (avanzar más allá) y Parábola (colocar al lado o comparar)

11. SECCIONES CÓNICASDE APOLONIO CIRCUNFERENCIA ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLA HIPÉRBOLA

12. ÁNGULO DE CONICIDADY PLANO DE CORTE El tipo de curva que se obtiene depende de la relación entre el ángulo de conicidad a (de la superficie cónica) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (ángulo β, que forma el plano P con el eje e). Si β > a entonces el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si β ≤ a se obtiene una curva abierta.

13. ELIPSE Elipse: (Del lat. ellipsis, y este del gr. ἔλλειψις). Si β > a y β < 90º se obtiene una elipse tanto más alargada cuanto menor (más próximo a a) sea el ángulo β.

14. CIRCUNFERENCIA Circunferencia: (del lat. Circumferentĭa; de circumfĕrentis: que va alrededor) β = 90º Si β = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.

15. PARÁBOLA Parábola: (Del lat. parabŏla, y este del gr. παραβολή). Si β = a el plano es paralelo a una de la generatrices y se obtiene una curva abierta llamada parábola.

16. HIPÉRBOLA Hipérbola: (Del lat. hyperbŏla, y este del gr. ὑπερβολή). Si β < a entonces, tanto en los casos en que el plano corta al eje (0 < β < a) como cuando es paralelo a él (β = 0), se obtiene una curva con dos ramas abiertas llamada hipérbola.

17. CÓNICAS DEGENERADAS Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que: Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice). Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente cono). Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas concurrentes que se cortan en el vértice.

18. LAS CÓNICAS DEFINIDASCOMO LUGAR GEOMÉTRICO Punto fijo F, llamado foco, una recta fija, D, llamada directriz, Punto P en movimiento y que no pertenece a D P F PF = e PD D “lugar geométrico de un punto del plano que se mueve de forma que es constante el cociente de sus distancias de un punto fijo, foco, y una recta fija, directriz.

19. LAS CÓNICAS DEFINIDASCOMO LUGAR GEOMÉTRICO ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLA La excentricidad de una cónica es un número que mide su alargamiento y que está relacionado con los ángulos a y β. Es una invariante de semejanza. su excentricidad, e > 0

20. CIRCUNFERENCIA P r C lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es constante.

21. ELIPSE P F F’ lugar geométrico de todos los puntos del plano y solamente aquellos, tal que la suma de las distancias a dos puntos de él, llamados focos de la elipse, es constante y mayor que la distancia entre estos. lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

22. PARÁBOLA lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo, llamado foco, y una recta dada, llamada directriz. P F D Dados una recta y un punto coplanares, tal que el punto no pertenezca a la recta, la parábola es el lugar geométrico de todos los puntos de ese plano y solamente aquellos, que equidistan de esa recta y de ese punto. La recta se denomina directriz de la parábola y el punto, foco de esta.

23. HIPÉRBOLA lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. P P P F F’ lugar geométrico de todos los puntos del plano y solamente aquellos, tal que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos del plano, llamados focos de la hipérbola, es constante y menor que la distancia entre ellos.

24. EXPRESIÓN ANALITICA Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 A, B, C, D, E y F, son números reales A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano; degeneradas e incluso imaginarias Ax², Bxy, Cy² la parte cuadrática Dx, Ey, la parte lineal F la parte constante Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0

25. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CON EL TERMINO B (completa o ejes principales oblicuos) A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 ( B 0 ) INDICADOR O DISCRIMINANTE (D o I) 1 ) B 2 – 4 A C = 0 género parábola 2 ) B 2 – 4 A C < 0 género elipse 3 ) B 2 – 4 A C > 0 género hipérbola SIN COEFICIENTE B (incompleta o rotada) A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0 ( A 0 A 2 + C 2 > 0 ) DISCUSION 1 ) A C = 0 género parábola 2 ) A C > 0  género elipse 3 ) A C < 0 género hipérbola

27. género elipse

28. Circunferencia

29. género hipérbolae = 1 e < 1 e = 0 e > 1

30. ´CÓNICAS DEGENERADAS Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias Bxy = 0 B ≠ 0 Ax² + Dx + F = 0 A ≠ 0 Cy² + Ey+ F = 0 C ≠ 0 a (x – h)² + b (y – k)² = 0 Siendo a, b, h,kconstantes y cuandomenosuno de los primerosdiferentes a cero

31. ´CÓNICAS DEGENERADAS Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias X² + Y² = -1 X² + Y² = 0 X² - Y² = 0 X² = -1 X² = 1 X² = 0

32. PARÁBOLA X² - Y = 0 parábola unitaria 1 ) C D 0 parábola con eje de simetría paralelo al eje X 2 ) A E 0 parábola con eje de simetría paralelo al eje Y CASOS PARTICULARES 3 ) A = D = 0 a ) E 2 – 4 C F > 0 2 rectas paralelas al eje X b ) E 2 – 4 C F = 0 1 recta paralela al eje X c ) E 2 – 4 C F < 0 ningún lugar geométrico 4 ) C = E = 0 a ) D 2 – 4 A F > 0 2 rectas paralelas al eje Y b ) D 2 – 4 A F = 0 1 recta paralela al eje Y c ) D 2 – 4 A F < 0 ningún lugar geométrico

33. CIRCUNFERENCIA X² + Y² = 1 circunferencia unitaria (x – h)² + (y – k)² = r² circunferencia centro: c (h, k) radio: r > 0 Toda circunferencia en R² es una ecuación cuadrática con dos variables X y Y

34. ELIPSE 1 ) CD 2 + AE 2 – 4 ACF > 0 a ) A = C circunferencia b ) A < C elipse con eje focal paralelo al eje X c ) A > C elipse con eje focal paralelo al eje Y CASOS PARTICULARES 2 ) CD 2 + AE 2 – 4 ACF = 0 un punto 3 ) CD 2 + AE 2 – 4 ACF < 0 ningún lugar geométrico Si f1 = f2, se obtiene una circunferencia de r = a, y c = f1

35. HIPÉRBOLA CD 2 + AE 2 – 4 ACF < 0 hipérbola con eje focal paralelo al eje X 2) CD 2 + AE 2 – 4 ACF > 0 hipérbola con eje focal paralelo al eje Y CASO PARTICULAR 3 ) CD 2 + AE 2 – 4 ACF = 0 2 rectas secantes X² - Y² = 1 hipérbola

36. EJERCICIOS EJEMPLO DEL USO DE CADA CURVA, O SUPERFICIE DE REVOLUCION, EN LA VIDA DIARIA. EXPLICANDO SUS EL APROVECHAMIENTO DE SUS PORPIEDADES FOCALES Y/O GEOMETRICAS

38. ¿Por qué se les llama así?

39. ¿Qué características tiene cada una de las curvas que encontraste en ésta actividad?

40. Identifica algunas curvas de las aquí encontradas, en la arquitectura de Campeche Colonial.

41. ¿Qué curvas de las aquí encontradas observas en los juegos mecánicos de la feria?

42. ¿Qué curvas de las aquí encontradas observas en los cortes que realizas al partir alguna fruta? Especifica. en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá: D² > ab: hipérbola. D² = ab: parábola. D² < ab: elipse. a = b y h = 0: circunferencia (considerada un caso particular de elipse).

44. género elipse

45. género hipérbolay² = 2px ó x² = 2py

46. ´CÓNICAS DEGENERADAS Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias X² + Y² = -1 circunferencia imaginaria X² + Y² = 0 circunferencia de radio cero o punto X² - Y² = 0 par de rectas X² = -1 rectas paralelas X² = 1 rectas paralelas imaginarias X² = 0 rectas dobles