1. EL MOVIMIENTO
EL MOVIMIENTO
OSCILATORIO
OSCILATORIO
TEMA 5
Física 2º Bachillerato
Física 2º Bachillerato 1

2. MOVIMIENTO ARMÓNICO
MOVIMIENTO ARMÓNICO
SIMPLE
SIMPLE
• Un sistema constituye un oscilador
armónico cuando <<oscila>> entre dos
puntos A1 y A2 equidistantes, situados
a ambos lados de la posición de
equilibrio
• Al acercarse al punto de equilibrio, el
cuerpo aumenta su velocidad, pasando
por él, a la velocidad máxima
• Al alejarse del punto de equilibrio, va
disminuyendo su velocidad, de forma A2
que en los extremos se detiene y A
cambia el sentido del movimiento, a la Posición de
velocidad máxima equilibrio
A
A1
2

3. • La ecuación de un m.v.a.s. se obtiene a partir de la proyección de un movimiento
circular sobre una recta
P
A • P0 ωt2+ϕ0
ωt1+ϕ0 o P’
−A +A −A +A
o x1 P’ x2
A
x = A cos (ωt+ϕ0) P
- Si la proyección se realiza sobre el eje x, resulta: x = A cos (ωt+ϕ0)
- Si la proyección se realiza sobre el eje y, resulta: y = A sen (ωt+ϕ0)
• Elongación x: Distancia en un instante dado al punto de equilibrio
• Amplitud A: Elongación máxima. El valor de x varía entre −A y +A
• Fase θ: Describe el movimiento angular en el punto P
• Fase inicial ϕ0: Determina la elongación inicial: x0 = x (t = 0) = A cos ϕ0
3

4. • Los movimientos que se repiten en intervalos de tiempos iguales se denominan
periódicos
• Dado que: cos θ = cos (θ + 2π)
P
x = A cos ωt = A cos (ωt + 2π)
A
⇒ θ
 2π −A +A
x = A cos ω  t +  o x1 P’
ω θ + 2π

2π
T=
• El m.v.a.s. se repite cada período: ω
• El período es el tiempo que tarda en repetirse una posición en dicho movimiento. Se
mide en segundos (s)
• La frecuencia es la inversa del período e indica el número de veces que se repite una
posición en cada segundo. Se mide en (s-1) o Hertzios (Hz)
1 ω
ν= ν= ω = 2π ν
T 2π
• La frecuencia angular o pulsación se mide en (radianes/segundo)
4

5. • La ecuación más general del m.v.a.s. : x = A cos (ωt+ϕ0)
• Dependiendo de la fase inicial, la función que define este movimiento puede ser un
seno o un coseno
• Derivando la ecuación general del m.v.a.s., x = A cos (ωt + ϕ0) resulta:
dx
v= = − Aω sen (ωt + ϕ0 )
dt
⇒
1 − cos 2 ( ωt +
sen α + cos α = 1 ⇒ sen (ωt+ϕ0) =
2 2 ϕ0 )
v = ± Aω 1 − cos2 (ωt + ϕ0 ) = ± ω A 2 − A 2 cos2 (ωt + ϕ0 )
• Como x = A cos (ωt+ϕ0) ⇒ x2 = A2 cos2 (ωt+ϕ0)
v= ω A 2 − x2
• La velocidad es máxima cuando x = 0
Vmáx = A ω
El columpio se detiene en los extremos. En
el centro alcanza su máxima velocidad
5

6. X=A
x >0
x >0 v =0 x >0
v >0 a <0 x =0
v <0 v >0
a <0
a <0 a =0
X=0
x =0 x <0
v <0 v >0
a =0 x <0 x <0 a >0
v <0 v =0
a >0 a >0
X=−A
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
• Derivando la ecuación de la velocidad: v = − A ω sen (ωt + ϕ0) resulta:
dv d2 x
a= = 2 = − A ω2 cos (ωt + ϕ0 )
dt dt a = − ω2 x
Como x = A cos (ωt + ϕ0)
• El valor máximo se alcanza en los extremos, en los que x = ± A ⇒ amáx = ± ω2 A
Es proporcional a la elongación, máxima en los extremos y nula en el centro
6

7. • Según la ley de Hooke: F = − kx
• Por la segunda ley de Newton: F = m a = − m ω2 x k = m ω2
• Si x = 0 ⇒ F = 0 (no aparecen fuerzas)
• Si el móvil se encuentra fuera de la
posición de equilibrio, la fuerza que O
actúa sobre él está dirigida desde el
punto en que se encuentra a la posición
de equilibrio x
→
F
• La fuerza tiene el sentido contrario al
x
desplazamiento
2π →
T= F
ω m
T = 2π
k k
ω=
m
1 1 k
ν= ⇒ ν=
T 2π m 7

8. • Aplicando la definición de energía cinética:
1 1
Ec = m v 2 = m ω2 A 2 sen2 (ωt + ϕ0 )
2 2
1m 2 2
ω A
2
• Por las relaciones trigonométricas:
Ec =
1
2
[
m ω2 A 2 − x 2 ]
• Si x = 0 ⇒ energía cinética máxima
1
Ec,máx = m ω2 A 2
2
8

9. • Por tratarse de fuerzas centrales: dEp = − F dx = kx dx
• Integrando entre dos posiciones A y B:
xB 1 1
EP,B − EP,B = ∫x A k x dx = k xB − k x 2
2
A 1m 2 2
2 2 ω A
2
• Para cada posición, la Ep es de la forma:
1
EP = m ω2 A 2 cos2 (ωt + ϕ0 )
2
• Es máxima cuando cos (ωt + ϕ0) = ± 1
1
EP, máx = m ω2 A 2
2
9

10. • La energía total que tiene el oscilador armónico en cada instante es la suma de la
energía cinética y potencial
1 1
E = Ep + Ec = m ω2 A 2 cos2 (ωt + ϕ0 ) + m ω2 A 2 sen2 (ωt + ϕ0 )
2 2
• Sacando factor común:
Ec =
1 2
m ω (A2 − x2 ) E=
1
2
[ ]
m ω2 A 2 cos2 (ωt + ϕ0 ) + sen2 (ωt + ϕ0 )
2
1 2 2
mω A
2
• Simplificando:
1
E = Ep + Ec = m ω2 A 2
2
En el oscilador armónico, la energía
mecánica permanece constante en
1 2 cualquier instante
Ec = m ω x2
2
10

11. EL PÉNDULO SIMPLE COMO OSCILADOR ARMÓNICO
EL PÉNDULO SIMPLE COMO OSCILADOR ARMÓNICO
• Consiste en un hilo inextensible de masa despreciable suspendida de un extremo; del
otro pende un cuerpo de masa m considerado puntual
• Puede considerarse como un m.a.s. si la
separación de A del punto de equilibrio es tan
pequeña como para despreciar la curvatura y
de la trayectoria
L
Eje Y: T – Py = m an
θ
Eje X: Px = m ax ⇒ – mg sen θ = m ax x
• Simplificando resulta: – g sen θ = ax T
ax = – g θ m
• Para ángulos pequeños, sen θ = θ Px = – mg sen θ
Py= mg cos θ
• Sustituyendo el ángulo por el arco:
g P= mg θ
θ L = x ⇒ ax = − x g
L ω2 =
L
a = − ω2 x
L
T = 2π 11
g

12. • Cuando el péndulo está parado en uno de los extremos de su trayectoria, toda la
energía almacenada es Ep = mgh
• Al pasar por el punto más bajo de su trayec-toria,
toda la energía almacenada es EC
1
Ec = m v2
2
E = Ep = mgh
• La suma de ambas indica el valor de su energía h
en cualquier punto intermedio de su trayectoria
1
E = EP + Ec = m g h + m v2
2
• La relación entre su altura máxima y la
velocidad es: 1
E = Ec = m v2
1 2
mgh = m v2 ⇒ v = 2 gh
2 →
12 v

13. AMORTIGUAMIENTO
AMORTIGUAMIENTO
En movimientos reales intervienen fuerzas de rozamiento, lo que origina una pérdida
de energía mecánica que se transforma en calor, la pérdida de energía mecánica en el
sistema va disminuyendo la amplitud de la oscilación hasta que se para, entonces se
dice que es una oscilación amortiguada
El amortiguamiento se debe a la resistencia del aire y al rozamiento interno del sistema.
Para evitar la amortiguación hay que aportar continuamente energía al sistema que
vibra, pero esta energía debe llegar con la misma frecuencia que vibra el sistema.
RESONANCIA
RESONANCIA
Dos sistemas se dice que entran en resonancia cuando vibran con la misma frecuencia.
Para que haya resonancia hay que comunicarle al sistema energía con la misma frecuencia
que está vibrando, de esta forma se logra un gran aumento de la amplitud de oscilación .
Por resonancia se puede llegar a aumentar tanto la amplitud de oscilación de
un sistema que este puede incluso llegar a romperse, como cuando por
ejemplo un sonido determinado rompe una copa de cristal. 13

14. MOVIMIENTO
ONDULATORIO
TEMA 6
SEGUNDO BACHILLERATO
14

15. MOVIMIENTO ONDULATORIO: CONCEPTO DE
MOVIMIENTO ONDULATORIO: CONCEPTO DE
ONDA
ONDA
• Al desplazar un trozo del muelle en sentido
longitudinal y soltarlo, se produce una
oscilación que se propaga a todas las
partes del muelle comenzando a oscilar
• Si en una cuerda tensa horizontal, se hace
vibrar uno de sus extremos, la altura de ese
punto varía periódicamente
• Un movimiento ondulatorio es la propagación de una perturbación de alguna magnitud
física a través del espacio. Se suele denominar onda a la propia perturbación
• El movimiento ondulatorio no transporta materia, lo que se propaga es la perturbación
• Las partículas del medio alcanzadas por ésta, vibran alrededor de su posición de
equilibrio
En un movimiento ondulatorio no hay transporte de materia,
pero sí hay transporte de energía y de momento lineal
15

16. CLASIFICACIÓN DE ONDAS
CLASIFICACIÓN DE ONDAS
-Ondas mecánicas o elásticas: transportan energía mecánica y
Según el necesitan un medio material para propagarse, no se pueden propagar en
tipo de el vacío. Por ejemplo las ondas en una cuerda, las ondas en la superficie
energía del agua, las ondas sonoras, es decir el sonido, las ondas sísmicas. Son
que se debidas a la vibración del medio en que se propagan.
propaga
se -Ondas electromagnéticas : no necesitan medio material para
clasifican propagarse, se pueden propagar en el vacío, transportan energía
en: electromagnética y son el resultado de la interferencia entre campos
eléctricos y magnéticos variables perpendiculares entre si, la variación
de estos campos produce una emisión de energía que es la radiación
electromagnética. Por ejemplo la luz
Según sea la -Unidimensionales: en línea por ejemplo una cuerda o un muelle
propagación vibrando.
de la energía -Bidimensionales en un plano, por ejemplo agua oscilando en la
se clasifican superficie de un estanque.
en: -Tridimensionales en todo el espacio por ejemplo el sonido o la
luz.
Según la forma Planas si el frente de ondas es plano como las ondas que se
del frente de producen al sacudir un mantel, circulares si es
ondas se circular como las ondas en la superficie de un estanque y esféricas
clasifican en: si el frente es esférico como la luz o el sonido. 16

17. Según la dirección de propagación se clasifican en:
Según la dirección de propagación se clasifican en:
LONGITUDINALES
• La dirección de propagación coincide con la dirección de la
perturbación
El sonido, las ondas sísmicas P y las que se propagan en un
muelle, son ondas longitudinales
TRANSVERSALES
• La dirección de propagación es perpendicular a la dirección en
que tiene lugar la perturbación
Las ondas en una cuerda, las ondas electromagnéticas y las
ondas sísmicas S, son ondas transversales
17

18. Ondas armónicas. Función de onda
Ondas armónicas. Función de onda
• Una onda armónica es la propagación de una perturbación originada por un m.v.a.s.
• Su forma se corresponde con una función
armónica (seno o coseno)
y vientre
• Los puntos que en un instante tiene A nodo P
elongación máxima se denominan • •
vientres •
o xp x
-A
• Aquellos que tienen elongación nula se
denominan nodos
• La función de onda es la ecuación que describe un movimiento ondulatorio
• La elongación del punto O en cualquier instante t es: y0 (t) = A sen ωt siendo ω = 2πν
• El tiempo que tarda la perturbación en llegar a un punto P del eje situado a una
distancia xp del foco O es t’ = xp / v
 x
• La ecuación de onda o función de onda es: y ( x, t ) = A sen ω  t − 
 18 v

19. • También denominado período (T) es el intervalo de tiempo que transcurre entre dos
estados idénticos y sucesivos de la perturbación en un punto
• Coincide con el período del m.v.a.s. del foco de la perturbación
Rendija Pantalla
•
•
P
• Al colocar una pantalla con una rendija perpendicular a la cuerda, lo que equivale a
hacer x constante, se observa como el punto P describe un m.v.a.s.
• Si se tiene un punto P a una distancia x del foco vibrante, la función de onda para
x constante es: ξ(x, t) = ξ(t). La elongación de P solo depende de t
19

20. • La longitud de onda (λ) es el intervalo de longitud entre dos puntos sucesivos que
se encuentran en idéntico estado de perturbación
λ
• Características de una onda :
amplitud (A)
período (T)
longitud de onda (λ) o período espacial λ = vT
frecuencia (ν) que es la inversa del período
velocidad de propagación (v)
λ
v= =λυ
T 20

21. 2π
• La frecuencia angular o pulsación es: ω=
T
• La ecuación de ondas es: ξ ( x, t ) = A sen 2π  − 

t x
T λ
 ξ ( x, t ) = A sen ( ω t − k x )

2π
• El número de ondas es: k =
λ
t x
• El término (ωt – kx) = 2π  −  se denomina fase de la onda
T λ
Diferencias de fase:
Para un mismo instante t la diferencia de fase entre dos puntos de la onda situados respecto
al origen a las distancias x1 y x2 será ϕ1=wt-kx1 y ϕ2=wt-kx2
luego:ϕ2-ϕ1=(wt-kx2)-(wt-kx1)=wt-kx2-wt+kx1= k(x1-x2) ∆ϕ=k.∆x
Un mismo punto de la onda en dos instantes diferentes estará en diferentes estados de
vibración, diferente fase:
ϕ1=wt1-kx y ϕ2=wt2-kx luego ϕ2-ϕ1=(wt2-kx)-(wt1-kx)=wt2-kx-wt1+kx= w(t1-t2) ∆ϕ=w.∆t
Están en fase los puntos con idéntico estado de perturbación. La distancia entre ellos es
igual a un número entero de longitudes de onda o a un número par de semilongitudes
de onda
Están en oposición de fase los puntos que distan un número impar de
semilongitudes de onda 21

22. DOBLE PERIODICIDAD DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
DOBLE PERIODICIDAD DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
El movimiento ondulatorio armónico es periódico respecto al espacio y al tiempo.
Respecto al tiempo: para un tiempo nT donde n es un número entero y T es el periodo
vamos a comprobar si se repite el movimiento
Y=A.sen(wt-kx) pero también se puede expresar como :  2π .t 2π .x   t x
Y = A. sen  −  = A. sen 2π  − 
para un tiempo t+nT queda:  T λ  T λ 
 t + nT x   t nT x   2π .t 2π .x 
Y = A.sen 2π  −  = A.sen2π  + −  = A.sen − + n.2π 
 T λ T T λ   T λ 
pero como sabemos que por trigonometría senα=sen(α+2π) y es lógico ya que al dar una
oscilación completa vuelve a estar como estaba y entonces la ecuación vuelve a ser la
misma:
 t x
Y = A. sen 2π  − 
T λ 
Respecto al espacio: ocurre lo mismo si recorre un espacio nλ donde n es un número entero
y λ es la longitud de onda
 2π .t 2π .x   t x + nλ   t x nλ   2π .t 2π .x 
Y = A. sen  −  = A. sen 2π  −  = A. sen 2π  − −  = A. sen − − n.2π 
 T λ  T λ  T λ λ   T λ 
igual que antes se trata de una oscilación completa y la ecuación queda igual
que al principio  t x
Y = A. sen 2π  −  22
T λ 

23. INTENSIDAD DE UNA
INTENSIDAD DE UNA
ONDA
ONDA
• Una onda transporta energía desde el foco emisor al medio. Para caracterizar la
propagación de la energía por la onda se define la magnitud denominada intensidad
• La intensidad de una onda en un punto es la energía que pasa en cada unidad de
tiempo por la unidad de superficie situada perpendicularmente a la dirección de
propagación
E P
• La intensidad es una potencia por unidad de superficie I= =
St S
• La unidad de intensidad es W m-2
1 1 1 2
E c = mV 2 E p = kx 2 E = Ec + E p = kA
2 2
2
2π 1
ω= = 2π . f E= m.4π 2 . f 2 . A 2 = constante. f 2 . A 2
T 2
La energía de vibración es directamente proporcional al cuadrado de la frecuencia de oscilación yyal
La energía de vibración es directamente proporcional al cuadrado de la frecuencia de oscilación al
cuadrado de la amplitud de la onda.
cuadrado de la amplitud de la onda. 23

24. • Se llama amortiguación a la disminución de la amplitud de una onda.
• Una onda se amortigua a medida que avanza, por dos causas: la absorción del medio y
la atenuación con la distancia
Absorción
• Se llama amortiguación a la disminución
de la amplitud de una onda.
• La disminución de la intensidad de la onda
se traduce en una disminución de la
amplitud:
−α x
A = A0 e El tipo de material con que se revisten las paredes
de las salas de audición musical, condiciona la
siendo α el coeficiente de absorción cantidad de sonido que se recibe, ya que
absorben de diferente grado las ondas sonoras
• Las intensidades son proporcionales a los
cuadrados de las amplitudes, por tanto:
− 2α x 24
I = I0 e

25. Atenuación
• Cuando el foco es puntual se producen ondas esféricas cuyo frente se propaga en
todas direcciones del espacio
• Este fenómeno se produce aunque no haya
disipación de energía al medio, se debe a
que al avanzar la onda las partículas puestas
en vibración aumentan por lo que la energía
r2 B2
se reparte para más partículas y les toca
menos cantidad a cada una, lo que hace que r1
la amplitud de la onda disminuya. B1
F
• La intensidad de la onda esférica en el punto B1
que dista r1 del foco emisor F es:
P
I1 = 2
4 π r1
• Y en el punto B2 que dista r2 del foco emisor F :
P I1 r2 A1 = r 2
I2 = • Por tanto, = 2 ⇒
4 πr2 I2 2
r1 A 2 r1
2 25

26. ONDAS
SONORAS
Acústica: Ciencia que estudia la producción, propagación y
recepción del sonido
Producción: Al vibrar un foco sonoro las vibraciones se
transmiten a las partículas del medio que al oscilar
longitudinalmente transmiten la perturbación.
El sonido es una onda mecánica longitudinal, mecánica, ya
que, necesita un medio para propagarse y longitudinal
porque lo hace un la misma dirección de la perturbación
26

27. SONIDO
SONIDO Onda mecánica, longitudinal y tridimensional
INTENSIDAD
A
A2 fuerte
A1 débil
O t
• La intensidad sonora es la cantidad de sensación auditiva que produce un sonido
• Según su sonoridad, los sonidos se perciben como fuertes o débiles
Para una misma frecuencia, a mayor intensidad,
mayor amplitud de onda sonora 27

28. TONO
TONO
A
grave
• • •
O T1 T2 t
agudo
• Permite distinguir entre sonidos graves y agudos, y está relacionado con la frecuencia
• Los de mayor frecuencia se perciben como agudos , y los de menor, como graves
La frecuencia es igual al número de compresiones y dilataciones
que tienen lugar en un punto del medio cada segundo
28

29. TIMBRE
TIMBRE
A clarinete
O t
violín
• Permite al oído humano distinguir entre dos notas iguales emitidas por distintos
instrumentos
• Ningún foco emisor, ejecuta una vibración armónica pura, sino una vibración armónica
de frecuencia determinada (ν) acompañada de un conjunto de vibraciones de
frecuencias múltiplos de la fundamental, 2 ν, 3 ν, ... denominados armónicos
29

30. SENSACIÓN SONORA. ESCALA DECIBÉLICA
SENSACIÓN SONORA. ESCALA DECIBÉLICA
• La intensidad sonora depende de la onda y de su frecuencia. Se mide en dB en la
escala decibélica (escala logarítmica)
• El nivel de intensidad sonora β se define como: I I
β = log ⇒ βdb = 10 log
I0 I0
Intensidad sonora de algunos sonidos habituales
Fuente sonora Intensidad sonora
en W m −2
en dB
10−12 Umbral de audición 0
Respiración normal 10−11 Apenas audible 10
Murmullo de hojas 10−10 20
Susurros a 5 m 10−9 30
Casa tranquila 10−8 40
Oficina tranquila 10−7 50
Voz humana a 1 m 10−6 60
Calle con tráfico intenso 10−5 70
Fábrica 10−4 80
Ferrocarril 10−2 100
Grandes altavoces a 2 m 100 Umbral de dolor 120
30
Despegue de un reactor 102 140

31. FENÓMENOS
FENÓMENOS
ONDULATORIOS
ONDULATORIOS
TEMA 7
Física 2º Bachillerato
Física 2º Bachillerato 31

32. • Los fenómenos de interferencia ocurren cuando un punto del espacio es alcanzado
simultánea-mente por dos o más ondas
• Aunque las funciones de onda se
sumen, sus efectos físicos no son
aditivos, lo que da lugar a los
fenómenos de interferencia
• La suma de varias perturbaciones
en un punto puede dar como
resultado una perturbación nula
Ejemplo: luz + luz = oscuridad
Interferencias en la superficie del agua
• Como la función de onda ξ depende de la posición x y del tiempo t, los fenómenos de
interferencias pueden estudiarse en el espacio o en el tiempo
Si sometemos una cuerda a dos sacudidas, una por cada extremo, se van a propagar
en sentido contrario y cada perturbación se moverá una independientemente de la
otra. Cuando las dos perturbaciones se cruzan el resultado es la interferencia y
cuando se separan cada un sigue independientemente con su forma inicial.
32

33. SUPERPOSICIÓN DE ONDAS. PRINCIPIO DE
SUPERPOSICIÓN DE ONDAS. PRINCIPIO DE
SUPERPOSICIÓN
• Cuando nSUPERPOSICIÓN descritos cada uno de ellos por su ecuación de ondas
movimientos ondulatorios,
ξ i, inciden simultáneamente en un punto, la función de onda resultante es la suma de las
funciones de onda de cada uno de ellos: ξ = ξ1 + ξ2 + ... + ξn = Σξi
Este proceso de adición matemática de funciones de onda armónicas, se denomina
superposición
• Permite calcular la función de onda resultante cuando varios movimientos ondulatorios
coinciden al mismo tiempo en un punto, pero conlleva la dificultad de sumar funciones
trigonométricas en el caso de las ondas armónicas. Para salvar este inconveniente, Fresnel
elaboró un método denominado construcción de Fresnel que permite tratar las ondas como
vectores
Representación de un vector y de una función de onda como un vector
→
v ξ
→
v A
ϕ ϕ
33

34. FASORES O VECTORES ROTATORIOS
 Fresnel nos enseñó el método de los
fasores, es decir, tratar la función
de onda como un vector.
 Si queremos sumar dos funciones
de onda de amplitudes y fases
diferentes, se suman como vectores
mediante la regla del
paralelogramo. La amplitud total A A2 = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos δ
2
de la onda resultante de acuerdo
con el teorema del coseno: I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos δ
Donde δ = ϕ2 −ϕ1 = (ω2t − kx2 ) − (ω1t − kx1 )
La fase resultante :
A1senϕ1 + A2 senϕ2
tgϕ =
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2
34

35. INTERFERENCIA EN FASE
1)
• El valor máximo de la intensidad de onda I se 2)
produce cuando cos δ = 1; se tiene entonces una
interferencia constructiva. Para ello, δ = 2nπ, siendo 3)
n = 1, 2, 3, ... luego: 4)
2π
δ= ( x1 − x 2 ) = 2 n π ⇒ x1 − x 2 = nλ
λ
La intensidad es máxima en los puntos cuya
diferencia de distancias a los focos es igual a un Interferencia constructiva
número entero de longitudes de onda
INTERFERENCIA EN OPOSICIÓN DE FASE 1)
2)
• El valor mínimo de la intensidad de onda I se 3)
produce cuando cos δ = −1; se tiene entonces una
interferencia destructiva. Para ello, δ = (2 n + 1) π, 4)
siendo n = 1, 2, 3, ... luego:
2π λ
δ = ( x1 − x2 ) = (2 n + 1) π ⇒ x1 − x2 = (2 n + 1)
λ 2 Interferencia destructiva
La intensidad es mínima en los puntos cuya
diferencia de distancias a los focos es igual a un
número impar de semilongitudes de onda 35

36. ONDAS ESTACIONARIAS
Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos
movimientos ondulatorios armónicos de igual amplitud y frecuencia
que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio. Pero la
onda estacionaria NO ES una onda viajera, puesto que su ecuación
no contiene ningún término de la forma kx-ωt. Por sencillez,
tomaremos como ejemplo para ilustrar la formación de ondas
estacionarias el caso de una onda transversal que se propaga en el
sentido de izquierda a derecha (→) en una cuerda sujeta por sus
extremos; esta onda incide sobre el extremo derecho y se produce
una onda reflejada que se propaga en el sentido de derecha a
izquierda (←). La onda reflejada tiene una diferencia de fase de π
radianes respecto a la incidente. La superposición de las dos ondas,
incidente y reflejada, da lugar, en ciertas condiciones, a ondas
estacionarias.
36

37. ONDAS ESTACIONARIAS (2)
Ecuación de la onda incidente, sentido (→): y1 = A cos(kx − ωt ) 2π
k=
λ
Ecuación de la onda reflejada, sentido (←): y2 = A cos(kx + ωt + π )
2π
ω = 2π f =
Cuando la onda viajera se refleja en un extremo, su fase cambia en π radianes. T
y2 = A cos(kx + ωt + π ) = A cos(kx + ωt ) cos π − A sen(kx + ωt ) sen π = − A cos(kx + ωt )
y1 = A cos(kx − ωt ) = A cos kx cos ωt + A sen kx sen ωt
y2 = − A cos( kx + ωt ) = − A cos kx cos ωt + A sen kx sen ωt
y = y1 + y2 = A cos(kx − ωt ) + A cos(kx + ωt + π ) = 2 A sen kx sen ωt
Cada punto de la cuerda vibra con un MAS de amplitud igual a 2A sen kx,
es decir, la amplitud depende de la posición del punto en la cuerda.
37

38. En el libro tenemos la ecuación: y = 2 Asenkx cos ωt
Como vemos no es del mismo tipo de las que venimos estudiando
Pues ahora la dependencia de x y t está en dos funciones distintas
Por ello esta onda se le denomina onda NO viajera.
LA EXISTENCIA DE NODOS O PUNTOS QUE NO OSCILAN IMPLICA
QUE EN UNA ONDA ESTACIONARIA, A DIFERENCIA DE LAS
VIAJERAS, NO TRANSPORTA ENERGÍA DE UN PUNTO A OTRO.
SINO QUE ESTÁ CONFINADA.
Y debido a esta ecuación da lugar a nodos y vientres que debemos
localizar para determinar totalmente la onda.
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39. LOCALIZACIÓN DE NODOS Y
VIENTRES
39

40. LOCALIZACIÓN DE VIENTRES
Como los VIENTRES de la
cuerda serán máximos λ
por hipótesis, la vibración x = (2n + 1)
4
en ellos tiene que ser
máxima;
n = 1,2,3,...
40

41. ONDAS ESTACIONARIAS (3)
¿Se producen ondas estacionarias en una cuerda
para cualquier par de ondas incidente y reflejada?
NO!
Como los puntos extremos de la cuerda
y x =0 = 2 A sen 0 = 0
están fijos por hipótesis, la vibración en
ellos tiene que ser nula; es decir, si la y x = L = 2 A sen kL = 0
cuerda donde se propagan las ondas tiene
longitud L, en los extremos x = 0 y x = L
han de verificarse en cualquier instante las kL = nπ 2π λ
condiciones siguientes: L = nπ L=n
n = 1,2,3,... λ 2
La condición L = nλ/2 quiere decir que aparecen ondas estacionarias sólo en
aquellos casos que cumplan el requisito de que la longitud de la cuerda sea un
múltiplo entero de la semilongitud de onda.
Esto significa que en una cuerda
v = velocidad de propagación
de longitud L dada, sólo aparecen
v
ondas estacionarias para ciertas fn = 2L
frecuencias de vibración fn, λn λn =
n
aquellas que cumplen la condición
41

42. ONDAS ESTACIONARIAS (4)
En una onda estacionaria se distinguen los puntos nodales (o simplemente nodos),
que son aquellos puntos en que la amplitud es nula, es decir, posiciones donde no
hay vibración; los vientres o antinodos de la onda estacionaria, por el contrario, son
los puntos en donde la vibración se produce con la máxima amplitud posible.
La distancia entre dos nodos consecutivos es igual a media longitud de onda.
En efecto, un nodo cualquiera, situado en la posición xm, cumple la condición
λ donde m toma todos los valores
sen kxm = 0 kxm = mπ xm = m
2 sucesivos m = 1, 2,..., n-1
La frecuencia más baja para la que se observan ondas estacionarias en una cuerda
de longitud L es la que corresponde a n = 1. Ésta se denomina frecuencia
fundamental, y cuando la cuerda vibra de este modo no se presentan nodos
intermedios entre sus dos extremos. La siguiente posibilidad, el caso n = 2, se llama
segundo armónico, y presenta un nodo intermedio. A continuación n = 3, tercer
armónico, tiene dos nodos intermedios.
Para el armónico n-ésimo, el número de nodos intermedios entre los extremos es n-1,
y su frecuencia y su longitud de onda son, respectivamente,
v 2L
fn = λn =
λn n 42

43. ONDAS ESTACIONARIAS (5)
FUNDAMENTAL
n=1
SEGUNDO ARMÓNICO 2L
n=2 λn =
n
1
TERCER ARMÓNICO L = nλn
2
n=3
CUARTO ARMÓNICO
n=4
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44. ONDAS ESTACIONARIAS (6)
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
En una cuerda de densidad lineal µ (masa por unidad de longitud) sometida
a la tensión T , la velocidad de propagación de una onda viene dada por
T
v=
µ
Considerando además la relación entre la velocidad de propagación, la
frecuencia y la longitud de onda, puede demostrarse que las frecuencias para
las que se observarán ondas estacionarias en una cuerda están dadas por:
n T
fn =
2L µ
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45. PRINCIPIO DE
PRINCIPIO DE
HUYGENS
HUYGENS
• Se denomina frente de onda a la superficie formada por todos los puntos que son alcanzados
por una onda al mismo tiempo; en consecuencia, todos los puntos de un frente de onda
tienen la misma fase
• Las líneas perpendiculares al frente de onda en cada punto se llaman rayos
Frente de onda
Frente de
esférico
Frente de onda onda plano
plano
Frente plano Frente esférico
Principio de Huygens. Cada punto de un frente de ondas se comporta como un foco
emisor de ondas secundarias cuya envolvente constituye el nuevo frente de ondas
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46. REFLEXIÓN DE
REFLEXIÓN DE
ONDAS
ONDAS
• La reflexión de ondas es el
cambio de la dirección de
propagación al incidir la
onda en el límite de
N
separación de dos medios A’
diferentes; después de la
reflexión, la onda continua
su propagación en el A
mismo medio
ˆ
i
• Como tA’B’ = tAB, siendo v la velocidad ˆ
r B A’
de propagación de las ondas, resulta:
A ' B' AB
= ⇒ A ' B ' = AB
v v A B’
• Los triángulos AA’B’ y AA’B son iguales, y también lo serán los ángulos ˆ
i y ˆ
r
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47. REFRACCIÓN DE
REFRACCIÓN DE
ONDAS
ONDAS
• La refracción de ondas consiste en el cambio de dirección de propagación al pasar la
onda de un medio a otro diferente. Si el medio no permite la transmisión de una onda
a través de él, se dice que es un medio opaco para ese movimiento ondulatorio
Refracción de un frente de ondas
AA’
ˆ
i ˆ
i
A’ A’
Medio 1 ˆ
i Medio 1 ˆ
A A i
ˆ
r B’
Medio 2 Medio 2
B
ˆ
r
AB A ' B'
t AB = t A 'B' ⇒ =
v2 v1 ∧ ∧
∧ sen i sen r
AB = AB' sen r ⇒ = (Ley de Snell)
v1 v2
∧
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A ' B' = AB' sen i

48. LEYES DE LA REFRACCIÓN
• La dirección de incidencia de las ondas, la
dirección de salida y la normal a la
superficie de separación de ambos medios
están en un mismo plano
• El ángulo de incidencia y el ángulo de
refracción están relacionados por:
∧ ∧
sen i sen r
=
v1 v2 Refracción en la cubeta de ondas
LEYES DE LA REFLEXIÓN
• La dirección de incidencia de la onda, la dirección de salida y la normal a
la superficie de separación de ambos medios están en un mismo plano
• El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión
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49. DIFRACCIÓ
DIFRACCIÓ
N
N
• Un observador percibe la luz de un foco aunque no
pueda verlo directamente, y oye los sonidos de un
altavoz aunque se encuentre detrás de un obstáculo
• Este fenómeno se denomina difracción
• La difracción de ondas se produce cuando la onda se
encuentra con un obstáculo cuyo tamaño es del
mismo orden de magnitud que su longitud de onda. El
obstáculo puede ser una rendija, un borde recto, un
disco, una abertura, etc; un conjunto de rendijas con
una anchura adecuada se llama red de difracción
• Puede observarse la difracción de ondas en la
superficie del agua si se disponen dos estanques
comunicados por una abertura; al producir una pertur-
bación en uno de ellos, se observa que al llegar a la Difracción de ondas planas en la
cubeta de ondas
abertura de separación se propaga por el segundo
medio, de acuerdo con el principio de Huygens
• La difracción de la luz no es apreciable a simple vista porque los obstáculos deben
ser muy pequeños (del orden de la longitud de onda de la luz: 400-700 nm)
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50. EFECTO DOPPLER:
Cambio de la frecuencia de emisión producido por el
Movimiento relativo entre la fuente y el receptor.
- Cuando la fuente se acerca al receptor, la frecuencia
percibida aumenta.
- Cuando la fuente se aleja del emisor la frecuencia
percibida disminuye
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51. EFECTO DOPLER
51

52. 52

53. BARRERA DEL SONIDO Y ONDAS DE PROA
“ la fuente de onda “persige a los frentes de onda generados
Por ella misma”
Barrera del sonido Ondas de Proa
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54. ONDA DE CHOQUE
Ondas de sonido esféricas que se superponen
formando un cono.
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