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  1. 1. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II TÉCNICAS DE INTEGRACIÓNINTEGRACIÓN DIRECTADe cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente deintegración. La integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitivade forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarlanos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.EJEMPLO: 2xdx x2 c, c ; porque D x2 c 2x x PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRACIÓN P2. Si f y f están definidas en el mismo dominio, entonces 1 2P1. k f x dx k f x dx, k f x f x dx f x dx f x dx 1 2 1 2Esta propiedad indica que podemos sacar un factorconstante de la integral. Esta propiedad indica la linealidad de la integraciónP3. Si f , f , … y f están definidas en el mismo 1 2 ndominio, entonces n n k .f x dx k. f x dx , k P4. Si k , entonces kdx k.x c, c , i i i i i i 1 i 1Esta propiedad indica la linealidad de la integración P6. Sea r diferente de 1 , entonces xr 1P5. dx x c, c xr dx c, c . r 1 xr 1 También k.xr dx k c, k y c r 1 1P7. x 1dx dx Ln x c, c P8. e x dx ex c, c x ax P10. a 0 a 1: a x dx c, c Ln aP9. Ln x dx xLn x x c, c x SUG.: a a x Ln a 1
  2. 2. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE Análisis Matemático I CICLO: 2010 – IIP11. sen x dx cos x c, c P12. cos x dx sen x c, cP13. sec 2 x dx tan x c, c P14. csc 2 x dx cot x c, c P16. csc x cot x dx csc x c, cP15. sec x tan x dx sec x c, c 1 1P17. dx arcsen x c, c P18. dx arctan x c, c 1 x2 1 x2 1 P20. senh x dx cosh x c, cP19. dx arc sec x c, c x x2 1P21. cosh x dx senh x c, c P22. sec h2 x dx tanh x c, cP23. csc h2 x dx coth x c, c P24. sec h x tanh x dx sec h x c, c f xP25. csc h x coth x dx csc h x c, c P26. dx Ln f x c, c f x PRACTICA DIRIGIDA DE AULACalcule las integrales indefinidas que se indican, aplique las propiedades en cada caso. 8 x4 3 x2 91. 3 x 4 dx 2. cos x 5sen x 7 dx 3. dx 3 x3 4 24. cot 2 x 1 tan2 x dx 5. x x 3 dx 6. 7 dx x5 x2 sec x 2 se n x7. dx 8. dx 9. dx cos2 x 3 tan x cot x x 6 x2 8 x10. x 2 dx 11. ex 3 x 2 dx 12. dx x3 2x 2 2
  3. 3. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II SOLUCIONARIO 1. SOLUCIÓN: 3x 4 dx Propiedad 2: 3x 4 dx 3 xdx 4dx x1 1 Propiedad 4 y 6: 3x 4 dx 3 4 x c, c 1 1 Por lo tanto: 3 x2 3x 4 dx 4 x c, c 2 2. SOLUCIÓN: cos x 5sen x 7 dx Propiedad 3: cos x 5sen x 7 dx cos x dx 5 sen x dx 7 dx Propiedad 11, 12 y 5: cos x 5sen x 7 dx sen x 5 cos x 7 x c, c Por lo tanto: cos x 5sen x 7 dx sen x 5 cos x 7 x c, c 3
  4. 4. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 8 x4 3 x2 9 3. SOLUCIÓN: dx 3 x3 Efectuando la división, se obtiene: 8 x4 3 x2 9 8x dx x 1 3 x 3 dx 3 x3 3 Propiedad 3: 8 x4 3 x2 9 8 dx xdx x 1dx 3 x 3 dx 3 x3 3 Propiedad 6 y 7: 8 x4 3 x2 9 8 x1 1 x 3 1 dx Ln x 3 c, c 3 x3 3 1 1 3 1 Por lo tanto: 8 x4 3 x2 9 8 x2 3x 2 dx Ln x c, c 3 x3 6 2 4. SOLUCIÓN: cot 2 x 1 tan2 x dx Simplificando el integrando, se obtiene: cot 2 x 1 tan2 x dx cot 2 x 1 dx csc 2 x dx Por lo tanto, por la propiedad 14: cot 2 x 1 tan2 x dx cot x c, c 4
  5. 5. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 5. SOLUCIÓN: x x 3 dx Arreglando el integrando, se obtiene: 1/ 2 3/2 1/ 2 x x 3 dx x x 3 dx x 3x dx Propiedad 3 y 6: 3/2 1 1/ 2 1 3/2 1/ 2 x x x x 3 dx x dx 3 x dx 3 c, c 3/2 1 1/ 2 1 Por lo tanto: 5/2 2x 3/2 x x 3 dx 2x c, c 5 4 2 6. SOLUCIÓN: 7 dx x5 x2 4 2 Arreglando el integrando, se obtiene: 7 dx 7 4x 5 2x 2 dx x5 x2 Propiedad 3 y 6: 4 2 x 5 1 x 2 1 7 dx 7 dx 4 x 5 dx 2 x 2 dx 7x 4 2 c, c x5 x2 5 1 2 1 Por lo tanto: 4 2 7 dx 7x x 4 2x 1 c, c x5 x2 5
  6. 6. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II sec x 7. SOLUCIÓN: dx tan x cot x Arreglando el integrando, se obtiene: sec x sec x sec x cos x s en x dx dx dx sen x dx tan x cot x sen x cos x sen2 x cos2 x cos x s en x Por lo tanto, por la Propiedad 11: sec x dx cos x c, c tan x cot x 2 8. SOLUCIÓN: dx 3x 2 2 1/ 3 Arreglando el integrando, se obtiene: dx dx 2x dx 3x x1/ 3 Por lo tanto, por la Propiedad 6: 2 2/3 dx 3x c, c 3x sen x 9. SOLUCIÓN: dx cos2 x sen x Arreglando el integrando, se obtiene: dx tan x sec x dx cos2 x Por lo tanto, por la Propiedad 15: sen x dx sec x c, c cos2 x 6
  7. 7. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 10. SOLUCIÓN: x 2 dx Por lo tanto, por la Propiedad 6: x 2 1 x 2 dx c x 1 c, c 2 1 11. SOLUCIÓN: ex 3 x 2 dx . Por la Propiedad 3: ex 3 x 2 dx e x dx 3 x 2 dx Por lo tanto, por la Propiedad 6 y 8: x2 1 ex 3 x 2 dx ex 3 c ex x3 c, c 2 1 6 x2 8 x 12. SOLUCIÓN: dx x3 2x 2 Arreglando el integrando, se obtiene: 2 3 x2 4x 6 x2 8 x dx dx x3 2x 2 x3 2x 2 Por lo tanto, por la Propiedad 1 y 26: 6 x2 8x 3 x2 4x dx 2 dx 2Ln x3 2x 2 c, c 3 2 3 2 x 2x x 2x 7
  8. 8. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se conoce como integración por sustitución. PRACTICA DIRIGIDA DE AULA Calcule las siguientes integrales: 10 4/31. 1 4 y dy 2. x 2 x3 1 dx 3. x2 4x 4 dx 4. x x 2 dx t 55. x 2 3 2xdx 6. cos 4 d 7. sen 4t 2 dt 8. cos x 2 sen x dx 2 θ cos θ dθ 1 1 sec 2 3 t9. 1 dx 10. 2sen x 3 1 cos x dx 11. sen3 12. dt 3x x2 t y 3 x313. dy 14. dx 15. tan x dx 2/3 16. ekx dx, k 3 y 1 2x 2 t317. sec x dx 18. cot x dx 19. csc x dx 20. dt 5 1 2t 4 2r x2 2x 4 y2 1 3/2 t2 121. dr 22. dx 23. dy 24. t dt 1 r 2/3 x3 3 x2 1 1 y 3 2/3 t t2 2x 1 s 1/ 2 x2 225. dx 26. ds 27. x x2 9 dx 28. dx x2 x 1 2s 3 x3 6 x 1 3 x2 629. dx 30. x 2 sen x3 4 dx 31. e x dx x3 6x 8
  9. 9. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II SOLUCIONARIO 1. SOLUCIÓN: 1 4 y dy 1/ 2 Se expresa el integrando en la forma de potencia : 1 4 y dy 1 4y dy 1 Sea u 1 4 y du 4dy dy du 4 De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 1 1 1 u3 / 2 u3 / 2 1 4 y dy u1/ 2 du u1/ 2 du c c, c 4 4 4 3/2 6 Por lo tanto: 3/2 1 4y 1 4 y dy c, c 6 10 2. SOLUCIÓN: x 2 x3 1 dx Sea u x3 1 du 3 x 2 dx De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 10 1 10 1 u11 x 2 x3 1 dx x3 1 3 x 2 dx u10 du c, c 3 3 33 Por lo tanto: 11 10 x3 1 x 2 x3 1 dx c, c 33 9
  10. 10. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 4/3 3. SOLUCIÓN: x2 4x 4 dx Arreglando el integrando: 4/3 2 4/3 8/3 x2 4x 4 dx x 2 dx x 2 dx Sea u x 2 du dx De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 4/3 u11/ 3 3u11/ 3 x2 4x 4 dx u8 / 3 du c c, c 11/ 3 11 Por lo tanto: 4/3 11/ 3 3 x 2 x2 4x 4 dx c, c 11 4. SOLUCIÓN: x x 2 dx 1/2 Arreglando el integrando: x x 2 dx x x 2 dx Sea u x 2 du dx De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 2u5/2 4u3/2 x x 2 dx u 2 u1/2 du u3/2 2u1/2 du c, c 5 3 Por lo tanto: 5/2 3/2 2 x 2 4 x 2 x x 2 dx c, c 5 3 10
  11. 11. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 5. SOLUCIÓN: x 2 3 2xdx 1/ 2 Arreglando el integrando: x 2 3 2xdx x 2 3 2x dx 1 Sea u 3 2x du 2dx du dx 2 De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 2 3 u 1 1 2 1/ 2 1 x 2 3 2xdx u1/ 2 du 3 u u du 9 6u u2 u1/ 2 du 4 2 8 8 1 1 12 5 / 2 2 7/2 x 2 3 2xdx 9u1/ 2 6u3 / 2 u5 / 2 du 6u3 / 2 u u c, c 8 8 5 7 Por lo tanto: 3 3/2 3 5/2 1 7/2 x 2 3 2xdx 3 2x 3 2x 3 2x c, c 4 10 28 θ dθ 6. SOLUCIÓN: cos 4 θ du 4dθ dθ du 1 Sea u 4 4 De tal manera que al hacer la sustitución, queda: θ dθ cos u du sen u c sen 4θ c, c 1 1 1 cos 4 4 4 4 Por lo tanto: θ dθ sen 4θ c, c 1 cos 4 4 11
  12. 12. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II t 7. SOLUCIÓN: sen 4t 2 dt 2 1 Sea u 4t 2 du 8t dt du t dt 8 De tal manera que al hacer la sustitución, queda: t 1 1 1 1 sen 4t 2 dt sen 4t 2 t dt sen u du sen u du 2 2 2 8 16 t 1 1 sen 4t 2 dt cos u c cos 4t 2 c, c 2 16 16 Por lo tanto: t 1 sen 4t 2 dt cos 4t 2 c, c 2 16 5 8. SOLUCIÓN: cos x 2 sen x dx Sea u 2 sen x du cos x dx De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 5 5 u6 cos x 2 sen x dx 2 sen x cos x dx u5 du c, c 6 Por lo tanto: 6 5 2 sen x cos x 2 sen x dx c, c 6 12
  13. 13. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 1 1 9. SOLUCIÓN: 1 dx 3x x2 1 1 1 Sea u 1 du dx 3du dx 3x 3 x2 x2 De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 1 1 u3 / 2 1 dx u 3du 3 u1/ 2 du 3 c, c 3x x2 3/2 Por lo tanto: 3/2 1 1 1 1 dx 2 1 c, c 3x x2 3x 10. SOLUCIÓN: 2sen x 3 1 cos x dx 1/ 3 Arreglando el integrando: 2sen x 3 1 cos x dx 2 1 cos x sen x dx Sea u 1 cos x du sen x dx du sen x dx De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 6u4 / 3 3 4/3 2sen x 3 1 cos x dx 2 u1/ 3 du c 1 cos x c, c 4 2 Por lo tanto: 3 4/3 2sen x 3 1 cos x dx 1 cos x c, c 2 13
  14. 14. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II θ cos θ dθ 11. SOLUCIÓN: sen3 θ du cos θ dθ Sea u sen De tal manera que al hacer la sustitución, queda: θ cos θ dθ u du c, c u4 sen3 3 4 Por lo tanto: θ cos θ dθ θ c, c sen4 sen3 4 sec 2 3 t 12. SOLUCIÓN: dt t 3 2 1 Sea u 3 t du dt du dt 2 t 3 t De tal manera que al hacer la sustitución, queda: sec 2 3 t 1 2 2 dt sec 2 3 t dt sec 2 u du tan u c, c t t 3 3 Por lo tanto: sec 2 3 t 2 dt tan 3 t c, c t 3 14
  15. 15. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II y 3 13. SOLUCIÓN: dy 2/3 3 y y 3 2/3 Arreglando el integrando: dy y 3 3 y dy 2/3 3 y Sea u 3 y du dy du dy De tal manera que al hacer la sustitución, queda: y 3 dy 3 u 3 u 2/3 du 2/3 3 y y 3 u1/ 3 u4 / 3 dy 6 u u 2 / 3 du 6u 2 / 3 u1/ 3 du 6 c, c 2/3 1/ 3 4/3 3 y y 3 3 4/3 dy 18u1/ 3 u c, c 2/3 4 3 y y 3 3 4/3 1/ 3 3 4/3 dy 18u1/ 3 u c 18 3 y 3 y c, c 2/3 4 4 3 y Por lo tanto: y 3 3 4/3 1/ 3 dy 3 y 18 3 y c, c 2/3 4 3 y 15
  16. 16. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II x3 14. SOLUCIÓN: dx 1 2x 2 x3 1/2 Arreglando el integrando: dx x3 1 2x 2 dx 1 2x 2 1 Sea u 1 2x2 du 4 xdx du xdx 4 De tal manera que al hacer la sustitución, queda: x3 1/2 1 u 1 dx x 2 1 2x 2 xdx u 1/2 du 1 2x 2 2 4 x3 1 1 u1/2 u3/2 dx u 1/2 u1/2 du c, c 1 2x 2 8 8 1/ 2 3/2 x3 1 1/2 1 3/2 1 1/2 1 3/2 dx u u c 1 2x2 1 2x2 c, c 1 2x 2 4 12 4 12 Por lo tanto: x3 1 1/2 1 3/2 dx 1 2x2 1 2x 2 c, c 1 2x 2 4 12 16
  17. 17. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 15. SOLUCIÓN: tan x dx tan x sec x Arreglando el integrando: tan x dx dx sec x Sea u sec x du tan x sec x dx De tal manera que al hacer la sustitución, queda: tan x sec x du tan x dx dx Ln u c, c sec x u Por lo tanto: tan x dx Ln sec x c, c 16. SOLUCIÓN: ekx dx, k 1 Sea u kx du kdx du dx k De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 1 1 1 u 1 kx ekx dx eu du eu du e c e c, c k k k k Por lo tanto: 1 kx ekx dx e c, c k 17
  18. 18. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 17. SOLUCIÓN: sec x dx Arreglando el integrando sec x sec x tan x sec 2 x sec x tan x sec x dx dx dx sec x tan x sec x tan x Sea u sec x tan x du sec x tan x sec 2 x dx De tal manera que al hacer la sustitución, queda: du sec x dx Ln u c Ln sec x tan x c, c u Por lo tanto: sec x dx Ln sec x tan x c, c cos x 18. SOLUCIÓN: cot x dx dx sen x Sea u sen x du cos x dx De tal manera que al hacer la sustitución, queda: du cot x dx Ln u c Ln sen x c, c u Por lo tanto: cot x dx Ln sen x c, c 18
  19. 19. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 19. SOLUCIÓN: csc x dx Arreglando el integrando: csc x csc x cot x csc x cot x csc 2 x csc x dx dx dx csc x cot x csc x cot x Sea u csc x cot x du csc x cot x csc 2 x dx De tal manera que al hacer la sustitución, queda: du csc x dx Ln u c Ln csc x cot x c, c u Por lo tanto: csc x dx Ln csc x cot x c, c t3 20. SOLUCIÓN: dt 5 1 2t 4 t3 5 Arreglando el integrando: dt t3 1 2t 4 dt 5 1 2t 4 1 Sea u 1 2t 4 du 8t 3 dt du t 3 dt 8 19
  20. 20. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II De tal manera que al hacer la sustitución, queda: t3 1 1 1 dt u 5 du u 5 du u 4 c, c 5 8 8 32 1 2t 4 Por lo tanto: t3 1 4 dt 1 2t 4 c, c 5 32 1 2t 4 2r 21. SOLUCIÓN: dr 2/3 1 r 2r 2/3 Arreglando el integrando: dr 2 r 1 r dr 2/3 1 r Sea u 1 r du dr du dr De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 2r 3 4/3 dr 2 1 u u 2 / 3 dr 2 u 2/3 u1/ 3 du 6u1/ 3 u c, c 2/3 2 1 r Por lo tanto: 2r 1/ 3 3 4/3 dr 6 1 r 1 r c, c 2/3 2 1 r 20
  21. 21. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II x2 2x 22. SOLUCIÓN: dx x3 3 x2 1 x2 2x 1/ 2 Arreglando el integrando: dx x2 2x x3 3 x2 1 dx x3 3 x2 1 1 Sea u x3 3 x2 1 du 3 x2 6 x dx 3 x2 2x dx du x2 2x dx 3 De tal manera que al hacer la sustitución, queda: x2 2x 1 1 2 1/ 2 dx u 1/ 2 du u 1/ 2 du u c, c x3 3 x2 1 3 3 3 Por lo tanto: x2 2x 2 1/ 2 dx x3 3 x2 1 c, c x3 3 x2 1 3 4 y2 23. SOLUCIÓN: dy 1 y 3 2/3 4 y2 2/3 Arreglando el integrando: dy 4 y 2 1 y3 dy 1 y 3 2/3 1 Sea u 1 y3 du 3 y 2 dy du y 2 dy 3 De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 4 y2 1 4 dy 4 u 2/3 du u 2 / 3 du 4u1/ 3 c, c 1 y 3 2/3 3 3 Por lo tanto: 4 y2 1/ 3 dy 4 1 y3 c, c 2/3 1 y3 21
  22. 22. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 3/2 1 t2 1 24. SOLUCIÓN: t dt t t2 3/2 3/2 1 t2 1 1 1 Arreglando el integrando: t dt t 1 dt t t2 t t2 1 1 Sea u t du 1 dt t t2 De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 3/2 5/2 1 t2 1 2 5/2 2 1 t dt u3 / 2 du u c t c, c t t2 5 5 t Por lo tanto: 3/2 5/2 1 t2 1 2 1 t dt t c, c t t2 5 t 2x 1 25. SOLUCIÓN: dx x 2 x 1 Sea u x2 x 1 du 2x 1 dx De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 2x 1 du dx Ln u c Ln x2 x 1 c, c x 2 x 1 u Por lo tanto: 2x 1 dx Ln x 2 x 1 c, c x 2 x 1 22
  23. 23. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II s 26. SOLUCIÓN: ds 2s 3 1 Sea u 2s 3 du 2ds du ds 2 De tal manera que al hacer la sustitución, queda: s u 3 1 1 3 1 ds du 1 du u 3Ln u c, c 2s 3 2u 2 4 u 4 Por lo tanto: s 1 3 ds 2s 3 Ln 2s 3 c, c 2s 3 4 4 1/ 2 27. SOLUCIÓN: x x2 9 dx 1 Sea u x2 9 du 2xdx du xdx 2 De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 1/ 2 1 1 1 3/2 x x2 9 dx u1/ 2 du u1/ 2 du x2 9 c, c 2 2 3 Por lo tanto: 1/ 2 1 3/2 x x2 9 dx x2 9 c, c 3 23
  24. 24. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II x2 2 28. SOLUCIÓN: dx 3 x 6x 1 1 Sea u x3 6x 1 du 3 x2 2 dx du x2 2 dx 3 De tal manera que al hacer la sustitución, queda: x2 2 1 1 1 1 1 1 dx du du Ln u c Ln x3 6 x 1 c, c x3 6 x 1 u 3 3 u 3 3 Por lo tanto: x2 2 1 dx Ln x3 6 x 1 c, c x3 6 x 1 3 3 x2 6 29. SOLUCIÓN: dx x3 6x 3 x2 6 1 2 Arreglando el integrando: dx 3 x2 6 x3 6x dx x3 6x Sea u x3 6x du 3 x2 6 dx De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 3 x2 6 1/ 2 dx u 1/ 2 du 2u1/ 2 c 2 x3 6x c, c x3 6x Por lo tanto: 3 x2 6 1/ 2 dx 2 x3 6x c, c x3 6x 24
  25. 25. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II 30. SOLUCIÓN: x 2 sen x3 4 dx 1 Sea u x3 4 du 3 x 2 dx du x 2 dx 3 De tal manera que al hacer la sustitución, queda: 1 1 1 1 x 2 sen x3 4 dx sen u du sen u du cos u c cos x 3 4 c, c 3 3 3 3 Por lo tanto: 1 x 2 sen x3 4 dx cos x3 4 c, c 3INTEGRACIÓN POR PARTES.La fórmula para la "integración por partes", se deduce a partir de la regla de la derivadade un producto de funciones. Veamos:Si f y g son funciones diferenciables, entonces por derivada de un producto: f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g xIntegrando cada término de la ecuación f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x f x g x dx...... 1Ahora, sea u f x du f x dx v g x dv g x dxSustituyendo en 1 , se obtiene la fórmula de integración por partes: udv uv vdu 25
  26. 26. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II PRACTICA DIRIGIDA DE AULAEn los ejercicios siguientes efectúe la integral indefinida:1. Ln x dx 2. xe3 x dx 3. cos x dx 4. xe x dx 25. x sec x tan x dx 6. Ln x dx 7. x 2 Ln x dx 8. e x cos x dx 29. cos2 x dx 10. 3 x cos 2x dx 11. ex 2x dx 12. xsen x dx SOLUCIONARIO 1. SOLUCIÓN: Ln x dx 1 u Ln x du dx Sea x . dv dx v x De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene 1 Ln x dx x Ln x x dx x Ln x dx x Ln x x c, c x Por lo tanto: Ln x dx x Ln x x c, c 26
  27. 27. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 2. SOLUCIÓN: x e3 x dx u x du dx Sea 1 3x . dv e3 x dx v e 3 De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1 3x x e3 x dx e e3 x dx e e3 x dx e e c, c 3 3 3 3 3 9 Por lo tanto: x 3x 1 3x x e3 x dx e e c, c 3 9 3. SOLUCIÓN: cos x dx 1 Sea w x dw dx 2 xdw dx 2wdw dx 2 x Luego: cos x dx 2 w cos w dw u w du dw Sea . dv cos w dw v sen w De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene 2 w cos w dw 2 wsen w s en w dw 2 wsen w cos w c, c Como w x , concluimos que: cos x dx 2 xsen x cos x c, c 27
  28. 28. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 4. SOLUCIÓN: x e x dx u x du dx Sea . dv e x dx v e x De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene x e x dx x e x e x dx x e x e x c, c Por lo tanto: x e x dx x e x e x c, c 5. SOLUCIÓN: x sec x tan x dx u x du dx Sea . dv sec x tan x dx v sec x De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene x sec x tan x dx x sec x sec x dx x sec x Ln sec x tan x c, c Por lo tanto: x sec x tan x dx x sec x Ln sec x tan x c, c 28
  29. 29. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 2 6. SOLUCIÓN: Ln x dx 2 2Ln x u Ln x du dx Sea x . dv dx v x De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene 2 2 2Ln x 2 Ln x dx x Ln x x dx x Ln x 2 Ln x dx x Por lo tanto: 2 2 Ln x dx x Ln x 2x Ln x 2x c, c 7. SOLUCIÓN: x 2Ln x dx 1 u Ln x du dx x Sea . x3 dv x 2 dx v 3 De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene x3 x3 1 x3 1 x 2Ln x dx Ln x dx Ln x x 2 dx 3 3 x 3 3 Por lo tanto: x3 x3 x 2Ln x dx Ln x c, c 3 9 29
  30. 30. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 8. SOLUCIÓN: e x cos x dx u cos x du s en x dx Sea . dv e x dx v ex De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene e x cos x dx e x cos x e x s en x dx u s en x du cos x dx Sea . dv e x dx v ex De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene e x cos x dx e x cos x e x s en x e x cos x dx 2 e x cos x dx e x cos x e x s en x e x cos x s en x Por lo tanto: ex e x cos x dx cos x s en x c, c 2 9. SOLUCIÓN: cos2 x dx u cos x du sen x dx Sea . dv cos x dx v sen x De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene cos2 x dx sen x cos x sen2 x dx sen x cos x 1 cos 2 x dx 30
  31. 31. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II cos2 x dx sen x cos x dx cos2 x dx 1 2 cos2 x dx sen x cos x x sen 2x x 2 Por lo tanto: sen 2x x cos2 x dx c, c 4 2 10. SOLUCIÓN: 3 x cos 2x dx u 3x du 3dx Sea 1 . dv cos 2x dx v sen 2x 2 De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene 3 3 3 3 3 x cos 2x dx xsen 2x sen 2x dx xsen 2x cos 2x c, c 2 2 2 4 Por lo tanto: 3 3 3 x cos 2x dx x sen 2x cos 2x c, c 2 4 2 11. SOLUCIÓN: ex 2x dx Arreglando el integrando: 2 1 2x 4 3 ex 2x dx e2x 4 x2 4 xe x dx e x 4 xe x dx 2 3 31
  32. 32. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II Calculemos la siguiente integral: x e x dx........... * u x du dx Sea . dv e x dx v ex De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes en * , se obtiene xe x dx xe x e x dx xe x ex c x 1 ex c, c Por lo tanto: 2 1 2x 4 3 ex 2x dx e x 4 x 1 ex c, c 2 3 12. SOLUCIÓN: x sen x dx u x du dx Sea . dv sen x dx v cos x De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene x sen x dx x cos x cos x dx x cos x sen x c, c Por lo tanto: x sen x dx x cos x sen x c, c 32
  33. 33. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE Análisis Matemático I CICLO: 2010 – IIPOTENCIAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS m,nEn esta sección aprenderemos a integrar expresiones que presentan potenciastrigonométricas, es decir, integrandos con alguna de las siguientes formas: senn u cosn u senm u cosn u tann u cotn u secn u cscn u tanm u secn u cotm u cscn uPara tal efecto es conveniente conocer las siguientes identidades trigonométricas: sen2 u cos2 u 1 cos 2u cos2 u sen2 u sen2 u 1 cos2 u cos2 u 1 sen2 u 1 cos 2u 1 cos 2u sen2 u cos2 u 2 2 1 sec 2 u 1 tan2 u sen A cos B sen A B s en A B 2 1 csc 2 u 1 cot 2 u cos A cos B cos A B cos A B 2 1 sen 2u 2sen u cos u sen A sen B cos A B cos A B 2Después de hacer las sustituciones trigonométricas adecuadas, el integrando quedaexpedito para aplicar la integración por sustitución. En otros casos debemos recurrir ala integración por partes. 33
  34. 34. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II PRACTICA DIRIGIDA DE AULAEn los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida: 3. cos2 x sen5 x dx 1. sen3 x dx 2. cos3 4 x sen 4 x dx 5. cos2 3 x sen2 3 x dx 4. cos4 x dx 6. cos 5 x sen 3 x dx 7. cos 3 x cos 4 x dx 8. cot3 x dx 9. sec 4 x dx 10. csc 3 x dx 11. tan6 x sec 4 x dx 12. tan3 x sec 5 x dx 13. sec 3 x dx 14. tan2 x sec 3 x dx 15. sen6 t cos2 t dt SOLUCIONARIO 1. SOLUCIÓN: sen3 x dx Arreglando el integrando: sen3 x dx sen x sen2 x dx sen x 1 cos 2 x dx sen3 x dx sen x dx cos2 x sen x dx cos x cos2 x sen x dx Sea u cos x du sen x dx 34
  35. 35. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II Luego: 3 u3 cos x cos2 x sen x dx u2 du c c, c 3 3 Por lo tanto: cos3 x sen3 x dx cos x c, c 3 2. SOLUCIÓN: cos3 4 x sen 4 x dx Sea u cos 4 x du 4sen 4 x dx 1 1 4 cos4 4 x Luego: cos3 4 x sen 4 x dx u3 du u c c, c 4 16 16 Por lo tanto: cos4 4 x cos3 4 x sen 4 x dx c, c 16 3. SOLUCIÓN: cos2 x sen5 x dx Arreglando el integrando: 2 cos2 x sen5 x dx cos2 x sen4 x sen x dx cos 2 x sen 2 x sen x dx 2 cos2 x sen5 x dx cos2 x 1 cos2 x sen x dx cos2 x sen5 x dx cos2 x 1 cos 4 x 2 cos 2 x sen x dx cos2 x sen5 x dx cos2 x sen x dx cos 6 x sen x dx 2 cos 4 x sen x dx 35
  36. 36. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II Sea u cos x du sen x dx Luego: u3 u7 2u5 cos2 x sen5 x dx u2 du u6 du 2 u4 du c, c 3 7 5 Por lo tanto: cos3 x cos7 x 2 cos5 x cos2 x sen5 x dx c, c 3 7 5 4. SOLUCIÓN: cos4 x dx Arreglando el integrando: 2 2 1 cos 2x 1 cos4 x dx cos2 x dx dx 1 2cos 2x cos2 2x dx 2 4 1 1 cos 4 x 1 cos4 x dx 1 2cos 2x dx cos 4 x 4 cos 2x 3 dx 4 2 8 Luego: 1 1 cos4 x dx sen 4 x 2sen 2x 3x c, c 8 4 Por lo tanto: 1 1 3 cos4 x dx sen 4 x sen 2x x c, c 32 4 8 36
  37. 37. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 5. SOLUCIÓN: cos2 3 x sen2 3 x dx Arreglando el integrando: 1 1 1 cos2 3 x sen2 3 x dx 4 cos2 3 x sen2 3 x dx sen2 6 x dx 2sen 2 6 x dx 4 4 8 1 cos2 3 x sen2 3 x dx 1 cos 12x dx 8 Luego: 1 1 cos2 3 x sen2 3 x dx x sen 12x c, c 8 12 Por lo tanto: 1 1 cos2 3 x sen2 3 x dx x sen 12x c, c 8 96 6. SOLUCIÓN: cos 5 x sen 3 x dx Arreglando el integrando: 1 1 cos 5 x sen 3 x dx 2cos 5 x sen 3 x dx sen 8 x sen 2x dx 2 2 1 cos 5 x sen 3 x dx sen 8 x sen 2x dx 2 Luego: 1 1 1 cos 5 x sen 3 x dx cos 8 x cos 2x c, c 2 8 2 Por lo tanto: 1 1 cos 5 x sen 3 x dx cos 8 x cos 2x c, c 16 4 37
  38. 38. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 7. SOLUCIÓN: cos 3 x cos 4 x dx Arreglando el integrando: 1 1 cos 3 x cos 4 x dx 2cos 3 x cos 4 x dx cos 7 x cos x dx 2 2 1 1 Luego: cos 3 x cos 4 x dx s en 7 x sen x c, c 2 7 1 1 Por lo tanto: cos 3 x cos 4 x dx s en 7 x sen x c, c 14 2 8. SOLUCIÓN: cot3 x dx Arreglando el integrando: cot3 x dx cot 2 x cot x dx csc 2 x 1 cot x dx csc 2 x cot x dx cot x dx 1 Por lo tanto: cot3 x dx cot 2 x Ln sen x c, c 2 9. SOLUCIÓN: sec 4 x dx Arreglando el integrando: sec 4 x dx sec 2 x 1 tan2 x dx sec 2 x dx sec 2 x tan 2 x dx 1 Por lo tanto: sec 4 x dx tan x tan3 x c, c 3 38
  39. 39. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II 10. SOLUCIÓN: csc 3 x dx Arreglando el integrando: csc 3 x dx csc x csc 2 x dx Aplicando integración por partes: u csc x du csc x cot x dx Sea: dv csc 2 x dx v cot x Luego: csc 3 x dx csc x csc 2 x dx csc x cot x csc x cot 2 x dx csc 3 x dx csc x cot x csc x csc 2 x 1 dx csc 3 x dx csc x cot x csc 3 x dx csc x dx 2 csc 3 x dx csc x cot x csc x dx csc x cot x Ln csc x cot x k, k 1 1 Por lo tanto: csc 3 x dx csc x cot x Ln csc x cot x c, c 2 2 11. SOLUCIÓN: tan6 x sec 4 x dx Arreglando el integrando: tan6 x sec 4 x dx tan6 x sec 2 x sec 2 x dx tan6 x 1 tan 2 x sec 2 x dx 39
  40. 40. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II tan6 x sec 4 x dx tan6 x sec 2 x dx tan8 x sec 2 x dx Por lo tanto: 1 1 tan6 x sec 4 x dx tan7 x tan9 x c, c 7 9 12. SOLUCIÓN: tan3 x sec 5 x dx Arreglando el integrando: tan3 x sec 5 x dx tan2 x sec 4 x tan x sec x dx tan3 x sec 5 x dx sec 2 x 1 sec 4 x tan x sec x dx tan3 x sec 5 x dx sec 6 x sec 4 x tan x sec x dx tan3 x sec 5 x dx sec 6 x tan x sec x dx sec 4 x tan x sec x dx Por lo tanto: 1 1 tan3 x sec 5 x dx sec 7 x sec 5 x c, c 7 5 13. SOLUCIÓN: sec 3 x dx Arreglando el integrando: sec 3 x dx sec x sec 2 x dx Aplicando integración por partes: 40
  41. 41. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II u sec x du s e c x tan x dx Sea: dv sec 2 x dx v tan x Luego: sec 3 x dx s e c x tan x sec x tan2 x dx s e c x tan x sec x sec 2 x 1 dx sec 3 x dx s e c x tan x sec 3 x dx sec x dx 2 sec 3 x dx s e c x tan x sec x dx Por lo tanto: 1 1 sec 3 x dx s e c x tan x Ln s e c x tan x c, c 2 2 14. SOLUCIÓN: tan2 x sec 3 x dx Arreglando el integrando: tan2 x sec 3 x dx sec 2 x 1 sec 3 x dx sec 5 x dx sec 3 x dx Calculemos sec 5 x dx , pues en el ejercicio 13 ya se halló sec 3 x dx . Arreglando el integrando: sec 5 x dx sec 3 x sec 2 x dx 41
  42. 42. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWAREAnálisis Matemático I CICLO: 2010 – II Aplicando integración por partes: u s e c3 x du 3 s e c 3 x tan x dx Sea: dv sec 2 x dx v tan x Luego: sec 5 x dx s e c 3 x tan x 3 sec 3 x tan2 x dx sec 5 x dx s e c 3 x tan x 3 sec 3 x sec 2 x 1 dx sec 5 x dx s e c 3 x tan x 3 sec 5 x dx 3 sec 3 x dx 1 3 sec 5 x dx s e c 3 x tan x sec 3 x dx 4 4 Por consiguiente: 1 3 tan2 x sec 3 x dx s e c 3 x tan x sec 3 x dx sec 3 x dx 4 4 1 1 1 1 tan2 x sec 3 x dx s e c 3 x tan x s e c x tan x Ln s e c x tan x c ,c 4 4 2 2 Por lo tanto: 1 1 1 tan2 x sec 3 x dx s e c 3 x tan x s e c x tan x Ln s e c x tan x k, k 4 8 8 42

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